同济大学高等数学高阶线性微分方程
微分方程高等数学同济教材
微分方程高等数学同济教材微分方程作为高等数学的重要内容之一，在同济教材中有着详细而系统的讲解。
本文将以同济教材为基础，介绍微分方程的相关概念、解法以及应用，并对其在高等数学学习中的重要性进行探讨。
第一部分：微分方程的基本概念与分类微分方程是研究变化率与变化过程的数学工具，在实际问题中具有广泛的应用。
根据方程中出现的未知函数的阶数，微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两大类。
常微分方程中的未知函数仅含有一元变量，而偏微分方程中的未知函数则含有多元变量。
第二部分：常微分方程的解法及应用常微分方程的解法因方程不同形式而异，其中常见的解法包括分离变量法、齐次方程法、一阶线性方程法、二阶线性齐次方程法等。
通过这些解法，可以获得常微分方程的特解，并在实际问题中进行应用。
第三部分：偏微分方程的解法及应用偏微分方程的解法相对复杂，常见的解法包括分离变量法、特征线法和变量分离法等。
通过这些解法，可以求得偏微分方程的特解，并应用于实际问题的求解过程。
第四部分：微分方程在其他学科中的应用微分方程作为一门基础数学课程，在物理学、工程学以及生物学等学科中具有广泛应用。
例如，微分方程可以用于描述物体运动的变化规律、电路中电流的变化以及生物中的种群增长模型等。
第五部分：微分方程在高等数学学习中的重要性微分方程作为高等数学的重要内容，不仅仅是为了应用于实际问题的求解，更是提高学生数学建模和解决实际问题的能力。
通过学习微分方程，学生能够培养出扎实的数学基础，并在未来的学习和实践中发挥重要作用。
结语：微分方程是高等数学中重要的内容之一，在同济教材中有着详细而系统的讲解。
通过学习微分方程的基本概念与分类、常微分方程与偏微分方程的解法与应用以及微分方程在其他学科中的应用，我们能够更好地理解并掌握微分方程的相关知识，提高数学建模和解决实际问题的能力，为未来的学习和实践打下坚实的基础。
高数同济六版课件D75可降阶高阶微分方程
求解一阶线性微分方程$y' - 2xy = x^2e^{x^2}$，并给 出初始条件$y(0) = 1$下的特解
01
例题二
分析一阶线性微分方程$y'
+
frac{2}{x}y = x^2$的解的结构，并讨
论初始条件对解的影响
02
03
例题三
通过常数变易法求解一阶线性微分方 程$y' - y = xe^x$，并验证所得解的 正确性
物理应用
在物理学中，许多实际问题可以抽象为可降阶高阶微分方程的形式，如振动、 波动、电磁场等问题。通过求解这些方程，可以得到实际问题的解析解或近似 解。
解题方法概述
变量替换法
通过引入新的变量或函数，将原方程转化为低阶微分方程或易于求解 的形式。
积分法
利用积分公式或技巧，对方程进行逐次积分，从而降低微分方程的阶 数。
常用变量代换技巧
幂函数代换
将方程中的某一项或几项用幂函数代替，降 低方程阶数或化简方程。
三角函数代换
利用三角函数的性质进行代换，将方程转化 为三角函数方程进行求解。
指数函数与对数函数代换
根据指数函数与对数函数的性质进行代换， 简化方程形式。
通过变量代换化简复杂方程
分析方程结构，选择 合适的代换方法。
01
方程特点
方程中不显含未知数y，但可能 显含y的导数。
02
03
求解方法
示例
通过变量代换，将原方程转化为 新变量的微分方程，进而求解得 到通解。
x^2y'' + 3xy' = 0，通过变量代 换t = y'，可将其转化为一阶线 性微分方程。
显含未知数y但可化为不显含形式型微分方程
《高等数学》(同济大学第七版)上册知识点总结
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章 函数与极限一. 函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim（1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x)2.常见的等价无穷小 当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，1− cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α二．