用向量法证明欧拉线问题

b sin A=a sin B,

(b co s A)2+(b sin A)2=(c-a co s B)2+ (a sin B)2,

∴a co s B+b co s A=c(射影定理),

a sin A =

b

sin B

(正弦定理),

b2=c2+a2-2ca co s B(余弦定理).

用向量法证明欧拉线问题

刘步松　(江苏省运河师范学校　221300)

设三角形A B C外心为O,重心为W,垂心为H,则O,W,H三点共线,且 OH = 3 OW ,这便是著名的欧拉线问题.但平面几何证法较麻烦,笔者用向量坐标法去证,感觉过程较为简洁.

证　以外心O为原点,过O平行于B C 的直线为x轴,B C的中垂线为y轴,建立直角坐标系.设A D是B C上的高,并设各点坐

图1

标如下:A(a,b),B

(-c,d),C(c,d),

H(a,y),则B H=

(a+c,y-d),A C

=(c-a,d-b),因

为B H⊥A C,有B H

・A C=0,即(a+

c)(c-a)+(y-d)(d-b)=0,解之得y= -a2+c2+bd-d2

-d+b

.因为O是外心,所以 OA = OB = O C ,即a2+b2=(-c)2+ d2=c2+d2,从而a2-c2=d2-b2,代入y的表达式,求得y=b+2d,即H的坐标是(a,b+ 2d).从H及A,B,C的坐标可以发现,O H =

OA+OB+O C.又由重心定理OW=

1

3

(OA+OB+O C),从而有H,W,O共线,并

有 O H =3 OW .证毕.

构造法解竞赛题初探

胡国生　(江苏省洪泽县中学　223100)

大多数竞赛试题设计新颖,构思巧妙,综

合性强,注重对学生的思维能力的考查,因此

难度较大,不少学生无从下手.本文在用构造

法解竞赛题方面做一些粗浅探讨,希望对数

学爱好者有所启迪.

1　构造特殊图形

例1　正数a,b,c,A,B,C满足a+A=b

+B=c+C=k,求证:aB+bC+c A

(第24届前苏奥赛试题)

证明　构造正方形:从三个和数相等联

想到四边相等,a+A=b+B=c+C=b+B

=k,作边长为k的正方形,由面积关系(如图

1)知道:

aB+bC+c A<(a+A)2=k2.

图1

例2　已知五

边形A B CD E中,

∠A B C=∠A ED

=90°,A B=CD=

A E=

B C+D E=

2,求五边形

A B CD E的面积.

(江苏省第17届初中数学联赛试题)

解　如图2,构造全等三角形,延长CB

至F,使B F=D E.

易证R t△A B F≌R t△A ED,

∴A F=A D.

∵CF=CD,A C=A C,

∴R t△A CD≌R t△A CF,・

2

4

・ 中学数学月刊 2003年第10期