阶段质量检测(二) 函 数
安徽省合肥市2024届高三第二次教学质量检测数学试卷
安徽省合肥市2024届高三第二次教学质量检测数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设全集U =R ，集合{}{}220,1A x x x B x x =-->=≥，则()U B A ⋂=ð（ ）A ．{}12x x ≤≤B ．{}12x x <≤C ．{}2x x >D ．{}12x x ≤<2．已知i2i z z-=+，则z =（ ） A ．12B．2C ．1D ．23．设,αβ是两个平面，,a b 是两条直线，则αβ∥的一个充分条件是（ ） A ．,,a b a b αβ∥∥∥ B ．,,a b a b αβ⊥⊥⊥ C ．,,a b a b αβ⊥⊥∥D ．,,a b a αβ∥∥与b 相交4．甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为12，则甲以4比2获胜的概率为（ ） A ．164B ．332C ．532D ．15645．常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为T （单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为12,T T ．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的14，则12,T T 满足的关系式为（ ） A ．125125122T T -+= B ．125125122T T += C ．22125125122log log T T -+= D ．22125125122log log T T += 6．已知函数()22,113,1x x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，若关于x 的方程()()10f x f a --=至少有两个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．(]),4-∞-+∞U B ．[]1,1- C．(-D．⎡-⎣7．记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1112,1tan tan tan tan c A B A B=++=．则ABC V 面积的最大值为（ ）A．1B．1C．D．8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线左支上，线段2PF 交y 轴于点E ，且23P F P E =u u u r u u ur ．设O 为坐标原点，点G 满足：213,0PO GO GF PF =⋅=u u u r u u u r u u u u r u u u r ，则双曲线C 的离心率为（ ） AB．1C．1D．2二、多选题9．已知圆22:1O x y +=，圆22:()(1)4,R C x a y a -+-=∈，则（ ） A ．两圆的圆心距OC 的最小值为1 B ．若圆O 与圆C相切，则a =±C ．若圆O 与圆C恰有两条公切线，则a -<D ．若圆O 与圆C 相交，则公共弦长的最大值为210．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则（ ）A ．11n n S S qS +=+B ．对任意*232,,,n n n n n n S S S S S ∈--N 成等比数列C ．对任意*n ∈N ，都存在q ，使得23,2,3n n n S S S 成等差数列D ．若10a <，则数列{}21n S -递增的充要条件是10q -<< 11．已知函数()ππsin sin sin 66f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，则（ ）A ．函数()f x 在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减B ．函数5π1122y f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为奇函数C ．当ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()41y f x =+恰有两个零点D ．设数列{}n a 是首项为π6，公差为π6的等差数列，则()2024120272i i f a ===-∑三、填空题12．在6x⎛ ⎝的展开式中，3x 的系数为 ．13．抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为,l A 为C 上一点，以点F 为圆心，以AF 为半径的圆与l 交于点,B D ，与x 轴交于点,M N ，若AB FM =u u u r u u u u r，则AM =u u u u r ． 14．已知实数,,x y z ，满足20y z +-=，则为 ．四、解答题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60,BAD M ∠=︒是侧棱PC 的中点，侧面PAD 为正三角形，侧面PAD ⊥底面ABCD ．(1)求三棱锥M ABC -的体积；(2)求AM 与平面PBC 所成角的正弦值．16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，短轴长为点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 的直线l （不与x 轴重合）与C 交于,P Q 两点，直线,AP AQ 与直线4x =的交点分别为,M N ，记直线,MF NF 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k ⋅为定值．17．树人中学高三（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如下表：在按比例分配分层随机抽样中，已知总体划分为2层，把第一层样本记为123,,,,n x x x x L ，其平均数记为x ，方差记为21s ；把第二层样本记为123,,,,m y y y y L ，其平均数记为y ，方差记为22s ；把总样本数据的平均数记为z ，方差记为2s ．(1)证明：()(){}22222121x s n s z m y m n z s ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+；(2)求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）； (3)假设全年级学生的考试成绩服从正态分布()2,N μσ，以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作为μ和σ的估计值．如果按照16%,34%,34%,16%的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为,,,A B C D 四个等级，试确定各等级的分数线（精确到1）．附：()19P X μσμσ-≤≤+≈≈．18．已知曲线():e e x xC f x x =-在点()()1,1A f 处的切线为l ．(1)求直线l 的方程；(2)证明：除点A 外，曲线C 在直线l 的下方；(3)设()()1212,f x f x t x x ==≠，求证：1221etx x t +<--．19．在数学中，广义距离是泛函分析中最基本的概念之一．对平面直角坐标系中两个点()111,P x y 和()222,P x y ，记1212121212max ,11t x x y y PP x x y y ⎧⎫--⎪⎪=⎨⎬+-+-⎪⎪⎩⎭，称12t PP 为点1P 与点2P 之间的“t -距离”，其中{}max ,p q 表示,p q 中较大者． (1)计算点()1,2P 和点()2,4Q 之间的“t -距离”；(2)设()000,P x y 是平面中一定点，0r >．我们把平面上到点0P 的“t -距离”为r 的所有点构成的集合叫做以点0P 为圆心，以r 为半径的“t -圆”．求以原点O 为圆心，以12为半径的“t -圆”的面积；(3)证明：对任意点()()()111222333131223,,,,,,t t t P x y P x y P x y PP PP P P ≤+．。
云南省云南民族中学2024年高三下学期复习教学质量检测试题(二)数学试题试卷
云南省云南民族中学2024年高三下学期复习教学质量检测试题（二）数学试题试卷 注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，圆O 是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，BM xBA yBD =+(,)x y ∈R ，则2x y +的最大值为（ ）A 2B 3C ．2D ．222．直三棱柱111ABC A B C -中，12CA CC CB ==，AC BC ⊥，则直线1BC 与1AB 所成的角的余弦值为（ ） A 5 B ．53C 25 D ．35 3．双曲线22:21C x y -=的渐近线方程为( )A ．20x ±=B ．20x y ±=C 20x y ±=D ．20x y ±= 4．历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得π的近似值，他的方法被后人称为割圆术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值的表达式纷纷出现，使得π值的计算精度也迅速增加．华理斯在1655年求出一个公式：π2244662133557⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯，根据该公式绘制出了估计圆周率π的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的 2.8T >，若判断框内填入的条件为?k m ≥，则正整数m 的最小值是A ．2B ．3C ．4D ．55．已知三棱锥P ABC -中，ABC ∆是等边三角形，43,25,AB PA PC PA BC ===⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．25πB ．75πC ．80πD ．100π 6．已知P 与Q 分别为函数260x y --=与函数21y x =+的图象上一点，则线段||PQ 的最小值为( )A ．65B 5C 65D ．67．已知复数z 满足()125z i ⋅+=（i 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=，222AF F B =，则椭圆E 的离心率为( )A ．23B ．34C 5D 7 9．已知数列{}n a 中，112,()1,n n n a n a a a n N *+=-=+∈ ，若对于任意的[]*2,2,a n N ∈-∈，不等式21211n a t at n +<+-+恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．(][),21,-∞-⋃+∞B ．(][),22,-∞-⋃+∞C ．(][),12,-∞-⋃+∞ D ．[]2,2- 10．()712x x -的展开式中2x 的系数为（ ）A ．84-B ．84C ．280-D ．28011．执行如图的程序框图，若输出的结果2y =，则输入的x 值为( )A ．3B ．2-C ．3或3-D ．3或2-12．已知集合2{|log (1)2},,A x x B N =-<=则A B =（ ）A ．{}2345，，，B ．{}234，，C ．{}1234，，， D ．{}01234，，，， 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省合肥市部分学校2024—2025学年高一上学期第二次教学质量检测数学试题
安徽省合肥市部分学校2024—2025学年高一上学期第二次教学质量检测数学试题一、单选题1．已知集合{}1,1,2,3M =-，{}1,1N =-，则M N ⋃=（）A ．{}1,1,2,3-B ．{}1,1-C ．{}2,3D ．{}1,2,32．下列函数与函数y x =是同一函数的是（）A ．y x=B ．y =C ．y =D ．2v y v =3．若两个正实数x ，y 满足4x y xy +=，且存在这样的x ，y 使不等式234y x m m +<+有解，则实数m 的取值范围是（）A ．14-<<m B ．41m -<<C ．4m <-或1m >D ．3m <-或0m >4．命题“2x ∃≥，25x <”的否定是（）A ．2x ∃≥，25x ≥B ．2x ∃<，25x ≥C ．2x ∀≥，25x ≥D ．2x ∀<，25x ≥5．已知02a b >>，，且21a b ab +=+，则2+a b 的最小值是（）A ．5+B ．3C ．3D ．5-6．已知函数()f x 的定义域为(),1f x -R 为奇函数，()2f x +为偶函数，则()()()1216f f f =+++L （）A ．0B ．16C ．22D ．327．已知全集{}10,N U x x x =<∈，A U ⊆，B U ⊆，(){}U 1,9A B = ð，()(){}U U 4,6,7A B = 痧，{}3A B ⋂=，则下列选项不正确的为（）A ．8B ∈B ．A 的不同子集的个数为8C ．{}9A⊆D ．()U 6A B ∉ ð8．若函数()f x 在定义域[],a b 上的值域为()(),f a f b ⎡⎤⎣⎦，则称()f x 为“Ω函数”．已知函数()25,024,24x x f x x x m x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩是“Ω函数”，则实数m 的取值范围是（）A ．[]4,10B ．[]4,14C ．[]10,14D ．[)10,+∞二、多选题9．不等式20ax bx c -+>的解集是{}21x x -<<，则下列选项正确的是（）A ．0b <且0c >B ．不等式0bx c ->的解集是{}2x x >C ．0a b c ++>D ．不等式20ax bx c ++>的解集是{}12x x -<<10．已知全集{0,1,2,3,4,5}U =，A 是U 的非空子集，当x A ∈时，1x A -∉且1x A +∉，则称x 为A 的一个“孤立元素”，则下列说法正确的是（）A ．若A 中元素均为孤立元素，则A 中最多有3个元素B ．若A 中不含孤立元素，则A 中最少有2个元素C ．若A 中元素均为孤立元素，且仅有2个元素，则这样的集合A 共有9个D ．若A 中不含孤立元素，且仅有4个元素，则这样的集合A 共有6个11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设R x ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，如[][3.24]3, 1.52=-=-.设函数()[]f x x x =-，则下列说法错误的是（）A ．()f x 的图象关于y 轴对称B ．()f x 的最大值为1，没有最小值C ．1ff +>D ．()f x 在R 上是增函数三、填空题12．已知函数()8f x x=，[]1,2x ∈，()21g x ax a =+-，[]1,3x ∈-.对于任意的[]11,2x ∈，存在[]21,3x ∈-，使得()()12f x g x ≥，则a 的取值范围是．13．已知集合{}{}2680,40A xx x B x mx =-+==-=∣∣，若B A B =I ，且B ≠∅，则实数m 所取到的值为或．14．已知方程2620x x a -+=的两根分别为1212,,x x x x ≠，若对于0t ∀>，都有()212214t x x t t+≤-++成立，则实数a 的取值范围是．四、解答题15．已知集合204x A x x ⎧⎫+=<⎨⎬-⎩⎭，{}0B x x m =-<．(1)若3m =，全集U A B =⋃，试求U A B ⋂ð；(2)若A B =∅ ，求实数m 的取值范围；(3)若A B A = ，求实数m 的取值范围；16．已知函数2y ax bx c =++.(1)若2b a =-，21c a =-，函数的最小值为0，求a 的值；(2)若0,1,2c a b c >==--，不等式20ax bx c ++<有且仅有四个整数解，求实数c 的取值范围；(3)当0b <时，对R x ∀∈，0y ≥，若存在实数m 使得()()11230m a m b c -+++=成立，求m 的最小值.17．已知0,0a b ≥>，且21a b +=(1)求ab 最大值(2)求1aa b+最小值(3)若不等式22131m m a b+≥-+恒成立，求实数m 的取值范围.18．已知方程()220,x mx n m n -+-=∈R (1)若1m =，0n =，求方程220x mx n -+-=的解；(2)若对任意实数m ，方程22x mx n x -+-=恒有两个不相等的实数解，求实数n 的取值范围；(3)若方程()2203x mx n m -+-=≥有两个不相等的实数解12,x x ，且()2121248x x x x +-=，求221221128x x x x x x +-+的最小值．19．若函数()f x 的定义域为D ．集合M D ⊆，若存在非零实数t 使得任意x M ∈都有x t D +∈，且()()f x t f x +>，则称()f x 为M 上的t 增长函数．(1)已知函数()g x x =，函数()2h x x =，判断()g x 和ℎ是否为区间−1,0上的32-增长函数，并说明理由：(2)已知函数()f x x =，且()f x 是区间[]4,2--上的n -增长函数，求正整数n 的最小值；(3)如果()f x 的图像关于原点对称，当0x ≥时，()22f x x a a =--，且()f x 为R 上的4-增长函数，求实数a 的取值范围．。
山东省齐鲁名校大联考2022-2023学年高三下学期第二次学业质量检测数学试题 附答案
齐鲁名校大联考2023届山东省高三第二次学业质量联合检测数学本试卷4页．总分150分．考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 在复平面内的对应点为()2,1，则10z z +=（ ） A ．63i +B ．6i +C ．63i -D ．6i -2．设集合{}21002xM x x =∈<<Z ，则M 的所有子集的个数为（ ）A ．3B ．4C ．8D ．163．设随机变量()2,X N μσ~，且()0.5P X a ≥=，()()3P X b P X b <=≥，则()2P X a b ≤-=（ ） A ．0.25B ．0.3C ．0.5D ．0.754．抛掷一枚质地均匀的骰子3次，则向上的点数为3个互不相同的偶数的概率为（ ） A ．13B ．19C ．118D ．1365．已知等边三角形ABC 的边长为1，动点P 满足1AP =．若AP AB AC λμ=+，则λμ+的最小值为（ ）A ．B ．C ．0D ．36．克罗狄斯·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师·托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和．已知四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，且AC =。
2ADC BAD ∠=∠．若AB CD BC AD ⋅+⋅=，则圆O 的半径为（ ）A ．4B ．2CD ．7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，点M 满足13CC CM =．若在正方形1111A B C D 内有一动点P 满足BP ∥平面1AMD ，则动点P 的轨迹长为（ ）A ．3B C D ．8．设sin0.2a =，0.2cos0.1b =，2sin0.1c =，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c b a <<二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知双曲线C ：2212x y -=和圆P ：()2223x y r +-=（0r >），则（ ）A ．双曲线C 的离心率为2B ．双曲线C 的渐近线方程为20x y ±=C ．当r =C 与圆P 没有公共点D ．当r =C 与圆P 恰有两个公共点10．已知函数()sin cos ,0f x a x b x ab =+≠．若曲线()y f x =经过点π,26⎛⎫- ⎪⎝⎭，且关于直线π6x =对称，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．b =C ．()f x 的最大值为2D ．()f x 在区间π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 11．在数列{}n a 中，若对于任意*n ∈N ，都有1641n n a a ++=+，则（ ） A ．当11a =或12a =时，数列{}n a 为常数列B ．当12a >时，数列{}n a 为递减数列，且12n a a <≤C ．当112a <<时，数列{}n a 为递增数列D ．当101a <<时，数列{}n a 为单调数列 12．已知函数()f x 的定义域为R ，12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数，且对于任意x ∈R ，都有()23f x -=()3f x ，则（ ）A ．()()1f x f x +=B ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ C ．()2f x +为偶函数D ．12f x ⎛⎫-⎪⎝⎭为奇函数三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．写出曲线33y x x =-过点()2,2的一条切线方程______．14．已知椭圆C ：22163x y +=，直线l ：1y x =+交C 于M ，N 两点，点()0,3P ，则PMN △的周长为______．15．设奇函数()f x 的定义域为R ，且对任意1x ，()20,x ∞∈+∞，都有()()()1212f x x f x f x =+．若当1x >时，()0f x <，且124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()()lg 20f x +<的解集为______．16．已知三棱锥P ABC -的体积为6，且236PA PB PC ===．若该三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，则三棱锥O ABC -的体积为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知数列{}n a 满足121n n a a +=-，123a a a +=． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若21n b n =-，数列{}n c 满足4321n n c b --=，4221n n c a --=，412n n c a -=，42n n c b =，求{}n c 的前41n +项和41n S +．18．（12分）在ABC △中，2AB AC =，D 是边BC 上一点，2CAD BAD ∠=∠．（1）若3π4BAC ∠=，求BD CD的值； （2）若1AC =，求AD 的取值范围．19．（12分）为了促进地方经济的快速发展，国家鼓励地方政府实行积极灵活的人才引进政策，被引进的人才，可享受地方的福利待遇，发放高标准的安家补贴费和生活津贴．某市政府从本年度的1月份开始进行人才招聘工作，参加报名的人员通过笔试和面试两个环节的审查后，符合一定标准的人员才能被录用．现对该市1～4月份的报名人员数和录用人才数（单位：千人）进行统计，得到如下表格．（1）求出关于的经验回归方程；（2）假设该市对被录用的人才每人发放2万元的生活津贴．（ⅰ）若该市5月份报名人员数为8000人，试估计该市对5月份招聘的人才需要发放的生活津贴的总金额；（ⅱ）假设在参加报名的人员中，小王和小李两人被录用的概率分别为p ，31p -．若两人的生活津贴之和的均值不超过3万元，求p 的取值范围．附：经验回归方程ˆˆˆya bx =+中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为1122ˆni iii ni x y nx yb xnx==-=-∑∑；ˆˆa y bx =-；421128.5i i x ==∑，418.24i ii x y ==∑． 20．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD 为等边三角形，M 为PA 的中点，PD AB ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ．（1）证明：平面MCD ⊥平面PAB ；（2）若AD BC ∥，2AD BC =，2CD AB =，求平面MCD 与平面PBC 夹角的余弦值． 21．（12分）已知F 为抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点，O 为坐标原点，M 为C 的准线l 上的一点，直线MF 的斜率为1-，OFM △的面积为1． （1）求C 的方程；（2）过点F 作一条直线l '，交C 于A ，B 两点，试问在l 上是否存在定点N ，使得直线NA 与NB 的斜率之和等于直线NF 斜率的平方？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（12分）已知0a >，函数()23ln f x x a x =-，()2ln g x ax a x =-．（1）若()f x 和()g x 的最小值相等，求a 的值； （2）若方程()()f x g x =恰有一个实根，求a 的值．参考答案及解析2023届山东省高三第二次学业质量联合检测·数学1．D 【解析】由题意，得2i z =+，所以()()()()102i 10102i 2i 2i 22i 6i 2i 2i 2i z z -+=++=++=++-=-++-． 2．C 【解析】由题意，得{}7,8,9M =，故集合M 的所有子集的个数为328=．3．A 【解析】由已知得a μ=，()0.25P X b ≥=，故由正态曲线的对称性可得()20.25P X a b ≤-=． 4．D 【解析】抛掷一枚质地均匀的骰子3次共有36个不同的结果，设“向上的点数为3个互不相同的偶数”为事件A ，则事件A 共包含33A 个不同的结果，故所求概率()333A 1636P A ==．5．B 【解析】因为1AP =，所以1AB AC λμ+=，得221λμλμ++=，则()2212λμλμλμ+⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，整理得()243λμ+≤，得λμ≤+≤λμ+的最小值为6．B 【解析】由托勒密定理，得AC BD AB CD BC AD ⋅=⋅+⋅=AC =，所以2BD =．设圆O 的半径为R ，由正弦定理，得2sin sin AC BDR ADC BAD==∠∠．又AC =，所以sin ADC BAD ∠=∠．因为2ADC BAD ∠=∠，所以2sin cos BAD BAD BAD ∠∠=∠，所以cos 2BAD ∠=，1sin 2BAD ∠=，则24sin BD R BAD==∠，故2R =． 7．C 【解析】在11A D 和1AA 上分别取点E ，F ，使得11113A E A D =，1113A F AA =，连接EF ，1BC ，BF ，1C E ，则1EF AD ∥．又1AD ⊂平面1AMD ，EF ⊄平面1AMD ，所以EF ∥平面1AMD ，同理可得BF ∥平面1AMD ，所以平面1BC EF ∥平面1AMD ．又平面1BC EF ⋂平面11111A B C D C E =，故动点P的轨迹为线段1C E 8．A 【解析】当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由三角函数线及几何知识可得sin tan x x x <<，所以sin0.10.1tan0.1<<．又cos0.10>，所以sin0.1cos0.10.1cos0.1<<sin0.1，即sin0.20.2cos0.12sin0.1<<，故a b c <<．9．ACD 【解析】由已知得a =1b =，则c =C的离心率c e a ==，故选项A 正确；双曲线C的渐近线方程为y x =，即0x ±=，故选项B 错误；因为圆心()0,3P 到双曲线C，所以当r =P 与双曲线C 的渐近线相切，此时双曲线C 与圆P 没有公共点，故选项C 正确；设双曲线C 上的点Q 的坐标为(),x y ，则圆心P 到点Q 的距离为==P 到双曲线C 上的点的距离的最小值为，且双曲线C上只有两个点到圆心P 的距离为r =C 与圆P 恰有两个公共点，故选项D 正确．10．ABD 【解析】由曲线()y f x =关于直线π6x =对称，得()π03f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则b =，所以()πsin cos 2sin 3f x a x x a x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭．又π26f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以π2sin 26a =，解得2a =，则b =，()π4sin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选项AB 正确、选项C 错误；当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ,332x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()f x 在区间π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故选项D 正确． 11．ABC 【解析】由1641n n a a ++=+，得1641n n a a +=-+，当11a =时，231a a ==⋅⋅⋅=；当12a =时，232a a ==⋅⋅⋅=，故选项A 正确；又()12262211n n n n a a a a +--=-=++， ()()1126411n n n n n n n a a a a a a a +---=--=-++，当12a >时，得22a >，同理可得32a >，…，2n a >．又可得10n n a a +-<，即1n n a a +<，则数列{}n a 为递减数列，且12n a a <≤，故选项B 正确；当112a <<时，()()112111201a a a a a ---=->+，即211aa >>．又()12122201a a a --=<+，故22a <，所以212a <<，同理可得312a <<，…，12n a <<，所以10n n a a +->，即1n n a a +>，则数列{}n a 为递增数列，故选项C 正确；当101a <<时，()()112111201a a a a a ---=-<+，则211aa <<．又12115161511a a a a -+=-=++，其符号不能确定，所以32a a -的符号不能确定，故选项D 错误． 12．BCD 【解析】由()()233f x f x -=，得()()2f x f x -=．由12f x ⎛⎫+⎪⎝⎭是奇函数，得1122f x fx ⎛⎫⎛⎫+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()1f x f x =--，所以()()21f x f x -=--，即()()1f x f x +=-，所以()()2f x f x +=，故选项A 错误；由()()1f x f x =--，得102f ⎛⎫=⎪⎝⎭，由()()1f x f x +=-，得1122f f ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故选项B 正确；由()()2f x f x +=，()()2f x f x -=，得()()22f x f x -=+，故选项C 正确；由()()1f x f x =--，()()2f x f x +=，得()()1f x f x =---，则1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项D 正确．三、填空题13．2y =或9160x y --=（写出其中的一个答案即可）【解析】因为点()2,2在曲线33y x x =-上，所以曲线33y x x =-在点()2,2处的切线方程符合题意．因为233y x '=-，所以曲线33y x x =-在点()2,2处的切线方程为()292y x -=-，即9160x y --=．因为当1x <-或1x >时，0y '>；当11x -<<时，0y '<，所以函数33y x x =-在1x =-处取得极大值2．又极大值恰好等于点()2,2的纵坐标，所以直线2y =也符合题意． 14． 【解析】设1F ，2F 分别是C的左、右焦点，由已知得a =b =c =()1F，)2F ．因为()0,3P ，所以12PF F △为等边三角形．又直线l 经过点1F 且倾斜角为30°，所以直线l 垂直平分2PF ，则2PM MF =，2PN NF =，故PMN △的周长等于2F MN △的周长，即为4a =15．()11,2,424⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭【解析】设120x x <<，则211x x >，所以210x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故()()()222111110x x f x f x f x f x f x x ⎛⎫⎛⎫-=⋅-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()21f x f x <，所以()f x 在区间()0,+∞上单调递减．又()f x 是R 上的奇函数，所以()f x 在区间(),0-∞上单调递减．由()()()111f f f =+，得()10f =，()10f -=，所以当0x >时，()10f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．由124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得()42f =-，124f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．由111422f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()21f =-．因为()()lg 20f x +<可化为()21f x -<<-，所以1124x -<<-或24x <<．16．3 【解析】由已知得6PA =，3PB =，2PC =．设点A 到平面PBC 的距离为h ，则111sin 332PB P ABC A PBC C S h PB PC BPC h V V ∠--⋅=⨯⨯⨯⨯⨯==△三三棱锥棱锥11666PB PC h PB PC PA ≤⋅⋅≤⋅⋅=．又 6P ABCV -=三棱锥，所以PA ，PB ，PC 两两垂直．取BC 的中点M ，连接PM 并延长至点D ，使MD PM =，连接AD ，则AD 的中点即为球心O ．因为点O 到平面ABC 的距离等于点D 到平面ABC 的距离的12，而点D 到平面ABC 的距离等于点P 到平面ABC 的距离，所以132O ABC P ABC V V --==三棱锥三棱锥．四、解答题17．解：（1）由121n n a a +=-，得2121a a =-，3143a a =-． 因为123a a a +=，所以1112143a a a +-=-，解得12a =． 又由121n n a a +=-，得()1121n n a a +-=-， 而1110a -=≠，所以数列{}1n a -为等比数列， 所以112n n a --=，故121n n a -=+．（2）由已知得数列{}n c 的各项依次为1b ，1a ，2a ，2b ，3b ，3a ，4a ，4b ，…， 所以()()411221221n n n S a a a b b b ++=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+．