曲边梯形面积与定积分(1)

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曲边梯形的面积和定积分的概念和微积分基本定理

4.5.1曲边梯形的面积【教学目标】1、通过问题情景，经历求曲面梯形的形成过程，了解定积分概念的实际背景。

理解求曲面梯形的一般步骤。

2、通过问题的探究体会以直代曲、以不变代变及无限逼近的思想。

通过类比体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。

3、体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点，接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的积极态度。

【教学重难点】教学重点：求一般曲面梯形面积的方法。

教学难点：对以直代曲、无限逼近思想的理解。

【教学过程】（一）情景导入、展示目标教师：我们在小学、初中就学习过求平面图形面积的问题。

但基本是规则的平面图形，如矩形、三角形、梯形。

而现实生活中更多的是不规则的平面图形。

对于不规则的图形我们该如何求面积？比如我们重庆市的国土面积？通过实际问题引发学生思考，可结合问题：“在‘割圆术’中, 是如何利用正多边形的面积得到圆的面积的?具体步骤如何?”做进一步引导，并给出本节目标。

（二）合作探究、精讲点拨（1）提出概念概念：如图，由直线,,x a x b x ==轴，曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形。

（2）引导探究问题：对于由()2101y x x =+≤≤,x 轴所围成的面积该怎样求？（该图形为曲边梯形，教材第54页）（3）自主探究探究1：分割，怎样分割？分割成多少个？分成怎样的形状？有几种方案？（分割）探究2：采用哪种好？把分割的几何图形变为代数的式子。

（近似代替）、（求和）探究3：如何用数学的形式表达分割的几何图形越来越多？（取极限）由学生结合已有的知识，提出自己的看法，同伴之间进行交流。

老师及时点评指导，最后归纳、总结，讲评。

（教材第55-57页）（三）反馈测评练习1：求直线x=0,x=1，y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积。

练习2：求直线x=1,x=4,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积。

（四）课堂总结思考：1、对于一般曲边梯形，如何求面积？用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积。

定积分的几何意义 (1)讲解

定积分的几何意义
一，学习目标：
1，掌握定积分几何意义。 2，会利用几何意义求定积分。
二，学习重点，难点
利用几何意义求定积分
复习回顾如何求曲边梯形面积定积分的概念是怎样的。
定积分表达式：
积分上限
被积式
b a
f ( x)dx

I
lim 0
n i 1
f (i )xi.
积分下限
③
(x
1)2
④
1在[1，2]
上连续，且在[1，0]上f (x) 0,在[0，2]上f (x) 0，
根据定积分的几何意义可得阴影部分的面积为
A 01[(x 1)2 1]dx 02[(x 1)2 1]dx
例：

利用定积分的几何意义说明等式
2

sin
xdx
上连续，且f (x) 0,根据定积分的几何意
义，可得阴影部分的面积为 A 21x2dx
4.应用
例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
y
f(x)=x2
f(x)=x2
y
y f(x)=(x-1)2-1
f(x)=1
0a
x -1 0 2
xa0
b x -1 0
2x
①
②
③
④
解：（3）在图③中，被积函数f (x) 1在[a，b]
1.利用定积分的几何意义，判断下列定积分值的正、负号。

1）． 2 sin xdx 0
2）. 2 x 2dx 1
2．利用定积分的几何意义，说明下列各式。
成立：
1）．
2
sin xdx 0
0
2）.

数学选修2-2训练：1 曲边梯形面积与定积分含解析.

预习导航1．函数的极值(1)已知函数y＝f(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有f(x)＜f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极大值，记作y极大＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极大值点．如果在x0附近都有f(x)＞f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作y极小＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点．(2)极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．思考1 (1)极大值(极小值)是否就是函数在定义域内最大的值(最小的值)?(2)函数是否一定存在极值？若存在，是否是唯一的？(3)极大值是否一定比极小值大？(4)函数的极值点是否可以出现在区间的端点？提示：(1)极值是一个局部概念．由定义知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小．(2)在一个给定的区间上，函数可能存在若干个极值，也可能不存在极值；函数可以只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值．(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值．(4)不可以，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，因为不符合极值点的定义．2．求函数y＝f(x)极值的步骤第1步：求导数f′(x)；第2步：求方程f′(x)＝0的所有实数根；第3步：考察在每个根x0附近，从左到右，导函数f′(x)的符号如何变化．如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果由负变正，则f(x0)是极小值．如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左、右侧，f′(x)的符号不变，则f(x0)不是极值．思考2 (1)导数为0的点一定是函数的极值点吗？(2)函数在极值点处的导数一定等于0吗？提示：(1)不一定，例如对于函数f(x)＝x3，虽有f′(0)＝0，但x＝0并不是f(x)＝x3的极值点，要使导数为0的点成为极值点，还必须满足其他条件．(2)不一定，例如函数f(x)＝|x－1|，它在x＝1处取得极小值，但它在x＝1处不可导，就更谈不上导数等于0了．但对可导函数来说，极值点处的导数值一定等于0.3．函数的最值函数f(x)的最大(小)值是函数在指定区间上的最大(小)的值．点拨函数极值与最值的联系与区别：(1)函数的极值是表示函数在某一点附近的变化情况，是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义区间上的情况，是对整个区间上的函数值的比较，具有绝对性．(2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值最多只能各有一个，具有唯一性；而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常函数就没有极大值，也没有极小值．(3)极值只能在函数的定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得．有极值的不一定有最值，有最值的不一定有极值，极值有可能成为最值，最值只要不是在端点处取到，则一定是某个极值．4．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤第1步：求f(x)在开区间(a，b)内所有使f′(x)＝0的点．第2步：计算函数f(x)在区间(a，b)内使f′(x)＝0的所有点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．思考3如果函数f(x)在闭区间[a，b]上是单调函数，如何求其最值？提示：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上恰好是单调函数，那么函数的最值恰好在两个端点处取到．当f(x)在闭区间[a，b]上递增时，f(a)是最小值，f(b)是最大值；当f(x)在闭区间[a，b]上递减时，f(a)是最大值，f(b)是最小值．点拨函数f(x)在开区间上最值的求法：如果要研究函数在开区间上的最值情况，那么就要与闭区间加以区别．由于是开区间，所以函数的最值不能在端点处取得，而只能在极值点处取得，当函数在开区间上只有一个极值时，这个极值也必然是最值．如果在无穷区间(－∞，＋∞)上函数只有一个极值，那么这个极值也就是最值．此外，还要注意研究函数值的变化趋势，必要时应画出函数的大致图象，结合图象分析函数的最值．。

曲边梯形的面积,定积分的概念

n
1 1 1 5 lim 1 1 2 n 3 n 2n 3
O
y
y f ( x)
a b
y f ( x)
x
—— 分成很窄的小曲边梯形，然后用矩形面积代后求和。 —— 以直代曲
y
O
a
b
x
例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积.
解:把底边[0,1]分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线, 这样曲边三角形被分成n个窄条, 用矩形来近似代替,然后把这些小矩形的面积加起来, 得到一个近似值:
y
因此, 我们有理由相信, 这个曲边三角形的面积为:
S lim S n
n
y x2
O
1 n
2 n
k n
n n
x
1、分割；2、近似代替；3、求和；4、取极限
1、分割；2、近似代替；3、求和；4、取极限
用黄色部分的面积来代替曲边梯形的面积，当曲边梯形分割的越细，蓝色部分面积就越小，就越接近曲边梯形的面积.
y = f ( x) y
A1 O a b x
用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，得 A A1.
y = f ( x) y
A1 O a
A2 b x
用两个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得 A A1+ A2
y = f ( x) y
A1 O a
A2
A3
A4 b x
用四个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得
显然， S Si
i 1
n
（ 2 ）近似代替当 n 很大，即 t 很小时，在区间 i 1 i 2 , v t t 2 的值变化很上，可以认为函数 n n 小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端

