高一精选题库习题数学6-2

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高一数学必考知识点基础题库练习

高一数学必考知识点基础题库练习一、整式的定义和运算整式：只包含加法、减法和乘法运算，并且没有除法运算和无理式的代数式称为整式。

1. 计算以下整式的值:(1) 3x - 2y，当x = 4，y = 5时的值；(2) 2a^2b - 3ab^2 + 4a^2b，当a = 2，b = -3时的值。

二、二次根式二次根式：含有平方根的代数式称为二次根式。

1. 化简以下二次根式:(1) √(12)；(2) √(18x^2y^4)。

三、整式的乘除法1. 计算以下整式的乘积:(1) (2x + 3)(x - 4)；(2) (3a^2b - 5ab^2)(a - 2b)。

2. 计算以下整式的商:(1) (6x^3 - 9x^2 + 12x) ÷ 3x；(2) (9y^4 - 12y^3 + 15y^2) ÷ 3y^2。

四、一次函数一次函数：形如y = kx + b（k和b为常数，k ≠ 0）的函数称为一次函数。

1. 已知一次函数f(x) = 2x + 3，求:(1) f(-2)的值；(2) 使得f(x) = 0的x值；(3) 函数f(x)在x = 4处的函数值。

五、二次函数二次函数：形如f(x) = ax^2 + bx + c（a、b、c为常数，a ≠ 0）的函数称为二次函数。

1. 对于二次函数f(x) = 2x^2 - 5x + 3，求:(1) 函数f(x)的对称轴；(2) 函数f(x)的顶点；(3) 函数f(x)的零点或根。

2. 判断以下二次函数的开口方向，并指出其顶点所在的坐标:(1) y = -3x^2 + 4x - 1；(2) y = 2x^2 - 5x + 2。

六、立体几何1. 计算以下几何体的表面积:(1) 半径为5cm的球的表面积；(2) 边长为3cm的正方体的表面积；(3) 高为8cm，底边长为6cm的四棱锥的表面积。

2. 计算以下几何体的体积:(1) 半径为4cm的球的体积；(2) 边长为5cm的立方体的体积；(3) 高为10cm，底面积为20cm²的三棱柱的体积。

高一数学必修2经典习题与答案

（数学2必修）第一章空间几何体[基础训练A 组] 一、选择题1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( )A.棱台B.棱锥C.棱柱D.都不对2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（）A. 3B. 23C. 33D. 433．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（）A ．3:1B ．3:2C ．2:3D ．3:35．在△ABC 中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A. 92πB. 72πC. 52πD. 32π6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（） A ．130 B ．140 C ．150 D ．160 二、填空题1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点，顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。

2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。

3．正方体1111ABCD A B C D - 中，O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ，则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。

4．如图，,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形 E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。

5．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个长方体的对角线长是主视图左视图俯视图C ___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为___________. 三、解答题1．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12M ，高4M ，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4M （高不变）；二是高度增加4M (底面直径不变)。

2021年高一下学期6月月考数学(理)试题含答案

2021年高一下学期6月月考数学（理）试题含答案一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1、不等式的解集为（）A． B．C． D．2、在空间，下列命题错误的是（）A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交B．一个平面与两个平行平面相交，交线平行C．平行于同一平面的两个平面平行D．平行于同一直线的两个平面平行3、在△ABC中，若，则角C =（）A．30º B．45º C．60º D．120º4、等差数列中，=12，那么的前7项和=（）A．22 B．24 C．26 D．285、在△ABC中，若，，B=30º，则= （）A．2 B．1 C．1或2 D．2或6、设等比数列的前n项和为，若=3则 =（）A．2 B． C． D．37、一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形，则原平面四边形的面积等于（）A. B. C. D.8、如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角的大小（）A．B．C．D．9、已知数列为等比数列，是它的前n项和．若，且与的等差中项为，则 ( )A． B． C．D．10、一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形．该四棱锥的体积等于（）A. 3 B．2 3 C．3 3 D．6 311. 在区间上,不等式有解，则的取值范围为（）NMBD CAA. B. C. D.12、四面体A —BCD 的棱长都相等，Q 是AD 的中点，则CQ 与平面DBC 所成的角的正弦值（） A ．B ．C ．D ．二、填空题（每空5分，共20分）13、过所在平面外一点，作，垂足为，连接,,，若==，则是的 14、函数的最小值是15、在中，（分别为角的对应边），则的形状为 16、已知数列中，，则通项17、已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且，，则棱锥的体积为 18、如图是正方形的平面张开图，在这个正方体中： ①与平行；②与是异面直线； ③与成角；④与是异面直线；以上四个命题中，正确命题的序号是三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19、（本题满分10分）解关于的不等式 20、（本题满分12分）已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 是的菱形，又，且PD =CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点．（Ⅰ）证明：DN //平面PMB ；（Ⅱ）证明：平面PMB 平面P AD ；21、（本题满分12分）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，．（1）求及的面积；（2）求． 22、（本题满分12分）已知各项均为正数的数列的前项和为，且，，成等差数列，（1）求数列的通项公式；（2）若，设，求数列的前项和23、（本题满分12分）如图，菱形的边长为，，．将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，．（1）求证：面；（2）求点M 到平面ABD 的距离．ABCCMOD高一第三次月考理科数学参考答案：一、ADCDC BBCCA CB二、13、外心 14、23＋2 15、直角三角形 16. 17、18、③④ 三、19、解：原不等式可化为：，令，可得： ………2分 ∴当或时，，；……5分当或时，,不等式无解；………7分当或时, , ………10分综上所述，当或时，不等式解集为；当或时，不等式的解集为当或时, 不等式解集为。

精选题库高一数学6-2北师大版

第6模块第2节[知能演练]一、选择题1．设全集I 是实数集R ，M ＝{x |x 2>4}与N ＝{x |2x －1≥1}都是I 的子集，如图所示，则阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |x <2}B ．{x |－2≤x <1}C ．{x |－2≤x ≤2}D ．{x |1<x ≤2}解析：∵M ＝{x |x 2>4}＝{x |x <－2或x >2}， N ＝{x |2x －1≥1}＝{x |1<x ≤3}，∴∁I M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ∩(∁I M )＝{x |1<x ≤2}．即阴影部分所表示的集合为{x |1<x ≤2}．故选D. 答案：D2．已知m >2，点(m －1，y 1)，(m ，y 2)，(m ＋1，y 3)都在二次函数y ＝x 2－2x 的图象上，则( )A ．y 1<y 2<y 3B ．y 3<y 2<y 1C ．y 1<y 3<y 2D ．y 2<y 1<y 3解析：二次函数y ＝x 2－2x 的对称轴为x ＝1，当m >2时，m －1，m ，m ＋1都在对称轴的右边，在对称轴的右边二次函数y ＝x 2－2x 为增函数，故y 1<y 2<y 3，故选A.答案：A3．不等式x 2－x －6－x 2－1>0的解集是( )A ．{x |－2<x <3}B ．{x |x ≤－2或x ≥3}C ．{x |x <－2}D ．{x |x >3}解析：不等式化为x 2－x －6x 2＋1<0，所以x 2－x －6<0⇒－2<x <3.答案：A4．已知集合A ＝{x |3x －2－x 2<0}，B ＝{x |x －a <0}，且B A ，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．1<a ≤2C ．a >2D ．a ≤2解析：不等式3x －2－x 2<0化为x 2－3x ＋2>0⇒x >2或x <1，由不等式x －a <0，得x <a .要使B A ，则a ≤1.答案：A 二、填空题5．若关于x 的不等式－12x 2＋2x >mx 的解集是{x |0<x <2}，则实数m 的值是________．解析：－12x 2＋2x >mx 可化为x 2＋(2m －4)x <0，由于其解集为{x |0<x <2}，故0,2是方程x 2＋(2m －4)x ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系知，4－2m ＝2，所以m ＝1.故填1.答案：16．关于x 的不等式ax －b >0的解集为(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax ＋bx －2>0的解集为________．答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞) 三、解答题7．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋b . (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)当不等式f (x )>0的解集为(－1,3)时，求实数a ，b 的值．解：(1)f (1)＝－3＋a (6－a )＋b ＝－a 2＋6a ＋b －3.∵f (1)>0，∴－a 2＋6a ＋b －3>0，Δ＝24＋4b ，当b ≤－6时，Δ≤0，∴f (1)>0的解集为Ø；当b >－6时，3－b ＋6<a <3＋b ＋6.∴f (1)>0的解集为{a |3－b ＋6<a <3＋b ＋6}．(2)∵不等式－3x 2＋a (6－a )x ＋b >0的解集为(－1,3)，∴f (x )>0与不等式(x ＋1)(x －3)<0同解．∵3x 2－a (6－a )x －b <0的解集为(－1,3)，∴⎩⎨⎧2＝a (6－a )33＝b3，解之得⎩⎨⎧a ＝3±3b ＝9.8．设函数f (x )＝log a (1－ax )，其中0<a <1.(1)判断f (x )在(a ，＋∞)上的单调性； (2)解不等式f (x )>1.解：(1)设f (x )＝log a u (x )，u (x )＝1－ax.∵0<a <1，∴f (x )＝log a u (x )在定义域内是减函数，u (x )＝1－ax在(a ，＋∞)上是增函数，故f (x )在(a ，＋∞)上是减函数．(2)由f (x )>1得log a (1－a x )>1.∵0<a <1，∴不等式可化为0<1－a x <a ，解得a <x <a1－a .故不等式的解集为{x |a <x <a1－a}． [高考·模拟·预测]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤02x －1，x >0，若f (x )≥1，则x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，0]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：将原不等式转化为：⎩⎪⎨⎪⎧ x >02x －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0x 2≥1，从而得x ≥1或x ≤－1.答案：D2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1(x <0)－x －1(x ≥0)，则不等式x ＋(x ＋1)f (x －1)≤3的解集是( )A ．{x |x ≥－3}B ．{x |x ≥1}C ．{x |－3≤x ≤1}D ．{x |x ≥1或x ≤－3}解析：由函数f (x )可知f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x <1－x ，x ≥1，当x <1时，原不等式等价于x ＋(x ＋1)x ≤3，解得－3≤x ≤1，又x <1，所以－3≤x <1；当x ≥1时，原不等式等价于x ＋(x ＋1)(－x )≤3，即x 2≥－3恒成立．综上可知不等式的解集为{x |x ≥－3}．答案：A3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1 (x ≥0)x 2－2x －6(x <0)，若f (t )>2，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)B ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－4)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)解析：当x ≥0时，解不等式x 2－2x －1>2得x >3，当x <0时，解不等式x 2－2x －6>2得x <－2，故t 的取值范围是(－∞，－2)∪(3，＋∞)．故选D.答案：D4．设0<b <1＋a .若关于x 的不等式(x －b )2>(ax )2的解集中的整数恰有3个，则( )A ．－1<a <0B ．0<a <1C ．1<a <3D ．3<a <6解析：(x －b )2>(ax )2⇒(x －b )2－(ax )2>0⇒[(1＋a )x －b ][(1－a )x －b ]>0. 若－1<a <0，则x >b 1＋a 或x <b1－a ，可知不止三个整数解；若0<a <1，则x >b 1－a 或x <b1＋a ，可知不止三个整数解；若a >1，有(x －b )2>(ax )2⇒[(1＋a )x －b ][(a －1)x ＋b ]<0，则－b a －1<x <b1＋a. 又0<b <1＋a ，∴不等式的解集中的整数为－2，－1,0，故－3≤－ba －1<－2，则有2a －2<b ≤3a －3，即⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<b <a ＋1，3a －3≥b >0，解得1<a <3.答案：C5．已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )．(1)当a ＝2时，解不等式f (x )－f (x －1)>2x －1； (2)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋2x ，f (x －1)＝(x －1)2＋2x －1，由x 2＋2x －(x －1)2－2x －1>2x－1，得2x －2x －1>0，x (x －1)<0,0<x <1.∴原不等式的解集为{x |0<x <1}． (2)f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，当a ＝0时，f (x )＝x 2，f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )，∴f (x )是偶函数；当a ≠0时，f (x )＋f (－x )＝2x 2≠0，f (x )－f (－x )＝2ax ≠0，∴f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．[备选精题]6．已知集合A ＝{x ||x －a |<ax ，a >0}，若f (x )＝sin πx －cos πx 在A 上是单调增函数，求a 的取值范围．解：由|x －a |<ax 得－ax <x －a <ax ，所以⎩⎪⎨⎪⎧(1＋a )x >a(1－a )x <a .当0<a <1时，A ＝(a 1＋a ，a1－a )；当a ≥1时，A ＝(a1＋a，＋∞)．又f (x )＝sin πx －cos πx ＝2sin(πx －π4)的单调递增区间为[2k －14，2k ＋34]，(k ∈Z )，显然，当a ≥1时，f (x )在A 上不可能是单调增函数，因此，当0<a <1，要使f (x )在A ＝(a 1＋a ，a1－a )上是增函数，只有(a 1＋a ，a 1－a )⊂[－14，34]，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1a 1－a ≤34，解得0<a ≤37，故a 的取值范围为0<a ≤37.。

高一数学考试题库及答案

高一数学考试题库及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x答案：B2. 已知集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∩B等于：A. {1, 2, 3}B. {2, 3}C. {1, 4}D. {1, 2, 3, 4}答案：B3. 函数y=2x+3的图像是：A. 一条直线B. 一条曲线C. 一个圆D. 一个椭圆答案：A4. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，则a5的值为：A. 14B. 17C. 20D. 23答案：A5. 下列哪个选项是正确的不等式？B. 3x < 6C. 5x ≤ 10D. 7x ≥ 14答案：D6. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求f(2)的值：A. -1B. 1C. 3D. 5答案：A7. 函数y=x^2-6x+8的顶点坐标是：A. (3, -1)B. (-3, 1)D. (-3, -1)答案：C8. 已知向量a=(1, 2)，向量b=(3, 4)，则向量a+b的坐标为：A. (4, 6)B. (-2, -2)C. (2, 6)D. (4, 2)答案：A9. 已知圆的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=9，该圆的半径为：A. 3B. 6C. 9D. 12答案：A10. 函数y=sin(x)的值域是：A. (-1, 1)B. (-∞, +∞)C. [0, +∞)D. (-∞, 0]答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x)=x^2-6x+8，求该函数的对称轴方程为：__________。

答案：x=312. 已知等比数列{bn}的首项b1=2，公比q=2，则b3的值为：__________。

答案：813. 函数y=cos(x)的周期为：__________。

答案：2π14. 已知向量a=(2, -1)，向量b=(-1, 3)，则向量a·b的值为：__________。

人教A版高一数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》单元练习题卷含答案解析 (2)

