自动控制理论第三章 1 稳定性分析PPT课件
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
a0ddnct(nt)a1ddnt1nc(1t) an1dcd(tt)anc(t) b0ddmtrm (t)b1ddm t1m r(1t) bmr(t) (mn)
由经典解法知，其解为：
c(t)cT(t)cg(t)
在单位脉冲扰动的作用下，系统的输出为
c s G sR sR s 1 G s b a 0 0 s s m n b a 1 1 s s m n 1 1 b a m n
反映元件及系统 的特性要正确
写出的数学式子
数
要简明
学
模
型
微分方程 传递函数 频率特性
结构图
• 实验法 • 解析法
信号流图 状态空间表达式
引言
自动控制系统好？差? 系统分析
典型的输入信号
时域分 析
单阶位复跃脉域析冲分 正斜频余坡域析弦分
时域性能指标
稳态性能 指标
稳定性
动态性能 指标
第三章 控制系统的时域分析
（1）给出了系统稳定的判断方法； （2）给出了不稳定情况下判断右根个数的方法。
例1 已知系统的特征方程为
s4 2 s3 3 s2 4 s 5 0 试用劳斯判据判别系统的稳定性，并确定 正实部根的数目。
解： 根据特征方程的系数列出劳斯表：
s4
1
3 5 ①第一列元素不
s3
2
s2
2314 1
2
40பைடு நூலகம்
5
假设系统的n个特征根互异
si p ii ji,i 1 ,2 , n
则系统的输出表示成单极点形式：
Cs
n
Ms spi
n i1
ai spi
i1
其中ai为对应极点的留数，则时间响应为：
n
c t aiepit i1
为使系统稳定，则必须有
lim c t 0
t
n
从而
lim
t
i1
aie pit
“运动稳定性的一般问题” （The General Problem of the Stability
of Motion)
1. 系统稳定的概念
➢稳定的基本概念
稳定是使系统能够正常工作的必 要条件，所谓“稳定”是指在任 何扰动作用下，系统平衡遭到了 破坏，如果在经过了相当长时间 后，系统能达到一种新的平衡， 或者回到原来的平衡状态，那么 这个系统是稳定的。
目的
掌握控制系统的时域分析方法
内容
系统稳定性分析 稳态误差的计算 瞬态分析 时域性能指标 一阶、二阶系统分析
§3.5 控制系统的稳定性分析 (P70)
1.系统稳定的概念 2.系统稳定的充要条件 3.应用劳斯（Routh)判据判别系统 4. 稳定性
➢系统稳定性的完整概念
关于系统运动的稳定性理论， 是俄国学者李亚普诺夫 （А. М. Лялунов） 于1892年确立的。
0
因为
pi i j i
所以
i 0, i 1, 2, , n
重根情况
如果pi为二重根、三重根…时，分量式为
s
ai pi
2
,
s
ai pi
3
时间分量为：
aitepit，12 ait2epit， ...
则一样必须极点的实部为小于零。
共轭复数根情况
设共轭两根对应的分量式为：
sij aiis sb i ijis a isi 2b ii2
c34
c13a7 a1c43 c13
c 44
2.分母总是上一行第一个元素； s n 4
cc 11 55
c14c23 c13c24 c14
c25
c14c33 c13c34 c14
c35
c14c43 c13c44 c14
c 45
3.次对角线减主对角线； 4ss .12 一行可cc 11 ,, nn同 1 乘以或同c 2 除,n 1 以某正数；
sn
a0
s n1
a1
a2
a4
a6
a3
a5
a7
s n2
cc 11 33
a1a2 a0a3 a1
c23
a1a4 a0a5 a1
c33
a1a6 a0a7 a1
c 43
1右.劳移斯一行位列降第两一阶列；不动，下移一行降一阶， s n 3
cc1144
c13a3 a1c23 c13
c24
c13a5 a1c33 c13
则时间分量为：
aieitsiniti
根据收敛条件根的实部必须要小于零。
ci(t) i>0
ai
t
0
振荡发散
ai ci(t) 0
i<0
t 振荡收敛
ci(t) 1>2
ai
1 2
0
t
ci(t) >0
ai
=0
0 <0
t
系统稳定的充要条件：
系统所有闭环特征根即闭环极点必须为负 值，或者实部为负的共轭复数。也可以说，
5s .0n阶系c统1,n1的 a劳n 斯表共有n+1行。
系统稳定的充分必要条件是：
1、必要条件：ai(i0,1...n)同号，且处理为a i 0