高中数学：4.1.2定积分(一)教案(北师大选修2-2)

定积分1.复习不定积分的观点.2.讲解新课2.1 两个引例引例 1曲边梯形的面积由连续曲线y f ( x) （ f x0 ）和 x a, x b 及 y 0围成的平面图形AabB 称为曲边梯形（如图5-1 ）．因为曲边梯形在底边上各点处的高 f ( x) 在区间a,b 上是不停变化的，因此它的面积不可以由公式A底×高求得 . 为了计算曲边梯形的面积，我们能够先将它切割成若干个小曲边梯形，在小曲边梯形中 f ( x) 的变化很小，能够用相应的小矩形近似取代，用全部小矩形的面积之和近似代替整个曲边梯形的面积. 明显，切割的越细，近似程度就越高，当无穷细分时，全部小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精准值.依据以上剖析，我们按下边的方法求曲边梯形的面积.设函数 f (x) 在区间a, b 上连续，且 f x0 .在 [ a, b] 上任取n 1 个内分点：a x0 x1 x2x n 1x nb ，将区间 a, b切割为 n 个小区间:图 1[ x0 , x1],[ x1, x2 ], K ,[ x n 1 , x n ] ，记每一小区间长度为i i i 1 ，过分点x i (i1,2, , n)作 x 轴的垂线，将曲边梯形x x xAabB 分割为n个小曲边梯形；设A i表示第i个小曲边梯形的面积，则曲边梯形AabB AabB 的面积为A n. 在每个小区间x i , x i 1i，以 x i为底边，A i上随意取一点k1f ( i ) 为高作小矩形，则小矩形的面积为 f ( i ) x i，当x i很小时，有A i f (i ) xi( i 1,2,L, n )若分点越多，x i就越小，上式的近似程度就越高，小矩形的面积总和也就越靠近于曲边梯形AabB 的面积.即nA f i x i，i1此为曲边梯形面积的近似值．若用max{x i} 来表示全部小区间中的最大区间长度，当分1i a点数无穷增大且趋于零时，该近似值就趋近于曲边梯形AabB 的面积 A ，即nnA A i.lim f i x ik10i 1n我们把极限 lim f i x i称之为曲边梯形的面积．0i 1引例 2 变速直线运动的行程设质点运动的速度函数v v t是连续变化的且大于零，考虑从时辰 a 到时辰b所走过的行程 s ．我们仍旧采纳切割的方法：（ 1 ）用分点：a t0t1 t2tn 1t n b 将时间区间 [a, b] 分红 n 个小区间:t i 1 ,t i(i 1,2,,n) ，每个小区间的长度记为t i t i t i 1 (i 1,2,, n) ．（ 2）近似取代：在每一时间区间内任取一时辰i，则质点在该时间区间走过的行程近似为s i v i t i，(i1,2,, n)（ 3）乞降：将每个时间区间上质点所经过的行程的近似值累加起来，就获得时间区间[a,b] 上质点所经过的行程s 的近似值，即n ns s i v i t ii 1i 1（4）取极限：当分点无穷增添时，记小区间最大的一个长度为max{t i } ，当1 i an时，则和式v i t i的极限就是质点从时辰 a 到时辰 b 的行程，即i 1ns lim0i 1vit i定积分的定义以上两个例子的实质意义不一样，但办理问题的思想方法是同样的，最后所获得的结果都归纳为乞降式的极限. 数学大将这种和式的极限称作为定积分.定义1设函数 f (x)在 [a, b]上有定义，任取分点a x0x1x2x n 1x n b将 [ a, b]分红n 个小区间[ x i1, x i ](i1,2,., n) ，记x i x i x i 1(i1,2,., n)为区间长度，max{ x i } ，并在每个小区间上任取一点i ( x i 1 i x i ) ，得出乘积 f ( i ) x i1 i a的和式nf ( i )x ii 1若0 时，和式的极限存在，且此极限值与区间[a, b]的分法及点i的取法没关，则f ( x) 在 [ a, b] 上的定积分，记为b称这个极限值为函数 f ( x)dx ，即ab na f (x)dx limf (i ) x i.(1)0i 1这里 f ( x) 称为被积函数， f ( x)dx 称为被积表达式，x 叫积分变量， [ a,b] 叫积分区间，a 称为积分下限，b称为积分上限.若 f (x) 在a,b上的定积分存在，则说 f ( x) 在 [ a, b]上可积 .A b依据定义，在上述例中的曲边梯形的面积用定积分能够表示为 f (x)dx ；变速as b直线运动的质点的行程能够表为：v(t )dt .a对于定积分的定义，有以下说明：(1)定积分的值只与被积函数、积分区间相关，与积分变量的符号没关. 即b bf (t )dt b f ( x)dxa f (u)du .a a(2) 定义中要求a b ，若 a b 、 a b 时有以下规定：当 a b 时，b af ( x) f ( x) ，a b即交换定积分的上、下限，定积分要变号.当 a b 时，a0.f ( x)dxa在如何的条件下， f ( x) 在a,b上的定积分必定存在呢？有下边的定理：定理 1假如 f ( x) 在a, b上连续，则 f ( x) 在a, b上可积.定理 2假如 f ( x) 在a, b上有界，且只有有限个中断点，则 f ( x) 在a, b上可积.由此可知，初等函数在其定义区间内都是可积的.定积分的几何意义在议论曲边梯形面积时，假设 f x 0 ，曲边梯形的图形在x 轴的上方，则积分值是正bf ( x)dx A 0 ；的，即ab A ；若 f x0 ，图形在 x 轴的下方，则积分值是负的，即 f x dxa( )nx i若 f x在 [a,b] 上有正有负时，则积分值就表示曲线lim f ( i )0i 1y f x在 x 轴上方和 x 轴下方的面积的代数和.如图 2所示 .例 1用定积分表示图中暗影部分的面积.解 (1)2x2 dx ；(2)A1A 1 x2 dx .图 211图 2图 3图 4例 2利用定积分的几何意义，说明22 的建立．xdx2y x x2，y0 围解的几何意义是由曲线，成的图形的面积S ，如图5-5所示，求得面积为S2，故20xdx 2．定积分的性质设 f x 、 g x 在 a, b 区间上可积，则依据定义可推证定积分有以下的性质：图 5性质 1b ba . 1dx dx ba a性质 2常数因子可直接提到积分符号前方.b bkf (x)dx k f (x)dx .a a性质 3代数和的积分等于积分的代数和，即b b b[ f ( x) g( x）]dxf ( x)dx g( x) dx .a a a这一结论能够推行到有限多个函数代数和的状况.性质 4对随意的点 c ，有b c ba f ( x)dxf ( x) dxf (x)dx .ac这一性质称为定积分的可加性，不论ca, b 仍是 ca,b ，性质均建立假如在 a,b 上有 fxgb f ( x)dxb性质 5x ，则g ( x)dx .aa 特别地，当 fx0 时，bf ( x)dx 0 . a性质 6 （估值定理）若函数f x 在区间 a,b上的最大值与最小值分别为M 和 m ，则m(b a)bM (b a) .f (x)dxa这是因为 mf ( x)bmdxbf ( x) dxbM ，由性质 5得a Mdx ，再由性质 1 和性质aa2 即可得结论 .性质 7( 积分中值定理 )设 f (x) 在闭区间a,b 上连续，则起码存在一点a,b ，bf b a .使f (x)dxa其几何意义是：设 f x0 ，则由曲线 y f ( x) ，直线 x a, x b 及 x 轴所围成的曲边梯形面积等于以区间[ a,b] 为底，以 f ( ) 为高的矩形abcd 的面积 ( 如图 6 所示 ). 我们称f ( )1bx 在 a, b 上的均匀值 .b f ( x)dx 为 fa ay f ( x)图 6例 3 比较以下各对积分值的大小：1x 2dx 与1 1 1(1)0xdx ； (2)10xdx 与5xdx .解 (1)0,1 上 x2x ，所以1 1 xdx .因为在x 2 dx0,1 上 10x5x，所以11 (2) 因为在10 xdx5x.例 43e xdx 的值．预计定积分1解因 f ( x)e x 是指数函数，由指数函数的性质知，f ( x) 在 [1,3] 上的最大值为 e 3 ，最小值为 e ，由性质６有e(31)3e3 (3 1），e x dx12e 32e3.即e x dx1小结定积分的观点（1）定积分的实质背景是解决已知变量的变化率，求它在某范围内的积累问题．经过“切割，局部以不变代变得微量近似，乞降得总量近似，取极限得精准总量”的一般解决过程，最后抽象获得定积分的观点．即b n． f ( x) dx limf (i ) x ia0i 1（ 2）据定积分的定义，在[ a，b] 上连续非负函数的定积分总表示由y=f ( x)， x=a， x=b与x 轴围成的单曲边梯形的面积，获得定积分b f ( x )dx的几何意义是由y=f ( x)，x=a x=ba，与 x 轴围成地区的代数面积．（3）定积分是一个数，不定积分是一个函数的原函数的全体．所以，定积分和不定积分是两个完整不一样的观点．4．部署作业（略）。