因为0122112222222412n n n a a a n n -++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++=-+，()()21221134121n b b b n n +++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++=+，所以241446n n S n n +=++．18．解：（1）由3π4BAC ∠=，2CAD BAD ∠=∠，得π4BAD ∠=，π2CAD ∠=． 在ABD △中，由正弦定理，得sin sin AD BADBD B⋅∠=；在ACD △中，由正弦定理，得sin sin AD CADCD C⋅∠=；在ABC △中，由正弦定理，得sin sin C ABB AC=，所以πsinsin sin 42πsin sin sin 2BD BAD C AB CD CAD B AC ∠=⋅=⋅==∠ （2）由1AC =，得2AB =．设BAD α∠=，则2CAD α∠=，3BAC α∠=， 所以1sin sin32ABC S AB AC BAC α=⋅∠=△，1sin sin 2ABD S AB AD BAD AD α=⋅∠=△， 1sin sin cos 2ACD S AC AD CAD AD αα=⋅∠=△，则()sin3sin sin cos AD αααα=+， 故2sin3sin cos2cos sin24cos 1sin sin cos sin sin cos 1cos AD ααααααααααααα+-===+++． 设1cos t α+=，则348AD t t=+-． 因为0πBAC <∠<，所以π03α<<，则322t <<．设()348f t t t =+-，322t <<，则()234f t t=-'．因为当322t <<时，()0f t '>，所以函数()f t 在区间3,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增． 因为302f ⎛⎫=⎪⎝⎭，()322f =，所以()302f t <<， 故AD 的取值范围为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． 19．解：（1）由题意得 3.55 6.57 5.54x +++==，0.20.330.40.470.354y +++==，所以222414148.244 5.50.350.072128.54 5.54ˆi ii i i x y x yb x x==--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆ0.350.072 5.50.046ˆay bx =-=-⨯=- 故y 关于x 的经验回归方程为0.0720.046ˆyx =-． （2）（ⅰ）将8x =代入0.0720.046ˆyx =-，得3ˆ0.07280.0460.5y =⨯-=， 所以20.5310001060⨯⨯=（万元），故估计该市对5月份招聘的人才需要发放的生活津贴的总金额为1060万元． （ⅱ）设小王和小李两人中被录用的人数为X ，则X 的可能取值为0，1，2，则()()()201131352P X p p p p ==---=-+⎡⎤⎣⎦， ()()()()21131131661P X p p p p p p ==--+--=-+-⎡⎤⎣⎦，()()22313P X p p p p ==-=-，所以()()()()222035216612341E X p p p p p p p =⨯-++⨯-+-+⨯-=-， 则()2413p ⨯-≤，解得58p ≤． 又01,0311,p p <<⎧⎨<-<⎩所以1233p <<，则1538p <≤．故p 的取值范围是15,38⎛⎤ ⎥⎝⎦．20．（1）证明：如图，取AD 的中点O ，连接OP ． 因为PAD △为等边三角形，所以OP AD ⊥．又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，OP ⊂平面PAD ， 所以OP ⊥平面ABCD ．因为AB ⊂平面ABCD ，所以OP AB ⊥．因为PD AB ⊥，PD OP P ⋂=，PD ，OP ⊂平面PAD ， 所以AB ⊥平面PAD ． 又MD ⊂平面PAD ， 所以AB MD ⊥．因为M 是PA 的中点，所以MD PA ⊥． 又PA AB A ⋂=，PA ，AB ⊂平面PAB ， 所以MD ⊥平面PAB ．因为MD ⊂平面MCD ，所以平面MCD ⊥平面PAB ．（2）解：如图，连接OC ，因为AD BC ∥，2AD BC =，O 是AD 的中点，所以四边形ABCO 是平行四边形．由（1）知AB ⊥平面PAD ，而AD ⊂平面PAD ，所以AB AD ⊥，所以OC AD ⊥，所以OD ，OC ，OP 两两垂直．以O 为坐标原点，OC ，OD ，OP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图． 设1AB =，则1OC =，OD OA BC ===3OP =，所以()0,A，()D ，()1,0,0C，()1,B ，()0,0,3P，30,22M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则()1,DC =，30,2DM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()BC =，()1,0,3CP =-． 设平面MCD 的法向量为(),,m x y z =，则0,0,m DC m DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,30.2x y z ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩ 令1y =，得x z ==MCD的一个法向量为(3,1,m =． 设平面PBC 的法向量为(),,n x y z '=''，则0,0,n BC n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,30.x z =-+=⎪''⎩' 令1z '=，得3,0x y ='='，所以平面PBC 的一个法向量为()3,0,1n =．因为33cos ,357m nmn m n ⋅===⨯ 所以平面MCD 与平面PBC 夹角的余弦值为35． 21．解：（1）由题意知,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点M 的坐标为,2p a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则直线MF 的斜率为022a a p p p -=---． 因为直线MF 的斜率为1-，所以1a p -=-，即a p =， 所以OFM △的面积21124p S OF a ===， 解得2p =或2p =-（舍去），故C 的方程为24y x =．（2）假设存在点N ，使得直线NA 与NB 的斜率之和等于直线NF 斜率的平方．由（1）得()1,0F ，抛物线C 的准线l 的方程为1x =-．设直线l '的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，()1,N t -，联立21,4,x my y x =+⎧⎨=⎩得2440y my --=， 所以216160m ∆=+>，124y y m +=，124y y =-． 因为0112NF t t k -==-+， ()()()12121221212122241124NA NB my y tm y y t y t y t k k x x m y y m y y +-+---+=+=+++++ ()()()()2224124424424441t m m m tm t t m m m m -+⋅-+--===--+⋅++， 所以22t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得0t =或4t =-． 故存在定点N ，使得直线NA 与NB 的斜率之和等于直线NF 斜率的平方，其坐标为()1,0-或()1,4--． 22．解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()23232a x a f x x x x-=-='． 令()0f x '=，得x =因为当x ⎛∈ ⎝时，()0f x '<；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0f x '>，所以()f x 在区间⎛⎝上单调递减，在区间⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，所以当x =()f x 有极小值，且极小值也是最小值，则()min 333ln 222a a a f x f ==-． 函数()g x 的定义域为()0,+∞，()22a ax a g x a x x -=-='， 令()0g x '=，得12x =． 因为当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<；当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>， 所以()g x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增， 所以当12x =时，()g x 有极小值，且极小值也是最小值，则()min 1ln22g x g a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭．由()()minmin f x g x =，得333ln ln2222a a a a a -=+，解得a = （2）设()()()22ln 2h x f x g x x a x ax =-=--，0x >， 则()()22222x ax a a h x x a x x--=--='． 设()2x x ax a ϕ=--，0x >，则()x ϕ在区间0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． 又()00a ϕ=-<，所以存在0,2a x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，使得()00x ϕ=，且当()00,x x ∈时，()0x ϕ<； 当()0,x x ∈+∞时，()0x ϕ>， 所以()00h x '=，且当()00,x x ∈时，()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>， 所以()h x 在区间()00,x 上单调递减，在区间()0,x +∞上单调递增， 故()()20000min 2ln 2h x h x x a x ax ==--．又()20000x x ax a ϕ=--=，所以()()00min 12ln h x a x x =--． 由方程()()f x g x =恰有一个实数根，得函数()h x 恰有一个零点， 又当0x →时，()h x →+∞；当x →+∞时，()h x →+∞，所以()()00min 12ln 0h x a x x =--=， 即0012ln 0x x --=．设()12ln x x x γ=--，显然()x γ在区间()0,+∞上单调递减，且()10γ=， 所以01x =．将01x =代入2000x ax a --=，解得12a =．。
2024—2025学年安徽省合肥市部分学校高一上学期第二次教学质量检测数学试卷
2024—2025学年安徽省合肥市部分学校高一上学期第二次教学质量检测数学试卷一、单选题(★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 下列函数与函数是同一函数的是（）A．B．C．D．(★★★) 3. 若两个正实数x，y满足，且存在这样的x，y使不等式有解，则实数的取值范围是（）A．B．C．或D．或(★) 4. 命题“，”的否定是（）A．，B．，C．，D．，(★★★) 5. 已知，且，则的最小值是（）A．B．C．D．(★★★★) 6. 已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，则（）A．B．C．D．(★★★) 7. 已知全集，，，，，，则下列选项不正确的为（）A．B．的不同子集的个数为8C．D．(★★★) 8. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、多选题(★★★) 9. 不等式的解集是，则下列选项正确的是（）A．且B．不等式的解集是C．D．不等式的解集是(★★★) 10. 已知全集，是的非空子集，当时，且，则称为的一个“孤立元素”，则下列说法正确的是（）A．若中元素均为孤立元素，则中最多有个元素B．若中不含孤立元素，则中最少有个元素C．若中元素均为孤立元素，且仅有个元素，则这样的集合共有个D．若中不含孤立元素，且仅有个元素，则这样的集合共有个(★★★) 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如.设函数，则下列说法错误的是（）A．的图象关于轴对称B．的最大值为1，没有最小值C．D．在上是增函数三、填空题(★★★) 12. 已知函数，，，.对于任意的，存在，使得，则的取值范围是 ______ ．(★★) 13. 已知集合，若，且，则实数m所取到的值为 ______ 或 ______ ．(★★★) 14. 已知方程的两根分别为，若对于，都有成立，则实数的取值范围是 ______ ．四、解答题(★★★) 15. 已知集合，．(1)若，全集，试求；(2)若，求实数的取值范围；(3)若，求实数的取值范围；(★★★★) 16. 已知函数.(1)若，，函数的最小值为0，求a的值；(2)若，不等式有且仅有四个整数解，求实数的取值范围；(3)当时，对，，若存在实数m使得成立，求m 的最小值.(★★★) 17. 已知，且(1)求最大值(2)求最小值(3)若不等式恒成立，求实数m的取值范围.(★★★★) 18. 已知方程(1)若，，求方程的解；(2)若对任意实数，方程恒有两个不相等的实数解，求实数的取值范围；(3)若方程有两个不相等的实数解，且，求的最小值．(★★★★) 19. 若函数的定义域为．集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为M上的增长函数．(1)已知函数，函数，判断和是否为区间上的增长函数，并说明理由：(2)已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数n的最小值；(3)如果的图像关于原点对称，当时，，且为R上的增长函数，求实数a的取值范围．。
【试卷】福建省福州市普通高中2023届高三毕业班质量检测(二检)数学试题(4页版)
2023年福州市普通高中毕业班质量检测数学试卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}12A x x =-≤，{|2x B x =，则A B =（ ）A ．112x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤≤B ．{|1x x -≤C ．12x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤ D ．{|3}x x ≤2．已知(1i)24i z +=-，则z = （ ）A ．2BC ．4D ．103．若二项式2213nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中存在常数项，则正整数n 可以是 （ ）A ．3B ．5C ．6D ．74．为培养学生“爱读书、读好书、普读书”的良好习惯，某校创建了人文社科类、文学类、自然科学类三个读书社团．甲、乙两位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学恰好参加同一个社团的概率为 （ ） A ．13B ．12C ．23D ．345．已知2b a = ，若a 与b 的夹角为120︒，则2a b - 在b 上的投影向量为 （ ）A ．3b -B ．32b -C ．12b - D ．3b6．已知221:(2)(3)4O x y -+-= ，1O 关于直线210ax y ++=对称的圆记为2O ，点E ，F 分别为1O ，2O 上的动点，EF 长度的最小值为4，则=a （ ）A ．32-或56B ．56-或32C ．32-或56- D ．56或327．已知三棱锥-P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，PA PB PC AB ====2π3ACB ∠=，则球O 的体积为（ ） A ．3πB ．27π8C ．9π2D ．9π8．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，(1)f x +是奇函数，且(1)()2f x g x -+=，()(3)2f x g x +-=，则（ ）A ．()f x 为奇函数B ．()g x 为奇函数C ．201()40k f k ==∑D ．201()40k g k ==∑二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知函数π()2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则 （ ）A ．()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增 B ．()f x 在区间[0,π]有两个零点C ．直线π12x =是曲线()y f x =的对称轴 D ．直线2π43y x =+是曲线()y f x =的切线10．已知曲线222:1424x y C m +=-，则 （ ）A ．若m >，则C 是椭圆B ．若m <<C 是双曲线 C ．当C 是椭圆时，若m 越大，则C 越接近于圆D ．当C 是双曲线时，若m 越小，则C 的张口越大11．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱BC ，1CC 的中点，P 为线段EF 上的动点，则 （ ） A ．线段DP 长度的最小值为2 B ．三棱锥1D A AP -的体积为定值 C ．平面AEF 截正方体所得截面为梯形 D ．直线DP 与1AA 所成角的大小可能为π312．若x ，y 满足223x xy y ++=，则（ ）A ．2x y +≤B ．21x y +-≥C ．228x y xy +-≤D ．221x y xy +-≥三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．若3cos 5α=-，α是第三象限角，则tan 2α=___________．14．利率变化是影响某金融产品价格的重要因素经分析师分析，最近利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%．根据经验，在利率下调的情况下该金融产品价格上涨的概率为80%，在利率不变的情况下该金融产品价格上涨的概率为40%．则该金融产品价格上涨的概率为__________．15．已知曲线32()362f x x x x =-++在点P 处的切线与在点Q 处的切线平行，若点P 的纵坐标为1，则点Q 的纵坐标为__________．16．已知椭圆22:1126x y C +=，直线l 与C 在第二象限交于A ，B 两点（A 在B 的左下方），与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，且::1:2:3MA AB BN =，则l 的方程为____________________．1 2 3 4 5 6 7 8 得分9 10 11 12 得分13． 14． 得分15． 16．四､解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 17．记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2222b a c -=．（1）求tan tan BA的值： （2）求C 的最大值．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，//AB CD ，AD CD ⊥，24CD AB ==，PAD △ 是正三角形，E 是棱PC 的中点． （1）证明：//BE 平面PAD ；（2）若AD =，平面PAD ⊥平面ABCD ，求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．19．欧拉函数*()()n n ϕ∈N 的函数值等于所有不超过正整数n ，且与n 互质的正整数的个数，例如：(1)1ϕ=，(4)1ϕ=． （1）求2(3)ϕ，3(3)ϕ；（2）令1(3)2nn a ϕ=，求数列3log n n a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．20．脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例．某运动生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男性120位，其平均数和方差分别为14和6，抽取了女性90位，其平均数和方差分别为21和17．（1）试由这些数据计算出总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计．（结果保留整数） （2）假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X ，且2(17,)X N σ～，其中2σ近似为（1）中计算的总样本方差．现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率． 附：若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6827P X μσμσ-+≈≤≤，(22)0.9545P X μσμσ-+≈≤≤4.7≈ 4.8≈，30.158650.004≈．21．已知抛物线2:2(0)E y px p =>，过点(2,0)-的两条直线1l ，2l 分别交E 于A 、B 两点和C 、D 两点．当1l 的斜率为23时，AB =． （1）求E 的标准方程：（2）设G 为直线AD 与BC 的交点，证明：点G 必在定直线上．22．已知函数()(1)ln f x x x ax a =+-+．（1）若2a =，试判断()f x 的单调性，并证明你的结论； （2）若1x >，()0f x >恒成立． （i ）求a 的取值范围：（ii ）设11111232n a n n n n=+++++++ ，[]x 表示不超过x 的最大整数．求[10]n a ． （参考数据：ln 20.69≈）。
河北省部分学校2025届高三上学期质量检测二数学试题(含答案)
河北省部分学校2025届高三上学期质量检测二数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x|x 2−9x +20≤0}，B ={x|log 2(x−3)<1}，则A ∪B =( )A. (−∞,5)B. [4,5)C. (−∞,5]D. (3,5]2.设复数z 满足(1−i)z =3−i 3，则z =( )A. 2+iB. 2−iC. 1−2iD. 1+2i3.已知非负实数x ，y 满足x +y =1，则12x +11+y 的最小值为( )A. 3+222B. 3+224C. 2D. 434.已知非零向量a ,b 满足|a +b |=|a|−|b |，则( )A. |a +b |>|b | B. |a−b |<|a |C. |a +b |>|a−b |D. (a +b )⋅(a−b )≥05.已知函数f(x)=cos ωx− 3sin ωx(ω>0)的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是( )A. 函数f(x)的图象关于点(7π12,0)中心对称B. 函数f(x)的单调增区间为[kπ−2π3,kπ−π6](k ∈Z)C. 函数f(x)的图象可由y =2sin ωx 的图象向左平移5π6个单位长度得到D. 函数g(x)=f(tωx),(t >0)在(0,π)上有2个零点，则实数t 的取值范围为(724,1324]6.对于一个函数：当自变量x 取a 时，其函数值等于2a ，则称a 为这个函数的H 数．若二次函数y =ax 2+4x +c(a,c 为常数且a ≠0)有且只有一个H 数1，且当0≤x ≤m 时，函数y =ax 2+4x +c−2的最小值为−3，最大值为1，则m 的取值范围是( )A. 0≤m ≤2B. 1≤m ≤3C. 2≤m ≤3D. 2≤m ≤47.若e x 1⋅x 3=ln x 2⋅x 3=1，则下列不等关系一定不成立的是( )A. x 3>x 2>x 1B. x 3>x 1>x 2C. x 2>x 1=x 3D. x 2>x 1>x 38.在ΔABC 中，B =π4,C =5π12,AC =26，AC 的中点为D ，若长度为3的线段PQ(P 在Q 的左侧)在直线BC 上移动，则AP +DQ 的最小值为( )A.30+2 102B.30+3 102C.30+4 102D.30+5 102二、多选题：本题共3小题，共18分。
河南省漯河高中2024学年高中毕业班教学质量检测试题(二)数学试题
河南省漯河高中2024学年高中毕业班教学质量检测试题（二）数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．i是虚数单位，21izi=-则||z=（）A．1 B．2 C．2D．222．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中左视图中三角形为等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是（）A．16πB．32 3πC．23πD．2053π3．已知等差数列{a n}，则“a2＞a1”是“数列{a n}为单调递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．已知函数1,0()ln,0xxf xxxx⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，若函数()()F x f x kx=-在R 上有3个零点，则实数k的取值范围为（）A．1(0,)eB ．1(0,)2eC ．1(,)2e-∞D．11(,)2e e5．已知向量a，b，b=(13，且a在b方向上的投影为12，则a b⋅等于（）A ．2B ．1C ．12D ．06．已知集合{}|,A x x a a R =≤∈，{}|216xB x =<，若A B ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．∅B ．RC ．(],4-∞D ．(),4-∞7．已知a ＞b ＞0，c ＞1，则下列各式成立的是（ ） A ．sin a ＞sin bB ．c a ＞c bC ．a c ＜b cD ．11c c b a--＜ 8．设ln3a =，则lg3b =，则（ ）A ．a b a b ab +>->B ．a b ab a b +>>-C ．a b a b ab ->+>D ．a b ab a b ->>+ 9．函数()sin 2sin 3f x x m x x =++在[,]63ππ上单调递减的充要条件是（ ）A ．3m ≤-B ．4m ≤-C．3m ≤-D ．4m ≤10．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，12a =，且139,,a a a 成等比数列，则8S =（ ） A ．56B ．72C ．88D ．4011．已知x ,y 满足不等式组2202100x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,则点(),P x y 所在区域的面积是( )A ．1B ．2C ．54D ．4512．若集合{}A=|2x x x R ≤∈，，{}2B=|y y x x R =-∈，，则A B ⋂=（ ） A ．{}|02x x ≤≤B ．{}2|x x ≤C ．{}2|0x x -≤≤D ．∅二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
淮南市重点中学2024学年高三下学期第二次教学质量检测试题数学试题
淮南市重点中学2024学年高三下学期第二次教学质量检测试题数学试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．2021年某省将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为 A ．18B ．14C ．16D ．122．天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”称为十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支.干支纪年法是天干和地支依次按固定的顺序相互配合组成，以此往复，60年为一个轮回.现从农历2000年至2019年共20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率为（ ） A ．219B ．995C ．4895D ．5193．如图是二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象，则函数()ln ()g x a x f x '=+的零点所在的区间是（ ）A ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．(2,3)4．已知(),A A A x y 是圆心为坐标原点O ，半径为1的圆上的任意一点，将射线OA 绕点O 逆时针旋转23π到OB 交圆于点(),B B B x y ，则2AB yy +的最大值为（ ）A ．3B ．2C 3D 55．函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则其图象向左平移6π个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（ ）A ．4x π=B ．3x π=C ．56x π=D ．1912x π=6．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点为12,F F ，一条渐近线方程为:b l y x a=-，过点1F 且与l 垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,P Q ，满足11122OP OF OQ =+，则该双曲线的离心率为（ ）AB ．3C D ．27．已知下列命题：①“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”；②已知,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题； ③“2019a >”是“2020a >”的充分不必要条件； ④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题. 其中真命题的序号为（ ） A ．③④B ．①②C ．①③D ．②④8．已知命题:p x R ∀∈，20x >，则p ⌝是（ ） A ．x ∀∈R ，20x ≤B ．0x ∃∈R ，200x ≤.C ．0x ∃∈R ，200x >D ．x ∀∉R ，20x ≤.9．若[]0,1x ∈时，|2|0xe x a --≥，则a 的取值范围为（ ）A ．[]1,1-B ．[]2,2e e --C ．[]2e,1-D ．[]2ln 22,1-10．已知函数()cos(2)(0)f x A x ϕϕ=+>的图像向右平移8π个单位长度后，得到的图像关于y 轴对称，(0)1f =，当ϕ取得最小值时，函数()f x 的解析式为（ ）A ．())4f x x π=+B ．()cos(2)4f x x π=+C ．())4f x x π=-D ．()cos(2)4f x x π=-11．已知函数()()1xf x k xe =-，若对任意x ∈R ，都有()1f x <成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(),1e -∞-B ．()1,e -+∞C ．(],0e -D ．(]1,1e -12．已知复数()11z ai a R =+∈，212z i =+（i 为虚数单位），若12z z 为纯虚数，则a =（ ）A ．2-B ．2C ．12-D ．12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
陕西省宝鸡市教育联盟2022-2023学年高一上学期质量检测(二)数学试题(含答案)
宝鸡教育联盟高一质量检测卷（二）数 学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.4. 本卷主要考查内容：必修第一册第一章~第五章5.3.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 与20-︒角终边相同的角是（ ）A. 300-︒B. 280-︒C. 320︒D. 340︒2. 函数1()ln(2)f x x x =-+定义域是（ ）A. (],2-∞ B. ()0,2C. ()(),00,2-∞ D. ()(],00,2-∞⋃3. 已知扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角的弧度为（ ）A. 1radB. 4radC. 1rad 或4radD. 2rad 或1rad 44. “17m <-”是“函数()()23215f x x m x =-+--在区间(],6-∞上单调递增”的（ ）A 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件5. 若函数243x y a +=+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则3πsin 2θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）的.A.B.C.D. 6. 已知0.023x =，lg 0.3y =，lg 0.7z =，则（ ）A. x z y>> B. x y z >>C. z x y >> D. z y x>>7.若πcos 7α⎛⎫-= ⎪⎝⎭6cos π7α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.B.C.D. 8. 已知函数()224,2,31, 2.2x x x f x x x x ⎧-+<⎪=⎨+≥⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||f x x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围为（ ）A. 153,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 157,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 117,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. 113,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列转化结果正确的是（ ）A. 90︒化成弧度是π2 B. 2π3-化成角度是60-︒C. 120-︒化成弧度是5π6- D. π10化成角度是18︒10. 函数()2231f x x x =-+的零点是（ ）A. 12- B. －1 C. 12 D. 111. 下列各式中，值为12的是（ ）A. 5πsin6 B. 2sin 45 C. 122-D. tan 21012. 已知函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则使()()1f f x =的x 可以是（ ）A. 4- B. 1- C. 1 D. 4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 函数()log (32)a f x x =-（0a >，且1a ≠）的定义域为______.14. 237log 7log 8log 3⋅⋅=______.15. 已知函数3222022236()3x x x f x x +++=+，且()14f a =，则()f a -的值为____________．16. 设正实数x 、y 满足21x y +=，则811++x y最小值为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17. 已知角α以x轴的非负半轴为始边，)1P-为终边上一点.（1）求sin 2cos αα-的值；（2）求3sin()cos(2)cos tan()25cos cos(3)sin()2πααππαπαπαπαα⎛⎫---- ⎪⎝⎭⎛⎫--- ⎪⎝⎭的值.18 已知2tan 3α=.（1）求sin 2cos cos 2sin αααα--的值；（2）求22sin 2cos αα-的值.19. 已知函数()()()2571xf x a a a =-+⋅-是指数函数.（1）求实数a 的值；（2）已知()()()223g f x x x f =-+，[]1,2x ∈-，求()g x 的值域.20. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()()2log 1f x x =-．（1）求()()71f f -；（2）求()f x 的解析式；（3）若()()21f a f a -<，求实数a 的取值范围．21 已知sin cos x x t +=，t ⎡∈⎣.（1）当12t =且x 是第四象限角时，求33sin cos x x -的值；的..（2）若关于x 的方程()sin cos sin cos 1x x a x x -++=有实数根，求a 的取值范围.（()3322()a b a b a ab b -=-++）22. 已知函数()f x 的定义域为R ，对任意的,R a b ∈，都有()()()f a f b f a b =+.当0x <时，()1f x >，且()00f ≠.（1）求()0f 的值，并证明：当0x >时，()01f x <<；（2）判断()f x 的单调性，并证明；（3）若()122f =，求不等式()215616f t t ->的解集.宝鸡教育联盟高一质量检测卷（二）数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.4. 本卷主要考查内容：必修第一册第一章~第五章5.3.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】AD【10题答案】【答案】CD【11题答案】【答案】ABD【12题答案】【答案】BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【13题答案】【答案】2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【14题答案】【答案】3【15题答案】【答案】10-【16题答案】【答案】25 3四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.【17题答案】【答案】（1）（2）【18题答案】【答案】（1）4（2）14 13 -【19题答案】【答案】（1）3a=（2）[]2,11【20题答案】【答案】（1）2 （2）()()()22log 1,0log 1,0x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩ （3）1,13⎛⎫⎪⎝⎭【21题答案】【答案】（1）（2）[)1,+∞【22题答案】【答案】（1）()01f =，证明见解析 （2）()f x 在R 上单调递减，证明见解析 （3）4,25⎛⎫- ⎪⎝⎭第8页/共8页。