求极限的方法1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x )若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim 0=→x xx公式2e x x x =+→/10)1(lim3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n nxx o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n nn x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.∞∞型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则； )()(lim)()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在． 6．利用导数定义求极限基本公式)()()(lim 0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在）7.利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→11)()(1lim dx x f n kf n n k n （如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x )的间断点。
同济高数上知识点总结大一
同济高数上知识点总结大一同济高数上知识点总结高等数学作为大学中的一门重要基础课程，对于大一学生来说是相对困难的一门课程。
其中，同济大学的高等数学上册，作为全国各大高校普遍采用的教材之一，内容丰富、难度适中。
本文将对同济高数上的知识点进行总结与归纳，帮助大家更好地掌握这门课程。
1. 极限与连续1.1 极限的概念与性质极限的定义及计算方法，无穷小与无穷大的概念，确定极限的四则运算法则，夹逼定理。
1.2 函数的连续性函数极限存在的条件，连续函数的定义，连续函数的运算法则，介值定理及其应用。
2. 导数与微分2.1 导数的概念与性质导数的定义与解释，导数的几何意义，可导与连续的关系，四则运算法则，复合函数求导，反函数求导。
2.2 微分的概念与应用微分的定义与计算方法，微分中值定理，泰勒公式及其应用，函数的单调性与极值点。
3. 不定积分与定积分3.1 不定积分不定积分的定义，基本初等函数与不定积分，分部积分法，换元积分法，有理函数积分。
3.2 定积分定积分的概念与性质，定积分的计算方法，变上限积分，换元积分法，定积分的几何应用。
4. 微分方程4.1 一阶微分方程可分离变量的一阶微分方程，齐次方程，线性方程，伯努利方程，解法与应用。
4.2 高阶线性微分方程高阶线性微分方程的定义、标准形式及其解法，常系数非齐次线性微分方程。
5. 多元函数微分学5.1 多元函数的极限与连续多元函数极限的定义，连续性与可导性的关系，偏导数及其计算方法。
5.2 多元函数的方向导数与梯度方向导数的概念及计算方法，梯度的定义与性质，多元函数极值的判定条件。
总结：同济高数上册内容较为全面，主要包括极限与连续、导数与微分、不定积分与定积分、微分方程以及多元函数微分学等知识点。
通过系统的学习和掌握，可以帮助大家打好高等数学的基础，为后续的学习奠定坚实的基础。
以上是对同济高数上知识点的简要总结与归纳，希望能够对大家的学习有所帮助。
相信通过努力和不断的练习，大家一定能够掌握这门课程，取得优异的成绩。
同济第3版-高数-(6.4) 第四节 可降阶的高阶方程
p = f ( x , p ) 是否是可解的一阶方程类型。
• 该类可降阶二阶方程的求解方法还可推广至形如 y( n ) = f( x , y( n -1) )的高阶方程的求解。
例：求方程 x y + y = x 满足条件 y( 0 )= 1，y ( 1 )= 1/2
的特解。
这是个二阶方程的初值问题， 对高阶方程求解宜先考虑可否降阶。 注意到该方程不显含 y，它是个 形如 y = f( x,y )的缺项二阶方程，
于是求得关于 v 0 的方程： x t 1 g t 2 v0 t . 2
为求出初始速度 v 0，还需再找出关于 v 0 的条件。
由于已知事故现场测得拖痕长度为 10 m . 故若设
车辆制动到完全停止所用的时间为 t 1，则得条件 xt = t 1 = 10，vt = t 1 = 0 . 于是可得方程
v t 1 gt 1 v 0 0, 1 gt 2 v 0 t 1 10 . x t 1 2 在方程组中消去参数 t 1 得
v 0 20 g . 代入 = 1.02，g = 9.81m /s2，求得：
v 0 14.15( m /s )= 50.9( km /h ).