高一数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》单元练习题卷5（共22题）一、选择题（共10题）1. 在 △ABC 中，E ，F 分别为 AB ，AC 的中点，P 为 EF 上的任一点，实数 x ，y 满足 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +xPB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yPC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，设 △ABC ，△PBC ，△PCA ，△PAB 的面积分别为 S ，S 1，S 2，S 3，记 S 1S=λi (i =1,2,3)，则 λ2⋅λ3 取到最大值时，2x +y 的值为 ( ) A ． −1 B ． 1C ． −32D ． 322. 在 △ABC 中，已知 b =2√3，c =2，C =30∘，那么 a 等于 ( ) A ． 2 B ． 4 C ． 2 或 4 D ．无解3. 若 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=5，∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=4，则 ∣∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 的取值范围是 ( ) A ． [1,5] B ． [1,9] C ． [4,5] D ． [0,9]4. 正方形 ABCD 的边长为 2，E 是线段 CD 的中点，F 是线段 BE 上的动点，则 BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 ( ) A ． [−1,0]B ． [−1,45]C ． [−45,1]D ． [0,1]5. 若 P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4P 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则下列各式中不正确的是 ( )A ． ∣P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=2∣P 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣B ． ∣P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=4∣P 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣C ． ∣P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=3∣P 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣D ． 4∣P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=3∣P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣6. 已知点 C 为线段 AB 上一点，P 为直线 AB 外一点，PC 是 ∠APB 的角平分线，I 为 PC 上一点，满足 BI ⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣)(λ>0)，∣∣PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣−∣∣PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=4，∣∣PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=10，则 BI⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣的值为 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．57. 已知非零向量 a ，b ⃗ 满足 ∣a ∣=6∣∣b ⃗ ∣∣，a ，b ⃗ 的夹角的余弦值为 13，且 a ⊥(a −kb ⃗ )，则实数 k 的值为 ( ) A ． 18 B ． 24 C ． 32 D ． 368. 在 △ABC 中，AC =3，BC =√7，AB =2，则 AB 边上的高等于 ( ) A ． 2√3 B ．3√32C ．√262D ． 329. 已知点 O 是 △ABC 内部一点，满足 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =mOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，S △AOB S △ABC=47，则实数 m 为 ( ) A ． 2 B ． −2 C ． 4 D ． −410. 已知 A ，B 都是数轴上的点，O 为原点，A (3)，B (−2)，则 3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为 ( ) A ． 17B ． 1C ． −1D ． −17二、填空题（共6题）11. 设 I 为 △ABC 的内心，三边长 AB =7，BC =6，AC =5，点 P 在边 AB 上，且 AP =2，若直线 IP 交直线 BC 于点 Q ，则线段 QC 的长为．12. 如图，两块全等的等腰直角三角板拼在一起形成一个平面图形，若直角边长为 2，且 AD⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 λ+μ= ．13. 设向量 a =(3,3)，b ⃗ =(1,−1)，若 (a +λb ⃗ )⊥(a −λb ⃗ )，则实数 λ= ．14. 思考辨析，判断正误．在 △ABC 中，若 a 2+b 2−c 2=0，则角 C 为直角．( )15. 如图，在折线 ABCD 中，AB =BC =CD =4，∠ABC =∠BCD =120∘，E ，F 分别是 AB ，CD的中点，若折线上满足条件 PE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k 的点 P 至少有 4 个，则实数 k 的取值范围是．16. 山上有一塔，高 50 m ，自山下地面某点测得塔顶仰角为 75∘，测得塔底仰角为 45∘，则山高m ．三、解答题（共6题）17. 已知 ∣a ∣=1，∣∣b ⃗ ∣∣=2，a与 b ⃗ 夹角 π3，m ⃗⃗ =3a −b ⃗ ，n ⃗ =ka +2b ⃗ ． (1) 当 k 为何值时，m ⃗⃗ ∥n ⃗ ？ (2) 当 k 为何值时，m ⃗⃗ ⊥n ⃗ ？18. 已知 △ABC 的三个内角 A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，a >c ，且 2csinA =√3a ．(1) 求角 C 的大小；(2) 若 c =4，△ABC 的面积为 √3，求 △ABC 的周长．19. 在 △ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 bsinA =√3acosB ．(1) 求角 B 的大小；(2) 若 b =3，sinC =2sinA ，求 a ，c 的值．20. 已知锐角 △ABC ，同时满足下列四个条件中的三个 ①A =π3；②a =13；③c =15；④sinC =13．(1) 请指出这三个条件，并说明理由； (2) 求 △ABC 的面积21. 对于任意实数 a ，b ，c ，d ，表达式 ad −bc 称为二阶行列式（determinant ），记作 ∣∣∣ab cd ∣∣∣． (1) 求下列行列式的值：① ∣∣∣1001∣∣∣； ② ∣∣∣1326∣∣∣； ③ ∣∣∣−2510−25∣∣∣；(2) 求证：向量 p =(a,b ) 与向量 q =(c,d ) 共线的充要条件是 ∣∣∣a b cd ∣∣∣=0． (3) 讨论关于 x ，y 的二元一次方程组 {a 1x +b 1y =c 1,a 2x +b 2y =c 2(a 1a 2b 1b 2≠0) 有唯一解的条件，并求出解．（结果用二阶行列式的记号表示）22. 已知 O 为坐标原点，对于函数 f (x )=asinx +bcosx ，称向量 OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b ) 为函数 f (x ) 的伴随向量，同时称函数 f (x ) 为向量 OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的伴随函数．(1) 设函数 g (x )=√3sin (π+x )−sin (3π2−x)，试求 g (x ) 的伴随向量 OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2) 记向量 ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3) 的伴随函数为 f (x )，当 f (x )=85，且 x ∈(−π3,π6) 时，求 sinx 的值； (3) 将（1）中函数 g (x ) 的图象的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），再把整个图象向右平移2π3个单位长度得到 ℎ(x ) 的图象，已知 A (−2,3)，B (2,6)，问在 y =ℎ(x ) 的图象上是否存在一点 P ，使得 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【知识点】平面向量的数量积与垂直2. 【答案】C【解析】由 bsinB =csinC 得， sinB =bsinC c=2√3sin30∘2=√32，所以 B =60∘ 或 B =120∘．当 B =60∘ 时，A =90∘， a =√(2√3)2+22=4；当 B =120∘ 时，A =30∘，a =c =2，故 a =4 或 a =2．【知识点】正弦定理3. 【答案】B【知识点】平面向量的数量积与垂直4. 【答案】B【知识点】平面向量的数量积与垂直5. 【答案】A【知识点】平面向量的数乘及其几何意义6. 【答案】B【解析】因为 BI ⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AI ⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AC ⃗⃗⃗⃗⃗∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+AP ⃗⃗⃗⃗⃗∣∣AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣)(λ>0)，所以 I 在 ∠PAB 的角平分线上，又 I 在 ∠APB 的角平分线上，所以 I 为 △PAB 的内心．因为 ∣∣PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=10，所以 ∣AB ∣=10．BI⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 表示 BI⃗⃗⃗⃗ 在 BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影，过 I 作 IK 垂直 BA 于 K ，则由圆的切线性质和已知可得 ∣AK ∣+∣BK ∣=∣AB ∣=10，∣AK ∣−∣BK ∣=4，所以 ∣BK ∣=3，故BI⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 的值为 3 .【知识点】平面向量的分解、平面向量的数量积与垂直、平面向量的加减法及其几何意义7. 【答案】A【解析】由 ∣a ∣=6∣∣b ⃗ ∣∣，可设 ∣∣b ⃗ ∣∣=t ，则 ∣a ∣=6t (t >0)，因为 a ⋅(a −kb ⃗ )=∣a ∣2−ka ⋅b⃗ =36t 2−k ×6t ×t ×13=0，所以 k =18．【知识点】平面向量的数量积与垂直8. 【答案】B【知识点】正弦定理、余弦定理9. 【答案】D【知识点】平面向量的分解10. 【答案】B【解析】 3OA⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为 3×3+4×(−2)=1．【知识点】平面向量数乘的坐标运算二、填空题（共6题） 11. 【答案】138【解析】如图，由题意易得 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =25PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以 IP ⃗⃗⃗⃗ −IA ⃗⃗⃗⃗ =25(IB ⃗⃗⃗⃗ −IP ⃗⃗⃗⃗ )，所以 IP ⃗⃗⃗⃗ =57IA ⃗⃗⃗⃗ +27IB⃗⃗⃗⃗ ．设 CQ =x ，BQ =y ，则 x +y =6，所以 CQ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x yBQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以 IQ ⃗⃗⃗⃗ −IC ⃗⃗⃗⃗ =x y(IB ⃗⃗⃗⃗ −IQ⃗⃗⃗⃗ )，所以 IQ ⃗⃗⃗⃗ =x 6IB ⃗⃗⃗⃗ +y 6IC ⃗⃗⃗⃗ ．因为 7IC⃗⃗⃗⃗ +5IB ⃗⃗⃗⃗ +6IA ⃗⃗⃗⃗ =0，点 I 是 △ABC 的内心，根据三角形内心的向量表示得向量等式．所以 IC⃗⃗⃗⃗ =−57IB ⃗⃗⃗⃗ −67IA ⃗⃗⃗⃗ ，所以 IQ ⃗⃗⃗⃗ =x 6IB ⃗⃗⃗⃗ +y 6IC ⃗⃗⃗⃗ =x 6IB ⃗⃗⃗⃗ +y 6(−57IB ⃗⃗⃗⃗ −67IA ⃗⃗⃗⃗ )=−y 7IA ⃗⃗⃗⃗ +(x 6−5y 42)IB ⃗⃗⃗⃗ ．因为 IQ ⃗⃗⃗⃗ ∥IP⃗⃗⃗⃗ ，所以 (−y 7):(x 6−5y 42)=52，结合 x +y =6，解得 x =138．所以线段 QC 的长为138．【知识点】平面向量数乘的坐标运算12. 【答案】 1+√2【解析】因为 ∠DEB =∠ABC =45∘，所以 AB ∥DE ，过 D 作 AB ，AC 的垂线 DM ，DN ，则 AN =DM =BM =BD ⋅sin45∘=√2，所以 DN =AM =AB +BM =2+√2，所以 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2+√22AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +√22AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以 λ=2+√22，μ=√22，所以 λ+μ=1+√2．【知识点】平面向量的分解13. 【答案】 ±3【知识点】平面向量数量积的坐标运算14. 【答案】 √【知识点】余弦定理15. 【答案】 [−94,−2]【解析】以 BC 的垂直平分线为 y 轴，以 BC 为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．因为 AB =BC =CD =4，∠ABC =∠BCD =120∘，所以 B (−2,0)，C (2,0)，A(−4,2√3)，D(4,2√3)．因为 E ，F 分别是 AB ，CD 的中点，所以 E(−3,√3)，F(3,√3)．设 P (x,y )，−4≤x ≤4，0≤y ≤2√3，因为 PE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k ，所以 (−3−x,√3−y)(3−x,√3−y)=x 2+(y −√3)+9=k ，即 x 2+(y −√3)=k +9．当 k +9>0 时，点 P 的轨迹为以 (0,√3) 为圆心，以 √k +9 为半径的圆．当圆与直线 DC 相切时，此时圆的半径 r =3√32，此时点有 2 个；当圆经过点 C 时，此时圆的半径为 r =√22+3=√7，此时点 P 有 4 个．因为满足条件 PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k 的点 P 至少有 4 个，结合图象可得，所以274≤k +9≤7，解得 −94≤k ≤−2，故实数 k 的取值范围为 [−94,−2]．【知识点】平面向量数量积的坐标运算16. 【答案】 25(√3−1)【知识点】解三角形的实际应用问题三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) −6． (2) 1．【知识点】平面向量的数乘及其几何意义、平面向量的数量积与垂直18. 【答案】(1) 由题意知 2csinA =√3a ，由正弦定理得 2sinCsinA =√3sinA ，又由 A ∈(0,π)，则 sinA >0，所以 sinC =√32，又因为 a >c ，则 ∠A >∠C ，所以 ∠C =60∘．(2) 由三角形的面积公式，可得 S △ABC =12absinC =12ab ×√32=√3，解得 ab =4，又因为 cosC =a 2+b 2−c 22ab=a 2+b 2−422ab=12，解得 a 2+b 2=20，即 (a +b )2=28，所以 a +b =2√7，所以 △ABC 的周长为 a +b +c =2√7+4．【知识点】余弦定理、正弦定理19. 【答案】(1) 由 bsinA =√3acosB 及正弦定理 a sinA=b sinB，得 sinB =√3cosB ，故有 tanB =sinBcosB =√3．即 B =π3．(2) 由 sinC =2sinA 及正弦定理 a sinA=c sinC，得 c =2a, ⋯⋯①由 b =3 及余弦定理 b 2=a 2+c 2−2accosB ，得 9=a 2+c 2−ac, ⋯⋯② 联立①②，解得 a =√3，c =2√3．【知识点】正弦定理、余弦定理20. 【答案】(1) △ABC 同时满足 ①，②，③．理由如下：若 △ABC 同时满足 ①，④，则在锐角 △ABC 中， sinC =13<12，所以 0<C <π6．又因为 A =π3，所以 π3<A +C <π2．所以 B >π2，这与 △ABC 是锐角三角形矛盾，所以 △ABC 不能同时满足 ①，④，所以 △ABC 同时满足 ②，③．因为 c >a ，所以 C >A 若满足 ④，则 A <C <π6，则 B >π2，这与 △ABC 是锐角三角形矛盾，故 △ABC 不满足 ④，故 △ABC 同时满足 ①，②，③．(2) 因为 a 2=b 2+c 2−2bccosA ，所以 132=b 2+152−2×b ×15×12，解得 b =8 或 b =7．当 b =7 时 cosC =72+132−1522×7×13<0，所以 C 为钝角，与题意不符合，所以 b =8．所以 △ABC 的面积 S =12bcsinA =30√3．【知识点】余弦定理、判断三角形的形状21. 【答案】(1) ① ∣∣∣1001∣∣∣=1；② ∣∣∣1326∣∣∣=1×6−2×3=0；③ ∣∣∣−2510−25∣∣∣=(−2)×(−25)−5×10=0． (2) 若向量 p =(a,b ) 与向量 q =(c,d ) 共线，则当 q ≠0⃗ 时，有 ad −bc =0，即 ∣∣∣a b c d ∣∣∣=0，当 q =0⃗ 时，有 c =d =0，即 ∣∣∣a b c d ∣∣∣=ad −bc =0，所以必要性得证．反之，若 ∣∣∣a b cd ∣∣∣=0，即 ad −bc =0，当 c ，d 不全为 0 时，即 q ≠0⃗ 时，不妨设 c ≠0，则 b =ad c，所以 p =(a,ad c)，因为 q =(c,d )，所以 p =a cq ，所以 p ∥q ，所以向量 p =(a,b ) 与向量 q =(c,d ) 共线，当 c =0 且 d =0 时，q =0⃗ ，所以向量 p =(a,b ) 与向量 q =0⃗ 共线，充分性得证．综上，向量 p =(a,b ) 与向量 q =(c,d ) 共线的充要条件是 ∣∣∣ab cd ∣∣∣=0．(3) 用 b 2 和 b 1 分别乘上面两个方程的两端，然后两个方程相减，消去 y 得 (a 1b 2−a 2b 1)x =c 1b 2−c 2b 1, ⋯⋯① 同理，消去 x 得 (a 1b 2−a 2b 1)y =a 1c 2−a 2c 1, ⋯⋯② 所以，当 a 1b 2−a 2b 1≠0 时，即 ∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣≠0 时，由①②可得 x =c 1b 2−c 2b 1a 1b 2−a 2b 1=∣∣∣c 1b 1c 2b 2∣∣∣∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣，y =a 1c 2−a 2c 1a1b 2−a 2b 1=∣∣∣a 1c 1a 2c 2∣∣∣∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣，所以，当 ∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣≠0 时，方程组 {a 1x +b 1y =c 1,a 2x +b 2y =c 2 有唯一解且 x =∣∣∣c 1b 1c 2b 2∣∣∣∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣，y =∣∣∣a 1c 1a 2c 2∣∣∣∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣．【知识点】平面向量数乘的坐标运算、二阶行列式22. 【答案】(1) g (x )=√3sin (π+x )−sin (3π2−x)=−√3sinx +cosx,所以 g (x ) 的伴随向量 OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1)． (2) 向量 ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3) 的伴随函数为 f (x )=sinx +√3cosx ，因为f (x )=sinx +√3cosx =2sin (x +π3)=85,所以 sin (x +π3)=45，因为 x ∈(−π3,π6)，所以 x +π3∈(0,π2)，所以 cos (x +π3)=35，所以sinx =sin [(x +π3)−π3]=12sin (x +π3)−√32cos (x +π3)=4−3√310. (3) 由（1）知 g (x )=−√3sinx +cosx =−2sin (x −π6)，将函数 g (x ) 的图象的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到函数 y =−2sin (12x −π6)的图象，再把整个图象向右平移 2π3个单位长度得到 ℎ(x ) 的图象，则ℎ(x )=−2sin [12(x −2π3)−π6]=−2sin (12x −π2)=2cos 12x.设 P (x,2cos 12x)，因为 A (−2,3)，B (2,6)，所以 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +2,2cos 12x −3)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,2cos 12x −6)，又因为 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以 (x +2)(x −2)+(2cos 12x −3)(2cos 12x −6)=0，即 x 2−4+4cos 212x −18cos 12x +18=0，所以 (2cos 12x −92)2=254−x 2（*），因为 −2≤2cos 12x ≤2，所以 −132≤2cos 12x −92≤−52，所以254≤(2cos 12x −92)2≤1694．又因为254−x 2≤254，所以当且仅当 x =0，即 (2cos 12x −92)2和254−x 2 同时等于254时，（*）式成立．所以在 y =ℎ(x ) 的图象上存在点 P (0,2)，使得 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、三角函数的图象变换、平面向量数量积的坐标运算。

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高一数学试题库一、选择题1. 根据函数f(x) = x^2 + 3x - 4，求f(2)的值。

a) -3b) -2c) 1d) 82. 已知三角形ABC中，角A的余角的两倍等于角B的补角，且角C为直角。

若AB = 5 cm，BC = 12 cm，则AC的长度为多少？a) 13 cmb) 17 cmc) 19 cmd) 25 cm3. 若a + b = 7，a^2 + b^2 = 25，则a^3 + b^3的值为多少？a) 52b) 180c) 252d) 302二、填空题1. 若a，b均为正整数，且a + b = 10，则a和b的乘积的最大值为___________。

2. 在等差数列-3, 0, 3, 6, ..., 597中，求共有___________项。

3. 若a，b，c满足2a + b + c = 8，a + 3b + 6c = 26，则a + 2b + 3c的值为___________。

三、解答题1. 某商品原价为200元，现在打折促销，打八折出售。

若小明使用100元买下该商品后还找到了零钱，假设找零钱最少，请问找零多少元？2. 若函数f(x) = 3x - 5与g(x) = 2x + k有且只有一个公共解，求k的值。