1.4.1曲边梯形的面积与定积分(上课用)

2、一般函数定积分的定义设f(x)是定义在区间[a，b]上的一个函数，在闭区间[a，b]上任取n－1个分点
a x0 x1 xi 1 xi xn b
把[a，b]分成 n个小闭区间，其长度依次为△x=xi+1－xi，i=0，1，2，„，n－1，记 λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0 时，所有小区间的长度都趋近于0，在每个 i [ xi 1 , xi ] 小区间内各取一点，
i 1 2 ) 为左端点的纵坐标 ( n 1
高，△x= 形，
n
为底作小矩
x O
1
于是图中曲线之下小矩形面积依次为
1 1 2 1 2 2 1 n 1 2 1 0 , ( ) , ( ) , , ( ) , n n n n n n n
2
所有这些小矩形的面积的和为
1 1 2 1 2 2 1 n 1 2 1 Sn 0 ( ) ( ) ( ) n n n n n n n
3.定积分的几何意义：
xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
求由抛物线y=x2与直线x=0、x=1、 1 y=0所围成的平面图形的面积．
B
四步曲：
曲边三角形
1°分割— 化整为零 1 2°近似代替— 以直代曲 O A x 0 x 1 x ? 3°求和 — 积零为整 1 1 2 n 1 0, , , ,, ,1 4°取极限(逼近) — n n n n 精益求精
2 kb 当n→+∞时，上式右端趋近于 2
于是得到弹簧从平衡位置拉长b所做的功为
kb W lim Wi n 2 i 0
n 1 2
以上两个实际问题，一个是求曲边梯形的面积，一个是求变力所做的功，虽然实际意义不同，但解决问题的方法和步骤是完全相同的，都归结为求一个函数在某一闭区间上的和式的极限问题.

三角函数的定积分计算与曲边梯形面积应用

三角函数的定积分计算与曲边梯形面积应用三角函数是数学中的一种重要函数类型，它在物理学、工程学等领域中具有广泛的应用。

本文将介绍三角函数的定积分计算方法，以及如何利用三角函数求解曲边梯形的面积。

一、三角函数的定积分计算定积分是微积分中的一个重要概念，表示曲线下的面积。

对于三角函数来说，我们可以利用其周期性和性质进行定积分的计算。

1. 正弦函数的定积分计算正弦函数的定义域是整个实数集，其周期为2π。

对于正弦函数sin(x)，其定积分可以表示为∫sin(x)dx。

利用正弦函数的性质可以得到该定积分的计算方法。

我们知道，正弦函数的一个周期(0到2π)的定积分为0，即∫[0,2π]sin(x)dx = 0。

由于正弦函数是周期性函数，所以在每个周期内的定积分都是相等的。

例如，要计算∫[0, 4π]sin(x)dx，可以将其分解成四个周期内的定积分的和：∫[0, 2π]sin(x)dx + ∫[2π, 4π]sin(x)dx + ∫[4π, 6π]sin(x)dx + ∫[6π,8π]sin(x)dx。

由于每个周期内的定积分都为0，所以该定积分的结果为0。

2. 余弦函数的定积分计算与正弦函数类似，余弦函数也是一个周期性函数，其周期为2π。

对于余弦函数cos(x)，其定积分可以表示为∫cos(x)dx。

同样地，余弦函数一个周期(0到2π)内的定积分为0，即∫[0,2π]cos(x)dx = 0。

由于余弦函数也是周期性函数，所以在每个周期内的定积分都是相等的。

例如，要计算∫[0, 6π]cos(x)dx，可以将其分解成三个周期内的定积分的和：∫[0, 2π]cos(x)dx + ∫[2π, 4π]cos(x)dx + ∫[4π, 6π]cos(x)dx。

