单摆模型
单摆模型教学设计
单摆模型教学设计单摆模型是经典力学中一个非常重要的物理实验模型，它可以帮助学生理解起伏运动、周期性、重力加速度等物理概念。
在教学设计中，可以通过实际操纵单摆进行观察和测量，以及结合理论公式进行分析和计算，帮助学生深入理解单摆的运动规律和相关物理原理。
以下是一个针对单摆模型的教学设计，旨在帮助学生全面理解单摆的运动和物理原理。
教学目标：1. 理解单摆的运动规律和周期性。
2. 掌握使用单摆的物理量进行实验测量和计算的方法。
3. 培养学生观察、实验和分析问题的能力。
教学准备：1. 单摆装置：包括摆线、摆球、摆锤等材料。
2. 实验器材：计时器、测量尺、天平等。
3. 实验模型：理论公式、图表等。
教学过程：第一步：观察和测量1. 学生观察并了解单摆的结构和工作原理，讨论单摆的用途和应用。
2. 学生使用测量尺和天平等实验器材，测量单摆的长度、质量等物理量，记录数据。
第二步：理论分析1. 学生通过观察单摆的运动，了解单摆的周期性和起伏运动规律。
2. 学生根据实验数据，计算单摆的周期和频率，并与理论公式进行比较分析。
3. 学生通过计算，掌握单摆运动和物理原理的数学表示和计算方法。
第三步：实验设计1. 学生根据所学的单摆知识，设计一个实验，验证单摆长度对周期的影响。
2. 学生确定变量、控制变量，并进行实验操作和数据记录。
3. 学生对实验数据进行分析和加工，得出结论并讨论单摆长度和周期的关系。
第四步：应用拓展1. 学生根据单摆的物理原理，思考并设计一个实际应用场景的问题，如钟摆的设计等。
2. 学生在讨论和团队合作的形式下，完成实验设计和数据分析。
3. 学生通过实践，将单摆的知识应用到实际问题中，培养解决实际问题的能力。
第五步：总结归纳1. 学生在课堂上总结单摆的运动规律、周期性和物理原理，并与实验数据进行比较分析。
2. 学生通过讨论和交流，归纳和总结单摆模型的应用和意义。
3. 学生通过展示和汇报，将学习成果展示给全班同学，共同分享和学习。
11.4 单摆
第四节 单摆自主学目标1.知道什么是单摆，知道单摆做简谐运动的条件.2.知道单摆的回复力来源.3.掌握单摆的周期公式，理解周期的影响因素，并能应用公式进行有关计算. 知识点归纳 一、单摆1.单摆模型：悬挂小球的细线的伸缩和质量可以忽略，细线又比球的① 大得多，这样的装置叫做单摆.单摆是实际摆的理想化模型.2.回复力的提供：摆球的重力沿② 方向的分力.3.回复力的特点：在摆角很小时，单摆所受的回复力与偏离平衡位置的位移成③ ，方向指向④ .4.运动规律：单摆在摆角很小时做⑤ ，其图象遵循⑥ 函数规律. 二、单摆的周期1.探究单摆的振幅、位置、摆长、摆球质量对周期的影响 （1）探究方法：⑦ . （2）实验结论①单摆振动的周期与摆球的质量⑧ . ②振幅较小时周期与振幅⑨ 。
③摆长越长，周期⑩ ，摆长越短，周期○11 . 2.周期公式（1）公式：T=○12 . （2）应用①计时器。
调节○13 ，可以调节钟表的快慢. ②测重力加速度：由 T ＝2πg l得○14 .可见，只要测出单摆的○15 和○16 ，就可以测出当地的重力加速度. 提示： ①直径 ②切线 ③正比 ④平衡位置 ⑤简谐运动 ⑥正弦 ⑦控制变量法 ⑧无关 ⑨无关 ⑩越大 ○11越小○12gl π2 ○13摆长 ○14224Tl π ○15摆长 ○16周期重难点解析一、对单摆模型的理解 单摆是一种理想化模型：①摆线的质量不计，没有伸缩性的细线；②摆球的直径比摆线长度要小得多； ③忽略空气阻力的影响.二、单摆在摆角很小时做简谐运动 1.摆球的受力G 1=Gsin θ的作用提供摆球以O点为中心做往复运动的回复力，G 2=Gcos θ,F-Gcos θ的作用提供摆球以O ’为圆心做圆周运动的向心力.2.单摆的简谐运动在θ很小时（<5o）,sin θ≈θ=lx,G 1=Gsin θ=x lmg,G 1方向与摆球位移方向相反，所以回复力F 回=G 1=-x lmg=-kx ，即回复力与位移方向始终相反，大小成正比，满足物体做简谐运动的条件。
