中考数学一轮复习讲义第十六章分式

第十六章分式本章小结小结1 本章概述本章在已学过的分数的基础上引入了分式的概述，用类比的方法探究分式的基本性质，在熟练掌握分式的基本性质的基础上，会进行分式的约分、通分和分式的加、减、乘、除、乖方运算，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验分式方程的根．小结2 本章学习重难点【本章重点】了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；会解简单的可化为一元一次方程的分式方程.【本章难点】应用分式方程解决实际问题．小结3 中考透视本章内容在中考中主要考查判断分式有无意义，分式值为零的条件的应用，用分式基本性质进行变形，分式运算及分式的化简求值，常与实际问题结合起来命题，题型以解答题为主．知识网络结构图分式的概念分式的概念分式的意义、无意义的条件分式的值为0的条件分式的基本性质分式的基本性质分式的约分分式的通分分式的乘法规则分式的除法规则分式同分母分式的加减法法则分式的运算分式的加减法法则异分母分式的加减法法则运算性质负正数指数幂科学记数法公式方程的概念解分式方程的步骤分式方程分式方程中使最简公分母为0的解列分式方程应用题的步骤专题总结及应用一、识性专题专题1 分式基本性质的应用【专题解读】分式的基本性质是分式的化简、计算的主要依据.只有掌握好分式的基本性质，才能更好地解决问题.例1 化简(1) 2610xyx ; (2) 21xy yx --； 解：(1)26233.10255xy x y yx x x x== (2)2(1)1(1)(1)1xy y y x yx x x x --==-+-+. 【解题策略】化简一个分式时，主要是根据分式的基本性质，把分式的分子与分母同时除以它们的公因式，当分式的分子或分母是多项式时，能分解因式的一定要分解因式.例2 计算2312212422a a a a ⎛⎛⎫⎫+÷-⎪⎪---+⎭⎭⎝⎝解：2312212422a a a a ⎛⎛⎫⎫+÷-⎪⎪---+⎭⎭⎝⎝3(2)122(2)2(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)3186(2)(2)(2)(2)3.a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤++-=+÷-⎢⎥⎢⎥+-+-+-+-⎣⎦⎣⎦++=÷+-+-= 【解题策略】异分母分式相加减，先根据分式的基本性质进行通分，转化为同分母分式，再进行相加减.在通分时，先确定最简公分母，然后将各分式的分子、分母都乘以分母与最简公分母所差的因式.运算的结果应根据分式的基本性质化为最简形式.专题2 有关求分式值的问题【专题解读】对于一个分式，如果给出其中字母的值，可以先将分式进行化简，然后将字母的值代入，求出分式的值.但对于分式的求值问题,却没有直接给出其中字母的值,而只是给出其中的字母所满足的条件，这样的问题复杂，需根据其转点采用相应的方法.例3 已知13x x+=,求2421x x x -+的值.解: 因为0x ≠，所以用2x 除所求分式的分子、分母. 原式22221111113361()21x x x x====--++--. 例4 已知22230x xy y --=，且x y ≠-，求2x x y x y--的值.解: 因为22230x xy y --=， 所以()(23)0,x y x y +-=所以0x y +=或230x y +=,又因为x y ≠-,所以0x y +≠,所以230x y -=,所以2,3y x = 所以223.2727323333x x x x x x x x x y x x yx x ====------- 例5 已知345,x y y z z x ==+++求()()()xyzx y y z x z +++的值. 解: 设3451,x y y z z x k===+++ 则3,4,5,x y k y z k z x k +=+=+= 解得x =2k ，y =k ，z =3k ，所以332361()()(3456010xyz k k k k x y y z x z k k k k ===+++）.例6 已知,,x z a c y z x y ==++且abc o ≠,求111a b c a b c +++++的值. 解: 由已知得1,y za x+= 所以111,y z x y z a x x ++++=+=即1a x y z a x+++=, 所以1a xa x y z=+++, 同理,,11b y c z b x y z c x y z==++++++ 所以1111a b c x y z x y z a b c x y z x y z x y z x y z++++=++==+++++++++++. 例7 已知1,x y zy z z x x y++=+++且0x y z ++≠,求222x y z y z x z x y +++++的值. 