由于每个周期内的定积分都为0，所以该定积分的结果为0。

二、曲边梯形的面积应用曲边梯形是一个由曲线和直线围成的四边形，其中有一条边为曲线边，其余三条边为直线边。

对于曲边梯形的面积计算，我们可以利用三角函数进行求解。

成才之路高二数学人教B选修22练习：1 曲边梯形面积与定积分含解析

第一章 1.4 第1课时一、选择题1．设f (x )是连续函数，且为偶函数，在对称区间[－a ，a ]上的积分⎠⎛－a af (x )d x ，由定积分的几何意义得⎠⎛－a af (x )d x 的值为( )A ．0B ．2⎠⎛－af (x )d xC. ⎠⎛－af (x )d xD ．⎠⎛0a f (x )d x[答案] B[解析] 偶函数图象关于y 轴对称，对称区间上面积相等．2．求由曲线y ＝e x ，直线x ＝2，y ＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为( )A ．[0，e 2]B ．[0,2]C ．[1,2]D ．[0,1][答案] B[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝e xy ＝1可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1.所以积分区间为[0,2]．故选B.3.⎠⎛011d x 的值为( )A ．0B ．1 C.12 D ．2[答案] B[解析] 由定积分的几何意义可得⎠⎛011d x 是由x ＝0，x ＝1，y ＝0和y ＝1围成的矩形的面积．4．计算f (x )＝x 2在[0,1]上的定积分时，有下列说法：①在0到1之间插入n －1个分点，将区间[0,1]n 等分，过每个分点作x 轴的垂线，将曲边三角形分成n 个小曲边梯形(或三角形)，这n 个小曲边梯形的面积和等于原曲边形面积的和；②当n 很大时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值可以用f ⎝⎛⎭⎫i －1n 近似代替； ③当n 很大时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值可以用f ⎝⎛⎭⎫i n 近似代替； ④当n 很大时，用f ⎝⎛⎭⎫i －1n 与f ⎝⎛⎭⎫i n 代替f (x )在⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值，得到的积分和不相等，因而求得的积分值也不相等．其中正确结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C [解析] 用f ⎝⎛⎭⎪⎫i －1n 与f ⎝⎛⎭⎫i n 近似代替f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值得到的积分和是不相等的，但当n →∞时其积分和的极限值相等，都等于f (x )在[0,1]上的定积分．故选C.5．下列积分值等于1的积分是( ) A.⎠⎛01x d xB ．⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d xD ．⎠⎛0112d x[答案] C[解析] ⎠⎛011d x 的几何意义是由直线x ＝0，x ＝1, y ＝0和y ＝1围成平面图形的面积，其值为1.故选C.6．设f (x )在[a ，b ]上连续，将[a ，b ]n 等分，在每个小区间上任取ξi ，则⎠⎛ab f (x )d x 是( )A.lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi ) B ．lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi)·b －an C.lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi )·ξi D ．lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi )·(ξi ＋1－ξi ) [答案] B[解析] 由定积分的定义可知B 正确．7．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为( )A.33 B ．32C.34D ．1[答案] A8．下列命题不正确的是( )A ．若f (x )是连续的奇函数，则⎠⎛－aaf (x )d x ＝0 B ．若f (x )是连续的偶函数，则⎠⎛－a af (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x C ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则⎠⎛ab f (x )d x >0D ．若f (x )在[a ，b ]上连续且⎠⎛ab f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b ]上恒正[答案] D[解析] 对于A ：因为f (x )是奇函数，所以图象关于原点对称，所以x 轴上方的面积和x 轴下方的面积相等，故积分是0，所以A 正确，对于B ：因为f (x )是偶函数，所以图象关于y 轴对称，故图象都在x 轴下方或上方且面积相等，故B 正确，C 显然正确．D 选项中f (x )也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f (x )>0的曲线围成的面积比f (x )<0的曲线围成的面积大．故选D.二、填空题9.lim n →＋∞ ⎝⎛⎭⎫1n ＋2n ＋…＋n ＋1n ·1n 写成定积分是________． [答案] ⎠⎛01x d x10．已知⎠⎛02f (x )d x ＝3，则⎠⎛02[f (x )＋6]d x ＝________.[答案] 1511．定积分⎠⎛243d x 的几何意义是________．[答案] 由直线x ＝2，x ＝4，y ＝0和y ＝3所围成的矩形的面积三、解答题12．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)．[解析] 由曲线所围成的区域图形可知：(1)sin x d x ；(2)⎠⎛-4212x 2d x ；(3)－⎠⎛49(－x 12 )d x .一、选择题1．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值，可以用________近似代替．( )A ．f ⎝⎛⎭⎫1n B ．f ⎝⎛⎭⎫2n C ．f ⎝⎛⎭⎫i n D ．f (0)[答案] C2．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值等于( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点函数值f (ξi )(ξ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均不正确 [答案] C3．设连续函数f (x )>0，则当a <b 时，定积分⎠⎛ab f (x )d x ( )A ．一定为正B ．一定为负C ．当0<a <b 时为正，当a <b <0时为负D ．以上结论都不对 [答案] A [解析] ∵f (x )>0， ∴曲边梯形在x 轴上方， ∴⎠⎛ab f (x )d x >0.故选A.4．已知t >0，若⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，则t ＝( )A ．1B ．－2C ．－2或4D ．4[答案] D[解析] 作出函数f (x )＝2x －2的图象与x 轴交于点A (1,0)，与y 轴交于点B (0，－2)，易求得S △OAB ＝1，∵⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，且⎠⎛01(2x －2)d x ＝－1，∴t >1，∴S △AEF ＝12|AE ||EF |＝12×(t －1)(2t －2)＝(t －1)2＝9，∴t ＝4，故选D.二、填空题5．正弦曲线y ＝sin x 在[0,2π]上的一段曲线与x 轴所围成平面图形的面积用定积分可表示为________．[答案] ⎠⎛2π0|sin x |d x6．已知⎠⎛a b f (x )d x ＝6，则⎠⎛ab 6f (x )d x 等于________．[答案] 367．已知⎠⎛a b [f (x )＋g (x )]d x ＝18，⎠⎛a b g (x )d x ＝10，则⎠⎛ab f (x )d x 等于________．[答案] 8 三、解答题8．利用定积分的几何意义求： (1)⎠⎛-22 4－x 2d x ；(2)⎠⎛011－x 2d x .[解析] (1)被积函数的曲线是圆心在原点，半径为2的半圆周，由定积分的几何意义知此积分计算的是半圆的面积，∴有⎠⎛-224－x 2d x ＝π·222＝2π. (2)∵被积函数为y ＝1－x 2，其表示的曲线为以原点为圆心，1为半径的四分之一圆，由定积分的几何意义可知所求的定积分即为四分之一圆的面积．∴⎠⎛011－x 2d x ＝14π·12＝14π.9．求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0及曲线y ＝x 3围成的曲边梯形的面积．(提示：此处用到了求和公式13＋23＋…＋n 3＝(1＋2＋…＋n )2＝[n (n ＋1)2]2)[解析] 将[0,2]平均分成n 等份，每份2n ，第i 个小曲边梯形的面积S 1＝2n ·(2i n )3，S ＝lim n →＋∞ 2n [(2n )3＋(4n )3＋…＋(2n n )3]＝lim n →＋∞ 16n 4(13＋23＋…＋n 3)＝lim n →＋∞ 4(n ＋1)2n 2＝4.。

6-1定积分概念(1)

n
1 1 1 n( n + 1)( 2n + 1) 1 = 1 + 2 + ,λ → 0 ⇒ n → ∞ = 3⋅ 6 n n n 6 n 1 2 1 1 1 2 x dx =பைடு நூலகம்lim ∑ ξ i ∆xi = lim 1 + 2 + = 1 . ∫0 λ → 0 i =1 n→ ∞ 6 n n 3
第一节
定积分概念(1) 定积分概念
一、问题的提出二、定积分定义三、定积分存在定理四、定积分的几何意义五、小结
一、问题的提出
实例1 求曲边梯形的面积) 实例1(求曲边梯形的面积) 曲边梯形由连续曲线 y = f ( x ) ( f ( x ) ≥ 0) 、 x 轴与两条直线 x = a 、 x = b 所围成. 所围成. 用矩形面积近似取代曲边梯形面积
定理6.1.1 设 f ( x )在区间 [a , b] 上有定义若积分定理上有定义, b f ( x )dx存在则 f ( x )在区间 [a , b] 上有界上有界. 存在, ∫a 证明若 f ( x )在区间 [a , b] 上无界则对每种分割上无界, 至少存在一个子区间[ xi −1 , xi ], 使得 f ( x )在区间
1、函数 f ( x ) 在[ a , b ] 上的定积分是积分和的极限，即∫ f ( x )dx = _________ . 2、定积分的值只与______及_______ 有关，而与_________的记法无关 . 3、定积分的几何意义是__________. 4、区间[ a , b ]长度的定积分表示是____ . 二、利用定积分的定义计算由抛物线 y = x + 1 , 两直线 x = a , x = b ( b > a ) 及横轴所围成的图形的面积 . 三、利用定积分的定义计算积分 ∫ xdx ， (a<b) .

