湖北省武汉襄阳荆门宜昌四地六校考试联盟2021届高三起点联考数学试卷(含答案)
2021“荆、荆、襄、宜”四地七校高三联考数学试题及参考答案
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的.
1.若集合 A {2, 1,0,1, 2} ，集合 B {x | y log2(1 x)} ，则 A B （ ）
围是
．
15.
若函数
f
x
2x
1 20
x2
x
ห้องสมุดไป่ตู้
0
的零点为
x0
，且
x0
a,a
1，
a
Z
，则 a 的值为______．
16. 已知等差数列 an 的公差 d 不为 0，等比数列bn 的公比 q 是小于 1 的正有理数，若 a1＝b1＝d，且
a1 b1
a2 b2
a4 b3
是正整数，则
q
=______．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
轴于点 P，试判断
PF1 AB
是否为定值?
若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
21.（本题满分 12 分）某款游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么 不出现音乐；每盘游戏击鼓三次，若出现一次音乐获得 1 分，若出现两次音乐获得 2 分，若出现三次 音乐获得 5 分，若没有出现音乐则扣 15 分(即获得－15 分)．设每次击鼓出现音乐的概率为1，且各次 2 击鼓出现音乐相互独立．
D.若正实数
x，y
满足
x
2
y
1 ，则
2 x
湖北省“荆、荆、襄、宜“四地七校联盟2021届高三上学期期中联考数学试题
2020年秋“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三期中联考数 学 试 题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{2,1,0,1,2}A =--，集合2{|log (1)}B x y x ==-，则A B =（ ）A. {2}B. {1,2}C. {2,1,0}--D. {2,1,0,1}--2.在一幢20 m 高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高是( ) A ．20⎪⎪⎭⎫⎝⎛+331mB ．20(1＋3)mC ．10(6＋2)mD ．20(6＋2)m3．设3log 21=a ，3)21(=b ，213=c ，则( )A.c b a <<B.a b c <<C.b a c <<D.c a b << 4．已知命题p ，x ∀∈R ，12xx e e+≥，则p ⌝为（ ）A ．x ∃∈R ，12xx e e +≥ B ．x ∃∈R ，12xx e e+<C ．x ∃∈R ，12xxe e +≤ D ．x ∀∈R ，12xx ee+≤ 5. 函数ln ()x xf x x=的大致图象为（ ）A B C D6．若函数f (x )＝sinx ·ln (mx ＋241x +)的图象关于y 轴对称，则实数m 的值为（ ）A ．2B ．4C ．±2D ．±47．等差数列{}n a 中，已知70a >，390a a +<，则{}n a 的前n 项和n S 的最小值为（ ）A. 4SB. 5SC. 6SD. 7S8. 设函数()e 3x f x x a =+-.若曲线sin y x =上存在点()00,x y ，使得()()00f f y y =，则实数a 的取值范围是（ ） A. []1,e 2+B. 1e 3,1-⎡⎤-⎣⎦C. []1,e 1+D. 1e 3,e 1-⎡⎤-+⎣⎦二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9.下列选项中正确的是（ ） A.不等式a b +≥B.存在实数a ，使得不等式12a a+≤成立C.若a 、b 为正实数，则2b aa b+≥D.若正实数x ，y 满足21x y +=，则218xy+≥ 10. 已知等比数列{}n a 的公比为q ，前4项的和为114a +，且2a ，31a +，4a 成等差数列，则q 的值可能为（ ）A.12B. 1C. 2D. 311. 已知函数()cos(2)f x x ϕ=+(π||2ϕ<)，()()()F x f x f x '=为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是（ ）A. tan ϕ=B.()f x 在[,]a a -上存在零点，则a 的最小值为π6C.()F x 在π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D.()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭有且仅有一个极大值点12．设函数ln ,0()(1),0x x x f x e x x ⎧>=⎨+≤⎩，若方程21[()()01]6f x af x -+=有六个不等的实数根，则实数a 可取的值可能是（ ）A ．12 B ．23C ．1D ．2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知2,0()22,0x x x f x x ⎧<=⎨-⎩则((2))f f -=________．14. 已知x ∈R ，条件p ：x 2＜x ，条件q ：x1≥a （a ＞0），若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ． 15. 若函数()()212020x f x x x =-<的零点为0x ，且()0,1x a a ∈+，a Z ∈，则a 的值为______． 16.已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，等比数列{}n b 的公比q 是小于1的正有理数，若a 1＝b 1＝d ，且124123a a ab b b ++++是正整数，则q =______．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）已知ABC ∆的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，()cos cos sin C a B b A c C +=②sin sin 2A B a c A +=③()22sin sin sin sin sin B A C B A -=- 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，当_______时，求sin sin A B ⋅的最大值.18.（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2，n a ，n S 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n b n a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19.（本题满分12分）如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，DE ＝3AF ，BE与平面ABCD 所成角为60°. （1）求证：AC ⊥平面BDE ； （2）求二面角F―BE―D 的余弦值．20.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，A 为椭圆上一动点（异于左右顶点），12AF F ∆．（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点1F 的直线l (l 的斜率存在且不为0）与椭圆C 相交于B A ,两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点P ，试判断1PF AB 是否为定值? 若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21.（本题满分12分）某款游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次，若出现一次音乐获得1分，若出现两次音乐获得2分，若出现三次音乐获得5分，若没有出现音乐则扣15分(即获得－15分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．（1）设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列． （2）玩三盘此游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的人发现，若干盘游戏后，与最初的得分相比，得分没有增加反而减少了．请你分析得分减少的原因．22.（本题满分12分）已知函数()3423223+-=x x x f ，()()R x ax e x g x∈-=． （1）若()x f 在区间[]1,5--a a 上的最大值为34，求实数a 的取值范围； （2）设()()123+-=x x f x h ，()()()()()()()⎩⎨⎧>≤=x g x h x g x g x h x h x F ,,，记n x x x ,,21为()x F 从小到大的零点，当3e a ≥时，讨论()x F 的零点个数及大小.。
湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校联盟”2021届高三数学上学期10月联考试题 理(含解析)
湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校联盟”2021届高三数学上学期10月联考试题 理（含解析）本试卷共4页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请将正确的答案填涂在答题卡上。
） 1.设集合{}|3,xA y y x R ==∈，{}|B x y x R ==∈，则AB =（）A. 12⎧⎫⎨⎬⎩⎭B. ()0,1C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】集合A 表示函数3,xy x R =∈的值域，集合B表示函数y =域、值域的求法，求出集合A 、B ，再求AB 即可.【详解】解：因为3,xy x R =∈，则0y >，即()0,A =+∞，又y =，x ∈R ,由120x -≥，解得12x ≤，即1,2B ⎛⎤=-∞ ⎥⎝⎦，即AB =10,2⎛⎤⎥⎝⎦，故选D.【点睛】本题考查了函数的定义域、值域的求法，重点考查了集合交集的运算，属基础题.2.函数()332,0log 6,0x x f x x x ⎧->=⎨+≤⎩的零点之和为（）A. -1B. 1C. -2D. 2【答案】A 【解析】 【分析】由函数零点与方程的根的关系可得函数()332,0log 6,0x x f x x x ⎧->=⎨+≤⎩的零点即方程320x -=，3log 60x +=的根，解方程后再将两根相加即可得解.【详解】解：令320x -=，解得3log 2x =， 令3log 60x +=，解得3log 6x =-， 则函数()f x 的零点之和为3331log 2log 6log 13-==-， 故选A.【点睛】本题考查了分段函数零点的求解，重点考查了对数的运算，属基础题.3.若ln 2a =，125b -=，201cos 2c xdx π=⎰，则a ，b ，c 的大小关系（）A. a b c <<B. b a c <<C. c b a <<D.b c a <<【答案】D 【解析】 【分析】由定积分的运算可得c =1sin 2x |20π=11(sin sin 0)222π-=，再由以e为底的对数函数的单调性可得1ln 22a =>=，再由以12y x -=的单调性可得11221542b --=<=，比较即可得解. 【详解】解：201cos 2c xdx π=⎰=1sin 2x |20π=11(sin sin 0)222π-=，又 11221542b --=<=，1ln 22a =>=，即b c a <<，故选D.【点睛】本题考查了定积分的运算、对数值比较大小，指数幂比较大小，重点考查了不等关系，属中档题. 4.下列四个结论：①若点()(),20P a a a ≠为角α终边上一点，则sin α=②命题“存在0x R ∈，2000x x ->”的否定是“对于任意的x ∈R ，20x x -≤”； ③若函数()f x 在()2019,2020上有零点，则()()201920200f f ⋅<； ④“log 0a b >（0a >且1a ≠）”是“1a >，1b >”的必要不充分条件. 其中正确结论的个数是（） A. 0个 B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C 【解析】 【分析】对于①，由三角函数的定义，讨论0a >，0a <即可； 对于②，由全称命题与特称命题的关系判断即可得解； 对于③，由零点定理，需讨论函数在()2019,2020是否单调； 对于④，由充分必要性及对数的运算即可得解.【详解】解：对于①，当0a >时，有sin α===当0a <时，有sin α===对于②，命题“存在0x R ∈，2000x x ->”的否定是“对于任意的x ∈R ，20x x -≤”；由特称命题的否定为全称命题，则②显然正确；对于③，若函数()f x 在()2019,2020上有零点，则()()201920200f f ⋅<；若函数在()2019,2020为单调函数，则必有()()201920200f f ⋅<，若函数在()2019,2020不单调，则必有()()201920200f f ⋅<，不一定成立，即③错误；对于④，当“1a >，1b >”时，可得到“log 0a b >（0a >且1a ≠）”，当“log 0a b >（0a >且1a ≠）”时，则“1a >，1b >”或“01a <<，01b <<”， 即④正确， 故选C.