北京交通大学硕士研究生课程《随机过程》4.1-1
随机过程第4章Markov过程（PDF）
第四章 Markov 过程本章我们先讨论一类特殊的参数离散状态空间离散的随机过程，参数为0{0,1,2,}T N ==L ，状态空间为可列{1,2,}I =L 或有限{1,2,,}I n =L 的情况，即讨论的过程为Markov 链。
Markov 链最初由Markov 于1906年引入，至今它在自然科学、工程技术、生命科学及管理科学等诸多领域中都有广泛的应用。
之后我们将讨论另一类参数连续状态空间离散的随机过程，即纯不连续Markov 过程。
§4.1 Markov 链的定义与性质一、Markov 链的定义定义 4.1设随机序列{;0}n X n ≥的状态空间为I ，如果对0n N ∀∈，及0110011,,,,,{,,,}0n n n n i i i i I P X i X i X i +∈===>L L ，有：11001111{,,,}{}n n n n n n n n P X i X i X i X i P X i X i ++++=======L （4.1.0)则称{;0}n X n ≥为Markov 链。
注1：等式（4.1.0）刻画了Markov 链的特性，称此特性为Markov 性或无后效性，简称为马氏性。
Markov 链也称为马氏链。
定义4.2 设{;0}n X n ≥为马氏链，状态空间为I ，对于,i j I ∀∈，称1{}()ˆn n i j P X j X i p n +===为马氏链{;0}n X n ≥在n 时刻的一步转移概率。
注2：一步转移概率满足：()0,,()1,i j i jj Ip n i j Ipn i I ∈≥∈=∈∑若对于,i j I ∀∈，有1{}()ˆn n i j i j P X j X i p n p +===≡即上面式子的右边与时刻n 无关，则称此马氏链为齐次（或时齐的）马氏链。
设{}0()(0),p i P X i i I ==∈，如果对一切i I ∈都有00()0,()1i Ip i p i ∈≥=∑，称0()p i 为马氏链的初始分布。
随机过程教学大纲
《随机过程》教学大纲课程编码：1511104303课程名称：随机过程学时/学分：48/3先修课程：《数学分析》、《概率论与数理统计》适用专业：数学与应用数学开课教研室：信息与计算科学教研室一、课程性质与任务1．课程性质：随机过程是概率论与数理统计的后继课程，是数学与应用数学专业的专业选修课。
随机过程通常被视为概率论的动态部分，即研究的是随机现象的动态特征，着重对随时间和空间变化的随机现象提出各种不同的模型并研究其内在的性质与相互联系，具有较强的理论性。
该学科在社会科学、自然科学、经济和管理等各个领域中都有广泛的应用。
随机过程论在理论与应用两方面都发展迅速，学习、了解这门学科对概率统计及数学其他分支如信息与计算科学、自然学科、工程技术乃至经济管理等方面的学者及科技工作者都是重要而且有益的。
本课程开设在第6学期。
2．课程任务：通过本课程的学习，学生应能较好地理解随机数学的基本思想，掌握几个常用过程，如泊松过程、马尔可夫链、生灭过程、更新过程、鞅的基本概念，基本理论及分析方法。
提高学生的数学素质，加强学生运用随机过程的思想方法开展科研工作和解决实际问题的能力。
二、课程教学基本要求《随机过程》要求在熟练掌握概率论的基础上深刻理解随机过程的基本思想，理解随机过程是概率论的动态部分的含义；掌握随机过程的分类方法及常见的随机过程（如Poisson 过程、更新过程、Markov链和鞅等）的各种性质、推广形式及简单应用。
本课程的成绩考核形式：末考成绩（闭卷考试）（70%）＋平时成绩（平时测验、作业、课堂提问、课堂讨论等）（30％)。
成绩评定采用百分制，60分为及格。
三、课程教学内容第一章 准备知识1．教学基本要求复习随机变量、分布函数、分布律和概率密度函数的概念，条件分布，函数的分布求法，常见的离散型与连续型分布，及多维随机变量的知识；复习随机变量的数学期望、方差、矩、协方差与协方差阵、相关系数的定义及计算；掌握条件数学期望的求法，全期望公式的意义与应用；掌握随机变量的特征函数的定义、性质与求法；理解随机变量序列的各种收敛性。
北大随机过程课件：第 4 章 第 1 讲 基本概念
{
}
非周期平稳随机过程的相关函数和功率谱是傅立叶变换对
∞
P( f ) = Rξ (τ ) =
−∞
∫ Rξ (τ )e
∞ −∞
− j 2π f τ
dτ
∫ P ( f )e
j 2π f τ
dτ
6 例题
例 1（例 P-9-12）广义平稳随机过程的积分
T
设 x(t ) 是广义平稳随机过程， s =
Rξ ξ (0 ) ≥ μ ξ
证明： 考虑到
2
，
μξ
是随机过程的均值。
Rξ ξ (0) = E ξ (t )ξ (t )
= E ξ (t ) − μ ξ ξ (t ) − μ ξ + μ ξ = D[ξ (t )] + μ ξ