3. 求方程x^2 - 7x + 12 = 0的两个根之和和两个根的乘积。

四、应用题1. 甲、乙、丙三人共抓了100只鸟，甲抓的鸟数是乙的一半，乙抓的鸟数是丙的一半。

如果甲、乙、丙三人每人抓了多少只鸟？2. 电脑游戏厅有多个游戏机器，其中1/3的游戏机器是街机，其余的都是电玩。

若电玩机器的台数是街机的4倍，求电脑游戏厅共有多少台游戏机器？3. 甲、乙两人合作种植兰花，甲的工作效率是乙的1.5倍，如果两人合作12天后完成了任务，甲独立完成任务需要多少天？以上为高一数学试题库的一部分，希望可以帮助到你的学习和复习。

请根据题目要求进行选择、填空或解答，并核对你的答案。

祝你学业进步！。

高一数学第二章测试题及答案解析

高一数学第二章测试题及答案解析第二章单元测试题一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．若直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是() A．相交B．平行C．异面D．平行或异面2．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()A．3B．4C．5D．63．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l() A．平行B．相交C．垂直D．异面4．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于() A．30°B．45°C．60°D．90°5．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得() A．a?α，b?α B．a?α，b∥α C.a⊥α，b⊥α D．a?α，b⊥α6．下面四个命题：①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面；②若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；③若a∥b，则a，b与c所成的角相等；④若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中真命题的个数为()A．4B．3C．2D．17．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段A1B1，B1C1上的不与端点重合的动点，如果A1E＝B1F，有下面四个结论：①EF⊥AA1；②EF∥AC；③EF与AC异面；④EF∥平面ABCD.其中一定正确的有()A．①②B．②③C．②④D．①④8．设a，b为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是()A．若a，b与α所成的角相等，则a∥b B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a?α，b?β，a∥b，则α∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b9．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A?l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，n∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥βD．AC⊥β10．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么直线AE与D1F所成角的余弦值为()A．－45 B. .35C.34D．－3511．已知三棱锥D－ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝3，BC＝2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的余弦值为() A.33 B.13C．0D．－1212．如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，P A⊥平面ABCD，P A＝AB，则PB与AC所成的角是()A．90°B．60°C．45°D．30°二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)13．下列图形可用符号表示为________．14．正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－AB－C的平面角等于________．15．设平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________. 16．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD －C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角是60°.其中正确结论的序号是________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)如下图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△AB C与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点．求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.18．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．(1)证明：CD⊥平面P AE；(2)若直线PB与平面P AE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积．19．(12分)如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M为BC的中点．(1)证明：AM⊥PM；(2)求二面角P －AM －D 的大小．20．(本小题满分12分)(2010·辽宁文，19)如图，棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，B 1C ⊥A 1B .(1)证明：平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1；(2)设D 是A 1C 1上的点，且A 1B ∥平面B 1CD ，求A 1D DC 1的值．21．(12分)如图，△ABC 中，AC ＝BC ＝22AB ，ABED 是边长为1的正方形，平面ABED ⊥底面ABC ，若G ，F 分别是EC ，BD 的中点．(1)求证：GF∥底面ABC；(2)求证：AC⊥平面EBC；(3)求几何体ADEBC的体积V.22．(12分)如下图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．(1)求证：AC⊥BC1；(2)求证：AC1∥平面CDB1；(3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．详解答案1[答案] D2[答案] C[解析]AB与CC1为异面直线，故棱中不存在同时与两者平行的直线，因此只有两类：第一类与AB平行与CC1相交的有：CD、C1D1与CC1平行且与AB相交的有：BB1、AA1，第二类与两者都相交的只有BC，故共有5条．3[答案] C[解析]1°直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A错；2°l?α时，在α内不存在直线与l异面，∴D错；3°l∥α时，在α内不存在直线与l相交．无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直．4[答案] D[解析]由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD＝90°.5[答案] B[解析]对于选项A，当a与b是异面直线时，A错误；对于选项B，若a，b不相交，则a与b平行或异面，都存在α，使a?α，b ∥α，B正确；对于选项C，a⊥α，b⊥α，一定有a∥b，C错误；对于选项D，a?α，b⊥α，一定有a⊥b，D错误．6[答案] D[解析]异面、相交关系在空间中不能传递，故①②错；根据等角定理，可知③正确；对于④，在平面内，a∥c，而在空间中，a与c 可以平行，可以相交，也可以异面，故④错误．7[答案] D[解析]如图所示．由于AA1⊥平面A1B1C1D1，EF?平面A1B1C1D1，则EF⊥AA1，所以①正确；当E，F分别是线段A1B1，B1C1的中点时，EF∥A1C1，又AC∥A1C1，则EF∥AC，所以③不正确；当E，F分别不是线段A1B1，B1C1的中点时，EF与AC异面，所以②不正确；由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD，EF?平面A1B1C1D1，所以EF∥平面ABCD，所以④正确．8[答案] D[解析] 选项A 中，a ，b 还可能相交或异面，所以A 是假命题；选项B 中，a ，b 还可能相交或异面，所以B 是假命题；选项C 中，α，β还可能相交，所以C 是假命题；选项D 中，由于a ⊥α，α⊥β，则a ∥β或a ?β，则β内存在直线l ∥a ，又b ⊥β，则b ⊥l ，所以a ⊥b .9[答案] C[解析] 如图所示：AB ∥l ∥m ；AC ⊥l ，m ∥l ?AC ⊥m ；AB ∥l ?AB ∥β.10[答案] 35 命题意图] 本试题考查了正方体中异面直线的所成角的求解的运用．[解析] 首先根据已知条件，连接DF ，然后则角DFD 1即为异面直线所成的角，设边长为2，则可以求解得到 5＝DF ＝D 1F ，DD 1＝2，结合余弦定理得到结论． 11[答案] C[解析]取BC中点E，连AE、DE，可证BC⊥AE，BC⊥DE，∴∠AED为二面角A－BC－D的平面角又AE＝ED＝2，AD＝2，∴∠AED＝90°，故选C.12[答案] B[解析]将其还原成正方体ABCD－PQRS，显见PB∥SC，△ACS 为正三角形，∴∠ACS＝60°.13[答案]α∩β＝AB14[答案]45°[解析]如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，由于BC⊥AB，BC1⊥AB，则∠C1BC是二面角C1－AB－C的平面角．又△BCC1是等腰直角三角形，则∠C1BC＝45°.15[答案]9[解析] 如下图所示，连接AC ，BD ，则直线AB ，CD 确定一个平面ACBD . ∵α∥β，∴AC ∥BD ，则AS SB ＝CS SD ，∴86＝12SD ，解得SD ＝9. 16[答案] ①②④[解析] 如图所示，①取BD 中点，E 连接AE ，CE ，则BD ⊥AE ，BD ⊥CE ，而AE ∩CE ＝E ，∴BD ⊥平面AEC ，AC ?平面AEC ，故AC ⊥BD ，故①正确．②设正方形的边长为a ，则AE ＝CE ＝22a . 由①知∠AEC ＝90°是直二面角A －BD －C 的平面角，且∠AEC ＝90°，∴AC ＝a ，∴△ACD 是等边三角形，故②正确．③由题意及①知，AE ⊥平面BCD ，故∠ABE 是AB 与平面BCD 所成的角，而∠ABE ＝45°，所以③不正确．④分别取BC ，AC 的中点为M ，N ，连接ME ，NE ，MN .则MN ∥AB ，且MN ＝12AB ＝12a ，ME ∥CD ，且ME ＝12CD ＝12a ，∴∠EMN 是异面直线AB ，CD 所成的角．在Rt △AEC 中，AE ＝CE ＝22a ，AC ＝a ，∴NE ＝12AC ＝12a .∴△MEN 是正三角形，∴∠EMN ＝60°，故④正确． 17[证明] (1)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∵F 、F 1分别是AC 、A 1C 1的中点，∴B 1F 1∥BF ，AF 1∥C 1F .又∵B 1F 1∩AF 1＝F 1，C 1F ∩BF ＝F ，∴平面AB 1F 1∥平面C 1BF .(2)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，∴B 1F 1⊥AA 1. 又B 1F 1⊥A 1C 1，A 1C 1∩AA 1＝A 1，∴B 1F 1⊥平面ACC 1A 1，而B 1F 1?平面AB 1F 1，∴平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1. 18[解析](1)如图所示，连接AC ，由AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝90°，得AC ＝5.又AD ＝5，E 是CD 的中点，所以CD ⊥AE . ∵P A ⊥平面ABCD ，CD ?平面ABCD ，所以P A ⊥CD .而P A ，AE 是平面P AE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面P AE .(2)过点B 作BG ∥CD ，分别与AE ，AD 相交于F ，G ，连接PF . 由(1)CD ⊥平面P AE 知，BG ⊥平面P AE .于是∠BPF 为直线PB 与平面P AE 所成的角，且BG ⊥AE .由P A ⊥平面ABCD 知，∠PBA 为直线PB 与平面ABCD 所成的角． AB ＝4，AG ＝2，BG ⊥AF ，由题意，知∠PBA ＝∠BPF ，因为sin ∠PBA ＝P A PB ，sin ∠BPF ＝BFPB ，所以P A ＝BF .由∠DAB ＝∠ABC ＝90°知，AD ∥BC ，又BG ∥CD ，所以四边形BCDG 是平行四边形，故GD ＝BC ＝3.于是AG ＝2.在Rt △BAG 中，AB ＝4，AG ＝2，BG ⊥AF ，所以 BG ＝AB 2＋AG 2＝25，BF ＝AB 2BG ＝1625＝855.于是P A ＝BF ＝855.又梯形ABCD 的面积为S ＝12×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P －ABCD 的体积为V ＝13×S ×P A ＝13×16×855＝128515.19[解析] (1)证明：如图所示，取CD 的中点E ，连接PE ，EM ，EA ，∵△PCD为正三角形，∴PE⊥CD，PE＝PD sin∠PDE＝2sin60°＝ 3.∵平面PCD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD，而AM?平面ABCD，∴PE⊥AM.∵四边形ABCD是矩形，∴△ADE，△ECM，△ABM均为直角三角形，由勾股定理可求得EM ＝3，AM＝6，AE＝3，∴EM2＋AM2＝AE2.∴AM⊥EM.又PE∩EM＝E，∴AM⊥平面PEM，∴AM⊥PM.(2)解：由(1)可知EM⊥AM，PM⊥AM，∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角．∴tan∠PME＝PEEM＝33＝1，∴∠PME＝45°.∴二面角P－AM－D的大小为45°. 20[解析](1)因为侧面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1，又已知B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B，所以B1C⊥平面A1BC1，又B1C?平面AB1C所以平面AB1C⊥平面A1BC1 .(2)设BC1交B1C于点E，连接DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线．因为A1B∥平面B1CD，A1B?平面A1BC1，平面A1BC1∩平面B1CD ＝DE，所以A1B∥DE.又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点．即A1D DC1＝1.21[解](1)证明：连接AE，如下图所示．∴AE∩BD＝F，且F是AE的中点，又G 是EC 的中点，∴GF ∥AC ，又AC ?平面ABC ，GF ?平面ABC ，∴GF ∥平面ABC .(2)证明：∵ADEB 为正方形，∴EB ⊥AB ，又∵平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ∩平面ABC ＝AB ，EB ?平面ABED ，∴BE ⊥平面ABC ，∴BE ⊥AC .又∵AC ＝BC ＝22AB ，∴CA 2＋CB 2＝AB 2，∴AC ⊥BC .又∵BC ∩BE ＝B ，∴AC ⊥平面BCE .(3)取AB 的中点H ，连GH ，∵BC ＝AC ＝22AB ＝22，∴CH ⊥AB ，且CH ＝12，又平面ABED ⊥平面ABC∴GH ⊥平面ABCD ，∴V ＝13×1×12＝16.22[解析] (1)证明：在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC ⊥BC .又∵C 1C ⊥AC .∴AC ⊥平面BCC 1B 1. ∵BC 1?平面BCC 1B ，∴AC ⊥BC 1.(2)证明：设CB 1与C 1B 的交点为E ，连接DE ，又四边形BCC 1B 1为正方形．∵D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点，∴DE ∥AC 1. ∵DE ?平面CDB 1，AC 1?平面CDB 1，∴AC 1∥平面CDB 1.(3)解：∵DE ∥AC 1，∴∠CED 为AC 1与B 1C 所成的角．在△CED 中，ED ＝12AC 1＝52，CD ＝12AB ＝52，CE ＝12CB 1＝22，∴cos ∠CED ＝252＝225.∴异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为225.。

部编版2020学年高一数学下学期6月考试试题(含解析)

2019学年高一数学下学期6月考试试题（含解析）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．。

1.化简的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用终边相同的角同名函数相同，可转化为求的余弦值即可.【详解】.故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数中终边相同的角三角函数值相同及特殊角的三角函数值，属于容易题.2.某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为 ( )A. 11B. 12C. 13D. 14【答案】B【解析】试题分析：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．∴从编号1～480的人中，恰好抽取480/20=24人，接着从编号481～720共240人中抽取240/20=12人考点：系统抽样3.计算机执行下面的程序段后，输出的结果是（）PRINT ，A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据程序可知，分别计算了两个数的和与差，和为4且赋值给,差为1，且赋值给.【详解】根据程序可知,,故输出，选A.【点睛】本题主要考查了程序语言中的赋值语句及计算，属于中档题.4.在△ABC中，，则△ABC为（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法判定【答案】C【解析】试题分析：利用余弦的两角和公式整理题设不等式求得cos（A+B）＞0进而判断出cosC＜O，进而断定C为钝角．解：依题意可知cosAcosB﹣sinAsinB=cos（A+B）＞0，﹣cosC＞O，cosC＜O，∴C为钝角故选C5.总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从下面的随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481A. 08B. 07C. 02D. 01【答案】D【解析】【分析】按照要求从随机数表读数，第一个是65，第二个72，依次类推，大于20或者重复的数跳过，直至读出5个符合要求的数即可.【详解】按随机数表读数，5个数分别是08,02,14,07,01，故选D.【点睛】本题主要考查了简单随机抽样中按照随机数表抽样的方法，属于容易题.6.在矩形ABCD中，O为AC中点，若=3, =2, 则等于（）A. (3+2)B. (2－3)C. (3－2)D. (3+2)【答案】C【解析】【分析】因为O为AC中点，所以，再根据矩形中向量相等即可求出. 【详解】因为O为AC中点，所以,又矩形ABCD中， ,所以，故选C.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量的加法及向量的相等，属于中档题.7.设，，且，则锐角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由向量平行可得：，由三角函数值可求出角.【详解】因为，所以，即，因为为锐角，所以，，故选D.【点睛】本题主要考查了向量平行的等价条件，正弦的二倍角公式，属于中档题.8.根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为A. 25B. 30C. 31D. 61【答案】C【解析】因为x=60>50，所以y=25+0.6×(60–50)=31，故选C．9. 执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】执行第一次循环体：此时执行第二次循环体：此时执行第三次循环体：此时，此时不满足，判断条件，输出n=4,故选B.考点：本题主要考查程序框图以及循环结构的判断.视频10.阅读如左下图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】根据框图，S具有周期，其取值为1,1，0,0，周期为4，共2013项，所以第2013项为1. 【详解】根据框图，当，，，，，周期为4，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了框图，涉及循环结构及周期性，属于中档题.11.已知A，B，C，D是函数一个周期内的图象上的四个点，如图所示，，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B 与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则ω，φ的值为( )A. ω＝2，φ＝B. ω＝2，φ＝C. ω＝，φ＝D. ω＝，φ＝【答案】A【解析】【分析】在x轴上的投影为知，又E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，所以B与最高点的横坐标之差为，所以，，又过点，所以，解得.【详解】在x轴上的投影为知，又E为该函数图象的一个对称中心，B与D 关于点E对称，所以B与最高点的横坐标之差为，所以，，又过点，所以，所以解得.故选A.【点睛】本题主要考查了正线型函数的图象，对称中心等性质，属于难题.本题解题的关键在于通过在x轴上的投影得到最低点和D点横坐标的差，进而得到最高点和B点横坐标之差,确定出最高点的横坐标，进而求出函数的周期.12.设向量,,满足||=||=1,,,则||的最大值等于（）A. 1B.C.D. 2【答案】D【解析】【分析】设因为，，，所以四点共圆，所以当为直径时，最大.【详解】设因为，，，所以四点共圆,因为，，所以，由正弦定理知，即过四点的圆的直径为2，所以||的最大值等于直径2，故选D.【点睛】本题主要考查了四点共圆，向量的模，正弦定理，属于难题.解决本题要注意联系向量图形表示，及向量的减法，证明四点共圆是关键.二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上．．．．．．．．．．．．．。