【点睛】本题考查了三角函数的定义、全称命题与特称命题、零点定理及充分必要条件，重点考查了逻辑推理能力，属综合性较强的题型. 5.已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，且()1tan 3αβ+=，则tan β的值为（）A. -7B. 7C. 1D. -1【答案】B 【解析】 【分析】由了诱导公式得sin 2cos αα=-，由同角三角函数的关系可得tan 2α，再由两角和的正切公式()tan αβ+=tan tan 1tan tan αβαβ+-，将tan 2α代入运算即可.【详解】解：因为()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+⎪⎝⎭， 所以sin 2cos αα=-，即tan 2α，又()1tan 3αβ+=， 则tan tan 11tan tan 3αβαβ+=-，解得tan β= 7， 故选B.【点睛】本题考查了诱导公式及两角和的正切公式，重点考查了运算能力，属中档题.6.已知()121sin 221xx f x x x -⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭，则函数()y f x =的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】由函数解析式可得()()f x f x =-，则函数()y f x =为偶函数，其图像关于y 轴对称，再取特殊变量4π得04f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，即可得在()0,∞+存在变量使得()0f x <，再观察图像即可. 【详解】解：因为()121sin 221xx f x x x -⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭，则()121sin 221x x f x x x ---⎛⎫-=-+⋅ ⎪+⎝⎭=121sin 221xx x x -⎛⎫-⋅ ⎪+⎝⎭，即()()f x f x =-，则函数()y f x =为偶函数，其图像关于y 轴对称，不妨取4x π=，则 ()44221(08221f x πππ-=-<+，即在()0,∞+存在变量使得()0f x <， 故选D.【点睛】本题考查了函数奇偶性的判断及函数的图像，重点考查了函数的思想，属中档题. 7.若函数()()()3,af x m xm a R =+∈是幂函数，且其图像过点(2，则函数()()2log 3a g x x mx =+-的单调递增区间为（）A. (),1-∞-B. (),1-∞C. ()1,+∞D. ()3,+∞【解析】 【分析】由幂函数的定义可得31m +=，由其图像过点(，则2α=，即12α=， 由复合函数的单调性有：()y g x =的单调递增区间等价于223,(0)t x x t =-->的减区间， 一定要注意对数的真数要大于0，再求单调区间即可. 【详解】解：因为()()()3,af x m x m a R =+∈，则31m +=，即2m =-，又其图像过点(，则2α=12α=， 则()()212log 23g x x x =--， 由复合函数的单调性有：()()212log 23g x x x =--的单调递增区间等价于223,(0)t x x t =-->的减区间，又223,(0)t x x t =-->的减区间为(),1-∞-，故选A.【点睛】本题考查了幂函数的定义及复合函数的单调性，重点考查了对数的真数要大于0，属中档题.8.将函数()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭的图象向右平移6π，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（） A. 函数()g x 的图象关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭对称 B. 函数()g x 的最小正周期为2π C. 函数()g x 的图象关于直线6x π=对称D. 函数()g x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【解析】 【分析】由三角函数图像的平移变换及伸缩变换可得()sin()6g x x π=-，再结合三角函数的周期、单调区间、对称轴、对称点的求法求解即可. 【详解】解：将函数()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭的图象向右平移6π，所得图像的解析式为 sin[2()]sin(2)666y x x πππ=-+=-，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则()sin()6g x x π=-，令6x k ππ-=，则6x k ππ=+，即函数()g x 的图象关于点,06k ππ⎛+⎫⎪⎝⎭，k Z ∈对称,即A 错误； 令62x k πππ-=+，则23x k ππ=+，即函数()g x 的图象关于直线23x k ππ=+，k Z ∈对称,及C 错误；由221T ππ==，即C 错误； 令 22262k x k πππππ-≤-≤+，得22233k x k ππππ-≤≤+，即函数()g x 的单调递增区间为22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，故D 正确， 故选D.【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换及伸缩变换，重点考查了三角函数图像的性质，属中档题.9.已知定义在R 上函数()f x 满足对任意x ∈R 都有()()110f x f x ++-=成立，且函数()1f x +的图像关于直线1x =-对称，则()2019f =（）A. 0B. 2C. -2D. -1【答案】A【分析】由()()110f x f x ++-=，可得()()20f x f x ++-=， 又由函数()1f x +的图像关于直线1x =-对称，可得函数()f x 的图像关于y 轴对称，即()()f x f x =-，再结合函数对称性及奇偶性可得函数的周期为4，再运算即可.【详解】由()()110f x f x ++-=，则()()20f x f x ++-=，① 又函数()1f x +的图像关于直线1x =-对称，则函数()f x 的图像关于y 轴对称，即()()f x f x =-，②联立①②可得()()4f x f x =+，即函数()f x 的周期为4， 即()2019f =(50541)(1)f f ⨯-=-， 又因为()()110f x f x ++-=，令0x =得(1)0f =，又函数()f x 的图像关于y 轴对称，则(1)0f -=， 即()2019f =0， 故选A.【点睛】本题考查了函数的对称性、奇偶性、周期性及利用函数的性质求值，属中档题. 10.已知函数()()sin xf x e x a =-有极值，则实数a 的取值范围为（）A. ()1,1-B. []1,1-C. ⎡⎣D.(【答案】D 【解析】 【分析】 由函数()()sin xf x ex a =-有极值，等价于sin cos x x a +-=0有变号根，即()0>g x ，()0<g x均有解，又()g x a a ⎡⎤∈⎣⎦，即0a a ⎧<⎪>，运算即可得解.【详解】解：因为()()sin xf x e x a =-，所以()()'sin cos x fx e x x a =+-，令()sin cos g x x x a =+-， 由函数()()sin xf x ex a =-有极值，则sin cos x x a +-=0有变号根， 即()0>g x ，()0<g x 均有解，又()sin cos )4g x x x a x a π=+-=+-，即()g x a a ⎡⎤∈⎣⎦，即0a a ⎧<⎪>，即a << 故选D.【点睛】本题考查了导数的运算、函数的极值及三角函数的值域，重点考查了方程有解问题，属中档题.11.设函数()22cos f x x x =+，[]1,1x ∈-，则不等式()()12f x f x ->的解集为（）A. 1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 11,32⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】由()2()2cos()f x x x -=-+-=22cos ()x x f x +=，即函数()f x 为偶函数，由()'2(sin )0fx x x =-≥在[]0,1x ∈恒成立，即函数()f x 在[]0,1为增函数，再结合函数的性质解不等式11112112x x x x ⎧-≤-≤⎪-≤≤⎨⎪->⎩即可得解.【详解】解：因为函数()22cos f x x x =+，[]1,1x ∈-，所以()2()2cos()f x x x -=-+-=22cos ()x x f x +=，即函数()f x 为偶函数， 又()'2(sin )0fx x x =-≥在[]0,1x ∈恒成立，即函数()f x 在[]0,1为增函数， 又()()12f x f x ->，则11112112x x x x⎧-≤-≤⎪-≤≤⎨⎪->⎩，解得103x ≤<，即不等式()()12f x f x ->的解集为10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭故选B.【点睛】本题考查了函数的奇偶性及利用导数研究函数的单调性，重点考查了函数性质的应用，属中档题.12.已知函数()f x 在R 上可导，其导函数为()'f x ，若函数()f x 满足：()()()1'0x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，()()222xf x f x e --=，则下列判断一定正确的是（） A. ()()10f ef < B. ()()12ef f < C. ()()303e f f >D.()()514e f f -<【答案】C 【解析】 【分析】先设函数()()xf xg x e =，求导可得函数()g x 在(,1)-∞为增函数，()g x 在(1,)+∞为减函数，再由2(2)()xx f x f x e e--=，得()(2)g x g x =-，即函数()g x 的图像关于直线1x =对称，再结合函数()g x 的性质逐一判断即可.【详解】解：令()()x f x g x e = ，则''()()()xf x f xg x e-= 因为()()()1'0x f x f x --<⎡⎤⎣⎦， 所以当1x >时，'()0g x <，当1x <时，'()0g x >，即函数()g x 在(,1)-∞为增函数，()g x 在(1,)+∞为减函数，又()()222xf x f x e--=，所以2(2)()xx f x f x e e--=， 则 ()(2)g x g x =-，即函数()g x 的图像关于直线1x =对称，则(0)(1)g g <，即()()10f ef >即A 错误；(1)(2)g g >，即()()12ef f >即B 错误；(0)(3)g g >，即03(0)(3)f f e e>，即()()303e f f >，即C 正确；(1)(4)g g ->，即()()514e f f ->，即D 错误.故选C.【点睛】本题考查了分式函数求导、利用导数的符号研究函数的单调性，再结合函数的单调性、对称性判断值的大小关系，重点考查了函数的性质，属中档题. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设函数()3ln 2f x x x x =+，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是___________．【答案】750x y --= 【解析】 【分析】先求函数()f x 的导函数()'fx ，再由导数的几何意义，求()'17f =，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线的斜率为7，再由直线的点斜式方程求解即可.【详解】解：因为()3ln 2f x x x x =+，所以()'2ln 16fx x x =++，则()'21ln11617f =++⨯=，即曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是27(1)y x -=-，即750x y --=， 故答案为750x y --=.【点睛】本题考查了导数的几何意义、直线的点斜式方程，重点考查了导数的应用及运算能力，属基础题.14.已知函数()(()32log 1f x ax x a R =++∈且()13f =-，则()1f -=__________．【答案】5 【解析】 【分析】先观察函数()f x 的结构，再证明()()2f x f x +-=，再利用函数的性质求解即可.【详解】解：因为()(32log 1f x ax x =++，所以()(332()log ()log(22f x f x ax x a x x +-=+++-+-++=，又()13f =-，则()1f -=2(1)235f -=+=， 故答案为5.【点睛】本题考查了对数的运算及函数()f x 性质的判断，重点考查了观察能力及逻辑推理能力，属中档题.15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 且满足sin b C a =，22285a cb ac +-=，则tan C =___________．