2
{[
{
}
][
]}
2
D[ξ (t )] = E ξ (t ) − μ ξ ξ (t ) − μ ξ ≥ 0
t i ∈ T , i = 1,2," n 、及任意时间间隔τ和 x1 , x 2 , x3 ,", x n ∈ R ，有 n 维分布函数 Fξ ( x1 , x 2 , ", x n ; t1 , t 2 ," , t n ) = Fξ ( x1 , x 2 ," , x n ; t1 + τ , t 2 + τ ,", t n + τ ) 则称该过程为严
随机过程的基本概念
¾ 马尔科夫性质 6 马尔科夫过程与马尔科夫链的定义 6 马尔科夫过程与马尔科夫链的联合概率 二阶矩过程 6 定义 6 协方差函数和相关函数的存在性 6 自相关函数的对称性 6 自相关函数的非负定性 严平稳随机过程及其性质 宽平稳随机过程及其性质 6 定义 6 宽平稳正态过程是严平稳的 6 对称性 6 均值的平方小于平均功率 6 相关函数的模小于平均功率 6 相关矩阵的非负性 功率谱 6 周期平稳随机过程的谱分析 6 非周期平稳随机过程的谱分析 例题
随机过程 研究生 课程介绍
第0章 课程介绍及课时安排 授课人：刘玉婷 ytliu@ 理学院数学系
提纲
教材及参考书目 主要内容 考试安排
教材及参考书目
教材
《随机过程及其在金融领域中的应用》王军 王 娟 清华大学出版社 北京交通大学出版社
参考书目
《应用随机过程》 林元烈 清华大学出版社 《应用随机过程》柳金甫 李学伟 中国铁道出版 社
第4章 Poisson过程
第6课：3.5 + 4.1 第7课：4.1
复习：第15课 答疑：第16课 – 机械楼N201
考核方式
平时作业 10%
每章之后留习题若干，下次课上交 作业纸作答(不返回) ( )
期末考试 90%
闭卷 仅考所学内容
主要学习内容
第2章 概率空间
第1课：2.1 + 2.2 第2课：2.3 第3课：2.4 arkov链
第9课：5.1 + 5.2 第10课：5.2 第11课：5.3 第12课：5.3 第13课：5.4 第14课：5.5
第3章 随机过程
第4课：3.1 + 3.2 +3.3 第5课：3.4 + 3.6
研究生学位课程教学大纲-随机过程
硕士研究生学位课程教学大纲随机过程（课程名称）Stochastic Process（Course Title）课程编号：IE11001 课程性质：学位课程学分数： 3 课程总学时：48学时开课学院：信息电子学院授课教师：姚青预备知识：高等数学、概率论、线性代数一、课程学习目的及要求：随机过程是现代概率论的一个重要课题，它主要研究和探讨客观世界中随机演变过程的规律性，并应用于控制﹑通信﹑生物﹑物理﹑雷达通讯﹑地质﹑天文气象﹑社会科学等工程科学技术中。
通过本课程的学习，要求学生掌握随机过程的基本概念、随机过程的统计特征描述、随机信号通过系统分析以及电子系统中常见的窄带、正态随机信号通过系统的分析以及电子系统中常见的窄带、正态随机信号、马尔可夫过程、平稳过程、信号检测与估计等的基本理论方法，为学生在信号与信息处理领域打下扎实的理论基础，为学习后续课程以及将来的发展奠定坚实的基础。
二、主要章节与学时安排：第一章随机变量基础（6学时）教学内容与要求：掌握随机变量的基本概念，随机变量的分布函数与概率密度、数字特征、特征函数和统计特性等。
重点：随机变量的统计特性。
1.1 概率论的基本术语1.2 随机变量的定义1.3 随机变量的分布函数与概率密度1.4 多维随机变量及分布1.5 随机变量的数字特征1.6 随机变量的函数1.7 随机变量的特征函数1.8 多维正态随机变量1.9 复随机变量及其统计特性1.10 MATLAB的统计函数第二章随机过程的基本概念（9学时）教学内容与要求：要求理解和掌握随机过程的概念及定义；掌握和应用随机过程的统计描述；理解和掌握平稳随机过程、各态历经过程的概念和统计特性；掌握和应用随机过程的联合分布和互相关函数；掌握和应用随机过程的功率谱密度；理解和掌握脉冲型随机过程的统计特性分析等。
重点：随机过程的概念和统计特性、随机过程功率谱密度等等。
2.1 随机过程的基本概念及定义2.2 随机过程的统计描述2.3 平稳随机过程2.4 随机过程的联合分布和互相关函数2.5 随机过程的功率谱密度2.6 典型的随机过程2.7 基于MATLAB的随机过程分析方法2.8 信号处理实例第三章随机过程的线性变换（9学时）教学内容与要求：掌握和应用线性系统变换的基本概念和基本定理；理解和掌握随机信号的导数与积分；掌握和应用随机过程线性变换的微分方程法、随机过程线性变换的冲激响应法和频谱法；掌握和应用随机信号通过线性的分析方法；理解和掌握白噪声与等效通能带的概念和特性等。
北京交通大学研究生选课表
综合英语39徐 ,SY205
综合英语40周新 SY302
知识产权-4 陈明涛，YF604
（9-16周）
信息检索-6邓要武,SY105