高中物理24个经典模型
高中物理24个经典模型高中物理中有许多经典的模型，这些模型帮助我们理解物理世界的运作原理。
本文将介绍高中物理中的24个经典模型，让我们一起来了解它们吧！1.单摆模型：单摆模型用来研究摆动的物体的运动规律。
它包括一个质点和一个细线，可以通过改变细线长度或质点的质量来研究摆动的周期和频率。
2.平抛运动模型：平抛运动模型用来研究水平投掷物体的运动轨迹和速度。
它假设没有空气阻力，只有重力作用。
可以通过改变初速度和仰角来研究物体的落点和飞行距离。
3.牛顿第一定律模型：牛顿第一定律模型认为在没有外力作用下物体将保持匀速直线运动或静止。
这个模型帮助我们理解惯性的概念和物体运动状态的变化。
4.牛顿第二定律模型：牛顿第二定律模型描述了物体受力和加速度之间的关系。
它的数学表达式为F=ma，其中F表示物体受力，m表示物体质量，a表示物体加速度。
5.牛顿第三定律模型：牛顿第三定律模型表明对于每个作用力都存在一个等大反向的相互作用力。
这个模型帮助我们理解力的概念和物体之间的相互作用。
6.阻力模型：阻力模型用来研究运动物体与介质之间的相互作用。
它的大小与速度和物体形状有关，在物体运动时会减小其速度。
7.功率模型：功率模型描述了物体转化能量的速度和效率。
它等于功的大小除以时间，可以帮助我们理解物体能量的转变和利用。
8.热传导模型：热传导模型描述了热量在物体间传递的过程。
它通过研究热导率和温度差来解释热量传递的速率和方向。
9.摩擦力模型：摩擦力模型用来描述物体在接触面上滑动或滚动时的相互作用。
它的大小与物体之间的粗糙程度和压力有关，可以通过摩擦力模型来研究物体的运动和停止。
10.力矩模型：力矩模型用来研究物体旋转的平衡和加速度。
它的数学表达式为M=rF，其中M表示力矩，r表示力臂，F表示作用力。
11.浮力模型：浮力模型用来研究物体在液体或气体中的浮力。
它的大小等于液体或气体对物体的推力，可以帮助我们理解物体在液体中的浮沉和船只的浮力原理。
类单摆问题(解析版)-高考物理热点模型
类单摆问题学校：_________班级：___________姓名：_____________模型概述1.对l 、g 的理解1)公式中l 是摆长，即悬点到摆球球心的距离。
①普通单摆，摆长l =l +D2，l ′为摆线长，D 为摆球直径。
②等效摆长：(a )图中，甲、乙在垂直纸面方向上摆动起来效果是相同的，甲摆的等效摆长为l sin α，其周期T =2πl sin αg。
(b )图中，乙在垂直纸面方向摆动时，其等效摆长等于甲摆的摆长；乙在纸面内小角度摆动时，等效摆长等于丙摆的摆长。
2)等效重力加速度①公式中g 是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。
②等效重力加速度：一般情况下，公式中g 的值等于摆球静止在平衡位置时，摆线的拉力与摆球质量的比值。
如图中等效重力为g =g sin α，其周期T =2πlg sin α2.几种类单摆模型1)一切在竖直放置的光滑圆弧形内轨道上的小幅度振动(运动范围远小于圆弧半径)都可以等效成单摆模型，其等效摆长l 即为圆弧半径R ，质点的振动周期为T =2πRg2)非惯性参考系中的单摆周期公式T=2πLg适合于惯性系中单摆在竖直平面内做小幅振动的情况，如果单摆处于做匀变速运动的非惯性参考系中，仍可类比竖直平面内的单摆，通过求解平衡位置(相对参考系静止的位置)时细线拉力的平衡力而得到等效重力加速度。
