微分几何课程大纲

《微分几何》课程大纲

一、课程简介

教学目标：经典曲线曲面论、少量的整体微分几何与二维内蕴几何学

主要内容：（见教学内容）

二、教学内容

第一章曲线的局部理论

主要内容：平面曲线与空间曲线的曲率、空间曲线的绕率、Frenet标架、曲线论基本定理、n维空间的推广

重点与难点：空间曲线的绕率、曲线论基本定理

第二章曲线的整体几何

主要内容：旋转数，旋转指标定理、凸曲线

重点与难点：旋转指标定理及其应用

第三章曲面的局部理论（外在形式）

主要内容：第一基本形式、第二基本形式、主曲率、高斯曲率、平均曲率、结构方程重点与难点：结构方程与曲面论基本定理

第四章曲面的局部理论（内在形式）

主要内容：向量场、共变导数、平行移动、测地线

重点与难点：共变导数和平行移动

第五章二维黎曼几何

主要内容：局部黎曼几何、切丛、指数映射、测地极坐标、Jacobi场、流形

重点与难点：指数映射和Jacobi场

第六章曲面的整体几何

主要内容：Gauss-Bonnet定理、完备性、共轭点和曲率、闭测地线和基本群

重点与难点：Gauss-Bonnet定理和共轭点

三、教学进度安排（抱歉这个目前还安排不了）

可以参照以下表格形式

教学内容教学形式作业

第一周

第二周

四、课程考核及说明

平时成绩与口试相结合的方式。平时20%，口试80%。

五、教材与参考书

Wilhelm Klingenberg， A Course in Differential Geometry

Manfredo P.Do Carmo，Differential Geometry of Curves and Surfaces 陈维桓，微分几何