如果将上式两边积分进一步求二阶方法通解有 y 1 x C 1 dx 1 x 2 C 1 ln x C 2 . 2 x 4 代入初始条件 y( 0)= 1，y ( 1)= 1/2 求二阶方程
的特解在理论上虽是正确定的，但实际计算却行不通 , 因为此时二阶方程的通解在点 x = 0 处无定义。
积分一次得
2 d x d vt x 2 d t g d t g t C 1 . dt dt 由初始条件 vt = 0 = v 0，定出 C1 = v 0，即有 d x g t v 0 . dt 再积分一次得
高等数学教材 同济版
高等数学教材同济版同济版高等数学教材高等数学是大学数学的重要组成部分，是培养学生分析问题和解决实际应用问题能力的基础课程。
同济大学出版社出版的《高等数学》教材，是世界著名数学家吴文俊先生等人合作编写的经典教材之一。
该教材内容全面、符合课程标准，并且结构严谨，适合大学本科高等数学教学使用。
第一章函数与极限函数与极限是高等数学的基础概念和核心内容之一。
本章首先介绍了函数的概念，并从数学模型的角度讲解了实际问题中的函数应用。
接着详细阐述了极限的定义、性质和计算方法，重点讲解了常用的极限公式和极限的四则运算规则。
通过大量的例题和习题，帮助学生理解函数与极限的关系，掌握极限的计算方法。
第二章导数与微分导数与微分是研究函数变化率和函数表达式的最重要的数学工具。
本章从导数的定义入手，介绍了导数的几何意义和物理意义，并给出了常见函数的导数计算方法。
接着讲解了导数的运算法则、高阶导数和隐函数的导数计算方法。
通过大量的例题和应用题，帮助学生巩固导数与微分的概念和计算方法，培养学生的问题解决能力。
第三章微分中值定理与导数的应用微分中值定理和导数的应用是导数理论的重要应用，也是数学与实际问题结合的典型范例。
本章首先介绍了拉格朗日中值定理和柯西中值定理，并应用到函数的极值点、最值问题和曲线的凸凹性判定中。
接着讲解了导数的应用，如曲线的凹凸性、最大最小问题、求曲线的弧长和曲率等。
通过大量的例题和实际问题的讨论，帮助学生理解微分中值定理和导数应用的思想方法，进一步培养学生的问题分析和解决能力。
第四章不定积分不定积分是导数的逆运算，是微积分的重要内容之一。
本章从不定积分的定义和性质入手，阐述了换元积分法、分部积分法、有理函数的积分等计算方法。
并通过实例讲解了一些特殊函数的积分方法和常用的不定积分公式。
最后介绍了一些常见函数定积分的计算方法。
通过大量的例题和计算题，帮助学生掌握不定积分的基本计算方法和技巧。
第五章定积分的应用定积分是高等数学在实际问题中的重要应用，尤其在物理、经济学、生物学等学科中具有广泛的应用价值。
同济大学高等数学第六版 第七章 微分方程
C 1 ,C 2 是两个独立的任意常数, 故它是方程的通解.
利用初始条件易得: C ,C 2 0, 故所求特解为 1 A
x A cos k t
例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q
且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 . 解: 如图所示, 点 P(x, y) 处的法线方程为 1 (Xx ) Yy y y 令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标
P ( x ) d x
齐次方程通解
非齐次方程特解
5 d y 2 y 例1. 解方程 ( x 1 ) 2. d x x 1 d y 2d x dy 2y 0, 即 解: 先解 y x 1 dx x 1 2 积分得 ln 即 y y 2 ln x 1 ln C , C ( x 1 ) 2则 y u ( x ) ( x 1 ) , 用常数变易法求特解. 令
x y ( C 为任意常数 ) ln ( 1 e ) y C 所求通解:
例4. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原
子的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为 M 0 , 求在 衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. d M M( 0 ) t 解: 根据题意, 有 d M M t 0 0 (初始条件) dM ( ) d t 对方程分离变量, 然后积分: M t M 即M C e 得 ln M t ln C , M0 利用初始条件, 得 CM 0 t 故所求铀的变化规律为 M M e . o 0
ue