【答案】-3 【解析】 【分析】由余弦定理可得cos 45B =，3sin 5B =， 再由正弦定理可得sin sin sin cos cos sin BC B C B C =+， 再结合运算即可得解.【详解】解：因为22285a cb ac +-=， 则2224cos 25a cb B ac +-==，则3sin 5B =，又因为sin b C a =，则sin sin sin B C A =，则sin sin sin sin()sin cos cos sin B C A B C B C B C ==+=+， 将cos 45B =，3sin 5B =代入得，sin 3cosC C =-,即sin tan 3cos CC C==-， 故答案为-3.【点睛】本题考查了利用正弦定理、余弦定理进行边角互化，重点考查了两角和的正弦公式及运算能力，属中档题. 16.若函数()22xk f x e x kx =-+在[]0,2上单调递增，则实数k 的取值范围是________． 【答案】21,e ⎡⎤-⎣⎦【解析】 【分析】 由()'x fx e kx k =-+，利用导数再分情况讨论当0k ≤，当2k e ≥，当01k <≤时，当21k e <<时函数()xg x e kx k =-+的最小值，即可求得实数k 的取值范围.【详解】解：由()22xk f x e x kx =-+， 则()'x fx e kx k =-+，由函数()f x 在[]0,2上单调递增， 则()'0x fx e kx k =-+≥在[]0,2恒成立，设()xg x e kx k =-+，[]0,2x ∈①当0k ≤时，()xg x e kx k =-+，[]0,2x ∈为增函数，要使()0g x ≥，则只需()00g ≥，求得10k -≤≤， ②由()'xg x e k =-，1 当2k e ≥时，()'0g x ≤，即函数()g x 为减函数，即()2min (2)g x g e k ==-，要使()0g x ≥，则只需()2min 0g x e k =-≥，即2k e =，2当01k <≤时，有()'0xg x e k =-≥，即函数()g x 为增函数，要使()0g x ≥，则只需()min (0)10g x g k ==-≥，即01k <≤，3当21k e <<时，有当0ln x k <<时，()'0g x <，当2ln k x e <<时，()'0g x >，即函数()g x 在(0,ln )k 为减函数，在2(ln ,)k e 为增函数，即()min (ln )2ln g x g k k k k ==-，要使()0g x ≥，则只需()min 2ln 0g x k k k =-≥， 即2k e <，综上可得实数k 的取值范围是21,e ⎡⎤-⎣⎦，故答案21,e ⎡⎤-⎣⎦.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，函数的最值，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属综合性较强的题型.三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.在ABC ∆中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos cos a c Cb B-=. （1）求角B 的大小；（22sin cos 222C A A-的取值范围.【答案】（1）3B π=（2）44⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角可得2sin sin cos sin cos A C CB B-=，再由两角和的正弦可得2sin cos sin A B A =，即得1cos 2B =，得解；（2）2sin cos 222C A A -=1cos 26C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再结合203C π<<求解即可. 【详解】解：（1）由2cos cos a c C b B -=得到2sin sin cos sin cos A C CB B-=， 即()2sin cos sin A B B C =+，即2sin cos sin A B A =， 又∵A 为三角形内角，∴sin 0A ≠，所以1cos 2B =，从而3B π=.（2)21sin cos cos 1sin 22222C A A C A -=+-12sin 23C C ⎛⎫=--+⎪⎝⎭π11sin cos 442262C C C π⎛⎫=-+=++⎪⎝⎭， ∵203C π<<，∴5666C <+<πππ，∴cos 262C ⎛⎫<+< ⎪⎝⎭π，所以1cos 42624C π⎛⎫<++<⎪⎝⎭.2sin cos 222C A A-的取值范围为44⎛ ⎝⎭. 【点睛】本题考查了正弦定理、正弦与余弦的二倍角公式及三角函数求值域问题，重点考查了运算能力，属中档题.18.湖北省第二届（荆州）园林博览会于2021年9月28日至11月28日在荆州园博园举办，本届园林博览会以“辉煌荆楚，生态园博”为主题，展示荆州生态之美，文化之韵，吸引更多优秀企业来荆投资，从而促进荆州经济快速发展.在此次博览会期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放荆州市场.已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台．．．．．需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x 万台且全部售完，每万台．．．的销售收入()G x （万元）与年产量x （万台）满足如下关系式：()()1802,0202000900070,201x x G x x x x x -<≤⎧⎪=⎨+->⎪+⎩.（1）写出年利润()W x （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本） （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润.【答案】（1）()W x 2210050,0209000101950,201x x x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪+⎩（2）当年产量为29万台时，该公司获得的利润最大为1360万元 【解析】 【分析】（1）先阅读题意，再建立起年利润()W x 关于年产量x 的函数解析式即可；（2）利用配方法求二次函数的最值可得当020x<≤时()()22251200W x x=--+，即()()max201150W x W==，再利用重要不等式可得当90011xx+=+即29x=时()max1360W x=，再比较两段上的最大值即可得解.【详解】解：（1）()()8050W x xG x x=--2210050,0209000101950,201x x xx xx⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪+⎩.（2）当020x<≤时()()222100502251200W x x x x=-+-=--+，∴()()max201150W x W==.当20x>时()90010119601W x xx⎛⎫=-+++⎪+⎝⎭()9001021196013601xx≤-⨯+⨯+=+，当且仅当90011xx+=+即29x=时等号成立，∴()()max291360W x W==.∵13601150>，∴当年产量为29万台时，该公司获得的利润最大为1360万元.【点睛】本题考查了分段函数及分段函数的最值，主要考查了重要不等式，重点考查了阅读能力及解决实际问题的能力，属中档题.19.已知在多面体ABCDE中，DE AB∥，AC BC⊥，24BC AC==，2AB DE=，DA DC=且平面DAC⊥平面ABC.（1）设点F为线段BC的中点，试证明EF⊥平面ABC；（2）若直线BE与平面ABC所成的角为60，求二面角B AD C--的余弦值.【答案】（1）详见解析（23【解析】【分析】（1）由四边形DEFO 为平行四边形.∴EF DO ，再结合DO ⊥平面ABC ，即可证明EF ⊥平面ABC ；（2）由空间向量的应用，建立以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 所在直线为z 轴的空间直角坐标系，再求出平面ADC 的法向量()0,1,0m =，平面ADB的法向量()23,n =，再利用向量夹角公式求解即可. 【详解】（1）证明：取AC 的中点O ，连接EF ，OF ， ∵在DAC ∆中DA DC =，∴DO AC ⊥.∴由平面DAC ⊥平面ABC ，且交线为AC 得DO ⊥平面ABC . ∵O ，F 分别为AC ，BC 的中点，∴OF AB ，且2AB OF =.又DE AB ∥，2AB DE =，∴OFDE ，且OF DE =.∴四边形DEFO 为平行四边形.∴EF DO ，∴EF ⊥平面ABC .（2）∵DO ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，∴以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系.则()1,0,0A ，()1,0,0C -，()1,4,0B -. ∵EF ⊥平面ABC ，∴直线BE 与平面ABC 所成的角为60EBF ∠=. ∴tan 6023DO EF BF ===(D . 可取平面ADC 的法向量()0,1,0m =，设平面ADB 的法向量(),,n x y z =，()2,4,0AB=-，(AD =-，则2400x y x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =，则x =y =()23,n =， ∴3cos ,m n m n m n⋅<>==， ∴二面角B AD C--余弦值为4.【点睛】本题考查了线面垂直的判定及利用空间向量求解二面角的大小，重点考查了空间想象能力，属中档题.20.如图，过点()2,0P 作两条直线2x =和l ：()20x my m =+>分别交抛物线22y x =于A ，B和C ，D （其中A ，C 位于x 轴上方），直线AC ，BD 交于点Q .（1）试求C ，D 两点的纵坐标之积，并证明：点Q 在定直线2x =-上； （2）若PQC PBDS S λ∆∆=，求λ的最小值.【答案】（1）详见解析（2）223 【解析】 【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程求得2240y my --=，从而可得124y y =-，再由点斜式方程求得直线AC 的方程为()12222y x y -=-+，直线BD 的方程为()22222y x y +=--，消去y 求出2x =，得解； （2）由题意有()()111222PQC PBDS x x S x λ∆∆+==-，再令()120t x t =->，则432t tλ=++，再由重要不等式求最小值即可得解.【详解】解：（1）将直线l 的方程2x my =+代入抛物线22y x =得：2240y my --=， 设点()11,C x y ，()22,D x y ，则124y y =-.由题得()2,2A ，()2,2B -，直线AC 的方程为()12222y x y -=-+， 直线BD 的方程为()22222y x y +=--，消去y 得()12121224y y y yx y y -+=-+， 将124y y =-代入上式得2x =-，故点Q 在直线2x =-上. （2）∵()111222PQC S AP x x ∆=+=+，()221222PBD S BP x x ∆=-=-， 又221212164224y y x x =⋅==，∴()()111121122242222PQC PBDS x x x x S x x x λ∆∆+++====---. 令()120t x t =->，则()()2443322t t t ttλ++==++≥，当且仅当t =即12x =+λ取到最小值3.【点睛】本题考查了直线过定点问题及三角形面积公式，重点考查了圆锥曲线的运算问题，属中档题.21.已知函数()()()1sin cos 2f x a x x x x a R =--∈，()()'g x f x =（()'f x 是()f x 的导函数），()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为12π-.（1）求实数a 的值；（2）判断函数()f x 在()0,π内的极值点个数，并加以证明. 【答案】（1）1a =（2）()f x 在()0,π上共有两个极值点，详见解析 【解析】 【分析】（1）先求得()()1'sin 2g x f x ax x ==-，再求得()()'sin cos g x a x x x =+，再讨论a 的符号，判断函数()g x 的单调性，再求最值即可得解；（2）利用（1）的结论，结合()1002g =-<，10222g ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，由零点定理可()g x 在0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦上有且仅有一个变号零点；再当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由导数的应用可0,2x ππ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使()0'0g x =，即()g x 在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在()0,x π上单调递减，再结合特殊变量所对应的函数值的符号可得()g x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一个变号零点，综合即可得解. 