形式； 2、充分条件：劳斯表中第一列所有元素的计算 值均大于零，则系统稳定；如果第一列出现小 于零的元素，则系统不稳定，并且第一列中数 值符号改变的次数等于系统特征方程正实部根 的数目；如果出现零值，那么该系统存在纯虚 根，系统不稳定。
d
dt
l
d 2
d t2
h
mg
强调1：对于线性（线性化）系统而言，稳定与否仅取 决于系统自身结构，而与外界扰动无关。
强调2：达到新的平衡状态或恢复到原始状态，其间有 一个“允许”误差范围的原则。
o
b
c
M
稳定stable
d f
不稳定unstable
2. 系统稳定的充要条件
线性(化)系统时域数学模型为：
同号，所以系统 不稳定。
②第一列中数值
s1
1425 6 1
符号改变两次， 所以有两个正实
s0
5
部的根。
例2 特征方程为
D (s ) s 5 s 4 2 s 3 2 s 2 3 s 5 ＝ 0
列写劳斯表：
s5 1
s4 1
s 3 ε0
23 25 2
s2
2ε + 2
正数
ε
5
s1
4ε 4 5ε2 －2 2ε 2
系统所有的特征根必须位于S 平面的左半平
面。
➢系统稳定性的讨论
系统稳定性是系统的固有特性，与输入 信号无关
若系统闭环特征方程的根有重根，充要 条件还成立吗？
Pi 为单根
分量式为
ai
s pi
Pi 为二重根
分量式有
ai (s pi)2
时间分量 a i e p i t
时间分量 a i t e p it
必有
lti m (n 11)!ait(n1)epit pi00
问题：
高阶系统如何 判断稳定性？
3. 代数稳定性判据
➢劳斯判据（Routh) ---不必求解闭环特征方程的根，利用闭环 特征方程的系数判别稳定性。
闭环特征方程 D ( s ) a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n 0 ( a 0 0 )
由经典解法知，其解为：
c(t)cT(t)cg(t)
在单位脉冲扰动的作用下，系统的输出为
c s G sR sR s 1 G s b a 0 0 s s m n b a 1 1 s s m n 1 1 b a m n
反映元件及系统 的特性要正确
写出的数学式子
数
要简明
学
模
型
微分方程 传递函数 频率特性
结构图
• 实验法 • 解析法
信号流图 状态空间表达式
引言
自动控制系统好？差? 系统分析
典型的输入信号
时域分 析
单阶位复跃脉域析冲分 正斜频余坡域析弦分
时域性能指标
稳态性能 指标
稳定性
动态性能 指标
第三章 控制系统的时域分析
（1）给出了系统稳定的判断方法； （2）给出了不稳定情况下判断右根个数的方法。
例1 已知系统的特征方程为
s4 2 s3 3 s2 4 s 5 0 试用劳斯判据判别系统的稳定性，并确定 正实部根的数目。
解： 根据特征方程的系数列出劳斯表：
s4
1
3 5 ①第一列元素不
s3
2
s2
2314 1
2
40பைடு நூலகம்
5
假设系统的n个特征根互异
si p ii ji,i 1 ,2 , n
则系统的输出表示成单极点形式：
Cs
n
Ms spi
n i1
ai spi
i1
其中ai为对应极点的留数，则时间响应为：
n
c t aiepit i1
为使系统稳定，则必须有
lim c t 0
t
n
从而
lim
t
i1
aie pit
“运动稳定性的一般问题” （The General Problem of the Stability
of Motion)
1. 系统稳定的概念
➢稳定的基本概念
稳定是使系统能够正常工作的必 要条件，所谓“稳定”是指在任 何扰动作用下，系统平衡遭到了 破坏，如果在经过了相当长时间 后，系统能达到一种新的平衡， 或者回到原来的平衡状态，那么 这个系统是稳定的。
目的
掌握控制系统的时域分析方法
内容
系统稳定性分析 稳态误差的计算 瞬态分析 时域性能指标 一阶、二阶系统分析
§3.5 控制系统的稳定性分析 (P70)
1.系统稳定的概念 2.系统稳定的充要条件 3.应用劳斯（Routh)判据判别系统 4. 稳定性
➢系统稳定性的完整概念
关于系统运动的稳定性理论， 是俄国学者李亚普诺夫 （А. М. Лялунов） 于1892年确立的。
0
因为
pi i j i
所以
i 0, i 1, 2, , n
重根情况
如果pi为二重根、三重根…时，分量式为
s
ai pi
2
,
s
ai pi
3
时间分量为：
aitepit，12 ait2epit， ...