P(x)dx
( x ) d x P
P (x)dx
Q (x )
P ( x ) d x e Q ( x ) e d x C 故原方程的通解 y P ( x ) d x P ( x ) d x P (x )dx e Q ( x ) e d x y Ce 即
同济高等数学第七版下册
同济高等数学第七版下册1. 引言《同济高等数学第七版下册》是同济大学数学系编写的一本高等数学教材。
本教材是数学专业本科生的必修课程，主要涵盖了微分方程、多元函数积分学、曲线积分与曲面积分等内容。
本文将对该教材进行全面的介绍和评价。
2. 教材概述《同济高等数学第七版下册》共分为十个章节，分别是：1.微分方程初步2.二阶线性常微分方程3.欧拉方程和二阶齐次线性微分方程4.变量分离方程和一阶线性微分方程5.常系数齐次线性微分方程6.变系数线性微分方程7.高阶线性微分方程8.多元函数微分学初步9.多元函数的偏导数与全微分10.曲线积分与曲面积分每个章节都有详细的讲解和例题，并配有练习题供读者练习。
3. 教材特点《同济高等数学第七版下册》的特点主要体现在以下几个方面：3.1. 内容全面教材内容全面涵盖了微分方程、多元函数积分学、曲线积分与曲面积分等重要的数学知识点。
每个章节的讲解都循序渐进，结构清晰，易于理解。
3.2. 理论与实践相结合教材不仅讲解了理论知识，还通过大量的例题和习题来巩固和应用所学知识。
这种理论与实践相结合的方式有助于学生更好地理解难点和掌握解题技巧。
3.3. 题目分类明确教材中的习题按照题型和难度进行分类，有助于学生选择适合自己水平的习题进行巩固训练。
每个章节还配有习题的解答，方便学生自我检验和纠正。
4. 教材优势4.1. 知识点详尽在每个章节的讲解中，教材都对重要的知识点进行了详尽的讲解，包括基本概念、性质、定理和定律等。
学生通过学习教材，可以全面了解和掌握数学中的基本概念和知识。
4.2. 解题方法详细教材中的例题和习题都给出了详细的解题方法和步骤，对于学生来说非常有帮助。
通过学习教材，学生可以了解到不同类型题目的解题思路和技巧。
4.3. 知识扩展教材还提供了一些扩展知识和拓展阅读的内容，进一步丰富了教材的知识面。
这对于对数学有浓厚兴趣的学生来说，可以提供更多的学习资源和学习机会。
5. 教材不足虽然《同济高等数学第七版下册》在内容和讲解方面都有一定的优势，但也存在一些不足之处：5.1. 难度适应问题教材的难度适应的问题不够良好，有些章节的内容对于一些学生来说可能较难理解，而有些章节的内容又相对简单。
高等数学同济第八版教材
高等数学同济第八版教材高等数学是大学数学的重要组成部分，它主要包含微积分和线性代数两个方面的内容。
而同济大学出版社的《高等数学同济第八版教材》是目前国内应用最广泛的高等数学教材之一。
本文将对该教材进行全面介绍，以帮助读者更好地理解和学习高等数学知识。
第一章微积分基础《高等数学同济第八版教材》的第一章主要介绍了微积分的基本概念、函数与极限、连续与间断等内容。
在这一章中，教材详细而全面地解释了微积分的起源和发展，为读者奠定了扎实的数学基础。
第二章一元函数微分学在第二章中，教材围绕一元函数的微分学展开讲解。
从导数的定义和性质开始，逐步引入微分的概念，并介绍了一元函数的凹凸性、单调性以及最值问题等重要内容。
此外，教材还给出了一些常见函数的导数和微分计算方法，为读者提供了丰富的例题和习题。
第三章一元函数积分学第三章主要介绍了一元函数的积分学。
教材从不定积分的定义和性质开始，讲解了反常积分和定积分的概念及其计算方法。
同时，教材还对定积分的应用进行了深入的讲解，如曲线长度、旋转体的体积等。
这些应用案例的介绍有助于读者理解积分在实际问题中的应用。
第四章微分方程本章主要介绍了微分方程的基本概念和解法。
教材首先介绍了一阶微分方程和高阶微分方程的概念，并详细讲解了可分离变量、齐次方程和一阶线性微分方程等常见的解法。
此外，教材还对二阶线性齐次微分方程的解法进行了详尽的介绍，并给出了一些典型的例题供读者练习。
第五章多元函数微分学在第五章中，教材引入了多元函数的微分学。
从偏导数和全微分的概念开始，教材展示了多元函数的极值、条件极值的判定方法，并详细介绍了隐函数的微分法和参数方程的微分法等内容。
本章的讲解重点在于培养读者对多元函数微分学的直观理解和应用能力。
第六章多元函数积分学多元函数积分学是本教材的第六章内容，它是微积分的重要组成部分。
教材从二重积分的概念和计算开始，讲解了二重积分的应用，如计算平面图形的面积、质量和重心等。
高阶线性微分方程
高阶线性微分方程高阶线性微分方程是微积分中的重要部分，其解决了许多实际问题中的数学模型。