【详解】解：（1）由()()()1sin cos 2f x a x x x x a R =--∈ 则()()1'sin 2g x f x ax x ==-， 则()()'sin cos g x a x x x =+， ①当0a =时()12g x =-，不合题意，舍去. ②当0a <时()'0g x <，∴()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴()()max11022g x g π-==-≠，不合题意，舍去.③当0a >时()'0g x >，∴()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()max 112222a g x g πππ-⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，解得1a =， ∴综上：1a =.（2）由（Ⅰ）知()1sin 2g x x x =-，()'sin cos g x x x x =+， 当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()g x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，()1002g =-<，10222g ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭， ∴()g x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上有且仅有一个变号零点；当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()''2cos sin 0g x x x x =-<，∴()'g x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.又'102g π⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()'0g ππ=-<， ∴0,2x ππ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使()0'0g x =且当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()'0g x >，当()0,x x π∈时()'0g x <， ∴()g x 在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在()0,x π上单调递减. 又10222g ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，()002g x g π⎛⎫>> ⎪⎝⎭，()102g π=-<，∴()g x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有一个变号零点.∴()g x 在0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦和,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上各有一个变号零点，∴()f x 在()0,π上共有两个极值点. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性及最值，主要考查了零点定理，重点考查了函数的思想及运算能力，属综合性较强的题型.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin 0ρθθ-=，P 点的极坐标为3,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，在平面直角坐标系中，直线l 经过点P ，且倾斜角为60.（1）写出曲线C 的直角坐标方程以及点P 的直角坐标；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求11PA PB+的值.【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为24x y =；P 点的直角坐标为()0,3（2）6 【解析】【分析】（1）由极坐标与直角坐标的互化可得C 的直角坐标方程为24x y =，P 点的直角坐标为()0,3P ；（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，利用直线的参数方程中t 的几何意义1212PA PB t t t t +=+=-，再求解即可.【详解】解：（1）曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为24x y =， P 点的极坐标为：3,2P π⎛⎫ ⎪⎝⎭，化为直角坐标为()0,3P . （2）直线l 的参数方程为cos 33sin 3x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即123x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）， 将l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得21124t =+，整理得：2480t --=，显然有>0∆，则1248t t ⋅=-，12t t += 121248PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅=，1212PA PB t t t t +=+=-==所以116PA PB PA PB PA PB ++==⋅. 【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标的互化，直线的参数方程及，直线的参数方程中t 的几何意义，属中档题.23.已知函数()5f x x =-，()523g x x =--.（1）解不等式()()f x g x <；（2）若存在x ∈R 使不等式()()2f x g x a -≤成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()1,3（2）2a ≥【解析】【分析】（1）由绝对值的意义，分别讨论5x ≥，352x ≤<，32x <即可； （2）原命题等价于()()2f x g x -的最小值小于或等于a ，再利用绝对值不等式的性质可得()()2f x g x -=()2102352102352x x x x =-+--≥----=.即()()2f x g x -的最小值为2，即可得解.【详解】解：（1）原不等式即5235x x -+-<，∴55235x x x ≥⎧⎨-+-<⎩或3525235x x x ⎧≤<⎪⎨⎪-+-<⎩或325325x x x ⎧<⎪⎨⎪-+-<⎩， 所以x 无解或332x ≤<或312x <<，即13x <<, ∴原不等式的解集为()1,3.（2）若存在x ∈R 使不等式()()2f x g x a -≤成立，则()()2f x g x -的最小值小于或等于a .()()225523f x g x x x -=--+-()2102352102352x x x x =-+--≥----=. 当且仅当3,52x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时取等号，∴()()2f x g x -的最小值为2. ∴2a ≥.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法及绝对值不等式的性质，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题.。
2021届湖北省武汉襄阳荆门宜昌四地六校考试联盟高三上学期起点联考数学试题(解析版)
2021届湖北省武汉襄阳荆门宜昌四地六校考试联盟高三上学期起点联考数学试题一、单选题1．复数1z 在复平面内对应的点为()1,3，22z i =-+（i 为虚数单位），则复数12z z 的虚部为（ ）. A ．75B ．75-C ．7i 5D ．7i 5-【答案】B【解析】根据题意，先得到113z i =+，再由复数的除法运算求出12z z ，即可得出其虚部. 【详解】因为复数1z 在复平面内对应的点为()1,3，所以113z i =+， 又22z i =-+，所以()()()()1213213263171722241555i i z i i i i i z i i i +--+++--+===-=-=--+-+--+， 因此其虚部为75-. 故选：B. 【点睛】本题主要考查求复数的虚部，考查复数的除法运算，涉及复数的几何意义，属于基础题型.2．设x ∈R ，则“2x >”是“22x >”的（ ）. A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】求出22x x >⇔>或x <【详解】22x x >⇔>或x <2x >⇒x >x <，但后面推不出前面，∴“2x >”是“22x >” 充分不必要条件，故选：A. 【点睛】本题考查利用集合间的关系求解充分不必要条件，考查逻辑推理能力、运算求解能力，属于基础题.3．《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为（ ） A ．1.5尺 B ．2.5尺C ．3.5尺D ．4.5尺【答案】D【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，根据题意列出方程组求解即可. 【详解】∵夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列{}n a ，设其首项为1a ，公差为d ，根据题意9131115= 1.510.49.593649.5365.5110S a a a a a d d a d +==⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨++==⎩+=⎩⎩， ∴立秋的晷长为4 1.53 4.5a =+=. 故选：D 【点睛】本题考查等差数列的通项公式、求和公式，属于基础题. 4．若正数,x y 满足135y x+=，则34x y +的最小值是（ ） A ．245 B ．285C ．5D ．25【答案】C【解析】根据正数,x y 满足135y x +=，可得11315y x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则11334(34)5x y x y y x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开利用基本不等式即可求得结果.【详解】 正数,x y 满足135y x+=， 则1131312131234(34)131325555x y x y x y x y y x y x y x ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⨯= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当21x y ==时取等号， 34x y ∴+的最小值是5.故选：C . 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解题方法为“1”的代换法，考查分析理解，计算求值的能力，属基础题.5．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在0,上单调递减，()30f -=，则不等式()10f x ->的解集为（ ） A ．()3,3- B ．()(),21,4-∞-C ．()(),41,2-∞--D ．()()303,,-∞-【答案】B【解析】根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得函数的大致图象，据此分析可得关于x 的取值范围，即可得答案. 【详解】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在0,上单调递减，则()f x 在,0上递减，又由()30f -=，则()30f =，则函数()f x 的草图如图：若()10f x ->，则有13x -<-或013x <-<，解得2x <-或14x << 即不等式的解集为()(),21,4-∞-；故选：B. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意作出函数的简图，分析不等式的解集. 6．已知两点()1,2A ，()3,6B ，动点M 在直线y x =上运动，则MA MB +的最小值为（ ） A ．25 B ．26C ．4D ．5【答案】B【解析】根据题意画出图形，结合图形求出点A 关于直线y x =的对称点A '，则A B '即为MA MB +的最小值. 【详解】根据题意画出图形，如图所示：设点A 关于直线y x =的对称点()2,1A '，连接A B '，则A B '即为MA MB +的最小值，且()()22=32+61=26A B '--故选：B . 【点睛】本题考查了动点到定点距离之和最小值问题，解题方法是求出定点关于直线对称的点坐标，然后运用两点之间的距离公式求出最值.7．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D-的底面是菱形，12AA AB==，60BAD∠=︒，M是1BB的中点，则异面直线1A M与1B C所成角的余弦值为（）A．105-B．15-C．15D．