（1-8周）
电磁场理论（刘瑞芳）
1-8周 多媒体
80人SY401
硕士俄语(王丽)
1-16周Z305
牵引供电系统（吴命利）
9-16周多媒体
60人第九教学楼 东102
（1-16周）
电力系统过电压保护（张小青）（1-8周）多媒体
40人SY103
动态系统的数字控制（林飞）
9-16周多媒体
60人SY109
电气优化设计（刘慧娟）
9-16周多媒体
60人SY206
电力市场与电价理论（周瑜慧）
9-16周多媒体
40人YF509
电力系统自动化（高沁翔、夏明超）
9-16周多媒体
70人YF614
综合英语9 伍 ,SY203
综合英语10孔 ,SY204
综合英语11戴 ,SY205
综合英语12徐 ,SY302
综合英语42贾 ，SY303
（1-16周）
知识产权-2 周琼，YF604
（9-16周）
信息检索-2王星华，SY201
（1-8周）
综合英语21王 ，SY102
综合英语22周新 ,SY103
综合英语23伍 ,SY104
等离子体动力学（刘文正）
1-8周多媒体
30人Z310
电力系统自动化（高沁翔、夏明超）
9-16周多媒体
70人YF609
数值分析I-7
林（北理工副教授）,SY208
（1-16周）
高等电力系统分析（吴俊勇）
北京交通大学第一学期硕士课表
1-8周90人
多媒体DQ106
最优控制理论及应用
1-8周60人
多媒体DQ305
计算机网络体系与协议
1-8周 150人
多媒体SD106
高等数字集成电路设计
1-8周40人
多媒体SY405
智能交通系统
1-6周，8-9周120人
多媒体九教东102
现代半导体器件与工艺
9-16周40人
多媒体SY405
控制工程专业外语
1-8周50人
多媒体Z306
移动IP网
1-16周100人
多媒体SY301
现代电子测量技术
1-8周30人
多媒体Z109
光电子器件理论与技术
1-8周 70人
多媒体SD108
基于模型驱动（MDA)的安全系统设计
9-16周90人
多媒体YF513
MEMS器件与设计
9-16周40人
多媒体SY103
光电子器件理论与技术
1-8周 70人
多媒体SY301
电磁兼容与测量
1-6周，8-9周60人
多媒体九教东101
4大节
14:10-16:00
交通系统状态监测与故障诊断技术
1-8周80人
多媒体YF208
无线通信新技术-1
9-16周100人
多媒体SY105
无线通信新技术-2
9-16周100人
多媒体SY106
1-8周60人
多媒体YF104
集成电路工程专业外语
1-8周 40人
多媒体SY403
多媒体信息处理和传输技术
1-8周90人
多媒体SY106
数字图像处理
1-8周60人
【北邮考研通信原理课件】第三章 随机过程
3.3 平稳随机过程
• 平稳随机过程相关函数的性质
1 RX 0 E X 2 t ，是统计平均功率，与t无关 2 RX RX 需实随机过程 3 RX RX 0 4若X t T X t ，则RX T RX 5一般， 时，可以认为X t 和X t 相互独立，
所以若E
u
h
v
dudv
RX
u
v h u h v dudv
RY
3.5 平稳随机过程通过线性系统
• X(t)和Y(t)的互相关函数与互功率谱密度
RXY t1,t2 E X t1 Y t2
E
X
t1
h
u
X
t2
u
du
RX
u
h
u
du
RX
*
h
RXY
PXY f F RXY PX f H f
RXY t1, t2 mX t1 mY t2
3.2 随机过程的统计特性
• 不相关与独立 •
若两随机过程X t 和Y t 对任何t1,t2有 • 两随机过程C相XY互独t1立, t2，则必0定，不则相这关；两若随不相机关过，则程不不一相 定独关立
• 对于正态（高斯）随机过程，不相关与独立是等价的
• 系统框图
Y
t
X
t
*h
t
X
a
h
t
a
da
h
u
X
t
u du
3.5 平稳随机过程通过线性系统
• Y(t)为平稳随机过程
mY
t
E
Y
t
h
u
E
X
t
u
du
E
X
t
北京交通大学硕士研究生课程《随机过程》4.1-2
在已知 N t n的 条 件 下 ， S1， , Sn 的 联 合 密 度 为
0, t 分为n 1个小部分，取ti为充分小量，
使得 t i -1 t i t i
4.1到达时间间隔与等待时间分布
P t i Δt i Si t i ,1 i n N t n
问题
10 该性质能否推广到 N t n，n 1的情形？
2 该性质是否是 Poisson 过程特有的 ？
0
4.1到达时间间隔与等待时间分布
补充知识—顺序统计量
10 定 义 ： 设 Y1 ,, Yn是n个 随 机 变 量 ， 记 Yk 是 Y1 ,, Yn中 第k个 最 小 值 ， k 1,, n， 则 称 Y1 , Y2 ,, Yn 是 对 应 于 Y1 ,, Yn的 顺 序 统 计 量 .
k 1
s h k 1!