①参考系具有竖直方向的加速度时如：在一升降机中有一摆长为L的单摆，当升降机以加速度a竖直向上匀加速运动时，如图所示,平衡位置仍在悬点正下方,根据牛顿第二定律易知摆球静止在平衡位置时，摆线拉力F T的平衡力F=mg+ma，等效重力加速度g =Fm=g+a，故其振动周期T=2πLg+a同理知，当升降机以加速度a减速上升时单摆振动周期T=2πLg-a。
②参考系具有水平方向加速度时如：在沿水平路面向左匀加速行驶的车厢内有一单摆，当它做小幅振动时，平衡位置(相对车厢静止的位置)不在悬点正下方，根据受力分析知摆球静止在平衡位置时，摆线拉力的平衡力F=(mg)2+(ma)2，F产生的等效重力加速度g =Fm=g2+a2，故此单摆的振动周期T=2πLg2+a2。
高中物理 11.4单摆详解
高中物理 | 11.4单摆详解一根不可伸长的细线下面悬挂一个小球就构成了单摆。
悬点到球心的距离叫做摆长。
单摆是一种理想化模型。
单摆的振动可看作简谐运动的条件是:最大摆角α<5°。
理想化的条件1. 单摆的摆长L远大于小球的直径d。
2. 细线一端栓一个小球，另一端固定在悬点。
3. 单摆摆球质量M远大于摆线质量m。
4. 小球可视为质点。
5. 摆线柔软且伸长量很小。
单摆的性质1 单摆受到重力和拉力。
2 单摆静止不动时，摆球所受重力和拉力平衡。
3 单摆被拉离平衡位置释放时，摆球所受重力和选线的拉力不在平衡。
4重力沿运动方向的分力是摆球机械振动的回复力。
悬线拉力与重力沿摆线方向的分力的合力提供小球做圆周运动的向心力。
单摆的振动图像单摆的周期摆角θ很小时，单摆做的是简谐运动，单摆的周期与神秘因素有关呢?实验法：控制变量法摆球质量相同，振幅相同，观察周期T与摆长L的关系摆球质量相同，摆长L相同，观察周期T与振幅的关系摆长L相同，振幅相同，观察周期T与摆球质量的关系实验结论在同一个地方，单摆周期T与摆球质量和摆动的幅度无关，仅与摆长l有关系，且摆长越长，周期越大。
实验表明单摆周期还与单摆所在处的重力加速度有关。
g越小T越大。
单摆做简谐运动的周期跟摆长的平方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比，跟振幅，摆球的质量无关。
单摆的周期公式：小结1. 单摆：理想化的物理模型，在细线的一端栓上一个小球，另一端固定在悬点上，如果先的伸缩和质量可以忽略不计，摆线长比小球直径大的多，这样的装置叫单摆。
2. 单摆做简谐的条件：在摆角很小的情况小（θ＜10°），单摆所受回复力跟位移成正比且方向相反，单摆做简谐运动。
3. 单摆的周期公式：单摆做简谐运动的周期跟摆长的平方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比，跟振幅，摆球的质量无关。
单摆的周期公式：习题演练1. 如图所示为同一地点的两单摆甲，乙的振动图像，下列说法正确的是（）A 甲乙两单摆的摆长相等B 甲单摆的振幅比乙的大C 甲单摆的机械能比乙的大D 在t=0.05s时有正向最大加速度的是甲单摆2. 为了使单摆做简谐运动的周期变长，可以使（）A 单摆的振幅适当增大B 单摆的摆长适当加长C 单摆从山下移到山上D 单摆从北京移到南极1. AB从如中可得两者的周期相同，为2s，而且在同一地点，所以A对；甲振幅10cm，乙振幅为7cm；由于摆球的质量位置，机械能无法判断；在t=0.5s 时，乙处于负向最大位移处，由于加速度方向和位移方向相反，所以此时有最大正向加速度。
单摆的数学模型
g && + θ θ = 0 l
模型假设
下面用拉格朗日来建立数学 模型，因质点作圆弧运动，故 质点坐标的约束方程为
x + y =l
2 2
2
显然，系统只有一个自由度，因而 广义坐标只需一个，可以选弧长s为广 义坐标，也可选取线对铅直位置的夹角 θ，此处选取θ作广义坐标简单些，由 几何关系有
x = l cosθ y = l sin θ
单摆的数学模型
