高难度压轴填空题解析几何

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高考数学《解析几何》专项训练及答案解析

高考数学《解析几何》专项训练一、单选题1．已知直线l 过点A （a ，0）且斜率为1，若圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，则a 的值为( )A ．B ．±C ．2±D ．2．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，过右焦点F 的直线与两条渐近线分别交于A ，B ，且AB BF =uu u r uu u r，则直线AB 的斜率为（） A ．13-或13B ．16-或16C ．2D ．163．已知点P 是圆()()22:3cos sin 1C x y θθ--+-=上任意一点，则点P 到直线1x y +=距离的最大值为（）AB ．C 1D 2+4．若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A ．⎡⎣B ．(C ．33⎡-⎢⎣⎦D ．33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭5．已知抛物线C ：22x py =的焦点为F ，定点()M ，若直线FM 与抛物线C 相交于A ，B 两点(点B 在F ，M 中间)，且与抛物线C 的准线交于点N ，若7BN BF =，则AF 的长为（）A ．78B ．1C ．76D6．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的两个焦点分别为1F ,2F ，以12F F 为直径的圆交双曲线C 于P ,Q ,M ,N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线C 的离心率为（）A ．2-BC ．2D7．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，点00(2p M x x ⎛⎫>⎪⎝⎭是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点（A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C 的方程为（）A ．24y x =B ．28y x =C ．212y x =D ．216y x =8．已知离心率为2的椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 且斜率为1的直线与椭圆E 在第一象限内的交点为A ，则2F 到直线1F A ，y 轴的距离之比为（）A ．5B ．35C ．2D二、多选题9．已知点A 是直线:0l x y +=上一定点，点P 、Q 是圆221x y +=上的动点，若PAQ ∠的最大值为90o ，则点A 的坐标可以是（）A ．(B ．()1C ．)D ．)1,110．已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F ，F ，直线l 与抛物线C交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若8AF =，则以下结论正确的是（） A ．4p = B ．DF FA =uuu r uu rC ．2BD BF = D ．4BF =三、填空题11．已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__________．12．已知圆()2239x y -+=与直线y x m =+交于A 、B 两点，过A 、B 分别作x 轴的垂线，且与x轴分别交于C 、D 两点，若CD =m =_____．13．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，()2,3A 为C 上一点，则C 的渐近线方程为__________.14．已知抛物线()220y px p =>，F 为其焦点，l 为其准线，过F 任作一条直线交抛物线于,A B 两点，1A 、1B 分别为A 、B 在l 上的射影，M 为11A B 的中点，给出下列命题：（1）11A F B F ⊥；（2）AM BM ⊥；（3）1//A F BM ；（4）1A F 与AM 的交点的y 轴上；（5）1AB 与1A B 交于原点. 其中真命题的序号为_________.四、解答题15．已知圆22:(2)1M x y ++=，圆22:(2)49N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）设不经过点(0,Q 的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，直线QA 与直线QB 的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l 过定点.16．已知椭圆方程为22163x y +=．（1）设椭圆的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上运动，求1122PF PF PF PF +⋅u u u r u u u u r的值；（2）设直线l 和圆222x y +=相切，和椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，线段OA 、OB 分别和圆222x y +=交于C 、D 两点，设AOB ∆、COD ∆的面积分别为1S 、2S ，求12S S 的取值范围．参考答案1．D 【解析】【分析】因为圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，所以与直线l 平行且距离为1的两条直线，一条与圆相交，一条与圆相切，即圆心到直线l 的距离为1，根据点到直线的距离公式即可求出a 的值．【详解】直线l 的方程为：y x a =-即0x y a --=．因为圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，所以与直线l 平行且距离为1的两条直线，一条与圆相交，一条与圆相切，而圆的半径为2，即圆心到直线l 的距离为1．1=，解得a =故选：D ．【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，以及点到直线的距离公式的应用，解题关键是将圆上存在3个点到l 的距离为1转化为两条直线与圆的位置关系，意在考查学生的转化能力与数学运算能力，属于中档题． 2．B 【解析】【分析】根据双曲线的离心率求出渐近线方程，根据AB BF =u u u r u u u r，得到B 为AF 中点，得到B 与A 的坐标关系，代入到渐近线方程中，求出A 点坐标，从而得到AB 的斜率，得到答案. 【详解】因为双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，又222c e a =22514b a =+=，所以12b a =，所以双曲线渐近线为12y x =± 当点A 在直线12y x =-上，点B 在直线12y x =上时，设(),A A Ax y (),B B B x y ，由(c,0)F 及B 是AF 中点可知22A B A B x c x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，分别代入直线方程，得121222A A A A y x y x c ⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⋅⎪⎩，解得24A Ac x c y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以,24c c A ⎛⎫-⎪⎝⎭，所以直线AB 的斜率AB AFk k =42cc c =--16=-，由双曲线的对称性得，16k =也成立. 故选：B. 【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，坐标转化法求点的坐标，属于中档题. 3．D 【解析】【分析】计算出圆心C 到直线10x y +-=距离的最大值，再加上圆C 的半径可得出点P 到直线10x y +-=的距离的最大值. 【详解】圆C 的圆心坐标为()3cos ,sin θθ+，半径为1，点C 到直线10x y +-=的距离为sin 14d πθ⎛⎫===++≤+ ⎪⎝⎭因此，点P 到直线1x y +=距离的最大值为12122++=+. 故选：D. 【点睛】本题考查圆上一点到直线距离的最值问题，当直线与圆相离时，圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则圆上一点到直线的距离的最大值为d r +，最小值为d r -，解题时要熟悉这个结论的应用，属于中等题. 4．D 【解析】设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径22411k k d k -=≤+，得222141,3k k k ≤+≤，选择C 另外，数形结合画出图形也可以判断C 正确． 5．C 【解析】【分析】由题意画出图形，求出AB 的斜率，得到AB 的方程，求得p ，可得抛物线方程，联立直线方程与抛物线方程，求解A 的坐标，再由抛物线定义求解AF 的长．【详解】解：如图，过B 作'BB 垂直于准线，垂足为'B ，则'BF BB =，由7BN BF =，得7'BN BB =，可得1sin 7BNB '∠=， 3cos 7BNB '∴∠=-，tan 43BNB '∠=又()23,0M ，AB ∴的方程为2343y x =-，取0x =，得12y =，即10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1p =，∴抛物线方程为22x y =．联立223432y x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得23A y =．12172326A AF y ∴=+=+=．故选：C ．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． 6．D 【解析】【分析】设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点，根据对称性可得出22,22P c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入双曲线C 的方程，即可求出双曲线C 的离心率. 【详解】设双曲线C 的焦距为()20c c >，设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点，由双曲线的对称性可知，点P 、Q 关于y 轴对称，P 、M 关于原点对称，P 、N 关于x 轴对称，由于四边形PQMN 为正方形，则直线PM 的倾斜角为4π，可得,22P c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入双曲线C 的方程得2222122c c a b -=，即()22222122c c a c a -=-，设该双曲线的离心率为()1e e >，则()2221221e e e -=-，整理得42420e e -+=，解得22e =，因此，双曲线C 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标，考查计算能力，属于中等题. 7．C 【解析】【分析】根据抛物线的定义，表示出MF ，再表示出MD ，利用5sin 7MFA ∠=，得到0x 和p 之间的关系，将M 点坐标，代入到抛物线中，从而解出p 的值，得到答案.【详解】抛物线C ：22(0)y px p =>，其焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程2p x =-，因为点(002p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线上一点，所以02p MF x =+AB所在直线2p x =，设MD AB ⊥于D ，则02p MD x =-，因为5sin 7MFA ∠=，所以57 MD MF=，即5272pxpx-=+整理得03x p=所以()3,66M p将M点代入到抛物线方程，得()26623p p=⨯，0p>解得6p=，所以抛物线方程为212y x=故选：C.【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与圆的位置关系，求抛物线的标准方程，属于中档题.8．A【解析】【分析】结合椭圆性质，得到a,b,c的关系，设2AF x=，用x表示112,AF F F,结合余弦定理，用c表示x，结合三角形面积公式，即可。

高三数学复习解析几何(含答案)

苏州市高三数学解析几何一．填空题【考点一】：直线方程及直线与直线的位置关系例1．若直线ax ＋(2a －1)y ＋1＝0和直线3x ＋ay ＋3＝0垂直，则a 的值为_________．【答案】a ＝0或a ＝－1．【解析】由两直线垂直得3a ＋(2a －1)a ＝0，解得a ＝0或a ＝－1．例2．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的范围是_________．【答案】⎝⎛⎭⎫π6，π2．【解析】方法一：由⎩⎨⎧y ＝kx －3，2x ＋3y －6＝0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋332＋3k ，y ＝6k －232＋3k .因为交点在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧6＋332＋3k ＞0，6k －232＋3k ＞0，解得：k ＞33．所以，直线l 的倾斜角的范围是⎝⎛⎭⎫π6，π2．方法二：因为直线l ：y ＝kx －3恒过定点(0，－3)，直线2x ＋3y －6＝0与x 轴，y 轴交点的坐标分别为(3,0)，(0,2) ．又点(0，－3)与点(3,0)连线的斜率为0＋33－0＝33，点(0，－3)与点(0,2)连线的斜率不存在，所以要使直线l 与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则k ＞33，所以直线l 的倾斜角的范围是⎝⎛⎭⎫π6，π2．例3．已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是．【答案】⎝⎛⎭⎫1－22，12．【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝ax ＋b 消去x ，得y ＝a ＋ba ＋1，当a ＞0时，直线y ＝ax ＋b 与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫－b a ，0，结合图形知12×a ＋b a ＋1×⎝⎛⎭⎫1＋b a ＝12，化简得(a ＋b )2＝a (a ＋1)，则a ＝b 21－2b．∵a ＞0，∴b 21－2b ＞0，解得b ＜12．考虑极限位置，即a ＝0，此时易得b ＝1－22，故答案为⎝⎛⎭⎫1－22，12．例4．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则P A ·PB 的最大值是．【答案】5．【解析】因为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0分别过定点A ，B ，所以A (0,0)，B (1,3)．当点P 与点A (或B )重合时，P A ·PB 为零；当点P 与点A ，B 均不重合时，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知此两直线垂直，所以△APB 为直角三角形，所以AP 2＋BP 2＝AB 2＝10，所以P A ·PB ≤P A 2＋PB 22＝102＝5，当且仅当P A ＝PB 时，上式等号成立．【考点二】：圆方程及直线与圆的位置关系例5．圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)，则该圆的标准方程是．【答案】(x －1)2＋(y ＋4)2＝8．【解析】方法一：如图，设圆心(x 0，－4x 0)，依题意得4x 0－23－x 0＝1，∴x 0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r ＝22，故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8．方法二：设所求方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2，根据已知条件得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=--+--=r y x r y x x y 2|1|)2()3(4002202000，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==224100r y x ，因此所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8．例6．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为________．【答案】6【解析】如图所示，则圆心C 的坐标为(3，4)，半径r ＝1，且AB ＝2m ．因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知OP ＝12AB ＝m ．要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为OC ＝32＋42＝5，所以OP max ＝OC ＋r ＝6，即m 的最大值为6．例7．在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A ，O 是坐标原点，若在直线0x y m ++=上总存在点P，使得PA ，则实数m 的取值范围是．【答案】11m +≤．【解析】设P (x ,y ),由PA =得,化简得22(1)3x y ++=,所以点P 是直线0x y m ++=与圆22(1)3x y ++=,的公共点，即直线与圆,解得11m -≤．例8．已知圆C ：22(1)5x y +-=，A 为圆C 与x 负半轴的交点，过点A 作圆的弦AB ，记线段AB 的中点为M ．若OA OM =，则直线AB 的斜率．【答案】2k =．【解析】设直线AB ：(2)y k x =+．因为CM AB ⊥，直线CM ：11y x k=-+．将它与直线AB 的方程联立得222(12)2(,)11k k k kM k k -+++．因为2OA OM ==2=，2k =±．当2k =-不符合，故2k =．例9．已知直线3y ax =+与圆22280x y x ++-=相交于,A B 两点，点00(,)P x y 在直线2y x =上，且PB PA =，则0x 的取值范围为．【答案】(1,0)(0,2)-．【解析】先从第一个条件出发，确定参数a 的取值范围．因为P 在线段AB 的中垂线上，从而用a 的代数式表示直线PC 的斜率后得到00211x x a=-+， 3,04a a <->解得：0x 的取值范围为(1,0)(0,2)-．例10．设P 为直线3x ＋4y ＋3＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形P ACB 的面积的最小值为________．【答案】3．【解析】圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心是点C (1,1)，半径是1，易知PC 的最小值等于圆心C (1,1)到直线3x ＋4y ＋3＝0的距离，即105＝2，而四边形P ACB 的面积等于2S △P AC ＝2×(12P A ·AC )＝P A ·AC ＝P A ＝PC 2－1＝22－1＝3，因此四边形P ACB 的面积的最小值是3．例11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()41:22=-+y x C ．若等边PAB ∆的一边AB为圆C 一条弦，则PC 的最大值为．【答案】4．【解析】由PAB ∆为等腰三角形，PAB ∆为等边三角形，故PC 与AB 垂直，设PC 与AB 交于点H ，记,,AH BH x PH y PC t ====，则CH =，满足()224,0x y x y t y ⎧+=>⎪⎨=+⎪⎩求PC的最小值．记直线:l y t =+，利用线性规划作图，可知当直线l 与圆弧()224,0x y x y +=>相切时，则t 取最大值，求得max 4t =，即PC 的最大值为4．例12．已知圆C 的方程为22(1)(1)9x y -+-=，直线:3l y kx =+与圆C 交于,A B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的范围________．【答案】k ≥34-．【解析】因为5MC <，只要MC ≥1对于任意的点M 恒成立，只需点位于的中点时存在公共点即可．点（1，1）到直线的距离d =≥1，解得：k ≥34-．【考点三】：圆锥曲线方程与性质例13．若椭圆2215x y m+=的离心率e =，则m 的值是________．【答案】3或253．【解析】当焦点在x轴上时，e ==3m =；当焦点在y轴上时，e ==253m =．例14．设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上的一点,∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为________．【答案】34．【解析】∆21F PF 是底角为30的等腰三角形221332()224c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔== ．例15．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF ．若AB ＝10，BF ＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为________．【答案】35．【解析】如图，设AF ＝x ，则cos ∠ABF ＝82＋102－x 22×8×10＝45．解得x ＝6，∴∠AFB ＝90°，由椭圆及直线关于原点对称可知AF 1＝8，∠F AF 1＝∠F AB ＋∠FBA ＝90°，△F AF 1是直角三角形，所以F 1F ＝10，故2a ＝8＋6＝14，2c ＝10，∴c a ＝57．例16．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为．【答案】6．【解析】由题意，F （-1，0），设点P 00(,)x y ，则有2200143x y +=,解得22003(1)4x y =-，因为00(1,)FP x y =+，00(,)OP x y =，所以2000(1)OP FP x x y ⋅=++=00(1)OP FP x x ⋅=++203(1)4x -=20034x x ++，此二次函数对应的抛物线的对称轴为02x =-，因为022x -≤≤，所以当02x =时，OP FP ⋅取得最大值222364++=．例17．设P 是有公共焦点F 1，F 2的椭圆C 1与双曲线C 2的一个交点，且PF 1⊥PF 2，椭圆C 1的离心率为e 1，双曲线C 2的离心率为e 2.若e 2＝3e 1，则e 1＝________．【答案】53．【解析】设椭圆C 1的长半轴长为a 1，短半轴长为b 1，双曲线C 2的实半轴长为a 2，虚半轴长为b 2.∵ PF 1⊥PF 2，根据椭圆的性质可得S △PF 1F 2＝b 21，又e 1＝c a 1，∴ a 1＝c e 1，∴ b 21＝a 21－c 2＝c 2⎝⎛⎭⎫1e 21－1.根据双曲线的性质可得S △PF 1F 2＝b 22，∵ e 2＝c a 2，a 2＝c e 22，∴ b 22＝c 2－a 22＝c 2⎝⎛⎭⎫1－1e 22，∴ c 2⎝⎛⎭⎫1e 21－1＝c 2⎝⎛⎭⎫1－1e 22，即1e 21＋1e 22＝2.∵ 3e 1＝e 2，∴ e 1＝53. 例18．已知直线:20l x y m -+=上存在点M 满足与两点(2,0)A -，(2,0)B 连线的斜率34MA MB K K =-，则实数m 的值是___________．【答案】[]4,4-．【解析】点M 的轨迹为221(2)43x y x +=≠．把直线:2l x y m =-代入椭圆方程得，221612(312)0y my m -+-=．根据条件，上面方程有非零解，得△≥0，解得－4≤m ≤4．例19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>．双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为．【答案】152022=+y x ．【解析】因为椭圆的离心率为23, 所以23==a c e ,2243a c =,222243b a ac -==，所以2241a b =,即224b a =．双曲线的渐近线为x y ±=，代入椭圆得12222=+bx a x ，即1454222222==+b x b x b x ．所以b x b x 52,5422±==,2254b y =,b y 52±=，则第一象限的交点坐标为)52,52(b b ．四边形的面积为16516525242==⨯⨯b b b ，故52=b ．因此，椭圆方程为152022=+y x ．例20．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=＞＞，的左、右焦点分别为12F F ，，以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ．若1230PF F ∠=︒，则该双曲线的离心率为．1．【解析】由双曲线定义易得，12122,PF PF a PF -==，1212212F F ce a PF PF ===-．例21．已知圆O ：224x y +=与x 轴负半轴的交点为A ，点P 在直线l0y a +-=上，过点P 作圆O 的切线，切点为T ．（1）若a ＝8，切点1)T -,求直线AP 的方程；（2）若P A =2PT ，求实数a 的取值范围．【解析】由题意，直线PT 切于点T ，则OT ⊥PT ，又切点T 的坐标为(4,3)-，所以OT k =，1PT OT k k =-=，故直线PT的方程为1y x +-40y --=．联立直线l 和PT，40,80,y y --=+-=解得2,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩即2)P ，所以直线AP的斜率为k ===，故直线AP的方程为2)y x =+，即1)21)0x y -+=，即1)20x y -+=．（2）设(,)Pxy ，由P A ＝2PT ，可得2222(2)4(4)x y x y ++=+-，即22334200x y x ++-=，即满足P A ＝2PT 的点P 的轨迹是一个圆22264()39x y -+=，所以问题可转化为直线0y a +-=与圆22264()39x y -+=有公共点，所以83d =，即16|3a -≤a ．例22．已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0． (1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个交点；(2)设直线l 与圆C 交于点A ，B ，若AB ＝17，求直线l 的倾斜角；(3)设直线l 与圆C 交于A ，B ，若定点P (1,1)满足2AP →＝PB →，求此时直线l 的方程．【解析】(1)证明直线l 恒过定点P (1,1)，由12＋(1－1)2<5知点P 在圆C 内，所以直线l 与圆C 总有两个交点．(2)圆心到直线的距离d ＝222⎪⎭⎫ ⎝⎛-AB r ＝32，又d ＝|0－1＋1－m |m 2＋1，所以32＝|0－1＋1－m |m 2＋1，解得m ＝±3，所以，l 的倾斜角为π3或2π3．(3)方法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由2AP →＝PB →得：2(1－x 1,1－y 1)＝(x 2－1，y 2－1)，所以x 2＋2x 1＝3，①直线l 的斜率存在，设其方程为y －1＝k (x －1)，⎩⎨⎧=-+-=-5)1()1(122y x x k y ⇒(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－5＝0，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+③②,15,1222212221k k x x k k x x由①②③消去x 1，x 2解得k ＝±1，故所求直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0．方法二：如图，过点C 作CD ⊥AB 于D ，设AP ＝t ，则PB ＝2t ，AD ＝1．5t ，PD ＝0．5t ．在Rt △CDP 中，有CP 2＝CD 2＋PD 2，得CD 2＝1－(0．5t )2，在Rt △CDA 中，CD 2＝5－()1.5t 2，所以t ＝2，从而，CD ＝22，又直线AB 的方程为mx －y ＋1－m ＝0，d ＝|m |m 2＋1＝22，解得m ＝±1，故所求直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0．例23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点(在x 轴上方)，连结PF 1并延长交椭圆于另一点Q ，设PF 1→＝λF 1Q →.(1) 若点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32，且△PQF 2的周长为8，求椭圆C 的方程； (2) 若PF 2垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率e ∈⎣⎡⎦⎤12，22，求实数λ的取值范围．【解析】 (1) 因为F 1，F 2为椭圆C 的两焦点，且P ，Q 为椭圆上的点，所以PF 1＋PF 2＝QF 1＋QF 2＝2a ，从而△PQF 2的周长为4a .由题意，得4a ＝8，解得a ＝2.因为点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32，所以1a 2＋94b2＝1，解得b 2＝3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2) (法1)因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设P (c ，y 0)，y 0＞0.设Q (x 1，y 1)．因为P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20b 2＝1，解得y 0＝b 2a ，即P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a .因为F 1(－c ，0)，所以PF 1→＝⎝⎛⎭⎫－2c ，－b 2a ，F 1Q →＝(x 1＋c ，y 1)．由PF 1→＝λF 1Q →，得－2c ＝λ(x 1＋c )，－b 2a＝λy 1，解得x 1＝－λ＋2λc ，y 1＝－b2λa ，所以Q ⎝⎛⎭⎪⎫－λ＋2λc ，－b 2λa .因为点Q 在椭圆上，所以⎝⎛⎭⎫λ＋2λ2e 2＋b2λ2a2＝1，即(λ＋2)2e 2＋(1－e 2)＝λ2，(λ2＋4λ＋3)e 2＝λ2－1.因为λ＋1≠0，所以(λ＋3)e 2＝λ－1，从而λ＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3. 因为e ∈⎣⎡⎦⎤12，22，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5.所以λ的取值范围是⎣⎡⎦⎤73，5.(法2)因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设P (c ，y 0)，y 0＞0.因为P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20b 2＝1，解得y 0＝b 2a，即P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a . 因为F 1(－c ，0)，故直线PF 1的方程为y ＝b 22ac(x ＋c )．由⎩⎨⎧y ＝b22ac（x ＋c ），x 2a 2＋y2b 2＝1，得(4c 2＋b 2)x 2＋2b 2cx ＋c 2(b 2－4a 2)＝0.因为直线PF 1与椭圆有一个交点为P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，设Q (x 1，y 1)，则x 1＋c ＝－2b 2c 4c 2＋b 2，即－c －x 1＝2b 2c4c 2＋b 2.因为PF 1→＝λF 1Q →所以λ＝2c －c －x 1＝4c 2＋b 2b 2＝3c 2＋a 2a 2－c 2＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3. 因为e ∈⎣⎡⎦⎤12，22，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5.所以λ的取值范围是⎣⎡⎦⎤73，5.例24．如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P (1，32)，离心率e ＝12，直线l 的方程为x＝4.(1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记P A ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3.问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．【解析】(1)由P ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆上得，1a 2＋94b 2＝1.① 依题设知a ＝2c ，则b 2＝3c 2.② ②代入①解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)法一：由题意可设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)．③代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12并整理，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有 x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4(k 2－3)4k 2＋3.④在方程③中令x ＝4得，M 的坐标为(4,3k )．从而k 1＝y 1－32x 1－1，k 2＝y 2－32x 2－1，k 3＝3k －324－1＝k －12.由于A ，F ，B 三点共线，则有k ＝k AF ＝k BF ，即有y 1x 1－1＝y 2x 2－1＝k . 所以k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1－32⎝⎛⎭⎫1x 1－1＋1x 2－1＝2k －32·x 1＋x 2－2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1.⑤④代入⑤得k 1＋k 2＝2k －32·8k 24k 2＋3－24(k 2－3)4k 2＋3－8k 24k 2＋3＋1＝2k －1，又k 3＝k －12，所以k 1＋k 2＝2k 3.故存在常数λ＝2符合题意．法二：设B (x 0，y 0)(x 0≠1)，则直线FB 的方程为y ＝y 0x 0－1(x －1)，令x ＝4，求得M ⎝⎛⎭⎫4，3y 0x 0－1，从而直线PM 的斜率为k 3＝2y 0－x 0＋12(x 0－1)，联立⎩⎨⎧y ＝y 0x 0－1(x －1)，x 24＋y23＝1，得A ⎝⎛⎭⎪⎫5x 0－82x 0－5，3y 02x 0－5，则直线P A 的斜率为k 1＝2y 0－2x 0＋52(x 0－1)，直线PB 的斜率为k 2＝2y 0－32(x 0－1)，所以k 1＋k 2＝2y 0－2x 0＋52(x 0－1)＋2y 0－32(x 0－1)＝2y 0－x 0＋1x 0－1＝2k 3，故存在常数λ＝2符合题意．例25．如图6，已知椭圆22:1124x y C +=，点B 是其下顶点，过点B 的直线交椭圆C 于另一点A （A 点在x 轴下方），且线段AB 的中点E 在直线y x =上．（1）求直线AB 的方程；（2）若点P 为椭圆C 上异于,A B 的动点，且直线,AP BP 分别交直线y x =于点,M N ，证明：OM ON ⋅为定值．【解析】（1）设点E （m ，m ），由B （0，－2）得A （2m ，2m +2）．代入椭圆方程得224(22)1124m m ++=，即22(1)13m m ++=，解得32m =-或0m =（舍）．所以A （3-，1-）．故直线AB 的方程为360x y ++=．（2）设00(,)P x y ，则22001124x y +=，即220043x y =-．设),(M M y x M ，由M P A ,,三点共线， ∴)3)(1()1)(3(00++=++M M x y y x ．又点M 在直线x y =上，图6解得M 点的横坐标000032M y x x x y -=-+．设),(N N y x N ，由N P B ,,三点共线， ∴00(2)(2)N N x y y x +=+．点N 在直线y x =上，解得N 点的横坐标00022N x x x y -=--．所以OM ON ⋅0|0|M N x x --=2||||M N x x ⋅＝200003||2y x x y --+0002||2x x y -⋅--=2000200262||()4x x y x y ---=2000220000262||23x x y x x x y ---=2000200032||3x x y x x y --=6．例26．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－1，0)，左准线方程为x ＝－2.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．① 若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足P A →＝λAF →，PB →＝μBF →.求证：λ＋μ为定值；② 若OA ⊥OB (O 为原点)，求△AOB 面积的取值范围．【解析】(1)由题设知c ＝1，a 2c＝2，a 2＝2c ，∴ a 2＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，∴ 椭圆C ：x 22＋y 2＝1.(2) ① 证明：由题设知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，则P (0，k )．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 方程代入椭圆方程，得x 2＋2k 2(x ＋1)2＝2，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，∴ x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.由P A →＝λAF →，PB →＝μBF →知，λ＝－x 11＋x 1，μ＝－x 21＋x 2，∴ λ＋μ＝－x 1＋x 2＋2x 1x 21＋x 1＋x 2＋x 1x 2＝－－4k 21＋2k 2＋4k 2－41＋2k 21＋－4k 21＋2k 2＋2k 2－21＋2k2＝－－4－1＝－4(定值)． ②当直线OA ，OB 分别与坐标轴重合时，易知△AOB 的面积S ＝22.当直线OA ，OB 的斜率均存在且不为零时，设OA ：y ＝kx ，OB ：y ＝－1kx .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝kx 代入椭圆C 方程，得x 2＋2k 2x 2＝2，∴ x 21＝22k 2＋1，y 21＝2k 22k 2＋1，同理可得x 22＝2k 22＋k 2，y 22＝22＋k 2， △AOB 的面积S ＝OA ·OB 2＝（k 2＋1）2（2k 2＋1）（k 2＋2）.令t ＝k 2＋1∈[1，＋∞)，则S ＝t 2（2t －1）（t ＋1）＝12＋1t －1t2；令u ＝1t∈(0，1)，则S ＝1－u 2＋u ＋2＝1－⎝⎛⎭⎫u －122＋94∈⎣⎡⎭⎫23，22. 综上所述，S ∈⎣⎡⎦⎤23，22，即△AOB 面积的取值范围是⎣⎡⎦⎤23，22.三．课本改编题1．课本原题（必修2第112页习题2．2第12题）：已知点(,)M x y 与两个定点(0,0),(3,0)O A 的距离之比为12，那么点M 的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点M 所构成的曲线．改编1：（2008高考江苏卷第13题）满足条件2,AB AC ==的三角形ABC 的面积的最大值为．改编2：（2013高考江苏卷第18题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y=2x －4．设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（1）若圆心C 也在直线y =x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程；（2）若圆C 上存在点M ，使MA =2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．[说明]：利用阿波罗尼斯圆进行命题的经典考题很多，最著名的当属高考中出现的这两题．课本上虽未出现阿波罗尼斯圆的字眼，但是必修2教材上的这道习题已经体现了这类问题的本质．如果我们平时能钻研教材，对这道习题有所研究，那么我们的数学意识就会有所增强，再碰到此类问题时就会得心应手．2．课本原题（1）（选修2-1第42页习题第5题）在ABC D 中，(6,0),(6,0)B C -，直线AB 、AC 的斜率乘积为94，求顶点A 的轨迹．原题（2）（选修2-2第105页复习题第14题）：已知椭圆具有如下性质：设M 、N 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上关于原点对称的两点，点P 是椭圆上的任意一点．若直线PM 、PN 的斜率都存在并分别记为,PM PN k k ，则P M P N k k ×是与点P 的位置无关的定值．试类比椭圆，写出双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个类似性质，并加以证明．改编1：（2012年南通市高三数学第二次模拟考试第13题）在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，B 、C 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为D ．若cos ∠F 1BF 2=725，则直线CD 的斜率为____．改编2：（2013苏北四市期末18题第2、3问）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E的方程为22143x y +=．若点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点.M（1）设直线OM 的斜率为,1k 直线BP 的斜率为2k ，求证：21k k 为定值；（2）设过点M 垂直于PB 的直线为m ．求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标．改编3：（2011年高考江苏卷第18题）如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆22142x y+=的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线P A的斜率为k．（1）当直线P A平分线段MN，求k的值；（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k>0，求证：P A⊥PB．[说明]原题是推理与证明中的复习题，教学中可以把握教材前后的联系，在椭圆的学习中就可以对该结论进行探究．利用该结论进行命题的经典考题非常多，以上几例利用这个结论会大大降低运算的难度．平时我们要多留意课本上的常见结论，加强知识储备，这对提高我们的解题能力大有帮助．3．课本原题（必修2 P88思考运用13）：已知直线l 过点（2，3），与两坐标轴在第一象限围成的三角形面积为16，求该直线l 的方程改编1：过点（-5，-4）且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程是． [解析]设所求直线方程为)5(4+=+x k y ．依题意有5)45)(54(21=--k k． ∴01630252=+-k k （无解）或01650252=+-k k ，解得52=k ,或58=k ． ∴直线的方程是01052=--y x ,或02058=+-y x ．改编2：（2006年上海春季卷）已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 面积的最小值为． [解析]设直线AB 的方程为)0()2(1<-=-k x k y ，则1111111(2)(12)44[4(4)()][442222OAB S k k k k k k ∆=--=--=+-+-+=≥，当且仅当k k 14-=-即21-=k 时取等号， ∴当21-=k 时，OAB S ∆有最小值4．改编3：已知射线)0(4:>=x x y l 和点)4,6(M ，在射线l 上求一点N ，使直线MN 与l 及x 轴围成的三角形面积S 最小． [解析]设)1)(4,(000>x x x N ，则直线MN 的方程为0)4)(6()6)(44(00=-----y x x x ．令0=y 得1500-=x x x ， ∴]211)1[(101]1)1[(101104)15(2100020020000+-+-=-+-=-=⋅-=x x x x x x x x x S2]40=≥，当且仅当11100-=-x x 即20=x 时取等号． ∴当N 为（2，8）时，三角形面积S 最小．[说明]原题的本质是建立三角形的面积与斜率之间的方程关系，通过解方程求出未知量，而变体题则是建立这两者之间的函数关系，利用求函数最值的知识解决问题。