2020届高考数学第六章第二节一元二次不等式及其解法课后练习人教A版 .doc

"【三维设计】高考数学第六章第二节一元二次不等式及其解法课后练习人教A 版 "一、选择题1．(2012·合肥模拟)不等式x －2x ＋1≤0的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(－1,2] B ．(－1,2] C ．(－∞，－1)∪[2，＋∞)D ．[－1,2]解析：∵x －2x ＋1≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2≤0，x ＋1≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2，x ≠－1，∴x ∈(－1,2]．答案：B2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＜0，x 2－3x ＜0的解集为( )A ．{x |－1＜x ＜1}B ．{x |0＜x ＜3}C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |－1＜x ＜3}解析：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＜0，x 2－3x ＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜1，0＜x ＜3⇒0＜x ＜1.答案：C3．(2012·湘潭月考)不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A ．(－∞，0]∪(2,4]B ．[0,2)∪[4，＋∞)C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)解析：(1)当x －2>0，即x >2时⇔(x －2)2≥4，∴x ≥4. (2)当x －2<0，即x <2时⇔(x －2)2≤4，∴0≤x ＜2. 故B 正确．答案：B4．若(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m >1B ．m <－1C ．m <－1311D ．m >1或m <－1311解析：(1)m ＝－1时，不等式为2x －6<0即x <3不合题意．(2)m ≠－1时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，Δ<0.∴m <－1311.答案：C5．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z)，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(0,1)解析：∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4>0，∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点．因此f (－2)f (－1)<0，∴(6a ＋5)(2a ＋3)<0.∴－32<a <－56.又a ∈Z ，∴a ＝－1.不等式f (x )>1即为－x 2－x >0. 解得－1<x <0. 答案：C 二、填空题6．(2012·衡阳模拟)若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值集合是________．解析：由题意知，a ＝0时，满足条件；a ≠0时，由题意知a >0且Δ＝a 2－4a ≤0得0<a ≤4，所以0≤a ≤4.答案：{a |0≤a ≤4}7．若关于x 的不等式x 2＋12x －(12)n ≥0对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立，则实常数λ的取值范围是________．解析：由题意得x 2＋12x ≥(12)n max ＝12，∴x ≥12或x ≤－1.又x ∈(－∞，λ]，∴λ∈(－∞，－1]．答案：(－∞，－1] 三、解答题8．已知f (x )＝2x 2－4x －7，求不等式f x－x 2＋2x －1≥－1的解集．解：原不等式可化为2x 2－4x －7－x 2＋2x －1≥－1，等价于2x 2－4x －7x 2－2x ＋1≤1，即2x 2－4x －7x 2－2x ＋1－1≤0，即x 2－2x －8x 2－2x ＋1≤0. 由于x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0.所以原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －8≤0，x 2－2x ＋1≠0.即⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤4，x ≠1.所以原不等式的解集为{x |－2≤x <1或1<x ≤4}． 9．解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3<0(a ∈R)．解：x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3<0⇔(x －a )(x －a 2)<0. 讨论：(1)当a ＝0或a ＝1时，解集为∅. (2)当0<a <1时，解集为{x |a 2<x <a }． (3)当a <0或a >1时，解集为{x |a <x <a 2}．故a ＝0或a ＝1时，解集为∅； 0<a <1时，解集为{x |a 2<x <a }；a <0或a >1，解集为{x |a <x <a 2}．10．某种商品，现在定价p 元，每月卖出n 件，设定价上涨x 成，每月卖出数量减少y 成，每月售货总金额变成现在的z 倍．(1)用x 和y 表示z ；(2)设x 与y 满足y ＝kx (0<k <1)，利用k 表示当每月售货总金额最大时x 的值； (3)若y ＝23x ，求使每月售货总金额有所增加的x 值的范围．解：(1)按现在的定价上涨x 成时，上涨后的定价为p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 10元，每月卖出数量为n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 10件，每月售货总金额是npz 元，因而npz ＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 10·n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 10，所以z ＝10＋x10－y100.(2)在y ＝kx 的条件下，z ＝10＋x10－kx 100＝－k100x 2＋1－k10x ＋1，对称轴x ＝－1－k 102×⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 100＝51－kk，∵0<k <1，∴51－kk>0.∴当x ＝51－kk时，z 有最大值．(3)当y ＝23x 时，z ＝10＋x ⎝⎛⎭⎪⎫10－23x 100，要使每月售货总金额有所增加，即z >1，应有(10＋x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫10－23x >100，即x (x －5)<0.所以0<x <5. 所以所求x 的范围是(0,5)．。

《高等数学》练习题库及答案,DOC(word版可编辑修改)

A、B、eC、-eD、-e—1 12、下列有跳跃间断点 x=0 的函数为（）
A、xarctan1/xB、arctan1/x C、tan1/xD、cos1/x 13、设 f（x)在点 x0 连续，g(x)在点 x0 不连续，则下列结论成立是（） A、f(x）+g(x）在点 x0 必不连续 B、f(x）×g（x)在点 x0 必不连续须有 C、复合函数 f[g（x）］在点 x0 必不连续 D、在点 x0 必不连续
C、-1/2D、1
48、两椭圆曲线 x2/4+y2=1 及(x—1)2/9+y2/4=1 之间所围的平面图形面积等于（)
A、лB、2лC、4лD、6л
49、曲线 y=x2—2x 与 x 轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是（）
A、лB、6л/15
C、16л/15D、32л/15
50、点（1，0,-1）与（0，-1，1）之间的距离为（）
5．下列命题正确的是（)
A．发散数列必无界 B．两无界数列之和必无界
C．两发散数列之和必发散 D．两收敛数列之和必收敛
6． lim sin(x2 1) （）
x1 x 1
A.1B。0
C。2D.1/2
7．设 lim(1 k )x e 6 则 k=（)
x
x
A。1B.2
C.6D。1/6
8。当 x 1 时,下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（)
7、已知ρ=ψsinψ+cosψ/2,求 dρ/dψ|ψ=л/6=（)
8、已知 f(x)=3/5x+x2/5，求 f`（0）=()
9、设直线 y=x+a 与曲线 y=2arctanx 相切，则 a=（)
《高等数学》练习题库及答案,DOC(word 版可编辑修改) 10、函数 y=x2-2x+3 的极值是 y(1）=（）

人教A版高一必修第二册第六章《6.2.3 向量的数乘运算》练习题 1

6.2.3 向量的数乘运算1、（多选）已知a 、b 为两个非零向量，下列说法中正确的是（） A 、2a 与a 的方向相同，且2a 的模是a 的模的2倍 B 、-2a 与5a 的方向相同，且-2a 的模是5a 的模的52C 、-2a 与2a 是一对相反向量D 、a-b 与-（b-a ）是一对相反向量2、如图，在△ABC 中，BD=2DC ，若AB =a ，=AC b ，则AD =（）A 、32a +31b B 、32a -31bC 、31a +32bD 、31a -32b3、在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，CD =CB CA λ+31，则λ=（）A 、32 B 、31 C 、- 31 D 、-32 4、在△ABC 中，点D 在BC 边上，且4=CD ，AC s AB r CD DB +=,，则3r+s 的值为( ） A 、56 B 、512 C 、58 D 、54 5、若O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足OA OC OB OC OB 2-+=-,则△ABC 的形状为（）A 、等边三角形B 、等腰三角形C 、等腰直角三角形D 、直角三角形6、O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=AC AB OA OP λ,[)+∞∈,0λ,则点P 的轨迹一定通过△ABC 的（）A 、外心B 、内心C 、重心D 、垂心7、若将上题中的条件⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=AC AC AB AB OA OP λ，[)+∞∈,0λ改为()AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的（）8、在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=（）A 、AC AB 4143- B 、AC AB 4341- C 、4143+D 、4341+9、设D 为△ABC 所在平面内一点，3=,则（）A 、3431+-=B 、3431-=C 、3134+=D 、3134-= 10、设D 、E 、F 分别为△ABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，则=+（）A 、ADB 、AD 21C 、BCD 、2111、在三角形ABC 中，向量a =+,b =++83,c =+4,则下列结论一定成立的是（）A 、向量a +c 一定与向量b 平行B 、向量b +c 一定与向量a 平行C 、向量a +b 一定与向量c 平行D 、向量a -b 一定与向量c 平行 12、设P 、Q 为△ABC 内的两点，且AC AB AP 5152+=,AC AB AQ 4132+=,则ABQABP S S ∆∆=( ) A 、31 B 、41C 、53D 、5413、已知在△ABC 所在的平面内有一点P ，满足AB PC PA PA =++,则△PBC 与△ABC 的面积之比为。

高一精选数学习题带答案

高一精选数学习题带答案作为高中阶段学习的重要科目之一，数学不仅仅是一门知识，更是一种思考方式和解决问题的能力。

因此，做好数学学习和练习十分重要。

以下是一些高一精选数学习题，希望能帮助大家更好地掌握和应用数学知识。

一、函数与方程1.设y=a|x-2|+b，当x=1时，y=3，当x=5时，y=-1，求a和b的值。

解：将x=1和x=5代入方程中，得到两个方程：a|1-2|+b=3，a|5-2|+b=-1。

化简可得：a+b=5，3a+b=-1。

解出a=-2，b=7。

2. 已知函数f(x)=x^3+px^2+qx+r，当x=1时，f(x)=1；当x=2时，f(x)=-3，当x=3时，f(x)=4。

求函数f(x)的表达式。

解：将x=1，2，3代入方程中得到三个方程，解得p=-6，q=11，r=-3。

因此，函数f(x)=x^3-6x^2+11x-3。

二、三角函数1. 已知正弦函数f(x)=2sin(x+π/6)，求f(x)图像的对称中心、对称轴和极值点。

解：f(x)的对称中心为x=-π/6，对称轴为x=-π/6，极大值为f(-π/3)=2，极小值为f(5π/6)=-2。

2. 已知余切函数f(x)=(1+tanx)/(1-tanx)，求f(x)的最大值和最小值。

解：将f(x)化简为f(x)=1+cotx，因为cotx的定义域为(0,π)，因此f(x)的最大值为f(0)=1，最小值为f(π/2)=0。

三、解析几何1. 已知平面上三角形三个顶点的坐标分别为A（2，1），B（-1，3），C（4，5），求三角形ABC的周长和面积。

解：使用勾股定理可以求出AB、AC和BC的长度，即AB=√10，AC=√26，BC=√13。

因此，三角形ABC的周长为√10+√26+√13，使用海伦公式可以求出三角形ABC的面积，即S=√14。

2. 求过直线y=2x+1且与两坐标轴的交点分别为A和B的直线方程。

解：直线过点A(-1/2，0)和B(0，1)，因此可列出两个方程进行求解，即y=2x+1和y=(1-x)/2。

2019-2020学年人教版高一数学新教材全套题库含答案详解

人教版高一数学新教材全套题库含答案详解目录专题01 集合及其表示方法专题02 集合的基本关系专题03 集合的基本运算专题04 《集合》单元测试卷专题05 命题与量词专题06 全称量词命题与存在性量词命题的否定专题07 充分条件、必要条件专题08 《常用逻辑用语》单元测试卷专题09 《集合与常用逻辑用语》综合测试卷专题10 等式的性质与方程的解专题11 一元二次方程的解集及其根与系数的关系专题12 方程组的解集专题13 《等式》单元测试卷专题14 不等式及其性质专题15 不等式的解集专题16 一元二次不等式的解法专题17 均值不等式及其应用专题18《不等式》单元测试卷专题19《等式与不等式》综合测试卷专题01 集合及其表示方法一、选择题1．下列给出的对象中，能表示集合的是（）．A ．一切很大的数B ．无限接近零的数C ．聪明的人D ．方程的实数根2．已知集合A={x ∈N|-1＜x ＜4}，则集合A 中的元素个数是（）A ．3B ．4C ．5D ．6 3．用列举法表示集合正确的是（）A. −2,2B. {−2}C. {2}D. {−2,2}4．已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是( )A ．9B ．5C ．3D ．1 5．下列说法正确的是（）A ．我校爱好足球的同学组成一个集合B ．是不大于3的自然数组成的集合 C ．集合和表示同一集合 D ．数1，0，5，，，，组成的集合有7个元素6．集合{x |x ≥2}表示成区间是 A ．（2，+∞） B ．[2，+∞） C ．（–∞，2） D ．（–∞，2]7．集合A ＝{x ∈Z|y ＝，y ∈Z}的元素个数为( )A ．4B ．5C ．10D ．128．不等式的解集用区间可表示为A ．（–∞，）B ．（–∞，]C ．（，+∞）D ．[，+∞）9．下列说法正确的是（）A ．0与{}0的意义相同B ．高一（1）班个子比较高同学可以形成一个集合{}2|40A x x =-=C ．集合(){},|32,A x y x y x N =+=∈是有限集 D ．方程2210x x ++=的解集只有一个元素10．方程组的解集不可以表示为( ) A ．{(x ，y)|} B ．{(x ，y)|}C ．{1,2}D ．{(1,2)} 11．下列选项中，表示同一集合的是A ．A={0，1}，B={（0，1）}B ．A={2，3}，B={3，2}C ．A={x|–1<x≤1，x ∈N}，B={1}D ．A=∅，12．若集合A 具有以下性质：(Ⅰ)0∈A,1∈A ；(Ⅱ)若x ∈A ，y ∈A ，则x －y ∈A ，且x≠0时，∈A. 则称集合A 是“好集”．下列命题正确的个数是( )(1)集合B ＝{－1,0,1}是“好集”；(2)有理数集Q 是“好集”；(3)设集合A 是“好集”，若x ∈A ，y ∈A ，则x ＋y ∈A.A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题13．用区间表示数集{x |2<x ≤4}=____________．14．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________．15．下列所给关系正确的个数是________．①π∈R ；② Q ；③0∈N ＋；④|－4|N ＋. 16．在数集{}0,1,2x -中，实数x 不能取的值是______.三、解答题17．在数轴上表示集合{x |x <－2或x ≥1}，并用区间表示该集合．18．用适当的方法表示下列集合．（1）小于5的自然数构成的集合；（2）直角坐标系内第三象限的点集；（3）偶数集．19．已知，用列举法表示集合．20．已知, ,求实数的值.21．用区间表示下列数集：（1）；（2）；（3）；（4）R；（5）；（6）.22．设数集由实数构成，且满足：若（且），则.（1）若，试证明中还有另外两个元素；（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.答案解析一、选择题1．下列给出的对象中，能表示集合的是（）．A ．一切很大的数B ．无限接近零的数C ．聪明的人D ．方程的实数根【答案】D【解析】选项，，中给出的对象都是不确定的，所以不能表示集合；选项中方程的实数根为或，具有确定性，所以能构成集合．故选．2．已知集合A={x ∈N|-1＜x ＜4}，则集合A 中的元素个数是（）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】B【解析】集合A={x ∈N|-1＜x ＜4}={0，1，2，3}．即集合A 中的元素个数是4．故选：B ．3．用列举法表示集合正确的是（）A. −2,2B. {−2}C. {2}D. {−2,2}【答案】D【解析】由x 2−4=0，解得：x=±2，故A={−2,2}，本题选择D 选项.4．已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是( )A ．9B ．5C ．3D ．1 【答案】B【解析】因为集合A ＝{0,1,2}，所以集合{2,1,0,1,2}B =--,所以集合B 中共有5个元素，故选B. {}2|40A x x =-=5．下列说法正确的是（）A．我校爱好足球的同学组成一个集合B．是不大于3的自然数组成的集合C．集合和表示同一集合D．数1，0，5，，，，组成的集合有7个元素【答案】C【解析】选项A，不满足确定性，故错误选项B，不大于3的自然数组成的集合是，故错误选项C,满足集合的互异性，无序性和确定性，故正确选项D，数1，0，5，，，，组成的集合有5个元素，故错误故选C6．集合{x|x≥2}表示成区间是A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（–∞，2）D．（–∞，2]【答案】B【解析】集合{x|x≥2}表示成区间是[2，+∞），故选B．点睛：(1)用区间表示数集的原则有：①数集是连续的；②左小右大；③区间的一端是开或闭不能弄错；（2）用区间表示数集的方法：区间符号里面的两个数字(或字母)之间用“，”隔开；（3）用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别．7．集合A＝{x∈Z|y＝，y∈Z}的元素个数为()A．4 B．5 C．10 D．12【答案】D【解析】由题意，集合{x∈Z|y=∈Z}中的元素满足x是正整数，且y是整数，由此可得x=﹣15，﹣9，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，0，1，3，9；此时y 的值分别为：﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，﹣6，﹣12，12，6，4，3，3，1，符合条件的x 共有12个，故选：D ．8．不等式的解集用区间可表示为A ．（–∞，）B ．（–∞，]C ．（，+∞）D ．[，+∞）【答案】D【解析】解不等式2x–1≥0，得x ≥，所以其解集用区间可表示为[，+∞）．故选D ． 9．下列说法正确的是（）A ．0与{}0的意义相同B ．高一（1）班个子比较高的同学可以形成一个集合C ．集合(){},|32,A x y x y x N =+=∈是有限集 D ．方程2210x x ++=的解集只有一个元素【答案】D【解析】因为0是元素， {}0是含0的集合，所以其意义不相同；因为“比较高”是一个不确定的概念，所以不能构成集合；当x N ∈时， y N ∈，故集合(){},|32,A x y x y x N =+=∈是无限集；由于方程2210x x ++=可化为方程()210x +=，所以1x =-（只有一个实数根），即方程2210x x ++=的解集只有一个元素，应选答案D 。

