分式方程的解法与技巧_知识精讲

分式方程的解法与技巧

【典型例题】

1. 局部通分法：

例1. 解方程：x x x x x x x x -----=-----34456778

分析：该方程的特点是等号两边各是两个分式，相邻两个分式的分子与分子，分母与分母及每个分式的分子与分母都顺序相差1，象这类通常采取局部通分法。

解：方程两边分别通分并化简，得： 145178()()()()

x x x x --=-- 去分母得：()()()()x x x x --=--4578

解之得：x ＝6

经检验：x ＝6是原分式方程的根。

点拨：此题如果用常规法，将出现四次项且比较繁，而采用局部通分法，就有明显的优越性。

但有的时候采用这种方法前需要考虑适当移项，组合后再进行局部通分。

2. 换元法：

例2. 解方程：

7643165469222x x x x x x ----+=--+ 分析：此方程中各分式的分母都是含未知数x 的二次三项式，且前两项完全相同，故可考虑用换元法求解。令或或或k x x k x x k x x =--=-+=-+222646569 k x x =-26均可。

解：设，则原方程可化为：k x x =-+265

793144k k k --=-+

去分母化简得：20147111602k k --=

∴()()k k -+=1220930

∴，k k ==-129320

当时，k x x =--=126702

()()x x -+=710 解之得：，x x 1217=-=

当时，k x x =--+=-93206593202

2012019302x x -+=

解此方程此方程无解。 经检验：，是原分式方程的根。x x 1217=-=

点拨：换元法解分式方程，是针对方程实际，正确而巧妙地设元，达到降次，化简的目的，它是解分式方程的又一重要的方法，本题还有其它的设法，同学们可自己去完成。

3. 拆项裂项法：

例3. 解方程：

12442212x x x x ++-+-=

分析：这道题虽然可用通分去分母的常规解法，但若将第二项拆项、裂项，则更简捷。

解：原方程拆项，变形为：

()()()()12222222221x x x x x x ++++-+---=

裂项为：

122222221x x x x ++-++--=

化简得：321x +=

解之得：x =1 经检验：x ＝1是原分式方程的解。

4. 凑合法：

例4. 解方程：x x x x 4143412

+-=--- 分析：观察此方程的两个分式的分母是互为相反数，考虑移项后易于运算合并，能使运算过程简化。

解：部分移项得：

x x x x 4143412=--+---

∴x x x x 4143412=------

∴x 412=

∴x ＝2

经检验：x ＝2是原分式方程的根。

5. 构造法：

例5. 解方程：x x x x

221103+++= 分析：此方程在形式上有很明显的特征，可以构造为型的方程x x k k

+=+11 来求解，而不用常规解法。

解：原方程可化为：

x x x x 221313+++=+ ∴或x x x x 22313+=+=

解之得：，x x 123411321216

21,,=-±=-± 经检验：，均是原分式方程的根。x x 123411321216

21,,=-±=-±

6. 比例法：

例6. 解方程：2562582422

2222x x x x x x x x +-+-=++++ 分析：由于方程两边分子、分母未知数的对应项系数相等，因此可以利用这样的恒等变形，即若，则有的性质，可使分母化为常数，从而简化a b c d a b a b c d c d

=+-=+- 运算。

解：应用上述性质，可将方程变形为：

()()()()()()()()

2562582562582422242222222222x x x x x x x x x

x x x x x x x +-++-+--+-=+++++++-++ 化简得：4101422462

22x x x x +-=++

∴4101424622x x x x +-=++

∴x x 23100+-=

∴()()x x +-=520

∴或x x 1225==-

经检验：，是原方程的解。x x 1225==-

【模拟试题】（答题时间：20分钟） 解下列分式方程：

1. x x x x x x x x +++++=+++++12672356

2. 21212222

2222x x x x x x x x ++--=-++- 3.

x x x x x -+-+-=-112141

2 4. x x

x x 2215580+--+= 5. 23123222x x x x +++=-

【试题答案】

1. 解：原方程变形为：

x x x x x x x x +-+++-+=+-+++-+212717313616 即13121716x x x x +-+=+-+

方程两边分别通分为： ()()()()

-++=-++123167x x x x 去分母得：()()()()x x x x ++=++2367

化简得：836x =-

∴x =-92 经检验：是原方程的解。x =-92

解法2：x x x x x x x x +++++=+++++12672356

原方程变变形得：

7

6653221X ++-++=++-++X X X X X X X 两边分别通分得： ()()()()

-++=-++123167x x x x

去分母得：()()()()x x x x ++=++2367

化简得：836x =-

∴x =-92 经检验：是原方程的解。x =-92

2. 由比例的性质可得： 421422

222

2x x x x x x --=+-

∴402x =或212222x x x x --=+- 解之得：x x 12012==

， 经检验：x x 12012==，是原分式方程的解。 3. 解：原方程可化为：