105【答案】D【解析】用向量1,,AB BC BB分别表示11,AM BC,利用向量的夹角公式即可求解.【详解】由题意可得221111111111,5,2A M AB B M AB BB A M A B B M=+=-=+=221111,22B C BC BB B C BC BB=-=+=()2111111111112cos,210210AB BB BC BB AB BC BBA MB CA MB CA MB C⎛⎫-⋅-⋅+⎪⋅⎝⎭〈〉===122cos6041025210⨯⨯+⨯==故选：D【点睛】本题主要考查用向量的夹角公式求异面直线所成的角，属于基础题.8．已知某7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的方差2s为（）A．52B．3 C．72D．4【解析】由平均数公式求得原有7个数的和，可得新的8个数的平均数，由于新均值和原均值相等，因此由方差公式可得新方差． 【详解】因为7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的平均数为x ，方差为2s ，由平均数和方差的计算公式可得75558x ⨯+==，()227455782s ⨯+-==.故选：C. 【点睛】本题考查均值与方差的概念，掌握均值与方差的计算公式是解题关键． 9．()621x y ++的展开式中，3xy 的系数为（ ）. A ．120 B ．480 C ．240 D ．320【答案】A【解析】直接根据三项的二项展开式的特点，写出3xy 项，即可得答案； 【详解】()621x y ++的展开式中，3xy 项是由6个因式()21x y ++中，1个因式出2x ，3个因式出y ，2个因式出1，∴含3xy 的项为31332652(2)1120C x C y C xy ⋅⋅⋅⋅⋅=，∴3xy 的系数为120，故选：A. 【点睛】本题考查二项式定理求指定项的系数，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意根据二项式定理知识的生成过程，直接求解.10．已知圆O ：221x y +=上恰有两个点到直线l ：1y kx =+的距离为12，则直线l 的倾斜角的取值范围为（ ） A ．20,,323πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ B ．20,,33πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭C ．2,,3223ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．2,,323ππππ⎛⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】根据圆心到直线的距离13,22d ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求直线斜率的取值范围，从而可求倾斜角的取值范围. 【详解】设圆心到直线的距离为d .因为圆O ：221x y +=上恰有两个点到直线l ：1y kx =+的距离为12，故13,22d ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1322<<，解得k << 故倾斜角的范围为20,,33πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭， 故选：B. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，注意根据圆上到直线的距离等于定值的点的个数确定圆心到直线的距离的范围，本题属于中档题.11．已知水平直线上的某质点，每次等可能的向左或向右移动一个单位，则在第6次移动后，该质点恰好回到初始位置的概率是（ ） A ．14B ．516C ．38D ．12【答案】B【解析】将问题转化为一个数为零，每次加1或者减1，经过6次后，结果还是零的问题.用古典概型的概率计算公式即可求得结果. 【详解】该问题等价于：一个数据为零，每次加1或者减1，经过6次后，结果还是零的问题. 则每次都有加1或者减1两种选择，共有6264=种可能； 要使得结果还是零，则只需6次中出现3次加1，剩余3次为减1，故满足题意的可能有：3620C =种可能.故满足题意的概率2056416P ==. 故选：B. 【点睛】本题考查古典概型的概率求解，属基础题.12．若函数()2()24xf x x mx e =-+在区间[2，3]上不是单调函数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．2017,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．2017,32⎛⎫⎪⎝⎭ C ．205,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．205,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】首先求出导函数，使()f x '在区间(2,3)上有解，分离参数可得22242(1)411x m x x x -==++-++，设1,(3,4)x t t +=∈，从而可得22()m t g t t=+=，利用导数即可求解. 【详解】因为函数()2()24xf x x mx e =-+， 所以()22()24(4)2(4)4xx x f x exmx e x m e x m x m '⎡⎤=-++-=+-+-⎣⎦，若()f x 在区间(2,3)上不是单调函数， 则()0f x '=在区间(2,3)上有解，即22(4)40x m x m +-+-=在区间(2,3)上有解，即2222(1)4(1)2242(1)4111x x x m x x x x +-++-===++-+++设1,(3,4)x t t +=∈，则22()m t g t t=+=， 22()20g t t '=->， 2017(3)()(4)32g g t g =<<= 所以201732m <<， 实数m 的取值范围是2017,32⎛⎫⎪⎝⎭， 故选：B. 【点睛】本题考查了导数与函数单调性的关系，分离参数法求参数的取值范围，属于中档题.二、填空题13．已知向量()1,1a =-，()1,b k =-，若()a b a +⊥，则k 的值为________. 【答案】3-【解析】根据向量垂直则数量积为零，即可由坐标计算求得结果. 【详解】容易知a b +()2,1k =-+ 因为()a b a +⊥， 故可得210k ++=， 解得3k =-. 故答案为：3-. 【点睛】本题考查向量垂直的坐标计算，属简单题.14．2018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蚂虫迅速繁衍，呈现几何式的爆发，仅仅几个月，蝗虫数量增长了8000倍，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为5%，最初有0N 只，则经过____________天能达到最初的16000倍（参考数据：ln1.050.0488,ln1.50.4055,ln16007.3778≈≈≈，ln160009.6803≈.【答案】199【解析】设过x 天能达到最初的16000倍，得到方程00(10.05)16000xN N +=，结合对数的运算性质，即可求解. 【详解】设过x 天能达到最初的16000倍，由已知00(10.05)16000xN N +=，解得ln16000198.4ln1.05x =≈，又因为x ∈N ，所以过199天能达到最初的16000倍. 故答案为：199. 【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，列出方程，结合对数的运算公式求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力.15．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -、()2,0F c ，过1F 且斜率为3的直线与双曲线的左、右两支分别交于点A 、B （B 在右侧），若()220BA BF AF+⋅=，则C 的离心率为______.【答案】1132+ 【解析】先由()220BA BF AF +⋅=，得出2BF BA =，再由双曲线的定义，求出112AF BF BA a =-=，2124AF a AF a =+=，根据直线斜率得到1260AF F ∠=，由余弦定理列出方程求解，即可得出结果. 【详解】由()()()22222220BA BF AF BA BF BF BA BF BA +⋅=+⋅-=-=得2BF BA =， 又由题意可得，A 为双曲线左支上的点，B 为双曲线右支上的点， 根据双曲线的定义可得，122BF BF a -=，212AF AF a -=， 所以112AF BF BA a =-=，因此2124AF a AF a =+=， 因为直线AB 的斜率为3，所以1260AF F ∠=， 又122F F c =， 所以22222222112211244163cos 602422AF F F AF a c a c a AF F F a c ac+-+--===⋅，即2230c ac a --=，所以230e e --=， 解得1132e +=或1132e -=（舍，双曲线的离心率大于1）. 故答案为：1132+.【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的定义和双曲线的简单性质即可，属于常考题型.16．在数列{}n a 中，11a =，且()131nn n a a +=+-，则数列{}n a 的前2021项和为______.【答案】2022318- 【解析】由已知条件可得1111(1)3(=1)44n n n n a a ++⎡⎤+-+-⎢⎥⎣⎦，即得数列的通项公式31(1)44n n n a =--，从而可得前2021项和.【详解】由()131nn n a a +=+-可得1111(1)3(=1)44n n n n a a ++⎡⎤+-+-⎢⎥⎣⎦， 所以数列1(1)4n n a ⎧⎫+-⎨⎬⎩⎭是首项为34，公比为3的等比数列，所以31(1)44nn n a =--，212212212123131(1)(1)34444n n n n n n n a a ----+=--+--=，()()()()12342020201010202120222021220191319313114489S a a a a a a a -=+++++++=++=-- 故答案为：2022318-【点睛】本题考查由递推关系式求通项，考查求数列的前n 项和，考查运算求解能力，属于中档题.三、解答题17．已知{}n a 是公差不为零的等差数列，37a = ，且249,,a a a 成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）32n a n =-；（2）31n nS n =+.【解析】（1）根据题意，用等差数列的基本量转化条件，求得首项和公差，则问题得解； （2）根据（1）中所求，用裂项求和法即可求得结果. 【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，因为2a ， 4a ，9a 成等比数列2429a a a ∴=，可得()()2111(3)8a d a d a d +=++，213d a d ∴=，0d ≠，所以13d a =，又3127a a d =+=,解得11a =，3d =，32n a n ∴=-；（2）111111(32)(31)33231n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅-+-+⎝⎭1211111111131434733231n n S b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111313131n n S n n ⎛⎫∴=-= ⎪++⎝⎭【点睛】本题考查利用等差数列的基本量求通项公式，以及用裂项求和法求数列的前n 项和，涉及等比中项的应用，属中档题. 18．已知函数()()πsin 0,06f x A x A ωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭只能同时．．．．满足下列三个条件中的两个：①函数()f x 的最大值为2；②函数()f x 的图象可由π4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象平移得到；③函数()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2. （1）请写出这两个条件序号，并求出()f x 的解析式； （2）求方程()10f x +=在区间[]π,π-上所有解的和. 【答案】（1）满足的条件为①③；()π2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）2π3【解析】（1）根据题意，条件①②互相矛盾，所以③为函数()πsin 6f x A x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭满足的条件之一，根据条件③，可以确定函数的最小正周期，进而求得ω的值，并对条件①②作出判断，最后求得函数解析式； （2）将()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭代入方程()10f x +=，求得π1sin 262x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，从而确定出()ππ22π66x k k +=-+∈Z 或()π7π22π66x k k +=+∈Z ，结合题中所给的范围，得到结果. 