P N t n
k 1
e
h
h e
t s
t s e t n! n n k ! t
n k
1
s t
n k
1 t
4.1到达时间间隔与等待时间分布
说明：
s 1 P S k s N t n C t jk
又 P S 1 s , S1 s x S 2
s
P X 1 s, X 1 s x X 1 X 2 P X 1 du, X 2 s x u
0
P X 1 du, X 2 s x u P X 1 du, X 2 s x u
的 分 布 ， 即 Erl an gn, , 密 度 函 数 为
概率论与随机过程习题集(北邮研一专硕)
+
2ωτ
+
2θ
)
1 2π
dθ
=
0
则：
RY
(t,t
+τ
)
=
A4 E
⎡⎣⎢1 −
cos
( 2ωt
+
2Θ)
−
cos
( 2ωt
+
2ωτ
+
2Θ)
+
1 2
cos
( 4ωt
+
2ωτ
+
4Θ )
+
1 2
cos
( 2ωτ
)⎤⎥⎦
=
1 4
A4 E
⎡⎢⎣1 +
1 2
cos
( 2ωτ
)⎤⎥⎦
=
1 4
A4
⎡⎢⎣1 +
1 2
cos
则： mX (t ) = E ⎡⎣ X (t )⎤⎦ = E ⎡⎣ Acos (ωt ) + B sin (ωt )⎤⎦ = cos (ωt ) E ( A) + sin (ωt ) E ( B) = 0 X (t ) 的相关函数为：
RX (t1,t2 ) = E ⎡⎣ X (t1 ) X (t2 )⎤⎦ = E ⎡⎣ A cos (ωt1 ) + B sin (ωt1 )⎤⎦ ⎡⎣ A cos (ωt2 ) + B sin (ωt2 )⎤⎦
i1 2
⎞ ⎟⎠
+
2i1⎤⎥⎦
=
1 2
方差σ
2 X
(t
)
=
E
⎣⎡ X
2
(t
)⎦⎤
−
⎡⎣mX
教学大纲_随机过程
教学⼤纲_随机过程《随机过程》教学⼤纲课程编号：121213A课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课□√专业必修课□专业选修课□学科基础课总学时：48 讲课学时：32实验（上机）学时：16学分：3适⽤对象：数学与应⽤数学（⾦融数学）、统计学先修课程：数学分析、⾼等代数、概率论毕业要求：1.掌握数学、统计及计算机的基本理论和⽅法；2.建⽴数学、统计等模型解决⾦融实际问题；3.具备国际视野，并且能够与同⾏及社会公众进⾏有效沟通和交流。
⼀、教学⽬标随机过程是对随时间和空间变化的随机现象进⾏建模和分析的学科，在物理、⽣物、⼯程、⼼理学、计算机科学、经济和管理等⽅⾯都有⼴泛的应⽤。
本课程介绍随机过程的基本理论和⼏类重要随机过程模型与应⽤背景，通过本课程的学习，使学⽣获得随机过程的基本知识和基本运算技能，同时使学⽣在运⽤数学⽅法分析和解决问题的能⼒得到进⼀步的培养和训练，为学习有关专业课程提供必要的数学基础。
⼆、教学内容及其与毕业要求的对应关系（⼀）教学内容随机过程的基本概念（有限维分布、数字特征，复值随机过程，特征函数），⼏种重要随机过程（独⽴过程，独⽴增量过程，伯努利过程，正态过程，维纳过程），泊松过程（定义（计数过程）与例⼦，泊松过程的叠加与分解，时间间隔与等待时间的分布，复合泊松过程，⾮齐次泊松过程），更新过程介绍，马尔科夫过程（离散时间的马尔科夫过程定义及转移概率，C-K⽅程，马⽒链的分布，遍历性与平稳分布，状态分类与分解，马⽒链的应⽤，连续时间的马尔可夫链的定义与基本性质，鞅论初步），平稳随机过程（平稳过程及相关函数，随机微积分，各态历经，谱密度）。
（⼆）教学⽅法和⼿段教师课上讲授理论知识内容及相关基本例题，学⽣课下练习及教师答疑、辅导相结合。
（三）考核⽅式实⾏过程考核和期末考试相结合的⽅式，期末闭卷考试为主（70%），平时过程考核为辅（30%）。
学期期末闭卷考试⼀次，采⽤统⼀的考题和统⼀的评分标准。
随机过程教学大纲
《随机过程》课程教学大纲一课程说明1.课程基本情况课程名称：应用随机过程英文名称：Applications Random Process课程编号：2411223开课专业：数学与应用数学专业开课学期：第6学期学分/周学时：3/3课程类型：专业方向选修课2．课程性质（本课程在该专业的地位作用）《应用随机过程》是面向数学与应用数学专业（应用数学方向）三年级学生开设的一门任选课，随机过程通常被视为概率论的动态部分，即研究的是随机现象的动态特征。
着重对随时间和空间变化的随机现象提出各种不同的模型并研究其内在的性质与相互联系，具有较强的理论性。
该学科在社会科学、自然科学、经济和管理等各个领域中都有广泛的应用。
3．本课程的教学目的和任务通过本课程的学习，使学生能较深刻地理解随机过程的基本理论、思想和方法，并能应用其解决实践中遇到的随机问题，从而提高学生的数学素质，加强学生开展科研工作和解决实际问题的能力。
提高学生在建立随机数学模型、分析和解决问题方面的水平和能力，为进一步自学有关专业应用理论课程作好准备。
4．本课程与相关课程的关系、教材体系特点及具体要求先修课程：微积分、概率论。