本文用拉格朗日方程建立 了单摆的数学模型
主 要 内 容
问题分析 模型假设 拉格朗日模型建立 进一步思考的问题
质量为m的球用长为l的细线悬挂在o 点，如图
o y
θ
l
y
x
Tr
m
mg cos θ
s = lθ
x
mg
mg sin θ
在地球引力作用下作往复 摆动，若不记线的质量，侧称 次系统为单摆，试求摆球 m的 运动规律（不计其他阻力）。 时间t为自变量，细线与垂线的 摆角为未知函数 θ (t )，设逆时针 方向为 θ 的正向。
问题分析
先分析摆球在运动时的受力 情况，当摆线偏角为θ (t ) 时，重 力mg在运动方向的投影为 mgsinθ 它将摆拉向平衡位置，重力mg在 Om连线方向上的分力与线的张力 相平衡，右牛顿第二定律，有
&& = − mg sin θ mlθ
或写为
&& = −mg sin θ mlθ
上式就是单摆运动的数学 模型，为一个二阶非线性常 微分方程。 当θ 充分小时，即摆球作 小振幅摆动时， θ ≈ θ ，故 sin 可得到近似 的模型：
质点的动能为
1 1 2 2 2 2 T = m ( x + y ) = ml θ 2 2
单摆模型
（1）
α ' (0) = 0,α (0) = α 0
这就是理想单摆满足的微分方程。
3.解微分方程
当
α 很小时，有 sin α ≈ α， 为简单起见，（1）式写成：
α
''
+
g α L
= 0
（2）
（2）式的特征方程为：
g λ + =0 L
2
对应的特征根为 其中
λ
=
i
g 故方程（2）的通解为： L
α(t) = c1 sinωt + c2 cosωt
ω =
g L
代入初值条件，可求得满足初值条件的微分方程的解
α (t ) = α 0 cos ωt
当摆球在最低点平衡位置时 ， T为周期。即可得出：
α (t ) = 0
=
， 此时
T t = 4
g T L 4
所以得：
π
2
T = 2π
L g
由上图可以看出摆球受到重力和摆线的拉力摆球的质量为m摆线长为l所受合力为mgsin由牛顿第二定律可得
单摆模型
李智
1.单摆模型
• 单摆是一种理想化的模型。 • 在一根不会伸长，忽略质量的悬线下系一质点，质点绕某个位置 来回往复运动。 • 在实验中单摆要满足三个条件： • 1. 线度条件 摆线的长度必须远远大于摆球的直径 2. 质量条件 摆球的质量必须远远大于摆线的质量 3.附加条件 摆线的弹性必须小，摆球形状规则，质量分布均匀，单摆在运动 中受的阻力忽略不计
2.建立理想单摆运动满足的微分方程，由微分方可以看出，摆球受到重力 G
所受合力为mgsin ，
mL α = − mg sin α
初中物理小球单摆模型教案
教案：初中物理——小球单摆模型教学目标：1. 了解单摆的定义和特点。
2. 掌握单摆的周期公式和频率公式。
3. 能够运用单摆模型解决实际问题。
教学重点：1. 单摆的定义和特点。
2. 单摆的周期公式和频率公式。
教学难点：1. 单摆的周期公式的理解和应用。
教学准备：1. 实验室用具：小球、细线、尺子、计时器。
2. 教学课件。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾之前学过的简单机械知识，如杠杆、滑轮等。
2. 提问：今天我们将学习一种新的简单机械——单摆，你们知道什么是单摆吗？二、新课讲解（15分钟）1. 介绍单摆的定义：单摆是由一个质点和一条细线组成的，质点在细线的拉力作用下，在竖直平面内做周期性摆动的系统。
2. 讲解单摆的特点：单摆在无外力作用下，其摆动周期与摆长和重力加速度有关，与摆球的质量和摆动幅度无关。
3. 推导单摆的周期公式：T=2π√(L/g)，其中T为周期，L为摆长，g为重力加速度。
4. 讲解单摆的频率公式：f=1/T，其中f为频率，T为周期。