2020年高考选择题填空题压轴系列1---解析几何部分

2020年高考选择题填空题压轴系列1----解析几何部分1、12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，若双曲线上存在点P 满足212PF PF a ⋅=-uu u r uu u r ，则双曲线的离心率的取值范围为（）A. )+∞B. )+∞C.D.分析：求离心率的取值范围从题目中找出关于,,a b c 的不等式，不等式可以是题目存在的范围（例如,x y 或角的范围等等）解析：由已知得12,(,0)F c F c （-,0)，设点P （m,n)，则1=PF uu u r （-c-m,-n)，1=PF uu u r （c-m,-n)，222m n a +≥，222212m PF PF c n a ⋅=-+=-uu u r uu u r ，得2222m n c a +=-所以22222m n c a a +=-≥，22222c a e e ≥⇒≥⇒≥故选B方法点睛：通过题目中现有范围（如,x y ，焦半径的范围等等），转化成,,a b c 的不等式，进而转化成离心率的范围2、已知F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过F 点作垂直于x 轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点M ，若2FM a =，记该双曲线的离心率为e ，则2e =（）A. 2B.4C. 2D. 4分析：求离心率题目，根据题目的条件构建一个,,a b c 的等式，本题2FM a =就是等式，只需转化为,,a b c 的等式即可.解析：由题意得,0)F c （，双曲线的方程为b y x a =±，不妨设M 在b y x a =上，则,)bc M c a （则2bc FM a a==，即22bc a =，由222b c a =-得2224)4c a c a -=（即22421)440e e e e -=⇒--=（，解得2e ，故选A 方法点睛：根据题目条件构建一个,,a b c 的等式，进而求出离心率.3、已知椭圆的方程为22+194x y =，过椭圆中心的直线交椭圆于,A B 两点，2F 是椭圆的右焦点，则三角形2ABF 的周长的最小值为______,三角形2ABF 的面积的最大值为_____. 分析：要熟悉椭圆的的几何性质，结合题目条件，与焦点有关的性质，尤其是椭圆的定义及焦点三角形的性质.解析：如图因为椭圆的对称性得，四边形12F BF A 为平行四边形，显然2212+=2=6BF F A AF F A a +=，所以要使三角形2ABF 周长最小，只需=24AB b =，所以三角形2ABF 的周长的最小值为10. 因为212125252ABF F F A A S S c y ==⨯⨯== 方法点睛：遇到与焦点有关问题一定联系椭圆的定义及焦点三角形，注意两个焦点可以相互转换.4、已知F 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，抛物线C 上的点,A B 满足4AF FB =uu u r uu r，若,A B 在准线上的射影分别为,M N ，且MFN ∆的面积为5，则AB =A. 94B. 134C. 214D. 254分析：本题是抛物线涉及到焦点弦的问题，设出焦点弦，用常规方法可以解决，也可以用平面几何的方法解决该问题.解析：(法一)由已知得，设过焦点F 的直线为()2p y k x =-，代入抛物线2:2(0)C y px p =>得22222(2)04p k k x pk p x -+-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则212=y y p -，又4AF FB =uu u r uu r 所以12=4y y -，又因为221251052MFN S p MN p MN y y p ∆==⇒==⇒=- 则1121281252,4,44y p x x AB x x p p =⇒===⇒=++=，故选D（法二）如图过点B 作x 轴的垂线，交x 轴的于G ,交AM 于H ,设BF a =，由4=4AF FB AF a =⇒uu u r uu r ，由抛物线的定义得BF BN a ==,=4AF AM a = 所以GF p a =-，43AH a a a =-= 由三角形相似得1833555p a p a GF a a -=⇒=⇒= 由勾股定理得4MN a =，由185255422544MFN S a a a p AB ∆==⋅⋅⇒=⇒==，故选D方法点睛：焦点弦问题注意利用定义，特别还可用平面几何来解决会更加简单.5、已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，以12,F F 为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为,M N ，设四边形12F NF M 的周长为p ，面积S 为232S p =，且满足，则双曲线的渐近线方程为（）A. 12y x =± B. 22y x =± C. 32y x =± D. 223y x =± 分析：根据双曲线的定义和性质，找到,a b 的关系，特别是焦点三角形的特点. 解析：由已知得，122MF MF a -=，且122p MF MF +=，所以得12=,44p p MF a MF a +=-因为以12,F F 为直径的圆，所以四边形12F NF M为矩形，所以2212=()()4416p p p S MF MF a a a =⋅+-=-，即2222232)3216p a p p a -=⇒=（因为22222212+4c 248p MF MF a c =⇒+=，所以2222222222244322222b a ac a c a b a b a +=⇒==+⇒=⇒=± 故选BF AB M N xyG O H方法点睛：要重视双曲线定义和焦点三角形的性质.6、已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于两点,A B ，若在以线段AB 为直径的圆上存在两点,M N ，在直线:0l x y a ++=上存在点Q ，使得90MQN ︒∠=，则实数a 的取值范围（）A. [13,3]-B. [3,3]-C. [3,13]-D. [13,13]- 分析：本题的关键是把90MQN ︒∠=转化为点D 到点Q 的距离的范围，进而转化成点3,2)D （到直线:0l x y a ++==解析：设点,A B 两点的横坐标分别为12,x x ，线段AB 的中点为D ,过点F (1,0)且斜率为1的直线方程为1y x =-，联立得2216104y x x x y x =-⎧⇒-+=⎨=⎩，所以12+=6x x所以的中点坐标为3,2)D（，12++2=8,AB x x =所以以线段AB 为直径的圆的圆心为3,2)D （，半径为4，所以圆的方程为22(3)+(2)=16x y --，因为在圆上存在两点,M N ，在直线:0l x y a ++=上存在点Q ，使得90MQN ︒∠=，所以在直线上存在点Q ，使得点Q 到3,2)D（=，所以使得点Q 到3,2)D （的距离小于或等于=只需点3,2)D （到直线:0l x y a ++=的距离小于或等于即可，即133a ≤⇒-≤≤，故选A方法点睛：注意用极限位置法找出界点的取值，本题中使得点Q 到3,2)D（的距离小于或等=就是个极限位置。

全国中考数学压轴题精选-解析几何详细解析

全国中考数学压轴题精选-解析几何71.（中考江苏镇江28题）（本小题满分8分）探索研究如图，在直角坐标系xOy 中，点P 为函数214y x =在第一象限内的图象上的任一点，点A 的坐标为(01)，，直线l 过(01)B -，且与x 轴平行，过P 作y 轴的平行线分别交x 轴，l 于C Q ，，连结AQ 交x 轴于H ，直线PH 交y 轴于R ．（1）求证：H 点为线段AQ 的中点；（2）求证：①四边形APQR 为平行四边形；②平行四边形APQR 为菱形；（3）除P 点外，直线PH 与抛物线214y x =有无其它公共点？并说明理由．（中考江苏镇江28题解析）（1）法一：由题可知1AO CQ ==．90AOH QCH ∠=∠=o Q ，AHO QHC ∠=∠，AOH QCH ∴△≌△．············································································· （1分） OH CH ∴=，即H 为AQ 的中点． ···························································· （2分）法二：(01)A Q ，，(01)B -，，OA OB ∴=． ·················································· （1分）又BQ x ∥轴，HA HQ ∴=． ···································································· （2分）（2）①由（1）可知AH QH =，AHR QHP ∠=∠，AR PQ Q ∥，RAH PQH ∴∠=∠，RAH PQH ∴△≌△． ············································································· （3分） AR PQ ∴=，又AR PQ ∥，∴四边形APQR 为平行四边形． ············································· （4分）②设214P m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，PQ y Q ∥轴，则(1)Q m -，，则2114PQ m =+．过P 作PG y ⊥轴，垂足为G ，在Rt APG △中，x2114AP m PQ ====+=．∴平行四边形APQR为菱形． ····································································（6分）（3）设直线PR为y kx b=+，由OH CH=，得22mH⎛⎫⎪⎝⎭，，214P m m⎛⎫⎪⎝⎭，代入得：221.4mk bkm b m⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，221.4mkb m⎧=⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩，∴直线PR为2124my x m=-．·····················（7分）设直线PR与抛物线的公共点为214x x⎛⎫⎪⎝⎭，，代入直线PR关系式得：2211424mx x m-+=，21()04x m-=，解得x m=．得公共点为214m m⎛⎫⎪⎝⎭，．所以直线PH与抛物线214y x=只有一个公共点P．·······································（8分）72（中考黑龙江齐齐哈尔28题）（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，点(30)C-，，点A B，分别在x轴，y轴的正半轴上，且满足10OA-=．（1）求点A，点B的坐标．（2）若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连结AP．设ABP△的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使以点A B P，，为顶点的三角形与AOB△相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．x（中考黑龙江齐齐哈尔28题解析）解：（1）10OA -=Q230OB ∴-=，10OA -= ······································································· （1分）OB ∴=，1OA =Q 点A ，点B 分别在x 轴，y 轴的正半轴上(10)(0A B ∴，， ·················································································· （2分）（2）求得90ABC ∠=o············································································· （3分）(0(t t S t t ⎧<⎪=⎨->⎪⎩ ≤（每个解析式各1分，两个取值范围共1分） ················································ （6分）（3）1(30)P -，；21P ⎛- ⎝；31P ⎛ ⎝；4(3P （每个1分，计4分） ··········································································································· （10分）注：本卷中所有题目，若由其它方法得出正确结论，酌情给分．73（中考海南省卷24题）（本题满分14分）如图13，已知抛物线经过原点O 和x 轴上另一点A ,它的对称轴x =2 与x 轴交于点C ，直线y =-2x -1经过抛物线上一点B (-2,m )，且与y 轴、直线x =2分别交于点D 、E .（1）求m 的值及该抛物线对应的函数关系式；（2）求证：① CB =CE ；② D 是BE 的中点；（3）若P (x ，y )是该抛物线上的一个动点，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.（中考海南省卷24题解析）（1）∵ 点B (-2,m )在直线y =-2x -1上，∴ m =-2×(-2)-1=3. ………………………………（2分） ∴ B (-2,3)∵ 抛物线经过原点O 和点A ，对称轴为x =2， ∴ 点A 的坐标为(4,0) .设所求的抛物线对应函数关系式为y =a (x -0)(x -4). ……………………（3分）将点B (-2,3)代入上式，得3=a (-2-0)(-2-4)，∴ 41=a . ∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为)4(41-=x x y ，即x x y -=241. （6分）（2）①直线y =-2x -1与y 轴、直线x =2过点B 作BG ∥x 轴，与y 轴交于F 、直线x 则BG ⊥直线x =2，BG =4.在Rt △BGC 中，BC =522=+BG CG .∵ CE =5，∴ CB =CE =5. ……………………（9分）②过点E 作EH ∥x 轴，交y 轴于H ，则点H 的坐标为H (0,-5). 又点F 、D 的坐标为F (0,3)、D (0,-1)，∴ FD =DH =4，BF =EH =2，∠BFD =∠EHD ∴ △DFB ≌△DHE （SAS ），∴ BD =DE .即D 是BE 的中点. （3）存在. 由于PB =PE ，∴ 点P 在直线CD 上，∴ 符合条件的点P 是直线CD 与该抛物线的交点.设直线CD 对应的函数关系式为y =kx +b .将D (0,-1) C (2,0)代入，得⎩⎨⎧=+-=021b k b . 解得 1,21-==b k .∴ 直线CD 对应的函数关系式为y =21x -1.∵ 动点P 的坐标为(x ，x x -241)，∴ 21x -1=x x -241. ………………………………（13分）解得 531+=x ，532-=x . ∴ 2511+=y ，2511-=y .∴ 符合条件的点P 的坐标为(53+，251+)或(53-，251-).…（14分）(注：用其它方法求解参照以上标准给分.)74.（中考广东东莞22题）（本题满分9分）将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB 重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC 与BD 相交于点E ，连结CD ． (1)填空：如图9，AC= ，BD= ；四边形ABCD 是梯形. (2)请写出图9中所有的相似三角形（不含全等三角形）.(3)如图10，若以AB 所在直线为x 轴，过点A 垂直于AB 的直线为y 轴建立如图10的平面直角坐标系，保持ΔABD 不动，将ΔABC 向x 轴的正方向平移到ΔFGH 的位置，FH 与BD 相交于点P ，设AF=t ，ΔFBP 面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值值范围.（中考广东东莞22题解析）解：（1）…………………………1分等腰；…………………………2分（2）共有9对相似三角形.（写对3－5对得1分，写对6－8对得2分，写对9对得3分）①△DCE 、△ABE 与△ACD 或△BDC 两两相似，分别是：△DCE ∽△ABE ，△DCE ∽△ACD ，△DCE ∽△BDC ，△ABE ∽△ACD ，△ABE ∽△BDC ；(有5对)②△ABD ∽△EAD ，△ABD ∽△EBC ；(有2对) ③△BAC ∽△EAD ，△BAC ∽△EBC ；(有2对)所以，一共有9对相似三角形.…………………………………………5分（3）由题意知，FP ∥AE ， ∴ ∠1＝∠PFB ，又∵ ∠1＝∠2＝30°，∴ ∠PFB ＝∠2＝30°,∴ FP ＝BP.…………………………6分过点P 作PK ⊥FB 于点K ，则FK BK ==∵ AF ＝t ，AB ＝8，∴ FB ＝8－t ，1(8)2BK t =-.DCAE图9图10在Rt △BPK中，1tan 2(8)tan 30)26PK BK t t =⋅∠=-︒=-. ……………………7分 ∴ △FBP的面积11(8)(8)226S FB PK t t =⋅⋅=⋅-⋅-， ∴ S 与t 之间的函数关系式为：28)S t =-，或243S t =-分 t 的取值范围为：08t ≤<. …………………………………………………………9分75（中考甘肃兰州28题）（本题满分12分）如图19-1，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，5OA =，4OC =．（1）在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处，求D E，两点的坐标；（2）如图19-2，若AE 上有一动点P （不与A E ，重合）自A 点沿AE 方向向E 点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t 秒（05t <<），过P 点作ED 的平行线交AD 于点M ，过点M 作AE 的平行线交DE 于点N ．求四边形PMNE 的面积S 与时间t 之间的函数关系式；当t 取何值时，S 有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的条件下，当t 为何值时，以A M E ，，为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M 的坐标．（中考甘肃兰州28题解析）（本题满分12分）解：（1）依题意可知，折痕AD 是四边形OAED 的对称轴， ∴在Rt ABE △中，5AE AO ==，4AB =．3BE ∴=．2CE ∴=．E ∴点坐标为（2，4）． ··················································································· 2分在Rt DCE △中，222DC CE DE +=，又DE OD =Q ．222(4)2OD OD ∴-+= ．解得：52CD =． D ∴点坐标为502⎛⎫⎪⎝⎭， ······················································································ 3分（2）如图①PM ED Q ∥，APM AED ∴△∽△．PM AP ED AE ∴=，又知AP t =，52ED =，5AE = 5522t tPM ∴=⨯=，又5PE t =-Q ．而显然四边形PMNE 为矩形．215(5)222PMNE t S PM PE t t t ∴==⨯-=-+g 矩形 ·················································· 5分 21525228PMNES t ⎛⎫∴=--+ ⎪⎝⎭四边形，又5052<<Q∴当52t =时，PMNE S 矩形有最大值258． ······························································ 6分（3）（i ）若以AE 为等腰三角形的底，则ME MA =（如图①）在Rt AED △中，ME MA =，PM AE ⊥Q ，P ∴为AE 的中点，1522t AP AE ∴===．又PM ED Q ∥，M ∴为AD 的中点．过点M 作MF OA ⊥，垂足为F ，则MF 是OAD △的中位线， 1524MF OD ∴==，1522OF OA ==， ∴当52t =时，5052⎛⎫<< ⎪⎝⎭，AME △为等腰三角形．此时M 点坐标为5524⎛⎫ ⎪⎝⎭，． ·············································································· 8分（ii ）若以AE 为等腰三角形的腰，则5AM AE ==（如图②）在Rt AOD △中，AD ===过点M 作MF OA ⊥，垂足为F ．PM ED Q ∥，APM AED ∴△∽△． AP AMAE AD∴=．555AM AE t AP AD ⨯∴====g，12PM t ∴==．MF MP ∴==5OF OA AF OA AP =-=-=-∴当t =（05<），此时M点坐标为(5-．······················ 11分综合（i ）（ii ）可知，52t =或t =A M E ，，为顶点的三角形为等腰三角形，相应M 点的坐标为5524⎛⎫ ⎪⎝⎭，或(5-． ······················································· 12分76.（中考天津市卷26题）（本小题10分）已知抛物线c bx ax y ++=232，（Ⅰ）若1==b a ，1-=c ，求该抛物线与x 轴公共点的坐标；（Ⅱ）若1==b a ，且当11<<-x 时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求c 的取值范围；（Ⅲ）若0=++c b a ，且01=x 时，对应的01>y ；12=x 时，对应的02>y ，试判断当10<<x 时，抛物线与x 轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．（中考天津市卷26题解析）解（Ⅰ）当1==b a ，1-=c 时，抛物线为1232-+=x x y ，方程01232=-+x x 的两个根为11-=x ，312=x ． ∴该抛物线与x 轴公共点的坐标是()10-，和103⎛⎫ ⎪⎝⎭，． ········································· 2分（Ⅱ）当1==b a 时，抛物线为c x x y ++=232，且与x 轴有公共点．对于方程0232=++c x x ，判别式c 124-=∆≥0，有c ≤31． ·································· 3分①当31=c 时，由方程031232=++x x ，解得3121-==x x ．此时抛物线为31232++=x x y 与x 轴只有一个公共点103⎛⎫- ⎪⎝⎭，． ···························· 4分②当31<c 时， 11-=x 时，c c y +=+-=1231， 12=x 时，c c y +=++=5232．由已知11<<-x 时，该抛物线与x 轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为31-=x ，应有1200.y y ⎧⎨>⎩≤，即1050.c c +⎧⎨+>⎩≤，解得51c -<-≤．综上，31=c 或51c -<-≤． ····································································· 6分（Ⅲ）对于二次函数c bx ax y ++=232，由已知01=x 时，01>=c y ；12=x 时，0232>++=c b a y ，又0=++c b a ，∴b a b a c b a c b a +=++++=++22)(23．于是02>+b a ．而c a b --=，∴02>--c a a ，即0>-c a ．∴0>>c a ． ···························································································· 7分 ∵关于x 的一元二次方程0232=++c bx ax 的判别式 0])[(412)(4124222>+-=-+=-=∆ac c a ac c a ac b ，∴抛物线c bx ax y ++=232与x 轴有两个公共点，顶点在x 轴下方． ························· 8分又该抛物线的对称轴abx 3-=，由0=++c b a ，0>c ，02>+b a ，得a b a -<<-2， ∴32331<-<a b ．又由已知01=x 时，01>y ；12=x 时，02>y ，观察图象，可知在10<<x 范围内，该抛物线与x 轴有两个公共点． ····································· 10分77（中考湖北宜昌25题）如图1，已知四边形OABC 中的三个顶点坐标为O (0，0)，A (0，n )，C (m ，0)．动点P 从点O 出发依次沿线段OA ，AB ，BC 向点C 移动，设移动路程为z ，△OPC 的面积S 随着z 的变化而变化的图象如图2所示．m ，n 是常数， m ＞1，n ＞0．（1）请你确定n 的值和点B 的坐标；（2）当动点P 是经过点O ，C 的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点，且在双曲线y ＝115x上时，求这时四边形OABC 的面积．（中考湖北宜昌25题解析）解：(1) 从图中可知，当P 从O 向A 运动时，△POC 的面积S(第25题)＝12mz ， z 由0逐步增大到2,则S 由0逐步增大到m ，故OA ＝2，n ＝2 . (1分) 同理，AB ＝1，故点B 的坐标是(1，2).(2分) (2)解法一：∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点O (0，0)，C (m ，0),∴c ＝0，b ＝－am ，(3分) ∴抛物线为y ＝ax 2－amx ，顶点坐标为(2m ，－14 am 2).(4分)如图1，设经过点O ，C ，P 的抛物线为l.当P 在OA 上运动时，O ,P 都在y 轴上，这时P ,O ,C 三点不可能同在一条抛物线上， ∴这时抛物线l 不存在, 故不存在m 的值..① 当点P 与C 重合时，双曲线y ＝115x不可能经过P , 故也不存在m 的值.②(5分)(说明：①②任做对一处评1分，两处全对也只评一分) 当P 在AB 上运动时，即当0<x 0≤1时，y 0＝2，抛物线l 的顶点为P (2m，2). ∵P 在双曲线y ＝115x 上，可得 m ＝115，∵115>2,与 x 0＝2m≤1不合，舍去.(6分)③容易求得直线BC 的解析式是：2211m y x m m=---，(7分) 当P 在BC 上运动，设P 的坐标为 (x 0,y 0)，当P 是顶点时 x 0＝2m，故得y 0＝02211m x m m ---＝1m m -，顶点P 为(2m，1m m -)， ∵1< x 0＝2m <m ，∴m>2，又∵P 在双曲线y ＝115x 上，于是，2m ×1m m -＝115，化简后得5m 2－22m ＋22＝0,解得1m =2m =分)2,2220,>∴-<Q 2222,10m -∴=<与题意2<x 0＝2m<m 不合,舍去.④(9分)故由①②③④，满足条件的只有一个值：2210m +=.这时四边形OABC 的面积＝1(1)22m +⨯＝165+.(10分) (2)解法二： ∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点O (0，0)，C (m ，0)∴c ＝0，b ＝－am ，(3分)∴抛物线为y ＝ax 2－amx ，顶点坐标P 为(m 2 ，－14am 2). (4分) ∵m ＞1，∴m 2 ＞0，且m 2≠m ， ∴P 不在边OA 上且不与C 重合. (5分)∵P 在双曲线y ＝115x 上，∴m 2 ×(－ 14 am 2)＝115 即a ＝－ 885m 3 . .①当1＜m ≤2时，12 ＜m 2≤1，如图2,分别过B ，P 作x 轴的垂线， M ，N 为垂足，此时点P 在线段AB 上，且纵坐标为2，∴－14 am 2＝2，即a ＝－8m 2 . 而a ＝－ 885m 3 ，∴－ 885m 3 ＝－8m 2 ，m ＝115＞2，而1＜m ≤2，不合题意，舍去.(6分) ②当m ≥2时，m 2＞1，如图3,分别过B ，P 作x 轴的垂线，M ，N 为垂足，ON ＞OM ，此时点P 在线段CB 上，易证Rt △BMC ∽Rt △PNC ，∴BM ∶PN ＝MC ∶NC ，即: 2∶PN ＝(m －1)∶m 2 ，∴PN ＝m m －1(7分) 而P 的纵坐标为－ 14 am 2，∴m m －1 ＝－ 14 am 2，即a ＝4m(1－m)而a ＝－885m 3 ，∴－ 885m 3 ＝4m(1－m)化简得：5m 2－22m ＋22＝0.解得：m ＝ 11±11 5 ，(8分) 但m ≥2，所以m ＝11－11 5舍去，(9分) 取m ＝ 11＋11 5 . 由以上,这时四边形OABC 的面积为：12 (AB ＋OC ) ×OA ＝12 (1＋m ) ×2＝16＋11 5. (10分)。