解: 因为0x y z ++≠,所以原等式两边同时乘以x y z ++,得:()(().x x y z y x y z z x y z x y z y z z x x y++++++++=+++++） 即222()()(),x x y z y y z x z z x y x y z y z y z z x z x x y x y ++++++++=++++++++ 所以222(),x y z x y z x y z y z z x x y +++++=+++++ 所以2220.x y z y z z x x y++=+++ 【解读策略】 条件分式的求值，如需把已知条件或所示条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才能到事半功倍的效果，条件分式的求值问题体现了整体的数学思想和转化的数学思想.例8 已知,345x y z==求23x y x y z +-+的值. 分析 根据已知条件,可把,,x y z 用含有一个字母的代数式表示出来,再分别代入到所求式子中化简即可.解: 设,345x y zk ===则3,4,5x k y k z k ===. 所以34773324351010x y k k k x zy z k k k k ++===-+-⨯+⨯.【解题策略】 当代数式中的字母的比值是常数时，一般情况下都采用这种方法求分式的值.例9 已知,a b b c a c k c a b +++===求21kk +的值. 分析 只要求出k 的值就可以了,由已知条件可得,,,a b ck b c ak a c bk +=+=+=将这三个等式可加后得到2()()a b c k a b c ++=++,再通过讨论得到k 的值.解: 由已知到,,a b ck b c ak a c bk +=+=+=.三式相加得2()(),a b c k a b c ++=++即(2)()0k a b c -++=, 所以20k -=,或0a b c ++=.即2k =,或0a b c ++=. 当0a b c ++=时,a b c +=-,此时1,a bc+=-即1k =-. 所以2k =,或1k =-.当2k =时,2222;1215k k ==++ 当1k =-时,22111(1)12k k -==-+-+. 【解题策略】在得到2()(),a b c k a b c ++=++时，因为a b c ++可以等于零，所以两边不能同时除以a b c ++，否则分丢解，应进行整理，用分解因式来解决.例10 已知111,a b a b +=+求b a a b+的值. 分析 观察已知条件和所示的分式,可将它们分别进行整理,从中得到某种关系,然后求值.解: 由111,a b a b +=+得1,a b ab a b+=+ 所以2(),a b ab +=即22a b ab +=-.所以221b a a b aba b ab ab+-+===-. 例11 已知14x x+=,求下列各式的值. (1)221x x+; (2)2421x x x ++.分析 观察(1)和已知条件可知,将已知等式两边分别平方再整理,即可求出(1)的值;对于(2),直接求值很困难,根据其特点和已知条件,能够求出其倒数的值,这样便可求出(2)的值.解: (1)因为14x x +=,所以2214x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.即221216x x ++=.所以22114x x+=. (2)4242222222111114115x x x x x x x x x x ++=++=++=+=, 所以2421115x x x =++.32430a -⨯+=专题2 与增根有关的问题例12 如果方程11322x x x-+=--有增根, 那么增根是 . 分析 因为增根是使分式的分母为零的根,由分母20x -=或20x -=可得2x =.所以增根是2x =.答案: 2x =例13 若关于x 的方程2403x x ax -+=-有增根, 则a 的值为 ( ) A.13 B. –11 C. 9 D.3分析 因为所给的关于x 的方程有增根,即有30x -=, 所以增根是3x =.而3x =一定是整式240x x a -+=的根, 将其代入得32430a -⨯+=,所以3x =.答案: D例14 a 何值时,关于x 的方程223242ax x x x +=--+会产生增根? 分析 因为所给方程的增根只能是2x =或2x =-，所以应先解所给的关于x 的分式方程，求出其根，然后求a 的值.解: 方程两边都乘以(2)(2)x x +-,得2(2)3(2).x ax x +=- 整理得(1)10a x -=-. 当a = 1 时,方程无解. 当1a ≠时,101x a =--. 如果方程有增根,那么(2)(2)0x x +-=,即2x =或2x =-.当2x =时,1021a -=-,所以4a =-; 当2x =-时,1021a -=--,所以a = 6 .所以当4a =-或a = 6原方程会产生增根.专题4 利用分式方程解应用题【专题探究】 列分式方程解应用题不同于列整式方程解应用题.检验时，不仅要检验所得的解是否为分式方程的解，还要检验此解是否符合题意.例15 在“情系海啸”捐款活动中，某同学对甲、乙两班捐款情况进行统计，得到如下三条信息.信息1：甲班共捐款300 元， 乙班共挡捐款232 元.信息2: 乙班平均每人捐款钱数是甲班平均每人捐款钱数的45. 信息3 : 甲班比乙班多2人.请根据以上三条信息,求出甲班平均每人捐款多少元. 解: 设甲班平均每人捐款x 元,则乙班平均每人捐款45x 元. 根据题意, 得300232245x x =+,解这个方程得5x =. 经体验,5x =是原方程解. 