三、实验演示（15分钟）1. 安排学生分组进行实验，每组用小球、细线、尺子、计时器等实验室用具搭建一个单摆模型。
2. 指导学生进行实验，测量不同摆长下的周期，记录数据。
3. 引导学生根据实验数据，分析单摆周期与摆长的关系。
四、课堂练习（10分钟）1. 布置课堂练习题，让学生运用单摆模型解决实际问题。
2. 引导学生分组讨论，互相交流解题思路。
五、总结与拓展（5分钟）1. 总结本节课所学内容，强调单摆的定义、特点、周期公式和频率公式。
2. 提问：单摆的应用有哪些？引导学生思考单摆在生活中的一些应用实例。
教学反思：通过本节课的教学，学生应该掌握了单摆的定义、特点、周期公式和频率公式，能够运用单摆模型解决实际问题。
在实验环节，学生能够亲自动手操作，观察单摆的摆动现象，增强了对单摆的理解。
在课堂练习环节，学生能够运用所学知识解决实际问题，提高了学生的应用能力。
单摆的等效摆长、等效重力加速度、等效模型问题解读
3. 等效重力加速度g’由单摆所处的物理环境决定。 如图所示，单摆甲放在空气中，周期为T甲,单 摆乙带正电，放在匀强磁场中，周期为T乙, 单 摆丙带正电，放在匀强电场中，周期为T丙, 单 摆丁放在静止在水平面上的光滑斜面上，周 期为T丁,那么（ ）
A、T甲> T乙> T丙> T丁 B、T乙> T甲=T丙> T丁 C、T丙> T甲> T丁> T乙 D、T丁>T甲= T乙> T丙
一、单摆的概念
单摆是对现实摆的抽象 是一种理想化的物理模型
足够长
理 摆 足够轻不计质量
想线
单摆
化 的
不可伸长
条 件
足够小球的半
摆 径远小于线长
球
球小而重
（密度大）
2.单摆的运动
受T
力 分
析 mg
指向悬点
mgcosθ
θ
L
(提供向心力)
x mgsinθ 指向平衡位置
(提供回复力) mgsinθ
mgcosθ
3. 两个相同的弹性小球，分别挂在不能伸长 的细线上，两线互相平行．两小球的重心位于 同一水平线上，而且两球相互接触，第一个小 球的线长L1=1m，第二个小球线长 L2=0.25m），把第二个小球拉开一个不大的 角度后释放，它在4秒内和第一个小球共碰几次？
mg
结 (1)θ<50时,单摆是简谐运动. 论 (2)单摆振动的回复力是重力的一个
分力,不是重力和拉力的合力
二. 单摆的周期
T 2 L
g 单摆周期T与它们的关系
振幅A T与A无关
单摆的等时性
周期T
质量m
T与m无关
摆长L
摆长L越长 T越大
高中物理选择性必修一：2-4单摆
3、受力分析：
受重力:mg 悬线拉力:T
T
平衡位置o
mg
4、运动分析
（1）以点o为平衡位置的振动：
除平衡位置以外，沿切线方向
O'
需回复力
（2）以悬点o’为圆心的圆周运动
除最高点以外，速度不为0，沿 半径方向需向心力。
o
5．力和运动的关系
向心力大小：Fy T mg cos
与该点速度方向垂直，
O'
T
r l sin
T 2 l cos
g
课堂练习
3、一个单摆，周期是T。 a. 如果摆球质量增到2倍，周期将 不变 ； b. 如果摆的振幅增到2倍，周期将 不变 ； c. 如果摆长增到2倍，周期将 变大 ； d. 如果将单摆从赤道移到北京，周期将 变小； e. 如果将单摆从海面移到高山，周期将 变大 ；
mg l
)
l
T
平衡
位置
x
O
mg sin
mg cos
mg 单摆的回复力由重力沿切线方向的分力提供；
在偏角很小时，回复力与它偏离平衡位置的位 移成正比，方向总指向平衡位置。
（3）单摆的运动性质： 当最大摆角很小时(θ< 5° )，单摆
在竖直面内的摆动可看作是简谐运动。
F回
mg l
x
kx
(令k mg ) l
（1）在摆角小于5°的条件下：Sinθ≈θ （弧度值）
摆角θ
正弦值
弧度值
1°
0.01754
2°
0.03490
3°
0.05234
4°
0.06976
5°
0.08716
6°
