程稼夫电磁学第二版第一章习题解析

程稼夫电磁学篇第一章《静电场》课后习题

1-1设两个小球所带净电荷为q，距离为l，由库仑定律：

由题目，设小球质量m，铜的摩尔质量M，则有：

算得

1-2 取一小段电荷，其对应的圆心角为dθ：

这一小段电荷受力平衡，列竖直方向平衡方程，设张力增量为T：

解得

1-3（1）设地月距离R，电场力和万有引力抵消：

解得：

（2）地球分到，月球分到，电场力和万有引力抵消：

解得：

1-4

设向上位移为x，则有：

结合牛顿第二定律以及略去高次项有：

1-5由于电荷受二力而平衡，故三个电荷共线且q3在q1和q2之间：

先由库仑定律写出静电力标量式：

有几何关系：

联立解得

由库仑定律矢量式得：

解得

1-6（1）对一个正电荷，受力平衡：

解得，显然不可能同时满足负电荷的平衡

（2）对一个负电荷，合外力提供向心力：

解得

1-7（1）设P限制在沿X轴夹角为θ的，过原点的直线上运动（θ∈[0,π)），沿着光滑直线位移x，势

能：

对势能求导得到受力：

小量近似，略去高阶量：

当q＞0时，；当q＜0时，

（2）由上知

1-8设q位移x，势能：

对势能求导得到受力：

小量展开有：，知

1-9（1）对q受力平衡，设其横坐标的值为l0：，解得

设它在平衡位置移动一个小位移x，有：

小量展开化简有：

受力指向平衡位置，微小谐振周期

（2）

1-10

1-11

先证明，如图所示，带相同线电荷密度λ的圆弧2和直线1在OO处产生的电场强度相等.取和θ.

有：

显然两个电场强度相等，由于每一对微元都相等，所以总体产生的电场相等.

利用这一引理，可知题文中三角形在内心处产生的电场等价于三角形内切圆环在内心处产生的电场.由对称性，这一电场强度大小为0.

1-12（1）

如图，取θ和，设线电荷密度λ，有：

积分得

（2）

（3）用圆心在场点处，半径，电荷线密度与直线段相等的，张角为θ0 （）

的一段圆弧替代直线段，计算这段带电圆弧产生的场强大小，可以用其所张角对应的弦长与圆弧上单位长度所产生的电场强度大小的积求得：

1-13

我们先分析一个电荷密度为ρ，厚度为x的无穷大带电面（图中只画出有限大），取如图所示高斯面，其中

高斯面的两个相对面平行于电荷平面，面积为S，由高斯定理：

算得，发现这个无穷大平面在外部产生的电场是匀强电场，且左右两边电场强度相同，大小相反.

回到原题，由叠加原理以及，算得在不存在电荷的区域电场强度为0（正负电荷层相

互抵消.）

在存在电荷的区域，若在p区，此时x处的电场由三个电荷层叠加而成，分别是左边的n区，0到x范围

内的p区，以及右边的p区，有：，算得

同理算出n区时场强，综上可得

1-14（1）取半径为r的球形高斯面，有：，解得

（2）设球心为O1，空腔中心为O2，空腔中充斥着电荷密度为−ρ的电荷，在空腔中任意一点A处产生的

电场为：（借助第一问结论）

同时在A处还有一个电荷密度为+ρ

则有：

1-15取金属球上一面元d S，此面元在金属球内侧产生指向内的电场强度，

由于导体内部电场处处为0，所以金属球上除该面元外的其他电荷在该面元处产生的电场强度为

所以该面元受到其他电荷施加的静电力：

球面上单位面积受力大小：

半球面受到的静电力可用与其电荷面密度相等的，该半球面的截口圆面的面积乘该半球面的单位面积受力

求得：

1-16设轴线上一点到环心距离为x，有：

令其对x导数为0：

解得

1-17写出初态体系总电势能：

1-18系统静电势能大小为：

1-19由对称性，可以认为四个面分别在中心处产生的电势，故取走后，；

设BCD，ACD，ABD在P2处产生的电势为U，而ABD在P2处产生的电势为，有：；

取走后：，解得

1-20构造如下六个带电正方体（1到6号），它们的各面电荷分布彼此不相同，但都能通过一定的旋转从

程中电荷直接相加而不重新分布）.这个带电正方体各面电势完全相同，都为

.容易证明，正方体内部的每一个点的电势也都为（若不然，正方体内部必存在电场线，这样的电场线必定会凭空产生，或凭空消失，或形成环状，都与静电场原理不符）.故此时中心电势同样为

1-21 O4处电势：

O1处电势：

故电势差为：

1-22从对称性方面考虑，先将半球面补全为整个球面.再由电势叠加原理，即一个半球面产生的电势为它的一半，从而计算出半球面在底面上的电势分布.

即

1-23设上极板下版面面电荷密度为，下极板上版面面电荷密度为.取一个长方体型的高斯面，

其形状是是两极板中间间隔的长方体，并且把和囊括进去.注意到金属导体内部没有电场，故

这个高斯面电通量为0，其中净电荷为0，有：

再注意到上下极板电势相等，其中E1方向向上，E2方向向下：

再由高斯定理得出的结论：

解得

1-24先把半圆补成整圆，补后P、Q和O.这说明，新补上的半圆对P产生的电势为

，而由于对称性，这个电势恰好也是半球面ACB对Q产生的电势.故：

1-25在水平方向上，设质点质量m，电量为q：

运动学：

整体带入得：

1-26（1）先将半球面补全为整个球面，容易计算出此时半球底面的电势.再注意到这个电势由对称的两个半球面产生的电势叠加得到，即一个半球面产生的电势为它的一半，即可求出一个半球面对底面产生的电势恒为定值，故底面为等势面，由E点缓慢移至A点外力做功为W1=0.

（2）由上一问的分析知由E点缓慢移至O点外力不做功，记电势能为E，E的右下标表示所代表的点，则