掌握随机过程及其有限维分布、数字特征、几种重要的随机过程等基本概念；掌握马尔可夫过程的定义及性质、马氏链的状态分类、平稳性和遍历性及连续时间马氏链的基本理论；理解平稳过程的概念、相关函数的性质，掌握遍历性定理、相关函数的谱分解、平稳过程的预报.了解维纳过程、了解均方微分、积分等概念和方法；Ito公式；初步领会随机微分方程在金融中的应用.5．教学时数及课时分配二教材及主要参考书1、张波，商豪. 应用随机过程（第二版）. 中国人民大学出版社，20092、张波编著. 应用随机过程. 中国人民大学出版社, 20013、钱敏平、龚光鲁著. 应用随机过程. 北京大学出版社, 19984、方兆本、缪柏其著. 随机过程. 中国科技大学出版社, 19935、王寿仁编著. 概率论基础和随机过程. 北京科学出版社, 1997三教学方法和教学手段说明本课程虽然归属理论课，但具有很强的应用性，在教学过程中应注意引导学生从传统的确定性思维模式进入随机性思维模式，注意理论联系实际，从实际问题出发，通过抽象、概括，引出新概念、新方法。
《随机过程》课件
泊松过程
定义
泊松过程是一种计数随机过程，其事件的发生是 相互独立的，且具有恒定的平均发生率。
例子
放射性衰变、电话呼叫次数、交通事故等。
应用领域
物理学、工程学、保险学等。
03
随机过程的变换与函数
随机过程的线性变换
线性变换的定义
线性变换是指对随机过程中的每个时间点，将该点的随机变量或随机向量乘以一个常数 或矩阵，并加上另一个常数或矩阵。
应用
微分在随机过程的理论和应用中非常重要，例如在金融 领域中，可以通过计算股票价格的导数来预测股票价格 的变动趋势。
积分的定义
随机过程的积分是指对随机过程中的每个时间点，将该 点的随机变量进行积分。
积分的性质
积分运算可以改变随机过程的统计特性，例如期望、方 差和协方差等。
应用
积分在随机过程的理论和应用中也有重要应用，例如在 信号处理中，可以通过对信号进行积分来提取信号的特 征或进行信号的合成。
连续随机过程
01
定义
连续随机过程是在时间或空间上 连续取值的随机现象的数学模型 。
02
03
例子
应用领域
电子信号、温度波动、随机漫步 等。
物理、工程、金融等。
马尔可夫过程
定义
马尔可夫过程是一种特殊的随机过程，其未来状态只依赖于当前 状态，与过去状态无关。
例子
赌徒输赢的过程、天气变化等。
应用领域
统计学、计算机科学、人工智能等。
将随机信号视为随时间变化的随机变量序列，具有时间和概率的统 计特性。
随机模型
根据实际需求建立信号的随机模型，如高斯过程、马尔可夫过程等 。
信号的滤波与预测
滤波器设计
根据随机模型设计滤波 器，用于提取有用信号 或抑制噪声。
《随机过程》课程教学大纲
《随机过程》课程教学大纲课程名称：随机过程课程类别（必修/选修）：课程类别（必修/选修）：必修课程名称：课程英文名称：Applied Stochastic Processes课程英文名称：总学时/周学时/学分： 54/3/3.0其中实验（实训、讨论等）学时：其中实验（实训、讨论等）学时： 8总学时/周学时/学分：先修课程：概率论与数理统计，数学分析先修课程：授课地点：7B414授课时间：1-18周 周二（5-7）授课地点：授课时间：授课对象：2016信科 1班授课对象：开课院系：计算机与网络安全学院任课教师姓名/职称：任课教师姓名/职称：黄香香 /讲师开课院系：Email：****************联系电话：137****3893（短号639058）Email：答疑时间、地点与方式： 1.每次上课的课前、课间和课后，采用一对一的问答方式；答疑时间、地点与方式：2.每章作业中存在较普遍的问题，采用集中讲解方式；3.课程结束后和考试前安排集中答疑。
课程考核方式：作业（√） 期中考（√） 期末考（√） 实验（√） 出勤（√）使用教材： 《应用随机过程》（第四版），张波、商豪编著，中国人民大学出版社使用教材：参考教材：参考教材： 1）《应用随机过程》,林元烈编著，清华大学出版社2）《应用随机过程》，张波、张景肖编著 中国人民大学出版社课程简介： 《应用随机过程》通常被视为概率论的动态部分，即研究的是随机现象的动态特征。
着重对随时间和课程简介：空间变化的随机现象提出各种不同的模型并研究其内在的性质与相互联系，具有较强的理论性和广泛的应用性。
该学科不仅是数学、概率统计专业所必需的，也是通信、控制、生物、社会科学、工程技术及经济等领域的应用和研究所需要的。
它是信息与计算科学专业学生的一门专业必修课，是学习后续专业课程及研究生课程等的必要基础。
课程教学目标：课程教学目标： 1.知识与技能目标：使学生获得（1）预备知识（概率论内容的扩展）；（2）随机过程的基本概念；（3）随机过程的基本类型；（4）更新过程；（5）Possion过程；（6）Markov链等方面的基本概念、基本理论及应用,为后继进一步获取专业知识奠定必要的随机数学基础，提高学生处理随机现象的抽象思维能力和建立随机数学模型、分析并解决实际问题的水平和技能。
随机过程课件
3.2 随机过程的数字特征
为Ft x ，密度函数为t x ， f 则
t T，随机过程 X t , t T 的一维分布函数
2 Xt
二、方差函数
Var X t E X t EX t
称为随机过程X t , t T 的方差函数 .