20192019学度高中数学人教A版选修22：阶段质量检测(二)推理与证明Word版含解析
20192019学度高中数学人教A版选修22：阶段质量检测（二）推理与证明Word版含解析(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出旳四个选项中，只有一项是符合题目要求旳)1．根据偶函数定义可推得“函数f(x)＝x2在R上是偶函数”旳推理过程是()A．归纳推理B．类比推理C．演绎推理D．非以上答案解析：选C根据演绎推理旳定义知，推理过程是演绎推理，故选C.2．自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理()A．正确B．推理形式不正确C．两个“自然数”概念不一致D．“两个整数”概念不一致解析：选A三段论中旳大前提、小前提及推理形式都是正确旳．3．设a，b，c都是非零实数，则关于a，bc，ac，－b四个数，有以下说法：①四个数可能都是正数；②四个数可能都是负数；③四个数中既有正数又有负数．则说法中正确旳个数有()A．0 B．1C．2 D．3解析：选B可用反证法推出①，②不正确，因此③正确．4．下列推理正确旳是()A．把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有log a(x＋y)＝log a x＋log a yB．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin yC．把a(b＋c)与a x＋y类比，则有a x＋y＝a x＋a yD．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)解析：选D(xy)z＝x(yz)是乘法旳结合律，正确．5．已知f(x＋1)＝2f(x)f(x)＋2，f(1)＝1(x∈N*)，猜想f(x)旳表达式为()A．f(x)＝42x＋2B．f(x)＝2x＋1C．f(x)＝1x＋1D．f(x)＝22x＋1解析：选B f(2)＝22＋1，f(3)＝23＋1，f(4)＝24＋1，猜想f(x)＝2x＋1.6．求证：2＋3> 5.证明：因为2＋3和5都是正数，所以为了证明2＋3>5，只需证明(2＋3)2>(5)2，展开得5＋26>5，即26>0，此式显然成立，所以不等式2＋3>5成立．上述证明过程应用了()A．综合法B．分析法C．综合法、分析法配合使用D．间接证法解析：选B证明过程中旳“为了证明……”，“只需证明……”这样旳语句是分析法所特有旳，是分析法旳证明模式．7．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}旳类似结论为()A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29C．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9解析：选D由等差数列性质，有a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5.易知D成立．8．若数列{a n}是等比数列，则数列{a n＋a n＋1}()A．一定是等比数列B．一定是等差数列C．可能是等比数列也可能是等差数列D．一定不是等比数列解析：选C设等比数列{a n}旳公比为q，则a n＋a n＋1＝a n(1＋q)．∴当q≠－1时，{a n ＋a n＋1}一定是等比数列；当q＝－1时，a n＋a n＋1＝0，此时为等差数列．9．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca旳值()A．大于0 B．小于0C．不小于0 D．不大于0解析：选D 法一：∵a ＋b ＋c ＝0，∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0，∴ab ＋ac ＋bc ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.法二：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ac ＝0，否则a ，b 异号，∴ab ＋bc ＋ac ＝ab <0，排除A 、B 、C ，选D.10．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a ，b ，c 旳值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样旳a ，b ，c解析：选A 令n ＝1,2,3， 得⎩⎪⎨⎪⎧3(a －b )＋c ＝1，9(2a －b )＋c ＝7，27(3a －b )＋c ＝34.所以a ＝12，b ＝c ＝14.11．已知数列{a n }旳前n 项和S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，可归纳猜想出S n 旳表达式为( )A ．S n ＝2nn ＋1B ．S n ＝3n －1n ＋1C ．S n ＝2n ＋1n ＋2D ．S n ＝2nn ＋2解析：选A 由a 1＝1，得a 1＋a 2＝22a 2，∴a 2＝13，S 2＝43；又1＋13＋a 3＝32a 3，∴a 3＝16，S 3＝32＝64；又1＋13＋16＋a 4＝16a 4，得a 4＝110，S 4＝85.由S 1＝22，S 2＝43，S 3＝64，S 4＝85可以猜想S n ＝2n n ＋1.12．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意旳自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2 016＝( )A.1 C ．4D ．5解析：选D x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (2)＝1，x 3＝f (1)＝4，x 4＝f (4)＝5，x 5＝f (5)＝2，…，数列{x n }是周期为4旳数列，所以x 2 016＝x 4＝5，故应选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中旳横线上) 13．已知x ，y ∈R ，且x ＋y <2，则x ，y 中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．解析：“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”，故其对立面为“x ，y 都大于1”．答案：x ，y 都大于1 14．已知a >0，b >0，m ＝lga ＋b 2，n ＝lg a ＋b2，则m ，n 旳大小关系是________． 解析：ab >0⇒ab >0⇒a ＋b ＋2ab >a ＋b ⇒ (a ＋b )2>(a ＋b )2⇒a ＋b >a ＋b ⇒ a ＋b2>a ＋b 2⇒lg a ＋b2>lg a ＋b2. 答案：m >n 15．已知 2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝ 4415，…， 6＋a b ＝6ab，a ，b 均为正实数，由以上规律可推测出a ，b 旳值，则a ＋b ＝________.解析：由题意归纳推理得6＋a b＝6ab，b ＝62－1 ＝35，a ＝6.∴a ＋b ＝6＋35＝41. 答案：4116．现有一个关于平面图形旳命题：如图，同一平面内有两个边长都是a 旳正方形，其中一个旳某顶点在另一个旳中心，则这两个正方形重叠部分旳面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长为a 旳正方体，其中一个旳某顶点在另一个旳中心，则这两个正方体重叠部分旳体积恒为________．解析：解法旳类比(特殊化)，易得两个正方体重叠部分旳体积为a 38.答案：a 38三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明： (1)如果a ，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b2； (2)6＋10>23＋2.证明：(1)当a ，b >0时，有a ＋b2≥ab ，∴lg a ＋b 2≥lg ab ，∴lg a ＋b 2≥12lg ab ＝lg a ＋lg b 2.(2)要证 6＋10>23＋2， 只要证(6＋10)2>(23＋2)2， 即260>248，这是显然成立旳， 所以，原不等式成立．18．(本小题满分12分)若a 1>0，a 1≠1，a n ＋1＝2a n1＋a n (n ＝1,2，…)．(1)求证：a n ＋1≠a n ；(2)令a 1＝12，写出a 2，a 3，a 4，a 5旳值，观察并归纳出这个数列旳通项公式a n (不要求证明)．解：(1)证明：若a n ＋1＝a n ，即2a n1＋a n＝a n ， 解得a n ＝0或1.从而a n ＝a n －1＝…＝a 2＝a 1＝0或1， 这与题设a 1>0，a 1≠1相矛盾， 所以a n ＋1＝a n 不成立． 故a n ＋1≠a n 成立．(2)由题意得a 1＝12，a 2＝23，a 3＝45，a 4＝89，a 5＝1617，由此猜想：a n ＝2n－12n －1＋1.19．(本小题满分12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处．(1)求证：四边形旳内角和等于360°.证明：设四边形ABCD 是矩形，则它旳四个角都是直角，有∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形旳内角和为360°.(2)已知 2 和 3 都是无理数，试证：2＋3也是无理数．证明：依题设2和3都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以2＋3必是无理数．(3)已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)<0，用反证法证明：关于x 旳方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0无实根．证明：假设方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0有实根．由已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)＜0，解得－2＜m ＜－12，而关于x 旳方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0旳判别式Δ＝4(m 2－4)，∵－2<m <－12，∴14＜m 2＜4，∴Δ<0，即关于x 旳方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0无实根． 解：(1)犯了偷换论题旳错误，在证明过程中，把论题中旳四边形改为矩形．(2)使用旳论据是“无理数与无理数旳和是无理数”，这个论据是假旳，因为两个无理数旳和不一定是无理数，因此原题旳真实性仍无法判定．(3)利用反证法进行证明时，要把假设作为条件进行推理，得出矛盾，本题在证明过程中并没有用到假设旳结论，也没有推出矛盾，所以不是反证法．20．(本小题满分12分)等差数列{a n }旳前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }旳通项a n 与前n 项和S n ； (2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同旳三项都不可能成为等比数列．解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2.故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0，∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0. ∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾．∴数列{b n }中任意不同旳三项都不可能成等比数列． 21．(本小题满分12分)设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)．求证：f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *)． 证明：当n ＝2时，左边＝f (1)＝1，右边＝2⎝⎛⎭⎫1＋12－1＝1，左边＝右边，等式成立． 假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，结论成立，即 f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＝k [f (k )－1]， 那么，当n ＝k ＋1时， f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k ) ＝k [f (k )－1]＋f (k ) ＝(k ＋1)f (k )－k＝(k ＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (k ＋1)－1k ＋1－k＝(k ＋1)f (k ＋1)－(k ＋1) ＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1]，∴当n ＝k ＋1时结论仍然成立．∴f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *)．22．(本小题满分12分)已知f (x )＝bx ＋1(ax ＋1)2⎝⎛⎭⎫x ≠－1a ，a ＞0，且f (1)＝log 162，f (－2)＝1. (1)求函数f (x )旳表达式；(2)已知数列{x n }旳项满足x n ＝(1－f (1))(1－f (2))…(1－f (n ))，试求x 1，x 2，x 3，x 4； (3)猜想{x n }旳通项公式，并用数学归纳法证明．解：(1)把f (1)＝log 162＝14，f (－2)＝1，代入函数表达式得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1(a ＋1)2＝14，－2b ＋1(1－2a )2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧4b ＋4＝a 2＋2a ＋1，－2b ＋1＝4a 2－4a ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，(舍去a ＝－13)，∴f (x )＝1(x ＋1)2(x ≠－1)．(2)x 1＝1－f (1)＝1－14＝34，x 2＝34(1－f (2))＝34×⎝⎛⎭⎫1－19＝23， x 3＝23(1－f (3))＝23×⎝⎛⎭⎫1－116＝58， x 4＝58×⎝⎛⎭⎫1－125＝35. (3)由(2)知，x 1＝34，x 2＝23＝46，x 3＝58，x 4＝35＝610，…，由此可以猜想x n ＝n ＋22(n ＋1).证明：①当n ＝1时，∵x 1＝34，而1＋22(1＋1)＝34，∴猜想成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，x n ＝n ＋22(n ＋1)成立， 即x k ＝k ＋22(k ＋1)，则n ＝k ＋1时，x k ＋1＝(1－f (1))(1－f (2))…(1－f (k ))·(1－f (k ＋1)) ＝x k ·(1－f (k ＋1))＝k ＋22(k ＋1)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(k ＋1＋1)2＝k＋22(k＋1)·(k＋1)(k＋3)(k＋2)2＝12·k＋3k＋2＝(k＋1)＋2 2[(k＋1)＋1].∴当n＝k＋1时，猜想也成立，根据①②可知，对一切n∈N*，猜想x n＝n＋22(n＋1)都成立．。
浙江省杭州市2023届高三下学期教学质量检测(二模)数学试题试题+答案
2022学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测数学试题卷考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效！3．考试结束，只需上交答题卡．选择题部分（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．∩RB＝（A．[0，3] B．[1，3] C．{1，2} D．{1，2，3}2．设复数z满足z(1＋i)＝－2＋i（i是虚数单位），则| z|＝（）A．√102B．54C．52D．√523．在数列{a n}中，“数列{a n}是等比数列”是“a22＝a1a3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．设平面向量a＝(1，3)，| b |＝2，且| a－b |＝√10，则(2a＋b)·(a－b)＝（）A．1 B．14 C．√14D．√105．某兴趣小组研究光照时长x（h）和向日葵种子发芽数量y（颗）之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图．若去掉D(10，2)后，下列说法正确的是（）A．相关系数r变小B．决定系数R2变小C．残差平方和变大D．解释变量x与预报变量y的相关性变强6．已知a＞1，b＞1，且log 2√a＝log b 4，则ab的最小值为（）A．4 B．8 C．16 D．32（第5题）OA(1，4)C(3，5)B(2，6)E(8，11)D(10，2)x y7．如图，点A ，B ，C ，M ，N 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满．．足．直线MN //平面ABC 的是（ ）A ．127B ．1817C ．617D ．3017二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．若直线y ＝kx ＋1与圆C ：(x －2)2＋y 2＝9相交于A ，B 两点，则| AB |的长度可能．．等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．已知函数f (x )（x ∈R ）是奇函数，f (x ＋2)＝f (－x )且f (1)＝2，f ′(x )是f (x )的导函数，则（ ） A ．f (2023)＝2 B ．f ′(x )的周期是4 C ．f ′(x )是偶函数D ．f ′(1)＝111．一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A 1：第一次取出的是红球；事件A 2：第一次取出的是白球；事件B ：取出的两球同色；事件C ：取出的两球中至少有一个红球，则（ ） A ．事件A 1，A 2为互斥事件 B ．事件B ，C 为独立事件C ．P (B )＝25D ．P (C |A 2)＝3412．如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，O 1，O 2为圆柱上下底面的圆心，O 为球心，EF 为底面圆O 1的一条直径，若球的半径r ＝2，则（ ） A ．球与圆柱的体积之比为2∶3B ．四面体CDEF 的体积的取值范围为(0，32]C ．平面DEF 截得球的截面面积最小值为4π5D ．若P 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE ＋PF 的取值范围为[2＋2√5，4√3]BCAMA ．NBCAMB ．NB CAM C ．NBCAMD ．N（第12题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．14．已知sin cos 2sin θθα+=，2sin cos sin θθβ=，则224cos 2cos 2αβ-=_____． 15．费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P 为双曲线（F 1，F 2为焦点）上一点，点P 处的切线平分∠F 1PF 2．已知双曲线C ：x 24−y 22=1，O 为坐标原点，l 是点P (3，√102)处的切线，过左焦点F 1作l 的垂线，垂足为M ，则|OM |＝ ．16．已知函数f (x )＝e 2x －2e x ＋2x 在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为l ：y ＝g (x )， 若对任意x ∈R ，都有(x －x 0)(f (x )－g (x ))≥0成立，则x 0＝ ．四、解答题17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos B ＋sin A+C2＝0．（1）求角B 的大小；（2）若a ∶c ＝3∶5，且AC 边上的高为15√314，求△ABC 的周长．18．设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝20，a 32＝a 2a 5．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 1＝1，b n ＋b n ＋1＝(√2)a n，求数列{b 2n }的前n 项和．19．在三棱锥S —ABC 中，底面△ABC 为等腰直角三角形，∠SAB ＝∠SCB ＝∠ABC ＝90°．（1）求证：AC ⊥SB ；（2）若AB ＝2，SC ＝2√2，求平面SAC 与平面SBC夹角的余弦值．SABC（第19题）21．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，X t－2，X t－1，X t，X t＋1，…，那么X t＋1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态X t，即P(X t＋1 | …，X t－2，X t－1，X t)＝P(X t＋1 | X t)．现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为50%，且赌输就要输掉1元.赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为A（A∈N*，A＜B），赌博过程如下图的数轴所示．当赌徒手中有n元(0≤n≤B,n∈N)时，最终．．．．．．P(n)，请回答下列问．．输光的概率为题：（1）请直接写出P(0)与P(B)的数值．（2）证明{P(n)}是一个等差数列，并写出公差d．（3）当A＝100时，分别计算B＝200，B＝1000时，P(A)的数值，并结合实际，解释当B→∞时，P(A)的统计含义．22．已知函数f (x)＝e x－a（a∈R）．x（1）讨论函数f (x)零点个数；（2）若| f (x) |＞a ln x－a恒成立，求a的取值范围．2022学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．CD10．BD11．ACD12．AD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．70 14．0 15．2 16．－ln2四、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．（1）因为 sinA+C 2＝sinπ−B 2＝cos B2，所以 cos B +cos B 2＝0，即 2cos 2B 2+cos B2－1＝0，解得 cos B 2＝12或cos B2＝－1，因为0＜B ＜π，所以0＜B2<π2，则cos B 2＞0，故 cos B 2＝12， 则 B2＝π3，故B ＝2π3．………………5分（2）令c ＝5m （m ＞0），则a ＝3m ，由三角形面积公式，得 12ac sin B ＝12b ×15√314，所以 b ＝7m 2，由余弦定理可，得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，则 49m 4＝49m 2，解得 m ＝1，从而 a ＝3，b ＝7，c ＝5，故△ABC 的周长为 a ＋b ＋c ＝15．………………5分18．（1）由题意，知1211151020(2)()(4),=⎧⎪⎨=⎪⎩a +d a +d a +d a +d ，解得 a 1＝0，d ＝2． 所以 a n ＝2n －2． ………………4分（2）因为 b n ＋b n ＋1＝2n －1①所以 b 1＋b 2＝1，又因为b 1＝1，所以b 2＝0． 当n ≥2时，b n －1＋b n ＝2n －2②①－②，得 b n ＋1－b n －1＝2n －2，即b n －b n －2＝2n －3（n ≥3）． 所以b 2n －b 2n －2＝22n －3，b 2n －2－b 2n －4＝22n －5，……，b 4－b 2＝21， 累加，得 b 2n －b 2＝23(4n−1−1)（n ≥2）， 所以b 2n ＝23(4n−1−1) （n ≥1），所以数列{ b 2n }的前n 和为b 2＋b 4＋…＋b 2n ＝2224939⋅--n n ．………………8分19．（1）证明：设AC 的中点为E ，连结SE ，BE ， 因为AB ＝BC ，所以BE ⊥AC ，在△SCB 和△SAB 中，∠SAB ＝∠SCB ＝90°，AB ＝BC ．所以 △SCB ≌△SAB ，所以SA ＝SC ． 所以SE ⊥AC ， 所以AC ⊥平面SBE ， 因为SB ⊂平面SBE ， 所以 AC ⊥SB ． ………………5分（2）过S 作SD ⊥平面ABC ，垂足为D ，连接AD ，CD ， 所以SD ⊥AB ，因为 AB ⊥SA ，所以 AB ⊥平面SAD ， 所以 AB ⊥AD ，同理，BC ⊥CD ． 所以四边形ABCD 是边长为2的正方形． 建立如图所示的空间直角坐标系D —xyz ，则A (2，0，0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)，S (0，0，2)， 所以SC⃗⃗⃗⃗ ＝(0，2，－2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－2，2，0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－2，0，0)， 设平面SAC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则{n 1⋅SC ⃗⃗⃗⃗ ＝2y 1−2z 1＝0， n 1⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ ＝−2x 1+2y 1＝0，取x 1＝1，y 1＝1，z 1＝1，所以n 1＝(1，1，1) ．同理可得平面SBC 的法向量n 2＝(0，1，1)． 设平面SAC 与平面SBC 夹角为θ， 所以cos θ＝|cos< n 1，n 2>|＝|n 1⋅n 2||n 2||n 2|＝√63，所以平面SAC 与平面SBC 夹角的余弦值为√63．………………7分20．（1）当n =0时，赌徒已经输光了，因此P (0)=1. 当n =B 时，赌徒到了终止赌博的条 件，不再赌了，因此输光的概率P (B )=0.………………3分（2）记M:赌徒有n 元最后输光的事件，N:赌徒有n 元下一场赢的事件P (M )=P (N )P (M |N )+P (N ̅)P(M|N ̅) 即P (n )=12P (n −1)+12P(n +1)， 所以P (n )−P (n −1)=P (n +1)−P(n)， 所以{P (n )}是一个等差数列．设()()1--=P n P n d ，则()()12---=P n P n d ，……，()()10-=P P d ， 累加得()()0-=P n P nd ，故()()0-=P B P Bd ，得1=-d B．………………6分．（3）由()()0P A P Ad，即()1=-AP n P nd得()()0-=-=P AB当B=200，P(A)=50%，当B=1000，P(A)=90%，当B→∞，P(A)→1，因此可知久赌无赢家，即便是一个这样看似公平的游戏，只要赌徒一直玩下去就会100%的概率输光．………………3分设h(x)＝x e x，则h′(x)＝(x＋1)e x，所以，在(－1，0)，(0，＋∞)上单调递增；在(－∞，－1)上单调递减，所以h(x)min＝h(－1)＝－1．e据此可画出大致图象如右，所以（ⅰ）当a＜－1或a＝0时，f (x)无零点；e或a＞0时，f (x)有一个零点；（ⅱ）当a＝－1e（ⅲ）当－1e＜a＜0时，f (x)有两个零点；…………6分（2）①当a＝0时，e x＞0，符合题意；②当a＜0时，因x＞0，则e x－ax＞0，则e x－ax ＞a ln x－a，即e x＞(1x＋ln x－1)a，设m(x)＝1x ＋ln x－1，则m′(x)＝－1x2＋1x＝x−1x2，所以m(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．所以m(x)≥m(1)＝0，所以，当a＜0时，e x＞0≥(1x＋ln x－1)a，即| f (x) |＞a ln x－a成立，即a＜0合题意；③当a＞0时，由（1）可知，h(x)－a＝x e x－a，在(0，＋∞)上单调递增．又h(0)－a＝－a＜0，h(a)－a＝a(e a－1)＞0，所以∃x0∈(0，a)，使h(x0)－a＝x0e x0－a＝0．i）当x∈(0，x0)时，x e x－a＜0，即e x－ax＜0，设g(x)＝ax－e x－a ln x＋a＞0，则g′(x)＝－ax2－e x－ax＜0，所以g(x)在(0，x0)上单调递减，所以x∈(0，x0)时，g(x)＞g(x0)＝－a ln x0＋a；ii）当x∈(x0，＋∞)时，x e x－a＞0，即e x－ax＞0，设t(x)＝e x－ax－a ln x＋a＞0，因为t′(x)＝e x+ax2−ax＝x2e x+a−axx2，令p(x)＝x2e x+a−ax，x∈(x0，+∞)，则p′(x)＝(x2+2x)e x−a，又令n(x)＝(x2+2x)e x−a，x∈(x0，+∞)，则n′(x)＝(x2+4x+2)e x>0，得n(x)在(x0，+∞)上单调递增．有p′(x)＝n(x)≥n(x0)＝(x02+2x0)e x0−a＝ax0+a>0，得p(x)在(x0，+∞)上单调递增，有p(x)≥p(x0)＝x02e x0+a−ax0＝a>0．则t′(x)＝p(x)x2>0，得t(x)在(x0，+∞)上单调递增．则x∈(x0，+∞)时，t(x)≥t(x0)＝−a ln x0+a．又x∈(0，x0)时，g(x)>g(x0)＝−a ln x0+a，得当a>0时，|f(x)|>a ln x−a时，−a ln x0+a>0⇒0<x0<e，由上可知a＝x0e x0，ℎ(x)＝xe x在(0，+∞)上单调递增，则此时0<a<e e+1；综上可知，a的范围是(−∞，e e+1)．………………6分。
2023年2月9日泉州市质量检查二检数学试卷参考答案
