概率与数理统计典型例题

《概率与数理统计》第一章 随机事件与概率典型例题一、利用概率的性质、事件间的关系和运算律进行求解1.设,,A B C 为三个事件，且()0.9,()0.97P A B P A B C ==U U U ，则()________.P AB C -=2.设,A B 为两个任意事件，证明：1|()()()|.4P AB P A P B -≤ 二、古典概型与几何概型的概率计算1.袋中有a 个红球，b 个白球，现从袋中每次任取一球，取后不放回，试求第k 次取到红球的概率.（a a b+） 2.从数字1,2,,9L 中可重复地任取n 次，试求所取的n 个数的乘积能被10整除的概率.（58419n n nn+--） 3.50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱，每个部件用3只铆钉，若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，从而成为不合格品，试求10个部件都是合格品的概率.（19591960） 4.掷n 颗骰子，求出现最大的点数为5的概率.5.（配对问题）某人写了n 封信给不同的n 个人，并在n 个信封上写好了各人的地址，现在每个信封里随意地塞进一封信，试求至少有一封信放对了信封的概率. （01(1)!n kk k =-∑）6.在线段AD上任取两点,B C，在,B C处折断而得三条线段，求“这三条线段能构成三角形”的概率.（0.25）7.从(0,1)中任取两个数，试求这两个数之和小于1，且其积小于316的概率.（13ln3 416+）三、事件独立性1.设事件A与B独立，且两个事件仅发生一个的概率都是316，试求()P A.2.甲、乙两人轮流投篮，甲先投，且甲每轮只投一次，而乙每轮可投两次，先投中者为胜.已知甲、乙每次投篮的命中率分别为p和13.（1）求甲取胜的概率；（2）p求何值时，甲、乙两人的胜负概率相同？（95;5414ppp=+）四、条件概率与积事件概率的计算1.已知10件产品中有2件次品，现从中取产品两次，每次取一件，去后不放回，求下列事件的概率：（1）两次均取到正品；（2）在第一次取到正品的条件下第二次取到正品；（3）第二次取到正品；（4）两次中恰有一次取到正品；（5）两次中至少有一次取到正品.（28741644;;;; 45954545）2.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的数字不再重复，试求下列事件的概率：（1）拨号不超过3次而接通电话；（2）第3次拨号才接通电话.（0.3；0.1）五、全概率公式和贝叶斯公式概型1.假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件为一等品；第二箱内装30件，其中18件为一等品，现从两箱中随意挑选出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），试求：（1）先取出的零件是一等品的概率；（2）在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率.（2690; 51421）2.有100个零件，其中90个一等品，10个二等品，随机地取2个,安装在一台设备上，若2个零件中有i个（0,1,2i=）二等品，则该设备的使用寿命服从参数为1i λ=+的指数分布，试求：（1）设备寿命超过1的概率；（2）若已知该设备寿命超过1，则安装在设备上的2个零件均是一等品的概率.（1123123892189;110111108920e e e e e e e-------++++） 六、伯努利试验1.甲袋中9个白球与1个黑球，乙袋中有10个白球，每次从甲、乙两袋中随机地取一球交换放入另一袋中，这样做了3次，试求黑球仍在甲袋中的概率.（0.756）2.假设一厂家生产的每台仪器以概率0.7可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂，现该厂新生产了n 台仪器（假设生产过程相互独立），求恰好有k 台能出厂的概率.（(0.94)(0.06)k k n k nC -） 综合题1.某段时间00[,](0)t t t t +>内，证券交易所来了k 个股民的概率为(),0,1,2,,0!kt t e k k λλλ-=>L ，每个来到交易所的股民购买长虹股票的概率为p ，且各股民是否购买这种股票相互独立.（1）求此段时间内，交易所共有r 个股民购买长虹股票的概率；（2）若已知这段时间内，交易所共有r 个股民购买了长虹股票，求交易所内来了m 个股民的概率. （(1)[(1)],();()!!0,m rt p rtp t p e m r tp e m r r m r λλλλ----⎧-≥⎪-⎨⎪<⎩） 2.三架飞机（一架长机，两架僚机）一同飞往某目的地进行轰炸，但要到达目的地需要无线电导航，而只有长机有这种设备。

到达目的地之前，必须经过敌方的高射炮阵地上空，这时任一飞机被击落的概率都是0.2，到达目的地之后，各飞机将独立地进行轰炸，炸毁目标的概率都是0.3，求目标被炸毁的概率.（0.477）3.设有三箱同型号产品，分别装有合格品20件、12件和15件；不合格品为5件、4件和5件，现任意打开一箱，并从箱内任取一件进行检验，由于检验误差，每件合格品被误验为不合格品的概率为0.04，每件不合格品被误验为合格品的概率为0.04，试求；（1）取到的一件产品经检验定为合格品的概率；（2）若已知取到的一件产品被检验定为合格品，则它确实是合格品的概率.（230.96237300.960.4;30300.745⨯⨯+⨯）第二章 随机变量及其分布典型例题一、有关随机变量与分布的基本概念设()F x 为连续型随机变量的分布函数，而且(0)0F =，证明：1(),1()0,1F x F x G x x x ⎧⎛⎫-≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪<⎩是分布函数.