若E X t x dFt x , 则称随机
5
1 e 2
2 t
1 e 2
2 t
e
2 t
P X P X P X P X
3.3 离散事件和离散型随机过程
P X t1 X t 2 1
t1
t1
t1 t1
1, X 1 P X 1, X 1 1, X 1 P X 1, X 1 1P X 1 P X 1P X 1
3.3 离散事件和离散型随机过程
E X i p 1 p 2 p 1
E X i p 1 p 1
2
Var X i E X i EX i 1 2 p 1
2 2
2
E Yn E
n2 p 1
Ft1 ,,tn x1 ,, xn P X t1 x1 ,, X t n xn
称为随机过程X t , t T n维分布函数 的 .
4 Ft1 ,,tn x1 , , xn : n 1, t1 , , t n T
0
称为X t , t T 的有穷维分布函数族.
3.3 离散事件和离散型随机过程
Y Y P X t 1 P t 1 t 3
《随机过程》PPT课件
主要内容
随机过程的定义
随机过程的分类
按统计特性是否变化分为平稳随机过程和非平稳随机过程 按照是否具有记忆性分为纯粹随机过程、Markov过程、独 立增量过程 按照一阶变差是否有限分类：若随机过程{t}t≥0的一阶 变差有限，称为有界变差过程。 按照二阶矩是否有限分类：若随机过程的均值和方差都有 限，称为二阶矩过程，例如前面提到的宽平稳过程。 3 按照概率分布特征分类：如Weiner过程，Poission过程等。
随机过程的分类——平稳随机过程
按统计特性是否变化分为平稳随机过程和
非平稳随机过程
统计特性不随时间变化而变化的随机过程，
称为平稳过程，否则，统计特性随时间变化而变化
的随机过程，称为非平稳过程。
平稳过程的严格定义为：对于时间t 的n个
任意的时刻t1,t2,…,tn 和任意实数C，若随机过程
{t }t≥0的分布函数满足
例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的 变化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义 的关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。
在现实经济生活中：
情况往往是实际的时间序列数据是非平稳的， 而且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现 为一致的上升或下降。这样，仍然通过经典的因果 关系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。12
宽平稳的不变性表现在统计平均的一、二阶
矩上，而平稳过程的不变性表现在统计平均的概率
分布上，所以二者不同，并且不能由平稳随机过程
得到宽平稳随机过程。二阶矩存在的平稳随机过程
一定是宽平稳随机过程。
6
§3.1 时间序列的平稳性及其检验
一、问题的引出：非平稳变量与经典回归模型 二、时间序列数据的平稳性 三、平稳性的单位根检验 四、单整、趋势平稳与差分平稳随机过程
随机过程随机过程的基本概念
2.2 随机过程的分类和举例
随机过程可以根据参数集 T 和状态空间 S 是离散集还是
连续集分为四大类.
1、离散参数、离散状态的随机过程 这类过程的特点是参数集是离散的，同时固定t ∈T， X(t)是离散型随机变量即其取值也是离散的。
例 2.2.1（贝努利过程）考虑抛掷一颗骰子的试验，设Xn
是第n(n≥1)次抛掷的点数,对于n=1,2,…的不同值， Xn是
，它不能用一个或几个随机变量来刻画，而要用一族无穷多
个随机变量来描绘，这就是随机过程. 随机过程是概率论的继续和发展. 被认为是概率论的“动力学
”部分. 它的研究对象是随时间演变的随机现象.
事物变化的过程不能用一个（或几个）时间t 的确定的函数 来加以描述. 对事物变化的全过程进行一次观察得到的结果是一个时间t 的 函数，但对同一事物的变化过程独立地重复进行多次观察所 得的结果是不同的，而且每次观察之前不能预知试验结果.