泉州市2023届高中毕业班质量检测（二）参考答案1．【答案】B 【解析】{|21}{|0}x B x x x =<=<，所以[1,0)A B =- ．2．【答案】A 【解析】由a b a b +=- ，两边平方，可得0a b ⋅= ，则a b + 在a 方向上的投影向量为222()a b a a a a a a a+⋅⋅=⋅= ． 3．【答案】C 【解析】因为数列{}n a 是等差数列，所以31397a a a a +=+，又因为3139a a a +=，所以70a =，所以137130S a ==．4．【答案】B 【解析】6010.31410+60nnE ⎛⎫-== ⎪⨯⎝⎭，0.997E > ，0.30.003n ∴<，lg 0.3lg 0.003n ∴<， lg 0.003lg 330.4834.85lg 0.3lg 310.481n -->=≈≈--，所以至少需要经过的萃取5次．5．【答案】D 【解析】选项A，y =是偶函数，排除A ；选项B ，当x →+∞时，2201xy x =→+，与图象不符，排除B ；选项C ，1ln 1x y x +=-，由101xx+>-，得11x -<<，即函数的定义域为(1,1)-，与图象不符，排除C ，故选D ．6．【答案】C 【解析】(,0)F c -，直线l的方程为)y x c =+，令0x =，得y =，(0,)P ∴，由2PF PA = ，可知点A 为PF的中点，2c A ⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭，AF c ∴=，设右焦点为2(,0)F c，则2AF =．22a AF AF c ∴=+=，离心率1c e a ===-． 7．【答案】D 【解析】由甲、乙两车停泊在同一排，分两种情况讨论，第一种情况为丙、丁两车停泊在同一排，不同的停车方案有244244A A A 288⋅⋅=种；第二种情况为丙、丁两车停泊在不同排，不同的停车方案有11312244A A A A 384⋅⋅⋅=种．综上，不同的停车方案有288384672+=种． 8．【答案】B 【解析】20221120212021c ==+，20231120222022d ==+，c d ∴>，设ln(1)()ln x f x x+=，则2ln ln(1)1()0(ln )x x x x f x x +-+'=<，所以()f x 单调递减，(2021(2022)f f ∴>，即a b >． 设ln ()x g x x =，则21ln ()x g x x -'=，当e x >时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以ln 2022ln 202320222023>， 20222023ln 2023log 20232022ln 2022∴>=，即d b >．所以b 最小．9．【答案】ACD 【解析】4244T πππ=-=，T π∴=，2ω=．A 正确； 当4x π=时，2,2x k k πωϕϕππ+=+=+∈Z ，又0ϕπ<<，2πϕ∴=，B 错误；()cos 2sin 22f x x x π⎛⎫∴=+=- ⎪⎝⎭，()sin 263g x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 63f ππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭2sin 63g ππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，66f g ππ⎛⎫⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 正确； sin 1122g ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，51sin 462g ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，124g g ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪∴ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 正确．10．【答案】CD 【解析】取11AC 的中点Q ，连接AQ ，1AB ，1B Q ，易证得平面1//AB Q 平面1BC P ，而平面1AB Q 与平面AMN 相交，所以平面1BC P 与平面AMN 也相交，所以A 错误；选项B ，若1B C ⊥平面AMN ，则1B C AN ⊥，取AB 中点O ，连接AO ，易证得CO ⊥平面11ABB A ，AN CO ∴⊥，又1B C CO O = ，AN ∴⊥平面1B CO ，1AN B O ∴⊥，而AN 与1B O 显然不垂直，所以B错误；112132M ABN B AMN V V --⎛⎫==⨯⨯⨯=⎪⎝⎭C 正确； 延长MN 与CB 的延长线交于点D ，连接DP 交AB 于点E ，连接NE ，过点M 作DP 的平行线，交11AC 于点F ，连接FP ，所以平面PMN 截该正三棱柱所得的截面图形为如图所示的五边形MNEPF ，D 正确．1111．【答案】AD 【解析】设MFx θ∠=，则1cos p MF θ=-，1cos pNF θ=+，22sin pMN MF NF θ=+=，所以当90θ=︒时，MN 取得最小值为24p =，A 正确； 22sin p MF NF θ⋅=，所以当90θ=︒时，MF NF ⋅取得最小值为24p =，B 错误；当PF NF =时，3MF NF =，31cos 1cos p p θθ∴=-+，1cos 2θ∴=，60θ=︒，2216=sin 3p MN θ=，C 错误；当43PF =时，22cos 2cos 42sin sin 3MF NF p PF θθθθ-====，22sin 3cos θθ∴=，22cos 3cos 20θθ+-=，(2cos 1)(cos 2)0θθ-+=，解得1cos 2θ=，60θ=︒，2216=sin 3p MN θ=，D 正确．12．【答案】ABC 【解析】()f x 为偶函数，且当0x >时，e e 0x x y -=->且单调递增，所以()(e e )x x f x x a -=-⋅+在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减．所以min ()(0)f x f a ==，因为函数()f x 有两个零点12,x x ，所以0a <，又12x x <，所以10x <，20x >，且120x x +=．1()(e e )e ln e e e ()x x x x xxf x ag x a -⎛⎫=-⋅+=-⋅ ⎪⎝⎭+=，12()(e e )0x x g g ∴==，又34()()0g x g x ==， 12x x <，34x x <，可得13e x x =，24e x x =，341x x =，()g x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增．当3a <-时，8ln 38 1.099(3)033g a a ⨯=+≈+<，4()0g x =，43x ∴>，又函数1y x x=+在(1,)+∞上单调递增，34441101333x x x x >∴++==+，B 正确；若2x ，3x ，4x 成等比数列，则2x ，2e x -，2e x 成等比数列，则2222ee x x x -=⋅，223e x x -=，方程3e x x -=有正数解，所以存在实数a ，使得2x ，3x ，4x 成等比数列，C 正确；若23x x =，且1x ，2x ，4x 成等差数列，则22e x x -=，224211ee x x x x -===，且2x -，2x ，21x 成等差数列，则22212x x x =-+，2213x =，2x =，此时22e xx -=不成立，故D 错误．13．【答案】2 【解析】由(1i)(0)z a a +=>，可得1i 2a z =+⋅==．14．【答案】填写4到6之间的任意一个数，均可得5分．【解析】满足90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上，即单位圆22:1O x y +=上，所以圆O 与圆C 有公共点，又5OC =，所以151r r -+≤≤，解得46r ≤≤．15．【答案】[0,1] 【解析】当0a <时，当0x >，且0x →时，()1ln f x x a x =--→-∞，不符合题意；当0a =时，()1f x x =-，最小值为0，符合题意；当0a >时，(1)0f =，且()1ln 0f x x a x =--≥恒成立，即1ln 1x x a-≤恒成立，因为函数ln y x =在1x =处的切线方程为1y x =-，所以11a≥，即01a <≤．综上可知，实数a 的取值范围为[0,1]． 16．【答案】163π 【解析】如图，设ACD θ∠=，过A 作AE CD ⊥于E ，过B 作BF CD ⊥交CD 的延长线于F ．2BC =，3ACB π∠=，则sin AE θ=，cos CE θ=，2sin sin 3BF πθθθ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，2cos 3CF πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2cos cos 3EF CF CE πθθθ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭，折叠成直二面角后，222222224sin sin )3cos 5sin cos A B AE EF BF θθθθθθθ'=++=-=+-4cos 2242sin 26πθθθ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭，当262ππθ+=，即6πθ=时，A B '取得最小值，此时ACD △外接圆的圆心为CD 的中点，在平面BCD 内，且平面ACD ⊥平面BCD ，所以BCD △的外接圆即为四面体A BCD '外接球的大圆面．此时6CBD B π∠=∠=，23CDB π∠=，1BD CD ==，设外接球半径为R，则22sin 3BC R π==R ∴=， 球O 的表面积21463S R ππ==． 17．【答案】（1）AC =（2）tan BAC ∠=． 【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理，得sin sin AC ABABC ACB=∠∠，··················1分【正弦定理】化简得sin sin AC ACB AB ABC ∠=∠，代入sin cos AC ACB ABC ∠=∠，得到sin ABC ABC ∠=∠，即tan ABC ∠=······································2分【运算求解】因为(0,)ABC π∠∈，所以3ABC π∠=．·····································································3分由1sin 23ABC S AB BC π=⋅⋅=△，得到4AB =．···········································4分【面积公式】 在ABC △中，由余弦定理，得222222cos4343133AC AB BC AB BC π=+-⋅=+-⨯=，所以AC =·························································································5分【余弦定理】 （2）设BAC θ∠=，因为//AD BC ，所以23CAD πθ∠=-．········································6分 在ABC △中，由正弦定理，得sin sin AC BC ABC θ=∠，所以AC =．···························7分在Rt ADC △中，sin CDCAD AC∠=，所以sin 3AC θ=- ⎪⎝⎭(8分)ABCDsin 3θ=- ⎪⎝⎭23sin 2sin 3πθθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，所以13sin 2sin 2θθθ⎫+=⎪⎪⎝⎭，·················································9分【两角差正弦公式】得到tan θ=，即tan BAC ∠=·····································································10分 18．【解析】（1）132a =-，11122n n n a a +--=，可得214a =-，········································1分 318a =，·················································································································2分由11122n n n a a +--=，可得11222n nn n a a ++-=，·····························································3分所以数列{2}nn a 是以123a =-为首项，公差为2的等差数列，··········································4分 于是23(1)225nn a n n =-+-⋅=-，···········································································5分 所以*25()2n nn a n -=∈N ．························································································6分 （2）252n nn a -=，当1,2n =时0n a <，当3n ≥时，0n a >，于是132S =，2317244S =+=(7分) 当3n ≥时，234513113527252222222n n nn n S ---=+++++++ ， 234561131135272522222222n n n n n S +--=+++++++ ， 两式相减得：24113(2)22250222222n n n n S +--=+++++- ，·············································9分33111111112551255212211224224212n n n n n n n n n S -++++⎛⎫- ⎪---⎝⎭=+-=-=⋅-．······································10分所以521(3)22n n n S n -=-≥，····················································································11分 又274S =也符合上式，综上：3,1,2521,222n nn S n n ⎧=⎪⎪=⎨-⎪-⎪⎩≥．···············································12分19．【解析】（1）频率分布直方图中，该地年龄在[60,70)的老年人年收入的平均数约为：0.0420.0830.1840.2650.2060.1570.0580.049 5.35⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，·······························································································2分【列式与计算结果各1分】由频率分布直方图，年收入在8.5万元以下的老年人所占比例为10.0410.96-⨯=，年收入在7.5万元以下的老年人所占比例为1(0.0510.041)0.91-⨯+⨯=，···························3分因此，第95百分位数一定位于[7.5,8.5)内，··································································4分由0.950.917.518.30.05-+⨯=，················································5分【列式或体现计算方法，1分】可以估计该地年龄在[60,70)的老年人年收入的第95百分位数为8.3．·································6分（2）把年龄在[60,70)的老年人样本的平均数记为x，方差记为2xs；年龄在[70,80)的老年人样本的平均数记为y，方差记为2ys；年龄在[60,80)的老年人样本的平均数记为z，方差记为2s．···········7分由（1）得， 5.35x=，由题意得，23xs=， 3.75y=，2 1.4ys=，则5003004.75500300500300z x y=+=++，·······························9分【列式与计算各1分】由{}222221500()300()800x ys s x z s y z⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦，·················································10分可得{}22215003(5.35 4.75)300 1.4(3.75 4.75)3800s⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦，·························································································【列式与计算结果各1分】12分即估计该地年龄在[60,80)的老年人的年收入方差为3．···················································12分20．【解析】（1）BC⊥平面PAB，PE⊂平面PAB，BC PE∴⊥．·····························1分又PE EC⊥，EC BC C=，PE∴⊥平面BCD．···················································2分BD⊂平面BCD，PE BD∴⊥．············································································3分又1tan tan2BAD BCE∠=∠=，ABD BCE∴∠=∠，90ABD CEB∴∠+∠=︒，即BD CE⊥．········································4分PE CE E=，BD∴⊥平面PEC．·······································································5分又BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PEC．···························································6分（2）由（1）得PE AB⊥，且E为AB的中点，2PB PA AB∴===．····························7分以E为坐标原点，EP，EA所在的直线分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系E xyz-，·····························································································································8分则P，(0,1,0)A，(0,1,0)B-，(0,1,1)D，(0,1,2)C-，(1,2)PC=-，(PD=，(PE=，(9分)设平面PCD的一个法向量为(,,)n x y z=．由0PC n⋅=，20,0,y zy z⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩令1y=，则2z=，x=n=设平面PCE的一个法向量为(,,)m a b c=．由0PC m⋅=，x得20,0,b c ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩令1c =，可得(0,2,1)m = ．························································11分cos ,m n m n m n⋅∴〈〉===⋅∴二面角D PC E --．··············12分 21．【解析】（1）每个芯片智能检测中安全检测、电池检测、性能检测三项指标达标的概率分别记为123,,P P P ，并记芯片智能检测不达标为事件A ．视指标的达标率为任取一件新产品，该项指标达标的概率， 则有199100P =，29899P =，39798P =．·······································1分【前述内容均未交代，此分必扣】 根据对立事件的性质及事件独立性的定义得，·········································2分【公式成立的条件】1239998973()111009998100P A PP P =-=-⨯⨯=，·································3分【公式与计算，各占1分】 所以，每个芯片智能检测不达标的概率为3100．······························································4分（2）人工抽检30个芯片恰有1个不合格品的概率为112930()C (1)p p p ϕ=-，·······················6分因此129281283030()(1)29(1)(1)(130)p C p p p C p p ϕ'⎡⎤=---=--⎣⎦，·································7分 令()0p ϕ'=，得130p =．当10,30p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0p ϕ'>；当1,130p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0p ϕ'<．····8分所以()p ϕ有唯一的极大值点0130p =．········································································9分 （3）设芯片人工抽检达标为事件B ，则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品为事件|B A ，由（2）得，29(|130P B A p =-=，·································································10分 由（1）得97()100P A =，2997()((|93.8%96%30100P AB P A P B A =⋅=⨯≈<， ·························································································11分【计算得93.8%，即得分】因此，该企业需对生产工序进行改良．··········································································12分 22．【解析】（1）连结MO ，1PF ．因为线段1F N 的垂直平分线交直线2F N 于点P ，所以1PF PN =． 所以2122PF PF PF PN NF -=-=．【若后续未得分，至此可回补1分】 在12NF F △中，1F M MN =，12F O OF =，所以222NF OM ==，即21122PF PF F F -=<．········2分【指出距离差绝对值为定值2，给2分；未加绝对值扣1分．】 所以点P 的轨迹Γ是以1F ，2F 为焦点，实轴长为2的双曲线．·················3分【指出双曲线1分】由已知1(2,0)F -，2(2,0)F ，故Γ的方程为2213y x -=．·························4分【方程正确1分】（2）当直线l 的斜率不存在时，由双曲线的对称性，不妨设点A 坐标为(,)t t ，则2213t t -=，232t =．所以232OAB S t ==△．····························5分当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx b =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ．由22,1,3y kx b y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y ，整理得222(3)2(3)0k x kbx b ---+=，··············································6分 当判别式222244(3)(3)0k b k b ∆=+-+>，即223b k +>时，由韦达定理，得12223kb x x k +=-，212233b x x k +=-．··························································7分因为OA OB ⊥，所以12120x x y y +=，即1212()()0x x kx b kx b +++=， 因此221212(1)()0k x x kb x x b ++++=，所以2222232(1)033b kbk kb b k k+++⋅+=--，故22332k b +=．············································8分因为AB ===== 当且仅当0k =时，等号成立．····················································································10分 点O 到直线l的距离为d ==···································································11分所以113222≥OAB S AB d =⋅⋅=△． 综上，OAB △的面积的最小值为32．(面积取得最小值时，直线l 的方程为x=或y =···················································································12分【取得最值的条件，此次未写不扣分】。
天津市南开区2022-2023学年高三上学期12月阶段性质量监测(二)数学试题(含答案解析)
天津市南开区2022-2023学年高三上学期12月阶段性质量监测（二）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{3,2,1,2},{3,1,2,3}S T =--=--，则S T S ð等于（）．A ．{3,2}-B ．{2,1}-C ．{1,3}-D ．{2,1,1,3}--2．函数1()ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象可能是（）．A ．B ．C ．D ．3．“1a <”是“22R,20x x x a ∃∈-+<”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4．人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为025dB -（分贝），并规定测试值在区间(0,5]为非常优秀，测试值在区间(5,10]为优秀．对500人进行了听力测试，从中随机抽取了50人的测试值作为样本，制成如图频率分布直方图，从总体的500人中随机抽取1人，估计其测试值在区间(0,10]内的概率为（）．A ．0.2B ．0.8C ．0.02D ．0.085．已知0.154log 2,log 3,2a b c ===，则（）．A ．c b a<<B ．c a b<<C ．a b c<<D ．a c b<<6．已知函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎝⎭图象的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为3π4，则下列区间中()f x 单调递增的是（）．A ．ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．π,π2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．30,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．用底面半径为3cm 的圆柱形木料车出7个球形木珠，木珠的直径与圆柱形木料的高相同．下料方法：相邻的木珠相切，与圆柱侧面接触的6个木珠与侧面相切，如图所示是平行于底面且过圆柱母线中点的截面．则7个木珠的体积之和与圆柱形木料体积之比为（）．A ．227B ．427C ．727D ．14278．已知双曲线22:1124x y C -=，点F 是C 的右焦点，若点P 为C 左支上的动点，设点P到C 的一条渐近线的距离为d ，则||d PF +的最小值为（）A ．2+B ．C ．8D ．109．定义{},,max ,,.p p q p q q p q ≥⎧=⎨<⎩已知函数{}2()max ,32,()||f x x x g x x =-=．若方程3(())2f g x ax =+有四个不同的实数解，则实数a 的取值范围是（）．A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(1,1)-二、填空题10．若复数1ii iz a +=-+（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为________________．11．在53x ⎫-⎪⎭的展开式中，x 的系数为______________．12．在平面直角坐标系中，经过直线20x y +-=与两坐标轴的交点及点(0,0)的圆的方程为___________．三、双空题13．一个袋中有质地一样的小球5个，其中3个白色，2个黑色．现从中不放回地随机摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，则摸球两次停止的概率为____________；停止摸球时，摸到的白球个数多于黑球个数的概率为______________．四、填空题14．已知0,0,3a b a b >>+=______．五、双空题15．已知平行四边形ABCD 中，2,45AB DAB ==∠=，E 是BC 的中点，点P 满足2AP AE AD =-，则||PD =________；PE PD ⋅=__________．六、解答题16．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2cos (cos cos )C a B b A c +=．(1)求角C ；(2)若cos 4A =，求cos(2)A C +的值；(3)若c ABC =△的面积为2，求ABC 的周长．17．在如图所示的多面体中，,,AB CD AB AD AE ⊥⊥∥平面,ABCD CF ⊥平面ABCD ，1,2AB AE CF AD CD =====，M ，N 分别是,BF DE 的中点．(1)求证：MN ∥平面CDF ；(2)求DF 与平面BEF 所成角的正弦值；(3)设平面BEF I 平面CDF l =，求二面角B l C --的正弦值．18．已知数列{}n a 是公差不等于0的等差数列，其前n 项和为n S ，且11241,,,a S S S =成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()12n n n b n a a *+=∈⋅N ，其前n 项和为n T ．（ⅰ）若222,,m T T T 成等差数列，求m 的值；（ⅱ）求121ia ni iT =-∑．19．设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为12，其左焦点到(2,1)P．(1)求椭圆E 的方程；(2)椭圆E 的右顶点为D ，直线:l y kx m =+与椭圆E 交于A ，B 两点（A ，B 不是左、右顶点），若其满足0DA DB ⋅= ，且直线l 与以原点为圆心，半径为17的圆相切；求直线l的方程．20．已知函数()e xx f x =．(1)求()f x 的单调区间和极值；(2)若0x =是函数()()()sin g x f a f x x =⋅+的极值点．（ⅰ）证明：2ln 20a -<<；（ⅱ）讨论()g x 在区间()π,π-上的零点个数．参考答案：1．C【分析】求出{3,2,1,1,2,3}S T =--- ，再根据补集的定义即可求得答案.【详解】由集合{3,2,1,2},{3,1,2,3}S T =--=--可得{3,2,1,1,2,3}S T =--- ,故{1,3}S T S =- ð，故选：C 2．D【分析】通过函数的定义域与零点个数排除A 、B 、C 选项，分析D 选项符合函数的性质.【详解】令1()ln 0f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＝得11x x -=即210x x --=，此有方程有两根，故()f x 有两个零点，排除A 选项；函数1()ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭有意义满足10x x->解得1x >或10x -<<，当1x <-时函数无意义，排除B 、C 选项；对D 选项：函数的定义域符合，零点个数符合，又∵当10x -<<与及1x >时，函数1y x x=-单调递增，结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，故单调性也符合，所以()f x 的图象可能是D ；故选：D 3．B【分析】求得22R,20x x x a ∃∈-+<时的a 的取值范围，判断和“1a <”的逻辑推理关系，可得答案.【详解】由题意知22R,20x x x a ∃∈-+<，即方程2220x x a -+=的判别式2440a ∆=->，即11a -<<，故1a <时推不出11a -<<，但11a -<<时，一定有1a <成立，故“1a <”是“22R,20x x x a ∃∈-+<”的必要不充分条件，故选：B 4．A【分析】利用频率分布直方图，结合频率之和为l ，求出样本中测试值在区间(0,10]内的频率，由频率估计概率，即可得到案.【详解】根据频率分布直方图可知，样本中测试值在区间(0,10]内的频率为:1(0.060.080.02)510.80.2-++⨯=-=,以频率估计概率，故从总体的500名学生中随机抽取1人，估计其测试值在区间(0,10]内的概率为0.2,故选：A 5．C【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可求解.【详解】因为55441log 2log log 2log 312a b =<==<=<，又因为0.10221c =>=，所以c b a >>，故选：C .6．B【分析】求出最小正周期，进而得到2π23T ω==，利用整体法求解单调递增区间，得到答案.【详解】设π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ，由题意得：13π44T =，解得3πT =，因为0ω>，所以2π23T ω==，所以2π()sin 36f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令2πππ2π,2π,Z 3226x k k k ⎡⎤-∈-++∈⎢⎥⎣⎦，解得：π3π,π3π,Z 2x k k k ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦，当0k =时，π,π2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，B 正确；当1k =-时，7π,2π2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，当1k =时，5π4π2,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故其他选项，均不满足要求.故选：B 7．D【分析】由题意推出球形木珠和圆柱的半径之间的关系，确定圆柱的高，根据球和圆柱的体积公式即可求得答案.【详解】设球形木珠的半径为r ，圆柱形木料的底面半径为R ,由截面图可知26,3R r R r =∴=，圆柱形木料的高为2r ，故7个木珠的体积之和与圆柱形木料体积之比为3322447π7π1433π2π(3)227r r R r r r ⨯⨯==⨯⨯⨯⨯，故选：D 8．A【分析】设双曲线左焦点为(40)F '-，,求出其到渐近线的距离，利用双曲线定义将||d PF +转化为2||a PE F P ++'，利用当,,P F E '三点共线时，2F a PE P ++'取得最小值，即可求得答案.【详解】由双曲线22:1124x y C -=,可得2a b ==，(40)F ，,设双曲线左焦点为(40)F '-，，不妨设一条渐近线为:3b l y x a =-=-，即0x =，作PE l ⊥，垂足为E ，即||PE d =，作F H l '⊥,垂足为H，则||2F H '=，因为点P 为C 左支上的动点，所以2PF PF a '-=，可得2PF a PF '=+，故2|2|d FP PE a PF a PE F P '+=++=++'，由图可知，当,,P F E '三点共线时，即E 和H 点重合时，2||a PE F P ++'取得最小值，最小值为2||2F H '⨯=，即||d PF +的最小值为2，故选：A ．9．B【分析】根据新定义确定函数()()f g x 的解析式，作出其图象，结合条件，观察图象列不等式求出a 的取值范围.【详解】因为{}2()max ,32,()||f x x x g x x =-=，所以{}2(())max ,32f g x x x =-，由232x x ≤-，可得2230x x +-≤，又0x ≥，所以01x ≤≤，即11x -≤≤，所以，(){}222,1max ,3232,11,1x x f x x x x x x x ⎧<-⎪=-=--≤≤⎨⎪>⎩，作出函数()f x的图象如下图所示：因为方程()()302f x ax a =+>有四个不同的实根，则3120a a ⎧-+>⎪⎨⎪>⎩或3120a a ⎧+>⎪⎨⎪<⎩或0a =，解得1122a -<<，所以a 的取值范围是11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：B.10．