本文将介绍高阶线性微分方程的定义、解法和应用。
一、高阶线性微分方程的定义高阶线性微分方程是指形如\[a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_1y'+a_0y=g(x)\]的微分方程，其中 $y^{(n)}$ 代表 $y$ 的 $n$ 阶导数，$a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0$ 均为常数，$g(x)$ 是已知的函数。
二、高阶线性微分方程的解法1. 齐次线性微分方程的解法首先考虑齐次线性微分方程\[a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_1y'+a_0y = 0\]将其特征方程设为 $a_n r^n + a_{n-1}r^{(n-1)}+...+a_{1}r+a_{0} = 0$，解出特征方程的 $n$ 个根 $r_1, r_2, ..., r_n$。
根据齐次线性微分方程的性质，可以得出其解的形式为 $y(x) = C_1 e^{r_1x} + C_2 e^{r_2x} + ... + C_n e^{r_nx}$，其中 $C_1, C_2, ...,C_n$ 为常数。
2. 非齐次线性微分方程的解法若已知非齐次线性微分方程的一个特解 $y_p(x)$，则非齐次线性微分方程的通解可以表示为 $y(x) = y_p(x) + y_h(x)$，其中 $y_h(x)$ 为齐次线性微分方程的通解。
为了求得非齐次线性微分方程的特解，可以通过常数变易法、待定系数法等方法。
3. 常数变易法当非齐次线性微分方程的右侧函数 $g(x)$ 为常数时，可采用常数变易法。
假设非齐次线性微分方程的特解为 $y_p(x) = A$，将其代入原方程得到 $a_0 A = g(x)$，解得 $A = \frac{g(x)}{a_0}$，进而得到特解$y_p(x) = \frac{g(x)}{a_0}$。
大一高数同济版知识点总结
大一高数同济版知识点总结高等数学作为大一必修课程，是理工科学生的基础课之一。
同济版高等数学是一本经典的教材，在许多高校使用广泛。
下面是对大一高数同济版的知识点进行了总结和梳理。
一、函数与极限1. 函数概念- 自变量与因变量的关系- 定义域、值域与像- 奇函数与偶函数- 反函数2. 函数的极限- 极限的定义与性质- 极限存在准则- 无穷大与无穷小3. 连续与间断- 连续函数定义- 连续函数的性质与运算 - 间断点与间断性质- 切线方程与曲线的连续性二、导数与微分1. 导数与导函数- 导数的定义与几何意义 - 导函数的概念与性质- 导函数的运算法则- 高阶导数与导数的应用2. 微分与微分近似- 微分的定义与性质- 微分近似与线性化- 高阶微分与泰勒展开3. 函数的凸凹性- 函数的凸凹性定义- 函数凹弧线与凸弧线- 切线判别法与曲率三、不定积分与定积分1. 不定积分- 不定积分的定义与性质 - 不定积分的基本公式- 积分换元法与分部积分法2. 定积分与反常积分- 定积分的定义与性质- 牛顿-莱布尼茨公式- 反常积分的概念与判敛 - 反常积分的性质与计算3. 积分应用- 曲线与曲面的长度与面积- 弧长与曲线参数方程- 旋转体体积与弧线旋转体四、微分方程1. 微分方程的基本概念- 微分方程的定义与解- 一阶微分方程与高阶微分方程 - 齐次与非齐次微分方程2. 常微分方程解法- 可分离变量方程- 齐次方程与一阶线性齐次方程 - Bernoulli方程与Riccati方程3. 高阶线性微分方程- 高阶线性常系数微分方程- 非齐次线性微分方程- 欧拉方程与常系数变易法以上是对大一高数同济版的知识点进行的总结。
在学习高等数学过程中，对这些知识点的掌握至关重要，在解题时需要熟练运用相关的定理和公式。
掌握了这些基本知识，就能够打下坚实的数学基础，为后续的学习打下良好的基础。
希望同学们能够深入理解这些知识点，并能在实际问题中灵活运用。
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)笔记和课后习题(第7章)(圣才出品)
yn2 f x dx C1dx C 2
依此进行，接连积分 n 次，可得方程的含有 n 个任意常数的通解。
2．y′′＝f（x，y′）型的微分方程 方程 y′′＝f（x，y′），设 y′＝p，则 y′′＝dp/dx＝p′，即 p′＝f（x，p）。 设通解为 p＝φ（x，C1），又 p＝dy/dx，得 dy/dx＝φ（x，C1），进行积分，得通解 为
h 及 k 使其满足上述方程组，故可以化为齐次方程 dY/dX＝（aX＋bY）/（a1X＋b1Y）。
