电路分析基础第五版第7章

二、RL电路的零输入响应 初始条件 t 0 i L (0 ) I 0
t 0 Ri (t ) uL (t ) 0
IS = I 0
iL R S(t=0) L + uR + uL -
diL ( t ) L Ri L ( t ) 0 dt
令此方程的通解为
代入上式后有
i L (t ) Ae st
Req 60 80 / 2 100
ReqC 100 0.02 106 2s
i (0 ) 120/ 100 1.2 A
u0 (0 ) (1.2 / 2) 60 36 V
故 i(t ) 1.2e
0.5106 t
A
t 0
u0 (t ) 36e
解：首先求 uC(0-) t=0-时的等效电路如图 iC(0-) = 0
uC (0 ) U s 12 V uC (0 ) uC (0 ) 12 V
在0+等效电路中求其它参 数初始值。 t=0+等效电路如图
U s uC (0 ) i1 (0 ) 0A R1 uC (0 ) i2 (0 ) 6mA R2 iC (0 ) i1 (0 ) i2 (0 ) 6mA
t 0
时间常数： RC
uC (t ) U 0e
t
t 0
t U0 i(t ) e R
t 0
t 0时，uC (0) U 0 e 0 U 0 t 时，uC ( ) U 0 e 1 0.368U 0
理论上要经过∞的时间uC(t)才能衰减为零值。 但工程上一般认为换路后，经过 3~5 时间过 渡过程即告结束。
di( t ) Ri ( t ) L uC ( t ) us ( t ) dt
duC ( t ) i(t ) C dt
(1)
( 2)
d 2 uC ( t ) R duC ( t ) 1 1 uC ( t ) us ( t ) 2 dt L dt LC LC
( 3)
二、输入-输出方程：联系输入us(t)与输出uC(t)之 间关系的方程
1 t
t 0
三、总结 零输入响应是在输入为零时，由非零初始状态 产生的，它取决于电路的初始状态和电路的特 性。因此在求解这一响应时，首先必须掌握电 容电压和电感电流的初始值，电路的特性是通 过时间常数来体现的。 零输入响应的通用公式： f (t ) f (0 )e
1 t

di 0.3 10i ( t ) 0 dt 100
故
i (t ) Ae

3
t
代入初始条件i(0+)=150mA，即得零输入响应电流
i (t ) 150e

mA
t 0
100 t 3
d 2 uC ( t ) di( t ) uL ( t ) L LC dt dt 2
三、动态电路的方程和初始条件(初始值) 1. 过渡过程(瞬变过程)：动态电路的一个特征是 当电路的结构或元件的参数发生变化时，可能使 电路改变原来的工作状态，转变到另一个工作状 态，这种转变往往需要经历一个过程，在工程上 称为过渡过程。 2. 换路：由于电路中结构的改变(如电源的接通、 切断)或电路参数的突然变化所引起的电路变化， 并认为换路是在t=0时刻进行的。 t= 0-表示换路前 的最终时刻；t=0+表示换路后的最初时刻；t=0-到 t=0+换路经历的时间。 3. 初始条件(初始值) ：电路中所求解的变量在 t=0+时的值称为初始条件(初始值) 。
思考
闪充灯电路由哪些元件构 成?电路如何工作?元件参 数如何选择?
§7-1 动态电路的方程和初始条件 一、动态电路：含有动态元件的电路。 由于动态元件的电压与电流之间呈微分关系或 积分关系，所以根据KCL、KVL定律对动态电 路列出的方程是微分方程或积分微分方程。
uR (t ) uL (t ) uC (t ) us (t )
0+等效电路： 把t=0+时的电容电压、电感电流分别用独立电压 源uC(0+)和独立电流源iL(0+)等效替代，原电路中 独立源取t=0+时的值，其它元件照搬。 例1、求如图所示电路 中开关闭合后电容电压 的初始值uC(0+)及各支 路电流的初始值i1(0+)、 i2(0+) 、iC(0+)。假设开 关闭合前电路已经工作 了很长时间。
引例：闪光灯电路
日常生活中需要闪充灯的场合非常多。在光线比较暗 的条件下照相，要用闪光灯照亮场景以获取清晰的图 像。另外，高的天线塔、建筑工地和安全地带等场合 也需要使用闪光灯作为危险警告信号。 在设计闪充灯电路时，必须根据实际需要考虑闪光控 制方式(手动或自动)、闪烁方式(时间和频率)、闪光灯 安装方式(临时或固定)以及供电方式等因素。
R2 uC (0 ) uC (0 ) U0 R1 R2
S
R1