高一数学下学期六月考试题文含解析试题

实验中学2021-2021学年高一数学下学期六月考试题文〔含解析〕本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

一、选择题：〔12×5=60分〕1.=〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据诱导公式以及特殊角的三角函数值求解.【详解】==,选B.【点睛】此题考察诱导公式以及特殊角的三角函数值，考察根本求解才能.2.以下结论一定正确的选项是〔〕A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据向量加减法那么以及向量数列积判断正误.【详解】,,, ,所以选B.【点睛】此题考察向量加减法那么以及向量数列积，考察根本化简判断才能.，二进制数化为十进制数为，那么A. 53B. 54C. 58D. 60【答案】C【解析】∵，，，，∴和的最大公约数是7，即．二进制数化为十进制数为，即，那么．应选C．，，那么在方向上的投影为A. B. C. 1 D.【答案】C【解析】【分析】根据在方向上的投影定义求解.【详解】在方向上的投影为，选C.【点睛】此题考察在方向上的投影定义，考察根本求解才能.的值等于 ( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据诱导公式化角，在根据两角和正弦公式求值.【详解】===,选C.【点睛】此题考察诱导公式以及两角和正弦公式，考察根本求解才能.6.某校为理解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法〔按等距的规那么〕抽取40名同学进展检查，将学生从进展编号，现第18组抽取的号码为443，那么第一组用简单随机抽样抽取的号码为〔〕A. 16B. 17C. 18D. 19【答案】C【解析】试题分析：第一组用简单随机抽样抽取的号码为，选C．考点：系统抽样法的局部图象如下图，那么、的值分别是〔〕A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】由图象可知：，∴，又∵，∴，又在函数图象上，∴，∴，，∵，∴，应选．,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法〞的第几个点，用五点法求值时，往往以寻找“五点法〞中的第一个点为打破口，“第一点〞(即图象上升时与轴的交点) 时；“第二点〞(即图象的“峰点〞) 时；“第三点〞(即图象下降时与轴的交点) 时；“第四点〞(即图象的“谷点〞) 时；“第五点〞.，时，的值是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】选B.i=1WHILE i<8i=i+2S=2*i+3i=i–1WENDPRINT SENDA. 17B. 19C. 21D. 23【答案】C【解析】程序在运行过程中各变量的值如下表示：i=1，第一次循环，i=3，S=9，i=2；第二次循环，i=4，S=11，i=3；第三次循环，i=5，S=13，i=4；第四次循环，i=6，S=15，i=5；第五次循环，i=7，S=17，i=6；第六次循环，i=8，S=19，i=7；第七次循环，i=9，S=21，i=8．不满足条件i<8，退出循环．输出的S值为：21．应选C．与的夹角为，，那么A. B. 4 C. D. 2【答案】B【解析】【分析】先根据向量数列积求，再计算向量的模的平方，最后得结果.【详解】因为=-8,所以，选B. 【点睛】此题考察向量数列积以及向量的模，考察根本求解才能.11.那么等于〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】由，可得，∴，，∴，应选．12.如图，在中，，，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，∴，又∵，∴，∴，应选．二、填空题：〔6×5=30分〕13.某校高中生一共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样法抽取一个容量为45的样本，那么从高一、高二、高三各年级抽取人数分别为 . 【答案】15,10,20【解析】900人中抽取一个容量为45的样本，每个人被抽到的概率为，所以高二年级抽取的人数为人，故填10．＝(2,1)，＝(x，－2)，假设，那么=_______.【答案】(-2，-1)【解析】由得：，即，那么，故答案为.的最小正周期为__________，最大值为__________．【答案】 (1). (2).【解析】∵，∴函数的最小正周期为，最大值为，故答案为.16.执行下面的程序，输出的结果是__________．i=1s=0DOS=S*2+1i=i+1LOOP UNTIL i>4PRINT SEND【答案】15【解析】模拟程序的运行，可得i=1，s=0，执行循环体，S=1，i=2，不满足条件i>4，执行循环体，S=3，i=3，不满足条件i>4，执行循环体，S=7，i=4，不满足条件i>4，执行循环体，S=15，i=5，满足条件i>4，退出循环，输出S的值是15．故答案为：15．17.，满足：，，，__________．【答案】【解析】∵，，∴，∴，∴，∴，故答案为．与的夹角为，定义与的“向量积〞：是一个向量，它的模，假设，，那么______________．【答案】2【解析】【分析】根据定义直接计算得结果.【详解】因为，，所以,因此，=2.【点睛】此题考察向量夹角以及新定义，考察根本求解才能.三、解答题：19.，．〔〕求的坐标；〔〕当为何值时，与垂直；〔〕设向量与的夹角为，求的值．【答案】〔1〕；〔2〕；〔3〕.【解析】试题分析：〔〕由，，根据向量坐标运算的法那么可得的坐标；〔2〕由，与垂直，即，从而可求得的值；〔3〕先求得，再根据二倍角的余弦公式可得的值.试题解析：〔〕∵，，∴，∴．〔〕∵，与垂直，∴，解得．〔〕依题意，，∴．．〔〕求函数的单调递增区间．〔〕求在上函数的值域．【答案】〔1〕，．〔2〕【解析】【分析】〔1〕先根据两角差余弦公式展开，再根据配角公式化为根本三角函数，最后根据正弦函数性质求增区间，〔2〕根据正弦函数性质求值域.【详解】〔〕，令，，那么，，∴函数的单调递增区间为，．〔〕∵，∴，∴，即函数的值域为．【点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、构造等特征．21.平面内三个向量：〔1〕假设，务实数的值；〔2〕设，且满足，，求.【答案】〔1〕〔2〕【解析】【分析】〔1〕根据向量平行坐标表示得方程，解得实数的值；〔2〕根据向量垂直坐标表示以及模的定义列方程组解得.【详解】【点睛】向量平行：，向量垂直：，向量加减：，其中，，．〔〕求的解析式．〔〕求的周期和对称轴．〔〕假设关于的方程在上有解，务实数的取值范围．【答案】〔1〕〔2〕，．〔3〕【解析】【分析】〔1〕先根据向量数列积得函数关系式，在根据二倍角公式、两角和余弦公式以及配角公式化为根本三角函数形式，〔2〕根据正弦函数性质求周期和对称轴，〔3〕根据正弦函数性质求在上图象，结合图象确定方程有解时实数的取值范围．【详解】〔〕∵，，∴，∴．〔〕由〔〕知的最小正周期，令，，得，，∴的对称轴为，．〔〕∵，∴，∴，∴，即，假设关于的方程，在上有解，那么，解得．【点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、构造等特征．本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

湖南省高中数学 6.2一元二次不等式及其解法提能训练理新人教A版

【全程复习方略】湖南省2013版高中数学 6.2一元二次不等式及其解法提能训练理新人教A 版(45分钟 100分)一、选择题（每小题6分，共36分）1.已知R 是实数集,M ＝{x|x 2-2x ＞0},N={y|y=x 2+1},则N ∩R M ð=( ) (A)(1,2) (B)[0,2](C)Ø (D)[1,2]2.(2012•长沙模拟)二次函数f(x)的图象如图所示，则不等式f(-x)>0的解集为( )(A)(-1，2)(B)(-2，1)(C)(-2，-1)(D)(1，2)3.(预测题)已知函数()()2x (x 0),f x 2x 1x 0⎧≤⎪=⎨->⎪⎩,若f(x)≥1,则x 的取值范围是( )(A)(-∞,-1] (B)[1,+∞)(C)(-∞,0]∪[1,+∞) (D)(-∞,-1]∪[1,+∞)4.（易错题）如果A={x|ax 2-ax+1＜0}=Ø，则实数a 的取值范围为( )（A ）0＜a ＜4 （B ）0≤a ＜4（C ）0＜a ≤4 （D ）0≤a ≤45.（2012·石家庄模拟）不等式-3＜4x-4x 2≤0的解集为( )（A ）{x|13x 22-＜＜}（B ）{x|13x 01x 22-≤≤≤＜或} （C ）{x|13x 01x 22-≤≤＜或＜} （D ）{x|1≤x ＜32} 6.已知函数f(x)=-x 2+ax+b 2-b+1（a ∈R,b ∈R ）,对任意实数x 都有f(1-x)=f(1+x)成立,若当x ∈[-1,1]时,f(x)＞0恒成立,则b 的取值范围是( )(A)-1＜b ＜0 (B)b ＞2(C)b ＜-1或b ＞2 (D)不能确定二、填空题（每小题6分，共18分） 7.(2012•株洲模拟)若不等式22x 8x 200mx mx 1-+<--对一切x 恒成立，则实数m 的取值范围是_________. 8.某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是_______．9.存在实数x,使得x2-4bx+3b＜0成立,则b的取值范围是_______.三、解答题（每小题15分，共30分）10.解关于x的不等式x2-(a+1)x+a≤0.11.某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家ISP公司可供选择.公司A每小时收费1.5元；公司B 在用户每次上网的第1小时内收费1.7元,第2小时内收费1.6元,以后每小时减少0.1元（若用户一次上网时间超过17小时,按17小时计算）.假设该同学一次上网时间总是小于17小时,那么该同学如何选择ISP公司较省钱？【探究创新】（16分）已知a=(1,x),b=(x2+x,-x),m为实数,求使m(a·b)2-(m+1)a·b+1＜0成立的x的范围.答案解析1.【解析】选D.由M＝{x|x2-2x＞0}={x|x＜0或x＞2},得R Mð={x|0≤x≤2}，而N={y|y≥1},∴N∩R Mð={x|1≤x≤2}.2. 【解析】选B.设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则f(-x)＝ax2-bx+c.∵b b 121a a c c 12 2.a a ⎧⎧-+=-=-⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪-⨯==-⎪⎪⎩⎩设ax 2-bx+c=0的两根为x 1,x 2，则12121212bx x x x 1a cx x 2.x x a⎧+=⎪+=-⎧⎪⇒⎨⎨-⎩⎪=⎪⎩g g ＝经验证选项B 正确.3.【解析】选D ，当x ≤0时，由x 2≥1,得x ≤-1;当x>0时，由2x-1≥1，得x ≥1.综上可知x ∈(-∞,-1]∪[1,+∞).4.【解析】选D.由题意可知ax 2-ax+1＜0的解集为Ø∴①当a=0时，不等式等价于1＜0不成立.此时x ∈Ø，即a=0符合题意.②当a ≠0时，若ax 2-ax+1＜0的解集为Ø则必有2a 0a 00a 4a 0⎧⎧⇔⎨⎨∆≤-≤⎩⎩＞＞得0＜a ≤4，由①②可得a 的取值范围是0≤a ≤4.5.【解析】选C.原不等式可化为：4x-4x 2＞-3①，且4x-4x 2≤0②,解①得：13x 22-＜＜,解②得：x ≤0或x ≥1,①，②取交集得：13x 01x ,22-≤≤＜或＜所以原不等式的解集为{x|12-＜x ≤0或1≤x ＜32}.【变式备选】已知函数()x 2,x 0f x ,x 2,x 0+ ≤⎧=⎨-+ ⎩＞则不等式f(x)≥x 2的解集为( )(A)[-1,1] (B)[-2,2](C)[-2,1] (D)[-1,2]【解析】选A.当x ≤0时,2x 0x 2x ≤⎧⇒⎨+≥⎩-1≤x ≤0, ①当x ＞0时,2x 0x 2x ⎧⇒⎨-+≥⎩＞0＜x ≤1. ②由①②取并集得-1≤x ≤1.6.【解析】选C.由f(1-x)=f(1+x)知f(x)图象关于直线x=1对称, 即a 12=得a=2. 又f(x)开口向下,所以当x ∈[-1,1]时,f(x)为增函数,∴f(x)min =f(-1)=-1-2+b 2-b+1=b 2-b-2,f(x)＞0恒成立,即b 2-b-2＞0恒成立,解得b ＜-1或b ＞2.7. 【解析】∵x 2-8x+20=(x-4)2+4>0,∴只需mx 2-mx-1<0恒成立即可.①当m=0时，-1<0，不等式成立；②当m ≠0时，则需2m 0m 4m 0<⎧⎨∆=+<⎩ 解得-4<m<0,由①②得：-4<m ≤0.答案：(-4,0]8.【解题指南】把一到十月份的销售额相加求和，列出不等式，求解．【解析】七月份：500(1+x%)，八月份：500(1+x%)2．所以一至十月份的销售总额为：3 860+500+2［500(1+x%)+500(1+x%)2］≥7 000，解得1+x%≤-2.2（舍）或1+x%≥1.2,∴x min =20.答案:209.【解题指南】存在x 使不等式成立,即说明不等式解集非空,结合二次函数图象可解.【解析】由题意可知：Δ=(-4b)2-4×3b ＞0,即4b 2-3b ＞0,解得b ＞34或b ＜0. 答案：b ＞34或b ＜0 10.【解题指南】x 2-(a+1)x+a ≤0可化为(x-a)(x-1)≤0,要对a 与1的大小进行分类讨论.【解析】原不等式可化为(x-a)(x-1)≤0.(1)当a ＞1时，1≤x ≤a ，(2)当a=1时，x=1，(3)当a ＜1时，a ≤x ≤1.综上所述，当a ＞1时，不等式的解集为{x|1≤x ≤a}；当a=1时，不等式的解集为{x|x=1}；当a ＜1时，不等式的解集为{x|a ≤x ≤1}.【方法技巧】解答分类讨论问题的方法和步骤：（1）确定讨论对象；（2）确定分类标准，进行合理分类，不重不漏；（3）对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；（4）归纳总结，综合得出结论.【变式备选】已知a ∈R,解关于x 的不等式ax 2-2(a+1)x+4＞0.【解析】原不等式等价于（ax-2）(x-2)＞0，（1）当a=0时,x ＜2;（2）当a ＜0时,(2x a -)(x-2)＜0, 由2a ＜0＜2知,2a＜x ＜2; （3）当a ＞0时,(x-2a )(x-2)＞0,考虑2a -2=2(1a a-）： ①当0＜a ＜1时, 2a ＞2,故x ＜2或x ＞2a； ②当a=1时2a=2,故x ≠2; ③当a ＞1时, 2a ＜2,故x ＜2a或x ＞2. 综上所述：当a ＜0时,该不等式的解集为(2a,2);当a=0时,该不等式的解集为 (-∞,2)；当0＜a ＜1时,该不等式的解集为(-∞,2)∪(2a ,+∞)；当a ≥1时,该不等式的解集为(-∞,2a)∪(2,+∞). 11.【解析】假设一次上网x （x ＜17)小时,则公司A 收取的费用为1.5x 元,公司B 收取的费用为1.7+(1.7-0.1)+(1.7-0.2)+…+［1.7-(x-1)×0.1］=()x 35x 20-元. 由()x 35x 1.5x(0x 17)20-＞＜＜, 整理得x 2-5x ＜0,解得0＜x ＜5,故当0<x<5时，A 公司收费小于B 公司收费，当x=5时,A 、B 两公司收费相等，当5<x<17时，B 公司收费低.所以当一次上网时间在5小时以内时,选择公司A 的费用少；为5小时时，选择公司A 与公司B 费用一样多；超过5小时小于17小时,选择公司B 的费用少.【探究创新】【解题指南】将a 、b 坐标代入不等式转化后解含参数的不等式，需分类讨论.【解析】∵g a b ＝x 2+x-x 2=x,∴m(g a b )2-(m+1) g a b +1＜0⇔mx 2-(m+1)x+1＜0.（1）当m=0时,不等式等价于x ＞1；（2）当m ≠0时,不等式等价于m(x-1m)(x-1)＜0 ①m ＜0时,不等式等价于x ＞1或x ＜1m; ②0＜m ＜1时,不等式等价于1＜x ＜1m ;③m=1时,不等式等价于x∈Ø;④m＞1时,不等式等价于1m＜x＜1.综上所述,原不等式成立的x的范围为：当m＜0时是{x|x＜1m或x＞1};当m=0时是{x|x＞1};当0＜m＜1时是{x|1＜x＜1m};当m=1时是Ø; 当m＞1时是{x|1m＜x＜1}.。

人教A版高一数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》单元练习题卷含答案解析 (44)