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三、一阶线性微分方程 1．线性方程 齐次线性方程 dy/dx＋P（x）y＝0 的通解
2．常数变易法（非齐次线性方程的通解） （1）将齐次线性方程 dy/dx＋P（x）y＝0 的通解
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第 7 章 微分方程
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7.1 复习笔记
一、可分离变量的微分方程
1．隐式解
设 y＝φ（x）是方程 g（y）dy＝f（x）dx（7-1-1）的解，代入得
g x x dx f x dx
将两端积分，得
g y dy f x dx
y x,C1 dx C2
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3．y′′＝f（y，y′）型的微分方程
方程 y′′＝f（y，y′），令 y′＝p 得 y′′＝dp/dx＝（dp/dy）（· dy/dx）＝pdp/dy，即 pdp/dy
＝f（y，p）。
x
e Pxdx P
x
ue
P
x
dx
Q
x
即
同济大学高等数学5.微分方程组,微分方程应用
即30 min后 容器内含盐 171g。
例 2．我缉私艇雷达发现，正东 1 海里处一艘走私船正以常
速 v0 向北方向逃窜，缉私艇 立即以2v0 的速度追赶，借助
于雷达，缉私艇航行的方向始终对准走私船。试求缉私艇
的航行曲线方程，并问走私船航行多远时被我缉私艇追上。
解：如图建立坐标系。设缉私艇的航行曲线方程为y f (x) ，
流出，问 30min后 ，容器内含盐多少？
解：设在时刻t 容器内含盐量为x x(t) g 。
此时容器内的盐水为100 (3 2)t 100 t (cm3) ，
故流出的混合溶液在时刻t
的浓度为2
x 100
t
(g
/
cm
3
)
。
下面利用“微小增量分析法”来建立微分方程。
在时间段 [t, t t]上，
一阶常系数线性微分方程组解法举例
一阶微分方程组的一般形式
dy1
dx d y2
dx
f1( x, y1 , y2 ,, yn ) f2 ( x, y1 , y2 ,, yn )
d
yn
dx
fn ( x, y1 , y2 ,, yn )
一阶线性微分方程组
d y1
dx d y2
dx
a11 ( x) y1 a21 ( x) y1
这是可降阶的微分方程。
令 y z ，则 y dz ，原方程化为(1 x) dz 1 1 z 2 ，
dx
dx 2
分离变量得： dz 1 ， 1 z2 2(1 x)
两端积分得： ln z 1 z2 1 ln1 x lnC ，即 2
1 z2 z C1 ， 1 x
代入初始条件y(0) 0 ，得C1 1 ，
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化为关于 uc 的方程:
故有
L
C
d 2uC d t2
R C d uC dt
uC Em sin t
R
令
R 2L
, 0
1 LC
L
串联电路的振荡方程:
C
q‖ q
d 2uC dt2
2
d uC dt
02uC
Em sin t
LC
i
E~
K
如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ) , 则得
成正比,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方向相反. 建立位移满足的微分方程.
解: 取平衡时物体的位置为坐标原点,
建立坐标系如图. 设时刻 t 物位移为 x(t).
o
(1) 自由振动情况. 物体所受的力有:
x
弹性恢复力
(虎克定律)
x
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阻力
据牛顿第二定律得
令 2 n , k 2 c , 则得有阻尼自由振动方程:
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数
使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关.
例如，
在( , )上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
又如，
若在某区间 I 上
则根据二次多项式至多只有两个零点 , 可见
必需全为 0 ,
在任何区间 I 上都 线性无关.