苏教版高三数学一轮复习---压轴题型突破练——解析几何

压轴题型突破练——解析几何A 组专项基础训练 (时间：35分钟，满分：62分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．已知两条直线l 1：y ＝x ，l 2：ax －y ＝0，其中a 为实数，当这两条直线的夹角在⎝⎛⎭⎫0，π12内变动时，a 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3)解析直线l 1的倾斜角为π4，依题意l 2的倾斜角的取值范围为⎝⎛⎭⎫π4－π12，π4∪⎝⎛⎭⎫π4，π4＋π12，即⎝⎛⎭⎫π6，π4∪⎝⎛⎭⎫π4，π3，从而l 2的斜率a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3)． 2．若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0没有公共点，则实数m 的取值范围是 __________.答案 (－∞，0)∪(10，＋∞)解析将圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0化为标准方程，得(x －1)2＋(y ＋2)2＝1，圆心坐标为(1，－2)，半径为1.若直线与圆无公共点，即圆心到直线的距离大于半径，即d ＝|3×1＋4×(－2)＋m |32＋42＝|m －5|5>1，∴m <0或m >10.3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若PF ＝5，则双曲线的渐近线方程为____________．答案 y ＝±3x解析设点P (x 0，y 0)．依题意得，焦点F (2,0)，⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋2＝5，y 20＝8x 0，于是有x 0＝3，y 20＝24；⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝4，9a 2－24b 2＝1，由此解得a 2＝1，b 2＝3，因此该双曲线的渐近线方程是y ＝±bax ＝±3x .4．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为________．答案 172解析记抛物线y 2＝2x 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫12，0，准线是l ，由抛物线的定义知点P 到焦点F 的距离等于它到准线l 的距离，因此要求点P 到点(0,2)的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P 到点(0,2)的距离与点P 到焦点F 的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F 到点(0,2)的距离．因此所求的最小值等于⎝⎛⎭⎫122＋22＝172.5．如果x 2k －2＋y 21－k ＝－1表示焦点在y 轴上的双曲线，那么它的半焦距c 的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析将原方程化成标准方程为y 2k －1－x 2k －2＝1.由题意知k －1>0且k －2>0，解得k >2.又a 2＝k －1，b 2＝k －2，所以c 2＝a 2＋b 2＝2k －3>1，所以c >1，故半焦距c 的取值范围是(1，＋∞)．6．若点(3,1)是抛物线y 2＝2px 一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝________. 答案 2解析设弦两端点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1y 22＝2px 2，两式相减得，y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝2.又∵y 1＋y 2＝2，∴p ＝2.7．已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，经过F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，则以AB 为直径的圆在x 轴上所截得的弦长的最小值是________．答案 2 3解析由抛物线定义得以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切，利用直角三角形中勾股定理得到弦长的解析式，再求弦长的最小值．设以AB 为直径的圆的半径为r ，则AB ＝2r ≥4，r ≥2，且圆心到x 轴的距离是r －1，所以在x 轴上所截得的弦长为2r 2－(r －1)2＝22r －1≥23，即弦长的最小值是2 3.二、解答题(共27分)8．(13分)已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴顶点为(0,2)，它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于异于椭圆顶点的两点A ，B ，且AP →＝2PB →. (1)求椭圆的方程； (2)求m 的取值范围．解 (1)由题意，知椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由题意，知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2，所以椭圆方程为y 24＋x 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，知直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立，即⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2x 2＝4，y ＝kx ＋m ，消去y ，得(2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0， Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)>0，由根与系数的关系，知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk2＋k 2，x 1·x 2＝m 2－42＋k 2，又AP →＝2PB →，即有(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )，所以－x 1＝2x 2.则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22，所以m 2－42＋k 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2mk 2＋k 22.整理，得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2，又9m 2－4＝0时等式不成立，所以k 2＝8－2m 29m 2－4>0，得49<m 2<4，此时Δ>0.所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－23∪⎝⎛⎭⎫23，2. 9．(14分)已知中心在原点的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1的一个焦点为F 1(0,3)，M (x,4)(x >0)为椭圆C上一点，△MOF 1的面积为32.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OM 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解 (1)因为椭圆C 的一个焦点为F 1(0,3)，所以c ＝3，b 2＝a 2＋9，则椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2＋9＝1，因为x >0，所以S △OMF 1＝12×3×x ＝32，解得x ＝1.故点M 的坐标为(1,4)．因为点M (1,4)在椭圆上，所以1a 2＋16a 2＋9＝1，得a 4－8a 2－9＝0，解得a 2＝9或a 2＝－1(不合题意，舍去)，则b 2＝9＋9＝18，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 218＝1.(2)假设存在符合题意的直线l 与椭圆C 相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，其方程为y ＝4x ＋m (因为直线OM 的斜率k ＝4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ＋m ，x 29＋y 218＝1，消去y 化简，得18x 2＋8mx ＋m 2－18＝0. 进而得到x 1＋x 2＝－8m18，x 1·x 2＝m 2－1818.因为直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，所以Δ＝(8m )2－4×18×(m 2－18)>0，化简得m 2<162，解得－92<m <9 2. 因为以线段AB 为直径的圆恰好经过原点，所以OA →·OB →＝0，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1y 2＝(4x 1＋m )(4x 2＋m )＝16x 1x 2＋4m (x 1＋x 2)＋m 2， x 1x 2＋y 1y 2＝17x 1x 2＋4m (x 1＋x 2)＋m 2 ＝17(m 2－18)18－32m 218＋m 2＝0.解得m ＝±102.由于±102∈(－92，92)，所以符合题意的直线l 存在，且所求的直线l 的方程为 y ＝4x ＋102或y ＝4x －102.B 组专项能力提升 (时间：35分钟，满分：58分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P 、Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为________．答案 53解析由题意可知，∠F 1PF 2是直角，且tan ∠PF 1F 2＝2，∴PF 2PF 1＝2，又PF 1＋PF 2＝2a ，∴PF 1＝2a 3，PF 2＝4a3.根据勾股定理得⎝⎛⎭⎫2a 32＋⎝⎛⎭⎫4a 32＝(2c )2，所以离心率e ＝c a ＝53.2．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为________．答案7解析如图所示，设直线上一点P ，切点为Q ，圆心为M ，则PQ 即为切线长， MQ 为圆M 的半径，长度为1， PQ ＝PM 2－MQ 2＝PM 2－1，要使PQ 最小，即求PM 的最小值，此题转化为求直线y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离，设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d ，则d ＝|3－0＋1|12＋(－1)2＝2 2.所以PM 的最小值为2 2. 所以PQ ＝PM 2－1≥(22)2－1＝7.3．(2011·四川)在抛物线y ＝x 2＋ax －5(a ≠0)上取横坐标为x 1＝－4，x 2＝2的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x 2＋5y 2＝36相切，则抛物线顶点的坐标为__________．答案 (－2，－9)解析当x 1＝－4时，y 1＝11－4a ；当x 2＝2时，y 2＝2a －1，所以割线的斜率k ＝11－4a －2a ＋1－4－2＝a －2.设直线与抛物线的切点横坐标为x 0，由y ′＝2x ＋a 得切线斜率为2x 0＋a ，∴2x 0＋a ＝a －2， ∴x 0＝－1.∴直线与抛物线的切点坐标为(－1，－a －4)，切线方程为y ＋a ＋4＝(a －2)(x ＋1)，即(a －2)x －y －6＝0.圆5x 2＋5y 2＝36的圆心到切线的距离d ＝6(a －2)2＋1.由题意得6(a －2)2＋1＝65，即(a－2)2＋1＝5.又a ≠0，∴a ＝4，此时，y ＝x 2＋4x －5＝(x ＋2)2－9，顶点坐标为(－2，－9)．4．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ，与y轴的交点为B ，若AM ＝MB ，则该椭圆的离心率为________．答案 63解析由题意知A 点的坐标为(－a,0)，设直线的方程为y ＝x ＋a ，∴B 点的坐标为(0，a )，故M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫－a 2，a 2，代入椭圆方程得a 2＝3b 2，∴2a 2＝3c 2，∴e ＝63. 5．已知曲线x 2a －y 2b ＝1与直线x ＋y －1＝0相交于P 、Q 两点，且OP →·OQ →＝0(O 为原点)，则1a－1b 的值为________．答案 2解析将y ＝1－x 代入x 2a －y 2b ＝1，得(b －a )x 2＋2ax －(a ＋ab )＝0.由题意，知a ≠b .设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2aa －b ，x 1x 2＝a ＋ab a －b .OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(1－x 1)(1－x 2) ＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1. 所以2a ＋2ab a －b －2a a －b＋1＝0，即2a ＋2ab －2a ＋a －b ＝0，即b －a ＝2ab ，所以1a －1b＝2.6．设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，则AF ＋4BF 的最小值为________．答案 92解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由抛物线定义可得AF ＋4BF ＝x 1＋p 2＋4⎝⎛⎭⎫x 2＋p 2＝x 1＋12＋4⎝⎛⎭⎫x 2＋12＝x 1＋4x 2＋52，设直线AB 的方程为ky ＝x －12，联立抛物线方程得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ky ＝x －12，y 2＝2x消元整理得y 2－2ky －1＝0，由根与系数的关系可得y 1y 2＝－1，又A ，B 在抛物线上，代入方程得y 21y 22＝2x 1·2x 2＝4x 1x 2＝1，即x 1x 2＝14，因此根据均值不等式AF ＋4BF ＝x 1＋4x 2＋52≥2x 1×4x 2＋52＝2＋52＝92，当且仅当x 1＝4x 2时取得最小值92.二、解答题(共28分)7．(14分)如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍，椭圆经过点M (2,1)，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m (m ≠0)，l 交椭圆于A ，B 两个不同点． (1)求椭圆的方程；(2)求m 的取值范围．解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，4a 2＋1b 2＝1，解得a 2＝8，b 2＝2， ∴所求椭圆方程为x 28＋y 22＝1.(2)∵直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距为m ，又k OM ＝12，∴l 的方程为y ＝12x ＋m .由⎩⎨⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y 22＝1 得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0.∵直线l 与椭圆交于A ，B 两个不同点， ∴Δ＝(2m )2－4(2m 2－4)>0，解得－2<m <2且m ≠0.8．(14分)在平面直角坐标系xOy 中，如图所示，已知椭圆x 29＋y 25＝1的左，右顶点分别为A ，B ，右焦点为F .设过点T (t ，m )的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，其中m >0，y 1>0，y 2<0.(1)设动点P 满足：PF 2－PB 2＝4，求点P 的轨迹；(2)设x 1＝2，x 2＝13，求点T 的坐标；(3)设t ＝9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)． (1)解设P (x ，y )，由题知F (2,0)，B (3,0)，A (－3,0)，则PF 2＝(x －2)2＋y 2，PB 2＝(x －3)2＋y 2，由PF 2－PB 2＝4，得(x －2)2＋y 2－[(x －3)2＋y 2]＝4，化简，得x ＝92.故点P 的轨迹方程是x ＝92.(2)解将x 1＝2，x 2＝13分别代入椭圆方程，并考虑到y 1>0，y 2<0，得M ⎝⎛⎭⎫2，53，N ⎝⎛⎭⎫13，－209. 则直线MA 的方程为y －053－0＝x ＋32＋3，即x －3y ＋3＝0直线NB 的方程为y －0－209－0＝x －313－3，即5x －6y －15＝0.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋3＝0，5x －6y －15＝0，解得x ＝7，y ＝103，所以点T 的坐标为⎝⎛⎭⎫7，103. (3)证明如图所示，点T 的坐标为(9，m )．直线TA 的方程为y －0m －0＝x ＋39＋3，直线TB 的方程为y －0m －0＝x －39－3，分别与椭圆x 29＋y 25＝1联立方程，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3(80－m 2)80＋m 2，40m 80＋m 2， N ⎝ ⎛⎭⎪⎫3(m 2－20)20＋m 2，－20m 20＋m 2.直线MN 的方程为y ＋20m20＋m 240m 80＋m 2＋20m 20＋m 2＝x －3(m 2－20)20＋m 23(80－m 2)80＋m 2－3(m 2－20)20＋m 2. 令y ＝0，解得x ＝1，所以直线MN 必过x 轴上的一定点(1,0)．。

第11讲立体几何填空压轴题(解析版)

第11讲立体几何填空压轴题1．（2021·山东济宁一模）在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，14A D A A ==，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 平行，当三角形1BB P 的面积最小时，三棱锥1A BB P -的外接球的体积是______．【答案】125π6【分析】由直线与平面没有公共点可知线面平行，补全所给截面后，易得两个平行截面，从而确定点P 所在线段，可知当BP AC ⊥时，三角形1BB P 面积最小，然后证明1AP B P ⊥，得到1AB 为三棱锥1A BB P -的外接球的直径，进一步求解得答案．【解析】补全截面EFG 为截面1EFGHQR 如图，设BR AC ⊥，直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，1//D P ∴平面1EFGHQR ，易知平面1//ACD 平面1EFGHQR ，P AC ∴∈，且当P 与R 重合时，BP BR =最短，此时1PBB 的面积最小，由等面积法得1122BR AC AB BC ⨯=⨯，即113422BR ⨯⨯，125BP ∴=， 1B B AP ⊥，BP AP ⊥，AP ∴⊥平面1B BP ，则1AP B P ⊥，又1AB B B ⊥，1AB ∴为三棱锥1A BB P -5=．∴三棱锥1A BB P -的外接球的半径为52，体积为35125π2643V π⎛⎫= ⎪⎝⎭=⨯．【名师点睛】方法点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法（1）求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．（2）若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段,,PA PB PC 两两互相垂直，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用22224PA PB PC R ++=求解，考查学生的空间想象能力与思维能力，是中档题．2．（2021·浙江丽水月考）如图，在ABC 中，12BM MC =，1AB AC ==，3BM =D 在线段BM 上运动，沿AD 将ADB △折到ADB '，使二面角B AD C '--的度数为60︒，若点B '在平面ABC 内的射影为O ，则OC 的最小值为_______．【答案】10【分析】本题需要作出空间图形，运用解三角形的知识求解．【解析】如图，过点B 作BE AD ⊥于点E ，过点B '作B O BE '⊥于点O ，下面证明点O 即为B '在平面ABC 内的射影，B EO '∠即为二面角 B AD C '--的平面角，,AE EO AE EB AE B O ''⊥⊥⇒⊥又 B O BE '⊥B O ABC '⇒⊥面，∴点O 即为B '在平面ABC 内的射影，B EO '∠即为二面角 B AD C '--的平面角，∴=60B EO '∠︒，设BAD θ∠=，则sin BE B E θ'==，又=60B EO '∠︒，∴12EO B E '=，即3sin 2BO θ=，45CBO θ∠=︒-，在CBO 中由余弦定理得()2222cos 45OC BC BO BC BO θ=+-⋅⋅︒-()292sin cos 454θθθ=+-⋅︒-2332sin sin 242θθ=--31cos 232sin 2422θθ-=-⋅- 3313cos 2sin 2828θθ=-+，在BAM 中由余弦定理求得AM = 1sin 2BAM ∠=<， ∴030θ<<︒，0260θ<<︒，记()3313cos 2sin 2828g θθθ=-+，则 ()g θ为减函数，当BAM θ=∠时，()g θ取得最小值，()()min 3313cos 2sin 2828g g BAM BAM BAM θ=∠=∠-∠+，又223cos 212sin 155BAM BAM ∠=-∠=-=， 4sin 25BAM ∠=，∴()min 1320g θ=，∴min OC ==．【名师点睛】本题属于一道综合性难题，需要极强的空间想象能力和运算能力．能否准确作出空间图形是解决本题的关键，最后要得出正确答案，需要对解三角形，以及三角恒等变换知识非常熟练，计算能力要过硬，本题属于压轴题．3．（2021·江西八校4月联考）在三棱锥P ABC -中，4,8PA PB BC AC ====，AB BC ⊥．平面PAB ⊥平面ABC ，若球Q 是三棱锥P ABC -的外接球，则球O 的表面积为___________．【答案】80π【分析】根据题意可求出点P 到面ABC 的距离为2，而三角形ABC 为直角三角形，由此可知球心O 在面ABC 内的射影为AC 的中点，设球心O 到面ABC 的距离为h ，根据勾股定理，即可求出h ，算出外接球半径，得到外接球的表面积．【解析】∵平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，AB BC ⊥，BC ⊂平面ABC ，BC ∴⊥平面PAB ，取,AB AC 中点,D E ，连接DE ，DP ，∴//DE BC ，2DE =，DE ∴⊥平面PAB ，DE PD ∴⊥，PA PB =，∴D 为AB 的中点，又AB BC ⊥， ∴三棱锥P ABC -外接球的球心在面ABC 内的射影为AC的中点，4BC =，8AC =，AB ==，2PD ∴==，4PE ==<，∴三棱锥P ABC -外接球的球心在面ABC 的下方，如图，过O 作OF PD ⊥于F ，∴四边形OEDF 为矩形．设球心O 到面ABC 的距离为h ，即OE FD h ==，三棱锥P ABC -外接球的半径为R ，故()2222242R h h h =+=++，解得2h = ，2222420R =+=，∴球O 的表面积为2480S R ππ==．【名师点睛】本题主要考查三棱锥的几何特征以及其外接球的表面积求法、涉及面面垂直的性质定理应用，解题的关键是找到球心，利用直角三角形勾股定理，列出方程，求出外接球的半径，从而求得表面积，意在考查学生直观想象能力和计算能力，属于较难题．4．（2021·四川名校联考）已知在三棱锥P ABC -中， 90,4,30BAC AB AC APC ︒︒∠===∠=，平面PAC ⊥平面ABC ，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为__________．【答案】80π【分析】根据已知条件确定,ABC PAC 的外接圆圆心12,O O ，及三棱锥P ABC -的外接球球心O 、AC 边中点H 的位置关系--四边形12OO HO 为矩形，进而应用正弦定理、侧面外接圆半径与外接球半径、点面距之间的关系，求外接球半径，即可求球的表面积．【解析】如图12,O O 分别为,ABC PAC 的外心．由90BAC ∠=︒，即1O 为BC 中点，取AC 的中点,H 则1O H AC ⊥，又面PAC ⊥面ABC ，面PAC 面ABC AC =，1O H ⊂面ABC ，即1O H ⊥面,PAC 设球心为O ，则2OO ⊥平面,PAC∴12//O H OO ，又2O H AC ⊥，2O H ⊂面PAC ，面PAC 面ABC AC =，面PAC ⊥面ABC ， ∴2O H ⊥平面ABC ，又1OO ⊥平面ABC ，∴12//OO O H ，即四边形12OO HO 为矩形．由正弦定理知：228sin AC O P APC==∠，即24O P =，∴若外接球半径为R ，则2222216420R O P OO =+=+=，∴2480S R ππ==．【名师点睛】关键点点睛：利用面面垂直、等腰直角三角形的性质，应用三棱锥侧面外接圆半径、外接球半径、点面距之间的几何关系，结合正弦定理求外接球半径，进而求表面积．5．（2021·中学生标准学术能力3月测试）在棱长为的正四面体A BCD -中，点,E F 分别为直线,AB CD 上的动点，点P 为EF 中点，为正四面体中心（满足），若，则长度为_________．【答案】【分析】将正四面体放在棱长为4的正方体中，设分别是的中点，连接，设的中点为，连接，结合勾股定理和中位线定理可得，由线面垂直的判定定理可得平面，从而证明是直角三角形，结合勾股定理即可求出．【解析】将正四面体放在棱长为4的正方体中，则，为正方体的中心，设分别是的中点，则是的中点，，连接，设的中点为，连接，∵是的中位线，∴，同理， ∵，∴，∴，即，则，∴， ∵，∴，∵，，，∴平面，∴，在中，Q QA QB QC QD ===PQ =EF ,M N ,AB CD EN EN S ,,QS SP PQ 228ME NF +=NF ⊥MNE NEF EF AB CD ⊥Q ,M N ,AB CD Q MN ,MN AB MN CD ⊥⊥EN EN S ,,QS SP PQ QS NME 1//,2QS ME QS ME =1//,2SP NF SP NF =AB CD ⊥ME NF ⊥QS SP ⊥90QSP ∠=︒()22222124QS SP ME NF PQ +=+==228ME NF +=MN ME ⊥222216NE MN ME ME =+=+NF ME ⊥NF MN ⊥MN ME M =NF ⊥MNE NF NE ⊥RT NEF △．【名师点睛】关键点睛：本题考查了线面垂直的判定定理和线面垂直的性质，关键是将几何体放入正方体中便于分析垂直关系．6．（2021·江苏省天一中学高三二模）《九章算术》是古代中国的第一部自成体系的数学专著，与古希腊欧几里得的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．《九章算术》卷五记载：“今有刍甍，下广三丈，表四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”译文：今有如图所示的屋脊状楔体，下底面是矩形，假设屋脊没有歪斜，即的中点在底面上的投影为矩形的中心点，，，，，（长度单位：丈）．则楔体的体积为___________（体积单位：立方丈）．【答案】【分析】将几何体补成直三棱柱，计算出三棱柱、三棱锥、三棱锥的体积，进而可求得楔体的体积．【解析】延长至点，使得，延长至点，使得，分别取、的中点、，连接、、、、、、、、、，如下图所示：EF ==PQ ABCD -ABCD PQ R ABCD ABCD O //PQ AB 4AB =3AD =2PQ =1OR =PQ ABCD-5PQ ABCD -ADE BCF ADE BCF P ADE -Q BCF -PQ ABCD -QP E 1PE =PQ F 1QF =AD BC M N AC AN CM AE DE BF CF EM FN MN∵四边形为矩形，则且，又∵、分别为、的中点，则且，∴四边形为平行四边形，且，为矩形的中心，则为的中点，∵、分别为、的中点，则且，∴四边形为平行四边形，∴、互相平分，∵为的中点，则为的中点，，，，，则，又且，且，∴四边形为平行四边形，且，为的中点，且，则为的中点，为的中点，且，∴四边形为平行四边形，，点在底面上的投影为矩形的中心点，则平面，平面，平面，，∵四边形为矩形，则，，平面，∵且，∴几何体为直三棱柱，平面，平面，，∵四边形为平行四边形，则，，，，同理可得，因此，楔体的体积为．【名师点睛】方法点睛：求解多面体体积的方法如下：（1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位ABCD //AD BC AD BC =M N AD BC //AM BN AM BN =ABNM //MN AB ∴MN AB =O ABCD O AC M N AD BC //AM CN AM CN =AMCN AC MN O AC O MN 1PE QF ==2PQ =4EF PQ PE QF AB ∴=++==//PQ AB //EF AB //MN AB MN AB =//EF MN ∴EF MN =EFNM //EM FN ∴EM FN =R PQ PE QF =R EF O MN //ER OM ∴ER OM =EROM //EM OR ∴R ABCD ABCD O RO ⊥ABCD EM ∴⊥ABCD AB ⊂ABCD AB EM ∴⊥ABCD AB AD ⊥EMAD M =AB ∴⊥ADE ////AB CD EF AB CD EF ==ADE BCF EM ⊥ABCD AD ⊂ABCD EM AD ∴⊥EROM 1EM OR ==1322ADE S AD EM =⋅=△3462ADE BCF ADE V S AB -=⋅=⨯=△1132P ADE ADE V S PE -=⋅=△12Q BCF V -=PQ ABCD -5PQ ABCD ADE BCF P ADE Q BCF V V V V ----=--=置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 7．（2021·江西重点中学协作联考（理））在四棱锥中，平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，，，若动点Q 在平面P AD 内运动，使得与相等，则三棱锥的体积最大时的外接球的体积为_____．【分析】根据题意推出，，再根据推出，在平面内，建立直角坐标系求出点轨迹是圆，从而可求出点到的距离最大为，即三棱锥的高的最大值为，再寻找三棱锥的外接球球心，计算球半径，进而计算球的体积即得结果．【解析】∵平面，∴平面平面，∵，，∴平面，平面，∵在内及边上，∴、在平面内，∴，，∴在内，，在内，， ∵，∴，∵，∴，在平面内，以的中点为原点O ，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系：P ABCD -PA ⊥//,AB CD AB AD ⊥2CD AD ===CQD ∠BQA ∠ - Q ACD AB QA ⊥CD QD ⊥CQD BQA ∠=∠QD =PDA Q 22(3)8x y -+=Q DA - Q ACD PA ⊥ABCD PAD ⊥ABCD //AB CD AB ⊥AD AB ⊥PAD CD ⊥PAD Q PAD △QA QD PAD AB QA ⊥CD QD ⊥Rt CDQ △tan CD CQD DQ ∠=Rt ABQ △tan AB BQA QA=CQD BQA ∠=∠CD AB DQ QA=2,CD AB ==QD =PDA DA DA y则，，设，则由，∴动点Q 在平面P AD 内运动，点轨迹是圆，如图所示，当在过圆心的垂线时点到的距离最大为半径，也就是三棱锥的高的最大值为，下面的计算不妨设点在x 轴上方，外接圆圆心在中垂线上，即y 轴上，设外接圆圆心N ，半径r ，则，而，故，，∴，故，则如图三棱锥，平面，，的外接圆圆心在斜边中点M 上，过M ，N 作平面和平面的垂线，交于点I ，即是三棱锥外接球球心，∵，∴三棱锥外接球半径(1,0)D -(1,0)A (,)P xy ||DQ =||QA =QD ==22(3)8x y -+=Q 22(3)8x y -+=Q Q DA Q ACD -Q QAD DA 2sin DQr DAQ=∠2,4QS AS DS ===AQ DQ ====sin sin QS DAQ QAS AQ ∠=∠===26sin DQ r DAQ ===∠3AN r ==ON ==Q ACD -CD ⊥PAD 2CD AD ==ACD △ACD QAD 12DM AC IM ON ====Q ACD -R DI ====∴三棱锥的外接球的体积为．【名师点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可．8．（2021·江西宜春期末（理））已知菱形中，对角线，将沿着折叠，使得二面角为120°，，则三棱锥的外接球的表面积为________．【答案】【分析】将沿折起后，取中点为，连接，，得到，在中由余弦定理求出的长，进一步求出的长，分别记三角形与的重心为、，记该几何体的外接球球心为，连接，，证明与全等，求出，再推出，连接，由勾股定理求出，即可得出外接球的表面积．【解析】将沿折起后，取中点为，连接，，则，， ∴即为二面角的平面角，∴；设，则，在中，即，解得，即，∴，∴与是边长为分别记三角形与的重心为、，则，；即； ∵与都是边长为是的外心，点是的外心；记该几何体的外接球球心为，连接，，根据球的性质，可得平面，平面，∴与都是直角三角形，且为公共边，∴与全等，因此，∴； ∵，，，且平面，平面，∴平面； Q ACD -3344333V R ππ===ABCD BD =ABD △BD A BD C --AC =A BCD -28π ABD BD BD E AE CE 120AEC ∠=︒AEC AE AB ABD △BCD △G F ABCD O OF OG Rt OGE △Rt OFE OE BD OE ⊥OB OB ABD BD BD E AE CE AE BD ⊥CE BD ⊥AEC ∠A BD C --120AEC ∠=︒AE a =AE CE a ==AEC 2222cos120AC AE EC AE CE =+-⋅⋅︒2127222a a a ⎛⎫=-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭3a =3AE =AB ==ABD △BCD △ABD △BCD △G F 113EG AE ==113EF CE ==EF EG =ABD △BCD △G ABD △F BCD △ABCD O OF OG OF ⊥BCD OG ⊥ABD OGE OFE △OE Rt OGE △Rt OFE 1602OEG OEF AEC ∠=∠=∠=︒2cos60EF OE ==︒AE BD ⊥CE BD ⊥AE CE E =AE ⊂AEC CE ⊂AEC BD ⊥AEC又平面，∴，连接，则外接球半径为∴外接球表面积为．【名师点睛】思路点睛：求解几何体外接球体积或表面积问题时，一般需要结合几何体结构特征，确定球心位置，求出球的半径，即可求解；在确定球心位置时，通常需要先确定底面外接圆的圆心，根据球心和截面外接圆的圆心连线垂直于截面，即可确定球心位置；有时也可将几何体补型成特殊的几何体（如长方体），根据特殊几何体的外接球，求出球的半径．9．（2021·浙江绍兴期末）已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，与底面成角，是平面内任意一点，则的最小值是________．【答案】【分析】作，再由，易得，从而平面ABE ，由面面垂直的判定定理得到平面ABE 平面BCD ，得到与底面成的角为，然后在中，设，BA 与BP 的夹角为，利用余弦定理得，根据直线与平面所成的角是平面内直线与该直线所成的角中最小的角，得到，再利用二次函数性质求解．【解析】如图所示：OE ⊂AEC BD OE ⊥OB OB ===2428S ππ=⨯=A BCD -AB BCD 30P BCD APBP12AE CD ⊥,BA CA BA DA ⊥⊥BA CD ⊥CD ⊥⊥AB BCD 30ABE ∠=ABP △1,0BA BP =≠α22121cos AP BP BP BP α⎛⎫=+- ⎪⎝⎭22211114AP BP BP BP ⎛⎛⎫≥+=+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭作，垂足为E ，连接BE ，∵， ∴平面ACD ，则，又，∴平面ABE ，又平面BCD ，∴平面ABE 平面BCD ，∴点A 的射影在直线BE 上，∴与底面成的角为，在中，设，BA 与BP 的夹角为，由余弦定理得，两边同除以得， ∵直线与平面所成的角是平面内直线与该直线所成的角中最小的角，∴ ，∴，当点在BE 上取等号，又∵ ， ∴，当时，即点P 在E 处，取得最小值，∴的最小值是．【名师点睛】关键点点睛：本题关键是在中，根据直线与平面所成的角是平面内直线与该直线所成的角中最小的角，得到，将余弦定理，转化为，由点在BE 上求解． 10．（2021·江苏南通期末）我国古代数学名著《九章算数》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．如图，三棱柱为一个“堑堵”，底面是以为斜边的直角三角形，且，点在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球的表面积为________．AE CD ⊥,,BA AC BA AD AC AD A ⊥⊥⋂=BA ⊥BA CD ⊥BA AE A ⋂=CD ⊥CD ⊂⊥AB BCD 30ABE ∠=ABP △1,0BA BP =≠α2222cos AP BA BP BA BP α=+-⋅⋅2BP 22121cos AP BP BP BP α⎛⎫=+- ⎪⎝⎭cos cos30α≤22211114AP BP BP BP ⎛⎛⎫≥+=+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭P cos3023BA BE ==()0,BP ∈+∞1BP =2AP BP ⎛⎫⎪⎝⎭14AP BP 12ABP △cos cos30α≤22121cos AP BP BP BP α⎛⎫=+- ⎪⎝⎭22211114AP BP BP BP ⎛⎛⎫≥+-=+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭P 111ABC A B C -ABC AB 5,3AB AC ==P 1BB 1PC PC ⊥1APC P ABC -【答案】【分析】如图，连接，取的中点为，连接，可证，设，则，利用基本不等式可求何时取最小值，又可证为三棱锥的外接球的球心，从而可求此时外接球的表面积．【解析】如图，连接，取的中点为，连接．∵三棱柱为直棱柱，故平面，而平面，故，又，，故平面，∵平面，故， ∵，，故平面，∵平面，故．设，在直角三角形中，，同理，45πCP AP O ,CO OB 1,C P CP AC CP ⊥⊥PB x=1AC PS=O P ABC-CP AP O ,CO OB 111ABC A B C -1CC ⊥ABC AC ⊂ABC 1CC AC ⊥CB AC ⊥1CC BC C ⋂=AC ⊥11BCC B 1C P ⊂11BCC B 1AC C P ⊥1PA PC ⊥AC PA A ⋂=1PC ⊥ACP CP ⊂ACP 1PC PC ⊥1,PB x CC h ==PCB 2216CP x =+()22116C P h x =+-∴，整理得到．又，当且仅当时等号成立，也就是时，的面积取最小值．∵平面，平面，故，故，而为直角三角形，故，故为三棱锥，∴外接球的表面积为．【名师点睛】方法点睛：空间中线线垂直、线面垂直可以相互转化，而三棱锥外接球的表面积体积的计算关键是球心位置的确定，可用球心到各顶点的距离相等来判断，必要时可补体，通过规则几何体的外接球来确定球心的位置．11．（2021·的正方体中，棱，的中点分别为，，点在平面内，作平面，垂足为．当点在内（包含边界）运动时，点的轨迹所组成的图形的面积等于_____________．【分析】由正方体性质可知平面平面，且平面，故点的轨迹所组成的图形与平面在平面正投影图形全等，故可求得投影的面积，即为所求解．()22232h x h x =++-16h x x-=1AC PS=18=x =PB =1APC AC ⊥11BCC B CP ⊂11BCC B AC CP ⊥OA OP OC ==PAB △OP OB =O P ABC -==(245ππ⨯=1111ABCD A B C D -1BB 11B C E F P 11BCC B PQ ⊥1ACD Q P 1EFB △Q 1//ACD 11A BC PQ ⊥1ACD Q 1EFB 11A BC【解析】由正方体性质可知平面平面，且平面，故点的轨迹所组成的图形与平面在平面正投影图形全等，又为正三棱锥，故正投影如图，即再平面的正投影为，且，，，，，点的轨迹所组成的图形的面积为． 12．（2021·江苏南京市·南京一中高三月考）我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童，如图的刍童有外接球，且点到平面距离为4，则该刍童外接球的表面积为__________．1//ACD 11A BC PQ ⊥1ACD Q 1EFB 11A BC 111B A BC -1EFB △11A BC 1E F B '''1E F ''=1F B ''1E B ''=123E B F π'''∠=11112sin 2312E F B SB E B F π'''''''=⋅⋅⋅=Q 12ABCD EFGH -4,AB AD EH EF ====E ABCD【答案】【分析】由已知得，球心在上下底面中心的连线上，该连线与上下底面垂直，球心必在该垂线上，然后根据，利用直角三角形与直角三角形，即可列出外接球半径的方程，求解即可．【解析】假设为刍童外接球的球心，连接、交于点，连接、交于点，由球的几何性质可知、、在同一条直线上，由题意可知，平面，平面，，设，在中，，在矩形中，，，在中，，在矩形中，，，，设外接球半径，，解得，则，即，100πOB OG =1OO G 2OO B O HF EG 1O AC DB2O O 1O 2O 2OO ⊥ABCD 1OO ⊥EFGH 214O O =2O O r =1Rt OGO 22211OG OO O G =+EFGHEG ===112O G EG ==()(22222114OG OO O G r ∴=+=-+2Rt OBO 22222OB OO O B =+ABCD 8DB ===2142O B BD ==22222224OB OO O B r ∴=+=+OG OB R ==()(222244r r ∴-+=+3r =5OB ==5R =则该刍童的外接球半径为，该刍童外接球的表面积为：，13．（2021·江苏徐州期末）已知三棱锥外接球的表面积为，平面，，，则三棱锥体积的最大值为________．【答案】【分析】设三边的长分别为，，，由三棱锥体积公式有，由外接球表面积知外接球半径，应用正弦定理以及含有棱面垂直关系的三棱锥：外接圆半径R 、对应面外接圆半径r、棱长三者的关系有，即可求，再结合余弦定理求最值，进而求体积的最大值．【解析】设三边的长分别为，，，则三棱锥体积，设外接球的半径为，由得，设外接圆的半径为，由正弦定理得，即，又平面知，∴，，即，故，，当且仅当时取等号．【名师点睛】关键点点睛：由正弦定理、三角形面积公式得到三棱锥体积表达式，应用外接球半径R 、有棱面垂直关系的三棱锥中棱长m 、面的外接圆半径r 的关系，并结合余弦定理求三棱锥体积的最值．14．（2021·黑龙江齐齐哈尔市实验中学高三期末（理））如图，在矩形中，，为的中点，将沿翻折成（平面），为线段的中点，则在翻折过程中给出以下四个结论：5∴24100R ππ=P ABC -100πPB ⊥ABC8PB =120BAC ∠=︒ABC a bc V =225R =2224PB R r =+a bc ABC a b c 11sin120832V bc =⋅︒⋅=R 24100R ππ=225R =ABC r 2sin120a r =︒3r a =PB ⊥ABC 222425R ⎫=+=⎪⎪⎝⎭a =22272cos120bc bc =+-⋅︒222723b c bc bc bc bc =++≥+=9bc ≤933V =≤=3==b c 2224m R r =+ABCD 22BC AB ==N BC ABN AN 1B AN △1B ∉ABCD M 1B D ABN①与平面垂直的直线必与直线垂直； ②线段； ③异面直线与所成角的正切值为； ④当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积是．其中正确结论的序号是_______．（请写出所有正确结论的序号）【答案】①②④【分析】①平面，则可判断；②通过线段相等，可求出线段的长；②异面直线与所成角为，求出其正切值即可；④找出球心，求出半径即可判断其真假．从而得到正确结论的序号．【解析】如图，取的中点为，的中点为，连接，，，，则四边形为平行四边形，直线平面，∴①正确；，∴②正确； ∵，异面直线与的所成角为，，∴③错误； 1BAN CM CM CM 1NB 31D ANB -1D ANB -4π//CM 1B AN CM NE =NK CM 1NB 1ENB ∠1AB E AD F EN EM FN 1B F CNEM CM ∥1AB N CM NE ===CMEN CM 1NB 1ENB ∠11tan 2ENB ∠=当三棱锥的体积最大时，平面与底面垂直，可计算出，，，∴，同理，∴三棱锥外接球的球心为，半径为1，外接球的表面积是，④正确．故答案为：①②④．【名师点睛】本题考查翻折过程中点线面的位置关系，注意翻折过程中不变的量，考查了相关角度，长度，体积的计算，考查直观想象，运算能力，属于较难题目．15．（2021·浙江省杭州第二中学高三开学考试）已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，，，，，则球的半径为______；若是的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是______．【分析】过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线，则球心在该直线上，可得，然后即可求出球的半径，若是的中点，，重合，过点作球的截面，则截面面积最小时是与垂直的面，即是三角形的外接圆，然后算出答案即可．【解析】如图所示：由题意知底面三角形为直角三角形，∴底面外接圆的半径，过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线，则球心在该直线上，可得，连接，设外接球的半径为，∴，解得．若是的中点，，重合，过点作球的截面，则截面面积最小时是与垂直的面，即是三角形的外接圆，而三角形的外接圆半径是斜边的一半，即2，∴截面面积为．【名师点睛】几何体的外接球球心一定在过底面多边形的外心作垂直于底面的直线上．1D ANB -1BAN ABCD 1B D 11AB =22211AB B D AD +=190AB D ∠=︒90AND ∠=︒1D ANB -F 4πP ABC -O PA ⊥ABC 6PA =AB =2AC =4BC =O D BC D O 4πO 'O 32PAOO '==D BC D O 'D O OO 'ABC 22BCr ==O 'O 32PAOO '==OA R 222222313R r OO '=+=+=R =D BC D O 'D O OO 'ABC ABC 224ππ⋅=16．（2021·安徽六安市·六安一中高三月考（理））在三棱锥中，，，两两垂直且，点为的外接球上任意一点，则的最大值为______．【答案】【分析】先根据三棱锥的几何性质，求出外接球的半径，结合向量的运算，将问题转化为求球体表面一点到SAC ∆外心距离最大的问题，即可求得结果．【解析】∵两两垂直且，故三棱锥的外接球就是对应棱长为2的正方体的外接球．且外接球的球心为正方体的体对角线的中点，如下图所示：设线段的中点为，故可得，故当取得最大值时，取得最大值．而当在同一个大圆上，且，点与线段在球心的异侧时，取得最大值，如图所示，此时，，故答案为：．【名师点睛】本题考查球体的几何性质，几何体的外接球问题，涉及向量的线性运算以及数量积运算，属综合性困难题．17．（2021·山西阳泉期末（理））如图，棱长为3的正方体的顶点在平面上，三条棱都在平面的同侧，如顶点到平面的距离分别为，则顶点到平面的距离为___________；S ABC -SA SB SC 2SA SB SC ===M S ABC -MA MB ⋅2,,SA SB SC 2SA SB SC===S ABC -O AB 1O ()()1111MA MB MO O A MO O B ⋅=+⋅+()()1111MO O A MO O A=+⋅-2221112MO O A MO =-=-1MO MA MB ⋅,,M A B 1MO AB ⊥M AB 1MO )22111,?2122MO OO MO ==-=-=2A α,,AB AC AD α,B C αD α【答案】【分析】连接BC ，CD ，BD ，则四面体为直角四面体，即已知直角四面体的三个顶点A ，B ，C 到平面的距离分别为0，1，求D 点到平面的距离，结合几何性质，即可进行求解．【解析】如图，连接BC ，CD ，BD ，则四面体为直角四面体，做平面的法线AH ，再做平面于，平面于，平面于，连接，，，设AH=h ，DA=a ，DB=b ，DC=c ，由等体积可得，，∴，令，，，可得，设，∵，，∴，∴D 到平面．【名师点睛】本题中正方体的位置特殊，难以下手，突破点在于正方体的8个顶点中，有关系的只有4个，这4个点组成直角四面体，再进行求解．本题考查锥体体积的求法，考查分析、推理、化简、计算、空间想象的能力，属中档题．18．（2021·浙江宁波模拟）已知圆锥的顶点为，为底面中心，，，为底面圆周上不重合的三点，为底面的直径，，为的中点．设直线与平面所成角为，则的最大值为__________．6A BCD -ααA BCD -α1BB ⊥α1B 1CC ⊥α1C 1DD ⊥α1D 1AB 1AC 1AD 22221111h a b c =++2222221h h h a b c++=1BAB α∠=1CAC β∠=1DAD γ∠=222sin sin sin 1αβγ++=1DD m =11BB =1CC =2221()()1333m ++=m =αS O A B C AB SA AB =M SA MC SAB αsin α1【分析】由题意建立空间直角坐标系，结合空间向量的结论和均值不等式确定的最大值即可．【解析】以AB 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则：，如图所示，由对称性不妨设且，则，易知平面SAB 的一个法向量为，据此有：，当且仅当时等号成立，综上可得：．【名师点睛】本题主要考查空间向量及其应用，学生的空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．19．（2021·江苏省天一中学高三二模）在棱长为1 的正方体中，以A 的球面与正方体表面的交线长为___________．【答案】【解析】如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点所在的三个面上，即面、面和面上；另一类在不过顶点的三个面上，即面、面和面上．在面上，交线为弧且在过球心的大圆上，∵，，则sin α4SA AB ==(()0,,,,0M C x y -0,0x y ><224x y +=(,1,MC x y =+()1,0,0m =sin MC mMC m α⋅=⨯==≤1=-4y =sin α11111ABCD A B C D -6A 11AAB B ABCD 11AA D D A 11BBC C 11CCD D 1111D C B A 11AA B B EF A 3AE =11AA =，同理，∴，故弧的长为，而这样的弧共有三条．在面上，交线为弧且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为，，∴弧，这样的弧也有三条，于是，所得的曲线长为，故答案为．20．（2021·江西3校3月联考（理））如图所示，三棱锥中，是边长为3的等边三角形，是线段的中点，，且，若，，，则三棱锥的外接球的表面积为_____．【答案】【解析】三棱锥中，是边长为3的等边三角形，设的外心为，外接圆的半径在中，，满足，为直角三角形，的外接圆的圆心为，由于，为二面角的平面角，分别过两个三角形的外心作两个半平面的垂线交于点，则为三棱锥的外接16A AE π∠=6BAF π∠=6EAF π∠=EF 369π⋅=11BB C C FG B 2FBG π∠=FG 2π=33+=6P ABC -ABC ∆D AB DE PB E =DE AB ⊥120EDC ∠=︒32PA =PB =P ABC -13πP ABC -ABC ABC ∆1O 1032sin 60O A ==PAB ∆3,32PA PB AB ===222PA PB AB +=PAB ∆PAB ∆D ,CD AB ED AB ⊥⊥0120EDC ∠=P AB C 1,O D O O P ABC -球的球心，在中，，则，连接，设，则，．【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三种方法．21．（2021·陕西下学期质检）如图，在三棱锥中，，，倍，则该三被锥外接球的表面积为______．【答案】【分析】取边的中点，外接圆的圆心为，三棱锥外接球球心为，求出斜高，从而得侧面积和底面积，由已知求得，确定在延长线上，利用勾股定理求得外接球半径可得球表面积．【解析】如图，取边的中点，外接圆的圆心为，三棱锥外接球球心为．如图所示，∵且点为的中点，∴由此可知该三棱锥的侧面积，底面的面积为∴，解得（舍负）．设三棱锥外接球半径为，．∵，∴点在底面上的射影为点．∵，1Rt D OO ∆01130,2ODO DO ∠==01cos30,12O D OD OD OD ===OA OA R =22222313()124R AD OD =+=+=21344=134S R πππ==⨯球A BCD -===BC CD BD 2AB AC AD a ===12πBC E BCD △F A BCD -O a O AF BC E BCD △F A BCD -O AB AC =E BC AE =12S =⨯=侧BCD △=1a =A BCD -R OF x =2AB AC AD ===A BCD F AB BC <。