定积分概念与性质(1)

b
[ f ( x) g( x)]dx
b
f ( x)dx
b
g( x)dx
a
a
a
b
推广
[ f1( x) f2 ( x) f2 ( x)]dx
a
b
b
b
f1( x)dx f2 ( x)dx fn ( x)dx
a
a
a
30
b
f ( x)dx
c
定理3. 如果函数F( x)是连续函数f ( x)
在区间[a, b]上的一个原函数,
b
则 f ( x)dx F(b) F(a)
a
证已知F ( x)是 f ( x) 的一个原函数，
又
(
x)

x
a
f (t )dt 也是 f ( x)的一个原函数,
F ( x) ( x) C x [a,b]
7 0 定积分中值定理
设函数f ( x)在闭区间[a, b]上连续，
则在[a, b]上至少存在一个点，
b
使下列等式成立 f (x)dx f ( )(b a) a b a
证明： f ( x)在闭区间[a, b]连续，
一定存在最大值M与最小值m,
由7 0
m(b a)
2
x)

2 ( 2) 4
5
5
5 55
2
4
例4. 计算 dx 解 : 令x t 2 , 则dx 2tdt 0 1 x
当x 0时, t 0; 当x 4时, t 2;
4
2
dx 2t dt
0 1 x
1t

第1章 1.4 1.4.1 曲边梯形面积与定积分

每个区间的长度为 Δx＝1n，在1＋i－n 1，1＋ni 上取 ξi＝1＋i－n 1(i＝1,2，…，n)，
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i－1 i－1 ∴f(ξi)＝1＋1＋ n ＝2＋ n ，
n
n

i－1 1 n 2 i－1
∴ f(ξi)·Δx＝
2＋
n
·n＝
n＋
叫_积__分__下__限___，b 叫积分上限，f(x)dx 叫做被积式．此时称函数 f(x) 在区间[a，b]上可积．
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7
三、定积分的性质与几何意义
1．定积分的性质 b
(1)bcf(x)dx＝____c__af_(x_)_d_x__ (c 为常数)．

a
(2)设
b
f(x)，g(x)可积，则b[f(x)±g(x)]dx＝bf(x)dx±__a_g_(x_)_d_x___.
(1)bf(x)dx＝bf(t)dt.

a
a
(2)bf(x)dx 的值一定是一个正数． a
(3)b(x2＋2x)dx＝bx2dx＋b2xdx.

a
a
a
[答案] (1)√ (2)× (3)√
8
() () ()
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9
2．填空
π (1)由 y＝0，y＝cos x，x＝0，x＝2围成的图形的面积用定积分的
n－1
间内任取一点 ξi，作和式 In＝ f(ξi)Δxi，当 λ→0 时，如果和式的极限
i＝0
栏目导航
6
二、定积分的定义存在，我们把和式 In 的极限叫做函数 f(x)在区间[a，b]上的定积分，
记作abf(x)dx，即abf(x)dx＝lλi→m0 ni＝－01f(ξi)Δxi.其中 f(x)叫做被积函数，a

高中数学曲边梯形的面积与定积分

作和式In=
f ( )x
i 0 i
n 1
i
当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b] 上的定积分，来自记作ab
f ( x )dx
其中f(x)称为被积函数，x称为积分变量， [a，b]称为积分区间，a, b分别称为积分的上限和下限，f(x)dx叫做被积式，此时称f(x)在区间[a，b]上可积。
2
1 1 1 1 lim Sn lim (1 )(2 ) 由此得到S= x 0 x 0 6 n n 3
从图形上看，当n越来越大时，划分的越来越细，阴影部分飞面积与曲边梯形的面积相差越来越小，当n→+∞时，阴影部分趋近于曲边三角形，因此可以将极 1 限值视为此曲边三角形的面积。
3
例2．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力F(x)=kx（k是常数，x是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b所作的功。
解：将物体用常力F沿力的方向移动距离x, 则所做的功W=Fx，本题F是克服弹簧拉力的变力，是移动距离x的函数，F(x)=kx，
b 将[0，b] n等分，记△x= n ， 2b b 分点依次为x0=0，x1= ，x2= n ,……， n (n 1)b
1 1 2 [0, ], [ , ], n n n i 1 i n 1 n ,[ , ], ,[ , ] n n n n i i 1 1 每个小区间的长度为 x n n n
y
1
x O
1
解：将区间[0，1]等分成n个小区间，
1 1 2 [0, ], [ , ], n n n i 1 i n 1 n ,[ , ], ,[ , ] n n n n i i 1 1 每个小区间的长度为 x n n n

课堂探究 1.4.1曲边梯形面积与定积分

课堂探究探究一求曲边梯形的面积1．求曲边梯形的面积时要按照分割—近似代替—求和—取极值这四个步骤进展．2．近似代替时，可以用每个区间的右端点的函数值代替，也可用每个区间的左端点的函数值代替．3．求和时要用到一些常见的求和公式，例如：1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6等．【典型例题1】用曲边梯形面积的计算方法求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0及曲线y ＝3x 所围成图形的面积．思路分析：严格按照分割—近似代替—求和—取极限这四个步骤进展计算求解．解：(1)分割：把区间[0,1]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )．每个小区间的长度为Δx ＝1n，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，其面积记为ΔS i (i ＝1,2，…，n )．(2)近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积．ΔS i ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n Δx ＝3·i －1n ·1n ＝3n 2(i －1)(i ＝1,2，…，n )． (3)求和：∑i ＝1n ΔS i ＝∑i ＝1n 3n 2(i －1)＝3n 2[1＋2＋…＋(n －1)]＝32·n －1n ＝32⎝⎛⎭⎫1－1n . (4)取极限：S ＝lim n →＋∞ ∑i ＝1n 3n 2(i －1)＝lim n →＋∞ 32⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32. 故所求面积等于32. 探究二用定积分的定义求定积分用定积分的定义求定积分与求曲边梯形的面积的步骤是一样的，即分割—近似代替—求和—取极限．其中，被积函数就是曲边梯形的曲边对应的函数，积分的上、下限分别是曲边梯形中垂直于x 轴的两条直线与x 轴交点的横坐标值，面积的值就是相应定积分的值．【典型例题2】用定义求定积分∫10(x 2＋2x )d x . 解：设f (x )＝x 2＋2x .①将区间[0,1]平均分成n 等份，那么Δx i ＝1n. 第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2,3，…，n )． ②取ξi ＝i n，那么f (ξi )＝f ⎝⎛⎭⎫i n ＝⎝⎛⎭⎫i n 2＋2·i n ＝1n 2i 2＋2ni ，于是f (ξi )·Δx i ＝⎝⎛⎭⎫1n 2i 2＋2n i 1n ；③S n ＝∑i ＝1n f (ξi )·Δx i ＝∑i ＝1n1n ⎝⎛⎭⎫1n 2i 2＋2n i ＝∑i ＝1n 1n ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫i n 2＋2·i n ＝1n⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12n 2＋22n 2＋…＋n 2n 2＋2⎝⎛⎭⎫1n ＋2n ＋…＋n n ＝(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋n ＋1n ＝16⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＋⎝⎛⎭⎫1＋1n . ④当n →＋∞时，S n ＝16⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＋⎝⎛⎭⎫1＋1n →43，即lim n →＋∞S n ＝43，所以∫10(x 2＋2x )d x ＝lim n →＋∞S n ＝43. 探究三定积分几何意义的应用1．定积分∫b a f (x )d x 的几何意义是：介于x ＝a ，x ＝b 之间，x 轴上、下相应曲边平面图形面积的代数和，其中x 轴上方局部面积为正，x 轴下方局部的面积为负．2．定积分几何意义的应用主要有两个方面：一是将求平面图形的面积问题转化为求相应的函数的定积分问题；二是将一些求特殊函数的定积分问题转化为求相应平面图形的面积问题．3．求定积分值的时候，要注意结合函数图象的对称性求解．【典型例题3】用定积分的几何意义求以下定积分的值：(1)∫21x d x ；(2)∫2－24－x 2d x ；(3)∫π－πsin x d x ；(4)∫2π0cos x d x .思路分析：画出相应被积函数的图象，再根据定积分的几何意义求解．解：(1)定积分∫21x d x 的值就是由直线y ＝x ，x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成图形的面积，这里恰好是一个直角梯形，其面积为S ＝12(1＋2)×1＝32，于是∫21x d x ＝32. (2)被积函数y ＝4－x 2表示的曲线是圆心在原点，半径为2的上半圆，由定积分的几何意义知定积分计算的是半圆的面积，所以有∫2－24－x 2d x ＝π·222＝2π. (3)函数y ＝sin x 在区间[－π，π]上是一个奇函数，图象关于原点成中心对称(如图)，由在x 轴上方和下方面积相等的两局部构成，故该区间上定积分的值为面积的代数和，等于0，即∫π－πsin x d x ＝0.(4)由函数y ＝cos x 图象(如图)的对称性可知，x 轴上方和下方的面积相等，所以∫2π0cos x d x ＝0.探究四定积分性质的简单应用应用定积分的性质可以解决定积分的计算问题，但要注意这些性质的逆用和变形应用．【典型例题4】求解以下各题：(1)假设∫b a [f (x )＋g (x )]d x ＝2，∫b a g (x )d x ＝－3，那么∫b a 4f (x )d x ＝__________.(2)∫3－2f (x )d x ＝5，∫30f (x )d x ＝4，那么∫0－2[－f (x )]d x ＝__________.思路分析：利用定积分的性质进展求解．解析：(1)由于∫b a [f (x )＋g (x )]d x ＝∫b a f (x )d x ＋∫b a g (x )d x ，所以∫b a f (x )d x ＝∫b a [f (x )＋g (x )]d x －∫b a g (x )d x ＝2－(－3)＝5，于是∫b a 4f (x )d x ＝4∫b a f (x )d x ＝4×5＝20.(2)由于∫3－2f (x )d x ＝∫0－2f (x )d x ＋∫30f (x )d x ，因此∫0－2f (x )d x ＝∫3－2f (x )d x －∫30f (x )d x ＝5－4＝1，故∫0－2[－f (x )]d x ＝－∫0－2f (x )d x ＝－1.答案：(1)20 (2)－1探究五易错辨析易错点：对定积分与曲边梯形面积的关系理解不清而出错【典型例题5】用定积分表示曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π，x ＝0，y ＝0所围成图形的面积．错解：所求面积为∫0－πsin x d x .错因分析：没有分析曲线y ＝sin x 的位置，盲目套用定积分与曲边梯形面积的关系导致错误．事实上，图形在x 轴下方，故其面积应等于定积分的相反数．正解：所求面积为－∫0－πsin x d x ，或||∫0－πsin x d x .。