【详解】（1）函数()πsin 6f x A x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭满足的条件为①③； 理由如下：由题意可知条件①②互相矛盾， 故③为函数()πsin 6f x A x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭满足的条件之一， 由③可知，πT =，所以2ω=，故②不合题意， 所以函数()πsin 6f x A x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭满足的条件为①③； 由①可知2A =，所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭； （2）因为()10f x +=，所以π1sin 262x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 所以()ππ22π66x k k +=-+∈Z 或()π7π22π66x k k +=+∈Z ， 所以()ππ6x k k =-+∈Z 或()ππ2x k k =+∈Z ，又因为[]π,πx ∈-，所以x 的取值为π6-，5π6，π2-，π2，所以方程()10f x +=在区间[]π,π-上所有的解的和为2π3. 【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有正弦型函数的性质，结合性质确定函数解析式，届三角方程，属于简单题目.19．如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，PA PC =，BD PA ⊥，E 是BC 上一点，且3EC BE =，设ACBD O =.（1）证明：PO ⊥平面ABCD ；（2）若60BAD ∠=︒，PA PE ⊥，求二面角A PE C --的余弦值. 【答案】（1）见解析（2）15-【解析】（1）由已知可得BD AC ⊥，BD PA ⊥，由直线与平面垂直的判定可得BD ⊥平面PAC ，得到BD PO ⊥，再由PO AC ⊥，进一步得到PO ⊥平面ABCD ； （2）由（1）知，PO ⊥平面ABCD ，BD AC ⊥，以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设四边形ABCD 的边长为4，PO a =，由PA PE ⊥列式求解a ，可得所用点的坐标，再求出平面PAE 与平面PEC 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A PE C --的余弦值. 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴O 是AC 的中点，BD AC ⊥， ∵BD PA ⊥，PAAC A =，∴BD ⊥平面PAC ，∵PO ⊂平面PAC ，∴BD PO ⊥.∵PA PC =，O 是AC 的中点，∴PO AC ⊥. ∵AC ⊂平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，AC BD O =，∴PO ⊥平面ABCD ；（2）解：由（1）知，PO ⊥平面ABCD ，BD AC ⊥.∴以O 为坐标原点，以OA ，OB ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系. 设四边形ABCD 的边长为4，PO a =.∵四边形ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，∴ABD △与BCD 都是等边三角形. ∴23OA OC ==∴()0,0,P a，()A，()C -，3,02E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()2PA a =-，3,2PE a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，3,02EC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.∵PA PE⊥，∴()32,02PA PE a a ⎛⎫⋅=-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭，即230a -+=，得a =∴(2PA =，3,2PE ⎛=- ⎝.设平面PAE 的法向量为()111,,m x yz =，由1111123033022m PA m PE xy ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取12z =，得2m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭；设平面PEC 的一个法向量为()222,,n x y z =，由2222233023302n EC x y n PE y ⎧⋅=--=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，取21x =-，得()1,3,2n =-. 设二面角A PE C --的平面角为θ，由图可得，θ为钝角，则15cos 5m n m nθ⋅=-=-⋅. ∴二面角A PE C --的余弦值为. 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题.20．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半120+=相切． （1）求椭圆C 的方程；（2）设(4,0)A -，过点(3,0)R 作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，连接AP ，AQ 分别交直线163x =于M ，N 两点，若直线MR 、NR 的斜率分别为1k 、2k ，试问：12k k 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【答案】(1) 2211612x y +=;(2)12k k 为定值127-.【解析】试题分析：（1）根据离心率、直线与圆相切建立关于,,a b c 的方程组，过得,,a b c ，从而得到椭圆的方程；（2）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线PQ 的方程为3x my =+，联立椭圆方程消去x ，得到关于y 的方程，再利用韦达定理得到12,y y 之间的关系，从而得到12k k 的关系．试题解析：（1）由题意得2221,2,,c a b a b c ===+解得4,{2,a b c ===故椭圆C 的方程为2211612x y +=．（2）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线PQ 的方程为3x my =+，由221,{16123,x y x my +==+ 得22(34)18210m y my ++-=．∴1221834m y y m -+=+，1222134y y m -=+， 由A ，P ，M 三点共线可知，111643M y y x =+，所以112834M y y x =⋅+； 同理可得222834N y y x =⋅+ 所以1291616493333N M N My y y y k k =⨯=--121216(4)(4)y y x x =++． 因为1212(4)(4)(7)(7)x x my my ++=++212127()49m y y m y y =+++，所以121221212167()49y y k k m y y m y y =+++222221161234211877493434m m m m m -⨯+==---⨯+⨯+++．【考点】1、直线与圆锥曲线的位置关系；2、椭圆的几何性质；3、直线的斜率． 【方法点睛】解答直线与椭圆的位置关系的相关问题时，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，再应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦长问题利用弦长公式AB ＝2121k x x +-或AB ＝解决，往往会更简单．21．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩.防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该厂质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：[)100,110，[)110,120，[)120130,，[)130140,，[]140,150，得到如下频率分布直方图.（1）规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩.现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为X ，求X 的分布列及数学期望；（2）在2020年“五一”劳动节前，甲计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加A 店一个订单“秒杀”抢购，同时乙计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加B 店一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单均由()2,n n n *≥∈N个该型号口罩构成.假定甲、乙两人在A ，B 两店订单“秒杀”成功的概率均为()212n +，记甲，乙两人抢购成功的订单总数量、口罩总数量分别为X ，Y . ①求X 的分布列及数学期望()E X ；②当Y 的数学期望()E Y 取最大值时正整数n 的值.【答案】（1）分布列见解析；期望为34；（2）①分布列见解析；期望为()222n +；②n的值为2.【解析】（1）由题意，根据分层抽样，确定抽取的二级、一级口罩个数分别为6，2，得出X 的可能取值，求出对应的概率，即可得出分布列，从而可求出期望； （2）①先由题意，得到X 的可能取值，求出对应的概率，即可得出分布列，从而求出对应的期望；②根据题意，得到Y nX =，由（1）的结果，根据期望的运算性质，即可求出结果. 【详解】（1）由题意，样本中一级口罩和二级口罩的频率之比为：()()0.20.05:10.20.051:3+--=，按分层抽样抽取8个口罩，则其中二级、一级口罩个数分别为6，2. 故X 的可能取值为0，1，2.()3062385014C C P X C ⋅===，()21623815128C C P X C ⋅===，()1262383228C C P X C ⋅===， 所以X 的分布列为所以()515330121428284E X =⨯+⨯+⨯=. （2）①由题知，X 的可能取值为0，1，2，()()221012P X n ⎛⎫==- ⎪ ⎪+⎝⎭，()()()221112122P X n n ⎛⎫==-⋅ ⎪ ⎪++⎝⎭， ()()4122P X n ==+，所以X 的分布列为所以()()()()()42222222112122E X n n n n ⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪++=⎝⎭++=.②因为Y nX =，所以()()()22214424nE Y nE X n n n ===≤=+++，当且仅当2n =时取等号，所以()E Y 取最大值时，n 的值为2. 【点睛】本题主要考查求离散型随机变量的分布列和期望，熟记离散型随机变量的分布列和期望的概念，以及期望的运算性质即可，属于常考题型. 22．设()()2sin cos ,4f x x x x g x x =+=+.（1）讨论()f x 在[],ππ-上的单调性；（2）令()()()4h x g x f x =-，试证明()h x 在R 上有且仅有三个零点. 【答案】（1）()f x 的单调递增区间是,,0,22πππ⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，递减区间是,0,,22πππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）证明见解析. 【解析】（1）首先求导得到()cos f x x x '=，再根据导函数的正负性即可得到函数的单调区间.（2）首先根据2()44sin 4cos h x x x x x =+--，(0)0h =得到0x =是()h x 的一个零点，再根据()h x 是偶函数得到()h x 在R 上的零点个数，只需确定0x >时，()h x 的零点个数即可，再求出()h x 在0x >时的单调性和最值，确定其零点个数即可. 【详解】()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=，令()0f x '=，则0x =或2x π=±.,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时()0f x '<，()f x 单调递减， 0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减.()f x ∴的单调递增区间是,,0,22πππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，递减区间是,0,,22πππ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）2()44sin 4cos h x x x x x =+--，因为(0)0h =，所以0x =是()h x 的一个零点.22()()44()sin()4cos()44sin 4cos ()h x x x x x x x x x h x -=-+-----=+--=所以()h x 是偶函数，即要确定()h x 在R 上的零点个数，需确定0x >时，()h x 的零点个数即可. ①当0x >时，'()24cos 2(12cos )h x x x x x x =-=- 令'()0h x =，即1cos 223x x kx π==+，或23x kx π=-+()k N ∈. (0,)3x π∈时，'()0,()h x h x <单调递减，且2()2039h ππ=+<， 5(,)33x ππ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，且2525()2039h ππ=++> ()h x ∴在5(0,)3π有唯一零点②当53x π≥时，由于sin 1x ≤，cos 1≤x . 2()44sin 4cos h x x x x x =+-- 224444()x x x x t x ≥+--=-=而()t x 在5(,)3π+∞单调递增，5()()03t x t π≥> 所以()0h x >恒成立，故()h x 在5(,)3π+∞无零点，努力的你，未来可期!精品 所以()h x 在(0,)+∞有一个零点，由于()h x 是偶函数，所以()h x 在(,0)-∞有一个零点，而(0)0h =，综上()h x 在R 有且仅有三个零点.【点睛】本题第一问考查利用导数求函数的单调区间，第二问考查利用导数求函数的零点，同时考查了分类讨论的思想，属于难题.。