U0
uR2 -
+
U0 i L (0 ) i L (0 ) R1 R2
L iL
iC(0+) R2
R2 +C uL -
iC + uC -
t=0+等效电路如图
uR2 (0+)
uL(0+)



uC(0+)
iL(0+)
( Ls R) Ae st 0
特征根为 s R / L
根据
i L (0 ) i L (0 ) I 0
以此代入 iL (t ) Ae st
R t L
则可求得积分常数
A i L (0 ) I 0
i L (t ) i L (0 )e I 0e
R t L
时间常数的几何意义 在电容电压曲线上经过横坐标为t1的一点P做 切线与横轴交于t2 ，从而得到P点的次切距 （ t1 – t2 ），即等于时间常数。
uC ( t1 ) U 0e t1 duC ( t ) 1 U 0e dt t t1
t1
在放电过程中，电容不断放出能量为电阻所 消耗；最后，原来储存在电容的电场能量全部为 电阻吸收而转换成热能。 时间常数愈小，放电过程愈快；反之，则愈慢。
则可求得积分常数 A uC (0 ) U0
这样求得满足初始值的微分方程的解为
uC (t ) uC (0 )e
1 t RC
U 0e

1 t RC
t 0
电路中的电流为
t duC ( t ) d U 0 e RC i ( t ) C C dt dt t U 0 RC e R
小结： 初始条件是电路中所求解的变量在 t=0+时的值。 1、在t=0-时的等效电路中求得iL(0-)或uC(0-)
2、利用换路定律求得iL(0+)或uC(0+)
i L (0 ) i L ( 0 ) uC (0 ) uC (0 )
3、通过已知的iL(0+)和uC(0+)画出0+等效电路，求 出电路中其它的电流、电压，称之为0+等效电路法。 0+等效电路： 把t=0+时的电容电压、电感电流分别用独立电压 源uC(0+)和独立电流源iL(0+)等效替代，原电路中 独立源取t=0+时的值，其它元件照搬。
4. 换路定律：在换路前后电容电流和电感电压 为有限值的条件下，换路前后瞬间电容电压和 电感电流不能跃变。即
uC (0 ) uC (0 )
i L (0 ) i L (0 )
5. 初始条件(初始值) 的求解方法 一个动态电路的独立的初始条件为电容电压 uC(0+) 和电感电流 iL(0+) ，一般可以根据它们在 t=0- 时的 值（即电路发生换路前的状态） uC(0-) 和 iL(0-) 确 定。该电路的非独立初始条件，即电阻的电压或 电流、电容电流、电感电压等则需要通过已知的 独立初始条件在“0+等效电路”中求得。
U0 iC ( 0 ) i L ( 0 ) R1 R2
R2 uR2 (0 ) R2 i L (0 ) U0 R1 R2
uR2 (0+) uL(0+)


iC(0+) R2

uC(0+)
iL(0+)
uL (0 ) uC (0 ) uR2 (0 ) 0
d 2 uC ( t ) R duC ( t ) 1 1 uC ( t ) us ( t ) 2 dt L dt LC LC
当求出uC(t)后，可应用元件的伏安关系求出电路中 其它元件的响应
duC ( t ) i(t ) C dt
duC ( t ) uR ( t ) Ri ( t ) RC dt
例2、求如图所示电路中开关闭合后电感电流的初 始值iL(0+)、电感电压的初始值uL(0+)以及初始值 i(0+)和 is(0+)。假设开关闭合前电路已经工作了很 长时间。
解：首先求出 iL(0-)
uL (0 ) 0
Us i L (0 ) 1A R1 R2
i L (0 ) i L (0 ) 1 A
RC电路的零输入响应微分方程为：
duC ( t ) RC uC ( t ) 0 dt
令此方程的通解为 uC (t ) Ae st 代入上式后有
( RCs 1) Ae st 0
相应的特征方程为 RCs 1 0 特征根为 s 1 / RC
st u ( 0 ) u ( 0 ) U 根据 C C 0 以此代入 uC ( t ) Ae