压轴题06 解析几何压轴题(解析版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)

压轴题06解析几何压轴题题型/考向一：直线与圆、直线与圆锥曲线题型/考向二：圆锥曲线的性质综合题型/考向三：圆锥曲线的综合应用一、直线与圆、直线与圆锥曲线热点一直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离.判断方法：(1)点线距离法(几何法).(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，＋By＋C＝0，x－a）2＋（y－b）2＝r2，消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2.圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离.热点二中点弦问题已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为圆锥曲线E上两点，AB的中点C(x0，y0)，直线AB 的斜率为k.(1)若椭圆E的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则k＝－b2a2·x0y0；(2)若双曲线E的方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则k＝b2a2·x0y0；(3)若抛物线E的方程为y2＝2px(p>0)，则k＝py0.热点三弦长问题已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，则|AB|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2或|AB|＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2（y1＋y2）2－4y1y2.热点四圆锥曲线的切线问题1.直线与圆锥曲线相切时，它们的方程组成的方程组消元后所得方程(二次项系数不为零)的判别式为零.2.椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)在(x0，y0)处的切线方程为x0xa2＋y0yb2＝1；双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)在(x0，y0)处的切线方程为x0xa2－y0yb2＝1；抛物线y2＝2px(p＞0)在(x0，y0)处的切线方程为y0y＝p(x＋x0).热点五直线与圆锥曲线位置关系的应用直线与圆锥曲线位置关系的判定方法(1)联立直线的方程与圆锥曲线的方程.(2)消元得到关于x或y的一元二次方程.(3)利用判别式Δ，判断直线与圆锥曲线的位置关系.二、圆锥曲线的性质综合热点一圆锥曲线的定义与标准方程1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|).(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0＜2a＜|F1F2|).(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值.热点二椭圆、双曲线的几何性质1.求离心率通常有两种方法(1)椭圆的离心率e＝ca＝1－b2a2(0<e<1)，双曲线的离心率e＝ca＝1＋b2a2(e>1).(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围.2.与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0).热点三抛物线的几何性质抛物线的焦点弦的几个常见结论：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α是弦AB的倾斜角，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α.(3)1|FA|＋1|FB|＝2p.(4)以线段AB为直径的圆与准线x＝－p2相切.三、圆锥曲线的综合应用求解范围、最值问题的常见方法(1)利用判别式来构造不等关系.(2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系.(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式.(4)利用基本不等式.○热○点○题○型一直线与圆、直线与圆锥曲线一、单选题1．过圆224x y +=上的动点作圆221x y +=的两条切线，则连接两切点线段的长为（）A ．2B ．1C 32D 3【答案】D【详解】令点P 是圆224x y +=上的动点，过点P 作圆221x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，如图，则OA PA ⊥，而1||||12OA OP ==，于是260APB OPA ∠=∠= ，又||||3PB PA ==，因此PAB 为正三角形，||||3AB PA ==，所以连接两切点线段的长为3.故选：D2．过抛物线：()的焦点的直线交抛物线于，两点，若2AF BF AB ⋅=，则抛物线C 的标准方程是（）A ．28y x=B ．26y x=C ．24y x=D ．22y x=3．若直线0x y a +-=与曲线A ．[12,12]-+B ．(1C ．[2,12)+D ．(1【答案】B4．已知抛物线22y px =的焦点为4x =A ．4B ．42C ．8D ．【答案】D5．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过FC 交于A ，B 两点，D 为AB 的中点，且DM l ⊥于点M ，AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，四边形DMFN的面积为，则p =（）A．B ．4C．D．因为30DN DF DFN ⊥∠=︒，，故223DF DE p ==，FN6．已知圆22:4C x y +=，直线l经过点3,02P ⎛⎫⎪⎝⎭与圆C 相交于A ，B 两点，且满足关系OM =（O 为坐标原点）的点M 也在圆C 上，则直线l 的斜率为（）A ．1B ．1±C ．D ．±故选：D.7．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的上顶点为B ，斜率为32的直线l 交椭圆于M ，N 两点，若△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，则椭圆的离心率为（）A ．22BC ．12D8．已知双曲线()22:10,0C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y =与C的左、右两支分别交于A ，B 两点，若四边形12AF BF 为矩形，则C 的离心率为（）AB ．3C1D 1+二、多选题9．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()()()222:210C x y r r -+-=>，过原点O 的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则（）A ．当圆C 与y 轴相切，且直线l 的斜率为1时，2AB =B ．当3r =时，存在l ，使得CA CB⊥C ．若存在l ，使得ABC 的面积为4，则r 的最小值为D ．若存在两条不同l ，使得2AB =，则r 的取值范围为()1,3故选：BC10．已知0mn ≠，曲线22122:1x y E m n +=，曲线22222:1x y E m n-=，直线:1x y l m n +=，则下列说法正确的是（）A ．当3n m =时，曲线1E 离心率为3B ．当3n m =时，曲线2E 离心率为103C ．直线l 与曲线2E 有且只有一个公共点D ．存在正数m ，n ，使得曲线1E 截直线l11．已知抛物线:4C x y =，过焦点F 的直线l 与交于1122两点，1与F 关于原点对称，直线AB 和直线AE 的倾斜角分别是,αβ，则（）A ．cos tan 1αβ⋅>B ．AEF BEF∠=∠C ．90AEB ∠>︒D ．π22βα-<【答案】BD【详解】作AD y ⊥轴于D ，作BC y ⊥轴于C ，则,DAF DAEαβ=∠=∠由()()1122,,,A x y B x y ，则()()120,,0,D y C y ，故选：BD.12．已知双曲线22:145x y C -=的左､右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线与双曲线C 的右支交于,A B 两点，且1AF AB ⊥，则下列结论正确的是（）A ．双曲线C 的渐近线方程为2y x =±B ．若P 是双曲线C 上的动点，则满足25PF =的点P 共有两个C ．12AF =D ．1ABF 2○热○点○题○型二圆锥曲线的性质综合一、单选题1．设1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线交双曲线右支于A ，B 两点，若1123AF BF =，且223AF BF =，则该双曲线的离心率为（）A B ．2C D ．32．已知双曲线()22:10,0C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，12F F =P为C 上一点，1PF 的中点为Q ，2PF Q △为等边三角形，则双曲线C 的方程为（）．A ．2212y x -=B ．2212x y -=C ．2222133x y -=D ．223318y x -=A ．6B ．3或C ．D ．或4．已知双曲线221(0,0)a b a b-=>>的实轴为4，抛物线22(0)y px p =>的准线过双曲线的左顶点，抛物线与双曲线的一个交点为(4,)P m ，则双曲线的渐近线方程为（）A ．y x =B ．y =C ．23y x =±D ．4y x =±故选：A5．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线.在平面直角坐标系xOy中，把到定点()1,0F a -，()2,0F a 距离之积等于()20a a >的点的轨迹称为双纽线.已知点00(,)P x y 是双纽线C 上一点，有如下说法：①双纽线C 关于原点O 中心对称；②022a a y -≤≤；③双纽线C 上满足12PF PF =的点P 有两个；④PO .其中所有正确的说法为（）A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①②④6．如图所示，1F ，2F 是双曲线22:1(0,0)C a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线C 的右支上存在一点B 满足12BF BF ⊥，1BF 与双曲线C 的左支的交点A 平分线段1BF ，则双曲线C 的离心率为（）A ．3B ．C D7．已知椭圆1和双曲线2的焦点相同，记左、右焦点分别为1，2，椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，设点P 为1C 与2C 在第一象限内的公共点，且满足12PF k PF =，若1211e e k =-，则k 的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若从椭圆右焦点2F 发出的光线经过椭圆上的点A 和点B 反射后，满足AB AD ⊥，且3cos 5ABC ∠=，则该椭圆的离心率为（）．A ．12B 22C D则113cos 5AB ABF BF ∠==，sin ABF ∠可设3AB k =，14AF k =，1BF =由1122AB AF BF AF BF AF ++=++二、多选题9．已知曲线E ：221mx ny -=，则（）A ．当0mn >时，E 是双曲线，其渐近线方程为y =B ．当0n m ->>时，E 是椭圆，其离心率为eC ．当0m n =->时，E 是圆，其圆心为()0,0D ．当0m ≠，0n =时，E是两条直线x =10．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）的正视图可以近似看成双纽线，在平面直角坐标系中，把到定点()1,0F a -和()2,0F a 距离之积等于()20a a >的点的轨迹称为双纽线，已知点()00,P x y 是双纽线C 上一点，则下列说法正确的是（）A ．若12F PF θ∠=，则12F PF △的面积为sin 2aθB ．022a a y -≤≤C ．双纽线C 关于原点O 对称D ．双纽线上C 满足12PF PF =的点P 有三个【答案】BC11．已知椭圆()2:1039C b b+=<<的左、右焦点分别为1F 、2F ，点2M在椭圆内部，点N 在椭圆上，椭圆C 的离心率为e ，则以下说法正确的是（）A ．离心率e 的取值范围为0,3⎛ ⎝⎭B ．存在点N ，使得124NF NF =C ．当6e =时，1NF NM +的最大值为62+D ．1211NF NF +的最小值为1如上图示，当且仅当2,,M N F12．已知P ，Q 是双曲线221x y a b-=上关于原点对称的两点，过点P 作PM x ⊥轴于点M ，MQ 交双曲线于点N ，设直线PQ 的斜率为k ，则下列说法正确的是（）A ．k 的取值范围是b bk a a-<<且0k ≠B ．直线MN 的斜率为2kC ．直线PN 的斜率为222b kaD ．直线PN 与直线QN 的斜率之和的最小值为ba2222PN QNb k b k k ka a +=+≥，当且仅当但PN QN k k ≠，所以等号无法取得，选项○热○点○题○型三圆锥曲线的综合应用1．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>2倍，且右焦点为()1,0F ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线():2l y k x =+交椭圆C 于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为23-．求直线l 的方程．【详解】（1）由椭圆C 的长轴长是短轴长的2倍，可得2a b =．所以()2222bb c =+．又()1,0F ，所以()2221bb =+，解得1b =．所以2a =．所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由()22122x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2222218820k x k x k +++-=．则2122821k x x k -+=+，21228221k x x k -=+．因为线段AB 中点的横坐标为23-，所以2122422213x x k k +-==-+．2．已知抛物线：2＝2的焦点为(1，0)，过的直线交抛物线于，两点，直线AO，BO分别与直线m：x＝－2相交于M，N两点．(1)求抛物线C的方程；(2)求证：△ABO与△MNO的面积之比为定值．3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，右焦点F 到其中一条渐近线的距离(1)求双曲线C 的标准方程；(2)(2)过右焦点F 作直线AB 交双曲线于,A B 两点，过点A 作直线1:2l x =的垂线，垂足为M ，求证直线MB 过定点.4．如图，平面直角坐标系中，直线l 与轴的正半轴及轴的负半轴分别相交于两点，与椭圆22:143x y E +=相交于,A M 两点（其中M 在第一象限），且,QP PM N = 与M关于x 轴对称，延长NP 交㮋圆于点B .(1)设直线,AM BN 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值；(2)求直线AB 的斜率的最小值.5．已知双曲线C ：221a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，一条渐近线的倾斜角为60°，且C 上的点到F 的距离的最小值为1．(1)求C 的方程；(2)设点()0,0O ，()0,2M ，动直线l ：y kx m =+与C 的右支相交于不同两点A ，B ，且AFM BFM ∠=∠，过点O 作OH l ⊥，H 为垂足，证明：动点H 在定圆上，并求该圆的方程．。

解析几何填空选择压轴题(含答案)解析(1)

解析几何填空选择压轴题(含答案)解析(1)20XX年解析几何填空选择压轴题（含答案）一．选择题（共15小题）1．（20XX年潍坊模拟）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是2．（20XX年绥化一模）已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P（其为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I，且有3．（20XX年鹰潭二模）已知点A（1，0），B（1，0）及抛物线y=2x，若抛物线上点P满4．（20XX年大庆校级模拟）已知双曲线的标准方程为，F为其右焦点，A1，A2是2实轴的两端点，设P为双曲线上不同于A1，A2的任意一点，直线A1P，A2P与直线x=a分别交于两点M，N，若5．（20XX年瓦房店市校级二模）已知抛物线y=2px （p＞0）与椭圆2，则a的值为（）6．（20XX年江北区校级模拟）如图，已知半圆的直径|AB|=20，l为半圆外一直线，且与BA的延长线交于点T，|AT|=4，半圆上相异两点M、N与直线l的距离|MP|、|NQ|满足条件，则|AM|+|AN|的值为（）27．（20XX年东城区模拟）设F为抛物线y=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若++=，则的值为（）8．（20XX年重庆）设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C9．（20XX年江西）如图，一个“凸轮”放置于直角坐标系X 轴上方，其“底端”落在远点O处，一顶点及中心M在Y轴的正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成今使“凸轮”沿X轴正向滚动过程中，“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放10．（20XX年陕西）已知抛物线y=2px（p＞0）的准线与圆（x3）+y=16相切，则p的值22211．（20XX年重庆）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另12．（20XX年天津）设抛物线y=2x的焦点为F，过点M（2，0）的直线与抛物线相交于A、=（）B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比13．（20XX年四川）已知抛物线C：y=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上14．（20XX年海南）已知点P在抛物线y=4x上，那么点P 到点Q（2，1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）2215．（20XX年福建）双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1、F2，若P为其上一二．填空题（共15小题）16．（20XX年鞍山一模）已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，双曲线的离心率的取值范围为（1，2）．则该椭圆的离心率的取值范围是．17．（20XX年上饶二模）以抛物线y=20x的焦点为圆心，且与双曲线：近线都相切的圆的方程为．18．（20XX年射阳县校级模拟）已知椭圆2的两条渐，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与C相交于A、B两点，若= ．19．（20XX年福建模拟）若函数f（x）=log2（x+1）1的零点是抛物线x=ay焦点的横坐标，则a= ．20．（20XX年建邺区模拟）过抛物线y=2px（p＞0）的对称轴上的定点M（m，0）（m＞0），作直线AB与抛物线相交于A，B两点．（1）试证明A，B两点的纵坐标之积为定值；（2）若点N是定直线l：x=m上的任一点，试探索三条直线AN，MN，BN的斜率之间的关系，并给出证明．2221．（20XX年湖北）如图，双曲线=1（a，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D．则：（Ⅰ）双曲线的离心率e= ；（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值= ．22．（20XX年沈河区校级模拟）+=1上有一动点P，圆E：（x1）+y=1，过圆心E任2222意做一条直线与圆E交于A、B两点，圆F：（x+1）+y=1，过圆心任意做一条直线交圆F于C、D两点，则23．（20XX年庐阳区校级模拟）如图，椭圆的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将坐标+的最小值为．平面沿y轴折成一个二面角，使点A2在平面B1A1B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点，则此二面角的大小为．24．（20XX年江西）抛物线x=2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线B两点，若△ABF为等边三角形，则p=．25．（20XX年湖南）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C2=1相交于A，上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为26．（20XX年浙江）设F1，F2分别为椭圆则点A的坐标是．+y=1的焦点，点A，B在椭圆上，若2=5；27．（20XX年湖北）已知椭圆C：的两焦点为F1，F2，点P（x0，y0）满足与椭圆C的公共点个，则|PF1|+PF2|的取值范围为，直线数．28．（20XX年重庆）动圆的圆心在抛物线y=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必过点．29．（20XX年上海）在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为，曲线Γ上的点P，若30．（20XX年重庆）过双曲线xy=4的右焦点F作倾斜角为105的直线，交双曲线于P、Q两点，则|FP| |FQ|的值为．222、分别是两条渐近线的方向向量．任取双（a、b∈R），则a、b满足的一个等式是．20XX年解析几何填空选择压轴题（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．（20XX年潍坊模拟）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是2．（20XX年绥化一模）已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P（其为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I，且有3．（20XX年鹰潭二模）已知点A（1，0），B（1，0）及抛物线y=2x，若抛物线上点P满24．（20XX年大庆校级模拟）已知双曲线的标准方程为，F为其右焦点，A1，A2是实轴的两端点，设P为双曲线上不同于A1，A2的任意一点，直线A1P，A2P与直线x=a分别交于两点M，N，若，则a的值为（）B.C.D.考点：双曲线的简单性质. 专题：综合题；压轴题. 分析：双曲线菁优网版权所有,右焦点F(5.0) ,A1(3,0) ,A2(3,0) ,设P(x,y) ,M(a, ,故m= ,由和，能求，由P,m) ,N(a,n) ,由P,A1,M 三点共线，知A2,N 三点共线，知，故n= , 出 a 的值. 解答：解：∵双曲线,右焦点F(5,0) ,A1(3,0) ,A2(3,0) ,设P(x,y) ,M(a,m) ,N(a,n) , ∵P,A1,M 三点共线，∴m= ,∵P,A2,N 三点共线，∴ ∴n= , ,∵,∴,∴,,∴=(a5) +=(a5) +,第10 页(共32 页)5．（20XX年瓦房店市校级二模）已知抛物线y=2px（p＞0）与椭圆26．（20XX年江北区校级模拟）如图，已知半圆的直径|AB|=20，l为半圆外一直线，且与BA的延长线交于点T，|AT|=4，半圆上相异两点M、N与直线l的距离|MP|、|NQ|满足条件，则|AM|+|AN|的值为（）7．（20XX年东城区模拟）设F为抛物线y=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若++=，则的值为（）28．（20XX年重庆）设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C9．（20XX年江西）如图，一个“凸轮”放置于直角坐标系X 轴上方，其“底端”落在远点O处，一顶点及中心M在Y轴的正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成今使“凸轮”沿X轴正向滚动过程中，“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放10．（20XX年陕西）已知抛物线y=2px（p＞0）的准线与圆（x3）+y=16相切，则p的值22211．（20XX年重庆）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另12．（20XX年天津）设抛物线y=2x的焦点为F，过点M（2，0）的直线与抛物线相交于A、=（）B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比代入，即可求得A 的坐标，进而求得的值，则三角形的面积之比可得.解答：解：如图过 B 作准线l:x= 的垂线，垂足分别为A1,B1,∵=,又∵△B1BC∽△A1AC、∴ = ,由物线定义==.由|BF|=|BB1|=2 知xB= ,yB= ∴AB:y0= (x ) .,把x=代入上式，求得yA=2,xA=2,∴|AF|=|AA1|= . 故故选A. = = = .第17 页(共32 页)13．（20XX年四川）已知抛物线C：y=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上14．（20XX年海南）已知点P在抛物线y=4x上，那么点P 到点Q（2，1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）215．（20XX年福建）双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1、F2，若P为其上一二．填空题（共15小题）16．（20XX年鞍山一模）已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，双曲线的离心率的取值范围为（1，2）．则该椭圆的离心率的取值范围是（，）．17．（20XX年上饶二模）以抛物线y=20x的焦点为圆心，且与双曲线：222的两条渐近线都相切的圆的方程为（x5）．18．（20XX年射阳县校级模拟）已知椭圆，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与C相交于A、B两点，若= ．。

专题18 解析几何(选填压轴题)(教师版)-备战2022年高考数学高分必刷必过题(全国通用版)