曲边梯形面积与定积分

曲边梯形面积与定积分一．基础知识1. 曲边梯形：2. 求曲边梯形面积的方法3. 定积分定义：4. 根据定积分的定义可知，曲边梯形的面积S 等于其曲边所对应的函数y=f （x ）在区间[a,b]上的定积分，即 5. 定积分的性质：二．例题例1．求曲线2x y =与直线x=1,y=0所围成的区域的面积。

例2.用定积分求由直线y=x ，x=1，x=2，y=0所围成梯形的面积三．巩固练习：2.由定积分的几何意义，dx x -1210⎰=3求抛物线f （x ）=1+x2与直线x=0，x=1，y=0所围成的平面图形的面积.4.求由曲线3x y =与直线y=0，x=1所围成的曲边的面积。

微积分基本定理一．基础知识： 1.微积分基本定理2.求定积分的方法：二．例题例1.求sinx y =在[]π，0上阴影部分的面积S例2.求曲线y=sinx 与x 轴在区间[]π，0上所围成阴影部分的面积S变式：曲线]23,0[,cos π∈=x x y 与坐标轴围成的面积例3.求曲线3x y = 和y=2x 所围成的图形面积变式：.求抛物线x y 2=与直线x-2y-3=0所围成的平面图形的面积S 。

例4.计算（1）dx x141,⎰（2）dx 1x 22）（+⎰ （3）cosxdx 30⎰ （4）dx x121⎰1． 5(24)x dx -⎰= （）A ．5B 。

4C 。

3D 。

2 2． dx e ex x⎰-+1)(=（）A ．ee 1+B ．2eC ．e2D ．ee 1-3．若11(2)3ln 2ax dx x+=+⎰，且a ＞1，则a 的值为（）A ．6B 。

4C 。

3D 。

24.计算1⎰=5.计算1-1log dx ⎰）自测：1. dx x|4|12⎰-=（）A ．321B ．322C ．323D ．325 2.211ln xdx x⎰=（）A ．21ln 22B 。

C 。

2ln 2D 。

ln2 3.230(2cos 1)2xdx π-⎰=（）A ．B 。

高中数学第1章14第1课时曲边梯形面积与定积分课件新人教b版选修22.ppt

(4)取极限：W＝ lim n→＋∞
f(ξi)Δxi.
i＝0
即求变力做功也分四步：分割、近似代替、求和、取极
n－1
限，即W＝ lim n→＋∞
f(xi)Δxi(这里取ξi＝xi且把区间[a，b]n等分)．
i＝0
如图，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置em处，求克服弹力所做的功．
[解析] 在弹性限度内，拉伸(压缩)弹簧所需的力与弹簧拉伸(压缩)的长度成正比，即F(x)＝kx(N)，其中k为比例系数．
第一章 1.4 定积分与微积分基本定理
第1课时曲边梯形面积与定积分
1 课前自主预习 2 课堂典例探究 3 课时作业
课前自主预习
大自然是懂数学的．你看，在我们生活的大自然中，各种植物的叶子千差万别，但它们具有相同的特点：叶子的边缘都是曲线形状，好似两条曲线相交而成．同样，花卉的花瓣也是曲线形状的．
，λ＝
b－a n
，当λ趋
于0时，即n趋于无穷大，并注意当ξi∈[xi－1，xi]时，i的取值是从1到n，而非定义中的从0到n－1，但与定义中实质相同，定
义中ξi∈[xi，xi＋1]．设a<b，为今后使用
a
的方便，对于a＝b和a>b的情况特作如下的规定：
当a＝b时，bf(x)dx＝0； a
那么，怎样计算这种由曲线围成的图形的面积呢？
1.从1到n的自然数的平方和等于多少？ 2．函数f(x)在x＝x0处导数的定义是什么？
答案：1.12＋22＋…＋n2＝61n(n＋1)(2n＋1)．
2．f′(x0)＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
一、定积分的实际背景 1．曲边梯形的概念如图(1)，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线y ＝f(x)的一段．我们把由直线x＝a，x＝b(a<b)，y＝0和曲线y＝ f(x)所围成的图形称为曲边梯形．

定积分与曲边梯形面积的关系

定积分与曲边梯形面积的关系
定积分和曲边梯形面积有着密切的关系。

对于一个连续的函数
$f(x)$，我们可以将其在$x\in[a,b]$的区间上分成许多小的梯形形状，将梯形的面积加起来即可得到曲边梯形的面积，即：
$$S=\sum_{i=1}^{n}(\frac{f(x_{i-1})+f(x_{i})}{2})(x_{i}-
x_{i-1})$$
其中，$n$表示我们分割的梯形数量，$x_{i}$表示分割后的小区
间的右端点，$x_{i-1}$则表示左端点。

