高难度压轴填空题解析几何

1. 已知椭圆),0(122

22>>=+b a b

y a x N M ,是椭圆上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任

意一点，且直线PN PM ,的斜率分别为)0(,2121≠k k k k ，若21k k +的最小值为1，则椭

圆的离心率为_______

2

3

解析：设),(),,(),,(222211y x N y x M y x P --，2

12

1221211,x x y y k x x y y k ++=--=，把M,N 代入

方程作差得

22

2122122

212122121010))(())((a

b k k b k k a b y y y y a x x x x -=⇒=+⇒=-++-+ 121222

2121=⇒=≥+a

b k k k k

2. M 是以B A ,为焦点的双曲线22

2

=-y x 右支上任一点，若点M 到点)1,3(C 与到点B 的距离之和为S ，则S 的取值范围是_______),2226[+∞- 解析：222622-=

-≥+-=+a AC MC a MA MC MB

3. 设B A ,为双曲线)0(22

22≠=-λλb

y a x 同一条渐近线上的两不同点，

)0,1(=m ,

6||,=AB 3=，则双曲线的离心率为_______________2或

3

3

2 3=21,cos >=

<⇒m AB ，故3=a b 或3=b

a

4. 有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为12,F F ，且 它们在第一象限的交点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形．若110PF =，双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，则该椭圆的离心率的取值范围是 ______⎪⎭

⎫

⎝⎛52,31 解析：画图后，5

2

1103310252210221,22<<⇒<<⇒<-<1⇒<<

=c c c c a c c PF

)5

2

,31(1512102∈+=+=

c

c c e

5. 已知曲线2

2:x y C =，点A (0,-2)及点B (3,a )，从点A 观察点B ，要使视线不被C 挡 住，则实数a 的取值范围是 ．（－∞,10）

解析：关键是用什么模型，设切点),(00y x ，则切线为)(4000x x x y y -=-，过点A (0,-2)，得切于点)2,1(，切线为)1(42-=-x y ，切线与直线x =3的交点为(3,10)，故a ＜10。

6. 若椭圆1C ：1212212=+b y a x （011>>b a ）和椭圆2C ：122

2

222=+b y a x （022>>b a ） 的焦点相同且12a a >.给出如下四个结论：

①椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点； ②

11

22

a b a b >； ③2

2212221b b a a -=-； ④1212a a b b -<-.

其中，所有正确结论的序号是 ．①③④

解析：2

2222121b a b a -=-，从而③2

22

12

22

1b b a a -=-成立，

关键之一：1a ＞2a ，由上得1b ＞2b ，从而①成立；②不成立；

关键之二：22222121b a b a -=-→))(())((22221111b a b a b a b a -+=-+→11b a -＜22b a -，从

而④成立；

（也可令c =1的特值法）

7. 设直线l ：m kx y +=（其中m k ,为整数），与椭圆

112162

2=+y x 交于不同两点B A ,，与双曲线

112

42

2=-y x 交于不同两点D C ,，使向量=+，符合上述条件的直线共有__________条9

解析：设),(),,(),,(),,(44332211y x D y x C y x B y x A ，⇒+=+4321x x x x

0323482

2=⇒-=+-

k k

km k km 或0=m 或34)3(42

2--=-k k 无整数解 当0=k 时，0,1,2,33232±±±=⇒<<-m m 共7组解

当0=m 时，0,1±=k ，而)0,0(与上面重复，故有2组解 这样共有9组解

8. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b

-=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作圆：222

4a x y +=的切

线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若1

()2

OE OF OP =

+，则双曲线的离心率为 ．

2

10 解析：

OE 是中位线,a PF =',a PF 3=，在

'PFF Rt ∆中，利用勾股定理即可

9. 有如下结论：“圆2

2

2

r y x =+上一点),(00y x P 处的切线方程为2

00r y y y x =+”，类比

也有结论：“椭圆),()0(1002222y x P b a b

y a x 上一点>>=+处的切线方程为

12

020=+b

y y a x x ”，过椭圆C ：22

12x y +=的右准线l 上任意一点M 引椭圆C 的两条切线，切点为 A 、B.直线AB 恒过一定点 （1,0）

解析：实际上与圆类似，过椭圆外一点),(00y x P 作两条切线的方程也是

12020=+b

y

y a x x ，（证明如下：设两切线的切点分别是),(),,(2211y x y x ，则切线分别是

12121=+b

y

y a x x 和 12

222=+b

y

y a x x ，把点),(00y x P 代入，显然),(),,(2211y x y x 都满足方程12020=+b y y a x x ，这就是切点弦方程）

10. 在直角坐标系中，若与点)2,2(A 的距离为1且与点)0,(m B 的距离为3的直线恰有两条，则实数m 的取值范围为_______________)322,2()2,322(+⋃-