【高三】2021年高考理科数学联考试题(湖北省七市附答案)
【高三】2021年高考理科数学联考试题（湖北省七市附答案）秘密★启用前2022、荆州、黄冈、襄阳、十堰、宜昌、孝感和恩施七个城市（县）高三联合考试数学（科学与工程）本科目考试时间：2021年4月18日下午15：00-17：00★ 祝你考试好运★一、：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数，其中a是实数。
如果Z的实部为2，则Z的虚部为a．-ib．ic．-1d．12.给定向量a=（2，1），B=（x，-2），如果a‖B，则a+B=a．(-2，-1)b．(2，1)c．(3，-1)d．(-3，1)3.以下陈述中错误陈述的数量为①命题“x∈r，≤0”的否定是“∈r，>0”；② 如果“PQ”是假命题，那么p和Q是假命题；③“三个数a，b，c成等比数列”是“b=”的既不充分也不必要条件a、 ob.1c.2d.34．函数f(x)=2x-sinx的零点个数为a、 1b.2c.3d.45．一个几何体的三视图如下左图所示，则此几何体的体积是a、 112b.80c.72d.646．已知全集u=z，z为整数集，如上右图程序框图所示，集合a={x框图中输出的x 值}，b={y框图中输出的y值}；当x=-1时，(cua)b=a、 {-3，-1,5}b.{-3，-1,5,7}c.{-3，-1,7}d.{-3，-1,7,9}7．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有a、 12种b.18种c.24种d.48种8．如右图，矩形oabc内的阴影部分由曲线f(x)=sinx(x∈(0，))及直线x=a(a∈(0，))与x轴围成，向矩形oabc内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则a的值为a、不列颠哥伦比亚省。
9．如右图，一单位正方体形积木，平放于桌面上，并且在其上方放置若干个小正方体形积木摆成塔形，其中上面正方体中下底面的四个顶点是下面相邻正方体中上底面各边的中点，如果所有正方体暴露在外面部分的面积之和超过8．8，则正方体的个数至少是a、 68.7c.8d.1010．已知直线l：y=ax+1-a(a∈r)．若存在实数a使得一条曲线与直线l有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于a，则称此曲线为直线l的“绝对曲线”．下面给出四条曲线方程：①y=-2x-1；②y=；③(x-1)2+(y-1)2=1；④x2+3y2=4；则其中直线l的“绝对曲线”有答。
湖北省“荆、荆、襄、宜“四地七校联盟2021届高三上学期期中联考数学试题
2020年秋“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三期中联考数 学 试 题本试卷共4页，共22题。
满分150分，考试用时120分钟★祝考试顺利★注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若集合{2,1,0,1,2}A =--，集合2{|log (1)}B x y x ==-，则A B =（ ）A. {2}B. {1,2}C. {2,1,0}--D. {2,1,0,1}--2.在一幢20 m 高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高是( ) A ．20⎪⎪⎭⎫⎝⎛+331mB ．20(1＋3)mC ．10(6＋2)mD ．20(6＋2)m3．设3log 21=a ，3)21(=b ，213=c ，则( )A.c b a <<B.a b c <<C.b a c <<D.c a b <<4．已知命题p ，x ∀∈R ，12xx e e+≥，则p ⌝为（ ）A ．x ∃∈R ，12xx e e +≥ B ．x ∃∈R ，12xxe e +<C ．x ∃∈R ，12xx e e+≤ D ．x ∀∈R ，12xx ee+≤ 5. 函数ln ()x xf x x=的大致图象为（ ）A B C D6．若函数f (x )＝sinx ·ln (mx ＋241x +)的图象关于y 轴对称，则实数m 的值为（ ）A ．2B ．4C ．±2D ．±47．等差数列{}n a 中，已知70a >，390a a +<，则{}n a 的前n 项和n S 的最小值为（ ）A. 4SB. 5SC. 6SD. 7S8. 设函数()e 3x f x x a =+-.若曲线sin y x =上存在点()00,x y ，使得()()00f f y y =，则实数a 的取值范围是（ ）A. []1,e 2+B. 1e 3,1-⎡⎤-⎣⎦C. []1,e 1+D. 1e 3,e 1-⎡⎤-+⎣⎦二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9.下列选项中正确的是（ ）A.不等式2a b ab +≥恒成立B.存在实数a ，使得不等式12a a+≤成立C.若a 、b 为正实数，则2b aa b+≥D.若正实数x ，y 满足21x y +=，则218xy+≥ 10. 已知等比数列{}n a 的公比为q ，前4项的和为114a +，且2a ，31a +，4a 成等差数列，则q 的值可能为（ ）A. 12B. 1C. 2D. 311. 已知函数()cos(2)f x x ϕ=+(π||2ϕ<)，3()()()F x f x f x '=+为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是（ ） A. tan 3ϕ=B.()f x 在[,]a a -上存在零点，则a 的最小值为π6C.()F x 在π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D.()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭有且仅有一个极大值点12．设函数ln ,0()(1),0xx x f x e x x ⎧>=⎨+≤⎩，若方程21[()()01]6f x af x -+=有六个不等的实数根，则实数a 可取的值可能是（ ） A ．12B ．23C ．1D ．2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知2,0()22,0x x x f x x ⎧<=⎨-⎩则((2))f f -=________．14. 已知x ∈R ，条件p ：x 2＜x ，条件q ：x1≥a （a ＞0），若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ．15. 若函数()()212020x f x x x =-<的零点为0x ，且()0,1x a a ∈+，a Z ∈，则a 的值为______．16. 已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，等比数列{}n b 的公比q 是小于1的正有理数，若a 1＝b 1＝d ，且124123a a ab b b ++++是正整数，则q =______．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分）已知ABC ∆的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，()3cos cos sin C a B b A c C += ②sinsin 2A Ba c A += ③()22sin sin sin sin sin B A C B A -=-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，当_______时，求sin sin A B ⋅的最大值.18.（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2，n a ，n S 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n b n a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ． .19.（本题满分12分）如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，DE ＝3AF ，BE 与平面ABCD 所成角为60°.（1）求证：AC ⊥平面BDE ； （2）求二面角F―BE―D 的余弦值．20.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，A 为椭圆上一动点（异于左右顶点），12AF F ∆3 （1）求椭圆C 的方程；（2）设过点1F 的直线l (l 的斜率存在且不为0）与椭圆C 相交于B A ,两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点P ，试判断1PF AB 是否为定值? 若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21.（本题满分12分）某款游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次，若出现一次音乐获得1分，若出现两次音乐获得2分，若出现三次音乐获得5分，若没有出现音乐则扣15分(即获得－15分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．（1）设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列． （2）玩三盘此游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的人发现，若干盘游戏后，与最初的得分相比，得分没有增加反而减少了．请你分析得分减少的原因．22.（本题满分12分）已知函数()3423223+-=x x x f ，()()R x ax e x g x∈-=． （1）若()x f 在区间[]1,5--a a 上的最大值为34，求实数a 的取值范围； （2）设()()123+-=x x f x h ，()()()()()()()⎩⎨⎧>≤=x g x h x g x g x h x h x F ,,，记n x x x ,,21为()x F 从小到大的零点，当3e a ≥时，讨论()x F 的零点个数及大小.。
湖北省“荆、荆、襄、宜“四地七校联盟2021届高三上学期期中联考数学答案 (1)