则一样必须极点的实部为小于零。
共轭复数根情况
设共轭两根对应的分量式为：
sij aiis sb i ijis a isi 2b ii2
c34
c13a7 a1c43 c13
c 44
2.分母总是上一行第一个元素； s n 4
cc 11 55
c14c23 c13c24 c14
c25
c14c33 c13c34 c14
c35
c14c43 c13c44 c14
c 45
3.次对角线减主对角线； 4ss .12 一行可cc 11 ,, nn同 1 乘以或同c 2 除,n 1 以某正数；
sn
a0
s n1
a1
a2
a4
a6
a3
a5
a7
s n2
cc 11 33
a1a2 a0a3 a1
c23
a1a4 a0a5 a1
c33
a1a6 a0a7 a1
c 43
1右.劳移斯一行位列降第两一阶列；不动，下移一行降一阶， s n 3
cc1144
c13a3 a1c23 c13
c24
c13a5 a1c33 c13
则时间分量为：
aieitsiniti
根据收敛条件根的实部必须要小于零。
ci(t) i>0
ai
t
0
振荡发散
ai ci(t) 0
i<0
t 振荡收敛
ci(t) 1>2
ai
1 2
0
t
ci(t) >0
ai
=0
0 <0
t
系统稳定的充要条件：
系统所有闭环特征根即闭环极点必须为负 值，或者实部为负的共轭复数。也可以说，
5s .0n阶系c统1,n1的 a劳n 斯表共有n+1行。
系统稳定的充分必要条件是：
1、必要条件：ai(i0,1...n)同号，且处理为a i 0
形式； 2、充分条件：劳斯表中第一列所有元素的计算 值均大于零，则系统稳定；如果第一列出现小 于零的元素，则系统不稳定，并且第一列中数 值符号改变的次数等于系统特征方程正实部根 的数目；如果出现零值，那么该系统存在纯虚 根，系统不稳定。
d
dt
l
d 2
d t2
h
mg
强调1：对于线性（线性化）系统而言，稳定与否仅取 决于系统自身结构，而与外界扰动无关。
强调2：达到新的平衡状态或恢复到原始状态，其间有 一个“允许”误差范围的原则。
o
b
c
M
稳定stable
d f
不稳定unstable
2. 系统稳定的充要条件
线性(化)系统时域数学模型为：
同号，所以系统 不稳定。
②第一列中数值
s1
1425 6 1
符号改变两次， 所以有两个正实
s0
5
部的根。
例2 特征方程为
D (s ) s 5 s 4 2 s 3 2 s 2 3 s 5 ＝ 0
列写劳斯表：
s5 1
s4 1
s 3 ε0
23 25 2
s2
2ε + 2
正数
ε
5
s1
4ε 4 5ε2 －2 2ε 2
系统所有的特征根必须位于S 平面的左半平
面。
➢系统稳定性的讨论
系统稳定性是系统的固有特性，与输入 信号无关
若系统闭环特征方程的根有重根，充要 条件还成立吗？
Pi 为单根
分量式为
ai
s pi
Pi 为二重根
分量式有
ai (s pi)2
时间分量 a i e p i t
时间分量 a i t e p it
必有
lti m (n 11)!ait(n1)epit pi00
问题：
高阶系统如何 判断稳定性？
3. 代数稳定性判据
➢劳斯判据（Routh) ---不必求解闭环特征方程的根，利用闭环 特征方程的系数判别稳定性。
闭环特征方程 D ( s ) a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n 0 ( a 0 0 )