0.10453
高中物理单摆模型
摆的研究物理模型是实际物体的抽象和概括, 它反映了客观事物的主要因素与特征, 是连接理论和应用的桥梁. 我们把研究客观事物主要因素与特征进行抽象的方法称之为模型方法, 是物理学研究的重要方法之一. 中学物理习题都是依据一定的物理模型进行构思、设计而成的, 因此, 在解答物理习题时, 为使研究复杂物理问题方便起见, 往往通过抽象思维或形象思维, 构建起描述物理问题的模型, 使用物理模型方法, 寻找事物间的联系, 迅速巧妙地解决物理问题. 单摆就是实际摆的一种理想化物理模型，在处理问题时可以起到柳暗花明的功效，主要有以下应用。
【单摆模型简述】在一条不可伸长的、忽略质量的细线下端栓一可视为质点的小球, 当不必考虑空气阻力的影响, 在摆角很小的情况下可看作简谐运动, 其振动周期公式可导出为.2g l T π=【视角一】合理联想, 挖掘相关物理量.例1. 试用秒表、小石块、细线估算电线杆的直径.分析与解: 要估算电线杆的直径, 题目中没有给刻度尺, 因此, 用什么来替代刻度尺是问题的关键. 秒表、小石块似乎对测量电线杆的直径没有直接关系；若是联想到小石块可以与细线组成单摆， 秒表可用来测量时间，本题便不难解决了。
用等于n 个电线杆圆周长的细线与小石块组成单摆，用秒表测出单摆m （30～50）次全振动所用时间t ，则单摆振动的周期,4222ππg T l g l T =⇒=电线杆的圆周长n l L =，电线杆的直径,πL d =有.4322πnm g l d = 【视角二】迁移与虚拟，活化模型方法. 例2. 一倾角α很小(α＜2°)的斜劈固定在水平地面, 高为h ［如图1(a)］.光滑小球从斜劈的顶点A 由静止开始下滑, 到达底端B 所用时间为t 1. 如果过A 、B 两点将斜劈剜成一个光滑圆弧面, 使圆弧面在B 点恰与底面相切, 该小球从A 由静止开始下滑到B 所用的时间为t 2. 求t 1与t 2的比值.分析与解: 当小球在斜劈上做时, 有=αsin h .2sin 1sin 21121g h t t g ⋅=⇒⋅αα 将斜劈剜成光滑圆弧面后.虚拟并迁移单摆模型, 因2α ＜4°,小球在圆弧面运动时受重力与指向圆心的弹力作 用, 这与单摆振动时的受力 ——重力与指向悬点的拉力 类似. 如图1(b)所示. 则小球 在圆弧面上的运动就是我们熟知的简谐运动. 这样能使问题化繁为简, 化难为易, 迅速找到解决问题的途径. B (b)h 图1因为L-h=Lcos2α. 所以αα2sin 22cos 1h h L =-=. 小球沿圆弧面从A 运动到B 的时间为单摆周期的1/4. 故.2sin 42412g h g L t αππ=⋅=所以, t 1∶t 2=4∶π. 【视角三】 等效变换, 化解习题难度.例3. 如图2(a)所示是一种记录地震装置的水平摆, 摆球m 固定在边长为L 、质量可略去不计的等边三角形的顶角A 上, 它的对边BC 跟竖直线成不大的夹角α,摆球可绕固定轴BC 摆动, 求摆球作微小摆动时的周期.分析与解: 该题有多种求解方法, 若采用等效法, 能化解难度, 关键是求等效摆长, 因摆球在竖直平面内平衡, 关于轴BC 做微小振动, 将摆球所受重力作用线做反向延长, 在转轴BC 延长线上得交点O, 取O 点为等效单摆的悬点, 则OA 为等效摆长. 在图2(b)的三角形OCA中运用正弦定理, 有αsin 120sin L OA = 则αsin23L OA =故απsin 232g L T =.从公式中可看出，单摆周期与振幅和摆球质量无关．从受力角度分析，单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力，偏角越大，回复力越大，加速度（gsin ）越大，在相等时间内走过的弧长也越大，所以周期与振幅、质量无关，只与摆长l 和重力加速度g 有关．在有些振动系统中l 不一定是绳长，g 也不一定为9.8m/s ，因此出现了等效摆长和等效重力加速度的问题．物理上有些问题与单摆类似，经过一些等效可以套用单摆的周期公式，这类问题称为“等效单摆”．等效单摆在生活中比较常见．除等效单摆外，单摆模型在其他问题中也有应用．图2说明质点振动系统的一种，是最简单的摆。