1-【分析】根据复数的除法运算化简1ii iz a +=-+，再根据纯虚数的概念，令实部等于0，虚部不等于0，即可求得答案.【详解】由题意得复数22221i (1i)(i)12i=i=i i 111a a a a z a a a a ++-+--=--+++++，因为复数1i i i z a +=-+为纯虚数，故令2101a a +=+且22201a a a --≠+，解得1a =-，即实数a 的值为1-，故答案为：1-11．15-【分析】在二项展开式的通项公式()53215C 3rr r r T x-+=⋅-⋅中，令x 的幂指数等于1，求出r 的值，即可求得展开式中含x 项的系数．【详解】53x ⎫⎪⎭的展开式中，通项公式为()53521553C C 3rr rr rrr T x x --+⎛⎫=-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令5312r-=，求得1r =，可得展开式中含x 项的系数()15C 315⨯-=-，故答案为：15-．12．22220x y x y +--=【分析】根据直线的方程求出直线与坐标轴的交点，利用待定系数法及点在圆上即可求解.【详解】令0y =，得020x +-=，解得2x =，所以直线20x y +-=与x 轴的交点为()2,0A ,令0x =，得020y +-=，解得2y =，所以直线20x y +-=与y 轴的交点为()0,2B ,设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=,则因为()2,0A ，()0,2B ，(0,0)O 三点都在圆上，所以222202200D F E F F ⎧++=⎪++=⎨⎪=⎩,解得2,2,0,D E F =-=-=故所求圆的方程为22220x y x y +--=故答案为：22220x y x y +--=.13．35##0.6310##0.3【分析】根据先分类再分步的思想，古典概型的概率公式解决概率问题即可.【详解】由题知，现从中不放回地随机摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，所以摸球两次停止是指第一次摸得白球且第二次摸得黑球，或第一次摸得黑球且第二次摸得白球两种情况，所以摸球两次停止的概率为111132231154C C C C 123C C 205P +===；停止摸球时，摸到的白球个数多于黑球个数，说明至少得摸球3次，包括第一次摸得白球且第二次摸得白球且第三次摸得黑球，或第一次摸得白球且第二次摸得白球且第三次摸得白球且第四次摸得黑球，所以停止摸球时，摸到的白球个数多于黑球个数的概率为1111111322321211111115435432C C C C C C C 12123C C C C C C C 6012010P =+=+=，故答案为：35；31014．【分析】由柯西不等式求解即可.【详解】解：由柯西不等式可得()222221112+⎡⎤⎢+⎥⎣⎦≤=，2a =，1b =时，等号成立，故答案为：15．5【分析】利用向量的线性运算得2A A P B =，将PD PE，都用AB AD ，表示，计算||PD 与PE PD ⋅即可.【详解】由题意知245AB AD DAB =∠=，12AE AB AD =+ ，22122AB AD AP AE AD AD AB =+⎛⎫=-- ⎪=⎝⎭ ，2PD AD AP AD AB =-=- ，所以2222244PD AD AB AD AB AD AB--⋅+= ＝2242cos 454210-⨯+⨯==，所以||PD = PE PD ⋅= ()()()1222AE AD AB A AP AP D AB AD AB ⎛⎫⋅=+-- ⎪⎝--⎭ ()122AD AB AD AB ⎛⎫-- ⎪⎝=⎭()22211125222AD AB PD ===-⨯= .；516．(1)π3(3)5【分析】（1）结合正弦定理、正弦和公式、三角形三角关系、诱导公式化简求值即可；（2）由平方关系、倍角公式、余弦和公式化简求值；（3）由余弦定理及面积公式化简求得a b +，即可求得周长.【详解】（1）由正弦定理得，()2cos (sin cos sin cos )2cos sin sin C A B B A C A B C +=+=，即()2cos sin π2cos sin sin C C C C C -==，∵()0,πC ∈，∴sin 0C ≠，∴1cos 2C =，∴π3C =；（2）()0,πA C Î、、∴221sin sin sin 22sin cos cos 2cos sin 4C A A A A A A A =====-=-，∴()11cos 2cos 2cos sin 2sin 42A C A C A C +=-=-⨯-（3）由余弦定理得222222cos 7c a b ab C a b ab =+-Þ=+-，由面积公式得1sin 62ab C ab =Þ=，则()2223736255a b a b ab ab a b +=+-+=+´=Þ+=，∴ABC的周长为5a b c ++=+.17．(1)详见解析；【分析】（1）建立空间直角坐标系，运用空间向量方法证明线线平行从而证明线面平行（2）运用空间向量求取线面夹角和二面角.通过解方程求得平面BEF 的法向量m，利用sin cos DF θ=< ，m > 得解;（3）通过求解cos n <，m >=，然后利用sin ,m n <>= 即可得二面角的正弦值.【详解】（1）⊥AE 平面ABCD ，且AB AD ⊥，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AE 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系如图;则()0,0,0A ，()0,2,0D ，()1,0,0B ，()2,2,0C ，()0,0,1E ，()2,2,1F ，31,1,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,1,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3(,0,0)2MN =- ,(2,0,0)CD =- ,由34MN CD = ,可得MN CD ∥，又CD ⊂平面CDF ，MN ⊄平面CDF ，所以MN ∥平面CDF .（2）设平面BEF 的法向量(),,m x y z = ,(2,2,0)EF = ,(1,0,1)EB =- 则·0·220m EB x z m EF x y ⎧=-=⎨=+=⎩取1,x =()1,1,1m =- ，设求DF 与平面BEF 所成角为θ，则sin cos DF θ=<，m >=所以DF 与平面BEF所成角的正弦值为5.（3）由（2）知平面BEF 的法向量()1,1,1m =- ，平面ABE ∥平面CDF ,且平面ABE 的一个法向量为()0,1,0n = ，所以平面CDF 的一个法向量为()0,1,0n = ，故cos n <，3m >=-；sin ,3m n <>= ，平面ABE 与平面CDF所成的二面角的正弦值等于3.18．(1)21n a n =-(2)（ⅰ）4；（ⅱ）1261(4918n n ++-+⨯【分析】（1）设出等差数列{}n a 的公差，根据给定条件列式计算即可作答.（2）由（1）的结论求出n b ，借助裂项相消法求出n T ，利用222,,m T T T 成等差数列建立m 方程求解，再利用错位相减法求121ia ni i T =-∑..【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0，因为124,,S S S 成等比数列，且11a =，所以4221S S S =⨯，所以2(2)1(46)d d +=⨯+，解得2d =，于是有()11221n a n n =+-⨯=-，所以数列{}n a 的通项公式是21n a n =-.（2）由(1)知，()()1221121212121n n n b a a n n n n +===-⋅-+-+，因此，11111111335212121n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（ⅰ）因为2T ，m T ，22T 成等差数列，则2222m T T T +=，即11111214144121m ⎛⎫-+-=- ⎪+++⎝⎭，整理得11219m =+，解得4m =；（ⅱ）由（ⅰ）知2121221(21)2()41121(1)21i a i i ii i i T i --==+⨯=+⨯---+，记11221()412i a nn i n i i i i M T ==+==⨯-∑∑，则2313572121444()4()422222n nn n n M --+=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯ 所以234135721214444(4()422222n n n n n M +-+=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯ 两式相减得23132134(444)()422n n n n M ++-=⨯++++-⨯ 211144212616()4()414236n n n n n +++-++=+-⨯=-⨯-，所以1261()4918n n n M ++=-+⨯，即112261()41918i a n n i in T +=+=-+⨯-∑.19．(1)22143x y +=(2)321y x =-或321y x =-+【分析】（1）利用两点间的距离公式和椭圆的离心率公式，结合椭圆中,,a b c 的关系即可求解.（2）根据椭圆方程得出D 的坐标，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及点在直线上，结合向量的数量积的坐标运算及直线与圆相切的条件即可求解.【详解】（1）由题意可知，椭圆的焦点位于x 轴上，即椭圆的左焦点为()1,0F c -，因为左焦点到(2,1)P，所以1PF ==()229c +=，解得1c =或5c =-（舍），又因为椭圆E 的离心率为12，所以12c e a ==，即112a =，解得2a =，所以2223b a c =-=，故所求椭圆E 的方程为22143x y +=.（2）由题可得()2,0D ，设()()1122,,,A x y B x y ，由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()2223484120k x mkx m +++-=，所以()()()22284344120mk k m ∆=-+->，即22340k m +->，所以21212228412,3434mk m x x x x k k-+=-=++，所以()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++222222224128343123344m mk k k m k k k km m -⎛⎫=⋅+-+= ⎝⎭-+++，因为0DA DB ⋅= ，所以()()()11221212122,2,240x y x y x x x x y y -⋅-=-+++=，所以2222224128343431224430m mk k k k m k -⎛-+++⎫-⋅-++= ⎪⎝⎭，即2271640m mk k ++=，解得2m k =-或27k m =-，满足22340k m +->，当2m k =-时，:2l y kx k =-过点D ，不合题意，所以27k m =-①，又直线l 与以原点为圆心半径为17的圆相切，17=②，联立①②，解得3k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3k m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以直线l的方程为321y x =-或321y x =-+.20．(1)函数在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，有极大值1e，无极小值.(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）2【分析】（1）求导得到导函数，根据导函数的正负确定单调区间，计算极值得到答案.（2）（ⅰ）计算得到1()cos e ea x a x g x x -'=⋅+，确定e 0a a +=，设()e x F x x =+，根据函数的单调性结合()01F =，()2ln 20F -<得到证明；（ⅱ）求导得到导函数，考虑()π,0x ∈-，0x =，()0,πx ∈三种情况，构造()e sin x F x x x =-，确定函数的单调区间，根据()00F =，()00F x >，()π0F <得到零点个数.【详解】（1）()e x x f x =，1()e x x f x -'=，取1()0e xx f x -'==得到1x =，当1x <时，()0f x ¢>，函数单调递增；当1x >时，()0f x '<，函数单调递减.故函数在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，有极大值()11e f =，无极小值.（2）（ⅰ）()()()sin sin e e a x a x g x f a f x x x =⋅+=⋅+，1()cos e e a xa x g x x -'=⋅+，(0)10e a a g '=+=，故e 0a a +=，设()e x F x x =+，函数单调递增，()010F =>，()2ln 212ln 2e 2ln 2ln 404F --=-=-<.根据零点存在定理知2ln 20a -<<.（ⅱ）()sin e x x g x x =-+，()00g =，1()cos e x x g x x -'=+，设1()cos e x x h x x -=+，2()sin e xx h x x -'=-，当()π,0x ∈-时，20,sin 0e x x x -><，故()0h x '>，()g x '单调递增，()()0110g x g ''<=-+=，故函数()g x 单调递减，()()00g x g >=，故函数在()π,0-上无零点；当()0,πx ∈时，()1()sin e sin e e x x xx g x x x x =-+=-，设()e sin x F x x x =-，()()e sin cos 1x F x x x '=+-，设()()e sin cos 1x k x x x =+-，则()2e cos x k x x '=，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2e cos 0x k x x '=>，当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2e cos 0x k x x '=<故()k x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()00k =，π2πe 102k ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，()ππe 10k =--<，故存在0π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使()00k x =，当()00,x x ∈时，()0k x >，()F x 单调递增；当()0,πx x ∈时，()0k x <，()F x 单调递减.()00F =，故()00F x >，()ππ0F =-<，故函数在()0,πx 上有1个零点.综上所述：()g x 在区间()π,π-上的零点个数为2【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决函数的单调性和极值，根据极值求参数，零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论是解题的关键，三角函数的有界性和正负交替是经常用到的关键思路.。
安徽省淮北市第十二中学2024-2025学年高三上学期第二次质量检测数学试题
安徽省淮北市第十二中学2024-2025学年高三上学期第二次质量检测数学试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则()U A B = ð（）A ．{}2,4,5,6B ．{}4,6C ．{}2,4,6D ．{}2,5,62．设复数20241ii iz -=+，则z 的共轭复数z 在复平面内对应点的坐标为（）A ．(0,1)B ．(1,0)C ．(1,0)-D ．(0,1)-3．已知133a =，159b =，lg8c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b a c>>B ．a b c>>C ．c a b>>D ．c b a>>4．已知命题[]:1,3p x ∀∈，230x ax -+<，则p 的一个必要不充分条件是（）A ．5a <B ．3a >C ．4a <D ．4a >5．我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质.现有四个函数:①y =x |sin x |，②y =x 2cos x ，③y =x·e x ;④1y x x=+的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（）.A ．①②③④B ．①③②④C ．②①③④D ．③②①④6．已知函数()()()21,12,1x x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩，若()f x 恰有两个零点，则正数a 的取值范围是（）A ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()1,27．设函数2()2f x x x =-，()2g x mx =+，若对任意的[]11,2x ∈-，存在[]01,2x ∈-，使得10()()g x f x =，则实数m 的取值范围是（）A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,18．已知函数())2log 221x x f x x -=++-+.若()()2442f a a f a -+-<，则实数a 的取值范围是（）A ．()1,4-B ．()(),14,-∞-⋃+∞C ．()4,1-D ．()(),41,-∞-+∞U 二、多选题9．已知0a >，0b >，且22a b +=，则下列说法正确的是（）A ．12ab ≥B ．1122a b+≥C ．22a b +的最小值为25D 210．下列说法不正确的是（）A ．已知{}{}260,10A x x x B x mx =+-==-=，若B A ⊆，则m 组成集合为11,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．不等式23208kx kx +-<对一切实数x 恒成立的充要条件是30k -<≤C ．()f x 的定义域为()1,2-，则()21f x -的定义域为()3,3-D ．不等式20ax bx c ++>解集为−∞,−2∪3,+∞，则0a b c ++>11．设定义在R 上的函数()f x 与()g x 的导函数分别为()f x '和()g x '.若()()42f x g x --=，()()2g x f x ''=-，且()2f x +为奇函数，则下列说法中一定正确的是（）A ．函数()f x 的图象关于点()2,0对称B ．()()352g g +=-C ．20241()2024k g k ==-∑D ．20241()0k f k ==∑三、填空题12．已知幂函数()()2291444tt g x t t x-+=--在0,+∞上单调递减，则t 的值为．13．若函数21()ln 22f x x x =--存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是.14．函数()()()e 1ln R mxf x m x x m =+--∈．若对任意0x >，都有()0f x ≥，则实数m 的取值范围为．四、解答题15．已知函数()()222log log 2f x x x =--．(1)若()0f x <，求x 的取值范围；(2)当184x ≤≤时，求函数()f x 的值域．16．如图，已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，()1cos sin b C ABC +=∠．(1)求角C ：(2)若5a =，7c =，延长CB 至M ，使得21cos 7AMC ∠=，求BM ．17．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为1的正方形，PB PD ==2PC =，E 是侧棱PC 上的动点．（1）若E 为PC 的中点，证明//PA 平面BDE ；（2）求证：不论点E 在何位置，都有BD AE ⊥；（3）在（1）的条件下，求二面角D AE B --的大小．18．已知函数()()ln 1f x x =+．(1)求曲线()y f x =在3x =处的切线方程．(2)求函数()()()11aF x x a f x x=--+-的极值；(3)设函数()()1111g x x f f x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．证明：存在实数m ，使得曲线()y g x =关于直线x m =对称．19．已知函数2()e (2)e ,()e ln()x x x f x a a x g x x m =+--=-+.(1)讨论()f x 的单调性；(2)当2m ≤时，求证()0g x >；(3)若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．。
陕西省渭南市2022年高三第二次教学质量检测 理科数学试题
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
6.下列说法中，正确的个数为（）
①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；
②设有一个线性同归方程 ，变量x增加1个单位时， 平均增加5个单位；
【9题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】根据三视图还原为几何体的直观图，利用割补法和锥体的体积公式计算即可求出几何体的体积.
【详解】根据三视图可知，该多面体为正方体中的四棱锥 ，如图，
正方体棱长为2，所以该多面体的体积为 .
故选：C
10.若圆O： 上存在点P，直线 上存在点Q，使得 ，则实数k的取值范围为（）
∴ 为等边三角形，
设△APD外接圆半径为r，则根据正弦定理得， ，
如图所示，将四棱锥补为直三棱柱，则该直三棱柱的外接球即为四棱锥的外接球.
设直三棱柱ADP－BCE上下底面外接圆圆心为 、 ，
则 ＝AB＝3为直三棱柱的高，
则 中点O即为外接球球心，设外接球半径为R，
则如图在Rt△ 中， ，
∴四棱锥P—ABCD外接球的表面积为 .
显然夏至到大雪的日晷长依次排成一列是递增等差数列，首项为1.5尺，末项为12.5尺，共12项，
所以一年中夏至到大雪的日晷长的和为 (尺).
故答案为：84
15.写出一个同时满足以下三个条件的函数 ___________.
① 是偶函数；② 的值域为 ；③ 在 上递增
【15题答案】
【答案】 （答案不唯一）
【详解】设椭圆方程为 （ ）
福建省厦门市2024届高三下学期第二次质量检测数学试题
福建省厦门市2024届高三下学期第二次质量检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}14A x x =-≤，40x B x x ⎧⎫-=≥⎨⎬⎩⎭，则()R A B =I ð（ ） A ．()0,4 B ．[)0,4 C ．[](]3,04,5-UD ．[)(]3,04,5-U2．已知正项等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，且()()22334441,41S a S a =+=+，则d =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．已知α，β为关于x 的实系数方程2450x x -+=的两个虚根，则αβαβ+=+（ ）AB ．CD ．4．已知样本()2,1,3,,4,5R x x ∈的平均数等于60%分位数，则满足条件的实数x 的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．35．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在直线3410x y ++=上.若向量()3,4a =r ，则OP u u u r 在a r上的投影向量为（ ） A ．34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．34,2525⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．34,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭6．设1F ，2F 分别是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点，P 为双曲线左支上一点，且满足112PF F F =，直线2PF 与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为（ ）A ．53B C ．2 D 7．已知()()()cos 140sin 110sin 130ααα︒-+︒+=︒-，求tan α=（ ）AB ．CD ．8．设集合{}1,0,1A =-，(){}12345,,,,,1,2,3,4,5i B x x x x x x A i =∈=，那么集合B 中满足1234513x x x x x ≤++++≤的元素的个数为（ ）A ．60B ．100C ．120D ．130二、多选题9．为了预测某地的经济增长情况，某经济学专家根据该地2023年1～6月的GDP 的数据y （单位：百亿元）建立了线性回归模型，得到的经验回归方程为$$0.42y x a=+，其中自变量x 指的是1～6月的编号，其中部分数据如表所示：参考数据：()662211796,70i i i i y y y===-=∑∑．则下列说法正确的是（ ） A ．经验回归直线经过点()3.5,11 B ．$10.255a= C ．根据该模型，该地2023年12月的GDP 的预测值为14.57百亿元 D ．相应于点()44,x y 的残差为0.10310．如图1，扇形ABC 的弧长为12π，半径为AB 上有一动点M ，弧AB 上一点N 是弧的三等分点，现将该扇形卷成以A 为顶点的圆锥，使得AB 和AC 重合，则在图2的圆锥中（ ）A ．圆锥的体积为216πB ．当M 为AB 中点时，线段MN 在底面的投影长为C ．存在M ，使得MN AB ⊥D ．min MN =11．设()f x ，()g x 都是定义在R 上的奇函数，且()f x 为单调函数，()11f >，若对任意x ∈R 有()()f g x x a -=（a 为常数），()()()()222g f x g f x x ++=+，则（ ）A ．()20g =B ．()33f <C ．()f x x -为周期函数D ．21(4)22nk f k n n =>+∑三、填空题12．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，A 为C 上一点，且|AF |＝5，O 为坐标原点，则OAF △的面积为.13．已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，π4ππ633ff f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则ω的可能取值为.14．已知函数()log ab f x x x =-（0a >，0b >）且1b ≠），若()1f x ≥恒成立，则ab 的最小值为.四、解答题15．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是边长为2的菱形，1π3ABB ∠=，AC =M 为11A B 中点，CM =(1)证明：平面ABC ⊥平面11ABB A ；(2)若2BC =，求平面ABC 与平面1ABC 夹角的余弦值.16．定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形.如图，ABC V 的面积为S ，三个内角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222sin SC c b =-.(1)证明：ABC V 是倍角三角形； (2)若9c =，当S 取最大值时，求tan B .17．已知()2,0A ，()2,0B -，P 为平面上的一个动点.设直线,AP BP 的斜率分别为1k ，2k ，且满足1234k k ⋅=-.记P 的轨迹为曲线Γ.(1)求Γ的轨迹方程；(2)直线PA ，PB 分别交动直线x t =于点,C D ，过点C 作PB 的垂线交x 轴于点H .HC HD ⋅u u u r u u u r是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.18．若*N n ∀∈，都存在唯一的实数n c ，使得()n f c n =，则称函数()f x 存在“源数列”{}n c .已知()(]ln ,0,1f x x x =∈. (1)证明：()f x 存在源数列； (2)（ⅰ）若()0f x≤恒成立，求λ的取值范围；（ⅱ）记()f x 的源数列为{}n c ，证明：{}n c 前n 项和53n S <.19．小明进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5.(1)若小明共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率；(2)若小明进行两组训练，第一组投篮3次，投中1X 次，第二组投篮2次，投中2X 次，求()12E X X -；(3)记()P i 表示小明投篮()2,3,i i =⋅⋅⋅次，恰有2次投中的概率，记()2,3,,X X n =⋅⋅⋅表示小明在投篮不超过n 次的情况下，当他投中2次后停止投篮，此时一共投篮的次数（当投篮n 次后，若投中的次数不足2次也不再继续投），证明：()()222n i E X P i +=≥∑.。
第二章 函数、导数及其应用 阶段质量检测
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的)1．函数y ＝log 0.5(2x －1)的定义域是 ( )A ．[1，＋∞) B.⎝⎛⎦⎤12，1 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D ．(－∞，1] 解析：要使原式有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0log 0.5(2x －1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >12x ≤1，∴12<x ≤1.答案：B2．(文)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋4)，x ＜0，x (x －4)，x ≥0.则函数f (x )的零点个数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：当x ＜0时，由x (x ＋4)＝0⇒x ＝－4；当x ≥0时，由x (x －4)＝0⇒x ＝4或x ＝0. 答案：C3．函数f (x )＝ln(1－x 2)的图象只可能是 ( )解析：函数f (x )＝ln(1－x 2)的定义域为(－1,1)，且f (x )为偶函数，当x ∈(0,1)时，函数f (x )＝ln(1－x 2)为单调递减函数；当x ∈(－1,0)时，函数f (x )为单调递增函数，且函数值都小于零，所以其图象为A. 答案：A4．已知P (x ，y )是函数y ＝e x ＋x 图象上的点，则点P 到直线2x －y －3＝0的最小距离为( ) A.55 B.255C.355D.455解析：将直线2x －y －3＝0平移到与函数y ＝e x ＋x 的图象相切时，切点到直线2x －y －3＝0的距离最短，故关键是求出切点的坐标．由y ′＝e x ＋1＝2解得x ＝0，代入函数y ＝e x ＋x 易得y ＝1，点(0,1)到直线2x －y －3＝0的距离为|0－1－3|5＝455.答案：D5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x <1，log ax ， x ≥1.是R 上的减函数，那么a 的取值范围是 ( )A ．(0,1)B ．(0，13)C ．[17，13)D ．[17，1)解析：依题意有0<a <1且3a －1＜0，得0<a <13，考虑端点x ＝1，则(3a －1)＋4a ≥0得a ≥17.答案：C6．定义在R 上的函数f (x )在(－∞，a ]上是增函数，函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，有 ( ) A ．f (2a －x 1)>f (x 2) B ．f (2a －x 1)＝f (x 2) C ．f (x 1)<f (2a －x 2) D ．f (x 1)<f (x 2－2a ) 解析：∵y ＝f (x ＋a )为偶函数， ∴y ＝f (x ＋a )的图象关于y 轴对称， ∴y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称． 又∵f (x )在(－∞，a ]上是增函数， ∴f (x )在[a ，＋∞)上是减函数． 当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时， 有a －x 1<x 2－a ，即a <2a －x 1<x 2， ∴f (2a －x 1)>f (x 2)． 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中的横线上)7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 2x (x ＞0)1－x 2(x ≤0)，则不等式f (x )＞0的解集为________． 解析：当x ＞0时，－log 2x ＞0，即log 2x ＜0，∴0＜x ＜1， 当x ≤0时，1－x 2＞0，即x 2＜1，∴－1＜x ≤0，综上所述：f (x )＞0的解集为(－1,1)． 答案：(－1,1)8．(文)已知曲线C ：y ＝ln x －4x 与直线x ＝1交于一点P ，那么曲线C 在点P 处的切线方程是________________．解析：由已知得y ′＝1x －4，所以当x ＝1时有y ′＝－3，即过点P 的切线的斜率k＝－3，又y ＝ln1－4＝－4，故切点P (1，－4)，所以点P 处的切线方程为y ＋4＝－3(x －1)，即3x ＋y ＋1＝0. 答案：3x ＋y ＋1＝09．对于函数f (x )＝lg(x 2＋ax －a －1)(a ∈R)，给出下列命题：①f (x )有最小值；②当a ＝0时，f (x )的值域为R ； ③当a ＝1时，f (x )的定义域为(－1,0)；④若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是[－4，＋∞)．上述命题中正确的是________(填上所有正确命题的序号)． 解析：f (x )＝lg(x 2＋ax －a －1)＝lg[(x ＋a 2)2－a 24－a －1]＝lg[(x ＋a 2)2－(a2＋1)2]①∵(x ＋a 2)2－(a2＋1)2需大于0，无法取到最小值，∴f (x )无最小值，①错误． ②当a ＝0时，f (x )＝lg(x 2－1)，当x >1或x <－1时，x 2－1可取所有正数， 故f (x )的值域为R ，②正确． ③当a ＝1时，f (x )＝lg(x 2＋x －2) 令x 2＋x －2>0，∴x <－2或x >1， 故③错误．④∵f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，∴g (x )＝x 2＋ax －a －1在[2，＋∞)上为增函数且函数恒正． ∴⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≤24＋2a －a －1>0，解得：a >－3.故④错误． 答案：②三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(本小题满分12分)是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上与x 轴恒有一个交点，且只有一个交点．若存在，求出范围，若不存在，说明理由．解：∵Δ＝(3a －2)2－4(a －1)＝(3a －83)2＋89>0，∴f (x )与x 轴有两个交点．若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可．f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0.所以a ≤－15或a ≥1.检验：(1)当f (－1)＝0时，a ＝1.所以f (x )＝x 2＋x .令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0.得x ＝0或x ＝－1.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠1.(2)当f (3)＝0时，a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65.令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解之得x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠－15.综上所述，a ＜－15或a ＞1.11．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a ，(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在区间[－2,2]上的最大值为20，求函数f (x )在该区间上的最小值． 解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9，令f ′(x )＜0，解得x ＜－1或x ＞3，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)；令f ′(x )＞0，解得－1＜x ＜3，所以函数f (x )的单调递增区间为(－1,3)． (2)因为f (－2)＝8＋12－18＋a ＝2＋a ，f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ， 所以f (2)＞f (－2)．因为在区间(－1,3)上，f ′(x )＞0，所以f (x )在(－1,2)上单调递增． 又由于f (x )在(－2，－1)上单调递减，因此f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－2,2]上的最大值和最小值，于是有22＋a ＝20，解得a ＝－2，故f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x －2，因此f (－1)＝－7，即函数f (x )在区间[－2,2]上的最小值为－7.12．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝ax ＋ax－3ln x .(1)当a ＝2时，求f (x )的最小值；(2)若f (x )在[1，e]上为单调函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝2x ＋2x －3ln x ，f ′(x )＝2－2x 2－3x ＝2x 2－3x －2x 2，令f ′(x )＝0得x ＝2或－12(∵x ＞0，舍去负值)，∴当a ＝2时，函数f (x )的最小值为5－3ln2. (2)∵f ′(x )＝ax 2－3x －ax 2，令h (x )＝ax 2－3x －a ＝a (x －32a )2－9＋4a 24a，要使f (x )在[1，e]上为单调函数，只需f ′(x )在(1，e)内满足：f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立，且等号只在孤立点取得． ∵h (1)＝－3＜0，∴h (e)＝a e 2－3e －a ≤0.∴a ≤3ee 2－1. ①当0≤a ≤3ee 2－1时，f ′(x )≤0恒成立． ②当a ＜0时，x ＝32a∉[1，e]， ∴h (x )＜0(x ∈[1，e])．∴f ′(x )＜0，符合题意． 综上可知，当a ≤3ee 2－1时，f (x )在[1，e]上为单调函数．。