高一数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》单元练习题卷8（共22题）一、选择题（共10题）1. 已知 △ABC 三个内角 A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，若 b =2asinB ，则 A 等于 ( ) A ． 30∘ B ． 60∘C ． 60∘ 或 120∘D ． 30∘ 或 150∘2. 已知 △ABC 和点 M 满足 MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ．若存在实数 m 使得 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =mAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 成立，则 m = ( ) A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 53. 已知向量 a =(1,2)，b ⃗ =(−1,1)，c =a −2b ⃗ ，则向量 a 与向量 c 夹角的余弦值是 ( ) A ．√55B ． −√55C ． 15D ． −154. 已知点 C 为线段 AB 上一点，P 为直线 AB 外一点，PC 是 ∠APB 的角平分线，I 为 PC 上一点，满足 BI ⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣)(λ>0)，∣∣PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣−∣∣PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=4，∣∣PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=10，则 BI⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣的值为 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．55. 已知向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3)，则 ∠BAC = ( ) A ． 30∘ B ． 45∘ C ． 60∘ D ． 120∘6. 在 △ABC 中，若 AB =1，BC =2，则角 C 的取值范围是 ( ) A ． 0<C ≤π6B ． 0<C ≤π2C ． π6<C <π2D ． π6<C ≤π27. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 DC 边的中点，且 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则 BE⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A ． b ⃗ −12aB ． b ⃗ +12aC ． a +12b⃗ D ． a −12b⃗8. 定义 d(a ,b ⃗ )=∣a −b ⃗ ∣ 为两个向量 a ，b ⃗ 间的“距离”，若向量 a ，b⃗ 满足：① ∣b ⃗ ∣=1；②a ≠b ⃗ ；③对任意的 t ∈R ，恒有 d(a ,tb ⃗ )≥d(a ,b⃗ )，则 ( ) A ．a ⊥b ⃗ B ．a ⊥(a −b ⃗ ) C ．b ⃗ ⊥(a −b⃗ ) D ．(a +b ⃗ )⊥(a −b⃗ ) 9. 已知向量 a =(2,4)，b ⃗ =(−1,1)，则向量 2a −b⃗ = ( ) A ． (5,7)B ． (5,9)C ． (3,7)D ． (3,9)10. 在 △ABC 中，a =80，b =100，A =30∘，则 B 的解的个数是 ( ) A ．无解B ．两个解C ．一个解D ．不确定二、填空题（共6题）11. 如图，在锐角 △ABC 中，BC =a ，AC =b ，AB =c ，a >b >c ，且 a ，b ，c 是常数，O 是 △ABC 的外心，OD ⊥BC 于 D ，OE ⊥AC 于 E ，OF ⊥AB 于 F ，设 m =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n =OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，l =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 m:n:l = ．12. 已知 △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 C =π3，a =6，1≤b ≤4，则 sinA的取值范围为．13. 已知向量 a =(1,2)，b ⃗ =(2,−2)，c =(1,λ)，若 c ∥(a +2b ⃗ )，则 λ= ．14. 在 △ABC 中，AB =4，BC =√3，B =π6，D 在线段 AB 上，若 △ADC 与 △BDC 的面积之比为 3:1，则 CD = ．15. 已知平面向量 a =(2,−7)，b ⃗ =(−1,2)，c =(1,1)，若 (a +λb ⃗ )∥c ，则实数 λ= ．16. 已知向量 OA⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为 60∘，∣OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=2，∣OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=2√3．OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ．若 λ+√3μ=2，则 ∣OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣ 的最小值是，此时 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的大小为．三、解答题（共6题）17. 已知一条由西向东的河流，河水的流速为 2 千米/时，一艘船在静水中的流速为 2√3 千米/时，发现该船从点 A 出发朝垂直于对岸的方向行驶，求船航行的速度的大小与方向．18. 如图，在 △ABC 中，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =QC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AR ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BQ 与 CR 相交于点 I ，AI 的延长线与边 BC 交于点 P ．(1) 用 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别表示 BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 和 CR⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2) 如果 AI ⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μCR ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求实数 λ 和 μ 的值； (3) 确定点 P 在边 BC 上的位置．19. 设椭圆 x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0) 的左、右焦点分别为 F 1 、 F 2，离心率 e =√22，右准线为 l ，M 、 N 是 l 上的两个动点，F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0．(1) 若 ∣∣F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣∣F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=2√5，求 a 、 b 的值；(2) 证明：当 ∣∣MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 取最小值时，F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线．20. 在 △ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若 msinA =sinB +sinC (m ∈R )．(1) 当 m =3 时，求 cosA 的最小值； (2) 当 A =π3 时，求 m 的取值范围．21. 锐角 △ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 sin2C +√3cos (A +B )=0，a =4，c =√13．(1) 求 △ABC 的面积； (2) 求 cos (2A +C ) 的值．22.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ctanC=√3(acosB+bcosA)．(1) 求角C；(2) 若c=2√3，求△ABC面积的最大值．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】因为 b =2asinB ，所以 sinB =2sinAsinB ，即 sinA =12，则 A =30∘ 或 A =150∘．【知识点】正弦定理2. 【答案】B【解析】由 MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 知，点 M 为 △ABC 的重心，设点 D 为底边 BC 的中点，则 MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，所以有 AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故 m =3．【知识点】平面向量的数乘及其几何意义3. 【答案】A【知识点】平面向量数量积的坐标运算4. 【答案】B【解析】因为 BI ⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AI ⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AC ⃗⃗⃗⃗⃗∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+AP ⃗⃗⃗⃗⃗∣∣AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣)(λ>0)，所以 I 在 ∠PAB 的角平分线上，又 I 在 ∠APB 的角平分线上，所以 I 为 △PAB 的内心．因为 ∣∣PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=10，所以 ∣AB ∣=10．BI ⃗⃗⃗⃗ ⋅BA⃗⃗⃗⃗⃗∣∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣表示 BI ⃗⃗⃗⃗ 在 BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影，过 I 作 IK 垂直 BA 于 K ，则由圆的切线性质和已知可得 ∣AK ∣+∣BK ∣=∣AB ∣=10，∣AK ∣−∣BK ∣=4，所以 ∣BK ∣=3，故BI⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 的值为 3 .【知识点】平面向量的分解、平面向量的数量积与垂直、平面向量的加减法及其几何意义5. 【答案】C【解析】方法一：因为 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3)，所以 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=2，∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=2，BC⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0)，所以 ∣∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=2，所以 △ABC 为等边三角形，所以 ∠BAC =60∘．方法二：因为 AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3)，所以 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=2，∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=2，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1×(−1)+√3×√3=2，所以 cos∠BAC =AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅∣∣AC⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=12，因为 0∘≤∠BAC ≤180∘，所以 ∠BAC =60∘．【知识点】平面向量数量积的坐标运算6. 【答案】A【解析】根据题意，由正弦定理得 1sinC=2sinA，则 sinC =12sinA ，因为 A ，C 为三角形的内角，所以 0<sinA ≤1，所以 0<sinC ≤12，又因为 AB <BC ，且三角形中大边对大角，所以 C <A ，所以 C 是锐角，所以 0<C ≤π6．【知识点】正弦定理7. 【答案】A【知识点】平面向量的分解8. 【答案】C【解析】如图：因为 ∣b⃗ ∣=1，所以 b⃗ 的终点在单位圆上，用 OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示 b ⃗ ，用 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示 a ，用 BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示 a −b ⃗ ，设 OC⃗⃗⃗⃗⃗ =tb ⃗ ，所以 d(a ,tb ⃗ )=∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣，d(a ,b ⃗ )=∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣，由 d(a ,tb ⃗ )≥d(a ,b ⃗ ) 恒成立，得 ∣AC⃗⃗⃗⃗⃗ ∣≥∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣ 恒成立，所以 BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，b ⃗ ⊥(a −b⃗ )．【知识点】平面向量的数量积与垂直、平面向量的加减法及其几何意义9. 【答案】A【知识点】平面向量数乘的坐标运算10. 【答案】B【知识点】正弦定理二、填空题（共6题） 11. 【答案】 1:1:1【解析】如图，连接 OA ，OB ，OC ，设 ∠BAC =∠1，∠ABC =∠2，∠ACB =∠3，可得 ∠DOC =∠DOB =∠1，∠AOE =∠COE =∠2，∠BOF =∠AOF =∠3，所以m =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =∣∣OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅∣∣OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣cos∠DOE =(Rcos∠DOC )⋅(Rcos∠COE )cos (π−∠C )=−Rcos∠1cos∠2cos∠3.同理可得 n =OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OF⃗⃗⃗⃗⃗ =−Rcos∠1cos∠2cos∠3，l =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−Rcos∠1cos∠2cos∠3，所以 m:n:l =1:1:1．【知识点】平面向量的数量积与垂直12. 【答案】 [3√9331,1]【解析】因为 C =π3，a =6，1≤b ≤4，所以由余弦定理得 c 2=a 2+b 2−ab =36+b 2−6b =(b −3)2+27，所以 c 2=(b −3)2+27∈[27,31]，所以 c ∈[3√3,√31]，所以由正弦定理 asinA =csinC ，可得 sinA =asinC c=6×√32c=3√3c∈[3√9331,1]．【知识点】余弦定理、正弦定理13. 【答案】 −25【解析】因为 a =(1,2)，b⃗ =(2,−2)，所以 a +2b ⃗ =(5,−2)，又 c =(1,λ)，c ∥(a +2b ⃗ )，所以 1×(−2)=5λ，解得 λ=−25．【知识点】平面向量数乘的坐标运算14. 【答案】 1【知识点】余弦定理、正弦定理15. 【答案】 3【解析】由已知得 a +λb ⃗ =(2−λ,−7+2λ)，又 (a +λb ⃗ )∥c ，所以 (2−λ)−(−7+2λ)=0，解得 λ=3．【知识点】平面向量数乘的坐标运算16. 【答案】 2√3 ； 30°【解析】向量 OA⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为 60∘，∣OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=2，∣OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=2√3，即有 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =∣OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣⋅∣OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣⋅cos60∘=2×2√3×12=2√3，若 λ+√3μ=2，可得 λ=2−√3μ，则 ∣OP⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=∣λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣ =√λ2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+μ2OB⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2λμOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =√4λ2+12μ2+4√3λμ =√4(λ+√3μ)2−4√3λμ =√16−4√3(2−√3μ)μ =√12(μ−√33)2+12 ≥2√3, 当 μ=√33，λ=1 时，∣OP⃗⃗⃗⃗⃗ ∣ 的最小值为 2√3．由 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +√33OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+√33OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4+√33⋅2√3=6，则 cos⟨OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣OP⃗⃗⃗⃗⃗ ∣⋅∣OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=2√3⋅2=√32，由 0∘≤⟨OP⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩≤180∘，可得 ⟨OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=30∘．【知识点】平面向量的数量积与垂直三、解答题（共6题）17. 【答案】大小 4 千米/时，方向北偏东 30∘．【知识点】平面向量的实际应用问题18. 【答案】(1) 由 AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得 BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；又 AR⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以 CR ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AR ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ． (2) 将 BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CR ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 代入 AI ⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μCR ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则有 AB⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μ(−AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ), 即 (1−λ)AB⃗⃗⃗⃗⃗ +12λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13μAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−μ)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以 {1−λ=13μ,12λ=1−μ, 解得 {λ=45,μ=35.(3) 设 BP⃗⃗⃗⃗⃗ =mBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =nAI ⃗⃗⃗⃗ ．由（2）知 AI⃗⃗⃗⃗ =15AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以 BP⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ =nAI ⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =n (15AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2n 5AC⃗⃗⃗⃗⃗ +(n 5−1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =mBC⃗⃗⃗⃗⃗ =mAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −mAB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以 {−m =n5−1,m =2n 5,解得{m =23,n =53.所以 BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即 BPPC =2．【知识点】平面向量的分解、平面向量的数乘及其几何意义19. 【答案】(1) 由已知，F 1(−c,0)，F 2(c,0)．由 e =√22，得a 2=2c 2.结合 a 2=b 2+c 2，解得b 2=c 2,a 2=2b 2.所以右准线方程为x =2c,因此可设 M (2c,y 1)，N (2c,y 2)．延长 NF 2 交 MF 1 于 P ，记右准线 l 交 x 轴于 Q ．因为 F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以F 1M ⊥F 2N,结合 ∣F 1M ∣=∣F 2N ∣ 及平面几何的知识得Rt △MQF 1≌Rt △F 2QN,从而∣QN∣∣=∣F 1Q∣∣=3c,∣QM∣∣=∣F 2Q∣∣=c,即∣y 1∣=c,∣y 2∣=3c.由 ∣∣F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣∣F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=2√5, 得9c 2+c 2=20,解得c 2=2,故a =2,b =√2.(2) 因为F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3c,y 1)⋅(c,y 2)=0,所以y 1y 2=−3c 2<0,从而∣∣MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣2=∣y 1−y 2∣2=y 12+y 22−2y 1y 2≥−2y 1y 2−2y 1y 2=−4y 1y 2=12c 2.当且仅当 y 1=−y 2=√3c 或 y 2=−y 1=√3c 时，∣∣MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 取最小值 2√3c ，此时F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3c,±√3c)+(c,∓√3c)=(4c,0)=2F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .所以 F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线．另解：因为 F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以y 1y 2=−3c 2.设 MF 1 、 NF 2 的斜率分别为 k 、−1k ．由 {y =k (x +c ),x =2c, 解得y 1=3kc,由 {y =−1k (x −c ),x =2c, 解得y 2=−c k ,于是∣∣MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣y 1−y 2∣=c ⋅∣∣3k +1k ∣∣≥2√3c.当且仅当 3k =1k ，即 k =±√33 时，∣∣MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 最小．此时F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2N⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3c,3kc )+(c,−ck )=(3c,±√3c)+(c,∓√3c)=(4c,0)=2F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .因此 F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线．【知识点】平面向量的数量积与垂直、椭圆和双曲线的第二定义、平面向量的坐标运算、椭圆的基本量与方程20. 【答案】(1) 因为在 △ABC 中 msinA =sinB +sinC ，当 m =3 时，3sinA =sinB +sinC ，由正弦定理可得 3a =b +c ，再由余弦定理可得cosA =b 2+c 2−a 22bc=b 2+c 2−19(b+c )22bc=89(b 2+c 2)−29bc 2bc≥89⋅2bc−29bc 2bc=79.当且仅当b=c时取等号，故cosA的最小值为79．(2) 当A=π3时，可得√32m=sinB+sinC，故m=2√33sinB+2√33sinC=2√33sinB+2√33sin(2π3−B)=2√33sinB+2√33(√32cosB+12sinB)=2√33sinB+cosB+√33sinB=√3sinB+cosB =2sin(B+π6).因为B∈(0,2π3)，所以B+π6∈(π6,56π)，所以sin(B+π6)∈(12,1]，所以2sin(B+π6)∈(1,2]，所以m的取值范围为(1,2]．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、余弦定理、正弦定理21. 【答案】(1) 锐角△ABC中，sin2C+√3cos(A+B)=0，所以sin2C−√3cosC=0，2sinCcosC=√3cosC，因为C∈(0,π2)，所以cosC≠0，所以sinC=√32，所以C=π3，又因为a=4，c=√13，所以根据余弦定理得，c2=42+b2−2×4bcosπ3=13，b2−4b+3=0，解得b=3或b=1，验证b=1时，b2+c2<a2，A是钝角，不合题意，所以b=3，△ABC的面积S=12absinC=12×4×3×√32=3√3．(2) asinA =csinC，所以sinA=asinCc =4×√32√13=2√3913，所以cosA=√1−sin2A=√1313，所以sin2A=2sinAcosA=2×2√3913×√1313=4√313，cos2A=2cos2A−1=2×(√1313)2−1=−1113；所以cos(2A+C)=cos2AcosC−sin2AsinC=−1113×12−4√313×√32=−2326.【知识点】余弦定理、正弦定理、两角和与差的余弦、二倍角公式22. 【答案】(1) 因为ctanC=√3(acosB+bcosA)，由正弦定理得sinCtanC=√3(sinAcosB+sinBcosA)，所以sinCtanC=√3sin(A+B)=√3sinC，因为0<C<π，所以sinC≠0，所以tanC=√3，所以C=60∘．(2) 由余弦定理c2=a2+b2−2abcosC得，12=a2+b2−2abcos60∘=a2+b2−ab≥ab，所以ab≤12，所以S△ABC=12absinC≤3√3．当且仅当a=b=2√3时，△ABC面积取最大值3√3．【知识点】余弦定理、正弦定理。

人教A版高一数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》章末练习题卷含答案解析 (14)