二、求随机变量的分布律与分布函数1.设随机变量X 的分布函数为0,10.4,11()0.8,131,3x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩，试求X 的分布律.2.同时掷两枚骰子，观察它们出现的点数，求两枚骰子出现的最大点数X 的分布律.3.向直线上掷随机点，已知随机点落入123(,0],(0,1],(1,)H H H =-∞==+∞的概率分别等于0.2、0.5、0.3，并且随机点在(0,1]上服从均匀分布，假定随机点落入区间(,0]-∞得0分，落在区间(0,1]的x 点得x 分，落在区间(1,)+∞内得1分，以X 表示得分，试求X 的分布律.4.设连续型随机变量X 的密度为12,0211,1()2332,120,x x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪⎪<≤⎪=⎨⎪-<≤⎪⎪⎪⎩其他，试求X 的分布函数. 三、已知事件发生的概率，求事件中的未知参数1.设随机变量X,Y 同分布，X 的概率密度为23,02()80,x x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，已知事件{}{},A X a B Y a =>=>独立，且3()4P A B =U ，试求常数a . 2.设离散型随机变量X 的概率分布为{},(0,1,2,)n P X n ap n ===L ，而且X 取奇数值的概率为37，试求常数,a p 的值. 四、利用常见分布求相关事件的概率（主要参看教材）假设某科统考的成绩X 近似服从正态分布2(70,10)N ，已知第100名的成绩为60，问第20名的成绩为多少？五、求随机变量函数的分布1.已知随机变量X 的分布律为：1{},(1,2,)2nP X n n ⎛⎫=== ⎪⎝⎭L ，求sin 2Y X π=的分布律. 2.设X 的密度函数为,1()0,1x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩，试求X Y e =的概率密度()Y f y .3.已知随机变量X 的概率密度()X f x ，求随机变量2min{,}Y X X =的概率密度()Y f y .4.设随机变量X 的概率密度1,1021(),0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩其他，令2Y X =,(,)F x y 为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.（1）求Y 的概率密度()Y f y ；（2）求1(,4)2F -. 六、综合题1.设随机变量X 的分布律为：以及矩阵211212111A X X ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦，试求A 的秩()r A 的分布函数.2.一商场对某商品的销售情况作了统计，知顾客对该商品的需求X 服从正态分布2(,)N μσ，且日均销售量μ为40件，销售机会在30件到50件之间的概率为0.5，若进货不足，每件利润损失为70元；若进货量过大，则因资金积压，每件损失100元，求日最优进货量.（37）第三章 多维随机变量及其分布典型例题一、联合分布、边缘分布与条件分布的计算1.将三个相同的球等可能地放入编号为1、2、3的三个盒子中，记落入第1号与第2号盒子中球的个数分别为,X Y .（1）求(,)X Y 的联合分布律；（2）求X Y 与的边缘分布律；（3）问X Y 与是否独立？（4）求Y 关于1X =的条件分布律.2.设随机变量123,,Y Y Y 相互独立，且均服从参数为p 的0—1分布，令1231231,,(1,2)1,k Y Y Y k X k Y Y Y k ++=⎧==⎨-++≠⎩（1）求12(,)X X 的联合分布律；（2）为p 为何值时，12()E X X 取最小值？3.设(,)X Y 服从D 上的均匀分布，其中D 为x 轴、y 轴及直线21y x =+所围成的三角形区域，试求：（1）(,)X Y 的联合密度函数；（2）(,)X Y 的联合分布函数.二、已知部分分布律或边缘分布，求联合分布律或相关参数（参见教材）三、利用已知分布求相关事件的概率1.设二维随机变量(,)~(0,0,1,1,0)X Y N ，则0________________.X P Y ⎛⎫<= ⎪⎝⎭2．设X Y 与是两个相互独立的随机变量，它们均匀分布在(0,)b 内，试求方程20t Xt Y ++=有实根的概率.四、随机变量函数的分布1.设随机变量X Y 与独立同分布，且X 的概率分布为：21{1},{2}33P X P X ====记max{,},min{,}U X Y V X Y ==.（1）求(,)U V 的概率分布；（2）求(,)U V 的协方差(,)Cov U V .2.设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,01(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他，（1）求{2}P X Y >；（2）求Z X Y =+的概率密度()Z f z .五、随机变量的独立性的讨论（参见教材）第四章 随机变量的数字特征典型例题一、期望和方差的计算（参见教材中的练习题）1.一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.1，0.2和0.3，假设各部件的状态相互独立，以X 表示同时需要调整的部件数，试求X 的数学期望()E X 和方差()D X .2.