专题18解析几何（选填压轴题）一、单选题1．（2021·河南高三月考（理））已知点1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点M 在直线:l x a =-上运动，若12F MF ∠的最大值为60︒，则椭圆C 的离心率是（）A．13B．12【答案】C 【详解】由题意知，()1,0F c -，()2,0F c ，直线l 为x a =-，设直线1MF ，2MF 的倾斜角分别为α，β，由椭圆的对称性，不妨设M 为第二象限的点，即(),M a t -，()0t >，则tan tc aα=-，tan tc aβ-=+.12F MF βα∠=- ，()12222222tan tan 222tan tan 1tan tan 21t t ct c c cc a c a F MF t b t b b b t c a t βαβααβ---+-∴∠=-====≤==++-+-，当且仅当2b t t=，即t b =时取等号，又12tan F MF ∠得最大值为tan 60c b =︒=c ∴=，即2223c c a =-，整理得c a =C故选：C.2．（2021·山东肥城·高三模拟预测）已知EF 是圆22:2430C x y x y +--+=的一条弦，且CE CF ⊥，P 是EF 的中点，当弦EF 在圆C 上运动时，直线:30l x y --=上存在两点,A B ，使得2APB π∠≥恒成立，则线段AB 长度的最小值是（）A．1B．C．D．2【答案】B 【详解】由题可知：22:(1)(2)2C x y -+-= ，圆心()1,2C ，半径r =又CE CF ⊥，P 是EF 的中点，所以112CP EF ==，所以点P 的轨迹方程22(1)(2)1x y -+-=，圆心为点()1,2C ，半径为1R =，若直线:30l x y --=上存在两点,A B ，使得2APB π∠≥恒成立，则以AB 为直径的圆要包括圆22(1)(2)1x y -+-=，点()1,2C 到直线l 的距离为d ==所以AB 长度的最小值为()212d +=+，故选：B．3．（2021·丽水外国语实验学校高三期末）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是线段1B C 的中点，F 是棱11A D 上的动点，P 为线段1BD 上的动点，则PE PF +的最小值是（）B．12C．6D．2【答案】C 【详解】在11D C 上取点1F 使得111D F D F =，由对称性可知1PF PF =.连接1BC ，则11BC B C E = ，点P 、E 、1F 都在平面11BC D 内，且111BC C D ⊥，11=1C D ，1BC =在11Rt BC D 所在平面内，以11C D 为x 轴，1C B 为y 轴建立平面直角坐标系如图所示.则1(1,0)D，B，0,2E ⎛ ⎝⎭，所以直线1BD的方程为1x =.设点E 关于直线1BD 的对称点为(,)E m n '，则22122n m n m ⎧⎪=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得236m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2,36E ⎛' ⎝⎭.因此，1116PE PF PE PF PE PF E F ''+=+=+≥≥所以，当且仅当1,,E P F '三点共线且111E F C D '⊥时，PE PF +有最小值6.故选：C.4．（2021·四川成都七中高三三模（理））已知双曲线22413y x -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点M 是双曲线右支上一点，满足120MF MF →→⋅=，点N 是线段12F F 上一点，满足112F N F F λ→→=.现将12MF F △沿MN 折成直二面角12F MN F --，若使折叠后点1F ，2F 距离最小，则λ=（）A．15B．25C．35D．45【详解】由双曲线方程知，12a =，b =，2c =，设2MF x =，则11MF x =+，12F F 120MF MF →→⋅=，则22(1)13x x ++=，解得2x =或-3（舍），设折叠后点1F 达到F 点，如图所示，作FA MN ⊥于A 点，易知FA ⊥平面12MF F ，1FAN F AN ≅ ，1F A MA ⊥，设1F MN α∠=，则22F MN πα∠=-，在1Rt MAF 中，13sin FA F A α==，3cos MA α=，在2MAF 中，由余弦定理知，222222222cos (3cos )423cos 2sin AF MA MF MA MF F MN ααα=+-⋅∠=+-⨯⨯29cos 6sin 24αα=-+，则2222222(3sin )9cos 6sin 24136sin 27FF AF AF αααα=+=+-+=-≥，当且仅当sin 21α=，即4πα=时，等号成立，折叠后点1F ，2F 距离最小.此时MN 为12F MF ∠的角平分线，由角平分线定理知，112232F N MF NF MF ==，则11235F N F F →→=，35λ=故选：C5．（2021·安徽师范大学附属中学高三开学考试（理））已知F 是椭圆2221(1)x y a a+=>的左焦点，A 是该椭圆的右顶点，过点F 的直线l （不与x 轴重合）与该椭圆相交于点,M N ．记MAN α∠=，设该椭圆的离心率为e ，下列结论正确的是（）A．当01e <<时，2πα<B．当0e <2πα>C．当12e <<23πα>1e <<时，34πα>【详解】不失一般性，设M 在x 轴上方，N 在x 轴下方，设直线AM 的斜率为1k ，倾斜角为θ，直线AN 的斜率为2k ，倾斜角为β，则210,0k k ><，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()0,απθβπ=-+∈.又()2121tan tan tan tan 1+tan tan 1k k k k βθαπθββθ--=-+==+.又直线AM 的方程为()1y k x a =-，由()12222y k x a x a y a ⎧=-⎨+=⎩可得22232422111(1)20a k x a k x a k a +-+-=，故42212211M a k a x a a k -⨯=+，所以3212211Ma k ax a k -=+，故122121M ak y a k -=+，同理3222221N a k ax a k -=+，故222221N ak y a k -=+，因为,,M F N 共线，故21222221323221222221221111ak ak a k a k a k a a k ac ca k a k --++=--++++，整理得到()()()()21212210a a c k k k k c a k k +-+--=即()122c ak k a a c -=+，若01e <<，()()122211c a e k k a a c a e --==++，因为()1211,011e e e -=-∈-++，21a >，故121k k >-，所以2121tan 01k k k k α-=>+，故2πα<.6．（2021·全国高三专题练习）已知过抛物线24y x =的焦点F 的直线与抛物线交于点A 、B ，若A 、B 两点在准线上的射影分别为M 、N ，线段MN 的中点为C ，则下列叙述不正确的是（）A．AC BC⊥B．四边形AMCF 的面积等于AC MF ⋅C．AF BF AF BF +=⋅D．直线AC 与抛物线相切【答案】B 【详解】如图，由题意可得()1,0F ，抛物线的准线方程为1x =-．设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭、222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线AB 的方程为1x ty =+，联立214x ty y x=+⎧⎨=⎩，可得2440y ty --=，利用根与系数的关系得124y y =-，因为线段MN 的中点为C ，所以121,2y y C +⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以21121,42y y y CA ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭ ，22211,42y y y CB ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭ ，所以，()()2222121212121111210444162y y y y y y y yCA CB -⎛⎫⎛⎫⋅=++-=++=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以，AC BC ⊥，A 选项正确；对于B 选项，因为()11,M y -，所以()12,MF y =-，所以()2112112220222y y y y y yCA MF -⋅=+-=+= ，所以AC MF ⊥，所以四边形AMCF 的面积等于12AC BF ⋅，B 选项错误；对于C 选项，根据抛物线的定义知2114y AF AM ==+，2214y BF BN ==+，所以221224y y AF BF ++=+，22222222121212121112441644y y y y y y y y AF BF ⎛⎫⎛⎫++⋅=++=++=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以，AF BF AF BF +=⋅，C 选项正确；对于D 选项，直线AC 的斜率为()12111212221111422224414ACy y y y y y y k y y y y ⎛⎫++ ⎪--⎝⎭====+++，抛物线24y x =在点A 处的切线方程为2114y y y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，联立211244y y y k x y x⎧⎛⎫-=-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=⎩，消去x 可得2211440ky y y ky -+-=，由题意可得()211016440k k y ky ≠⎧⎪⎨∆=--=⎪⎩，可得12ky =，即12k y =，则AC k k =.所以，直线AC 与抛物线24y x =相切，D 选项正确.故选：B.7．（2021·全国高三模拟预测（理））如图，已知双曲线()222210x y b a a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若12AF F △的内切圆半径为4b，则双曲线的离心率为（）A．53B．54C．43D．32【答案】A 【详解】设双曲线的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，设双曲线的一条渐近线方程为b y x a=，可得直线2AF 的方程为()b y x c a =-，与双曲线22221(0)x yb a a b-=>>联立，可得22(2c a A c +，22()2b a c ac-，设1||AF m =，2||AF n =，由三角形的等面积法可得2211()(2)22422b b c a m n c c ac -⨯++=⨯⋅，化简可得2442c m n a c a+=--，①由双曲线的定义可得2m n a -=，②在三角形12AF F 中22()sin 2b c a n acθ-=，(θ为直线2AF 的倾斜角），由tan baθ=，22sin cos 1θθ+=，可得sin b cθ==，可得222c a n a-=，③由①②③化简可得223250c ac a --=，即为(35)()0c a c a -+=，可得35c a =，则53ce a==．故选：A．8．（2021·湖南天心·长郡中学高三二模）已知正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，点M ，N 分别为线段AB '，AC 上的动点，点T 在平面BCC B ''内，则MT NT +的最小值是（）B．3C．2D．1【答案】B 【详解】解：A 点关于BC 的对称点为E ，M 关于BB '的对称点为M '，记d 为直线EB '与AC 之间的距离，则MT NT M TNT M N d ''+=+≥≥，由//B E D C ''，d 为E 到平面ACD '的距离，因为111111333D ACE ACE V S '-=⨯⨯==⨯⨯= ，而21346D ACE E ACD V V d d ''--==⨯⨯⨯=，故3d =，故选：B.9．（2021·贵州贵阳·高三模拟预测（理））在平面内，已知动点P 与两定点,A B 的距离之比为()0,1λλλ>≠，那么点P 的轨迹是圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.在空间中，也可得到类似结论.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，2AB BC ==，1BB =，90ABC ∠=︒，点M 为AB 的中点，点P在三棱柱内部或表面上运动，且PA =，动点P 形成的曲面将三棱柱分成两个部分，体积分别为1V ，()212V V V <，则12V V =（）A．12B．13C．14D．15【答案】D 【详解】如图，在平面PAB 中，作MPN MAP ∠=∠,交AB 于点N ，则MPN NAP ∠=∠,又因PNM ANP ∠=∠，所以PNM ANP ，所以2PN AN PA MN PN MP ===22,2AN MN PN =,所以22AM AN MN PN =-=.因为112AM AB ==，所以2,1PN MN ==,所以B、N 重合且2BP PN ==所以点P 落在以B 2作BH AC ⊥于H ，则222BH AB ==因为1AA ⊥面ABC ，所以1AA ⊥BH ，又因为1AA AC A = ，所以BH ⊥面11AA CC ，所以B 到面11AA CC 的距离为=2=BH BP ，所以球面与面11AA CC 相切，而122BB π=>所以球面不会与面111A B C 相交，则31142833V BP π== ，111=222222V AB BC AA ππ⨯⨯⨯=⨯⨯=三棱柱,所以2125222=33V V V πππ=-=-三棱柱，所以12V V =15.故选：D.10．（2021·吉林高三月考（理））已知双曲线C ：22197x y -=的左焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，则14FA FB-的取值范围是（）A．13,67⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B．13,67⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．1,06⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D．1,6⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B 【详解】设FA r =，则1r c a ≥-=.设双曲线的右焦点为F '，由对称性可知BF FA r '==，则26FB r a r =+=+，所以14146FA FB r r -=-+.令21463()66r f r r r r r -=-=++，[1,)r ∈+∞，则222223(412)3(2)(6)()(6)(6)r r r r f r r r r r --+-'==++，令()0f r '=得6r =，当(1,6)x ∈时，()0f r '<，()f r 单调递减；当(6,)x ∈+∞时，()0f r '>，()f r 单调递增.所以min 1()(6)6f r f ==-，又当(6,)x ∈+∞时()0f r <，所以max 3()(1)7f r f ==.故14FA FB -的取值范围是13,67⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：B.11．（2021·浙江高三月考）如图，椭圆22:143x y C +=，P 是直线4x =-上一点，过点P 作椭圆C 的两条切线PA ，PB ，直线AB 与OP 交于点M ，则sin PMB ∠的最小值是（）437B．86565721032【答案】A 【详解】设11(,)A x y 若A 在椭圆的上半部分，则2314xy =-22332214144x x y x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭'=---A 在椭圆上，2211143x y +=，111211334414x x x x y y x ===--'．∴过A 点的切线方程是11113()4x y y x x y -=--，221111343412x x y y x y +=+=，即11143x x y y+=，同理可证当A 在下半圆时，过A 的切线方程也是11143x x y y+=，A 是椭圆的左右顶点时，切线方程也是．∴无论A 在椭圆的何处，切线方程都是11143x x y y +=．设22(,)B x y ，则过B 点的切线方程是22143x x y y +=，P 在直线4x =-，设(4,)P m -，则由两切线都过P 点∴11221313y m x y m x ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，∴直线AB 方程是13my x -+=，易知直线AB 过定点(1,0)-，该定点为椭圆左焦点F ．直线OP 方程为4m y x =-，则由134my x m y x ⎧-+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得221212312x m m y m ⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，即22123,1212m M m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，3AB k m=，4(1)3PF m m k ==----，1AB PF k k =-，∴PF AB ⊥，PF =PM =∴2sin PFPMB PM =7===≥=．当且仅当22144m m =，即m =±时等号成立．故选：A．12．（2021·吉林长春·高三模拟预测（理））已知F 是椭圆2222+1(0)x y a b a b=>>的一个焦点，若直线y kx =与椭圆相交于,A B 两点，且60AFB ∠=︒，则椭圆离心率的取值范围是（）A．(1)2B．(02，C．1(0)2，D．1(1)2，【答案】A 【详解】如图设1，F F 分别为椭圆的左、右焦点，设直线y kx =与椭圆相交于,A B ，连接11,,,AF AF BF BF .根据椭圆的对称性可得：四边形1AF BF 为平行四边形.由椭圆的定义有：12,AF AF a +=12,FF c =1120F AF ∠=︒由余弦定理有：2221112cos120FF AF AF AF AF =+-⋅︒即()()2221211142AF AF c AF AF AF AF AF AF ⎛⎫+=+-⋅≥+- ⎪⎝⎭所以()221222214432AF AF c AF AFa a a⎛⎫+≥+-=-= ⎝⎭当且仅当1AF AF =时取等号，又y kx =的斜率存在，故A B ，不可能在y 轴上.所以等号不能成立,即即2234c a >，所以12e >>故选：A13．（2021·山西阳泉·高三期末（理））已知双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若21210F F F A F A →→→⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，则此双曲线的标准方程可能为（）A．x 2212y -=1B．22134x y -=C．221169x y -=D．221916x y -=【答案】D 【详解】解：由题可知，1212F A F F F A →→→=-+，若21210F F F A F A →→→⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，即为2221210F F F F A F F A →→→→⎛⎫+⋅ ⎛⎫-+⎪⎝ ⎭⎪⎭=⎝，可得21222F AF F →→=，即有221||||2AF F F c ==，由双曲线的定义可知122AF AF a -=，可得1||22AF a c =+，由于过F 2的直线斜率为247，所以在等腰三角形12AF F 中，2124tan 7AF F ∠=-，则217cos 25AF F ∠=-，由余弦定理得：22221744(22)cos 25222c c a c AF F c c+-+∠=-= ，化简得：35c a =，即35a c =，45b c =，可得:3:4a b =，22:9:16a b =，所以此双曲线的标准方程可能为：221916x y -=.故选：D．14．（2021·全国高三专题练习（理））已知O 为坐标原点，抛物线()220C y px p =>：上一点A 到焦点F 的距离为4，若点M 为抛物线C 准线上的动点，给出以下命题：①当MAF △为正三角形时，p 的值为2；②存在M 点，使得0MF MA -=；③若3MF FA =，则p 等于3；④OM MA +的最小值为p 等于4或12.其中正确的是（）A．①③④B．②③C．①③D．②③④【答案】C 【详解】对于①，当MAF △为正三角形时，如下图所示，抛物线的准线交x 轴于N ，4AF AM MF ===,由抛物线定义可知AF AM =，则AM 与准线垂直，所以60AMF AFM ∠=∠= ，则30FMN ∠= ，所以12NF MF =,而NF p =，即122p MF ==，所以①正确；对于②，假设存在M 点，使得0MF MA -= ，即MA MF =，所以M 点为AF 的中点，由抛物线图像与性质可知，A 为抛物线上一点，F 为焦点，线段AF 在y 轴右侧，点M 在抛物线C 准线上，在y 轴左侧，因而M 不可能为AF 的中点，所以②错误；对于③，若3MF FA =，则:3:4MF MA =，作AE 垂直于准线并交于E ，准线交x 轴于N ，如下图所示：由抛物线定义可知4AE AF ==，根据相似三角形中对应线段成比例可知MF FN MAAE=，即344p =，解得3p =，所以③正确；对于④，作O 关于准线的对称点O '，连接AO '交准线于M ，作AD 垂直于准线并交于D ，作AH 垂直于x 轴并交于H ，如下图所示：根据对称性可知，此时AO '即为OM MA +的最小值，由抛物线定义可知4AD AF ==，所以A 的横坐标为42p -，代入抛物线可知22242A p y AHp ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，OM MA AO +='的最小值为1342pO H NH O N '=+'=+，则22O O AHA H '='+，即(224241322p p p ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简可得216480p p -+=，即()()4120p p --=，解得4p =或12p =，当p =12时，不满足点A 到焦点F 的距离为4，所以④错误；综上所述，正确的为①③.故选：C.15．（2021·全国高三专题练习（理））关于x 的实系数方程2450x x -+=和220x mx m ++=有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是（）A．{}5B．{}1-C．()0,1D．(){}0,11- 【答案】D 【详解】解：由已知x 2﹣4x +5＝0的解为2i ±，设对应的两点分别为A ，B ，得A （2，1），B （2，﹣1），设x 2+2mx +m ＝0的解所对应的两点分别为C ，D ，记为C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），（1）当△＜0，即0＜m ＜1时，220x mx m ++=的根为共轭复数，必有C 、D 关于x 轴对称，又因为A 、B 关于x 轴对称，且显然四点共圆；（2）当△＞0，即m ＞1或m ＜0时，此时C （x 1，0），D （x 2，0），且122x x +＝﹣m ，故此圆的圆心为（﹣m ，0），半径122x x r -==，又圆心O 1到A 的距离O 1A=，解得m ＝﹣1，综上：m ∈（0，1）∪{﹣1}.故选：D.16．（2021·信阳市实验高级中学高三开学考试（理））在正方体1111ABCD A B C D -中，球1O 同时与以A 为公共顶点的三个面相切，球2O 同时与以1C 为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点F .若以F 为焦点，1AB 为准线的抛物线经过12O O ，，设球12O O ，的半径分别为12r r ，，则12r r=（）A．12C．12-D．2【答案】D 【详解】根据抛物线的定义，点2O 到点F 的距离与到直线1AB 的距离相等，其中点2O 到点F 的距离即半径2r ，也即点2O 到面11CDD C 的距离，点2O 到直线1AB 的距离即点2O 到面11ABB A 的距离，因此球2O 内切于正方体，不妨设21r =，两个球心12O O ，和两球的切点F 均在体对角线1AC 上，两个球在平面11ABC D 处的截面如图所示，则122212AC O F r AO ===，221AF AO O F =-.又因为111AF AO O F r =+=+，因此)111r=，得12r =-所以122r r =-故选：D17．（2021·信阳市实验高级中学高三开学考试（理））过抛物线()220y px p =>的焦点F作直线与抛物线在第一象限交于点A ，与准线在第三象限交于点B ，过点A 作准线的垂线，垂足为H .若tan 2AFH ∠=，则AF BF=（）A．54B．43C．32D．2【答案】C 【详解】如图，设准线与x 轴的交点为M ，过点F 作FC AH ⊥.由抛物线定义知AF AH =，所以AHF AFH α∠=∠=，2FAH OFB πα∠=-=∠，()()cos 2cos 2MF pBF παπα==--，()()()tan tan sin 2sin 2sin 2CF CH p AF ααπαπαπα===---，所以()2tan tan tan 13tan 2tan 222AFBF αααπαα-====--.故选：C18．（2021·西工大附中分校高三模拟预测（理））设1F ，2F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点()0,2P x a 为双曲线上一点，若12PF F ∆的重心和内心的连线与x 轴垂直，则双曲线的离心率为A．2【答案】A 【详解】画出图形如图所示，设12PF F ∆的重心和内心分别为,G I ，且圆I 与12PF F ∆的三边1212,,F F PF PF 分别切于点,,M Q N ，由切线的性质可得1122||||,||||,||||PN PQ F Q F M F N F M ===．不妨设点()0,2P x a 在第一象限内，∵G 是12PF F ∆的重心，O 为12F F 的中点，∴1||||3OG OF =，∴G 点坐标为02(,33x a ．由双曲线的定义可得121212||||2||||||||PF PF a F Q F N F M F M -==-=-，又12||||2F M F M c +=，∴12||,||F M c a F M c a =+=-，∴M 为双曲线的右顶点．又I 是12PF F ∆的内心，∴12IM F F ⊥．设点I 的坐标为(,)I I x y ，则I x a =．由题意得GI x ⊥轴，∴3x a =，故03x a =，∴点P 坐标为()3,2a a ．∵点P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上，∴22222294491a a a a b b -=-=，整理得2212b a =，∴2c e a ==．故选A ．19．（2021·河西·天津市新华中学高三月考）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，以线段12F F 为直径的圆与C 的渐近线在第一象限的交点为P ，且122PF PF b -=.设C 的离心率为e ，则2e =A．12B．12+【答案】B 【详解】由题意12F P F P ⊥，则222212124F P F P F F c +==①，又122PF PF b -=②，2①－②得12PF PF ＝22a ，∵P 在渐近线上且OP c =，设A 为双曲线右顶点，如图，则PA b =，且12PA F F ⊥，由1212PF PF F F PA =得222a cb =，于是422222()a b c c c a ==-，变形为4210e e --=，解得212e =（12舍去），故选B．20．（2021·陕西西安·高新一中高三二模（理））我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知1F 、2F 是一对相关曲线的焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当1260F PF ∠=时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是C．3D．2【答案】A 【详解】设椭圆的长半轴长为1a ，椭圆的离心率为1e ，则11c e a =，11c a e =．双曲线的实半轴长为a ，双曲线的离心率为e ，c e a =，c a e=，设1PF x =，2PF y =(x >0)y >，则2222242cos60c x y xy x y xy =+-=+- ，当点P 被看作是椭圆上的点时，有()22214343c x y xy a xy =+-=-，当点P 被看作是双曲线上的点时，有24c =()224x y xy a xy -+=+，两式联立消去xy 得222143c a a =+，即222143c c c e e ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2211134e e ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又11e e =，所以2234e e+=，整理得42430e e -+=，解得23e =或21e =（舍去），所以e =故选A．二、多选题21．（2021·广东茂名·高三月考）已知曲线C ：1x x y y +=，则下列结论正确的是（）A．直线0x y +=与曲线C 没有公共点B．直线x y m +=与曲线C 最多有三个公共点C．当直线x y m +=与曲线C 有且只有两个不同公共点()111,P x y ，()222,P x y 时，12x x 的取值范围为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D．当直线x y m +=与曲线C 有公共点时，记公共点为()*,()i i P x y i N ∈．则1ni i x =∑的取值范围为(【答案】ACD 【详解】由题设得：曲线C 为()()()22222210,010,010,0x y x y x y x y y x x y ⎧+=≥≥⎪-=><⎨⎪-=<>⎩，A：由0x y +=是221x y -=和221y x -=的渐近线，且0x y +=与()2210,0y x y x +=≥≥没有公共点，故正确；B：由A 中的分析知：x y m +=与曲线C 最多有两个公共点，故错误；C：由图可知，若x y m +=与曲线C 有两个公共点或一个公共点，当0m <<x y m +=与曲线C 有两个公共点()111,P x y ，()222,P x y ，由对称性知，()111,P x y ，()222,P x y 关于直线y x =对称，则12y x =，∴1211x x x y =，（1）当01m <<时，120x x -∞<<．（2）当12m ≤<时，由12x x ≠，则21112112122x y x x x y +=<=．（3）当2m =l 与曲线C 只有一个公共点，不合题意．（4）当2m >0m ≤时，直线l 与曲线C 无公共点，综上可知，C 正确；D：由C 的分析，02m <<x y m +=与曲线C 有且只有两个不同公共点，则12111nii xx x x y m ==+=+=∑，即102ni i x =<∑．当2m =x y m +=与曲线C 只有一个公共点，此点为2222⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．此时(111222ni x x ===∑．故正确．故选：ACD．22．（2021·江苏鼓楼·南京市第二十九中学高三开学考试）已知F 为抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点，下列结论正确的是（）A．抛物线2y ax =的的焦点到其准线的距离为12a．B．已知抛物线C 与直线l ：4320x y p --=在第一、四象限分别交于,A B 两点，若||||AF FB λ=，则4λ=．C．过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于,A B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则四边形ADBE 面积的最小值为28p ．D．若过焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于,M N 两点，过点,M N 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，切线1l 与2l 相交于点P ，则点P 在定直线上．【答案】BCD【详解】A：抛物线2y ax =的的焦点到其准线的距离为12a，故A 错误；B：联立243202x y p y px--=⎧⎨=⎩，则22163440x px p -+=，解得12,28px x p ==，由题意可知25||2222p p p AF x p =+=+= ，15||2828p p p pFB x =+=+= ，故55428p p=⨯，所以4λ=，故B 正确；C：由题意可知直线1l ，2l 的斜率均存在，且不为0，设直线1:2pl x my =+，联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，则2220y pmy p --=，设两交点为()()1122,,,A x y B x y ，结合韦达定理122y y pm +=，所以()()21212221AB x x p m y y p p m =++=++=+；同理2121DE p m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以()22111212122ADBE S AB DE p m p m ⎛⎫=⋅=⨯+⨯+ ⎪⎝⎭222122p m m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭222p ⎛⎫≥+ ⎪ ⎪⎝⎭28p =，当且仅当1m =±时，等号成立；所以四边形ADBE 面积的最小值为28p ，故C 正确；D：设221212,,,22y y M y N y p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不妨设120,0y y ><因为22y px =（0p >），若0y >，则y =y '，所以在点M1p y =，因此在M 处的切线方程为21112y p y y x y p ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即112y p y x y =+，同理在N 处的切线方程为222y py x y =+，则112222y py x y y py x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得122y y x p=，因为直线MN 过点F ，所以122212002222y y y y p p p p --=--，即212y y p =-，所以2p x =-，故点P 在定直线2px =-上，故D 正确；故选：BCD.23．（2021·全国高三模拟预测）已知点F 为椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左焦点，过原点O 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点，点M 是椭圆上异于P ，Q 的一点，直线MP ，MQ 分别为1k ，2k ，椭圆的离心率为e ，若3PF QF =，23PFQ π∠=，则（）A．4e =B．4e =C．12916k k =-D．12916k k =【答案】AC 【详解】设椭圆的右焦点F '，连接PF '，QF '，根据椭圆对称性可知四边形PFQF '为平行四边形，则QF PF '=，且由120PFQ ∠=︒，可得60FPF '∠=︒，所以42PF PF PF a ''+==，则12PF a '=，32PF a =．由余弦定理可得()22222931122cos60244222a c PF PF PF PF a a a ''=+-⋅=+-⨯⋅⋅°，所以22716c a =，所以椭圆的离心率e ==．设()00,M x y ，()11,P x y ，则()11,Q x y --，01101y y k x x -=-，01201y y k x x +=+，所以220101011222010101y y y y y y k k x x x x x x -+-=⋅=-+-，又2200221x y a b +=，2211221x y a b +=，相减可得2220122201y y b x x a -=--．因为22716c a =，所以22916b a =，所以12916k k =-．故选：AC．24．（2021·全国高三专题练习（理））已知抛物线2:(0)C y mx m =>的焦点为(4,0)F ，直线l 经过点F 交C 于A ，B 两点，交y 轴于点P ，若2PB BF →→=，则（）A．8m =B．点B 的坐标为8,3⎛ ⎝⎭C．50||3AB =D．弦AB 的中点到y 轴的距离为133【答案】CD 【详解】由于(4,0)F 得到16m =，故A 错误；抛物线方程为216y x =，过B 点作BD 垂直于y 轴，垂足为D 点，则//BD OF ,因为2PB BF →→=，所以23PB BD PFOF==,所以83BD =，即83B x =,代入抛物线方程216y x =，解得B y =B 错误；不妨取点B 的坐标为8,3⎛ ⎝⎭，所以直线AB 的方程为：4)y x =-，联立抛物线方程得到：2326480x x -+=，韦达定理可知：12263x x +=，由抛物线的弦长公式可知：12268350|38|AB x x ++=+==，故C 正确；弦AB 的中点到y 轴的距离为121323x x +=，故D 正确；故选：CD.25．（2021·江苏南通·高三模拟预测）已知双曲线222:1(0)5x y C a a -=>的左､右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，圆222:5O x y a +=+，P 是双曲线C 与圆O 的一个交点，且21tan 3PF F ∠=，则下列结论中正确的有（）A．双曲线CB．点1FC．21PF F ∆的面积为D．双曲线C 上任意一点到两条渐近线的距离之积为2【答案】ABD 【详解】解：∵双曲线222:105()x y C a a -=＞，∴225c a =+，又圆222:5O x y a +=+，∴圆O 的半径为c ，∴12||F F 为圆O 的直径，∴122F PF π∠=，故作图如下：对于A ，∵21tan 3PF F ∠=，∴1212tan 3PF PF F PF ∠==，∴123||PF PF =，令20||()PF m m =>，则1||3PF m =，∴()22221231||0F F m m m =+=，∴12||2F F c ==，又12||22m PF PF a -==，∴双曲线C的离心率2222c e a m ===，故A 正确；对于B，由于()1,0F c -到渐近线y =的距离d ===B 正确；对于C，由离心率2e a ==得2103a =，21025533c =+=，∴122||F F c ===，∴2||m PF ==，1||3PF m ==，∴21PF F的面积为152=，故C 错误；对于D，由2103a =得双曲线C 的方程为：2211053x y -=，故其两条渐近线方程为y =0=，设(),M p q 为双曲线C 上任意一点，则2211053q p -=，即223211010p q -=①，(),M p q到两条渐近线的距离1d =，2d =，∴22123210255p q d d -====，故D 正确；故选：ABD.26．（2021·广东汕头·高三二模）已知抛物线方程为24x y =，直线:220l x y --=，点00(,)P x y 为直线l 上一动点，过点P 作抛物线的两条切线，切点为,A B ，则以下选项正确的是（）A．当00x =时，直线AB 方程为1y =B．直线AB 过定点()0,1C．AB 中点轨迹为抛物线D．PAB ∆的面积的最小值为2【答案】ACD 【详解】解析：214y x =Q ，12y x '∴=，设11(,)A x y ，22(,)B x y 则1111:()2PA y y x x x -=-，即211111111222y x x x y x x y =-+=-，同理221:2PB y x x y =-，PA PB 、都过点00(,)P x y ，010102021212y x x y y x x y⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩∴直线001:2AB y x x y =-，即0012y x x y =-，当000,1x y ==-时，:1AB y =.故A 正确；00112y x =- ，01:(1)12AB y x x ∴=-+，∴直线AB 过定点(1,1)，故B 错误；联立021(1)124y x x x y⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消去y 得2002240x x x x -+-=，1202x x x ∴+=，12024x x x ⋅=-，212002y y x x +=-+，A B ∴、中点坐标为200011(,1)22x x x -+，故其轨迹方程为211122y x x =-+，故C正确；AB ==d2001122S x x ∴=-+∴当01x =时，min 2S =，故D 正确；故选：ACD 三、填空题27．（2021·浙江高三模拟预测）设正四面体ABCD 的棱长是1，E 、F 分别是棱AD 、BC 的中点，P 是平面ABC 内的动点.当直线EF 、DP 所成的角恒为θ时，点P 的轨迹是抛物线，此时AP 的最小值是______.【详解】设点D 在底面ABC 的射影点为O ，连接OA，则132sin3OA π==，OD =以点O 为坐标原点，CB 、AO 、OD uuu r分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则30,3A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、13,026B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、13,26C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、63D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、360,66E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、30,6F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，设点(),,0P x y ，则3636EF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，6,,3DP x y ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，223133cos 2223y DP EFDP EFx y θ+⋅==⋅++整理可得2222121231cos 23399x y y y θ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，由题意可知，方程2222121231cos 2339x y y y θ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭表示的曲线为抛物线，所以211cos 23θ=，故22cos 3θ=，即有2122313999x y ++，可得23326y x =，则()22222423335331344242AP x y x x x x ⎛⎫=++++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当0x =时，等号成立，故AP 323228．（2021·全国高三开学考试（理））设1F ,2F 分别是椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的左､右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，11||3||AF BF =，若23cos 5AF B ∠=，则椭圆E 的离心率为___________.【答案】2【详解】设1||(0)F B k k =>，则1||3AF k =，||4AB k =，2||23AF a k ∴=-，2||2BF a k =-.23cos 5AF B ∠= ，在2ABF 中，由余弦定理得，22222222||||||2||||cos AB AF BF AF BF AF B =+-⋅∠，2226(4)(23)(2)(23)(2)5k a k a k a k a k ∴=-+----，化简可得()(3)0a k a k +-=，而0a k +>，故3a k =，21||||3AF AF k ∴==，2||5BF k =，22222||||||BF AF AB ∴=+，12AF AF ∴⊥，∴12AF F △是等腰直角三角形，2c a ∴=，∴椭圆的离心率c e a ==，故答案为：2.29．（2021·黑龙江大庆中学高三模拟预测（理））已知圆22:1C x y +=，点(,2)M t ，若C上存在两点,A B 满足2MA AB = ，则实数t 的取值范围___________【答案】⎡⎣【详解】由题意，可得如下示意图，令(,)A x y ，由2MA AB = 知：332(,)22x t y B --，又,A B 在C 上，∴22221(3)(32)144x y x t y +=--+=⎧⎪⎨⎪⎩，整理得22221{24339x y t x y +=⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即两圆有公共点，∴两圆的圆心距离为243t d +=，半径分别为1、23，故当1533d ≤≤时符合题意，∴2021t ≤≤，即t ∈[21,21]-.故答案为：[21,21].30．（2021·全国高三专题练习（理））焦点为F 的抛物线21:4C y x =与圆()()2222:10C x y R R -+=>交于A 、B 两点，其中A 点横坐标为A x ，方程()22224,1,A A y x x x x y R x x ⎧=≤⎪⎨-+=>⎪⎩的曲线记为Γ，C 是圆2C 与x 轴的交点，O 是坐标原点.有下面的四个命题，请选出所有正确的命题：_________.①对于给定的角()0,απ∈，存在R ，使得圆弧 ACB 所对的圆心角AFB α∠>；②对于给定的角0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，存在R ，使得圆弧 ACB 所对的圆心角AFB α∠<；③对于任意R ，该曲线有且仅有一个内接正△O P Q ；④当2021R >时，存在面积大于2021的内接正△O P Q .【答案】①②③【详解】联立抛物线与圆的方程，消去y 得22(1)4x x R -+=，即22(1)x R +=，而0R >且0x ≥，∴11R x =+≥，即A 、B 横坐标与半径R 的关系，∵抛物线与圆有两个交点，即11R x =+>，∴当2,1R x ==时，AFB πα∠=>，①正确；∵由题意知：,A B 关于x 轴对称，则对于给定的角0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，存在R 使得圆弧 ACB 所对的圆心角AFB α∠<，即只需存在R 使)3AFB π∠∈(0,即可.∴令||2210sin 212A y AFB x x R R x ∠<==<，则10x x ->23x >+23x <，1、当0743x <<-AFB ∠在如下图阴影部分变化，有)3AFB π∠∈(0,，23x >+x →+∞时0AFB ∠→︒，故AFB ∠在如下图阴影部分变化，有)3AFB π∠∈(0,，∴7x >+07x <<-10sin 22AFB ∠<<即)3AFB π∠∈(0,，所以对于给定的角0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，存在R ，使得圆弧 ACB 所对的圆心角AFB α∠<，故②正确；由OP OQ =，于是PQ x ⊥轴，直线：:OP y x =，同理:OQ y =，∴,OP OQ 与Γ分别都只有一个交点，即对于任意R ，该曲线有且仅有一个内接正△O P Q ，③正确；当1R =时，如下图示，抛物线1C 与圆2C 只有一个交点且交点为原点，不符合题意，但此时1||||sin 23OPQ S OP OQ π==∴当113R <≤时，,OP OQ 与Γ的交点在圆2C 上，OPQ S 会一直增大，如下图示，直到13R =，即,P Q 与A 、B 重合分别为(12,、(12,-，此时1||||sin 23OPQ S OP OQ π==∴OPQ S ∈ (4.当13R >时，,OP OQ 与Γ的交点在抛物线1C 上，R 的变化对OPQ S 没有影响，如下图示，OPQ S =∴④错误.。