陕西省渭南市2023届高三下学期教学质量检测2(二模)数学试题(含解析)
陕西省渭南市2023届高三下学期教学质量检测2（二模）数学试题一、单选题1．（2023·陕西渭南·统考二模）已知集合{{}2,log 1A x y B x x ===<，则A B =I （ ）A ．(),2-∞B ．()0,2C ．(],2-∞D ．(]0,22．（2023·陕西渭南·统考二模）已知平面向量a r ，b r满足4a =r ，2b =r ，()20a a b ⋅-=r r r ，则向量a r 与b r的夹角为（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π63．（2023·陕西渭南·统考二模）已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若11a =，35a =，64n S =，则n =（ ）A ．6B ．7C ．8D ．94．（2023·陕西渭南·统考二模）在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n 次测量分别得到1x ，2x ，…，n x 共n 个数据.我们规定所测量物理量的“最佳近似值”a 应该满足与所有测量数据的差的平方和最小.由此规定，从这些数据得出的“最佳近似值”a 应是（ ）A ．1nii x n=∑BCD ．11ni inx=∑5．（2023·陕西渭南·统考二模）棣莫弗公式()cos isin cos isin nn n θθθθ+=+（i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的.若复数z 满足ππcos i sin 1i 88z ⎛⎫⋅+⋅=+ ⎪⎝⎭，复数z 对应的点在复平面内的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．（2023·陕西渭南·统考二模）将抛物线2y mx =绕其顶点顺时针旋转90o 之后，正好与抛物线22y x =重合，则m =（ ）A ．12-B ．12C ．-2D ．27．（2023·陕西渭南·统考二模）函数()()ln πln cos f x x x x ⎡⎤⎦=-⎣+的大致图像为（ ）A．B．C．D．8．（2023·陕西渭南·统考二模）2022年2月28日，国家统计局发布了我国2021年国民经济和社会发展统计公报，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，各地区各部门沉着应对百年变局和世纪疫情，构建新发展格局，实现了“十四五”良好开局.2021年，全国居民人均可支配收入和消费支出均较上一年有所增长，结合如下统计图表，下列说法中正确的是（）A．2017-2021年全国居民人均可支配收入逐年递减B．2021年全国居民人均消费支出24100元C．2020年全国居民人均可支配收入较前一年下降D．2021年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比超过60% 9．（2023·陕西渭南·统考二模）如图，一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是（）A ．15,66⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,62⎛⎫ ⎪⎝⎭10．（2023·陕西渭南·统考二模）已知直线l 过双曲线22:12y C x -=的左焦点F 且与C 的左、右两支分别交于,A B 两点，设O 为坐标原点，P 为AB 的中点，若OFP △是以FP 为底边的等腰三角形，则直线l 的斜率为（ ）A ．B ．C ．D ．11．（2023·陕西渭南·统考二模）在正方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，G 为CD 的中点，点P 在线段1BC （不含端点）上运动，点Q 在棱BC 上运动，M 为空间中任意一点，则下列结论不正确的是（ ）A ．异面直线DP 与1AD 所成角的取值范围是ππ,32⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．若8MA MD +=，则三棱锥A MBD -体积的最大值为C ．PQ QG +的最小值为D ．1A P ∥平面1ACD 12．（2023·陕西渭南·统考二模）已知函数()sin ln f x x x =+，将()f x 的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列{}n x ，对于n +∀∈N ，则下列说法中正确的是（ ）A ．()π1πn n x n <<+B ．1πn n x x +-<C ．数列()21π2n n x ⎧⎫-⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎩⎭是递增数列D ．()()241π1ln2n n f x -<-+二、填空题13．（2023·陕西渭南·统考二模）设0a >，0b >且1203d 2a b x x +=⎰，则211a b ++的最小值是____________.14．（2023·陕西渭南·统考二模）写出与圆221x y +=和圆226890x y x y ++-+=都相切的一条直线的方程___________.15．（2023·陕西渭南·统考二模）甲、乙、丙3人去食堂用餐，每个人从,,,,A B C D E 这5种菜中任意选用2种，则A 菜恰有2人选用的情形共有______________种.（用数字作答）16．（2023·陕西渭南·统考二模）若函数(),R y f x x =∈的关系式由方程4x x y y +=确定.则下述命题中所有真命题的序号为_____________.①函数()y f x =是减函数； ②函数()y f x =是奇函数；③函数()y f x =的值域为[]22-, ④方程()0f x x +=无实数根：⑤函数()y f x =的图像是轴对称图形.三、解答题17．（2023·陕西渭南·统考二模）随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，A B C A ---为某区的一条健康步道，,AB AC 为线段，»BC是以BC 为直径的半圆，AB =，4AC =km.π6BAC ∠=(1)求»BC的长度；(2)为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道A D C --（B D 、在AC 两侧），其中,AD CD 为线段.若π3ADC ∠=，求新建的健康步道A D C --的路程最多可比原有健康步道A B C --的路程增加多少长度？18．（2023·陕西渭南·统考二模）在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号n 次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为X .(1)当6n =时，求()2P X ≤；(2)已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量Y ，若其数学期望()E Y 和方差()D Y 均存在，则对任意正实数a ，有()()2()1D Y P Y E Y a a -<≥-.根据该不等式可以对事件“()Y E Y a -<”的概率作出下限估计.为了至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，试估计信号发射次数n 的最小值.19．（2023·陕西渭南·统考二模）在斜三棱柱（侧棱不垂直于底面）111ABC A B C -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，底面ABC V 是边长为2的正三角形，11A A A C =，11⊥A A AC .（1）求证：111AC B C ⊥；（2）求二面角111B A C C --的正弦值.20．（2023·陕西渭南·统考二模）在直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:12+=x E y 的右顶点､下顶点､右焦点分别为A ，B ，F .(1)若直线BF 与椭圆E 的另一个交点为C ，求四边形ABOC 的面积；(2)设M ，N 是椭圆E 上的两个动点，直线OM 与ON 的斜率之积为12-，若点P 满足：2OP OM ON =+u u u r u u u u r u u u r.问：是否存在两个定点G ，H ，使得PG PH +为定值？若存在，求出G ，H 的坐标；若不存在，请说明理由.21．（2023·陕西渭南·统考二模）已知函数()()1ln e ,xxf xg x m x+==-.()m ∈R (1)证明：()1f x x ≥+；(2)若()()f x g x ≥，求实数m 的取值范围；(3)证明：11e e 1knk k =⎛⎫< ⎪-⎝⎭∑.()N n +∈22．（2023·陕西渭南·统考二模）在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为1,cos x y α⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（α为参数，2k παπ≠+），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)已知点()2,0P ，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求11PA PB-的值．23．（2023·陕西渭南·统考二模）已知函数()21f x x a x =++-．(1)当1a =时，求()f x 的最小值；(2)若0a >，0b >时，对任意[]1,2x ∈使得不等式()21f x x b >-+恒成立，证明：2211222a b ⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．参考答案：1．B【分析】求集合A 中函数的定义域，解集合B 中的不等式，得到这两个集合再求交集.【详解】函数y =20x -≥，即2x ≤，可得{}2A x x =≤，由不等式2log 1x <，解得02x <<，可得{}02B x x =<<，则{}02A B x x ⋂=<<.故选：B.2．C【分析】由数量积运算求得a b ⋅r r，再根据数量积定义求和夹角余弦，从而得夹角．【详解】()220a a b a a b ⋅-=-⋅=r r r r r r ，所以24204a b ⋅=-=-r r ，41cos ,422a b a b a b ⋅-<>===-⨯r r r r r r ，而,[0,]a b π<>∈r r ，所以2,3a b π<>=r r ．故选：C ．3．C【分析】根据11a =，35a =，求得公差d ，再代入等差数列的前n 项和公式,计算即可.【详解】∵11a =，35a =，∴31512312a a d --===-，∵1(1)(1)26422n n n n n S a n d n ⋅-⋅-=⋅+⋅=+⋅=，解得：8n =.故选：C .4．A【分析】22222212121()()()()2()(),n n n f a a x a x a x na x x x a x x =-+-++--+++++=+L L L 看成关于a 的二次函数，即可求解.【详解】根据题意得：22222212121()()()()2()(),n n n f a a x a x a x na x x x a x x =-+-++--+++++=+L L L 由于0,n >所以()f a 是关于a 的二次函数，因此当12nx x a nx +++=L 即1nii xa n==∑时，()f a 取得最小值.故选：A.5．D【分析】根据复数运算求得z ，进而确定z 对应点所在象限.【详解】依题意，ππcos i sin 1i 88z ⎛⎫⋅+⋅=+== ⎪⎝⎭ππππππcos i sin cos i sin cos i sin 888888z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+⋅⋅-⋅=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，22ππππcos sin i 8888z ⎛⎫⋅+=- ⎪⎝⎭，ππi 88z =-，ππ0,088><，所以z 对应点ππ,88⎫⎪⎭在第四象限.故选：D 6．A【分析】根据抛物线旋转规律可得，其焦点坐标从x 轴负半轴旋转到y 轴正半轴，即可得12m =-.【详解】根据题意可得抛物线2y mx =的焦点坐标为,04m⎛⎫⎪⎝⎭，抛物线22y x =的标准方程为212x y =，可得其焦点坐标为10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭，易知,04m ⎛⎫⎪⎝⎭绕原点顺时针旋转90o 之后得到10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭，即可得148m =-，解得12m =-.故选：A 7．A【分析】先求出定义域，由解析式得到()()πf x f x -=-，判断出图像关于π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称.排除C 、D ；再利用特殊点π2f ⎛⎫⎪⎝⎭，π3f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的正负排除B ，即可得到正确答案.【详解】要使函数()()ln πln cos f x x x x ⎡⎤⎦=-⎣+有意义，只需π00x x ->⎧⎨>⎩，解得：0<<πx ，即函数的定义域为()0,π.因为()()()()()()()()πln ππln πcos πln ln πcos f x x x x x x x f x -=--+--=+-⎡⎤⎡⎤⎣-⎣=-⎦⎦，所以()f x 的图像关于π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称.排除C 、D ；令()()ln πln cos 0f x x x x =-⎡⎤⎣⎦+=，解得：123π0.359,, 2.7822x x x =≈==≈.所以1ππ32x <<.又()10f x =，ππππln πln cos 03333f ⎭⎡⎤⎢ ⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪⎪⎝⎭⎝，ππππln πln cos 02222f ⎭⎡⎤⎢ ⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝.对照选项A 、B 的图像，选A.故选：A 8．B【分析】根据条形图、折线图、扇形图等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，根据条形图可知，2017-2021年全国居民人均可支配收入逐年递增，A 选项错误.B 选项，根据扇形图可知，2021年全国居民人均消费支出为：5641+1419+7178+569+2115+2599+3156+142324100=元，B 选项正确.C 选项，根据条形图可知，2020年全国居民人均可支配收入较前一年上升，C 选项错误.D 选项，2021年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比：71785641100%53.2%60%24100+⨯≈<，D 选项错误.故选：B 9．A【分析】找到水最多和水最少的临界情况，如图分别为多面体111ABCDA B D 和三棱锥1A A BD -，从而可得出答案.【详解】将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则如图，水最少的临界情况为，水面为面1A BD ，水最多的临界情况为多面体111ABCDA B D ，水面为11BC D ，因为1111111326A A BD V -=⨯⨯⨯⨯=，11111111111151111326ABCDA B D ABCD A B C D C B C D V V V --=-=-⨯⨯⨯⨯=，所以1566V <<，即15,66V ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选：A.10．D【分析】设出直线l 的方程并与双曲线方程联立，化简写出根与系数关系，由OP c =列方程来求得直线l 的斜率.【详解】对于双曲线22:12y C x -=，1,a b c ===所以()F，双曲线的渐近线方程为y =，设直线l 的斜率为k ，要使直线l 与双曲线C的左右两支都相交，则k <<直线l的方程为(y k x =，由(2212y k x yx ⎧=+⎪⎨⎪-=⎩消去y 并化简得()22222320k x x k ----=，设()()1122,,,A x y B x y ，则()121212x x y y k x x k +=+=++=+=，由于P 是AB的中点，所以P .由于OFP △是以FP 为底边的等腰三角形，所以OP OF c ===，即223+=，整理得212k =，解得k =.故选：D11．B【分析】对于A ，将异面直线平移可知直线DP 与1AD 所成的角即为直线DP 与1BC 所成的角，即可得A 正确；对于B ，易知点M 的轨迹是椭球表面，根据等体积法可得当点M 在AD中点的正上方时，三棱锥A MBD -的体积最大值为M ABD V -=B 错误；对于C ，将平面展开可得当,,G P Q 三点共线， PQ QG +的最小值为C 正确；对于D ，利用面面平行的性质可得平面11//A C B 平面1ACD ，又AP ⊂平面11A C B ，所以1A P ∥平面1ACD ，即D 正确.【详解】对于A ，如下图所示：易知11ABC D 为平行四边形，则11//AD BC ，所以异面直线DP 与1AD 所成的角即为直线DP 与1BC 所成的角，又点P 在线段1BC （不含端点）上运动，可知1BC D V 是等边三角形，当点P 趋近于1BC 两端时，直线DP 与1AD 所成的角大于且趋近于π3，当点P 为1BC 的中点时，直线DP 与1AD 所成的角为π2，所以异面直线DP 与1AD 所成角的取值范围是ππ,32⎛⎤ ⎝⎦，即A 正确；对于B ，若8MA MD +=，又4=AD ，所以在同一平面内，点M 的轨迹是以,A D 为焦点的椭圆，又因为M 为空间中任意一点，所以点M 的轨迹是长轴为8，短轴为4=AD 的椭球表面，当点M 在AD 中点的正上方时，点M 到平面ABD 的距离最大为由等体积法可知A MBD M ABD V V --=，所以三棱锥A MBD -的体积最大值为114432M ABD V -=⨯⨯⨯⨯=，即B 错误；对于C ，如下图所示：展开平面11C CBB ，使平面11C CBB 与平面ABCD 共面，过G 作1GP BC ⊥，交1BC 于点P ，交BC 于点Q ，此时,,G P Q 三点共线，满足PQ QG +取最小值，由题可得16C G =，所以GP =PQ QG +的最小值为C 正确；对于D ，如下图所示：易知11//A B CD ，1CD ⊂平面1ACD ，1A B ⊄平面1ACD ，所以1//A B 平面1ACD ；同理可得1//C B 平面1ACD ，又11=B C B B A ⋂，且11,A B C B ⊂平面11A C B ，所以平面11//A C B 平面1ACD ，又AP ⊂平面11A C B ，所以1A P ∥平面1ACD ，即D 正确.故选：B12．D【分析】()f x 的极值点为()f x '的变号零点，即为函数cos y x =与函数1y x=-图像在()0,∞+交点的横坐标.将两函数图像画在同一坐标系下.A 选项，利用零点存在性定理及图像可判断选项；BC 选项，由图像可判断选项；D 选项，注意到(41)π(41)π1ln 22n n f --⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由图像可得()f x 单调性，后可判断选项.【详解】解：()f x 的极值点为()1cos f x x x'=+在()0,∞+上的变号零点.即为函数cos y x =与函数1y x=-图像在()0,∞+交点的横坐标.又注意到()0,x ∈+∞时，10x-<，N k ∈时，1cos(π2π)1π2πk k +=-<-+，N k *∈，022222πππ,∪π,πx k k ⎛⎫⎛⎫∈-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，cos 0x >.据此可将两函数图像画在同一坐标系中，如下图所示.A 选项，注意到N k ∈时，π1(2π)0π22π2f k k '+=>+，()12102ππππf k k '+=-+<+，31203222ππππf k k ⎛⎫'+=> ⎪⎝⎭+.结合图像可知当21，N n k k *=-∈，()()112π,ππ,πn x n n n n ⎛⎫⎛⎫∈-⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当2，N n k k *=∈，()()()1112π,ππ,πn x n n n n ⎛⎫⎛⎫∈--⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故A 错误；B 选项，由图像可知325322π，πx x ><，则32πx x ->，故B 错误；C 选项，(21)π2n n x --表示两点(),0n x 与12π,0n ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭间距离，由图像可知，随着n 的增大，两点间距离越来越近，即(21)π2n n x ⎧-⎫-⎨⎬⎩⎭为递减数列，故C 错误；D 选项，由A 选项分析可知，()241212π,π，N n n x n n *⎛⎫-∈-∈ ⎪⎝⎭，又结合图像可知，当()2412,πn n x x ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，1cos x x >-，即此时()0f x ¢>，得()f x 在()2412,n n x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，则()2(41)π(41)π1ln 22n n n f x f --⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：D【点睛】关键点点睛：本题涉及函数的极值点，因函数本身通过求导难以求得单调性，故将两相关函数画在同一坐标系下，利用图像解决问题.13．83【分析】利用定积分求得,a b 的关系式，结合基本不等式求得211a b ++的最小值.【详解】()123133003d |1012a b x x x +===-=⎰，则22,123a b a b +=++=，()2112114112413131b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+=+++=++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭18433⎛≥+= ⎝，当且仅当413,1212b a a b a b +=+==+时等号成立.故答案为：8314．1x =或3450x y -+=或724250x y ++=（三条中任写一条即可）【分析】根据两圆公切线的知识求得正确答案.【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0，半径为11r =；圆226890x y x y ++-+=的圆心为()3,4-，半径为24r =；()0,0与()3,4-的距离为125r r =+，所以两圆外切.过()0,0与()3,4-的直线方程为43y x =-.由图可知，直线1x =是两圆的公切线，由431y x x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩解得43y =-，设41,3A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设两圆的一条公切线方程为()441,033y k x kx y k +=----=，()0,0到直线403kx y k ---=的距离为1，，解得724k =-，所以两圆的一条公切线方程为747024324x y ---+=，即724250x y ++=.由222216890x y x y x y ⎧+=⎨++-+=⎩两式相减并化简得3450x y -+=，所以两圆的公切线方程为1x =或3450x y -+=或724250x y ++=.故答案为：1x =或3450x y -+=或724250x y ++=（三条中任写一条即可）15．288【分析】根据组合的知识求得正确答案.【详解】A 菜恰有2人选用的情形共有2234C 44C 3446288⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=种.故答案为：28816．①④⑤【分析】首先通过分类讨论得到函数()y f x =各部分的轨迹，作出图象，一一代入分析即可.【详解】当0,0x y ≥≥时，方程为224x y +=，此时轨迹为四分之一圆，当0,0x y <≥时，方程为224x y -+=，即22144-=y x ，此时轨迹为双曲线的部分，当0,0x y <≤时，方程为224x y --=，方程无实数解，当0,0x y ≥<时，方程为224x y -=，即22144x y -=，此时轨迹为双曲线的部分，作出图象如下图所示：对①，观察图象得函数()y f x =是减函数，故①正确，对②，根据图象易知第一象限的图象在第三象限无对称部分，故函数()y f x =不是奇函数，故②错误，对③，显然根据图象易知值域不是[2,2]-，故③错误，对④，()0f x x +=，即()f x x =-，方程的根即为()y f x =的图象与直线y x =-交点横坐标，显然两双曲线部分的渐近线均为y x =-，故y x =-与()y f x =在二、四象限的图象无交点，且y x =-与第一象限的圆弧显然也无交点，故④正确；对于⑤，根据两双曲线的解析式特点及圆的对称性，易得函数()y f x =关于直线y x =对称，取()y f x =图象上任意一点(),a b ，于是得||||4a a b b +=，当,x b y a ==时，||||||||4b b a a a a b b +=+=，因此点(,)b a 在()y f x =的图象上，所以函数()y f x =的图像关于直线y x =对称，它是轴对称图形，故⑤正确；故答案为：①④⑤.【点睛】关键点睛：本题的关键是通过合理的分类讨论，得到函数各部分图象的轨迹，且分析出其与双曲线和圆的关系，然后作出图象，利用图象进行分析.17．(1)πkm(2)8π--【分析】（1）利用余弦定理求得BC ，从而求得»BC的长度（2）利用余弦定理和基本不等式求得新建健康步道A D C --的最长路程，由此求得增加的长度.【详解】（1）联结BC ，在ABC V 中，由余弦定理可得，2BC ==，所以»12π1π2BC =⨯⨯⨯=，即»BC 的长度为()πkm ；（2）记AD a,CD b ==，则在ACD V 中，由余弦定理可得：22π2cos163a b ab +-=，即2216a b ab +-=，从而()221631632a b a b ab +⎛⎫+=+≤+ ⎪⎝⎭所以()21164a b +≤，则8a b +≤，当且仅当4a b ==时，等号成立；新建健康步道A D C --的最长路程为()8km ，故新建的健康步道A D C --的路程最多可比原有健康步道A B C --的路程增加)8πkm --18．(1)11;32(2)1250【分析】(1)根据二项分布公式计算；(2)运用二项分布公式算出()E X 和()D X ，再根据题意求出()X E X a -< 中a 的表达式，最后利用切比雪夫不等式求解.【详解】（1）由已知16,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，所以()()()()2012P X P X P X P X ≤==+=+=652412666111111615112222264646432C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ；（2）由已知1,2X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，所以()()0.5,0.25E X n D X n ==，若0.40.6X n≤≤，则0.40.6n X n ≤≤，即0.10.50.1n X n n -≤-≤，即0.50.1X n n -≤.由切比雪夫不等式()20.250.50.11(0.1)n P X n n n -≤≥-，要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，则20.2510.98(0.1)n n -≥，解得1250n ≥，所以估计信号发射次数n 的最小值为1250；综上，()11232P X ≤= ，估计信号发射次数n 的最小值为1250.19．（1）证明见解析（2【分析】（1）取11A C 的中点D ，连接1B D ，CD ，通过证明11⊥CD A C ，111B D A C ^，证得11A C ⊥平面1B CD ，由此证得111AC B C ⊥.（2）解法一：利用几何法作出二面角的平面角，解三角形求得二面角的正切值，再求得其正弦值.解法二：建立空间直角坐标系，利用平面11A B C 和平面11A C C 的法向量，计算出二面角的余弦值，再求得其正弦值.【详解】（1）证明：如图，取11A C 的中点D ，连接1B D ，CD ，∵111==C C A A A C ，∴11⊥CD A C ，∵底面ABC V 是边长为2的正三角形，∴2AB BC ==，11112A B B C ==，∴111B D A C ^，又1⋂=B D CD D ，∴11A C ⊥平面1B CD ，且1B C 平面1B CD ，∴111AC B C ⊥.（2）解法一：如上图，过点D 作1DE A C ⊥于点E ，连接1B E .∵侧面11AA C C ⊥底面ABC ，∴侧面11AA C C ⊥平面111A B C ，又111B D A C ^，侧面11AA C C I 平面11111A B C A C =，∴1B D ⊥侧面11AAC C ，又1AC 平面11AAC C ，∴11B D AC ⊥，又1DE AC ⊥且1⋂=BD DE D ，∴1A C ⊥平面1B DE ，∴11⊥B E AC ，∴1∠B ED 为所求二面角的平面角，∵1111112A B B C A C ===，∴1B D =，又112==ED CC∴11tan ∠===B D B ED ED ∴二面角111B A C C --法二：如图，取AC 的中点O ，以O 为坐标原点，射线OB ，OC ，1OA 分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O，B ，1(0,0,1)A，11,1)-B ，1(0,2,1)-C ，(0,-1,0)C∴111,0)A B =-u u u u r ，1(0,1,1)AC =--u u u r ，设(,,)m x y z =u r 为平面11A B C 的法向量，∴11100m A B y m A C y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩u u u u v v u u u v v，令y ==r m ，又n =r 为平面11A C C 的一个法向量，设二面角111B A C C --的大小为θ，显然θ为锐角，cos cos ,m θ=〈v则sin θ==∴二面角111B A C C --【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20．(2)存在，G ，H的坐标分别为(，．【分析】（1）写出直线BF 方程，与椭圆方程联立求得C 点坐标后，可求得四边形面积；（2）设(,)P x y ，11(,)M x y ，22(,)N x y ，由向量的坐标运算得出122x x x =+，122y y y =+，利用点,M N 是已知椭圆上的点，计算出22210x y +=，得P 是一个椭圆上的点，从而两定点,G H 为该椭圆的焦点即满足题意．