(3) 当 t
的分布函数为
1, x 0 F ( x) X( ) 0, x 0 2
第2章 随机过程的基本概念
2.1 随机过程的定义 2.2 随机过程的分类和举例 2.3 随机过程的有限维分布函数族 2.4 随机过程的数字特征 2.5 两个随机过程的联合分布和数字特征 2.6 复随机过程 2.7 几类重要的随机过程
“电压—时间函数”是不可能预先确知的，只有通过测量
才能得到. 如果在相同的条件下独立地再进行一次测量， 则得到的记录是不同的.
2.1 随机过程的定义
所谓一族随机变量，首先是随机变量，从而是该试验样
本空间上的函数；其次形成一族，因而它还取决于另一
个变量，即还是另一参数集上的函数. 所以，随机过程 就是一族二元函数. 定义2.1.1 设(Ω, F , P)是一个概率空间，T 是一个实的参 数集，定义在Ω 和T 上的二元函数 X(ω,t)，如果对于任
研究生学位课程教学大纲-随机过程
硕士研究生学位课程教学大纲随机过程（课程名称）Stochastic Process（Course Title）课程编号：IE11001 课程性质：学位课程学分数： 3 课程总学时：48学时开课学院：信息电子学院授课教师：姚青预备知识：高等数学、概率论、线性代数一、课程学习目的及要求：随机过程是现代概率论的一个重要课题，它主要研究和探讨客观世界中随机演变过程的规律性，并应用于控制﹑通信﹑生物﹑物理﹑雷达通讯﹑地质﹑天文气象﹑社会科学等工程科学技术中。
通过本课程的学习，要求学生掌握随机过程的基本概念、随机过程的统计特征描述、随机信号通过系统分析以及电子系统中常见的窄带、正态随机信号通过系统的分析以及电子系统中常见的窄带、正态随机信号、马尔可夫过程、平稳过程、信号检测与估计等的基本理论方法，为学生在信号与信息处理领域打下扎实的理论基础，为学习后续课程以及将来的发展奠定坚实的基础。
二、主要章节与学时安排：第一章随机变量基础（6学时）教学内容与要求：掌握随机变量的基本概念，随机变量的分布函数与概率密度、数字特征、特征函数和统计特性等。
重点：随机变量的统计特性。
1.1 概率论的基本术语1.2 随机变量的定义1.3 随机变量的分布函数与概率密度1.4 多维随机变量及分布1.5 随机变量的数字特征1.6 随机变量的函数1.7 随机变量的特征函数1.8 多维正态随机变量1.9 复随机变量及其统计特性1.10 MATLAB的统计函数第二章随机过程的基本概念（9学时）教学内容与要求：要求理解和掌握随机过程的概念及定义；掌握和应用随机过程的统计描述；理解和掌握平稳随机过程、各态历经过程的概念和统计特性；掌握和应用随机过程的联合分布和互相关函数；掌握和应用随机过程的功率谱密度；理解和掌握脉冲型随机过程的统计特性分析等。
重点：随机过程的概念和统计特性、随机过程功率谱密度等等。
2.1 随机过程的基本概念及定义2.2 随机过程的统计描述2.3 平稳随机过程2.4 随机过程的联合分布和互相关函数2.5 随机过程的功率谱密度2.6 典型的随机过程2.7 基于MATLAB的随机过程分析方法2.8 信号处理实例第三章随机过程的线性变换（9学时）教学内容与要求：掌握和应用线性系统变换的基本概念和基本定理；理解和掌握随机信号的导数与积分；掌握和应用随机过程线性变换的微分方程法、随机过程线性变换的冲激响应法和频谱法；掌握和应用随机信号通过线性的分析方法；理解和掌握白噪声与等效通能带的概念和特性等。
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. n 1, X n i.i.d ~ Exp . X n u n iu S n u , iu Sn ~ n, Erlangn,
4.1到达时间间隔与等待时间分布
四、Poisson过程的等价定义
EN t , t 600 EN 0,600 600 120000
200次 / 秒
例题
1秒内成交 100 次的概率
P N 1 100
100
100!
e
200 200 e 100!
1.88 t 是强度为 的泊松过程，则容易计 算 EN t t ,VarN t t .
目录
4.1 到达时间间隔与等待时间分布 4.1’ Poisson过程的分解 4.2 非齐次和复合Poisson过程
4.1到达时间间隔与等待时间分布
一、到达时刻与时间间隔 1）到达时刻序列
设 N t , t 0是一齐次 Poisson 过程，强度为 . 由PN h 2 oh知，事件是一个一个发 生的，
t
4.1到达时间间隔与等待时间分布
五、到达时刻的条件分布 1）首次到达时刻的条件分布
定 理4.3 强 度 为 的齐次 Poi sson 过 程N t , t 0 的第一个到达时刻 S1在N t 1的 条 件 下 服 从 在
S1 N t 1 ~ U 0, t . 区 间0, t 上 的 均 匀 分 布 ， 即
1
1
依次类推，X n相互独立，都服从 Exp ， EXn
.
.
4.1到达时间间隔与等待时间分布
三、到达时刻序列的分布
S n , n 0,1,2,服 从 参 数 为 的到达时刻序列 n,
的 分 布 ， 即 Erl an gn, , 密 度 函 数 为
f t e
即任一时刻发生两次事 件的概率趋于 0.