一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以X 表示停车的次数，求()E X （设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立）.二、随机变量函数的数学期望与方差（参见教材中的练习题）1.设随机变量X 的概率密度为21(),(1)f x x x π=-∞<<+∞+，求[min(||,1)]E X . 2.在长为l 的线段上任意取两点，求两点间距离的数学期望与方差.三、有关协方差、相关系数、独立性与相关性的命题1.设(,)X Y 的联合密度函数为1(),0,2(,)80,x y x y f x y ⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩其他，求(,)(,).Cov X Y X Y ρ与2.设二维随机变量(,)X Y 在矩形{(,)|02,01}G x y x y =≤≤≤≤上服从均匀分布，记0,U ≤⎧=⎨⎩若X Y 1,若X>Y ，0,2V ≤⎧=⎨⎩若X Y 1,若X>2Y，（1）求U 和V 的联合分布律；（2）求U 和V 的相关系数XY ρ.3.设随机变量X 的密度函数为||1(),2x f x e x -=-∞<<+∞，（1）求(||)E X 和(||)D X ；（2）求X 与||X 的协方差，问X 与||X 是否不相关？（3）问X 与||X 是否独立？为什么？4.设1132Z X Y =+,其中22~(1,3),~(0,4)X N Y N ,且12XY ρ=-，（1）求Z 的数学期望及方差；（2）求X 与Z 的相关系数；（3）X 与Z 是否相互独立？为什么？ 四、有关数字特征的应用题1.一工厂生产的某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度函数为41,0()40,0x e x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩工厂规定，出售的设备若在售出一年内损坏可予以调换，若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.（14300e -⨯）2.一商店经销某种商品，每周进货的数量X （以公斤计）与顾客对该商品的需求量Y 是相互独立的随机变量，且都服从[10,20]上的均匀分布，商店每售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了进货量，商店可从其他地方调剂供应，这时每单位商品可获利500元，试计算此商店经销该商品每周所得利润的期望值.（2141663） 3.假设由自动生产线加工的某种零件的内径X （单位：毫米）服从正态分布(,1)N μ，内径小于10或大于12的为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T （单位：元）与销售零件的内径X 有如下关系：1,1020,10125,12X T X X -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩，问平均内径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大？（12511ln 10.9221μ=-≈）第五章 大数定律和中心极限定理典型例题一、有关切比雪夫不等式的命题1.设随机变量X Y 与的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5，则根据切比雪夫不等式，{||6}___________.P X Y +≥≤（112） 2.设随机变量~(,)X B n p，试用切比雪夫不等式证明：1{||4P X np -≥≤. 3.设连续型随机变量X 的r 阶绝对长(||)r E X 存在(0)r >，证明：对任意0ε>，有(||){||}r r E X P X εε≥≤.二、有关大数定律的命题1.设随机变量12,,X X L 相互独立同服从参数为2的指数分布，则当n →∞时，211n n i i Y X n ==∑依概率收敛于______________.（0.5） 2.设随机变量12,,,,n X X X L L 相互独立同分布，且()0n E X =，求：1lim n i n i P X n →+∞=⎧⎫<⎨⎬⎩⎭∑.（1） 三、有关中心极限定理的命题1.一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1（元）、1.2（元）、1.5（元）各个值的概率分别为0.3、0.、0.5，某天售出300只蛋糕.（1）求这天的收入至少400（元）的概率；（2）求这天售出价格为1.2（元）的蛋糕多于60只的概率. (1;0.5-Φ)2.检查员逐个地检查某产品，每次花10秒钟检查一个，但也可能有的产品需要再花10秒钟重复检查一次，假设每个产品需要复查的概率为0.5，求在8小时内检查员检查的产品个数多于1900个的概率是多少？(Φ)3.银行为支付某日即将到期的债券需准备一笔现金，已知这批债券共发放了500张，每张需付本息1000元，设持券人（1人1券）到期到银行领取本息的概率为0.4，问银行于该日应准备多少现金才能以99.9%的把握满足客户的兑换？(233958.799x≥)4.（1）一复杂的系统由100个相互独立起作用的部件所组成，在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.10，为了使整个系统起作用，，至少必须有85个部件正常工作，求整个系统起作用的概率.（53⎛⎫Φ ⎪⎝⎭）（2）一复杂的系统由n个相互独立起作用的部件构成，每个部件的可靠性（即部件正常工作的概率）为0.9，且必须至少有80%的部件工作才能使整个系统工作，问n至少为多大才能使系统的可靠性不低于0.95？(0.9524.35nΦ≥⇒≥⎝⎭)。