$(\frac{f(x_{i-
1})+f(x_{i})}{2})$则表示这个小梯形的高，$(x_{i}-x_{i-1})$表示
它的底边长度。

可以发现，将$n$增加到无限大时，曲边梯形面积就会趋于某个
定值$S$，这个定值就是$f(x)$在区间$[a,b]$上的定积分。

我们可以
用积分符号表示为：
$$S=\int_{a}^{b}f(x)dx$$
因此，我们可以通过定积分来求解曲线的面积问题，从而将几何
问题转化为数学问题，达到简便、准确的目的。

高数之定积分 (1)

第五章定积分§5. 1 定积分概念与性质一、定积分问题举例1. 曲边梯形的面积曲边梯形: 设函数y =f (x )在区间[a , b ]上非负、连续. 由直线x =a 、x =b 、y =0及曲线y =f (x )所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边. 求曲边梯形的面积的近似值:将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形, 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替, 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积, 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值. 具体方法是: 在区间[a , b ]中任意插入若干个分点a =x 0< x 1< x 2< ⋅ ⋅ ⋅< x n -1< x n =b ,把[a , b ]分成n 个小区间[x 0, x 1], [x 1, x 2], [x 2, x 3], ⋅ ⋅ ⋅ , [x n -1, x n ],它们的长度依次为∆x 1= x 1-x 0 , ∆x 2= x 2-x 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , ∆x n = x n -x n -1 .经过每一个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形. 在每个小区间 [x i -1, x i ]上任取一点ξ i , 以[x i -1, x i ]为底、f (ξ i )为高的窄矩形近似替代第i 个窄曲边梯形(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ) , 把这样得到的n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值, 即A ≈f (ξ 1)∆x 1+ f (ξ 2)∆x 2+⋅ ⋅ ⋅+ f (ξ n )∆x n ∑=∆=ni i i x f 1)(ξ.求曲边梯形的面积的精确值:显然, 分点越多、每个小曲边梯形越窄, 所求得的曲边梯形面积A 的近似值就越接近曲边梯形面积A 的精确值, 因此, 要求曲边梯形面积A 的精确值, 只需无限地增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零. 记λ=max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 于是, 上述增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零, 相当于令λ→0. 所以曲边梯形的面积为∑=→∆=ni i i x f A 10)(lim ξλ.2. 变速直线运动的路程设物体作直线运动, 已知速度v =v (t )是时间间隔[T 1, T 2]上t 的连续函数, 且v (t )≥0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S . 求近似路程:我们把时间间隔[T 1, T 2]分成n 个小的时间间隔∆t i , 在每个小的时间间隔∆t i 内, 物体运动看成是均速的, 其速度近似为物体在时间间隔∆t i 内某点ξ i 的速度v (τ i ), 物体在时间间隔∆t i 内运动的距离近似为∆S i = v (τ i ) ∆t i . 把物体在每一小的时间间隔∆t i 内运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T 1 , T 2]内所经过的路程S 的近似值. 具体做法是:在时间间隔[T 1 , T 2]内任意插入若干个分点T 1=t 0< t 1< t 2<⋅ ⋅ ⋅< t n -1< t n =T 2,把[T 1 , T 2]分成n 个小段[t 0, t 1], [t 1, t 2], ⋅ ⋅ ⋅, [t n -1, t n ] ,各小段时间的长依次为∆t 1=t 1-t 0, ∆t 2=t 2-t 1,⋅ ⋅ ⋅, ∆t n =t n -t n -1.相应地, 在各段时间内物体经过的路程依次为∆S 1, ∆S 2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆S n .在时间间隔[t i -1, t i ]上任取一个时刻τ i (t i -1<τ i < t i ), 以τ i 时刻的速度v (τ i )来代替[t i -1, t i ]上各个时刻的速度, 得到部分路程∆S i 的近似值, 即∆S i = v (τ i ) ∆t i (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ).于是这n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值, 即∑=∆≈ni i i t v S 1)(τ;求精确值:记λ = max{∆t 1, ∆t 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆t n }, 当λ→0时, 取上述和式的极限, 即得变速直线运动的路程∑=→∆=ni i i t v S 10)(lim τλ.设函数y =f (x )在区间[a , b ]上非负、连续. 求直线x =a 、x =b 、y =0 及曲线y =f (x )所围成的曲边梯形的面积.(1)用分点a =x 0<x 1<x 2< ⋅ ⋅ ⋅<x n -1<x n =b 把区间[a , b ]分成n 个小区间: [x 0, x 1], [x 1, x 2], [x 2, x 3], ⋅ ⋅ ⋅ , [x n -1, x n ], 记∆x i =x i -x i -1 (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ). (2)任取ξ i ∈[x i -1, x i ], 以[x i -1, x i ]为底的小曲边梯形的面积可近似为i i x f ∆)(ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ); 所求曲边梯形面积A 的近似值为 ∑=∆≈ni i i x f A 1)(ξ.(3)记λ=max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 所以曲边梯形面积的精确值为 ∑=→∆=ni i i x f A 10)(l i m ξλ.设物体作直线运动, 已知速度v =v (t )是时间间隔[T 1, T 2]上t 的连续函数, 且v (t )≥0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S .(1)用分点T 1=t 0<t 1<t 2<⋅ ⋅ ⋅<t n -1<t n =T 2把时间间隔[T 1 , T 2]分成n 个小时间段: [t 0, t 1], [t 1, t 2], ⋅ ⋅ ⋅, [t n -1, t n ] , 记∆t i =t i -t i -1 (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ).(2)任取τi ∈[t i -1, t i ], 在时间段[t i -1, t i ]内物体所经过的路程可近似为v (τi )∆t i (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ); 所求路程S 的近似值为 ∑=∆≈ni i i t v S 1)(τ.(3)记λ=max{∆t 1, ∆t 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆t n }, 所求路程的精确值为 ∑=→∆=ni i i t v S 10)(lim τλ.二、定积分定义抛开上述问题的具体意义, 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括, 就抽象出下述定积分的定义.定义设函数f (x )在[a , b ]上有界, 在[a , b ]中任意插入若干个分点a =x 0< x 1< x 2< ⋅ ⋅ ⋅< x n -1< x n =b ,把区间[a , b ]分成n 个小区间[x 0, x 1], [x 1, x 2], ⋅ ⋅ ⋅, [x n -1, x n ] ,各小段区间的长依次为∆x 1=x 1-x 0, ∆x 2=x 2-x 1,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n =x n -x n -1.在每个小区间[x i -1, x i ]上任取一个点ξ i (x i -1< ξ i < x i ), 作函数值f (ξ i )与小区间长度∆x i 的乘积 f (ξ i ) ∆x i (i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ) , 并作出和∑=∆=ni i i x f S 1)(ξ.记λ = max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 如果不论对[a , b ]怎样分法, 也不论在小区间[x i -1, x i ]上点ξ i 怎样取法, 只要当λ→0时, 和S 总趋于确定的极限I , 这时我们称这个极限I 为函数f (x )在区间[a , b ]上的定积分, 记作⎰ba dx x f )(, 即∑⎰=→∆=ni i i ba x f dx x f 10)(lim )(ξλ.其中f (x )叫做被积函数, f (x )dx 叫做被积表达式, x 叫做积分变量, a 叫做积分下限, b 叫做积分上限, [a , b ]叫做积分区间.定义设函数f (x )在[a , b ]上有界, 用分点a =x 0<x 1<x 2< ⋅ ⋅ ⋅<x n -1<x n =b 把[a , b ]分成n 个小区间: [x 0, x 1], [x 1, x 2], ⋅ ⋅ ⋅, [x n -1, x n ] , 记∆x i =x i -x i -1(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ). 