解析几何解答题(压轴题)

7.3解析几何解答题(压轴题)高考命题规律1.高考必考考题,压轴题.2.解答题,12分,中高档难度.3.全国高考有5种命题角度,分布如下表.命题角度1曲线与轨迹问题高考真题体验·对方向1.(2017全国Ⅱ·20)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由得x0=x,y0=y.因为M(x0,y0)在C上,所以=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n),=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).由=1得-3m-m2+tn-n2=1.又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以=0,即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.2.(2016全国Ⅲ·20)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明:AR∥FQ;(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.F.设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0,且A,B,P-,Q-,R-.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=----=-b=k2.所以AR∥FQ.l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|-,S△PQF=-.由题设可得|b-a|--,所以x1=0(舍去),x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由k AB=k DE可得-(x≠1).而=y,所以y2=x-1(x≠1).当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以所求轨迹方程为y2=x-1.新题演练提能·刷高分1.(2018山西太原二模)已知以点C(0,1)为圆心的动圆C与y轴负半轴交于点A,其弦AB的中点D恰好落在x轴上.(1)求点B的轨迹E的方程;(2)过直线y=-1上一点P作曲线E的两条切线,切点分别为M,N.求证:直线MN过定点.B(x,y),则AB的中点D,y>0.∵C(0,1),则-,在☉C中,∵DC⊥DB,∴=0,∵-+y=0,即x2=4y(y>0).∴点B的轨迹E的方程为x2=4y(y>0).E的方程为x2=4y,设点P(t,-1),M(x1,y1),N(x2,y2).∵y=,∴y'=,∴过点M、N的切线方程分别为y-y1=(x-x1),y-y2=(x-x2).由4y1=,4y2=,上述切线方程可化为2(y+y1)=x1x,2(y+y2)=x2x.∵点P在这两条切线上, ∴2(y1-1)=tx1,2(y2-1)=tx2,即直线MN的方程为2(y-1)=tx,故直线2(y-1)=tx过定点C(0,1).2.(2018广西梧州3月适应性测试)已知A(-2,0),B(2,0),直线PA的斜率为k1,直线PB的斜率为k2,且k1k2=-.(1)求点P的轨迹C的方程;(2)设F1(-1,0),F2(1,0),连接PF1并延长,与轨迹C交于另一点Q,点R是PF2中点,O是坐标原点,记△QF1O与△PF1R的面积之和为S,求S的最大值.设P(x,y),∵A(-2,0),B(2,0),∴k1=,k2=,-=-,又k1k2=-,∴-∴=1(x≠±2),∴轨迹C的方程为=1(x≠±2).(2)由O,R分别为F1F2,PF2的中点,故OR∥PF1,故△PF1R与△PF1O同底等高,故△△ ,S=△△ =S△PQO,当直线PQ的斜率不存在时,其方程为x=-1,此时S△PQO=×1×--;当直线PQ的斜率存在时,设其方程为y=k(x+1),设P(x1,y1),Q(x2,y2),显然直线PQ不与x轴重合,即k≠0;联立解得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,Δ=144(k2+1)>0,--故|PQ|=|x1-x2|=-, 点O到直线PQ的距离d=,S=|PQ|d=6,令u=3+4k2∈(3,+∞),故S=6---,故S的最大值为.3.(2018甘肃兰州一模)已知圆C:(x+1)2+y2=8,过D(1,0)且与圆C相切的动圆圆心为P.(1)求点P的轨迹E的方程;(2)设过点C的直线l1交曲线E于Q,S两点,过点D的直线l2交曲线E于R,T两点,且l1⊥l2,垂足为W(Q,R,S,T为不同的四个点).①设W(x0,y0),证明:<1;②求四边形QRST的面积的最小值.r,由于D在圆内,圆P与圆C内切,则|PC|=2-r,|PD|=r,|PC|+|PD|=2>|CD|=2, 由椭圆定义可知,点P的轨迹E是椭圆,a=,c=1,b=-=1,E的方程为+y2=1.(2),垂足W在以CD为直径的圆周上,则有=1,又因Q,R,S,T为不同的四个点,<1.l1或l2的斜率不存在,四边形QRST的面积为2.若两条直线的斜率都存在,设l1的斜率为k,则l1的方程为y=k(x+1),解方程组得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,则|QS|=2,同理得|RT|=2,∴S QSRT=|QS|·|RT|=,当且仅当2k2+1=k2+2,即k=±1时等号成立.综上所述,当k=±1时,四边形QRST的面积取得最小值.4.(2018福建福州3月质检)设点A为圆C:x2+y2=4上的动点,点A在x轴上的投影为Q,动点M满足2,动点M的轨迹为E.(1)求E的方程;(2)设E与y轴正半轴的交点为B,过点B的直线l的斜率为k(k≠0),l与E交于另一点P.若以点B为圆心,以线段BP长为半径的圆与E有4个公共点,求k的取值范围.设点M(x,y),A(x1,y1),则Q(x1,0),因为2,所以2(x1-x,-y)=(0,-y1),所以---解得由于点A在圆C:x2+y2=4上,所以x2+4y2=4,所以点M的轨迹E的方程为+y2=1.(2)由(1)知,E的方程为+y2=1,因为直线l:y=kx+1(k≠0).由得(1+4k2)x2+8kx=0.设B(x1,y1),P(x2,y2),因此x1=0,x2=-,|BP|=|x1-x2|=,则点P的轨迹方程为x2+(y-1)2=,由-得3y2+2y-5+=0(-1≤y≤1),(*)依题意得,(*)式关于y的方程在(-1,1)有两个不同的实数解,设f(x)=3x2+2x-5+(-1<x<1),因为函数f(x)的对称轴为x=-,要使函数f(x)的图象在(-1,1)与x轴有两个不同的交点,则---整理得--即--所以解得k∈----,所以k的取值范围为----.命题角度2直线与圆锥曲线的位置关系高考真题体验·对方向1.(2017全国Ⅰ·20)设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4,于是直线AB的斜率k=--=1.(2)由y=,得y'=.设M(x3,y3),由题设知=1,解得x3=2,于是M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.将y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0.当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2.从而|AB|=|x1-x2|=4.由题设知|AB|=2|MN|,即4=2(m+1),解得m=7.所以直线AB的方程为y=x+7.2.(2017北京·19)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.C的方程为=1(a>b>0).由题意得解得c=.所以b2=a2-c2=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).由题设知m≠±2,且n≠0.直线AM的斜率k AM=,故直线DE的斜率k DE=-.所以直线DE的方程为y=-(x-m),直线BN的方程为y=(x-2).---联立--.解得点E的纵坐标y E=---由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2.所以y E=-n.又S△BDE=|BD|·|y E|=|BD|·|n|,S△BDN=|BD|·|n|,所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.3.(2017天津·20)已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),△EFA 的面积为.(1)求椭圆的离心率;(2)设点Q在线段AE上,|FQ|=c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PM∥QN,且直线PM 与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.①求直线FP的斜率;②求椭圆的方程.设椭圆的离心率为e.由已知,可得(c+a)c=.又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.又因为0<e<1,解得e=.所以,椭圆的离心率为.(2)①依题意,设直线FP的方程为x=my-c(m>0),则直线FP的斜率为.由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为=1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x=-,y=,即点Q的坐标为-.由已知|FQ|=c,有-, 整理得3m2-4m=0,所以m=,即直线FP的斜率为.②由a=2c,可得b=c,故椭圆方程可以表示为=1.由①得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立-消去y,整理得7x2+6cx-13c2=0,解得x=-(舍去)或x=c.因此可得点P,进而可得|FP|=,所以|PQ|=|FP|-|FQ|==c.由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.因为QN⊥FP,所以|QN|=|FQ|·tan∠QFN=,所以△FQN的面积为|FQ||QN|=,同理△FPM的面积等于,由四边形PQNM的面积为3c,得=3c,整理得c2=2c,又由c>0,得c=2.所以,椭圆的方程为=1.新题演练提能·刷高分1.(2018河南郑州一模)已知圆C:x2+y2+2x-2y+1=0和抛物线E:y2=2px(p>0),圆心C到抛物线焦点F 的距离为.(1)求抛物线E的方程;(2)不过原点的动直线l交抛物线于A,B两点,且满足OA⊥OB.设点M为圆C上任意一动点,求当动点M到直线l的距离最大时的直线l的方程.C:x2+y2+2x-2y+1=0可化为(x+1)2+(y-1)2=1,则圆心C为(-1,1).∵F,0,∴|CF|=-,解得p=6.∴抛物线的方程为y2=12x.(2)设直线l为x=my+t(t≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).联立可得y2-12my-12t=0.∴y1+y2=12m,y1y2=-12t.∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,即(m2+1)y1y2+mt(y1+y2)+t2=0.整理可得t2-12t=0,∵t≠0,∴t=12.∴直线l的方程为x=my+12,故直线l过定点P(12,0).∴当CN⊥l时,即动点M经过圆心C(-1,1)时到动直线l的距离取得最大值.=-,∴m=,k MP=k CP=---此时直线l的方程为x=y+12,即为13x-y-156=0.2.(2018河北唐山一模)已知椭圆Γ:=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为A,长轴长为2,B为直线l:x=-3上的动点,M(m,0),AM⊥BM.当AB⊥l时,M与F重合.(1)求椭圆Γ的方程;(2)若直线BM交椭圆Γ于P,Q两点,若AP⊥AQ,求m的值.依题意得A(0,b),F(-c,0),当AB⊥l时,B(-3,b),由AF⊥BF,得k AF·k BF==-1,-又b2+c2=6,解得c=2,b=.所以,椭圆Γ的方程为=1.(2)由(1)得A(0,),依题意,显然m≠0,所以=-,又AM⊥BM,所以k BM=,所以直线BM的方程为y=(x-m),设P(x1,y1),Q(x2,y2).-联立有(2+3m2)x2-6m3x+3m4-12=0,x1+x2=,x1x2=-.|PM|·|QM|=|(x1-m)(x2-m)|=|x1x2-m(x1+x2)+m2|=-=-,|AM|2=2+m2,由AP⊥AQ得,|AM|2=|PM|·|QM|,所以-=1,解得m=±1.3.(2018湖北华师附中、黄冈中学等八校第二次联考)在直角坐标系xOy中,椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,点P在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)若斜率存在,纵截距为-2的直线l与椭圆C相交于A,B两点,若直线AP,BP的斜率均存在,求证:直线AP,OP,BP的斜率依次成等差数列.由=1知a=2,b=,c=1,故椭圆C的方程为=1.l:y=kx-2,联立-消元得(3+4k2)x2-16kx+4=0.∵Δ>0,∴k2>.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,∵k AP+k BP=----=------=--=--=--=3.已知k OP=,∴k AP+k BP=2k OP,即直线AP,OP,BP的斜率依次成等差数列.命题角度3圆锥曲线的最值、范围问题高考真题体验·对方向1.(2017浙江·21)如图,已知抛物线x2=y,点A-,B,抛物线上的点P(x,y)-.过点B 作直线AP的垂线,垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围;(2)求|PA|·|PQ|的最大值.设直线AP的斜率为k,k=-=x-,因为-<x<,所以直线AP斜率的取值范围是(-1,1).(2)联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是x Q=-.因为|PA|=(k+1),|PQ|=(x Q-x)=-,所以|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3.令f(k)=-(k-1)(k+1)3,因为f'(k)=-(4k-2)(k+1)2,所以f(k)在区间-上单调递增,上单调递减,因此当k=时,|PA|·|PQ|取得最大值.2.(2017山东·21)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2.(1)求椭圆C的方程;(2)动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,☉N的半径为|NO|.设D为AB的中点,DE,DF与☉N分别相切于点E,F,求∠EDF的最小值.由椭圆的离心率为,得a2=2(a2-b2),又当y=1时,x2=a2-,得a2-=2,所以a2=4,b2=2.因此椭圆方程为=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).联立方程得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-4=0,由Δ>0得m2<4k2+2.(*)且x1+x2=-,因此y1+y2=,所以D-,又N(0,-m),所以|ND|2=-,整理得|ND|2=,因为|NF|=|m|,所以=1+.令t=8k2+3,t≥3,故2k2+1=,所以=1+=1+.令y=t+,所以y'=1-.当t≥3时,y'>0,从而y=t+在[3,+∞)上单调递增,因此t+,等号当且仅当t=3时成立,此时k=0,所以≤1+3=4,由(*)得-<m<且m≠0.故.设∠EDF=2θ,则sin θ=.所以θ的最小值为,从而∠EDF的最小值为,此时直线l的斜率是0.综上所述,当k=0,m∈(-,0)∪(0,)时,∠EDF取到最小值.3.(2016全国Ⅱ·21)已知A是椭圆E:=1的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N 在E上,MA⊥NA.(1)当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;(2)当2|AM|=|AN|时,证明:<k<2.M(x1,y1),则由题意知y1>0.由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为.又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2.将x=y-2代入=1得7y2-12y=0.解得y=0或y=,所以y1=.因此△AMN的面积S△AMN=2×.AM的方程y=k(x+2)(k>0)代入=1得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.由x1·(-2)=-得x1=-,故|AM|=|x1+2|.由题设,直线AN的方程为y=-(x+2),故同理可得|AN|=.由2|AM|=|AN|得,即4k3-6k2+3k-8=0.设f(t)=4t3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点.f'(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)2≥0,所以f(t)在(0,+∞)单调递增.又f()=15-26<0,f(2)=6>0,因此f(t)在(0,+∞)有唯一的零点,且零点k在(,2)内.所以<k<2.新题演练提能·刷高分1.(2018广东深圳第二次调研)直线l经过抛物线C:x2=4y的焦点F,且与抛物线C交于A,B两点,抛物线C在A,B两点处的切线分别与x轴交于点M,N.(1)证明:AM⊥MF;(2)记△AFM和△BFN的面积分别为S1和S2,求S1·S2的最小值.A(x1,y1),B(x2,y2),其中y1=,y2=.由导数知识可知,抛物线C在A点处的切线l1的斜率k1=,则切线l1的方程为y-y1=(x-x1),令y=0,可得M.∵F(0,1),∴直线MF的斜率k MF=-=-.-∴k1·k MF=-1,∴AM⊥MF.(1)可知S1=AM·MF,其中AM=-,MF=, ∴S1=AM·MF=(y1+1).同理可得S2=(y2+1).∴S1·S2=(y1+1)(y2+1)=(y1y2+y1+y2+1).设直线l的方程为y=kx+1,联立方程可得x2-4kx-4=0,∴x1·x2=-4.∴y1·y2==1.∴S1·S2=(y1+y2+2)≥(2+2)=1,当且仅当y1=y2时,等号成立.∴S1·S2的最小值为1.2.(2018山东济南一模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C1:x2=4y,直线l与抛物线C1交于A,B两点.(1)若直线OA,OB的斜率之积为-,证明:直线l过定点;(2)若线段AB的中点M在曲线C2:y=4-x2(-2<x<2)上,求的最大值.A(x1,y1),B(x2,y2),由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+m,由得x2-4kx-4m=0,Δ=16(k2+m)>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,k OA·k OB==-,由已知:k OA·k OB=-,所以m=1,所以直线l的方程为y=kx+1,所以直线l过定点(0,1).M(x0,y0),则x0==2k,y0=kx0+m=2k2+m,将M(x0,y0)代入C2:y=4-x2(-2<x<2),得2k2+m=4-(2k)2,∴m=4-3k2.∵-2<x0<2,∴-2<2k<2,∴-<k<.∵Δ=16(k2+m)=16(k2+4-3k2)=32(2-k2)>0,∴-<k<,故k的取值范围是k∈(-).|AB|=-=,将m=4-3k2代入,得|AB|=4-≤4-=6,当且仅当k2+1=2-k2,即k=±时取等号,所以|AB|的最大值为6.3.(2018湖北武汉调研)已知椭圆Γ:=1,过点P(1,1)作倾斜角互补的两条不同直线l1,l2,设l1与椭圆Γ交于A,B两点,l2与椭圆Γ交于C,D两点.(1)若P(1,1)为线段AB的中点,求直线AB的方程;(2)记λ=,求λ的取值范围.设直线AB的斜率为k=tan α,方程为y-1=k(x-1),代入x2+2y2=4中,∴x2+2[kx-(k-1)]2-4=0.∴(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2(k-1)2-4=0.判别式Δ=[4(k-1)k]2-4(2k2+1)[2(k-1)2-4]=8(3k2+2k+1).设A(x1,y1),B(x2,y2),则---∵AB中点为(1,1),∴(x1+x2)=-=1,则k=-.∴直线AB的方程为y-1=-(x-1),即x+2y-3=0.(2)由(1)知|AB|=|x1-x2|=-.设直线CD的方程为y-1=-k(x-1)(k≠0).同理可得|CD|=-.∴λ=-(k≠0).∴λ2=1+-=1+-.令t=3k+,则g(t)=1+-,t∈(-∞,-2]∪[2,+∞).g(t)在(-∞,-2],[2,+∞)上分别单调递减,∴2-≤g(t)<1或1<g(t)≤2+.故2-≤λ2<1或1<λ2≤2+.即λ∈-.4.(2018辽宁大连一模)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,点M在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)已知P(-2,0)与Q(2,0)为平面内的两个定点,过点(1,0)的直线l与椭圆C交于A,B两点,求四边形APBQ面积的最大值.由可得,a=2c,又因为b2=a2-c2,所以b2=3c2.所以椭圆C的方程为=1.因为M在椭圆C上,所以=1.所以c2=1,所以a2=4,b2=3,故椭圆方程为=1.(2)方法一:设l的方程为x=my+1,联立消去x得(3m2+4)y2+6my-9=0,设点A(x1,y1),B(x2,y2),有Δ>0,y1+y2=-,y1y2=-,|y1-y2|=-=---,所以S=×4×.令t=,t≥1,有S=.设函数y=3t+,t∈[1,+∞),y'=3->0,t∈[1,+∞),故函数y=3t+在[1,+∞)上单调递增,故3t+≥4,故S=≤6,当且仅当t=1即m=0时等号成立,四边形APBQ面积的最大值为6.方法二:设l的方程为x=my+1,联立消去x得(3m2+4)y2+6my-9=0,设点A(x1,y1),B(x2,y2),有Δ>0,y1+y2=-,y1y2=-,有|AB|=,点P(-2,0)到直线l的距离为,点Q(2,0)到直线l的距离为,从而四边形APBQ的面积S=.令t=,t≥1,有S=,函数y=3t+,t∈[1,+∞),y'=3->0,t∈[1,+∞),故函数y=3t+在[1,+∞)上单调递增,有3t+≥4,故S=≤6.当且仅当t=1即m=0时等号成立,四边形APBQ面积的最大值为6.命题角度4圆锥曲线的定值、定点问题高考真题体验·对方向1.(2017全国Ⅲ·20)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:(1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由;(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.不能出现AC⊥BC的情况,理由如下:设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2满足x2+mx-2=0,所以x1x2=-2.又C的坐标为(0,1),故AC的斜率与BC的斜率之积为--=-,所以不能出现AC⊥BC的情况.(2)BC的中点坐标为,可得BC的中垂线方程为y-=x2-.由(1)可得x1+x2=-m,所以AB的中垂线方程为x=-.联立---又+mx2-2=0,可得--所以过A,B,C三点的圆的圆心坐标为--,半径r=.故圆在y轴上截得的弦长为2-=3,即过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.2.(2016北京·19)已知椭圆C:=1过A(2,0),B(0,1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率;(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:四边形ABNM的面积为定值.,得a=2,b=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.又c=-,所以离心率e=.P(x0,y0)(x0<0,y0<0),则+4=4.又A(2,0),B(0,1),所以直线PA的方程为y=-(x-2).令x=0,得y M=--,从而|BM|=1-y M=1+-.直线PB的方程为y=-x+1.令y=0,得x N=--,从而|AN|=2-x N=2+-.所以四边形ABNM的面积S=|AN|·|BM|=--=----=----=2.从而四边形ABNM的面积为定值.3.(2015全国Ⅱ·20)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,点(2,)在C上.(1)求C的方程;(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM 的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.由题意有-=1,解得a2=8,b2=4.所以C的方程为=1.l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(x M,y M).将y=kx+b代入=1,得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.故x M=-,y M=k·x M+b=.于是直线OM的斜率k OM==-,即k OM·k=-.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.新题演练提能·刷高分1.(2018福建厦门第一次质检)设O为坐标原点,椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为.直线l:y=kx+m(m>0)与C交于A,B两点,AF的中点为M,|OM|+|MF|=5.(1)求椭圆C的方程;(2)设点P(0,1),=-4,求证:直线l过定点,并求出定点的坐标.F1,则OM为△AFF1的中位线.∴OM=AF1,MF=AF,∴|OM|+|MF|==a=5,∵e=,∴c=2,∴b=,∴椭圆C的方程为=1.A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y,整理得(1+5k2)x2+10mkx+5m2-25=0.∴Δ>0,x1+x2=-,x1x2=-,∴y1+y2=k(x1+x2)+2m=,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=--=-.∵P(0,1),=-4,∴(x1,y1-1)·(x2,y2-1)=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1=-4,∴--+5=0,整理得3m 2-m-10=0, 解得m=2或m=-(舍去).∴直线l 过定点(0,2).2.(2018河北石家庄一模)已知椭圆C :=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,且离心率为,M为椭圆上任意一点,当∠F 1MF 2=90°时,△F 1MF 2的面积为1. (1)求椭圆C 的方程;(2)已知点A 是椭圆C 上异于椭圆顶点的一点,延长直线AF 1,AF 2分别与椭圆交于点B ,D ,设直线BD 的斜率为k 1,直线OA 的斜率为k 2,求证:k 1·k 2为定值.|MF 1|=r 1,|MF 2|=r 2,由题解得a= ,c=1,则b 2=1,∴椭圆C 的方程为+y 2=1.A (x 0,y 0)(x 0·y 0≠0),B (x 1,y 1),C (x 2,y 2),当直线AF 1的斜率不存在时,设A -,则B - -,直线AF 2的方程为y=-(x-1)代入 +y 2=1,可得5x 2-2x-7=0.∴x 2= ,y 2=- ,则D -.∴直线BD 的斜率为k 1=-- -- - ,直线OA 的斜率为k 2=-, ∴k 1·k 2=-=-. 当直线AF 2的斜率不存在时,同理可得k 1·k 2=-. 当直线AF 1,AF 2的斜率存在时,x 0≠±1.设直线AF 1的方程为y= (x+1),则由消去x 可得:[(x 0+1)2+2 ]x 2+4 x+2-2(x 0+1)2=0.又=1,则2 =2- ,代入上述方程可得(3+2x 0)x 2+2(2- )x-3 -4x 0=0,∴x1·x0=--,∴x1=--,则y1=--=-, ∴B--.设直线AF2的方程为y=-(x-1),同理可得D---.∴直线BD的斜率为k1=-----.∵直线OA的斜率为k2=,∴k1·k2=----=-.∴直线BD与OA的斜率之积为定值-,即k1·k2=-.3.(2018重庆二诊)如图,已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的左、右焦点,B为椭圆C的上顶点,点P在椭圆C上,直线PF1与y轴的交点为M,O为坐标原点,且|PM|=|F2M|,|OM|=.(1)求椭圆C的方程;(2)过点B作两条互相垂直的直线分别与椭圆C交于S,T两点(异于点B),证明:直线ST过定点,并求该定点的坐标.|PM|=|MF2|=|MF1|,∴MO为△F1PF2的中位线,∴MO∥PF2,∴PF2⊥F1F2,∴|PF2|=2|OM|=.又a2=b2+c2,c=1,∴a2=4,b2=3,∴椭圆方程为=1.S(x1,y1),T(x2,y2),直线BS:y=kx+,由消去y整理得(4k2+3)x2+8kx=0, 解得x=-或x=0(舍去).∴x1=-,以-代替上式中的k,可得x2=--.由题意可得,若直线BS关于y轴对称后得到直线B'S',则得到的直线S'T'与ST关于x轴对称, 所以若直线ST经过定点,该定点一定是直线S'T'与ST的交点,故该点必在y轴上.设该点坐标为(0,t),则有----,∴t=--=---,将x1,x2的值代入上式,化简得t=-,∴直线ST经过定点-.4.(2018北京丰台期末)在平面直角坐标系xOy中,动点P到点F(1,0)的距离和它到直线x=-1的距离相等,记点P的轨迹为C.(1)求C的方程;(2)设点A在曲线C上,x轴上一点B(在点F右侧)满足|AF|=|FB|.平行于AB的直线与曲线C相切于点D,试判断直线AD是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.因为动点P到点F(1,0)的距离和它到直线x=-1的距离相等,所以动点P的轨迹是以点F(1,0)为焦点,直线x=-1为准线的抛物线.设C的方程为y2=2px,则=1,即p=2.所以C的轨迹方程为y2=4x.(2)设A,m,则B+2,0,所以直线AB的斜率为k=-=-.设与AB平行,且与抛物线C相切的直线为y=-x+b,由-得my2+8y-8b=0,由Δ=64+32mb=0得b=-,所以y D=-,所以点D,-.x-,当,即m≠±2时,直线AD的方程为y-m=-(x-1),所以直线AD过定点(1,0).整理得y=-当,即m=±2时,直线AD的方程为x=1,过定点(1,0).综上所述,直线AD过定点(1,0).命题角度5圆锥曲线的探究、存在性问题高考真题体验·对方向1.(2016全国Ⅰ·20)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.(1)求;(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.由已知得M(0,t),P.又N为M关于点P的对称点,故N,ON的方程为y=x,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=.因此H.所以N为OH的中点,即=2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点.理由如下:直线MH的方程为y-t=x,即x=(y-t).代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.2.(2015全国Ⅱ·20)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;(2)若l过点,延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率;若不能,说明理由.l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(x M,y M).将y=kx+b代入9x2+y2=m2得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,故x M=-,y M=kx M+b=.于是直线OM的斜率k OM==-,即k OM·k=-9.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.OAPB能为平行四边形.因为直线l过点,所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0,k≠3.由(1)得OM的方程为y=-x.设点P的横坐标为x P.由-得,即x P=.将点的坐标代入l的方程得b=-,因此x M=-.四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分,即x P=2x M.于是=2×-,解得k1=4-,k2=4+.因为k i>0,k i≠3,i=1,2,所以当l的斜率为4-或4+时,四边形OAPB为平行四边形.新题演练提能·刷高分1.(2018山西太原一模)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左顶点为A,右焦点为F2(2,0),点B(2,-)在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线y=kx(k≠0)与椭圆C交于E,F两点,直线AE,AF分别与y轴交于点M,N,在x轴上,是否存在点P,使得无论非零实数k怎样变化,总有∠MPN为直角?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.依题意,c=2.∵点B(2,-)在C上,∴=1.∵a2=b2+c2,∴a2=8,b2=4,∴椭圆方程为=1.(2)假设存在这样的点P,设P(x0,0),E(x1,y1),则F(-x1,-y1),联立消去y化简得(1+2k2)x2-8=0,解得x1=,y1=.∵A(-2,0),∴AE所在直线方程为y=·(x+2),∴M0,,同理可得N0,-,=-x0,,=-x0,-,由=0,得-4=0.∴x0=2或x0=-2.∴存在点P,使得无论非零实数k怎么变化,总有∠MPN为直角,点P坐标为(2,0)或(-2,0).2.(2018山东菏泽一模)已知抛物线E的顶点为平面直角坐标系xOy的坐标原点O,焦点为圆F:x2+y2-4x+3=0的圆心F.经过点F的直线l交抛物线E于A,D两点,交圆F于B,C两点,A,B在第一象限,C,D 在第四象限.(1)求抛物线E的方程;(2)是否存在直线l使2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项?若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.∵圆F的方程为(x-2)2+y2=1,∴圆心F的坐标为(2,0),半径r=1.根据题意设抛物线E的方程为y2=2px(p>0),∴=2,解得p=4.∴抛物线E的方程为y2=8x.(2)∵2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项,|BC|=2r,∴|AB|+|CD|=4|BC|=4×2r=8.∴|AD|=|AB|+|BC|+|CD|=10r=10.讨论:若l垂直于x轴,则l的方程为x=2,代入y2=8x,解得y=±4.此时|AD|=8,不满足题意;若l不垂直于x轴,则设l的斜率为k(k≠0),此时l的方程为y=k(x-2),由-得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=.∵拋物线E的准线方程为x=-2,∴|AD|=|AF|+|DF|=(x1+2)+(x2+2)=x1+x2+4.∴+4=10,解得k=±2.当k=±2时,k2x2-(4k2+8)x+4k2=0化为x2-6x+4=0.∵(-6)2-4×1×4>0,∴x2-6x+4=0有两个不相等的实数根.∴k=±2满足题意.∴存在满足要求的直线l:2x-y-4=0或2x+y-4=0.3.(2018新疆第二次适应性检测)已知动点P是圆G:(x+)2+y2=32上的任意一点,点P与点A(,0)的连线段的垂直平分线和GP相交于点Q.(1)求点Q的轨迹C的方程;(2)过坐标原点O的直线l交轨迹C于点E,F两点,直线EF与坐标轴不重合.M是轨迹C上的一点,若△EFM的面积是4,试问直线EF,OM的斜率之积是否为定值,若是,求出此定值,否则,说明理由.由题意,|QP|=|QA|,∵|GQ|+|QP|=|GP|=4,∴|GQ|+|QA|=4>|GA|,∴点Q的轨迹是以G,A为焦点的椭圆,其中a=2,c=,∴椭圆C的方程为=1.(2)设直线l的方程为y=k1x,联立得(4+1)x2=8,∴|EF|=,设OM所在的直线方程为y=k2x,联立椭圆方程得M或M,点M到直线EF的距离d=.S△KFM=×|EF|×d==4.∴4-8k1k2+4=16+4+4+1,即16+8k1k2+1=0,解得k1k2=-,∴直线EF,OM的斜率之积是定值-.4.(2018山西晋城一模)已知直线l1是抛物线C:x2=2py(p>0)的准线,直线l2:3x-4y-6=0,且l2与抛物线C 没有公共点,动点P在抛物线C上,点P到直线l1和l2的距离之和的最小值等于2.(1)求抛物线C的方程;(2)点M在直线l1上运动,过点M作抛物线C的两条切线,切点分别为P1,P2,在平面内是否存在定点N,使得MN⊥P1P2恒成立?若存在,请求出定点N的坐标,若不存在,请说明理由.解(1)作PA,PB分别垂直l1和l2,垂足为A,B,抛物线C的焦点为F0,,由抛物线定义知|PA|=|PF|,所以d1+d2=|PA|+|PB|=|PF|+|PB|,易知d1+d2的最小值即为点F到直线l2的距离,故d=--=2,∴p=2,所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)由(1)知直线l1的方程为y=-1,当点M在特殊位置(0,-1)时,易知两个切点P1,P2关于y轴对称,故要使得MN⊥P1P2,点N必须在y轴上.故设M(m,-1),N(0,n),P1x1,,P2x2,, 抛物线C的方程为y=x2,求导得y'=x,所以切线MP1的斜率k1=x1,直线MP1的方程为y-x1(x-x1),又点M在直线MP1上,所以-1-x1(m-x1),整理得-2mx1-4=0,同理可得-2mx2-4=0,故x1和x2是一元二次方程x2-2mx-4=0的两根,由韦达定理得-=x2-x1,·(-m,n+1)=(x2-x1)[-4m+(n+1)(x2+x1)]=(x2-x1)[-4m+2m(n+1)]=m(x2-x1)(n-1),可见n=1时,=0恒成立,所以存在定点N(0,1),使得MN⊥P1P2恒成立.。