【详解】（1）由题意1c ==，(1,0)F，)A，(0,1)B -，直线BF 方程为1x y -=，由22112x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩得01x y =⎧⎨=-⎩或4313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以41(,)33C ，()1111223ABOC B C S OA y y ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭；（2）设(,)P x y ，11(,)M x y ，22(,)N x y，由2OP OM ON =+u u u r u u u u r u u u r 得1122(,)(,)2(,)x y x y x y =+，即122x x x =+，122y y y =+，点,M N 在椭圆E 上，所以221112x y +=，222212x y +=，所以2222221122112212122(44)2(44)104(2)x y x x x x y y y y x x y y +=+++++=++，直线,OM ON 斜率之积为121212OM ON y y k k x x ==-，12122x x y y =-，所以22210x y +=，所以点P 在椭圆221105x y +=上，该椭圆的左右焦点为,G H ，则PG PH +为定值，又=(，．【点睛】方法点睛：动点P 到两个定点,G H 的距离之和为定值问题，可联想椭圆定义，即证明P 点在一个椭圆上，两定点为该椭圆的焦点．问题转化为求动点P 的轨迹方程．21．(1)证明见解析(2)1m ≥-(3)证明见解析【分析】（1）构造函数e 1x y x =--，利用导数证得e 10x y x =--≥，从而证得()1f x x ≥+.（2）由()()f x g x ≥分离m -，利用（1）的结论求得m 的取值范围.（3）结合（1），列不等式，根据等比数列的前n 项和公式证得不等式成立.【详解】（1）令e 1x y x =--，e 1x y '=-，由0y '=，解得0x =，当0x <时，0'<y ；当0x >时，0'>y ；所以e 1xy x =--在(],0-∞递减，[)0,∞+递增，即0e 010y ≥--=，即()1f x x ≥+；（2）由()()f x g x ≥可得：()()()ln ln e ln 1e e ln 1e ln 1x x x x x x x x x m x x x+-+⋅-+-+-≤==由（1）知ln e ln 1x x x x +≥++（当且仅当ln 0x x +=取等号），()()()ln e ln 1ln 1ln 11x x x x x x x x+-+++-+≥=，所以1m -≤，即1m ≥-；（3）由（1）知e 1x x ≥+，令()11N x k k +=-∈，可得1111e 11k k k-≥-+=，所以1111e e k k k k --⎛⎫⎛⎫≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为数列11e k -⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是首项为1，公比为1e 的等比数列，所以11111e e 11e 111e enk n k k =⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭≤<= ⎪-⎝⎭--∑.【点睛】利用导数证明不等式的基本过程是：转化要证明的不等式（一边为0或常数），然后构造函数，利用导数判断所构造函数的单调性、极值和最值等，由此证得不等式成立.22．(1)C ：2231y x -=，直线l：20x -=(2)23【分析】（1）用消参数法化参数方程为普通方程，由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩化极坐标方程为直角坐标方程；（2）化直线方程为P 点的标准参数方程，代入抛物线方程利用参数几何意义结合韦达定理求解．【详解】（1）曲线C的参数方程为1,cos x y α⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（α为参数，2k παπ≠+），所以222221sin ,cos 3cos y x ααα==，所以22 1.3y x -=即曲线C 的普通方程为2231y x -=．直线l 的极坐标方程为πcos 13ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则ππcos cos sin sin 133ρθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，转换为直角坐标方程为20x -=．（2）直线l 过点(2,0)P ，直线l的参数方程为2,1,2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）令点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，由212x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2231y x -=，得2290t ++=，则12t t +=-，1292t t =，即t 1、t 2为负，故2112121212||||||11112||||||||||||3t t t t PA PB t t t t t t ---=-====．23．(1)2；(2)证明见解析.【分析】（1）分段求解()f x 的最小值和范围，即可求得结果；（2）转化()21f x x b >-+为233a b x x +>-+，结合二次函数在区间上的最值，利用不等式，即可证明.【详解】（1）当1a =时，()121f x x x =++-，当1x ≤-，()31f x x =-+，()min ()14f x f =-=；当11x -<<，()3f x x =-+，()()2,4f x ∈；当1x ≥，()31f x x =-，()min ()12f x f ==；∴当1a =时，()f x 的最小值为2．（2）0a >，0b >，当12x ≤≤时，2211x a x x b ++->-+可化为233a b x x +>-+，令()233h x x x =-+，[]1,2x ∈，()()()max 121h x h h ===，∴1a b +>∴22222111()122222a b a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+++=++++≥+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当a b =时取得等号；又当1a b +>时，2()122a b a b ++++2>，故2211222a b ⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.。
河南省许平洛济四市2023-2024学年高三上学期第二次质量检测试题 数学含解析
许济洛平2023—2024学年高三第二次质量检测数学（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.若复数z 满足1i 12iz ⋅-=-，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合(){}1|ln 10|01x A x x B x x +⎧⎫=+≤=≥⎨⎬-⎩⎭，，则A B ⋂=（）A.[]1,0- B.(]1,0- C.[)1,0- D.()1,0-3.为更好地满足民众个性化、多元化、便利化的消费需求，丰富购物体验和休闲业态，某市积极打造夜间经济.为不断创优夜间经济发展环境、推动消费升级，有关部门对某热门夜市开展“服务满意度调查”，随机选取了100名顾客进行问卷调查，对夜市服务进行评分(满分100分)，根据评分情况绘制了如图所示的频率分布直方图，估计这组数据的第55百分位数为（）A.65B.72C.72.5D.754.已知圆O :221x y +=与x 轴交于A ，B 两点，点M 是直线30x ty ++=上任意一点.设π::332p AMB q t ∠<-<<，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知cos 3αα+=则πcos(2)3α+=（）A.23-B.23C.13-D.136.斜率为1的直线l 过抛物线2:2,(0)C y px p =>的焦点F ，且与C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若OAB的面积是，则AB =（）A.4B.8C.12D.167.设ln1.01a =， 1.01b =，0.01e c =，其中e 为自然对数的底数，则（）A.a c b>> B.b c a>> C.b a c>> D. c b a >>8.小明参加答题闯关游戏，答题时小明可以从A ，B ，C 三块题板中任选一个进行答题，答对则闯关成功.已知他选中A ，B ，C 三块题板的概率分别为0.2，0.3，0.5，且他答对A ，B ，C 三块题板中题目的概率依次为0.91，0.92，0.93.则小明闯关失败的概率是（）A.0.24B.0.14C.0.077D.0.067二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()πsin 23f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的一个对称中心为π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中(]0,1ω∈，则（）A.直线π12x =为函数()f x 的图象的一条对称轴B.函数()f x 的单调递增区间为5ππ2π,2π612k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈ΖC.当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的值域为3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.将函数sin2y x =的图象向左平移π6个单位长度后得到函数()f x 的图象10.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，….记大衍数列{}n a 的前n 项和为n S ，其通项公式22122n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数.则（）参考公式：()()2222121123.6n n n n ++++++= A.84是数列{}n a 中的项 B.241416408a a a a ++++= C.235720231111110112024a a a a a +++++= D.5021450S =11.在212nx ⎛ ⎝的展开式中，若第4项与第8项的二项式系数相等，则（）A.展开式中5x 的系数为1058-B.展开式中所有项的系数的和为11024C.展开式中系数的绝对值最大的项是第5项D.从展开式中任取2项，取到的项都是x 的整数次幂的概率为31112.已知()()()()2e cos 1cos cos ，xf xg x f x x x x x==-+则（）A .当ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()π4min π4，f x f -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭无最大值B.当ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()π4max π4，f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭无最小值C.当ππ,42x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()g x 的值域是(-∞，2]D.当ππ,42x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()g x 的值域是[2，+∞)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线222:1(0)4x y C a a -=>则 a =_____.14.在平行四边形ABCD 中，22AD AB ==，BD DC ⊥，点M 为线段CD 的中点，则MA MB =⋅______________.15.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是棱DD ₁(不包含端点)上一动点，则三棱锥1P AB C -的体积的取值范围为__________.16.已知定义在()3,3-上的函数()f x 满足2()e (),(1)1,()x f x f x f f x '=-=为()f x 的导函数，当[)0,3x ∈时，()()f x f x '>，则不等式()e 11xf x ->的解集为_______________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC 的三个角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且())sin cos 31cos .b A A a Bc +=+（1）求B ；（2）若1,3a b ==ABC 的面积.18.已知正项数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =，且满足.（1）求{}n a 的通项公式；（2）已知n n n b a =，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，当n ∈*N 时，()1cos π2n n n n T λ-<+，求实数λ的范围.条件:①212n n n a a a ++=，且2342,2,a a a +成等差数列；②()121Nn n S S n *+-=∈；③11(1)(1)n n n n S a S a +++=+.请从这三个条件中任选一个，并将其序号填写在答题卡对应位置，并完成解答.19.党的二十大以来，国家不断加大对科技创新的支持力度，极大鼓舞了企业持续投入研发的信心.某科技企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过不断的研发和技术革新，提升了企业收益水平.下表是对2023年1~5月份该企业的利润y (单位：百万)的统计.月份1月2月3月4月5月月份编号x 12345利润y (百万)712131924（1）根据统计表，求该企业的利润y 与月份编号x 的样本相关系数(精确到0.01)，并判断它们是否具有线性相关关系（0.751r ≤≤，则认为y 与x 的线性相关性较强，0.75r <，则认为y 与x 的线性相关性较弱.）；（2）该企业现有甲、乙两条流水线生产同一种产品.为对产品质量进行监控，质检人员先用简单随机抽样的方法从甲、乙两条流水线上分别抽取了5件、3件产品进行初检，再从中随机选取3件做进一步的质检，记抽到“甲流水线产品”的件数为X ，试求X 的分布列与期望.附：相关系数()()41.7.xx x y y r --=≈20.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且∠ABC =60°，AE ⊥平面ABCD ，AB =AE =2DF ，AE //DF .（1）证明：平面AEC ⊥平面CEF ；（2）求平面ABE 与平面CEF 夹角的余弦值.21.已知函数()()e 1ln xf x a x =--.（1）当1a =时，求()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程;（2）当1a ≥时，证明：()sin f x x >.22.已知椭圆E 2222:1(0)x y a b ab+=>>的左、右焦点为12,F F ，过()10F 的直线交椭圆于G ，H 两点，2GHF V 的周长为8.（1）求椭圆E 的方程;（2）点M ，N 分别为椭圆E 的上、下顶点，过直线2y =上任意一点P 作直线PM 和PN ，分别交椭圆于S ，T 两点.证明：直线ST 过定点.许济洛平2023—2024学年高三第二次质量检测数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.若复数z 满足1i 12iz ⋅-=-，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A 【解析】【分析】结合复数的模的计算，求出复数z ，即可得z ，根据复数的几何意义，即可得答案.【详解】由1i 12i z ⋅-=-得12i 21i 2z -===--，故2z =，其实部为2，故z 在复平面内对应的点为(2，位于第一象限，故选：A2.已知集合(){}1|ln 10|01x A x x B x x +⎧⎫=+≤=≥⎨⎬-⎩⎭，，则A B ⋂=（）A.[]1,0- B.(]1,0- C.[)1,0- D.()1,0-【答案】B 【解析】【分析】解两个集合中的不等式，得到这两个集合，再求交集.【详解】不等式()ln 10x +≤，等价于011x <+≤，解得10-<≤x ，即{}10A x x =-<≤，不等式101x x +≥-，等价于()()11010x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩，解得1<1x ≤-，即{}11B x x =-≤<，所以(]1,0A B =- .故选：B3.为更好地满足民众个性化、多元化、便利化的消费需求，丰富购物体验和休闲业态，某市积极打造夜间经济.为不断创优夜间经济发展环境、推动消费升级，有关部门对某热门夜市开展“服务满意度调查”，随机选取了100名顾客进行问卷调查，对夜市服务进行评分(满分100分)，根据评分情况绘制了如图所示的频率分布直方图，估计这组数据的第55百分位数为（）A.65B.72C.72.5D.75【答案】D 【解析】【分析】根据频率分布直方图先估算出第55%数所在区间为[]70,80，然后即可求出.【详解】由题中频率分布直方图知区间[]70,80，[]80,90，[]90,100三个区间频率为()0.0050.0250.030100.6++⨯=，所以第55%数所在区间为[]70,80，且设为x ，则700.15100.3x -=，解得75x =，故D 正确.故选：D.4.已知圆O :221x y +=与x 轴交于A ，B 两点，点M 是直线30x ty ++=上任意一点.设π::332p AMB q t ∠<-<<，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由图结合几何知识可知π2AMB ∠<等价于过定点()3,0-直线30x ty ++=与圆O :221x y +=相离，即可得答案.【详解】如图，由题可知直线30x ty ++=过定点()3,0-，设为点N .当直线与圆相离时，设M 为直线上任意点，连接MA ，MB ，设MA （或MB ）与圆O 交于C 点，连接CB （CA ），则π2ACB ∠=，由外角性质，总有π2AMB ACB ∠<∠=；如图，当直线与圆相切或相交时，在直线上均存在点M ，使π2AMB ∠=.综上，π2AMB ∠<等价于直线30x ty ++=与圆O :221x y +=相离，则1p t ⇔>⇔-<<注意到(-是()3,3-的真子集，则p 是q 的充分不必要条件.故选：A5.已知cos 3αα+=则πcos(2)3α+=（）A.23-B.23C.13-D.13【答案】C 【解析】【分析】根据给定的条件，利用辅助角公式求出πsin()6α+，再利用二倍角的余弦公式计算即得.【详解】由cos3αα+=，得πsin(63α+=，所以22πππ1cos(2cos2(12sin()12(36633ααα+=+=-+=-⨯=-.故选：C6.斜率为1的直线l过抛物线2:2,(0)C y px p=>的焦点F，且与C相交于A，B两点，O为坐标原点，若OAB的面积是，则AB=（）A.4B.8C.12D.16【答案】B【解析】【分析】设直线l的方程，联立抛物线方程，可得根与系数的关系，即可求出弦长AB的表达式，结合OAB的面积求得参数p，即可求得答案.【详解】由题意知抛物线2:2,(0)C y px p=>的焦点F坐标为(,0)2p，设直线l的方程为2py x=-，联立22,(0)y px p=>，得22304px px-+=，280p∆=>，设1122(,),(,)A x yB x y，则123x x p+=，故12||4AB x x p p=++=，又点O到直线2py x=-的距离为||2pd==，则1||2OABS AB d=⋅=1422p p⨯==，故||48AB p==，故选：B7.设ln1.01a =， 1.01b =，0.01e c =，其中e 为自然对数的底数，则（）A.a c b >>B.b c a>> C.b a c>> D. c b a>>【答案】D 【解析】【分析】构造函数()e (1)x f x x =-+，利用导数讨论其单调性比较b ，c ；构造函数()ln g x x x =-，利用导数讨论其单调性比较a ，b 即得.【详解】令()e (1)x f x x =-+，则()e 1x f x '=-，当0x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，因此0.01(0.01)e 1.01(0)0f f =->=，即0.01e 1.01>，令()ln g x x x =-，则11()1xg x x x-'=-=，当1x >时，()0g x '<，()g x 单调递减，因此(1.01)ln1.01 1.01(1)10g g =-<=-<，即ln1.01 1.01<所以 c b a >>.故选：D8.小明参加答题闯关游戏，答题时小明可以从A ，B ，C 三块题板中任选一个进行答题，答对则闯关成功.已知他选中A ，B ，C 三块题板的概率分别为0.2，0.3，0.5，且他答对A ，B ，C 三块题板中题目的概率依次为0.91，0.92，0.93.则小明闯关失败的概率是（）A.0.24 B.0.14C.0.077D.0.067【答案】C 【解析】【分析】利用全概率公式计算即可.【详解】由题意，小明闯关失败的概率()()()0.210.910.310.920.510.930.077P =⨯-+⨯-+⨯-=.故选：C .二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()πsin 23f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的一个对称中心为π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中(]0,1ω∈，则（）A.直线π12x =为函数()f x 的图象的一条对称轴B.函数()f x 的单调递增区间为5ππ2π,2π612k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈ΖC.当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的值域为,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.将函数sin2y x =的图象向左平移π6个单位长度后得到函数()f x 的图象【答案】ACD 【解析】【分析】先根据题意求出函数()f x 的解析式，利用整体代入的方法判断函数的对称轴即可判断A ；利用整体代入的方法求解函数单调递增区间即可判断B ；利用整体思想换元，结合一次函数以及正弦函数的单调性求出函数()f x 的值域即可判断C ；根据三角函数的平移伸缩变换求出平移后的解析式即可判断D ．【详解】由函数()πsin 23f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象的一个对称中心为π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭，则πππsin 0633f ω⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得πππ33k ω-+=，即13k ω=-，Ζk ∈，又(]0,1ω∈，得1ω=，所以()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．对于A ，当π12x =时，πππ21232⨯+=，所以直线π12x =为函数()f x 的图象的一条对称轴，故A 正确；对于B ，令πππ22π,2π322x k k ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦，Ζk ∈，解得5πππ,π1212x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，Ζk ∈，故B 错误；对于C ，由π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ，则ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()π3sin 2,132f x x ⎡⎤⎛⎫=+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，故C 正确；对于D ，将函数sin2y x =的图象向左平移π6个单位长度后得到ππsin2sin 263y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确．故选：ACD ．10.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，….记大衍数列{}n a 的前n 项和为n S ，其通项公式22122n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数.则（）参考公式：()()2222121123.6n n n n ++++++= A.84是数列{}n a 中的项 B.241416408a a a a ++++= C.235720231111110112024a a a a a +++++= D.5021450S =【答案】ABD 【解析】【分析】根据{}n a 的通项公式，分类讨论n 为奇偶情况，即可逐项求解判断.【详解】对A ：当n 为偶数时，2842n na ==，解得n =当n 为奇数时，21842n n a -==，解得13n =，符合题意，故A 正确；对B ：2222414162416212429264222a a a a ++++=+++=⨯+⨯+⨯+⨯ ()222289172123824086⨯⨯=++++=⨯= ，故B 正确；对C ：由题意知22223579202311111222231517120231a a a a a +++++=++++---- 1111111111111011222446202220242244620222024220242024⎛⎫⎛⎫=+++=⨯-+-++-=-= ⎪ ⎪⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭ ，所以235720231111110112024a a a a a +++++≠ ，故C 错误；对D ：()()22225013549246501235025150511012521450226S a a a a a a a a ++++-⨯⨯⎛⎫=+++++++++==-= ⎪⎝⎭故D 正确；故选：ABD.11.在212nx ⎛ ⎝的展开式中，若第4项与第8项的二项式系数相等，则（）A.展开式中5x 的系数为1058-B.展开式中所有项的系数的和为11024C.展开式中系数的绝对值最大的项是第5项D.从展开式中任取2项，取到的项都是x 的整数次幂的概率为311【答案】BD 【解析】【分析】根据题意得到展开式的总项数为11项，10n =，然后利用展开式的通项公式即可对各项判断求解.【详解】由题知212nx ⎛ ⎝展开式()()522222111C 1C 122n rn rrn rrrr n rr r n nT xxx-----+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中第4项与第8项二项式系数相等，所以37C C nn=，得10n =，得()1052021101C 12rrrr T x--+⎛⎫=- ⎪⎝⎭对A ：由展开式52052-=r ，得6r =，所以得5x 的系数()466101105C 128⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故A 错误；对B：由()()1095201102110021010111C 1C 1222x x x -⎛⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ 的展开式中，令1x =，得展开式中所有项的系数的和为1021111211024⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，故B 正确；对C ：展开式中的系数加绝对值后为10101C 2rr -⎛⎫ ⎪⎝⎭，第5项系数为64101105C 232⎛⎫=⎪⎝⎭，第6项系数为5510163105C 2832⎛⎫=> ⎪⎝⎭，故C 错误；对D ：由()1052021101C 12rrrr r T x--+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，共有11项，其中当0,2,4,6,8,10r =时，5202r -为整数，所以在展开式中任取2项，取到的项都是x 的整数次幂的概率为26211C 3C 11=，故D 正确.故选：BD.12.已知()()()()2e cos 1cos cos ，xf xg x f x x x x x==-+则（）A.当ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()π4min π4，f x f -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭无最大值B.当ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()π4max π4，f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭无最小值C.当ππ,42x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()g x 的值域是(-∞，2]D.当ππ,42x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()g x 的值域是[2，+∞)【答案】AD 【解析】【分析】对于AB 选项，利用导数判断()f x 单调性即可得答案；对于CD 选项，分π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，π,04x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭两种情况讨论()g x 单调性即可得答案.【详解】对于AB 选项，()2e cos xf x x=，()2πsin 4cos x x f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=.()()ππππ0,,02442f x x f x x ⎛⎫⎛⎫⇒∈--⇒∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝'⎭'，则()f x 在ππ,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在ππ,42⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故()π4minπ4f x f -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，无最大值，则A 正确，B 错误；对于CD 选项，()()()2e 1cos 2e sin 1cos xxg x x x g x x x x =-+⇒--'=+.当π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，2e 2cos 12sin 0xx x x ≥--≥-≥，，，则()()0g x g x '≥⇒在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，则此时()()02g x g ≥=；当π,04x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，注意到π2sin sin 42x ⎛⎫≥-=- ⎪⎝⎭，则()sin 2e cos 122x x x x g x x x ≤-⇒≤---'.令()()2e cos 12e sin 22x x h x x x h x x =-⇒=+'---.注意到2e x y =，sin y x =均在π,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增，则()h x '在π,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增.因π1114222π2e 2e 2e 204h ----⎛⎫⎛⎫-'=<=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0202h =->'，则0π,04x ⎡⎫∃∈-⎪⎢⎣⎭，使()00h x '=.则()()00π0004h x x x h x x x ''<⇒-≤⇒<<，.即()h x 在0π,4x ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，在()0,0x 上单调递增.注意到332719πe e .>>>，则111916-πe <<，则))1π44π-4π-4π12e121048168h -⎛⎫⎛⎫-=-+<⋅-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()00h =，则()()()00h x g x h x '<⇒≤<，即()g x 在π,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，则()()02g x g >=，综上，当ππ,42x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()g x 的值域是[2，+∞).故C 错误，D 正确.故选：AD【点睛】关键点睛：对于带有三角函数的复杂函数，常利用分区间段讨论，放缩，估值等手段，消除三角函数对于问题的影响.本题所涉函数()g x 较为复杂，为研究其单调性，将所涉区间分段，并引入新函数()h x 加以研究.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线222:1(0)4x y C a a -=>则 a =_____.【答案】1【解析】【分析】根据给定条件，利用双曲线离心率计算公式列式计算即得.【详解】依题意，双曲线C的离心率e a ===所以1a =.故答案为：114.在平行四边形ABCD 中，22AD AB ==，BD DC ⊥，点M 为线段CD 的中点，则MA MB =⋅______________.【答案】154【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标运算求向量数量积.【详解】BD DC ⊥，以D 为原点，DC 为x 轴，DB 为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，22AD AB ==，则===BD 有1,02M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(B，(A -，32MA ⎛=- ⎝，12MB ⎛=- ⎝ ，315344MA MB ⋅=+= .故答案为：15415.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是棱DD ₁(不包含端点)上一动点，则三棱锥1P AB C -的体积的取值范围为__________.【答案】11,63⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】利用空间向量求出点P 到平面1AB C 的距离，从而求解.