任ξ i ∈[x i -1, x i ] (i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ), 作和∑=∆=ni i i x f S 1)(ξ.记λ=max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 如果当λ→0时, 上述和式的极限存在, 且极限值与区间[a , b ]的分法和ξ i 的取法无关, 则称这个极限为函数f (x )在区间[a , b ]上的定积分, 记作⎰ba dx x f )(,即∑⎰=→∆=ni i i bax f dx x f 1)(lim )(ξλ.根据定积分的定义, 曲边梯形的面积为⎰=ba dx x f A )(. 变速直线运动的路程为dt t v S TT )(21⎰=.说明:(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的记法无关, 即⎰⎰⎰==ba b a b a du u f dt t f dx x f )()()(.(2)和∑=∆ni i i x f 1)(ξ通常称为f (x )的积分和.(3)如果函数f (x )在[a , b ]上的定积分存在, 我们就说f (x )在区间[a , b ]上可积. 函数f (x )在[a , b ]上满足什么条件时, f (x )在[a , b ]上可积呢？定理1 设f (x )在区间[a , b ]上连续, 则f (x ) 在[a , b ]上可积.定理2 设f (x )在区间[a , b ]上有界, 且只有有限个间断点, 则f (x ) 在[a , b ]上可积. 定积分的几何意义:在区间[a , b ]上, 当f (x )≥0时, 积分⎰ba dx x f )(在几何上表示由曲线y =f (x )、两条直线x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形的面积; 当f (x )≤0时, 由曲线y =f (x )、两条直线x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方, 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值;⎰∑∑⎰--=∆--=∆==→=→ba ni i i ni i i ba dx x f x f x f dx x f )]([)]([lim )(lim )(110ξξλλ.当f (x )既取得正值又取得负值时, 函数f (x )的图形某些部分在x 轴的上方, 而其它部分在x 轴的下方. 如果我们对面积赋以正负号, 在x 轴上方的图形面积赋以正号, 在x 轴下方的图形面积赋以负号, 则在一般情形下, 定积分⎰ba dx x f )(的几何意义为: 它是介于x 轴、函数f (x )的图形及两条直线x =a 、x =b 之间的各部分面积的代数和.用定积分的定义计算定积分:例1. 利用定义计算定积分dx x 210⎰.解把区间[0, 1]分成n 等份, 分点为和小区间长度为 n i x i =(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n -1), n x i 1=∆(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ) .取n i i =ξ(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ), 作积分和∑∑∑===⋅=∆=∆ni ini i i n i i n ni x x f 121211)()(ξξ)12)(1(61113123++⋅==∑=n n n n i n ni )12)(11(61nn ++=. 因为n 1=λ, 当λ→0时, n →∞, 所以31)12)(11(61lim )(lim 10210=++=∆=∞→=→∑⎰n n x f dx x n n i i i ξλ. 利定积分的几何意义求积分:例2. 用定积分的几何意义求⎰-10)1(dx x .解: 函数y =1-x 在区间[0, 1]上的定积分是以y =1-x 为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形的面积. 因为以y =1-x 为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形是一直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以 211121)1(10=⨯⨯=-⎰dx x .三、定积分的性质两点规定: (1)当a =b 时, 0)(=⎰ba dx x f . (2)当a >b 时,⎰⎰-=abba dx x f dx x f )()(.性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即⎰⎰⎰±=±ba ba b a dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([.证明:⎰±ba dx x g x f )]()([∑=→∆±=ni i i i x g f 10)]()([lim ξξλ∑∑=→=→∆±∆=ni i i n i i i x g x f 1010)(lim )(lim ξξλλ⎰⎰±=ba ba dx x g dx x f )()(.性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面即⎰⎰=ba b a dx x f k dx x kf )()(.这是因为∑⎰=→∆=ni i i ba x kf dx x kf 10)(lim )(ξλ⎰∑=∆==→ba ni i i dx x f k x f k )()(lim 10ξλ.性质3 如果将积分区间分成两部分则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和即⎰⎰⎰+=bc c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(.这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性. 值得注意的是不论a ,b ,c 的相对位置如何总有等式⎰⎰⎰+=bcc a b a dx x f dx x f dx x f )()()(成立. 例如, 当a <b <c 时, 由于 ⎰⎰⎰+=cb ba ca dx x f dx x f dx x f )()()(,于是有⎰⎰⎰-=c b c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(⎰⎰+=bc c a dx x f dx x f )()(. 性质4 如果在区间[a b ]上f (x )≡1 则a b dx dx ba ba -==⎰⎰1. 性质5 如果在区间[a ,b ]上 f (x )≥0, 则⎰≥b a dx x f 0)((a <b ). 推论1 如果在区间[a , b ]上 f (x )≤ g (x ) 则⎰⎰≤ba ba dx x g dx x f )()((a <b ).这是因为g (x )-f (x )≥0, 从而 ⎰⎰⎰≥-=-ba ba ba dx x f x g dx x f dx x g 0)]()([)()(,所以⎰⎰≤b a ba dx x g dx x f )()(.推论2 ⎰⎰≤ba ba dx x f dx x f |)(||)(|(a <b ). 这是因为-|f (x )| ≤ f (x ) ≤ |f (x )|, 所以 ⎰⎰⎰≤≤-ba ba ba dx x f dx x f dx x f |)(|)(|)(|, 即 ⎰⎰≤ba ba dx x f dx x f |)(||)(|| .性质6 设M 及m 分别是函数f (x )在区间[a , b ]上的最大值及最小值, 则 ⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()((a <b ). 证明因为 m ≤ f (x )≤ M , 所以 ⎰⎰⎰≤≤b a ba b a M d xdx x f mdx )(, 从而⎰-≤≤-b a a b M dx x f a b m )()()(.性质7 (定积分中值定理) 如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 则在积分区间[a , b ]上至少存在一个点ξ , 使下式成立:⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ.这个公式叫做积分中值公式.证明由性质6⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()(, 各项除以b -a 得⎰≤-≤ba M dx x f ab m )(1,再由连续函数的介值定理, 在[a , b ]上至少存在一点ξ , 使⎰-=ba dx x f ab f )(1)(ξ,于是两端乘以b -a 得中值公式⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ.积分中值公式的几何解释:应注意: 不论a <b 还是a >b , 积分中值公式都成立.。

曲边梯形的面积与定积分

n3
6
(1 )(2 ) 6n n3
可以证明,取f
x
பைடு நூலகம்
x2在区间i
1, n
i n
上任意一
点ξi处的值fξi 作近似值,都有
S
lim
n
n i1
f
ξi
Δx
lim 1 f n n
ξi
1. 3
y
f b
y fx
f a
oa
bx
图1.5 1
• 求曲边梯形面积： • (1)思想：以直代曲． • (2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限． • (3)关键：近似代替． • (4)结果：分割越细，面积越精确．
n nn
nn
nn
每个区间的长度为
y x2
x i i 1 1 nn n
O 12 nn
k n
nx
n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分别记作
S1, S2,, Si ,, Sn.
（2）近似代替 (不足近似值)
Si
f
(i
1)x n
(i
1)2 n
1 n
y
O 12 nn
y x2
得 A A1.
y = f(x) y
A1
A2
Oa
b
x
用两个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得 A A1+ A2
y = f(x)
y
A1
A2
A3
A4
Oa
b
x
用四个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得 A A1+ A2+ A3+ A4
y = f(x) y