高三数学解析几何压轴题训练——直线与圆

高三数学解析几何压轴题训练——直线与圆一、选择题1．与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝2B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝2D ．(x －2)2＋(y －2)2＝2解析：选D 由题意知，曲线方程为(x －6)2＋(y －6)2＝18，过圆心(6,6)作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂线所在直线方程为y ＝x ，则所求的最小圆的圆心必在直线y ＝x 上．又(6,6)到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝|6＋6－2|2＝52，故最小圆的半径为2，圆心坐标为(2,2)，所以半径最小的圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.2．已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210解析：选C 圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为C (2,1)，半径r ＝2，因此2＋a －1＝0，a ＝－1，即A (－4，－1)，|AB |＝|AC |2－r 2＝(2＋4)2＋(1＋1)2－4＝6.3．若曲线y ＝1＋4－x 2与直线kx －y －2k ＋4＝0有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，512 B.⎝⎛⎦⎤13，34 C.⎝⎛⎦⎤512，34D.⎝⎛⎭⎫512，＋∞ 解析：选C 注意到y ≥1，曲线y ＝1＋4－x 2是圆x 2＋(y －1)2＝4在直线y ＝1的上方部分的半圆．又直线kx －y －2k ＋4＝0⇒y －4＝k (x －2)知恒过定点A (2,4)．如图，由B (－2,1)，知k AB ＝4－12－(－2)＝34，当直线与圆相切时，|－1－2k ＋4|k 2＋(－1)2＝2，解得k ＝512，故实数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤512，34.4．已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是( )A ．2 6B ．4 C. 6D ．2解析：选B 根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示．设点P 到圆心的距离为d ，求|AB |的最小值等价于求d 的最大值，易知d max ＝12＋32＝10，所以|AB |min ＝214－10＝4.5．已知P 是过三点O (0,0)，A (1,1)，B (4,2)的圆M 上一点，圆M 与x 轴、y 轴的交点(非原点)分别为S ，T ，则|PS |·|PT |的最大值为( )A ．25B ．50C ．75D ．100解析：选B 设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)．则⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，D ＋E ＋F ＋2＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，解得D ＝－8，E ＝6，F ＝0.所以圆M 的方程为x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0，即(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.令y＝0，得x2－8x＝0，解得x＝0或x＝8.令x＝0，得y2＋6y＝0，解得y＝0或y＝－6.所以S(8,0)，T(0，－6)．而圆心(4，－3)在直线ST上，所以PS⊥PT.即|PS|2＋|PT|2＝(2r)2＝100.所以|PS|·|PT|≤12(|PS|2＋|PT|2)＝50.所以(|PS|·|PT|)max＝50.6．设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)与圆C交于A，B两点，若|AB|＝23，则直线l的方程为()A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B．3x＋4y－12＝0或x＝0C．4x－3y＋9＝0或x＝0D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0解析：选B当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，计算出弦长为23，符合题意；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋3，由弦长为23可知，圆心到该直线的距离为1，从而有|k＋2|k2＋1＝1，解得k＝－34，所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0.综上，直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0.7．若过点P(2,1)的直线l与圆C：x2＋y2＋2x－4y－7＝0相交于两点A，B，且∠ACB ＝60°(其中C为圆心)，则直线l的方程是()A．4x－3y－5＝0 B．x＝2或4x－3y－5＝0C．4x－3y＋5＝0 D．x＝2或4x－3y＋5＝0解析：选B由题意可得，圆C的圆心为C(－1,2)，半径为23，因为∠ACB＝60°，所以△ABC为正三角形，边长为23，所以圆心C到直线l的距离为3.若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝2，与圆相交且圆心C到直线l的距离为3，满足条件；若直线l的斜率存在，不妨设l：y－1＝k(x－2)，则圆心C到直线l的距离d＝|3k＋1|k2＋1＝3，解得k＝43，所以此时直线l 的方程为4x －3y －5＝0. 8．已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA ―→＋OB ―→|≥33|AB ―→|，那么k 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[2，22)D ．[3，22)解析：选C 当|OA ―→＋OB ―→|＝33|AB ―→|时，O ，A ，B 三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，从而圆心O 到直线x ＋y －k ＝0(k >0)的距离为1，此时k ＝2.当k >2时，|OA ―→＋OB ―→|>33|AB ―→|.又直线与圆x 2＋y 2＝4有两个不同的交点，故k <22，综上，k 的取值范围为[2，22)．9．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4,6)B ．[4,6]C ．(4,5)D ．(4,5]解析：选A 设直线4x －3y ＋m ＝0与直线4x －3y －2＝0间距等于1，则有|m ＋2|5＝1，m ＝3或m ＝－7.圆心(3，－5)到直线4x －3y ＋3＝0的距离等于6，圆心(3，－5)到直线4x －3y －7＝0的距离等于4，因此所求的圆的半径的取值范围是(4,6)．10．已知圆C 关于x 轴对称，经过点(0,1)，且被y 轴分成两段弧，弧长之比为2∶1，则圆的方程为( )A ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43B ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝13C.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43D.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝13解析：选C 法一：(排除法)由圆心在x 轴上，可排除A 、B ，又圆过(0,1)点，故圆的半径大于1，排除D ，选C.法二：(待定系数法)设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2，圆C 与y 轴交于A (0,1)，B (0，－1)，由弧长之比为2∶1，易知∠OCA ＝12∠ACB ＝12×120°＝60°，则tan 60°＝|OA ||OC |＝1|OC |，所以a ＝|OC |＝33，即圆心坐标为⎝⎛⎭⎫±33，0，r 2＝|AC |2＝12＋⎝⎛⎭⎫332＝43.所以圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43.11．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则实数a 的取值范围为________．解析：如图，圆O 的半径为1，圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则∠APO ＝30°，在Rt △PAO 中，|PO |＝2，又圆M 的半径等于1，圆心坐标M (a ，a －4)， ∴|PO |min ＝|MO |－1，|PO |max ＝|MO |＋1， ∵|MO |＝a 2＋(a －4)2，∴由a 2＋(a －4)2－1≤2≤a 2＋(a －4)2＋1，解得2－22≤a ≤2＋22. 答案：⎣⎡⎦⎤2－22，2＋22 12．已知圆O ：x 2＋y 2＝9，过点C (2,1)的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，则当△OPQ 的面积最大时，直线l 的方程为( )A ．x －y －3＝0或7x －y －15＝0B ．x ＋y ＋3＝0或7x ＋y －15＝0C ．x ＋y －3＝0或7x －y ＋15＝0D ．x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0解析：选D 当直线l 的斜率不存在时，则l 的方程为x ＝2，则P ，Q 的坐标为(2，5)，(2，－5)，所以S △OPQ ＝12×2×25＝2 5.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k (x －2)⎝⎛⎭⎫k ≠12，则圆心到直线PQ 的距离d ＝|1－2k |1＋k 2，又|PQ |＝29－d 2，所以S △OPQ ＝12×|PQ |×d ＝12×29－d 2×d ＝(9－d 2)d 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫9－d 2＋d 222＝92，当且仅当9－d 2＝d 2，即d 2＝92时，S △OPQ 取得最大值92.因为25<92，所以S △OPQ 的最大值为92，此时4k 2－4k ＋1k 2＋1＝92，解得k ＝－1或k ＝－7，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0.二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，若圆(x －2)2＋(y －2)2＝1上存在点M ，使得点M 关于x 轴的对称点N 在直线kx ＋y ＋3＝0上，则实数k 的最小值为________．解析：法一：由题意，设M (2＋cos θ，2＋sin θ)，则N (2＋cos θ，－2－sin θ)，将N 的坐标代入kx ＋y ＋3＝0，可得sin θ－k cos θ＝2k ＋1.因为sin θ－k cos θ＝k 2＋1sin(θ－φ)，其中tan φ＝k ，所以|2k ＋1|≤k 2＋1，即3k 2＋4k ≤0，解得－43≤k ≤0，故k 的最小值为－43. 法二：圆(x －2)2＋(y －2)2＝1关于x 轴对称的圆的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1. 问题转化为直线kx ＋y ＋3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋2)2＝1有公共点N . 所以|2k －2＋3|k 2＋1≤1，即|2k ＋1|≤k 2＋1，解得－43≤k ≤0，故k 的最小值为－43.答案：－4314．已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________.解析：如图所示，∵直线AB 的方程为x －3y ＋6＝0， ∴k AB ＝33，∴∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°. 在Rt △BOD 中， ∵|OB |＝23，∴|OD |＝2.取AB 的中点H ，连接OH ，则OH ⊥AB ， ∴OH 为直角梯形ABDC 的中位线， ∴|OC |＝|OD |，∴|CD |＝2|OD |＝2×2＝4. 答案：415．已知A (－2,0)，B (0,2)，实数k 是常数，M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上不同的两点，P 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上的动点，如果M ，N 关于直线x －y －1＝0对称，则△PAB 面积的最大值是________．解析：由题意知圆心⎝⎛⎭⎫－k 2，0在直线x －y －1＝0上，所以－k2－1＝0，解得k ＝－2，得圆心的坐标为(1,0)，半径为1.又知直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，所以圆心(1,0)到直线AB 的距离为322，所以△PAB 面积的最大值为12×22×⎝⎛⎭⎫1＋322＝3＋ 2.答案：3＋ 216．两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两条平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两条平行直线和圆有一个，两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”，已知直线l 1：2x －y ＋a ＝0，l 2：2x －y ＋a 2＋1＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4＝0相切，则a 的取值范围是________．解析：圆的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝5，圆心(－1,0)，r ＝5，两直线分别与圆相切时对应的a 的边界值为：|－2＋a 2＋1|5＝5时，a ＝±6； |a －2|5＝5时，a ＝－3或a ＝7，所以a 的边界值分别为－3,7，±6.由题意可知，两平行直线中必有一条与圆相切，另一条与圆相离，相切，相交三种情况都满足题意，故a ∈[]－3，－6∪[]6，7.答案：[]－3，－6∪[]6，7。

高考数学压轴大题解析几何

高考数学压轴大题-解析几何1. 设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.I 求双曲线C 的离心率e 的取值范围：II 设直线l 与y 轴的交点为P ,且.125PB PA =求a 的值.解：I 由C 与t 相交于两个不同的点,故知方程组有两个不同的实数解.消去y 并整理得1－a 2x 2+2a 2x －2a 2=0. ① 双曲线的离心率II 设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A由于x 1+x 2都是方程①的根,且1－a 2≠0,2. 已知)0,1(,)0,1(21F F -为椭圆C 的两焦点,P 为C 上任意一点,且向量21PF PF 与向量的夹角余弦的最小值为31.Ⅰ求椭圆C 的方程；Ⅱ过1F 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,求OMN ∆O 为原点的面积的最大值及相应的直线l 的方程.解：Ⅰ设椭圆的长轴为2a ,a 2=+22==c =2121221242)(PF PF PF PF PF PF ⋅-⋅-+=1244212-⋅-PF PF a又212PF PF ⋅≥∴221a PF PF ≤⋅即31211244cos 222=-=--≥aa a θ ∴32=a ∴椭圆方程为12322=+y x Ⅱ 由题意可知NM 不可能过原点,则可设直线NM 的方程为:my x =+1 设),(11y x M ),(22y x N()1111212OMN F OM F ON S S S OF y y ∆∆∆=+=+=2121y y -即 044)32(22=--+my y m . 由韦达定理得:∴212212214)(y y y y y y -+=-= 3216)32(162222+++m m m =222)32()1(48++m m 令12+=m t , 则1≥t ∴221y y -=41448)12(482++=+tt t t .又令tt t f 14)(+=, 易知)(t f 在1,+∞上是增函数,所以当1=t ,即0=m 时)(t f 有最小值5.∴221y y -有最大值316∴OMN S ∆ 的面积有最大值332.直线l 的方程为1-=x .3. 椭圆E 的中心在原点O,焦点在x 轴上,离心率e过点C 1,0的直线l 交椭圆于A 、B 两点,且满足：CA =BC λ 2λ≥．Ⅰ若λ为常数,试用直线l 的斜率kk ≠0表示三角形OAB 的面积． Ⅱ若λ为常数,当三角形OAB 的面积取得最大值时,求椭圆E 的方程．Ⅲ若λ变化,且λ= k 2＋1,试问：实数λ和直线l 的斜率()k k ∈R 分别为何值时,椭圆E 的短半轴长取得最大值并求出此时的椭圆方程．解：设椭圆方程为22221+=x y a ba ＞b ＞0,由e =caa 2=b 2c 2得a 2=3 b 2,故椭圆方程为x 2＋3y 2= 3b 2． ① Ⅰ∵直线l ：y = kx ＋1交椭圆于Ax 1,y 1,Bx 2,y 2两点,并且CA =BC λ λ≥2, ∴x 11,y 1 =λ1x 2,y 2, 即12121(1)x x y y λλ+=-+⎧⎨=-⎩ ②把y = kx 1代入椭圆方程,得3k 21x 26k 2x 3k 23b 2= 0, 且 k 2 3b 21b 2＞0 ,∴x 1x 2= 22631k k +, ③x 1x 2=2223331k b k -+, ④∴O A B S ∆=12|y 1y 2| =12|λ1|·| y 2| =|1|2λ+·| k |·| x 21|．联立②、③得x 21=22(1)(31)k λ-+,∴O A B S ∆=11λλ+-·2||31k k + k ≠0．ⅡO AB S ∆=11λλ+-·2||31k k + =11λλ+-·113||||k k + ≤11λλ+-λ≥2．当且仅当3| k | =1||k ,即k=,O AB S ∆取得最大值,此时x 1x 2= 1．又∵x 11= λ x 21,∴x 1=11λ-,x 2= 1λλ-,代入④得3b 2=221(1)λλ+-．此时3b 2≥5,,k b 的值符合故此时椭圆的方程为x 2＋3y 2=221(1)λλ+-λ≥2．Ⅲ由②、③联立得：x 1=22(1)(31)k λλ--+1, x 2=22(1)(31)k λ-+1,将x 1,x 2代入④,得23b =224(1)(31)k λλ-+1．由k 2=λ1得23b =24(1)(32)λλλ-- 1=432212(1)(1)(32)λλλ⎡⎤+⎢⎥---⎣⎦＋1．易知,当2λ≥时,3b 2是λ的减函数,故当2λ=时,23b 取得最大值3．所以,当2λ=,k =±1符合时,椭圆短半轴长取得最大值, 此时椭圆方程为x 2 3y 2 = 3．4. 已知椭圆的中心为坐标原点O ,焦点在x 轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点,OB OA +与)1,3(-=a 共线. I 求椭圆的离心率；II 设M 为椭圆上任意一点,且(,)OM OA OB λμλμ=+∈R ,证明22μλ+为定值.解：I 设椭圆方程为),0,(),0(12222c F b a by a x >>=+则直线AB 的方程为1,2222=+-=by a x c x y 代入.化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a . 令),,(),,(2211y x B y x A则 .,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+),,(2121y y x x OB OA ++=+由a OB OA a 与+-=),1,3(共线,得II 证明：由I 知223b a =,所以椭圆12222=+by a x 可化为22233b y x =+.),(y x M 在椭圆上,即 .3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ ①由I 知.21,23,23222221c b c a c x x ===+又222222212133,33b y x b y x =+=+又,代入①得 .122=+μλ 故22μλ+为定值,定值为1.5. 已知椭圆2212x y +=的左焦点为F,O 为坐标原点.I 求过点O 、F,并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程；II 设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G,求点G 横坐标的取值范围.解：I 222,1,1,(1,0),: 2.a b c F l x ==∴=-=-圆过点O 、F,∴圆心M 在直线12x =-上;设1(,),2M t -则圆半径由,OM r =3,2=解得t =∴所求圆的方程为2219()(.24x y ++=II 设直线AB 的方程为(1)(0),y k x k =+≠代入221,2x y +=整理得2222(12)4220.k x k x k +++-=直线AB 过椭圆的左焦点F,∴方程有两个不等实根; 记1122(,),(,),A x y B x y AB 中点00(,),N x y 则21224,21k x x k +=-+AB ∴的垂直平分线NG 的方程为001().y y x x k-=--令0,y =得∴点G 横坐标的取值范围为1(,0).2-6. 已知点11(,)A x y ,22(,)B x y 12(0)x x ≠是抛物线22(0)y px p =>上的两个动点,O 是坐标原点,向量OA ,OB 满足OA OB OA OB +=-.设圆C 的方程为 I 证明线段AB 是圆C 的直径;II 当圆C 的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为5时,求p 的值; I 证明1:22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-整理得: 0OA OB ⋅=设Mx,y 是以线段AB 为直径的圆上的任意一点,则0MA MB ⋅= 即1212()()()()0x x x x y y y y --+--= 整理得:221212()()0x y x x x y y y +-+-+= 故线段AB 是圆C 的直径证明2:22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-整理得: 0OA OB ⋅=12120x x y y ∴⋅+⋅= (1)设x,y 是以线段AB 为直径的圆上则即2112211(,)y y y y x x x x x x x x --⋅=-≠≠-- 去分母得: 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=点11122122(,),(,),(,)(,)x y x y x y x y 满足上方程,展开并将1代入得: 故线段AB 是圆C 的直径证明3:22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-整理得: 0OA OB ⋅= 12120x x y y ∴⋅+⋅= (1)以线段AB 为直径的圆的方程为展开并将1代入得: 221212()()0x y x x x y y y +-+-+= 故线段AB 是圆C 的直径 II 解法1:设圆C 的圆心为Cx,y,则又因12120x x y y ⋅+⋅= 1212x x y y ∴⋅=-⋅ 22121224y y y y p ∴-⋅=所以圆心的轨迹方程为222y px p =- 设圆心C 到直线x-2y=0的距离为d,则当y=p 时,d=2p ∴=. 解法2: 设圆C 的圆心为Cx,y,则又因12120x x y y ⋅+⋅= 1212x x y y ∴⋅=-⋅ 22121224y y y y p ∴-⋅=所以圆心的轨迹方程为222y px p =-设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0则2m =± 因为x-2y+2=0与222y px p =-无公共点,所以当x-2y-2=0与222y px p =-仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0将2代入3得222220y py p p -+-= 2244(22)0p p p ∴∆=--= 解法3: 设圆C 的圆心为Cx,y,则圆心C 到直线x-2y=0的距离为d,则又因12120x x y y ⋅+⋅= 1212x x y y ∴⋅=-⋅ 22121224y y y y p ∴-⋅= 当122y y p +=时,d=2p ∴=.11、如图设椭圆中心在坐标原点,(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点,直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ,与椭圆相交于E 、F 两点．1若6ED DF =,求k 的值； 2求四边形AEBF 面积的最大值． 11．Ⅰ解：依题设得椭圆的方程为2214xy +=, 直线AB EF ，的方程分别为22x y +=,(y kx k => 如图,设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，,其中1x < 且12x x ，满足方程22(14)4k x +=,故21x x =-=．①由6ED DF =知01206()x x x x -=-,得021215(6)77x x x x =+==；由D 在AB 上知0022x kx +=,得0212x k=+．所以212k =+, 化简得2242560k k -+=, 解得23k =或38k =． 6分 Ⅱ解法一：根据点到直线的距离公式和①式知,点E F ，到AB 的距离分别为1h ==,2h ==9分又AB ==,所以四边形AEBF 的面积为121()2S AB h h =+ 14(12525(14k k +=+== ≤ 当21k =,即当12k =时,上式取等号．所以S 的最大值为． 12分解法二：由题设,1BO =,2AO =．设11y kx =,22y kx =,由①得20x >,210y y =->, 故四边形AEBF 的面积为 BEF AEF S S S =+△△222x y =+9分===当222x y =时,上式取等号．所以S的最大值为 12分12、已知椭圆(222:13x y E a a +=>的离心率12e =. 直线x t =0t >与曲线E 交于不同的两点,M N ,以线段MN 为直径作圆C ,圆心为C ．1 求椭圆E 的方程；2 若圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ,求ABC ∆的面积的最大值.12、1解：∵椭圆()222:133x y E a a+=>的离心率12e =, 12=. …… 2分解得2a =. ∴ 椭圆E 的方程为22143x y +=． …… 4分 2解法1：依题意,圆心为(,0)(02)C t t <<．由22,1,43x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得221234t y -=. ∴ 圆C的半径为2r =． …… 6分 ∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ,且圆心C 到y 轴的距离d t =,∴0t <<,即0t <<．∴弦长||AB ===． …… 8分∴ABC ∆的面积12S =⋅ …… 9分7=. …… 12分=,即7t =时,等号成立. ∴ ABC ∆． …… 14分解法2：依题意,圆心为(,0)(02)C t t <<．由22,1,43x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得221234t y -=.∴ 圆C的半径为2r =． …… 6分 ∴ 圆C 的方程为222123()4t x t y --+=．∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ,且圆心C 到y 轴的距离d t =,∴0t <<,即07t <<．在圆C 的方程222123()4t x t y --+=中,令0x =,得2y =±,∴弦长||AB =． …… 8分 ∴ABC ∆的面积12S =⋅ …… 9分7=. ……12分=,即7t=时,等号成立. ∴ABC∆．15、已知椭圆∑：12222=+byax>>ba的上顶点为)1,0(P,过∑的焦点且垂直长轴的弦长为1．若有一菱形ABCD的顶点A、C在椭圆∑上,该菱形对角线BD所在直线的斜率为1-．⑴求椭圆∑的方程；⑵当直线BD过点)0,1(时,求直线AC的方程；⑶本问只作参考．．．．．．,．不计入总分．．．．．当3π=∠ABC时,求菱形ABCD面积的最大值．15、解：⑴依题意,1=b……1分,解12222=+byac……2分,得aby2||=……3分,所以122=ab,2=a……4分,椭圆∑的方程为1422=+yx……5分;⑵直线BD：1)1(1+-=-⨯-=xxy……7分,设AC：bxy+=……8分,由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422yxbxy得0)1(24522=-++bbxx……9分,当05)1(454)2(222>-=-⨯⨯-=∆bbb时……10分,),(11yxA、),(22yxC的中点坐标为54221bxx-=+,5222121bbxxyy=++=+……12分,ABCD是菱形,所以AC的中点在BD上,所以1545+=bb……13分,解得35-=b,满足052>-=∆b,所以AC的方程为35-=xy……14分;⑶本小问不计入总分,仅供部分有余力的学生发挥和教学拓广之用因为四边形ABCD为菱形,且3π=∠ABC,所以BCACAB==,所以菱形ABCD的面积223ACS⨯=,由⑵可得2122122122122)(2)(2)()(xxxxyyxxAC+=-=-+-=222212532532)1(548)58(28bbbxx⨯-=-⨯⨯--⨯=-,因为5||<b,所以当且仅当0=b时,菱形ABCD的面积取得最大值,最大值为531653223=⨯;。

压轴题经典题-解析几何部分

压轴题经典题——解析几何部分22．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分。

如图，已知直线L ：)0(1:12222>>=++=b a by a x C my x 过椭圆的右焦点F ，且交椭圆C 于A 、B 两点，点A 、F 、B 直线2:a x G =上的射影依次为点D 、K 、E 。

（1）若抛物线y x 342=的焦点为椭圆C 的上顶点，求椭圆C 的方程；（2）对于（1）中的椭圆C ，若直线L 交y 轴于点M ，且,,21λλ==当m 变化时，求21λλ+的值；（3）连接AE 、BD ，试探索当m 变化时，直线AE 、BD 是否相交于一定点N ？若交于定点N ，请求出N 点的坐标，并给予证明；否则说明理由。