例16 (08·山西) 某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，上市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第二批进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元.（1）求第一批购进书包的单价是多少？ （2）若商店销售这两批书包，每个售价都是120元，全部售出生，商店共盈利多少元？分析 设第一反批购进书包的单价为x 元，则第二批购进的书包的单价为(4)x +，第一批购进书包2000x 个，第二批购进书包63004x +个.解: 设第一批购进书包的单价为x 元. 依题意,得2000630034x x ⨯=+, 整理,得20(4)21x x +=, 解得80x =. 答: 第一批购进书包的单价为80元. 解法1: (2)20006300(12080)(12084)1000270037008084⨯-+⨯-=+=(元). 答: 商店共盈利3700元. 解法2 :2000(13)120(20006300)120008300370080⨯+⨯-+=-=(元) 答: 商店共盈利3700元.二、规律方法专题专题5 分式运算的常用讨巧（1）顺序可加法.有些异分母式可加,最简公分母很复杂,如果采用先通分再可加的方法很烦琐.如果先把两个分式相加减,把所提结果与第三个分式可加减,顺序运算下去,极为简便.(2)整体通分法,当整式与分式相加减时,一般情况下,常常把分母为1的整式看做一个整体进行通分,依此方法计算,运算简便.(3)巧用裂项法.对于分子相同、分母是相邻两个连续整数的积的分式相加减，分式的项数是比较多的，无法进行通分，因此，常用分式111(1)1n n n n =-++进行裂项.(4)分组运算法: 当有三个以上的异分母分式相加减时,可考虑分组,原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数,且值相同或为倍数关系,这样才能使运算简便.(5)化简分式法.有些分式的分子.、分母都异常时如果先通分，运算量很大.应先把每一个分别化简，再相加减.（6）倒数法求值（取倒数法）. （7）活用分式变形求值. (8)设k 求值法(参数法) (9)整体代换法. (10)消元代入法.例17 化简32411241111x x x x x x +++-+++解: 原式=33222422411242241111111x x x x x x x x x x x x x x +-+++=++-+++-++2233322444343474482(1)2(1)444(1)(1)1114(1)4(1)8.(1)(1)1x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x ++-=+=+-++-+++-==-+-例18 计算422a a -++. 解：原式24(2)(2)41222a a a a a a -+-=+=++++ 2(2)(2)422a a a a a +-+==++例19 计算3211x x x x +-+-. 解：原式3232(1)(1)1111x x x x x x x x x x -++=++-=---- 331111x x x x --==---.例20 计算1111.(1)(1)(2)(2)(3)(2005)(2006)a a a a a a a a +++++++++++解:原式111111111122320052006a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--++- ⎪ ⎪⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21111111111223200520061120062006(2006)(2006)2006.2006a a a a a a a a a a a a a a a a a a=---+-++-+++++++=-++=-++=+【解题策略】要注意裂项法解分式是，常用分式111(1)1n n n n =-++.例12 计算22221111.23243x x x x x x x x x +--+++++++ 解: 原式22221111322143x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭2222221111(1)(1)(2)(1)(1)(3)(2)(3)(1)(1)(2)(1)(3)22(1)(2)(1)(3)2(1)(3)2(2)(1)(2)(3)2(263).(1)(2)(3)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=-+-⎢⎥⎢⎥++++++⎣⎦⎣⎦+-+-+=+++++=++++++++=+++++=+++ 例22已知x =求2111.242x x x +-+-- 解: 原式222111(2)(2)122444x x x x x x x --+=-+=++---- 222413444x x x --=+=---.当x =原式2== 例23 计算22223652.3256x x x x x x x x ++++-++++ 解: 原式2244113256x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭2244325644(1)(2)(2)(3)4(3)4(1)(1)(2)(3)(2)(3)(1)816(1)(2)(3)8.