北京交通大学硕士研究生课程《随机过程》4.1-1

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4.1 到达时间间隔与等待时间分布 4.1’ Poisson过程的分解 4.2 非齐次和复合Poisson过程
4.1到达时间间隔与等待时间分布
一、到达时刻与时间间隔 1）到达时刻序列
设 N t , t 0是一齐次 Poisson 过程，强度为 . 由PN h 2 oh知，事件是一个一个发 生的，
2
2 1
N t n Sn t Sn1 t
4.1到达时间间隔与等待时间分布
P N s t N s n N s m P N s t N s n, N s m P N s t n m, N s m P N s m P N s m
P S1 s, N t 1 P N t 1
证明: P S1 s N t 1

P N s 1, N s ,t 0 P N t 1
4.1到达时间间隔与等待时间分布
P S1 s N t 1
独立增量

P N s 1P N s ,t 0 P N t 1
从上图可以看出，
N t n Sn t N t n Sn t Sn1
4.1到达时间间隔与等待时间分布
二、时间间隔序列的分布
X n , n 1,2,是 独 立 同 分 的到达时间间隔序列
1 布的随机变量序列，服 且 从Exp , 均 值 为 .
N t , t 0是 强 度 为 的齐次 Poisson 过程 X n , n 1,2,i.i.d且 服 从Exp 时 间 间 隔 序 列 Sn , n 0,1,2,服 从Erlangn, 到达时刻序列
证明 : 只需证明 (1)先证明平稳独立增量性
t
4.1到达时间间隔与等待时间分布
五、到达时刻的条件分布 1）首次到达时刻的条件分布
定 理4.3 强 度 为 的齐次 Poi sson 过 程N t , t 0 的第一个到达时刻 S1在N t 1的 条 件 下 服 从 在
S1 N t 1 ~ U 0, t . 区 间0, t 上 的 均 匀 分 布 ， 即
0, t 上 有 一 个 事 件 发 生 的 况 在已知 情下 ， 该
S
1
N t 1 ~ U 0, t .
问题
10 该性质能否推广到 N t n，n 1的情形？
2 该性质是否是 Poisson 过程特有的 ？
0

.
源自文库 4.1到达时间间隔与等待时间分布
P X 2 t X 1 s P N s , s t 0 N s 1
独立增量

P N s , s t 0
平稳增量

P N t 0 e
t
X 2与X 1独立，且也服从 Exp ，E X 2
t
j!
j
4.1到达时间间隔与等待时间分布
f Sn
t FS t
n
j n e

t
t
j!
j
j n e

t
e
t
t n 1!
n 1
t j 1!
j 1
证明2 : Sn X 1 X 2 X n
定 理4.1 强 度 为 的齐次 Poisson 过 程N t , t 0
证明 : P X 1 t P N t 0 e
即P X 1 t 1 - e
t t 0

t
e s ds
1
X 1 ~ Exp ， EX1
N t , t 0为独立平稳增量过程
4.1到达时间间隔与等待时间分布
(2)再证明过程服从 Poisson分布 P N t n P S n t P S n1 t
e
0 t x
x dx e x x n 1! 0 n!
4.1到达时间间隔与等待时间分布
2）时间间隔序列
X n , n 1为 到 达 时 间 间 隔 序 列 的间隔，称 .
S0 S1 S2 S3
X1 X2 X3
n 1个 事 件 到 第 则X n 表 示 第 n个 事 件 之 间
令X n S n S n- 1，n 1
P S n m s t , S n m 1 s t , S m s , S m 1 s P S m s , S m 1 s
无记忆性

P S n t , S n1 t P N t n
P Sm s, S m 1 s P Sn t , Sn1 t P S m s, S m 1 s
EN t 于是 t
是单位时间内时间发生 的平均数 .
越 大 ， 单 位 时 间 内 平 发 均生 的 事 件 越 多 . 这正是称 为 泊 松 过 程 的 强 度 的 因 原.
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4.1 到达时间间隔与等待时间分布 4.1’ Poisson过程的分解 4.2 非齐次和复合Poisson过程
1
1
依次类推，X n相互独立，都服从 Exp ， EXn

.

.
4.1到达时间间隔与等待时间分布
三、到达时刻序列的分布
S n , n 0,1,2,服 从 参 数 为 的到达时刻序列 n,
的 分 布 ， 即 Erl an gn, , 密 度 函 数 为
f t e
P N s 1P N t s 0 P N t 1
平稳增量

se s e t s t te
S1 N t 1 ~ U 0, t
s t
4.1到达时间间隔与等待时间分布
说明
由 于Poisson 过 程 具 有 平 稳 独 立 增性 量， 从 而 事件发生时刻 S1在0, t 上 是 等 可 能 的 ， 即
随机过程
第4章 Poisson过程
授课人：刘玉婷 理学院数学系
例题
例1
上海证券交易所开盘后 ，股票买卖的依次成交 构成一个泊松过程，如 果每10分钟平均有 12万次 买卖成交，计算该泊松 过程的强度，和1秒内 成交100次的概率.
解 : 用N t 表 示 上 述 的 Poisson过 程 ， 10分 钟 内 平均成交次数是
. n 1, X n i.i.d ~ Exp . X n u n iu S n u , iu Sn ~ n, Erlangn,

4.1到达时间间隔与等待时间分布
四、Poisson过程的等价定义
S N t 1 S N t t
4.1到达时间间隔与等待时间分布
S0 S1 S2 S3 Sn t S n 1
N t n和Sn t Sn1 都 表 示 0, t 内
恰 有n次 事 件 发 生 ；
N t n和Sn t都表示 0, t 内至少有 n次事件发生；
即任一时刻发生两次事 件的概率趋于 0.
生 的. 那 么 用 Sn表 示 第 n个 事 件 发 生 的 时 刻 (或 等待的时刻 ) ， 称S n , n 0为 到 达 时 刻 序 列 .
则 知0, t 内 共 发 生 了 N t次 事 件 ， 且 一 个 一 个 发
则0 S0 S1 S2 Sn .
EN t , t 600 EN 0,600 600 120000
200次 / 秒
例题
1秒内成交 100 次的概率
P N 1 100

100
100!
e
200 200 e 100!
1.88 1015
100
说明
设N t 是强度为 的泊松过程，则容易计 算 EN t t ,VarN t t .
t
定 理4.2 强 度 为 的齐次 Poi sson 过 程N t , t 0
t , t 0 n 1!
n 1
证明1 : Sn t N t n
FSn t PS n t PN t n j n e
t
n 1 t
n
dx
y x


t
0
e
y
y y y dy e dy 0 n 1! n!
t
n 1
n
n n t y y y y e d e dy 0 n! n! 0 n n n n t t t t y y t y y y y e dy e dy e 0 0 e 0 n! n! n! n!