高一数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》单元练习题卷2（共22题）一、选择题（共10题）1. 用三角形法则作两向量的和向量和差向量时，对两向量位置关系的要求是 A ．都要“共起点”B ．加法要“首尾相接”，减法要“共起点”C ．都要“首尾相接”D ．加法要“共起点”，减法要“首尾相接”2. 设 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为 ( ) A ． a +b ⃗ B ． a −b⃗ C ． b ⃗ −a D ． −a −b⃗ 3. 设 m ⃗⃗ 是非零向量，μ 是非零实数，下列结论中正确的是 ( )A ． m ⃗⃗ 与 μm ⃗⃗ 的方向相反B ． m ⃗⃗ 与 μ2m ⃗⃗ 的方向相同C ． ∣−μm ⃗⃗ ∣≥∣m ⃗⃗ ∣D ． ∣−μm ⃗⃗ ∣≥∣μ∣m ⃗⃗4. 已知 △ABC 中，a ，b ，c 分别为角 A ，B ，C 所对的边，且 a =4，b +c =5．tanA +tanB +√3=√3tanA ⋅tanB ,则 △ABC 的面积为 ( ) A ．√32B ． 3√3C ．3√32D ． √35. 如图所示，两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站南偏西 40∘，灯塔 B 在观察站南偏东 60∘，则灯塔 A 在灯塔 B 的 ( )A ．北偏东 10∘B ．北偏西 10∘C ．南偏东 80∘D ．南偏西 80∘6. 若向量 a 与 b ⃗ 不相等，则 a 与 b ⃗ ( )A ．不共线B ．长度不相等C ．不可能都是单位向量D ．不可能都是零向量7. 若向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,−12)，则与其平行的单位向量为 ( ) A ． (513,−1213) B ． (−513,1213) C ． ±(513,−1213) D ． ±(513,1213)8. 已知向量 a =(2,1)，b ⃗ =(m,−1)，且 a ⊥(a −b ⃗ )，则实数 m = ( ) A ． 3 B ． 1 C ． 4 D ． 29. 在 Rt △ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5，点 M 是 △ABC 外接圆上任意一点，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 ( ) A ． 6 B ． 8 C ． 10 D ． 1210. 已知向量 a =(1,2)，b ⃗ =(2,x )，a +b ⃗ 与 b ⃗ 平行，则实数 x 的值为 ( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4二、填空题（共6题）11. 已知向量 a =(1,1)，b ⃗ =(m,2)，且 a ⋅b ⃗ =1，则 m 的值为，a 与 b⃗ 夹角的余弦值等于．12. 平面向量基本定理：如果 e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的向量a ，实数 λ1，λ2，使 a =λ1e 1⃗⃗⃗ +λ2e 2⃗⃗⃗ ．13. 思考辨析判断正误平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一个基底．( )14. 在 △ABC 中，AB =4，AC =3，∠A =60∘，则 △ABC 的面积为．15. 的两个向量互为负向量，它们的和为．16. 已知向量 a =(3,4)，b ⃗ =(x,−3)，c =(0,1)，若 (a +b ⃗ )⋅(b ⃗ −c )=0，则 x = ．三、解答题（共6题）17. △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 asinA+C 2=bsinA ．(1) 求 B ；(2) 若 △ABC 为锐角三角形，且 a =2，求 △ABC 面积的取值范围．18. 如图所示，某船在海上由西向东航行，测得某岛 M 在 A 处的北偏东 α 角方向，前进 4 km 后，测得该岛在 B 处的北偏东 β 角方向，已知该岛周围 3.5 km 范围内有暗礁，现该船继续向东航行．(1) 若 α=2β=60∘，则该船有无触礁危险？如果没有，请说明理由；如果有，那么该船自 B处向东航行多少距离会有触礁危险？(2) 当 α 与 β 满足什么条件时，该船没有触礁危险？19. 在 △ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ．已知 a =2√2，b =5，c =√13．(1) 求角 C 的大小； (2) 求 sinA 的值； (3) 求 sin (2A +π4) 的值．20. 类似于平面直角坐标系，我们可以定义平面斜坐标系：设数轴 x ，y 的交点为 O ，与 x ，y 轴正方向同向的单位向量分别是 i ，j ，且 i 与 j 的夹角为 θ，其中 θ∈(0,π2)∪(π2,π)．由平面向量基本定理，对于平面内的向量 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，存在唯一有序实数对 (x,y )，使得 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =xi +yj ，把 (x,y ) 叫做点 P 在斜坐标系 xOy 中的坐标，也叫做向量 OP⃗⃗⃗⃗⃗ 在斜坐标系 xOy 中的坐标．在平面斜坐标系内，直线的方向向量、法向量、点方向式方程、一般式方程等概念与平面直角坐标系内相应概念以相同方式定义，如 θ=45∘ 时，方程 x−24=y−1−5表示斜坐标系内一条过点 (2,1)，且方向向量为 (4,−5) 的直线．(1) 若 θ=arccos (−13)，a =(2,1)，b ⃗ =(m,6)，且 a 与 b⃗ 的夹角为锐角，求实数 m 的取值范围；(2) 若 θ=60∘，已知点 A (2,1) 和直线 l:3x −y +2=0．①求 l 一个法向量； ②求点 A 到直线 l 的距离．21. 如图所示，P,Q 是 △ABC 的边 BC 上的两点，且 BP⃗⃗⃗⃗⃗ =QC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．求证：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ．AB．22.在△ABC中，∠C=90∘，D是AB的中点，用向量法证明CD=12答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【解析】作向量的和向量时，要使两向量首尾相接，其和向量为由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量．作差向量时需要两向量共起点，其差向量是由减向量的终点指向被减向量的终点的向量．【知识点】平面向量的加减法及其几何意义2. 【答案】C【解析】因为 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，所以 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −a ．【知识点】平面向量的加减法及其几何意义3. 【答案】B【解析】当 μ>0 时，m ⃗⃗ 与 μm ⃗⃗ 的方向相同，当 μ<0 时，m ⃗⃗ 与 μm ⃗⃗ 的方向相反，A 错误；由于 μ2>0，故 m ⃗⃗ 与 μ2m ⃗⃗ 的方向相同，B 正确；∣−μm ⃗⃗ ∣=∣−μ∣∣m ⃗⃗ ∣，由于 ∣−μ∣ 与 1 的大小关系不确定，故 ∣−μm ⃗⃗ ∣ 与 ∣m ⃗⃗ ∣ 的大小关系不确定，C 错误；∣μ∣m ⃗⃗ 是向量，而 ∣−μm ⃗⃗ ∣ 表示长度，两者不能比较大小，D 错误．【知识点】平面向量的数乘及其几何意义4. 【答案】C【解析】因为 tanA +tanB +√3=√3tanA ⋅tanB ，所以 tanA +tanB =−√3(1−tanA ⋅tanB )，即 tan (A +B )=tanA+tanB1−tanA⋅tanB =−√3，所以 A +B =2π3，C =π3，又因为 a =4，b +c =5．所以 (5−b )2=42+b 2−2×4b ×12．解得 b =32，则 △ABC 的面积为 S =12×4×32×√32=3√32．【知识点】余弦定理5. 【答案】D【解析】由条件及图可知，∠A =∠ABC =40∘，又 ∠BCD =60∘，所以 ∠CBD =30∘，所以 ∠DBA =10∘，因此灯塔 A 在灯塔 B 南偏西 80∘．【知识点】解三角形的实际应用问题6. 【答案】D【知识点】平面向量的概念与表示7. 【答案】C【知识点】平面向量数乘的坐标运算8. 【答案】A【解析】因为向量 a =(2,1)，b⃗ =(m,−1)，所以 a −b ⃗ =(2−m,2)，因为 a ⊥(a −b⃗ )，所以 a ⋅(a −b ⃗ )=2(2−m )+2=0，解得实数 m =3．【知识点】平面向量的数量积与垂直9. 【答案】D【解析】由题意，设 △ABC 的外心即 BC 的中点为 O ，则 AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以 AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，而 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅∣∣AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣cos∠BAO =∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅∣∣AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣sin∠ACB =3×52×35=92，当 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向时，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取最大值，(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )max =3×52=152，所以 (AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )max =92+152=12．【知识点】平面向量的数量积与垂直10. 【答案】D【解析】由题意得 a +b⃗ =(3,2+x )，因为 (a +b ⃗ )∥b ⃗ ，所以 3x =2(2+x )，解得 x =4，故选D ．【知识点】平面向量数乘的坐标运算二、填空题（共6题） 11. 【答案】−1；√1010【知识点】平面向量数量积的坐标运算12. 【答案】不共线；任一；有且只有一对【知识点】平面向量的分解13. 【答案】 ×【解析】只有不共线的两个向量才可以作为基底．【知识点】平面向量的分解14. 【答案】 3√3【解析】 △ABC 的面积 S =12×4×3×sin60∘=3√3．【知识点】三角形的面积公式15. 【答案】大小相等，方向相反； 0⃗【知识点】平面向量的概念与表示16. 【答案】 1 或 −4【解析】 a +b ⃗ =(3+x,1)，b ⃗ −c =(x,−4)，则 (a +b ⃗ )⋅(b ⃗ −c )=(3+x )x +1×(−4)=x 2+3x −4=0，解得 x =1 或 x =−4．【知识点】平面向量的数量积与垂直三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) asinA+C 2=bsinA ，由正弦定理 sinAsinA+C 2=sinBsinA ．因为 A ，B ，C 是 △ABC 的内角，sinA ≠0，所以 sin A+C 2=sinB =sin (π−B )=sin (A +C )，所以 sinA+C 2=2sinA+C 2cosA+C 2，因为 0<A +C <π，所以 0<A+C 2<π2．所以 sinA+C 2≠0，cosA+C 2=12，A+C 2=π3，所以 A +C =2π3，B =π−(A +C )=π−2π3=π3(2) 由正弦定理得 asinA =bsinB =csinC =2sinA ，所以 c =2sinC sinA，由三角形内角和知 A +C =120∘，所以 C =120∘−A ，所以 c =2sin (120∘−A )sinA=√3tanA+1，又 △ABC 为锐角三角形，所以 120∘−A <90∘ 且 A <90∘，即 30∘<A <90∘，又 S △ABC =12acsinB =12ac ×√32=√32c =√32×(√3tanA +1)，30∘<A <90∘，因为 30∘<A <90∘，所以 tanA >√33，得√3tanA<3，即 1<√3tanA +1<4，所以 S △ABC =√32×(√3tanA +1)∈(√32,2√3)．【知识点】正弦定理18. 【答案】(1) 如图，作 MC ⊥AB ，垂足为 C ，因为 α=60∘，β=30∘，所以 ∠ABM =120∘，∠AMB =30∘，所以 BM =AB =4 km ，∠MBC =60∘，所以 MC =BM ⋅sin60∘=2√3 km <3.5 km ，所以该船有触礁的危险．设该船自 B 处向东航行至点 D 处有触礁危险，连接 MD ，则 MD =3.5 km ，BM =4 km ，BC =2 km ，在 △MDC 中，CD =√(3.5)2−(2√3)2=0.5（km ），所以 BD =1.5 km ．所以该船自 B 向东航行 1.5 km 会有触礁危险． (2) 设 CM =x km ，在 △MAB 中，AB sin∠AMB=BMsin∠MAB，即 4sin (α−β)=BMcosα，则 BM =4cosαsin (α−β)（km ），而 x =BM ⋅sin∠MBC =BM ⋅cosβ=4cosαcosβsin (α−β)，所以当 x >3.5，即cosαcosβsin (α−β)>78 时，该船没有触礁危险．【知识点】解三角形的实际应用问题19. 【答案】(1) 在 △ABC 中，由余弦定理及 a =2√2，b =5，c =√13，得 cosC =a 2+b 2−c 22ab=√22．又因为 C ∈(0,π)，所以 C =π4．(2) 在 △ABC 中，由正弦定理及 C =π4，a =2√2，c =√13，可得 sinA =asinC c=2√1313． (3) 由 a <c 及 sinA =2√1313，可得 cosA =√1−sin 2A =3√1313，进而 sin2A =2sinAcosA =1213， cos2A =2cos 2A −1=513．所以sin (2A +π4)=sin2Acos π4+cos2Asin π4=1213×√22+513×√22=17√226.【知识点】正弦定理、余弦定理、二倍角公式20. 【答案】(1) 由已知 a =2i +j ，b ⃗ =mi +6j ，且 a ⋅b ⃗ =2m +6+(12+m )(i ⋅j )=53m +2>0，得 m >−65；若 a 和 b ⃗ 同向，则存在正数 t ，使得 t (2i +j )=mi +6j ，由 i 和 j 不平行得，{2t =mt =6 得 m =12．故所求为 m >−65，m ≠12．(2) ①方程可变形为x−01=y−23，方向向量为 d=(1,3)，设法向量为 n ⃗ =(a,b )，由 n ⃗ ⋅d=0 得 a +3b +12(3a +b )=52a +72b =0，令 a =−7，b =−5，n ⃗ =(−7,5)；②取直线 l 上一点 B (0,2)，则 BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1)，所求为 ∣∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ∣∣∣n ⃗ ∣=∣√(−7i +5j )2=7√3926．【知识点】直线的点法向式方程（沪教版）、平面向量数量积的坐标运算21. 【答案】因为 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又 PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +QC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，所以 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗【知识点】平面向量的加减法及其几何意义22. 【答案】如图，设 CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，则 a 与 b ⃗ 的夹角为 90∘，故 a ⋅b⃗ =0，因为 CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a +b ⃗ )，所以∣∣CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=12∣∣a +b ⃗ ∣∣=12√(a +b ⃗ )2=12√∣a ∣2+2a ⋅b ⃗ +∣∣b ⃗ ∣∣2=12√∣a ∣2+∣∣b ⃗ ∣∣2,因为 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −a ，所以∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣∣b ⃗ −a ∣∣=√(b ⃗ −a )2=√∣∣b ⃗ ∣∣2−2a⋅b ⃗ +∣a ∣2=√∣a ∣2+∣∣b ⃗ ∣∣2,所以 ∣∣CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=12∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣，所以 CD =12AB ．【知识点】平面向量的数量积与垂直。

人教A版高一数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》章末练习题卷含答案解析 (49)