(1)(3)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++=+++++++=++++++++=+++=++例24 已知271xx x =-+,求2421x x x ++的值. 解: 因为271xx x =-+,所以0a ≠, 所以2117x x x -+=,即187x x +=, 所以 242222111151149x x x x x x x ++⎛⎫=++=+-= ⎪⎝⎭所以 24215149x x x =++. 【解题策略】在求代数式的值时，有时所给条件或所求代数式不易化简变形，当把代数式的分子、分母颠倒后，变形就容易了，这样的问题通常采用倒数法（把分子、分母倒过来）求值.例25 已知2510x x -+=和0x ≠,求441x x+的值. 解: 由2510x x -+= 和0x ≠ ,提15x x+=, 所以24242112x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭2222122(52)2527x x ⎡⎤⎛⎫=+--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=--= 【解题策略】 若能对分式进行熟练的变形运用，可给解题带来极大的方便. 例26 已知,b c c a a ba b c +++==求()()()abc a b b c c a +++的值. 解: 设b c c a a b k a b c+++===, 所以,,b c ak c a bk a b ck +=+=+= 所以,b c c a a b ak bk ck +++++=++所以2()(),()(2)0,a b c k a b c a b c k ++=++++-= 即2k =或()0,a b c ++=当2k =,所求代数式33118abc abck k ===,当0a b c ++=,所求代数式1=-.即所求代数式等于18或1-.【解题策略】当已知条件以此等式出现时，可用设k 法求解.例27 已知111111111,,,6915a b b c a c +=+=+=求abcab bc ac ++的值. 解:因为 111111111,,,6915a b b c a c +=+=+=各式可加得1111112,6915a b c ⎛⎫++⨯=++ ⎪⎝⎭所以11131180a b c ++=， 所以()1180.111()()31abc abc abc ab bc ac ab bc ac abc c a b÷===++++÷++例28 若4360,27,x y z x y z --=+-求232232522310x y z x y z ----的值.分析 消元法首选方法，即把其中一个未知数视为常量.解：以x, y 为主元，将已知两等式化为所以原式222222592413293410z z z z z z⨯+⨯-==-⨯-⨯-. 三、思想方法专题 专题6 整体思想【专题解读】在进行分式运算时要重视括号的作用，即在计算时括号内的部分是一个整体，另外在分式的运算以及解方程时要注意符号的作用.例29 请先将下列代数式化简，再选择一个你喜欢又使原式有意义和数代入求值.21111121a a a a a -⎛⎫-÷ ⎪---+⎝⎭ 分析 先化简，再代入使10a -≠的数a 求值. 解原式22111(1)(1)111(1)1a a a a a a a a a --⎛⎫-÷=+=-⎪--+-⎝⎭. 取10a =，则原式= 9 . 【解题策略】将1化为11a a --进行减法运算，计算时要注意分子1a -是一个整体. 436,27,x y z x y z -=+=所以3,2,x y y z ==2011中考真题精选 一、选择题1. （2011广东珠海，5，3分）若分式ba a＋2的a 、b 的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值 （ ）A ．是原来的20倍B ．是原来的10倍C ． 是原来的101倍 D ．不变 考点：分式的基本性质 专题：分式分析：根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变；可知该运算中分式的值没有改变，故选D ．解答：D点评：抓住分式的基本性质，分式的基本性质是分式通分、约分的依据．（1）在运用分式的基本性质进行通分或约分时，容易漏掉分子或分母中的某一项，从而出现运算错误．（2）分式本身、分子和分母三个当中，任意改变其中的两个符号，分式值不变，这也是一个易错点．2. 计算-22+（-2）2-（- 12）-1的正确结果是（ ）A 、2B 、-2C 、6D 、10 考点：负整数指数幂；有理数的乘方．分析：根据负整数指数幂和有理数的乘方计算即可． 解答：解：原式=-4+4+2=2． 故选A ．点评：本题考查了有理数的乘方以及负整数指数幂的知识，当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．3. （2011四川遂宁，2，4分）下列分式是最简分式的（ ）Ａ．b a a 232 B ．a a a32- C ．22b a b a ++ D ．222b a ab a --考点：最简分式；分式的基本性质；约分。