高中物理精品课件： 单摆
2
1
2
2
tB=2 ,C 球做自由落体运动,有 R= ,可得 tC=
,则有 tB>tA>tC,则 C 球
2
最先运动到圆弧最低点,故 A、B、D 错误,C 正确。
答案 C
2023/2/5
复习回顾
单摆
①x-t图像为正弦曲线
②F-x 满足 F=-kx的形式
总是指向平衡位置
知识回顾
弹簧振子
简谐运动
①运动
x=Asinω t
②受力
F=－kx
③能量
摆钟
秋千
风铃
一．单 摆
固定
①定义：细线一端固定在悬点，另一端系一个小球，
可以忽略
如果细线的质量与小球相比可以忽略；球的直
可以忽略
错,B、C对。
答案 BC
伽利略 (1564～1642) 近代物理学的鼻祖
发现单摆振动的等时性
三．单摆的周期
思考
单摆振动的周期与哪些因素有关呢？
猜想？
振幅
质量
摆长
重力加速度Βιβλιοθήκη 三、单摆振动周期的实验探索
1.实验器材：
小球、细绳、铁架台、毫米刻度尺、秒表和条形磁体．
2.实验应满足的条件：
0
偏角很小，一般小于 10 。
0
摆,T0=2π =2 s,对周期为 4 s 的单摆,T=2π =4 s,故 l=4l0,故选项 C 正确,D
错误。
答案 C
当堂检测
4.(2021辽宁葫芦岛高二月考)半径为R的光滑球面,已知圆弧AB≪R,且A、B
等高,其中B点和圆弧最低点之间由光滑斜面相连,现有三个小球,A球从A点
专题08 圆锥摆与单摆模型(解析版)
2022届高三物理二轮常见模型与方法综合特训专练专题08 圆锥摆与单摆模型专练目标 专练内容目标1 圆锥摆模型（1T—8T ）目标2 单摆模型（9T—16T ）一、类平抛模型1．如图所示，同一水平面的皮带轮A B 、通过不打滑的皮带传动，A 轮的半径是B 轮的2倍。
在皮带轮各自的轴上用长度相同的轻绳分别悬挂质量为m 甲和m 乙的甲、乙两个小球，二者质量关系满足=4m m 甲乙 。
两轻绳上端的悬挂点足够高且在同一水平面上，通过外力驱动A 轮，待系统稳定转动后，两轻绳与轴的夹角分别为α和β。
下列说法正确的是（ ）A ．甲、乙两球转动的角速度之比为2∶1B ．甲、乙两球在同一水平面上C ．因为=4m m 甲乙，所以αβ<D ．甲、乙两球受到细绳的拉力大小相等 【答案】D【详解】A ．AB 、通过皮带传动，系统稳定后，A B 、匀速转动，线速度大小相同，即A B v v =，2=A B R R ωω所以::1:2==甲乙A B ωωωω，A 错误；B ．甲、乙两球做匀速圆周运动，设θ为轻绳与轴的夹角，显然02πθ<<，由2tan sin mg m L θωθ=，cos h L θ=得2gh ω=甲、乙两球离悬挂点的高度之比为:4:1=甲乙h h 故甲、乙两球不在同一水平面上，B错误；C ．甲、乙两球做匀速圆周运动，由2tan sin mg m L θωθ=得2cos =gLωθ再由<甲乙ωω得cos cos αβ>故αβ<但此大小关系与质量无关，C 错误； D ．由题知拉力cos ==mg mgLF hθ因=4m m 甲乙且:4:1=甲乙h h 故甲球受到细绳的拉力等于乙球受到细绳的拉力，D 正确。
故选D 。
2．如图所示是一款玩具的简化示意图，当启动开关时，电动机会带动水平转盘绕其中心水平转动，从而带动下面的小玩具转动起来。
已知两个小玩具的质量分别为1m 、2m ，两条细绳的长度分别为1l 、2l 。
单摆的等效摆长、等效重力加速度、等效模型问题.