生 的. 那 么 用 Sn表 示 第 n个 事 件 发 生 的 时 刻 (或 等待的时刻 ) ， 称S n , n 0为 到 达 时 刻 序 列 .
则 知0, t 内 共 发 生 了 N t次 事 件 ， 且 一 个 一 个 发
则0 S0 S1 S2 Sn .
P S1 s, N t 1 P N t 1
证明: P S1 s N t 1
P N s 1, N s ,t 0 P N t 1
4.1到达时间间隔与等待时间分布
P S1 s N t 1
独立增量
P N s 1P N s ,t 0 P N t 1
t
j!
j
4.1到达时间间隔与等待时间分布
f Sn
t FS t
n
j n e
t
t
j!
j
j n e
t
e
t
t n 1!
n 1
t j 1!
j 1
证明2 : Sn X 1 X 2 X n
N t , t 0为独立平稳增量过程
4.1到达时间间隔与等待时间分布
(2)再证明过程服从 Poisson分布 P N t n P S n t P S n1 t
e
0 t x
x dx e x x n 1! 0 n!
P S n m s t , S n m 1 s t , S m s , S m 1 s P S m s , S m 1 s
无记忆性
P S n t , S n1 t P N t n
P Sm s, S m 1 s P Sn t , Sn1 t P S m s, S m 1 s
定 理4.1 强 度 为 的齐次 Poisson 过 程N t , t 0
证明 : P X 1 t P N t 0 e
即P X 1 t 1 - e
t t 0
t
e s ds
1
X 1 ~ Exp ， EX1
n 1 t
n
dx
y x
t
0
e
y
y y y dy e dy 0 n 1! n!
t
n 1
n
n n t y y y y e d e dy 0 n! n! 0 n n n n t t t t y y t y y y y e dy e dy e 0 0 e 0 n! n! n! n!
.
4.1到达时间间隔与等待时间分布
P X 2 t X 1 s P N s , s t 0 N s 1
独立增量
P N s , s t 0
平稳增量
P N t 0 e
t
X 2与X 1独立，且也服从 Exp ，E X 2
2
2 1
N t n Sn t Sn1 t
4.1到达时间间隔与等待时间分布
P N s t N s n N s m P N s t N s n, N s m P N s t n m, N s m P N s m P N s m
从上图可以看出，
N t n Sn t N t n Sn t Sn1
4.1到达时间间隔与等待时间分布
二、时间间隔序列的分布
X n , n 1,2,是 独 立 同 分 的到达时间间隔序列
1 布的随机变量序列，服 且 从Exp , 均 值 为 .
N t , t 0是 强 度 为 的齐次 Poisson 过程 X n , n 1,2,i.i.d且 服 从Exp 时 间 间 隔 序 列 Sn , n 0,1,2,服 从Erlangn, 到达时刻序列
证明 : 只需证明 (1)先证明平稳独立增量性
S N t 1 S N t t
4.1到达时间间隔与等待时间分布
S0 S1 S2 S3 Sn t S n 1
N t n和Sn t Sn1 都 表 示 0, t 内
恰 有n次 事 件 发 生 ；
N t n和Sn t都表示 0, t 内至少有 n次事件发生；
t
定 理4.2 强 度 为 的齐次 Poi sson 过 程N t , t 0
t , t 0 n 1!
n 1
证明1 : Sn t N t n
FSn t PS n t PN t n j n e
t
P N s 1P N t s 0 P N t 1
平稳增量
se s e t s t te
S1 N t 1 ~ U 0, t
s t
4.1到达时间间隔与等待时间分布
说明
由 于Poisson 过 程 具 有 平 稳 独 立 增性 量， 从 而 事件发生时刻 S1在0, t 上 是 等 可 能 的 ， 即
EN t 于是 t
是单位时间内时间发生 的平均数 .
越 大 ， 单 位 时 间 内 平 发 均生 的 事 件 越 多 . 这正是称 为 泊 松 过 程 的 强 度 的 因 原.
目录
4.1 到达时间间隔与等待时间分布 4.1’ Poisson过程的分解 4.2 非齐次和复合Poisson过程
4.1到达时间间隔与等待时间分布
2）时间间隔序列
X n , n 1为 到 达 时 间 间 隔 序 列 的间隔，称 .
S0 S1 S2 S3
X1 X2 X3
n 1个 事 件 到 第 则X n 表 示 第 n个 事 件 之 间
令X n S n S n- 1，n 1
随机过程
第4章 Poisson过程
授课人：刘玉婷 理学院数学系
例题
例1
上海证券交易所开盘后 ，股票买卖的依次成交 构成一个泊松过程，如 果每10分钟平均有 12万次 买卖成交，计算该泊松 过程的强度，和1秒内 成交100次的概率.
解 : 用N t 表 示 上 述 的 Poisson过 程 ， 10分 钟 内 平均成交次数是
0, t 上 有 一 个 事 件 发 生 的 况 在已知 情下 ， 该
S
1
N t 1 ~ U 0, t .
问题
10 该性质能否推广到 N t n，n 1的情形？
2 该性质是否是 Poisson 过程特有的 ？
0