【详解】由题知以D 点为原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z轴建立空间直角坐标系，如图，则()0,0,0D ，()1,0,0A ，()11,1,1B ，()0,1,0C ，()1,1,0B ，()10,0,1D ，()1,1,0AC =- ，()10,1,1AB = ，()10,0,1DD =，设()10,0,1DP DD λλ== ，()01λ<<，得()0,0,P λ，则()1,0,AP λ=-，设平面1AB C 的一个法向量为(),,n x y z =，则1·0·0n AC x y n AB y z ⎧=-+=⎪⎨=+=⎪⎩ ，令1y =，得()1,1,1n =- ，所以点P 到平面1AB C 的距离·3AP n d n ==又因为01λ<<，所以33,333d ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，由题知112AC AB B C ===，所以1AB C 为等边三角形，其面积11π322sin 232AB C S ==，所以三棱锥1P AB C -的体积111311,33263AB C V S d d ⎛⎫=⨯=⨯∈ ⎪⎝⎭，故答案为：11,63⎛⎫⎪⎝⎭.16.已知定义在()3,3-上的函数()f x 满足2()e (),(1)1,()x f x f x f f x '=-=为()f x 的导函数，当[)0,3x ∈时，()()f x f x '>，则不等式()e 11xf x ->的解集为_______________.【答案】()()2,02,3-⋃【解析】【分析】构造函数()()exf xg x =，由已知条件得()g x 在()3,3-上是偶函数，然后根据其单调性从而可求解.【详解】令()()e xf xg x =，所以()()e xf xg x =，因为()()2exf x f x =-，所以()()2e e e x x xg x g x -=-，化简得()()g x g x =-，所以()g x 在()3,3-上是偶函数，因为()()()()()2e e eex x xxf x f x f x f xg x -'-''==，因为当[)0,3x ∈，()()f x f x '>，所以()()()0exf x f xg x -''=>，()g x 在区间[)0,3上单调递增，又因为()g x 为偶函数，所有()g x 在()3,0-上单调递减，由()11xe f x ->，得()111e e xf x -->，又因为()11f =，所以()()()()11111e ex f x f g x g ---=>=，所以31311x x -<-<⎧⎨->⎩，解得20x -<<或23x <<，所以不等式的解集为()()2,02,3-⋃.故答案为：()()2,02,3-⋃.【点睛】通过构造函数()()exf xg x =，结合已知函数求出函数()g x 为偶函数和其单调性，从而求解.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC 的三个角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且())sin cos 1cos .b A A a Bc +=+（1）求B ；（2）若1,a b ==ABC 的面积.【答案】（1）π3（2）2【解析】【分析】（1）先利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理结合两角和的正弦公式化简即可得解；（2）先利用余弦定理求出c ，再根据三角形的面积公式求解即可.【小问1详解】在ABC 中，因为())sin cos 1cos b A A a B c +=+，由正弦定理可得：())sin sin cos 1sin cos sin B A A A B C +=+，所以())()sin sin cos 1sin cos sin B A A A B A B +=++，所以)()sin sin sin cos 1sin cos sin cos cos sin A B B A A B A B A B +=++，整理得sin sin cos A B A B =，又()0,πA ∈，所以sin 0A >，所以sin B B =，得tan B =因为()0,πB ∈，所以π3B =；【小问2详解】由（1）知，π3B =，又1,a b ==在ABC 中，由余弦定理²²²2cos b a c ac B =+-，得2131212c c =+-⨯⨯⨯，所以²20c c --=，解得2c =或1c =-（舍去），所以ABC 的面积1133sin 122222S ac B ==⨯⨯⨯=.18.已知正项数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =，且满足.（1）求{}n a 的通项公式；（2）已知n n n b a =，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，当n ∈*N 时，()1cos π2n n n n T λ-<+，求实数λ的范围.条件:①212n n n a a a ++=，且2342,2,a a a +成等差数列；②()121Nn n S S n *+-=∈；③11(1)(1)n n n n S a S a +++=+.请从这三个条件中任选一个，并将其序号填写在答题卡对应位置，并完成解答.【答案】（1）选项见解析，12n n a -=（2）()2,3-【解析】【分析】（1）选①可得{}n a 为等比数列，后由题意可得首项，公比，即可得答案；选②，由()121N n n S S n *+-=∈可得211221n n n n S S S S +++-=-=，即212n n a a ++=，后可得答案；选③可得1111n n n nS S a a ++++=，进而可得21n n S a =-，后可得()11112121222n n n n n n n n n a S S a a a a a a ----=-=---=-⇒=，即可得答案;（2）由（1）结合错位相减法可得n T ，后分n 为偶数，奇数两种情况可λ的范围.【小问1详解】若选①，因为数列{}n a 中，212n n n a a a ++=，所以数列{n a }为等比数列.设{n a }的公比为q ，则0q >，由题意得()324222a a a +=+，又11a =，可得()23222q q q +=+，即322240q q q -+-=，则有()()()()3222224222220q q q q q q q q -+-=-+-=+-=，因为220q +>，解得2q =，故1112n n n a a q --==；若选②，因为()121Nn n S S n *+-=∈，所以211221n n n n SS S S +++-=-=()N n *∈.所以()2112122n n n n n n S S S S a a +++++-=-⇒=.当1n =时，有212121S S a a -⇒-=，且11a =，212a a =.所以数列{n a }是首项11a =,公比2q =的等比数列，所以1112n n n a a q --==；若选③，由()()11111111n n n n n n n nS S S a S a a a +++++++=+⇒=，所以11111112n n S S a a a a +++===，所以21n n S a =-.当2n ≥时，1121n n S a --=-，所以()11112121222n n n n n n n n n a S S a a a a a a ----=-=---=-⇒=所以，数列{n a }为以首项11a =，公比2q =的等比数列，所以1112n n n a a q --==；【小问2详解】由（1）可知:数列{}n b 满足12n n n n nb a -==，数列{}n b 的前n 项和21231222n n n T -=++++ ，则23112322222n n n T =++++ ，两式相减可得:2311111111221212222222212nn n n n nn n n T -⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+++++-==-- ，所以1242n n n T -+=-.不等式()1cos π2n n n n T λ-<+()12cos π42n n λ-⇔<-,注意到数列1242n n -+⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为递增数列，当n 为偶数时，()12cos π42n n λλ-=<-，取2n =，可得3λ<；当n 为奇数时，()12cos π42n n λλ-=-<-，取1n =，可得2λ>-.综上，实数λ的取值范围是()2,3-.19.党的二十大以来，国家不断加大对科技创新的支持力度，极大鼓舞了企业持续投入研发的信心.某科技企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过不断的研发和技术革新，提升了企业收益水平.下表是对2023年1~5月份该企业的利润y (单位：百万)的统计.月份1月2月3月4月5月月份编号x 12345利润y (百万)712131924（1）根据统计表，求该企业的利润y 与月份编号x 的样本相关系数(精确到0.01)，并判断它们是否具有线性相关关系（0.751r ≤≤，则认为y 与x 的线性相关性较强，0.75r <，则认为y 与x 的线性相关性较弱.）；（2）该企业现有甲、乙两条流水线生产同一种产品.为对产品质量进行监控，质检人员先用简单随机抽样的方法从甲、乙两条流水线上分别抽取了5件、3件产品进行初检，再从中随机选取3件做进一步的质检，记抽到“甲流水线产品”的件数为X ，试求X 的分布列与期望.附：相关系数()()41.7.xx x y y r --=≈【答案】（1）0.98；具有很强的线性相关性（2）分布列见解析；158【解析】【分析】（1）根据公式求出相关系数r 的值，即可判断；（2）根据题意可知X 可取的为0,1,2,3，然后计算列出分布列，求出期望即可求解.【小问1详解】由统计表数据可得:1234535x ++++==，712131924155y ++++==，所以()()51ii i x x y y =--∑163041841=++++=，====所以相关系数410.980.7541.7r =≈≈>，因此，两个变量具有很强的线性相关性.【小问2详解】由题意知，X 的可能取值为0,1,2,3因为()()031253533388C C C C 1150,1C 56C 56P X P X ======，()()213053533388C C C C 1552,3C 28C 28P X P X ======，所以X 的分布列为：X123P15615561528528所以()115155150123.565628288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=20.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且∠ABC =60°，AE ⊥平面ABCD ，AB =AE =2DF ，AE //DF .（1）证明：平面AEC ⊥平面CEF ；（2）求平面ABE 与平面CEF 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）4【解析】【分析】（1）通过证明BD ⊥平面AEC ，HF ∥BD ，可证明结论；如图建立空间直角坐标系，算出平面CEF 的一个法向量，利用向量方法可得答案.【小问1详解】如图，取EC 的中点H ，连结BD 交AC 于点O ，连结HO 、HF .因为四边形ABCD 为菱形，则AC ⊥BD .又AE ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以AE ⊥BD .因为AE ⊂平面AEC ，AC ⊂平面AEC ，且AE ∩AC =A ，所以BD ⊥平面AEC .因为H 、O 分别为EC 、AC 的中点，所以HO ∥EA ，且12HO EA =;又AE ∥DF ，且12DF EA =.所以HO ∥DF ，且HO =DF ，所以四边形HODF 为平行四边形，所以HF ∥OD ，即HF ∥BD ，所以HF ⊥平面AEC .因为HF ⊂平面CEF ，所以平面AEC ⊥平面CEF.【小问2详解】取CD 中点M ，连接AM .因为菱形ABCD 中，∠ABC =60°，所以 ACD 为正三角形，又M 为CD 中点，所以AM ⊥CD ，因为AB ∥CD ，所以AM ⊥AB .因为AE ⊥平面ABCD ，AB ，AM ⊂平面ABCD ，所以AE ⊥AB ，AE ⊥AM .如图，以A 为原点，AB ，AM ，AE 所在直线分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系A xyz -.不妨设AB =AD =AE =2DF =2，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (1，0)，(D -，E (0，0，2)，(F -因为AM ⊥平面ABE，所以()AM =为平面ABE 的一个法向量，设平面CEF 的法向量为(,,)n x y z =，因为()()1,22,0,1CE CF =-=-，，所以20220n CE x z y z x n CF x z ⎧⎧⋅=--+==⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⋅=-+=⎪⎩⎩，不妨令1x =，得()2n = .设平面ABE 与平面CEF 夹角为θ，则cos cos ,4n AM n AM n AMθ⋅====⋅，所以平面ABE 与平面CEF夹角的余弦值为4.21.已知函数()()e 1ln xf x a x =--.（1）当1a =时，求()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程;（2）当1a ≥时，证明：()sin f x x >.【答案】（1）(e 1)y x =-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分别求出()()1,1f f '，再利用直线的点斜式方程即可求解；（2）利用作差法并构造函数()e 1ln sin xg x x x =---，并利用二次导数求出()min 0g x >恒成立，即可求解.【小问1详解】当1a =时，()e 1ln xf x x =--，则()1e x f x x'=-所以()1e 1f '=-，又因为()1e 1f =-，故所求切线方程为()()()e 1e 11y x --=--，即()e 1y x =-.【小问2详解】因为()f x 的定义域是()0,∞+，所以当1a ≥时，()()sin e 1ln sin e 1ln sin xxf x x a x x x x-=---≥---设()e 1ln sin xg x x x =---，则()1e cos xg x x x'=--，设()()1e cos x h x g x x x ==--'，则()21e sin 0xh x x x+'=+>在()0,∞+上恒成立，所以()h x 在()0,∞+上是增函数，则1311e 3cos 033h ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，又因为π4π4πe sin 4π4h ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，因为π34e 2.7162>>=，所以π4e 2>，又因为4π4 1.42sin 1.9842π4 3.142+<+≈<，所以π04h ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()h x 在1π,34⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一零点0x ，也是()h x 在()0,∞+上的唯一零点，所以()00001e cos 0x h x x x =--=，即0001e cos x x x =+，当00x x <<时，()0g x '<，()g x 在()00,x 上单调递减，当0x x >时，()0g x '>，()g x 在()0,x +∞上单调递增，所以()()0000000min 01e ln 1sin cos ln 1sin xg x g x x x x x x x ==---=+---由于0π04x <<，所以011x >，0ln 0x <，00cos sin x x >，所以()()0min 0g x g x =>，所以()0g x >，所以当1a ≥时，()sin 0f x x ->，即()sin f x x >成立.【点睛】方法点睛：（2）问中通过作差法后构造函数，利用构造函数的二次求导求出其最小值大于零，从而求证.22.已知椭圆E 2222:1(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点为12,F F，过()10F 的直线交椭圆于G ，H 两点，2GHF V 的周长为8.（1）求椭圆E 的方程;（2）点M ，N 分别为椭圆E 的上、下顶点，过直线2y =上任意一点P 作直线PM 和PN ，分别交椭圆于S ，T 两点.证明：直线ST 过定点.【答案】（1）2214x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由椭圆定义并结合2GHF V 的周长为8，从而可求解；（2）利用数型结合，设出直线PM ，PN 分别与椭圆联立，然后利用根与系数关系从而求解.【小问1详解】由题意知，2GHF V 的周长为4a ，则48a =，所以2a =，又c =则²²²431b a c =-=-=，所以椭圆E 的方程为2214x y +=.【小问2详解】由题意可作出图形，如图，由题意知，()0,1M ，()0,1N -，直线PS ，PT ，ST 斜率均存在，设(),2P m ，,0m m ∈≠R ，则直线PS ：1xy m=+，由22144x y mx y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，得()2²480m x mx ++=因为2640m ∆=>恒成立，所以284S M mx x m -+=+，即284S mx m -=+，所以222814144S m m y m m m --=⨯+=++，直线PN ：31x y m =-，由223144x y m x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得()2236240m x mx +-=，因为22240m ∆=>恒成立，所以22436N T mx x m +=+所以22436T m x m =+，223636T m y m -=+，所以()()()22224222322243612121441243682416192161612436S T STS T m m m m y y m m m m k m m x x m m m m m m m ----+---++====--++-++，所以直线ST 方程为：2222212841211644162m m m m y x x m m m m ----⎛⎫=-+=+ ⎪++⎝⎭所以直线ST 过定点10,.2⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】（2）问中设出直线分别与椭圆联立后利用根与系数关系，从而可求解.。
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阶段质量检测（二） 函 数(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝x 2＋1的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选B 由题意知，函数y ＝x 2＋1的定义域为R ，则x 2＋1≥1，∴y ≥1.2．函数f (x )＝1＋x ＋1x 的定义域是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，0)∪(0，＋∞)C ．[－1,0)∪(0，＋∞)D ．R解析：选C 要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥0，x ≠0，即x ≥－1且x ≠0.故选C.3．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A ．－74B.74C.43 D ．－43解析：选B 设12x －1＝t ，则x ＝2t ＋2，t ∈R ，∴f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，∴f (x )＝4x－1.由f (a )＝6得4a －1＝6，即a ＝74.4．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1是定义在[－1－a,2a ]上的偶函数，则该函数的最大值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选A 因为函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1是定义在[－1－a,2a ]上的偶函数，所以－1－a ＋2a ＝0，所以a ＝1，所以函数f (x )的定义域为[－2,2]．因为函数图象的对称轴为直线x ＝0，所以b ＝0，故f (x )＝x 2＋1，所以当x ＝±2时函数取得最大值，最大值为5.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2，x >2，f (x ＋3)，x ≤2，则f (2)的值等于( ) A ．4B ．3解析：选C∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2，x >2，f (x ＋3)，x ≤2，∴f (2)＝f (5)＝5＋15－2＝2.故选C.6．下列函数是偶函数且在区间(－∞，0)上为增函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝1x C ．y ＝|x |D ．y ＝－x 2解析：选D 由函数为偶函数可排除选项A 、B ；对于选项C ，函数y ＝|x |在区间(－∞，0)上为减函数，故不正确；对于选项D ，函数为偶函数，且在区间(－∞，0)上为增函数，故正确．故选D.7．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选B ∵f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)． 又∵g (x )是偶函数，∴g (－1)＝g (1)． ∵f (－1)＋g (1)＝2，∴g (1)－f (1)＝2. ① ∵f (1)＋g (－1)＝4，∴f (1)＋g (1)＝4.②由①②，得g (1)＝3. 8．函数f (x )＝1＋x2＋x(x >0)的值域是( ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫12，1D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：选C ∵f (x )＝1＋x 2＋x ＝x ＋2－1x ＋2＝1－1x ＋2在(0，＋∞)上为增函数，∴f (x )∈⎝⎛⎭⎫12，1. 9．已知函数f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f (－2)＝10，那么f (2)等于( ) A ．10B ．－10解析：选D 令g (x )＝x 5＋ax 3＋bx ，则g (x )是奇函数，f (x )＝g (x )－8，f (－2)＝g (－2)－8＝10，∴g (－2)＝18，∴f (2)＝g (2)－8＝－g (－2)－8＝－26.10．若f (x )满足f (－x )＝f (x )在区间(－∞，－1]上是增函数，则( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－32<f (－1)<f (2) B ．f (－1)<f ⎝⎛⎭⎫－32<f (2) C ．f (2)<f (－1)<f ⎝⎛⎭⎫－32 D ．f (2)<f ⎝⎛⎭⎫－32<f (－1) 解析：选D 由已知可得函数f (x )在区间[1，＋∞)上是减函数，f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫32，f (－1)＝f (1)．∵1<32<2，∴f (1)>f ⎝⎛⎭⎫32>f (2)，即f (2)<f ⎝⎛⎭⎫－32<f (－1)． 11．若函数y ＝f (x )是定义在[－3,4]上的递增函数，且f (2m )>f (m －1)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,2]B ．(－1，＋∞)C ．(－1,4]D ．[－1，＋∞)解析：选A 根据题意，对于f (2m )>f (m －1)，由函数y ＝f (x )的定义域是[－3,4]，则有－3≤2m ≤4，－3≤m －1≤4，又由函数y ＝f (x )为增函数，则有2m >m －1. 联立⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m ≤4，－3≤m －1≤4，2m >m －1，解得－1<m ≤2，则m 的取值范围是(－1,2]．12．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，给出下列四个结论： ①f (0)＝0；②若f (x )在[0，＋∞)上有最小值－1，则f (x )在(－∞，0]上有最大值1； ③若f (x )在[1，＋∞)上为增函数，则f (x )在(－∞，－1]上为减函数；④若x >0时，f (x )＝x 2－2x ，则x <0时，f (x )＝－x 2－2x . 其中正确结论的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 由奇函数在x ＝0处有定义知，f (0)＝0，故①正确； 由图象的对称性可知②正确；由于奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同，故③不正确； 对于④，当x <0时，－x >0，则f (－x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x ， ∴－f (x )＝f (－x )＝x 2＋2x ，∴f (x )＝－x 2－2x ，故④正确． 综上可知，正确结论的序号为①②④，共3个．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上) 13．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出则满足不等式f [g (x )]＞g [f (x )]的解集是________． 解析：由表格知f [g (1)]＝1＜g [f (1)]＝3， f [g (2)]＝3＞g [f (2)]＝1， f [g (3)]＝1＜g [f (3)]＝3.故不等式f [g (x )]＞g [f (x )]的解集为{2}． 答案：{2}14．若函数y ＝12x 2－x ＋32的定义域和值域都是[1，b ]，则b 的值为________．解析：函数f (x )＝y ＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，故函数在[1，＋∞)上为增函数， 由题意知，f (b )＝b ，即12b 2－b ＋32＝b ，解得b ＝3或b ＝1(舍去)．答案：315．奇函数f (x )定义域为R ，若f (x ＋2)为偶函数且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)＝________. 解析：因为f (x )＝－f (－x )，f (x ＋2)＝f (－x ＋2)． 所以f (8)＋f (9)＝f (6＋2)＋f (7＋2) ＝f (－6＋2)＋f (－7＋2)＝f (－4)＋f (－5) ＝－f (4)－f (5)＝－f (2＋2)－f (3＋2) ＝－f (－2＋2)－f (－3＋2)＝－f (0)＋f (1)＝1. 答案：116.定义在区间[－2,2]上的奇函数f (x )，它在(0,2]上的图象是一条如图所示线段(不含点(0,1))，则不等式f (x )－f (－x )＞x 的解集为________．解析：由f (x )－f (－x )＞x ， 得2f (x )＞x ，即f (x )＞x 2，作出图象，如图，由图象可求得f (x )＝⎩⎨⎧－12x ＋1，0＜x ≤2，0，x ＝0，－12x －1， －2≤x ＜0.由⎩⎨⎧ y ＝－12x ＋1，y ＝12x . 解得x ＝1.由⎩⎨⎧y ＝－12x －1，y ＝12x .解得x ＝－1.结合图象知f (x )－f (－x )＞x 的解集为[－2，－1)∪(0,1)． 答案：[－2，－1)∪(0,1)三、解答题(本大题共6小题，共计70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知函数f (x )＝|x |(x －4)，x ∈R.(1)将函数f (x )写成分段函数的形式，并作出函数的大致的简图；(2)根据函数的图象写出函数的单调区间，并写出函数f (x )在区间[－1,3]上的最大值和最小值．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x (x ≥0)，－x 2＋4x (x ＜0).作图(如图)．(2)单调增区间为(－∞，0)，[2，＋∞)； 单调减区间[0,2]，函数f (x )在区间[－1,3]上的最值为： f (x )max ＝f (0)＝0， f (x )min ＝f (－1)＝－5.18．(本小题满分12分)设f (x )＝1－x 21＋x 2(x ≠0)．(1)求证：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )；(2)求值：f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋f ⎝⎛⎭⎫14＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12 019. 解：(1)证明：∵f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1－⎝⎛⎭⎫1x 21＋⎝⎛⎭⎫1x 2＝x 2－1x 2＋1，而f (x )＝1－x 21＋x 2，∴f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )． (2)由(1)知f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝0，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋f ⎝⎛⎭⎫14＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12 019 ＝f (1)＋f (2)＝0－35＝－35.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2(a 为常数)． (1)若a ＝1，试判断f (x )的单调性并证明；(2)若f (x )在[0，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝x ＋1x ＋2＝x ＋2－1x ＋2＝1－1x ＋2，f (x )在(－∞，－2)和(－2，＋∞)上均为增函数， 证明：设x 1，x 2∈(－2，＋∞)且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝1－1x 1＋2－1＋1x 2＋2＝1x 2＋2－1x 1＋2＝x 1－x 2(x 1＋2)(x 2＋2)， ∵x 1＞－2，x 2＞－2， ∴x 1＋2＞0，x 2＋2＞0， 又x 1＜x 2， 故x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在(－2，＋∞)是增函数，同理可证：f (x )在(－∞，－2)也是增函数．(2)任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1＜x 2. 则f (x 1)－f (x 2)＝(1－2a )(x 2－x 1)(x 1＋2)(x 2＋2)＜0恒成立，∵0≤x 1＜x 2，∴x 2－x 1(x 1＋2)(x 2＋2)＞0⇒1－2a ＜0⇒a ＞12.故实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，＋∞.20．(本小题满分12分)某商场以每件42元的价格购进一种服装，根据试营销量得知，这种服装每天的销售量t (t >0，t ∈N)(件)与每件的销售价x (42<x <68，x ∈N)(元)之间可看成一次函数关系：t ＝－3x ＋204.(1)写出商场每天卖这种服装的销售利润y (元)与每件的销售价x (元)之间的函数关系式(每天的销售利润是指所卖出服装的总销售额与购进这些服装所花费金额的差)；(2)商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适？最大销售利润为多少？解：(1)由题意得，每天的销售利润y (元)与每件的销售价x (元)之间的函数关系式为y ＝(x －42)(－3x ＋204)＝－3x 2＋330x －8 568(42<x <68，x ∈N)．(2)由(1)得y ＝－3(x －55)2＋507(42<x <68，x ∈N)，则当x ＝55时，y max ＝507.即当每件的销售价定为55元时，每天可获得最大的销售利润，最大销售利润为507元． 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )和g (x )图象关于原点对称，且f (x )＝x 2＋2x . (1)求g (x )解析式；(2)若函数h (x )＝g (x )－λf (x )＋1在区间[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围． 解：(1)f (x )＝(x ＋1)2－1， ∴f (x )图象的顶点为(－1，－1)， 又f (x )和g (x )图象关于原点对称， 故g (x )图象的顶点为(1,1)． 设g (x )＝a (x －1)2＋1， 又f (x )图象过原点(0,0)， 故g (x )图象也过原点(0,0)． ∴a ＝－1，∴g (x )＝－x 2＋2x .(2)由(1)得h (x )＝－x 2＋2x －λ(x 2＋2x )＋1 ＝－(λ＋1)x 2＋2(1－λ)x ＋1，若λ＝－1，则h (x )＝4x 在[－1,1]上是增函数，若λ≠－1，则h (x )图象是一条抛物线，其对称轴为x ＝1－λ1＋λ.①若λ＞－1，则对称轴在区间[－1,1]的右侧， 即1－λ1＋λ≥1，∴－1＜λ≤0. ②若λ＜－1，则对称轴在区间[－1,1]的左侧， 即1－λ1＋λ≤－1，∴λ＜－1. 综上可知，λ取值范围是(－∞，0]．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－x 2＋mx －m . (1)若函数f (x )的最大值为0，求实数m 的值；(2)若函数f (x )在[－1,0]上单调递减，求实数m 的取值范围；(3)是否存在实数m ，使得f (x )在[2,3]上的值域恰好是[2,3]？若存在，求出实数m 的值；若不存在，说明理由．解：(1)f (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －m 22－m ＋m 24，则最大值－m ＋m24＝0，即m 2－4m ＝0，解得m ＝0或m ＝4.(2)函数f (x )图象的对称轴是直线x ＝m 2，要使f (x )在[－1,0]上单调递减，应满足m2≤－1，解得m ≤－2，故实数m 的取值范围为(－∞，－2]．(3)①当m2≤2即m ≤4时，f (x )在[2,3]上单调递减．若存在实数m ，使f (x )在[2,3]上的值域是[2,3]，则⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝3，f (3)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ －4＋2m －m ＝3，－9＋3m －m ＝2，此时无解．②当m2≥3即m ≥6时，f (x )在[2,3]上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝2，f (3)＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧－4＋2m －m ＝2，－9＋3m －m ＝3，解得m ＝6.③当2<m 2<3即4<m <6时，f (x )在[2,3]上先递增，再递减，所以f (x )在x ＝m2处取最大值，则f ⎝⎛⎭⎫m 2＝－⎝⎛⎭⎫m 22＋m ·m 2－m ＝3，解得m ＝－2或6，不符合题意，舍去． 综上可得，存在实数m ＝6，使得f (x )在[2,3]上的值域恰好是[2,3].。