②等效重力加速度 1、g由单摆所处的空间位置决定，在地球 表面上纬度不同，g不同，距地球表面的 高度不同，g不同.
2、摆球除受重力和拉力外还受其他力， 但其他力只沿半径方向，而沿振动方向无 分力，这种情况下单摆的周期不变。
如图有一带电量为＋q的小球，用长 为 L的绝缘细线悬挂在匀强电场E中， 匀强电场方向与重力方向相同，当小 球小角度摆动时，求摆动周期。（小 球半径为r，重力加速度为g）
②等效重力加速度
例. 如图，一小球用长为L的细线系于与水平面 成 角的光滑斜面内，小球呈平衡状态。若使细 线偏离平衡位置，其偏角小于5o，然后将小球由 静止释放，则小球到达最低点所需的时间为多少？
0
L T 2 g sin
等效重力加速度
一单摆的悬点处有一带正电q小球，悬挂的 小球也带正电q，摆长为L，小球半径可忽略， 求单摆做小角度摆动时的周期
A
o’
模型等效
如图所示，光滑圆弧槽半径为R，A为最低点， C到A距离远小于R，两质点B和C都由静止开始 释放，问哪一个小球先到A点？
讨论：要使两球在A点相遇，可使B球上 移，问此时B球高度h为多少？
不论悬点如何运动或还是受别的作用力，等效重力加速度的取 值总是单摆不振动时，摆线的拉力与摆球质量的比值(g=T/m)。
A θ B
0
L
C
L
一摆长为L的单摆,在悬点正下方5L/9处有 一钉子,则这个单摆的周期是:
可知:
L
T L g源自4L 9g 练习. 如图所示，摆长为L的单摆，原来的周期 为T。现在在悬点O的正下方A点固定一颗钉子， OA=L/3，令单摆由平衡位置向左摆动时以A为 悬点作简谐振动，则这个摆完成一次全振动所 需的时间是 。
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单摆模型
模型特点：单摆模型指符合单摆规律的模型，需满足以下三个条件：
(1)圆弧运动；
(2)小角度往复运动；
(3)回复力满足F ＝－kx .
典例 如图1所示，ACB 为光滑弧形槽，弧形槽半径为R ，C 为弧形槽最低点，R ≫AB .甲球从弧形槽的球心处自由下落，乙球从A 点由静止释放，问：
图1
(1)两球第1次到达C 点的时间之比；
(2)若在圆弧的最低点C 的正上方h 处由静止释放小球甲，让其自由下落，同时将乙球从圆弧左侧由静止释放，欲使甲、乙两球在圆弧最低点C 处相遇，则甲球下落的高度h 是多少？
答案 (1)22π (2)(2n ＋1)2π2R 8
(n ＝0,1,2…) 解析 (1)甲球做自由落体运动
R ＝12gt 21，所以t 1＝ 2R g
乙球沿圆弧做简谐运动(由于AC ≪R ，可认为摆角θ＜5°)．此运动与一个摆长为R 的单摆运动模型相同，故此等效摆长为R ，因此乙球第1次到达C 处的时间为
t 2＝14T ＝14×2πR g ＝π2R g
， 所以t 1∶t 2＝22π
. (2)甲球从离弧形槽最低点h 高处自由下落，到达C 点的时间为t 甲＝
2h g
由于乙球运动的周期性，所以乙球到达C 点的时间为
t 乙＝T 4＋n T 2＝π2R g (2n ＋1) (n ＝0,1,2，…) 由于甲、乙在C 点相遇，故t 甲＝t 乙
联立解得h ＝(2n ＋1)2π2R 8
(n ＝0,1,2…)． 1．解决该类问题的思路：首先确认符合单摆模型的条件，即小球沿光滑圆弧运动，小球受重力、轨道支持力(此支持力类似单摆中的摆线拉力)；然后寻找等效摆长l 及等效加速度g ；最后利用公式T ＝2πl g
或简谐运动规律分析求解问题． 2．易错提醒：单摆模型做简谐运动时具有往复性，解题时要审清题意，防止漏解或多解．。