高一数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》单元练习题卷10（共22题）一、选择题（共10题）1. 已知 △ABC 中，tanA +tanB +√3=√3tanAtanB 且 sinBcosB =√34，则 △ABC 是 ( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．正三角形或直角三角形D ．直角三角形或等腰三角形2. 设 D 为 △ABC 所在平面内一点 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 ( ) A ． AD⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B ． AD⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C ． AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D ． AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗3. 已知 A ={与a 共线的向量}，B ={与a 长度相等的向量}，C ={与a 长度相等,方向相反的向量}，其中 a 为非零向量，则下列关系中错误的是 ( ) A ． C ⫋A B ． A ∩B ={a }C ． C ⫋BD ． A ∩B ⫌{a }4. 边长为 5，7，8 的三角形的最大角与最小角的和是 ( ) A ． 75∘ B ． 90∘ C ． 135∘ D ． 120∘5. 设向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,3)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−4)，则 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ) A ． (1,1) B ． (−1,−1) C ． (3,−7)D ． (−3,7)6. 若 ∣∣OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=8，∣∣OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=5，则 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 的取值范围是 ( ) A ． [3,8] B ． (3,8) C ． [3,13] D ． (3,13)7. 设非零向量 a =(x 1,y 1)，b ⃗ =(x 2,y 2)，则下列条件中：“a 与 b ⃗ 平行”的充要条件的个数有 ( )①存在一个非零实数 λ，使 a =λb ⃗ 或 b ⃗ =λa ； ② ∣∣a ⋅b ⃗ ∣∣=∣a ∣⋅∣∣b ⃗ ∣∣； ③ x 1x 2=y1y 2；④ (a +b ⃗ )∥(a −b⃗ )．A ． 1B ． 2C ． 3D ． 48. 已知平面向量 a =(1,x )，b ⃗ =(y,1)，若 a ∥b ⃗ ，则实数 x ，y 一定满足 ( ) A ．xy −1=0 B ．xy +1=0 C ．x −y =0 D ．x +y =09. 下列向量中，与向量 c =(2,3) 不共线的一个向量 p 等于 ( ) A ． (5,4)B ． (1,32)C ． (23,1)D ． (13,12)10. 设单位向量 e 1⃗⃗⃗ 与 e 2⃗⃗⃗ 既不平行也不垂直，对非零向量 a =x 1e 1⃗⃗⃗ +y 1e 2⃗⃗⃗ ，b ⃗ =x 2e 1⃗⃗⃗ +y 2e 2⃗⃗⃗ ，有结论：①若 x 1y 2−x 2y 1=0，则 a ∥b ⃗ ；②若 x 1x 2+y 1y 2=0，则 a ⊥b ⃗ ；关于以上两个结论，正确的判断是 ( ) A ．①成立，②不成立 B ．①不成立，②成立 C ．①成立，②成立D ．①不成立，②不成立二、填空题（共6题） 11. 判断正误．正弦定理对任意的三角形都成立．12. 如图所示，已知正方形 ABCD 的边长为 2，O 为其中心，则 ∣∣OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣= ．13. 已知平面向量 a ，b ⃗ 满足 a =(1,−2)，b ⃗ =(−3,t )，且 a ⊥(a +b ⃗ )，则 ∣b ⃗ ∣= ．14. 在 △ABC 中，若 B =60∘，sinA =13，BC =2，则 AC = ．15. 在 △ABC 中，若 A =60∘，a =4√3，b =4√2，则 B 等于．16. 已知向量 a =(x,1)，b ⃗ =(2,y )，若 a +b ⃗ =(1,−1)，则 x +y = ．三、解答题（共6题）17. 已知向量 a =(1,−1)，向量 b ⃗ 为单位向量，向量 a 与 b⃗ 的夹角为 θ． (1) 若向量 a 与向量 b ⃗ 共线，求 a ⋅b ⃗ ； (2) 若 a −3b ⃗ 与 a 垂直，求 cos2θ．18. 在四边形 ABCD 中，向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +2b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4a −b ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−5a −3b ⃗ ，其中向量 a ，b⃗ 不共线．求证：四边形 ABCD 是梯形．19. 如图，在海岸 A 处，发现北偏东 45∘ 方向距 A 为 (√3−1) 海里的 B 处有一艘走私船，在 A处北偏西 75∘ 方向，距 A 为 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10√3 海里/时的速度追截走私船．此时走私船正以 10 海里/时的速度从 B 处向北偏东 30∘ 方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间（注：√6≈2.449）．20. 在 △ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且满足 A =45∘，cosB =35．(1) 求 sinC 的值；(2) 设 a =5，求 △ABC 的面积．21. 在 △ABC 中，求证：a−ccosBb−ccosA =sinBsinA ．22. 已知向量 α =(−1,−1)，β=(0,1)． (1) 若向量 (tα +β )∥(α +tβ)，求实数 t 的值； (2) 若向量 c =(x,y ) 满足 c =−yα +(1−x )β ，求 ∣c ∣ 的值．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】A【解析】因为 tanA +tanB +√3=√3tanAtanB ，即 tanA +tanB =−√3(1−tanAtanB )，所以 tanA+tanB1−tanAtanB =tan (A +B )=−√3，又 A 与 B 都为三角形的内角，所以 A +B =120∘，即 C =60∘，因为 sinBcosB =√34，所以 sin2B =√32，所以 2B =60∘ 或 120∘，则 A =90∘ 或 60∘．由题意知 A ≠90∘，所以 △ABC 等边三角形．【知识点】判断三角形的形状2. 【答案】D【知识点】平面向量的分解3. 【答案】B【解析】因为 A ∩B 中含有与 a 长度相等、方向相反的向量，所以B 选项错误．【知识点】平面向量的概念与表示4. 【答案】D【解析】边长 7 所对应的角 α 满足 cosα=52+82−722×5×8=12，因为 0∘<α<180∘，所以 α=60∘．可得边长为 5，7，8 的三角形的最大角与最小角的和是 180∘−60∘=120∘．故选D ．【知识点】余弦定理5. 【答案】B【知识点】平面向量和与差的坐标运算6. 【答案】C【解析】因为 AB⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以当 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向共线时，∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣∣OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣−∣∣OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=3；当 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 反向共线时，∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣∣OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+∣∣OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=13；当 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线时，由 ∣∣∣∣∣OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣−∣∣OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣∣∣∣<∣∣OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣<∣∣OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+∣∣OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣，得 3<∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣<13．综上所述，可知 3≤∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣≤13．【知识点】平面向量的加减法及其几何意义7. 【答案】C【解析】对①，由共线向量定理易知成立；对②，∣∣a⋅b⃗∣∣=∣a∣⋅∣∣b⃗∣∣⇔∣cosθ∣=∣∣∣a⃗ ⋅b⃗∣∣a⃗∣∣∣∣b⃗∣∣∣∣∣=1⇔θ=0或θ=π，成立；对③，a=(0,1),b⃗=(0,2)显然a∥b⃗，但x1x2=y1y2不成立；对④，{a+b⃗=(x1+x2,y1+y2), a−b⃗=(x1−x2,y1−y2),若(a+b⃗)∥(a−b⃗)⇔(x1+x2)⋅(y1−y2)=(x1−x2)⋅(y1+y2)⇔x1⋅y2=x2⋅y1,成立；综上可知①②④符合要求．【知识点】平面向量的数量积与垂直8. 【答案】A【解析】因为a∥b⃗，所以1×1−xy=0，即xy−1=0．【知识点】平面向量数乘的坐标运算9. 【答案】A【知识点】平面向量数乘的坐标运算10. 【答案】A【知识点】平面向量的数量积与垂直、平面向量的数乘及其几何意义二、填空题（共6题）11. 【答案】√【知识点】正弦定理12. 【答案】√2【解析】因为正方形的边长为2，所以正方形的对角线长为2√2，所以∣∣OA⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=√2．【知识点】平面向量的概念与表示13. 【答案】√10【知识点】平面向量的数量积与垂直14. 【答案】 3√3【知识点】余弦定理、正弦定理15. 【答案】 45∘【解析】由正弦定理知 a sinA=bsinB，则 sinB =bsinA a=4√2×√324√3=√22．又 a >b ，则 A >B ，所以 B为锐角，故 B =45∘．【知识点】正弦定理16. 【答案】 −3【解析】因为 (x,1)+(2,y )=(1,−1)，所以 {x +2=1,y +1=−1,解得 {x =−1,y =−2,所以 x +y =−3．【知识点】平面向量和与差的坐标运算三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 法一：因为 a ∥b⃗ ，故 θ=0∘ 或 180∘，所以 cosθ=±1．因为向量 a =(1,−1)，所以向量 ∣a ∣=√2．所以 a ⋅b ⃗ =∣a ∣⋅∣∣b ⃗ ∣∣cosθ=±√2．法二：因为 a ∥b⃗ ，设 b ⃗ =(x,y )，所以 {x +y =0,x 2+y 2=1, 即 {x =√22,y =−√22或 {x =−√22,y =√22,所以 b ⃗ =(√22,−√22) 或 b ⃗ =(−√22,√22)．所以 a ⋅b ⃗ =±√2．(2) 法一：依题意，(a −3b ⃗ )⋅a =0，所以 ∣a ∣2−3a ⋅b ⃗ =0，故 a ⋅b ⃗ =23， cosθ=a⃗ ⋅b ⃗ ∣∣a ⃗ ∣∣⋅∣∣b ⃗ ∣∣=√23，cos2θ=2cos 2θ−1=2×29−1=−59．法二：设 b ⃗ =(x,y )，所以 a −3b ⃗ =(1−3x,−1−3y )，所以 (a −3b ⃗ )⋅a =1−3x +1+3y =0，即 x −y =23，又 x 2+y 2=1，所以 b ⃗ =(13+√146,−13+√146) 或 b ⃗ =(13−√146,−13−√146)， cosθ=a⃗ ⋅b ⃗ ∣∣a ⃗ ∣∣⋅∣∣b ⃗ ∣∣=23．所以 cos2θ=2cos 2θ−1=2×49−1=−59．【知识点】平面向量数乘的坐标运算、平面向量的数量积与垂直、平面向量数量积的坐标运算18. 【答案】因为 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−8a −2b ⃗ =2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 且 ∣∣AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣≠∣∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣，所以四边形 ABCD 为梯形．【知识点】平面向量的数乘及其几何意义19. 【答案】设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时，才能最快截获（在 D 点）走私船，则有 CD =10√3t （海里），BD =10t （海里）．在 △ABC 中，因为 AB =(√3−1) 海里，AC =2 海里，∠BAC =45∘+75∘=120∘，根据余弦定理，可得 BC =√(√3−1)2+22−2×2×(√3−1)cos120∘=√6（海里）．根据正弦定理，可得 sin∠ABC =ACsin120∘BC =2×√32√6=√22．所以 ∠ABC =45∘，易知 CB 方向与正北方向垂直，从而 ∠CBD =90∘+30∘=120∘．在 △BCD 中，根据正弦定理，可得 sin∠BCD =BDsin∠CBDCD=∘10√3t=12，所以 ∠BCD =30∘，∠BDC =30∘，所以 BD =BC =√6（海里），则有 10t =√6，t =√610≈0.245 小时 =14.7 分钟．故缉私船沿北偏东 60∘ 方向，需 14.7 分钟才能追上走私船．【知识点】解三角形的实际应用问题20. 【答案】(1) 因为 cosB =35，所以sinB=45，所以sinC=sin(A+B)=sin(45∘+B)=√22cosB+√22sinB=7√210．(2) 由正弦定理得，b=asinBsinA =5×45√22=4√2，所以S△ABC=12absinC=12×5×4√2×7√210=14．【知识点】正弦定理、两角和与差的正弦21. 【答案】证法1：将角转化为边：左边=a−c⋅a2+c2−b22acb−c⋅b2+c2−a22bc=b(2a2−a2−c2+b2)a(2b2−b2−c2+a2)=b(a2+b2−c2)a(a2+b2−c2)=ba=2RsinB2RsinA=sinBsinA=右边.证法2：将边转化为角：左边=sinA−sinCcosBsinB−sinCcosA=sin(B+C)−sinCcosBsin(A+C)−sinCcosA=sinBcosC+cosBsinC−sinCcosBsinAcosC+cosAsinC−sinCcosA=sinBcosCsinAcosC=sinBsinA=右边.【知识点】余弦定理、两角和与差的正弦、正弦定理22. 【答案】(1) 因为α=(−1,−1)，β=(0,1)，所以tα+β=(−t,1−t)，α+tβ=(−1,t−1)，因为(tα+β)∥(α+tβ)，所以−t(t−1)−(−1)(1−t)=0，解得t=1或t=−1．(2) 因为c=−yα+(1−x)β，所以(x,y)=(y,y+1−x)，即 {x =y,y =y +1−x, 解得 {x =1,y =1.所以 ∣c ∣=√x 2+y 2=√2．【知识点】平面向量数乘的坐标运算。

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第6模块第2节[知能演练]一、选择题1．设全集I 是实数集R ，M ＝{x |x 2>4}与N ＝{x |2x －1≥1}都是I 的子集，如图所示，则阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |x <2}B ．{x |－2≤x <1}C ．{x |－2≤x ≤2}D ．{x |1<x ≤2}解析：∵M ＝{x |x 2>4}＝{x |x <－2或x >2}， N ＝{x |2x －1≥1}＝{x |1<x ≤3}， ∴∁I M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ∩(∁I M )＝{x |1<x ≤2}．即阴影部分所表示的集合为{x |1<x ≤2}．故选D. 答案：D2．已知m >2，点(m －1，y 1)，(m ，y 2)，(m ＋1，y 3)都在二次函数y ＝x 2－2x 的图象上，则( )A ．y 1<y 2<y 3B ．y 3<y 2<y 1C ．y 1<y 3<y 2D ．y 2<y 1<y 3解析：二次函数y ＝x 2－2x 的对称轴为x ＝1，当m >2时，m －1，m ，m ＋1都在对称轴的右边，在对称轴的右边二次函数y ＝x 2－2x 为增函数，故y 1<y 2<y 3，故选A.答案：A3．不等式x 2－x －6－x 2－1>0的解集是( )A ．{x |－2<x <3}B ．{x |x ≤－2或x ≥3}C ．{x |x <－2}D ．{x |x >3}解析：不等式化为x 2－x －6x 2＋1<0，所以x 2－x －6<0⇒－2<x <3.答案：A4．已知集合A ＝{x |3x －2－x 2<0}，B ＝{x |x －a <0}，且B A ，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．1<a ≤2C ．a >2D ．a ≤2解析：不等式3x －2－x 2<0化为x 2－3x ＋2>0⇒x >2或x <1，由不等式x －a <0，得x <a .要使B A ，则a ≤1.答案：A 二、填空题5．若关于x 的不等式－12x 2＋2x >mx 的解集是{x |0<x <2}，则实数m 的值是________．解析：－12x 2＋2x >mx 可化为x 2＋(2m －4)x <0，由于其解集为{x |0<x <2}，故0,2是方程x 2＋(2m －4)x ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系知，4－2m ＝2，所以m ＝1.故填1.答案：16．关于x 的不等式ax －b >0的解集为(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax ＋bx －2>0的解集为________．答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞) 三、解答题7．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋b . (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)当不等式f (x )>0的解集为(－1,3)时，求实数a ，b 的值．解：(1)f (1)＝－3＋a (6－a )＋b ＝－a 2＋6a ＋b －3.∵f (1)>0，∴－a 2＋6a ＋b －3>0，Δ＝24＋4b ，当b ≤－6时，Δ≤0，∴f (1)>0的解集为Ø；当b >－6时，3－b ＋6<a <3＋b ＋6.∴f (1)>0的解集为{a |3－b ＋6<a <3＋b ＋6}．(2)∵不等式－3x 2＋a (6－a )x ＋b >0的解集为(－1,3)，∴f (x )>0与不等式(x ＋1)(x －3)<0同解．∵3x 2－a (6－a )x －b <0的解集为(－1,3)，∴⎩⎨⎧2＝a (6－a )33＝b3，解之得⎩⎨⎧a ＝3±3b ＝9.8．设函数f (x )＝log a (1－ax )，其中0<a <1.(1)判断f (x )在(a ，＋∞)上的单调性； (2)解不等式f (x )>1.解：(1)设f (x )＝log a u (x )，u (x )＝1－ax.∵0<a <1，∴f (x )＝log a u (x )在定义域内是减函数，u (x )＝1－ax在(a ，＋∞)上是增函数，故f (x )在(a ，＋∞)上是减函数．(2)由f (x )>1得log a (1－a x )>1.∵0<a <1，∴不等式可化为0<1－a x <a ，解得a <x <a1－a .故不等式的解集为{x |a <x <a1－a}． [高考·模拟·预测]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤02x －1，x >0，若f (x )≥1，则x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，0]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：将原不等式转化为：⎩⎨⎧x >02x －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0x 2≥1，从而得x ≥1或x ≤－1. 答案：D2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1(x <0)－x －1(x ≥0)，则不等式x ＋(x ＋1)f (x －1)≤3的解集是( )A ．{x |x ≥－3}B ．{x |x ≥1}C ．{x |－3≤x ≤1}D ．{x |x ≥1或x ≤－3}解析：由函数f (x )可知f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x <1－x ，x ≥1，当x <1时，原不等式等价于x ＋(x ＋1)x ≤3，解得－3≤x ≤1，又x <1，所以－3≤x <1；当x ≥1时，原不等式等价于x ＋(x ＋1)(－x )≤3，即x 2≥－3恒成立．综上可知不等式的解集为{x |x ≥－3}．答案：A3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1 (x ≥0)x 2－2x －6(x <0)，若f (t )>2，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)B ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－4)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)解析：当x ≥0时，解不等式x 2－2x －1>2得x >3，当x <0时，解不等式x 2－2x －6>2得x <－2，故t 的取值范围是(－∞，－2)∪(3，＋∞)．故选D.答案：D4．设0<b <1＋a .若关于x 的不等式(x －b )2>(ax )2的解集中的整数恰有3个，则( )A ．－1<a <0B ．0<a <1C ．1<a <3D ．3<a <6解析：(x －b )2>(ax )2⇒(x －b )2－(ax )2>0⇒[(1＋a )x －b ][(1－a )x －b ]>0. 若－1<a <0，则x >b 1＋a 或x <b1－a ，可知不止三个整数解；若0<a <1，则x >b 1－a 或x <b1＋a，可知不止三个整数解；若a >1，有(x －b )2>(ax )2⇒[(1＋a )x －b ][(a －1)x ＋b ]<0，则－b a －1<x <b1＋a .又0<b <1＋a ，∴不等式的解集中的整数为－2，－1,0，故－3≤－ba －1<－2，则有2a －2<b ≤3a －3，即⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<b <a ＋1，3a －3≥b >0，解得1<a <3.答案：C5．已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )．(1)当a ＝2时，解不等式f (x )－f (x －1)>2x －1； (2)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋2x ，f (x －1)＝(x －1)2＋2x －1，由x 2＋2x －(x －1)2－2x －1>2x－1，得2x －2x －1>0，x (x －1)<0,0<x <1.∴原不等式的解集为{x |0<x <1}． (2)f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，当a ＝0时，f (x )＝x 2，f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )，∴f (x )是偶函数；当a ≠0时，f (x )＋f (－x )＝2x 2≠0，f (x )－f (－x )＝2ax ≠0，∴f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．[备选精题]6．已知集合A ＝{x ||x －a |<ax ，a >0}，若f (x )＝sin πx －cos πx 在A 上是单调增函数，求a 的取值范围．解：由|x －a |<ax 得－ax <x －a <ax ，所以⎩⎪⎨⎪⎧(1＋a )x >a(1－a )x <a .当0<a <1时，A ＝(a 1＋a ，a1－a )；当a ≥1时，A ＝(a1＋a，＋∞)．又f (x )＝sin πx －cos πx ＝2sin(πx －π4)的单调递增区间为[2k －14，2k ＋34]，(k ∈Z )，显然，当a ≥1时，f (x )在A 上不可能是单调增函数，因此，当0<a <1，要使f (x )在A ＝(a 1＋a ，a1－a 上是增函数，只有(a 1＋a ，a 1－a )⊂[－14，34]，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1a 1－a ≤34，解得0<a ≤37，故a 的取值范围为0<a ≤37.。