概率与数理统计典型例题

《概率与数理统计》

第一章 随机事件与概率

典型例题

一、利用概率的性质、事件间的关系和运算律进行求解

1.设,,A B C 为三个事件，且()0.9,()0.97P A B P A B C ==U U U ，则()________.P AB C -=

2.设,A B 为两个任意事件，证明：1|()()()|.4

P AB P A P B -≤ 二、古典概型与几何概型的概率计算

1.袋中有a 个红球，b 个白球，现从袋中每次任取一球，取后不放回，试求第k 次

取到红球的概率.（a a b

+） 2.从数字1,2,,9L 中可重复地任取n 次，试求所取的n 个数的乘积能被10整除的

概率.（58419n n n

n

+--） 3.50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱，每个部件用3只铆钉，若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太

弱，从而成为不合格品，试求10个部件都是合格品的概率.（19591960

） 4.掷n 颗骰子，求出现最大的点数为5的概率.

5.（配对问题）某人写了n 封信给不同的n 个人，并在n 个信封上写好了各人的地址，现在每个信封里随意地塞进一封信，试求至少有一封信放对了信封的概率. （01(1)!

n k

k k =-∑）

6.在线段AD上任取两点,B C，在,B C处折断而得三条线段，求“这三条线段能构成三角形”的概率.（0.25）

7.从(0,1)中任取两个数，试求这两个数之和小于1，且其积小于

3

16

的概率.

（13

ln3 416

+）

三、事件独立性

1.设事件A与B独立，且两个事件仅发生一个的概率都是

3

16

，试求()

P A.

2.甲、乙两人轮流投篮，甲先投，且甲每轮只投一次，而乙每轮可投两次，先投

中者为胜.已知甲、乙每次投篮的命中率分别为p和1

3

.（1）求甲取胜的概率；

（2）p求何值时，甲、乙两人的胜负概率相同？（

95

;

5414

p

p

p

=

+

）

四、条件概率与积事件概率的计算

1.已知10件产品中有2件次品，现从中取产品两次，每次取一件，去后不放回，求下列事件的概率：（1）两次均取到正品；（2）在第一次取到正品的条件下第二次取到正品；（3）第二次取到正品；（4）两次中恰有一次取到正品；（5）两次中

至少有一次取到正品.（28741644

;;;; 45954545

）

2.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的数字不再重复，试求下列事件的概率：（1）拨号不超过3次而接通电话；（2）第3次拨号才接通电话.（0.3；0.1）

五、全概率公式和贝叶斯公式概型

1.假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件为一等品；第二箱内装30件，其中18件为一等品，现从两箱中随意挑选出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），试求：（1）先取出的零件是一等品的概率；（2）在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品

的概率.（2690

; 51421

）

2.有100个零件，其中90个一等品，10个二等品，随机地取2个,安装在一台设备上，若2个零件中有i个（0,1,2

i=）二等品，则该设备的使用寿命服从参

数为1i λ=+的指数分布，试求：（1）设备寿命超过1的概率；（2）若已知该设备寿命超过1，则安装在设备上的2个零件均是一等品的概率.（1

123123892189;110111108920e e e e e e e

-------++++） 六、伯努利试验

1.甲袋中9个白球与1个黑球，乙袋中有10个白球，每次从甲、乙两袋中随机地取一球交换放入另一袋中，这样做了3次，试求黑球仍在甲袋中的概率.（0.756）

2.假设一厂家生产的每台仪器以概率0.7可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂，现该厂新生产了n 台仪器（假设生产过程相互独立），求恰好有k 台能出厂的概率.

（(0.94)(0.06)k k n k n

C -） 综合题

1.某段时间00[,](0)t t t t +>内，证券交易所来了k 个股民的概率为(),0,1,2,,0!

k

t t e k k λλλ-=>L ，每个来到交易所的股民购买长虹股票的概率为p ，且各股民是否购买这种股票相互独立.（1）求此段时间内，交易所共有r 个股民购买长虹股票的概率；（2）若已知这段时间内，交易所共有r 个股民购买了长虹股票，求交易所内来了m 个股民的概率. （(1)[(1)],();()!!0,m r

t p r

tp t p e m r tp e m r r m r λλλλ----⎧-≥⎪-⎨⎪<⎩） 2.三架飞机（一架长机，两架僚机）一同飞往某目的地进行轰炸，但要到达目的地需要无线电导航，而只有长机有这种设备。到达目的地之前，必须经过敌方的高射炮阵地上空，这时任一飞机被击落的概率都是0.2，到达目的地之后，各飞机将独立地进行轰炸，炸毁目标的概率都是0.3，求目标被炸毁的概率.（0.477）

3.设有三箱同型号产品，分别装有合格品20件、12件和15件；不合格品为5件、4件和5件，现任意打开一箱，并从箱内任取一件进行检验，由于检验误差，每件合格品被误验为不合格品的概率为0.04，每件不合格品被误验为合格品的概率为0.04，试求；（1）取到的一件产品经检验定为合格品的概率；（2）若已知取到的一件产品被检验定为合格品，则它确实是合格品的概率.