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d 2uC d t2
2
d uC dt
02uC
0
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例1 例2 方程的共性 — 可归结为同一形式:
y p(x) y q(x) y f (x), 为二阶线性微分方程.
n 阶线性微分方程的一般形式为
y(n) a1(x) y(n1) an1(x) y an (x) y f (x) f (x) 0 时, 称为非齐次方程 ; f (x) 0 时, 称为齐次方程.
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说明:
y C1y1(x) C2 y2 (x) 不一定是所给二阶方程的通解.
例如,
是某二阶齐次方程的解, 则
也是齐次方程的解
但是
并不是通解
为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念.
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定义: 设 y1(x), y2 (x),, yn (x) 是定义在区间 I 上的
两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:
线性相关
存在不全为 0 的
使
线性无关 线性无关
y1(x) k2 y2 (x) k1
( 无妨设
k1 0 )
y1 ( x) y2 (x)
常数
(证明略)
思考:
中有一个恒为 0, 则
必线性 相关
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定理 2.
是二阶线性齐次方程的两个线
复习: 一阶线性方程 y P(x) y Q(x)
通解: y C e P (x)d x e P (x)d x Q(x) e P (x)d x dx
齐次方程通解Y 非齐次方程特解 y
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二、线性齐次方程解的结构
定理1. 若函数 y1(x), y2 (x) 是二阶线性齐次方程 y P(x) y Q(x) y 0
f (x) 0 f (x)
(Y P(x)Y Q(x)Y )
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故 y Y (x) y * (x) 是非齐次方程的解, 又Y 中含有
两个独立任意常数, 因而 ② 也是通解 .
证毕
例如, 方程
有特解
对应齐次方程
有通解
Y C1 cos x C2 sin x
性无关特解, 则 y C1y1(x) C2 y2 (x)
数) 是该方程的通解. (自证)
例如, 方程
有特解
且
y2 y1
tan
x
常数, 故方程的通解为
推论.
是 n 阶齐次方程
的 n 个线性无关解, 则方程的通解为
y C1y1 Cn yn (Ck为任意常数)
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m
m
d d
2
t
x
2
2n
dx dt
k
2
x
0
(2) 强迫振动情况. 若物体在运动过程中还受铅直外力
F H sin pt 作用，令 h H，则得强迫振动方程:
m
d d
2
t
x
2
2n
dx dt
k
2
x
h
sin
pt
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例2. 设有一个电阻 R , 自感L ,电容 C 和电源 E 串
联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 ,
求电容器两极板间电压 uc所满足的微分方程 .
提示: 设电路中电流为 i(t), 极板
R
上的电量为 q(t) , 自感电动势为 EL ,
由电学知
i
L C
E ∼~
q‖ q K
根据回路电压定律:
在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0
E L di q Ri 0 dt C
第六节
第十二章
高阶线性微分方程解的结构
一、二阶线性微分方程举例
二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构 *四、常数变易法
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一、二阶线性微分方程举例
例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,
当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 若用手向 下拉物体使它离开平衡位置后放开, 物体在弹性力与阻 力作用下作往复运动, 阻力的大小与运动速度
因此该方程的通解为
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定理 4.
分别是方程
y P(x) y Q(x) y fk (x) (k 1, 2,, n )
的特解,
是方程
n
y P(x) y Q(x) y fk (x)
k 1
的特解. (非齐次方程之解的叠加原理)
定理3, 定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程.
三、线性非齐次方程解的结构
定理 3. 设 y * (x) 是二阶非齐次方程
①
的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 则
y Y (x) y *(x)
②
是非齐次方程的通解 .
证: 将 y Y (x) y *(x) 代入方程①左端, 得
(Y y *) P(x) (Y y *) Q(x) (Y y *)
的两个解, 则 y C1y1(x) C2 y2 (x)
也是该方程的解. (叠加原理)
证: 将 y C1y1(x) C2 y2 (x) 代入方程左边, 得 [C1y1 C2 y2 ] P(x)[C1y1 C2 y2 ] Q(x)[C1y1 C2 y2 ]
C1[ y1 P(x) y1 Q(x) y1] C2 [ y2 P(x) y2 Q(x) y2 ] 0 证毕