x ln x x 1⎝ ⎭ 3 6 ⎪ ( ) 2020 年秋“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”所以1 = g (0)≤ g (x ) ≤ g (1) = e + 2,所以1 ≤ a ≤ e + 2 . 故选：A.高三期中联考数学试题参考答案9.【解析】不等式a + b ≥ 2 恒成立的条件是 a ≥ 0 ， b ≥ 0，故 A 不正确； 一、单项选择题：1－4 CBAB 5－8 ACCA当 a 为负数时，不等式a + ≤ 2 成立.故 B 正确；由基本不等式可知 C 正确；a二、多项选择题：9.BCD 10. AC 11. BC12. BC三、填空题:2 1 ⎛ 2 1 ⎫ 对于 + = + x + 2 y = 4 + x y x y 4 y + x ≥ 4 + 2 x y= 8， 13．1414．（0，1]15．-3 1 16．当且仅当4 y = x ，即 x = 1 ， y = 1时取等号，故 D 正确.故选；BCD. 2x y 2 41.【解析】集合 B = {x | y = log 2 (1- x )} ，则其中定义域 B = {x |1- x > 0} = {x | x < 1} ,又有集合 A = {-2, -1, 0,1, 2} ，则 A B = {-2, -1, 0}．故选：C. 10.【解析】因为 a 2 ， a 3 + 1， a 4 成等差数列，所以 a 2 + a 4 = 2(a 3 + 1) ，因此， a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = a 1 + 3a 3 + 2 = a 1 + 14 ，故 a 3 = 4 ．又{a n }是公比为q 的等比数列，2.【解析】如图，由条件知四边形 ABCD 为正方形， 所以由 a + a = 2(a+ 1) ，得a (q + 1) = 2(a +1) ，即 q + 1 = 5 ，解得 q = 2 或 1 ．故选：AC ． ∴AB ＝CD ＝20 m ，BC ＝AD ＝20 m.2 4 33 q 3 q 2 2在△DCE 中，∠EDC ＝60°，∠DCE ＝90°，CD ＝20 m ，11.【解析】因为 f ( x ) = cos(2x +ϕ)，所以 f '(x ) = -2sin(2x +ϕ) ，∴EC ＝CD·tan 60°＝20 m ，∴BE ＝BC ＋CE ＝(20＋20 )m.故选 B.⎛π ⎫所以 F ( x ) = f ( x ) + 2f '( x ) = cos( 2 x + ϕ) - 3 sin( 2 x + ϕ) = 2 cos 2 x + ϕ+ ⎪ ⎝ ⎭=<= < =1 3< =⎛π ⎫ π π3.【解析】 a log 1 3 log 1 10 ； 0 b ( 2)1； c32 >1．故选 A.因为F (x ) 为奇函数，则 F (0) = 0 ，即cos ϕ+ ⎪ = 0 ，所以ϕ+= k π+ ， k ∈ Z ，因为 22⎝3 ⎭3 24.【解析】 原命题∀x ∈ R ， e x+1≥ 2 ，∴ 命题∀x ∈ R ， e x+1≥ 2 的否定是: ∃x ∈ R ，ππe x + 1e xe x e x< 2 ．故选:B ．|ϕ|< ，所以ϕ= ， 2 6对于 A ， tan ϕ= tan π=3 ，故 A 错误；⎧ lnx , x > 06 35.【解析】因为 f (x ) = = ⎨-ln (-x ), x < 0 是奇函数排除 B , C ，且当 x > 1时， f (x ) > 0 .⎛ π⎫ k π π⎩对于 B ，令 f ( x ) = cos 2x + ⎪ = 0，得x = ⎝⎭ + ，k ∈ Z ，若 f (x ) 在[-a , a ]上存在零点，则 a > 0 2 6 故答案为 A.6．【解析】 y = f (x ) 关于 y 轴对称，∴ y =f (x ) 为偶函数，又 y = sin x 为奇函数，且 a 的最小值为 π ，故 B 正确；6⎛ π π⎫ ⎛ π 3π⎫ ⎛ π 3π⎫ ⎛ π 3π ⎫∴y ＝ln (mx + 1 + 4x 2) 为奇函数，则 m = ±2 ．故选 C ．对于 C ，F (x ) = 2 cos 2x + + ⎪ = -2sin2x ，当 x ∈ , ⎪ 时，2x ∈ , ⎪ ，则F (x ) 在 , ⎪ 上 7.【解析】∵等差数列{a n }中， a 3 + a 9 < 0 ，∴ a 3 + a 9 = 2a 6 < 0 ，即 a 6 < 0 .又 a 7 > 0，∴ {a n }的前 n 项和 S n 的最小值为 S 6 .故答案选 C.⎝ 单调递增，故 C 正确. ' 6 3 ⎭ ⎛ π ⎫ ⎝ 4 4 ⎭ ⎛ 5π ⎫ ⎝ 2 2 ⎭⎛ 5π π ⎫ ⎝ 4 4 ⎭8.【解析】由 f (x )为增函数可得 f ( y ) = y ，又可知 y ∈ [0,1]，则问题等价于方程 f (x ) = x ，对于 D ，因为 f ( x ) = -2 sin 2x + 6⎪ ，当 x ∈ 0, 12 ⎪时， f '(x ) < 0 ，当 x ∈ , ⎪时， f '(x ) > 0 ， 0 0 0⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ 12 2 ⎭x ∈[0,1] 有 解 ， 即 x 2 = e x + 3x - a 在 x ∈[0,1] 有 解 ， 分 离 参 数 可 得 a = e x + 3x - x 2 ， 令∴ f (x ) 在⎛ 0, π ⎫上存在一个极小值点，没有极大值点，故 D 错误.2 ⎪3 3 ab4 y ⋅ x x y 31g (x)=e x +3x -x2 ， g'(x)=e x +3 -2x > 0, x ∈[0,1]，所以函数g (x)在[0,1]上单调递增，⎝⎭故选：BC.33 3 2 ⎪ ⎪ 12.【解析】当 x ≤ 0 时， f (x )= e x(x +1)，则 f ' (x ) = e x (x +1) + e x = e x (x + 2)a + a + a = d + 2d + 4d = 7 = ∈ *16.【解析】 1 24 t (t N )由 f '(x )< 0 得 x + 2 < 0，即 x < -2，此时 f (x )为减函数， b 1 + b 2 + b 3 d + dq + dq 1 + q + q 2 2由 f '(x )> 0得 x + 2 > 0，即 -2 < x ≤ 0 ，此时 f (x )为增函数， 即当 x = -2时， f (x )取得极小值 f (-2) = - 1，e tq 2 + tq + t - 7 = 0q > 0∴q =2t作出 f (x )的图象如图：且 - 3t 2 + 28t ≥ 0∴0 < t < 28,t ∈ N * ∴t = 1,2 93由图象可知当0 < f (x )≤ 1时，有三个不同的 x 与 f (x )对应 设t = f (x )，方程[ f (x )]2- af (x ) + 1= 0有六个不等的实数根16所以t 2- at + 1= 0在t ∈(0,1]内有两个不等的实根16又q 为有理数∴ -3t 2+ 28t ≥ 0 是一个完全平方数列举可得t = 1或t = 4或t = 7或t = 9 ，则 q = 2(舍）或q = 1或q = （0 2∴ q = 12四、解答题舍）或q = - 1(舍）3⎧ ⎧1 > 0g (0) > 0 16 17.【解析】若选①，则由正弦定理3 cos C (sin A cos B +sin B cos A ) = sin C sin C ，⎪ ⎪⎪ g (1) ≥ 0 ⎪ 1- a + 1 ≥ 0设 g (t ) = t 2 - at + 1 ，即⎪ ∆ > 0 ⇒ ⎪ 16 ⇒ 1 < a ≤ 17 ，则实数 a 可取的值可能是 2 ，13 cos C sin (A + B ) = sin C sin C ，= tan C ， C = π……………………………4 分⎨ ⎨ 1 2 1616 ⎪a ⎪a 2 - 4 ⨯ > 0 3 3⎪0 < < 1 ⎪ 16 若选②，则由正弦定理知：⎪ 2 ⎪ a ⎪ ⎪ 0 < < 12π- CC CCC 1π⎩⎪⎩ sin A sin= sin C sin A ， cos= sin C = 2 sin cos ， sin = ， C = ………4 分故选：BC ．222 2 2 2 3⎧x 2 , x < 013.【解析】因为 f (x ) = ⎨所以 f (-2) = (-2)2 = 4 ， 若选③，则有正弦定理知(b - a )2= c 2 - bc ，1π ⎩2x- 2, x 0∴b 2+ a 2- c 2= bc ，由余弦定理知：cos C = ， C = ，……………………………4 分则 f ( f (-2)) = f (4) = 2 4 - 2 = 16 - 2 = 14 ．故答案为：142 32π ⎛ 2π ⎫⎛ 1 ⎫ A + B = 3 ，∴sin A ⋅ sin B = sin A ⋅ sin 3 - A ⎪ = sin A ⋅ 2 cos A + 2 sin A ⎪14.【解析】因为 x ∈R ，条件 p ：x 2＜x ，所以 p 对应的集合为 A ＝（0，1）； ⎝ ⎭ ⎝ ⎭因为条件 q ： ≥a （a ＞0），所以 q 对应的集合为 B ＝（0， ]； = sin A ⋅ cos A + 1 sin 2A = sin 2 A + 1 (1 - cos 2 A ) = 1 sin ⎛ 2 A - π⎫ + 1 ……………8 分 2 6 ⎪ 42 2 4 4⎝ ⎭ 因为 p 是 q 的充分不必要条件，所以 A ⊆ B ，所以，所以 0＜a≤1，故答案为：（0，1]．⎛ 2π⎫ ∴2A π⎛ π 7π⎫A ∈ 0, ⎪， - 6 ∈ - , ⎪，15.【解析】因为函数 f (x ) 在(-∞, 0)单调递增，因为 f (-1) = 2-1-1(-1)2 > 0，20⎝ 3 ⎭π⎝ 6 6 ⎭3f (-2)= 2-2 - 1 (-2)2 = 1 - 1 > 0，f (-3)= 2-3 - 1 (-3)2= 1 - 9 < 0，所以 x ∈(-3, -2)，所以 a = -3.所以当 A = 时， sin A ⋅sin B 的最大值是 .……….………. …….……….………….…10 分 34 204 5208 20- t + - 3t 2 + 28t3n nn18.【解析】（1）由题意知2, a n , S n 成等差数列，所以 2a n = 2 + S n ① ,因为 平 ，所以 为平 的法向量， .可得 2a n -1 = 2 + S n -1 (n ≥ 2) ②………………………………………………………2 分 ①-②得a n = 2a n -1(n ≥ 2) ，又 2a 1 = 2 + a 1 ， a 1 = 2 ，………………………………4 分所以数列{a }是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，∴ a = 2n.……………………6 分 所以 .（2）由（1）可得b n = n ⋅ 2n，用错位相减法得：因为二面角为锐角，所以二面 的余弦值为 .………………………………12 分T = 2 + 2 ⨯ 22 + 3⨯ 23 + 4 ⨯ 24 + ⋅⋅⋅ + n ⨯ 2n ① 2T n = 22 + 2 ⨯ 23 + ⋅⋅⋅ + (n -1) ⨯ 2n + n ⨯ 2n +1 ②法 2：【几何法】 ①-②可得T n = (n -1) ⋅ 2n +1+ 2 .……………………12 分如图，G 、P 分别为线、的三等分点，19.【解析】（1）证明：因 平 ，面,所.因 是正方形，所又，面，面,平 .…………5 分（2）法 1：【向量法】 因，，两两垂直，建立空间直角坐标如图所示.因 平， 与平所成角为 60°，，所.由已知，可得，.则，，，，，所 ，.设平面的法向量，则，即.令，则.…………………………………………………9 分M 、N 分别为线、的中点， ，连， ， ，所，且所面，过 F 垂足为 Q ，连结由三垂线定理知为二面的平面角. ………………………………8 分，为直角三角形，，所以，由勾股定理得，，……………………………………10 分所以.所以二面的余弦值为.………………………………………………12 分由已知可得，所以因为平面，且与平面所成角为，即1 2 1 2 1 2 1 2 1× 2× 15× .⎨⎝ ⎭3 3 3 3y - = -m x + 2 ⎪ 20.【解析】（1）∆AF 1F 2 面积的最大值为 ，则： bc = 所以 X 的分布列为：又e = c = 1， a 2 = b 2 + c 2 ，解得： a 2 = 4 ， b 2 = 3a∴椭圆C 2 x 2 的方程为：y 2+ = 1……………………4 分(2)设“第 i 盘游戏没有出现音乐”为事件 A i (i ＝1，2，3)，则……………………5 分（2）1 为定值 4 4 3，设直线 AB: x = my -1（ m ≠ 0 ） P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－15)＝1.8所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为 1－P (A 1A 2A 3)＝1＝1－ 1＝511.设 A (x 1, y 1 )， B (x 2 , y 2 )，线段 AB 的中点为 N (x 0 , y 0 )因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511.……………………9 分512 512 ⎧ x 2 y 2⎪ + 由 ⎨ 4 3 = 1，消去 x 可得： (3m 2 + 4)y 2 - 6my - 9 = 0 512 (3)由(1)知，随机变量 X 的数学期望为 EX ＝ 3＋ 3＋5×1－ 1＝－1⎪⎩x = my -1这表明，获得分数 X 的均值为负．8 8 8 8 8 ∆ > 0 恒成立 ∴ y + y = 6m 1 23m 2+ 4 y y = - 91 2 3m 2+ 4……………………………6 分 因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．……………………12 分22.【解析】（1）∵ f '(x ) = 2x 2- 4x = 2x (x - 2) ∴ f (x )在(- ∞,0)和(2,+∞)上单调递增，AB = 1 - y 2 = 12(m 2 +1)3m 2 + 4在 (0,2)上单减， f (x )的极大值为 f (0) = 4 ， f (x )的极小值为 f (2)= - 4，∴ x = - 4y = 3m， N (-4,3m)……………………8 分3 又 f (3) =4 ，若 f (x )的最大值是 4，则⎧a - 5 ≤ 0 3，∴1 ≤ a ≤ 4……………4 分3m 2 + 4 ,3m 2+ 43m 2 + 4 3m 2 + 433⎩0 ≤ a -1 ≤ 33m⎛4 ⎫ 直线 PN ： 3m 2 + 4 3m + 4 （2） h (x ) = x 3- 3x 2- x + 3 = (x +1)(x -1)(x - 3)，当 x ≤ 0 时， g (x ) = e x- ax > 0 ，此时 F (x ) = h (x ) ∴ F (x )在(-∞,0]有一个零点， x 1 = -1……………………6 分1 当 x > 0 时， g '(x ) = e x - a ∴ g (x )在(0, ln a )上单调递减，在(ln a ,+∞)上单调递 令 y = 0，则 x p = -3m 2 + 4……………………………………………………………10 分增。