22．解：（1）易知)0,1(,332F b b 又=∴=…………2分41222=+=∴=∴c b a c13422=+∴y x C 的方程为椭圆 …………4分（2）)1,0(mM y l -轴交于与 0)1(144096)43(012431),(),,(222222211>+=∆=-++∴⎩⎨⎧=-++=m my y m y x my x y x B y x A 由设 321121m y y =+∴（*） …………6分1111111111),1()1,(my y x my x --=∴--=+∴=λλλ又由同理2211my --=λ…………8分38322)11(122121-=--=+--=+∴y y m λλ 3821-=+∴λλ…………10分（3）)0,(),0,1(2a k F =先探索，当m=0时，直线L ⊥ox 轴，则ABED 为矩形，由对称性知，AE 与BD 相交于FK 中点N且)0,21(2+a N …………11分猜想：当m 变化时，AE 与BD 相交于定点)0,21(2+a N …………12分证明：设),(),,(),,(),,(12222211y a D y a E y x B y x A 当m 变化时首先AE 过定点N)0)()1()1()2(21)(21(0)21(21)(2121,21)1(0)1(40)1(2)(012222222222222222212121222121222121222222222222222222=+-⋅-=+-⋅-+-⋅-=-+-=----+-=---=---=>>-+=∆=-+++⎩⎨⎧=-++=b m a mb mb a b m a a b m b m a mb a y my y y a my a a y my y y a K K a y K my a y K a b m a b a a b y mb y m b a b a y a x b my x EN AN ENAN 这是而又即∴K AN =K EN ∴A 、N 、E 三点共线同理可得B 、N 、D 三点共线∴AE 与BD 相交于定点)0,21(2+a N …………18分22．（本小题14分）已知椭圆9x 2+2y 2=18上任意一点P ，由P 向x 轴作垂线段PQ ，垂足为Q ，点M 在线段PQ 上，且2=，点M 的轨迹为曲线E.（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G ，H （点G 在点F ，H 之间），且满足λλ求FH =的取值范围.22．解：（I ）设点P （x 0，y 0），是椭圆上一点，则Q （x 0，0），M （x ，y ）由已知得：x 0=x ，y 0=3y 代入椭圆方程得9x 2+18y 2=18即x 2+2y 2=2为曲线E 的方程.……………………………………4分（II ）设G （x 1，y 1），H （x 2，y 2）当直线GH 斜率存在时，设直线GH 的斜率为k则直线GH 的方程为：y=kx+2，……………………………………5分代入x 2+2y 2=2，得：（21+k 2）x 2+4kx+3=0 由△>0，解得：k 2>23…………………………………………6分 y x y x k kx x k k x x λ=-=-=+=⋅+-=+又有分),2,(),2,(7)1(213,2142211221221222122121,)1(xx x x x x x x λλλ=⋅+=+∴=∴λλ2122221)1(x x x x x ⋅==++∴……………………………………（2） ∴将（1）代入（2）整理得：λλ22)1()211(316+=+k………………9分分且即分121,331316214,316)1(411316)211(3164,23222 ≠<<∴<++<<+<∴<+<∴>λλλλλλkk又∵0<λ<1，∴31<λ<1………………13分当直线GH 斜率不存在时，直线GH 的方程为x 31,0== ∴λ=31 ∴所求λ的范围为31≤λ<1…………………………14分 22．（本小题满分14分）已知直线1+-=x y 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 相交于A 、B 两点.（Ⅰ）若椭圆的离心率为33，焦距为2，求线段AB 的长；（Ⅱ）若向量OA 与向量OB 互相垂直（其中O 为坐标原点），当椭圆的离心率 ]22,21[∈e 时，求椭圆的长轴长的最大值. 22．解：（Ⅰ）33,22,33===a c c e 即 2,322=-==∴c ab a 则 ∴椭圆的方程为12322=+y x …………………………………………………………2分联立⎪⎩⎪⎨⎧+-==+112322x y y x 消去y 得：03652=--x x 设),(),,(2211y x B y x A 则53,562121-==+x x x x 2122122212214)(])1(1[)()(||x x x x y y x x AB -+-+=-+-=∴538512)56(22=+= ……………………………………………………………6分（Ⅱ）设),(),,(2211y x B y x AOB OA ⊥ 0=⋅∴OB OA ，即02121=+y y x x由⎪⎩⎪⎨⎧+-==+112222x y b y a x 消去y 得0)1(2)(223222=-+-+b a x a x b a 由0)1)((4)2(222222>-+=-=∆b b a a a 整理得122>+b a ……………8分又22222122221)1(2b a b a x x b a a x x +-=+=+1)()1)(1(21212121++-=+-+-=∴x x x x x x y y由02121=+y y x x 得：01)(22121=++-x x x x012)1(22222222=++-+-∴ba ab a b a 整理得：022222=-+b a b a ……………………………………………………10分222222e a a c a b -=-=∴代入上式得221112e a -+= )111(2122e a -+=∴ …………………………………………12分2221≤≤e21412≤≤∴e 431212≤-≤∴e 211342≤-≤∴e 3111372≤-+≤∴e 23672≤≤∴a 适合条件122>+b a 由此得26642≤≤a 62342≤≤∴a 故长轴长的最大值为6 …………………………………………………………… 14分 22．（本小题满分14分）如图，已知圆O ：422=+y x 与y 轴正半轴交于点P ，A （－1，0），B （1，0），直线l 与圆O 切于点S （l 不垂直于x 轴），抛物线过A 、B 两点且以l 为准线。

高中数学讲练透高考解析几何填空压轴题(学生版)

2:4C x y =,F P C CP PM F M y Q P F PN N y T FQ FP =FT 解析几何填空压轴题1．（山东临沂模拟）如图，抛物线的焦点为为抛物线在第一象限内的一点，抛物线在点处的切线与圆相切(切点为 )且交轴于点，过点作圆的另一条切线 (切点为 )交轴于点．若已知，则的最小值为_____________．2．（湖北武汉高三月考）已知过抛物线22yx =−的焦点F的直线与抛物线交于,A B 两点，则AF BF AB⋅=____________．3．（内蒙古赤峰高三月考（文））过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的右焦点F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为A 交另一条渐近线于点B ，若FB AF λ=，34λ≤≤，求C 的离心率的取值范围为___________4．（山东烟台高三一模）已知点A 为直线:3l y x =上一点，且A 位于第一象限，点()10,0B ，以AB 为直径的圆与l 交于点C (异于A )，若60CBA ∠≥，则点A 的横坐标的取值范围为___________．5．（2021中学生标准学术能力3月测试）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的焦点为12,F F ，P 是双曲线上一点，且123F PF π∠=．若12F PF ∆的外接圆和内切圆的半径分别为,R r ，且4R r =，则双曲线的离心率为__________．6．（山东日照高三一模）已知1F ，2F 分别为双曲线C ：221412x y−=的左、右焦点，E 为双曲线C 的右顶点，过2F 的直线与双曲线C 的右支交于A ，B ，两点（其中点A 在第一象限），设M ，N分别为12AF F △，12BF F △的内心，则ME NE −的取值范围是______．7．（辽宁沈阳高三一模）已知抛物线24x y =，点()(),2,1,1M t t −∈−，过M 作抛物线的两条切线,MA MB ，其中,A B 为切点，直线AB 与y 轴交于点,P 则PA PB的取值范围是_________．8．（湖南长沙雅礼中学高三月考）设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b −=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，过1F 直线的l 分别与双曲线左､右两支交于M ，N 两点，且22F M F N ⊥，22F M F N =，则双曲线C 的离心率为___________．9．（湖北B4新高考的研）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的左顶点为A ，右焦点为 F ，离心率为e ．若动点B 在双曲线C 的右支上且不与右顶点重合，满足e BAF∠恒成立，则双曲线C 的渐近线的方程为_________．10．（江苏徐州徐州一中高三期末）已知12,F F 分别为双曲线2222:1(0,0)y xE a b a b−=>>的两个焦点，E上的点P 到原点的距离为b ，且2112sin 3sin PF F PF F ??，则双曲线E 的渐近线方程为__________．11．（沙坪坝区·重庆一中高三月考）抛物线2:8C x y =的焦点为F ，过F 且斜率为2的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，点D 为抛物线C 上的动点，且点D 在l 的右下方，则DAB 面积的最大值为______ 12．（江苏三校联考）平面直角坐标系xOy 中，已知圆()22:11C x y −+=，点P 为直线2y x =+上的动点，以PC 为直径的圆交圆C 于A 、B 两点，点Q 在PC 上且满足AQ PB ⊥，则点Q 的轨迹方程是________．13．（浙江宁波模拟）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b −=>>的右顶点为A ，且以A 为圆心，双曲线虚轴长为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于,B C 两点，若2,33BAC ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，则双曲线C 的离心率的取值范围是__________．14．（广西南宁南宁三中（理））已知()3,0A ，若点P 是抛物线28y x =上的任意一点，点Q 是圆()2221x y −+=上任意一点，则2PAPQ最小值是_____15．（三省三校诊断性测试（理））已知双曲线22221x y a b−=的左，右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点2F 的直线l 交该双曲线的右支于M ，N 两点(M 点位于第一象限)，12MF F △的内切圆半径为1R ，12NF F △的内切圆半径为2，且满足2R ，则直线l 的斜率为___________．16．（内蒙古赤峰高三月考（理））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的左､右焦点分别为12F F 、，M 是双曲线一条渐近线上位于第二象限的一点，10MF OM =(O 为坐标原点)，若线段1MF 交双曲线于点P ，且213PF PF a +=，则双曲线的离心率为___________．17．（陕西下学期质检）已知1F ，2F 分别是双曲线C ：22221x ya b−=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的右支交于第一象限内的一点P ，若,33b a G ⎛⎫⎪⎝⎭为12F PF △的重心，则该双曲线的离心率为______．18．（华大新高考联盟3月质检（文））已知点M 在抛物线C ：24y x =上运动，圆C '过点()5,0，(，()3,2−，过点M 引直线1l ，2l 与圆C '相切，切点分别为P ，Q ，则PQ 的取值范围为__________．19．（江苏徐州高三二模）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点为P ，右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，2C 的顶点与1C 的中心O 重合．若1C 与2C 相交于点A ，B ，且四边形OAPB 为菱形，则1C 的离心率为___________．20．（山西高三一模（文））已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点,02p M ⎛⎫−⎪⎝⎭，过点F 的直线与此抛物线交于,A B 两点，若||24AB =，且tan AMB ∠=，则p =___________．21．（河南高三一模（理））已知直线l ：0x −=交双曲线Γ：()222210,0x y a b a b−=>>于A ，B 两点，过A 作直线l 的垂线AC 交双曲线Γ于点C ．若60ABC ∠=︒，则双曲线Γ的离心率为______． 22．（内蒙古呼和浩特高三一模（文））古希腊的几何学家用平面去截一个圆锥面，将所截得的不同的截线称为圆锥曲线．某同学用过母线PB 的中点且与底面圆的直径AB 垂直的平面截圆锥，得到了如图所示的一支双曲线．已知圆锥的高2PO =，底面圆的半径为4，则此双曲线的两条渐近线的夹角的正弦值为___________．23．（江西九校联考（理））已知离心率为2的双曲线1C ：()2210,0x ya b a b−=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合，M 是1C 与2C 的公共点，若5MF =，则1C 的标准方程为______．24．（中学生标准学术能力3月测试（文））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，P 为右支上一点()0P y ≠，在线段1PF 上取“12PF F △的周长中点”M ，满足2112||MP PF MF F F +=+，同理可在线段2PF 上也取“12PF F △的周长中点”N ．若PMN 的面积最大值为1，则b =__________．25．（广东广州高三一模）已知圆22(1)4x y −+=与双曲线2222:1x y C a b−=的两条渐近线相交于四个点，按顺时针排列依次记为,,,M N P Q ，且||2||MN PQ =，则C 的离心率为_______．26．（安徽江南十校联考（文））如图，,A F 分别为双曲线()2221016x ya a −=>的右顶点和右焦点，过F 作x 轴的垂线交双曲线于H ，且H 在第一象限，,,A F H 到同一条渐近线的距离分别为123,,d d d ，且1d 是2d 和3d 的等差中项，则C 的离心率为___________·27．（吉林吉林高三三模（理））己知圆()22:116,C x y P ++=是圆C 上任意点，若()1,0A ，线段AP 的垂直平分线与直线CP 相交于点Q ，则点Q 的轨迹方程是_______﹔若A 是圆C 所在平面内的一定点，线段AP 的垂直平分线与直线CP 相交于点Q ，则点Q 的轨迹是：①一个点②圆③椭圆④双曲线⑤抛物线，其中可能的结果有__________．28．（浙江省宁海中学高三月考）如图，已知1F ，2F 为椭圆C ：221x y a+=(1a >)的两焦点，O 为坐标原点，1H ，2H 分别1F ，2F 在C 的切线l 上的射影，则点1H 的轨迹方程是___________；若有且仅有2条l 使得12OH H 的面积最大，则C 离心率的最大值是___________．29．（安徽黄山高三一模（理））在平面上给定相异两点A ，B ，设点P 在同一平面上且满足||||PA PB λ=，当0λ>且1λ≠时，P 点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆．现有双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>，12,F F 分别为双曲线的左､右焦点，A ，B 为双曲线虛轴的上､下端点，动点P 满足||2||PB PA =，PAB △面积的最大值为4．点M ，N 在双曲线上，且关于原点O 对称，Q 是双曲线上一点，直线QM 和QN 的斜率满足3QM QN k k ⋅=，则双曲线方程是______________；过2F 的直线与双曲线右支交于C ，D 两点(其中C 点在第一象限)，设点M ､N 分别为12CF F △､12DF F △的内心，则MN 的范围是____________．30．（浙江温州高三二模）已知1F 、2F 分别是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点，过1F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点，若121::2:3:1PF PF QF =，则12cos F PF ∠=________，椭圆的离心率为_________．31．（江苏盐城高三一模）罗默､伯努利家族､莱布尼兹等大数学家都先后研究过星形线22331:x C y +=的性质，其形美观，常用于超轻材料的设计．曲线C 围成的图形的面积S _____2（选填“>”､“<”或“=”），曲线C 上的动点到原点的距离的取值范围是________．31．（江苏连云港高三开学考试）焦点为F 的抛物线2ypx p直径的圆过点(0,2)A ，则圆心坐标为________，抛物线的方程为________．32．（江苏南通高三期末）在平面直角坐标系xOy 中，设抛物线()220y px p =>与双曲线()222210,0x y a b a b−=>>及其渐近线在第一象限的交点分别为P ，A ，抛物线的焦点F 恰与双曲线的右顶点重合，AF x ⊥轴，则b a =________；若PF =p =________． 33．（江苏启东模拟）已知椭圆221ax by +=与直线1x y +=交于点A ，B ，点M 为AB 的中点，直线MO （O 为原点）的斜率为2，则b a =____________；又OA OB ⊥，则2a b +=____________．34．（山东青岛高三期末）如图所示，在平面直角坐标系中，0,5Q ⎛−⎝⎭，()3,0L −，圆Q 过坐标原点O ，圆L 与圆Q 外切．则（1）圆L 的半径等于__________；（2）已知过点L 和抛物线()220x py p =>焦点的直线与抛物线交于A ，B ，且3OA OB ⋅=−，则p =______．35．（浙江温州高三期末）已知点1、2分别为双曲线21(0)y a a−=>的左、右焦点，点P 是双曲线与以12F F 为直径的圆在第一象限内的交点，直线1F P 与直线0x ay +=交于点H ，且点H 是线段1F P 的中点，则1F H =______，双曲线的离心率为______．。

高考数学重难点必刷题：解析几何选填含详解

上，则双曲线的离心率为( )
A． 3 1
B． 2 1
C． 5 1 2
D． 2 1 2
23． P 为双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1a, b
0 上一点， F1, F2 分别为 C 的左、右焦点，
PF2 F1F2 ，若 PF1F2 的外接圆半径是其内切圆半径的 2.5 倍，则 C 的离心率为（）
54
2
的取值范围是（）
A． 2,2
B． , 2 2,
C． 2, 2
D． , 2 2,
3．已知双曲线
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0) ，F1, F2 分别为其左、右焦点，过 F1 的直线 l 与
双曲线 C 的左、右两支分别交于 A, B 两点，若 AB : BF2 : AF2 3 : 4 : 5 ，则双曲线 C
B． (a m)
C． 2(b n)
D． 2(a m)
25．已知抛物线 C ：y2 2 px( p 0) 和动直线 l ：y kx b（ k ，b 是参变量，且 k 0 ，
b≠0 ）相交于 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 ) 两点，直角坐标系原点为 O ，记直线 OA ，OB 的斜率分别为 kOA ， kOB ，若 kOA kOB 3 恒成立，则当 k 变化时直线 l 恒经过的定点为
C． 2 3 3
D． 3 2 2
29．已知点 A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线 y＝ax+b（a＞0）将△ABC 分割
为面积相等的两部分，则 b 的取值范围是（）
A．（0，1）二、多选题
B． 1
2 2
，1 2

7.3 解析几何(压轴题)

7.3解析几何(压轴题)命题角度1曲线与轨迹问题高考真题体验·对方向1.(2017全国Ⅱ·20)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足.(1)求点P的轨迹方程;Q在直线x=-3上,且=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由得x0=x,y0=y.因为M(x0,y0)在C上,所以=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n),=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).由=1得-3m-m2+tn-n2=1.又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以=0,即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.2.(2016全国Ⅲ·20)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明:AR∥FQ;(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.F.设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0,且A,B,P-,Q-,R-.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=----=-b=k2.所以AR∥FQ.l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|-,S△PQF=-.由题设可得|b-a|--,所以x1=0(舍去),x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x,y).(x≠1).当AB与x轴不垂直时,由k AB=k DE可得-而=y,所以y2=x-1(x≠1).当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以所求轨迹方程为y2=x-1.新题演练提能·刷高分1.(2018山西太原二模)已知以点C(0,1)为圆心的动圆C与y轴负半轴交于点A,其弦AB的中点D恰好落在x轴上.(1)求点B的轨迹E的方程;(2)过直线y=-1上一点P作曲线E的两条切线,切点分别为M,N.求证:直线MN过定点.B(x,y),则AB的中点D,y>0.∵C(0,1),则-,在☉C中,∵DC⊥DB,∴=0,∴-+y=0,即x2=4y(y>0).∴点B的轨迹E的方程为x2=4y(y>0).E的方程为x2=4y,设点P(t,-1),M(x1,y1),N(x2,y2).∵y=,∴y'=,∴过点M、N的切线方程分别为y-y1=(x-x1),y-y2=(x-x2).由4y1=,4y2=,上述切线方程可化为2(y+y1)=x1x,2(y+y2)=x2x.∵点P在这两条切线上,∴2(y1-1)=tx1,2(y2-1)=tx2,即直线MN的方程为2(y-1)=tx,故直线2(y-1)=tx过定点C(0,1).2.(2018广西梧州3月适应性测试)已知A(-2,0),B(2,0),直线PA的斜率为k1,直线PB的斜率为k2,且k1k2=-.(1)求点P的轨迹C的方程;(2)设F1(-1,0),F2(1,0),连接PF1并延长,与轨迹C交于另一点Q,点R是PF2中点,O是坐标原点,记△QF1O与△PF1R的面积之和为S,求S的最大值.设P(x,y),∵A(-2,0),B(2,0),∴k1=,k2=,-又k1k2=-,∴-=-,∴=1(x≠±2),∴轨迹C的方程为=1(x≠±2).(2)由O,R分别为F1F2,PF2的中点,故OR∥PF1,故△PF1R与△PF1O同底等高,故△△ ,S=△△=S△PQO,当直线PQ的斜率不存在时,其方程为x=-1,此时S△PQO=×1×--; 当直线PQ的斜率存在时,设其方程为y=k(x+1),设P(x1,y1),Q(x2,y2),显然直线PQ不与x轴重合,即k≠0;联立解得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,Δ=144(k2+1)>0,--故|PQ|=|x1-x2|=-, 点O到直线PQ的距离d=,S=|PQ|d=6,令u=3+4k2∈(3,+∞),故S=6---,故S的最大值为.3.(2018甘肃兰州一模)已知圆C:(x+1)2+y2=8,过D(1,0)且与圆C相切的动圆圆心为P.(1)求点P的轨迹E的方程;(2)设过点C的直线l1交曲线E于Q,S两点,过点D的直线l2交曲线E于R,T两点,且l1⊥l2,垂足为W(Q,R,S,T为不同的四个点).①设W(x0,y0),证明:<1;②求四边形QRST的面积的最小值.r,由于D在圆内,圆P与圆C内切,则|PC|=2-r,|PD|=r,|PC|+|PD|=2>|CD|=2,由椭圆定义可知,点P的轨迹E是椭圆,a=,c=1,b=-=1,E的方程为+y2=1.(2),垂足W在以CD为直径的圆周上,则有=1,又因Q,R,S,T为不同的四个点,<1.l1或l2的斜率不存在,四边形QRST的面积为2.若两条直线的斜率都存在,设l1的斜率为k,则l1的方程为y=k(x+1),解方程组得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,则|QS|=2,同理得|RT|=2,∴S QSRT=|QS|·|RT|=,当且仅当2k2+1=k2+2,即k=±1时等号成立.综上所述,当k=±1时,四边形QRST的面积取得最小值.4.(2018福建福州3月质检)设点A为圆C:x2+y2=4上的动点,点A在x轴上的投影为Q,动点M满足2,动点M的轨迹为E.(1)求E的方程;(2)设E与y轴正半轴的交点为B,过点B的直线l的斜率为k(k≠0),l与E交于另一点P.若以点B为圆心,以线段BP长为半径的圆与E有4个公共点,求k的取值范围.设点M(x,y),A(x1,y1),则Q(x1,0),因为2,所以2(x1-x,-y)=(0,-y1),所以---解得由于点A在圆C:x2+y2=4上,所以x2+4y2=4,所以点M的轨迹E的方程为+y2=1.(2)由(1)知,E的方程为+y2=1,因为直线l:y=kx+1(k≠0).由得(1+4k2)x2+8kx=0.设B(x1,y1),P(x2,y2),因此x1=0,x2=-,|BP|=|x1-x2|=,则点P的轨迹方程为x2+(y-1)2=, 由-得3y2+2y-5+=0(-1≤y≤1),(*)依题意得,(*)式关于y的方程在(-1,1)有两个不同的实数解,设f(x)=3x2+2x-5+(-1<x<1),因为函数f(x)的对称轴为x=-,要使函数f(x)的图象在(-1,1)与x轴有两个不同的交点, 则---整理得--即--所以解得k∈----,所以k的取值范围为----.命题角度2直线与圆锥曲线的位置关系高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅰ·19)设椭圆C:+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.F(1,0),l的方程为x=1.由已知可得,点A的坐标为或-.所以AM的方程为y=-x+或y=x-.l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°,当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),则x1<,x2<,直线MA,MB的斜率之和为k MA+k MB=--,由y1=kx1-k,y2=kx2-k得k MA+k MB=---.将y=k(x-1)代入+y2=1得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,所以,x1+x2=,x1x2=-.则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k=--=0.从而k MA+k MB=0,故MA,MB的倾斜角互补,所以∠OMA=∠OMB.综上,∠OMA=∠OMB.2.(2018全国Ⅱ·19)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B 两点,|AB|=8.(1)求l的方程.A,B且与C的准线相切的圆的方程.由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).设A(x1,y1),B(x2,y2).由-得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=.由题设知=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则解得或-因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.3.(2018全国Ⅲ·20)已知斜率为k的直线l与椭圆C:=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).(1)证明:k<-;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且=0.证明:||,||,||成等差数列,并求该数列的公差.A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,=1.两式相减,并由--=k得·k=0.由题设知=1,=m,于是k=-.①由题设得0<m<,故k<-.F(1,0).设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m<0.又点P在C上,所以m=,从而P-,||=.于是||=-=--=2-.同理||=2-.所以||+||=4-(x1+x2)=3.故2||=||+||,则||,||,||成等差数列,设该数列的公差为d,则2|d|=|||-|||=|x1-x2|=-.②将m=代入①得k=-1.所以l的方程为y=-x+,代入C的方程,并整理得7x2-14x+=0.故x1+x2=2,x1x2=,代入②解得|d|=.所以该数列的公差为或-.4.(2017全国Ⅲ·20)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB 为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.又x1=,x2=,故x1x2==4.因此OA的斜率与OB的斜率之积为-=-1,所以OA⊥OB.故坐标原点O在圆M 上.(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=.由于圆M过点P(4,-2),因此=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-.当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.当m=-时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为-,圆M的半径为,圆M的方程为-.5.(2017北京·18)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:A为线段BM的中点.C:y2=2px过点P(1,1),得p=.所以抛物线C的方程为y2=x.抛物线C的焦点坐标为,准线方程为x=-.,设直线l的方程为y=kx+(k≠0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).由得4k2x2+(4k-4)x+1=0.则x1+x2=-,x1x2=.因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,x1),直线ON的方程为y=x,点B的坐标为.因为y1+-2x1=-=-=-=--=0,所以y1+=2x1.故A为线段BM的中点.6.(2017天津·19)设椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为,已知A是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;(2)设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A),直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为,求直线AP的方程.设F的坐标为(-c,0).依题意,=a,a-c=,解得a=1,c=,p=2,于是b2=a2-c2=.所以,椭圆的方程为x2+=1,抛物线的方程为y2=4x.(2)设直线AP的方程为x=my+1(m≠0),与直线l的方程x=-1联立,可得点P--,故Q-.将x=my+1与x2+=1联立,消去x,整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0或y=-.由点B异于点A,可得点B--.由Q-,可得直线BQ的方程为--(x+1)---=0,令y=0,解得x=-,故D-.所以|AD|=1--.又因为△APD的面积为,故,整理得3m2-2|m|+2=0,解得|m|=,所以m=±.所以,直线AP的方程为3x+y-3=0或3x-3=0.新题演练提能·刷高分1.(2018河北唐山一模)已知椭圆Γ:=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为A,长轴长为2,B为直线l:x=-3上的动点,M(m,0),AM⊥BM.当AB⊥l时,M与F重合.(1)求椭圆Γ的方程;BM交椭圆Γ于P,Q两点,若AP⊥AQ,求m的值.依题意得A(0,b),F(-c,0),当AB⊥l时,B(-3,b),=-1,由AF⊥BF,得k AF·k BF=-又b2+c2=6,解得c=2,b=.所以,椭圆Γ的方程为=1.(2)由(1)得A(0,),依题意,显然m≠0,所以=-,又AM⊥BM,所以k BM=,所以直线BM的方程为y=(x-m),设P(x1,y1),Q(x2,y2).-联立有(2+3m2)x2-6m3x+3m4-12=0,x1+x2=,x1x2=-.|PM|·|QM|=|(x1-m)(x2-m)|=|x1x2-m(x1+x2)+m2|=-=-,|AM|2=2+m2,由AP⊥AQ得,|AM|2=|PM|·|QM|,所以-=1,解得m=±1.2.(2018河南郑州一模)已知圆C:x2+y2+2x-2y+1=0和抛物线E:y2=2px(p>0),圆心C到抛物线焦点F的距离为.(1)求抛物线E的方程;(2)不过原点的动直线l交抛物线于A,B两点,且满足OA⊥OB.设点M为圆C上任意一动点,求当动点M到直线l的距离最大时的直线l的方程.解(1)C:x2+y2+2x-2y+1=0可化为(x+1)2+(y-1)2=1,则圆心C为(-1,1).∵F,0,∴|CF|=-,解得p=6.∴抛物线的方程为y2=12x.(2)设直线l为x=my+t(t≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).联立可得y2-12my-12t=0.∴y1+y2=12m,y1y2=-12t.∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,即(m2+1)y1y2+mt(y1+y2)+t2=0.整理可得t2-12t=0,∵t≠0,∴t=12.∴直线l的方程为x=my+12,故直线l过定点P(12,0).∴当CN⊥l时,即动点M经过圆心C(-1,1)时到动直线l的距离取得最大值.=-,∴m=,k MP=k CP=---此时直线l的方程为x=y+12,即为13x-y-156=0.3.(2018甘肃第一次诊断性考试)椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作垂直于x轴的直线l与椭圆E在第一象限交于点P,若|PF1|=5,且3a=b2.(1)求椭圆E的方程;(2)A,B是椭圆C上位于直线l两侧的两点.若直线AB过点(1,-1),且∠APF2=∠BPF2,求直线AB 的方程.由题意可得|PF2|==3,因为|PF1|=5,由椭圆的定义得a=4,所以b2=12,所以椭圆E的方程为=1.(2)易知点P的坐标为(2,3).因为∠APF2=∠BPF2,所以直线PA,PB的斜率之和为0.设直线PA的斜率为k,则直线PB的斜率为-k,设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线PA的方程为y-3=k(x-2),由--可得(3+4k2)x2+8k(3-2k)x+4(3-2k)2-48=0,∴x1+2=-.同理,直线PB的方程为y-3=-k(x-2),可得x2+2=---,∴x1+x2=-,x1-x2=-,k AB=--------,∴满足条件的直线AB的方程为y+1=(x-1),即为x-2y-3=0.命题角度3圆锥曲线的最值、范围问题高考真题体验·对方向1.(2017山东·21)在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2.(1)求椭圆E的方程.(2)如图,动直线l:y=k1x-交椭圆E于A,B两点,C是椭圆E上一点,直线OC的斜率为k2,且k1k2=,M是线段OC延长线上一点,且|MC|∶|AB|=2∶3,☉M的半径为|MC|,OS,OT是☉M的两条切线,切点分别为S,T,求∠SOT的最大值并求取得最大值时直线l的斜率.由题意知e=,2c=2,所以a=,b=1,因此椭圆E的方程为+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程-得(4+2)x2-4k1x-1=0,由题意知Δ>0,且x1+x2=,x1x2=-.所以|AB|=|x1-x2|=.由题意可知圆M的半径r为r=|AB|=.由题设知k1k2=,所以k2=,因此直线OC的方程为y=x.联立方程得x2=,y2=,因此|OC|=.由题意可知sin=,而=,令t=1+2,则t>1,∈(0,1),因此--=--≥1,当且仅当,即t=2时等号成立,此时k1=±,所以sin ,因此.所以∠SOT最大值为.综上所述:∠SOT的最大值为,取得最大值时直线l的斜率为k1=±.2.(2016全国Ⅱ·20)已知椭圆E:=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.设M(x1,y1),则由题意知y1>0.当t=4时,E的方程为=1,A(-2,0).由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为.因此直线AM的方程为y=x+2.将x=y-2代入=1得7y2-12y=0.解得y=0或y=,所以y1=.因此△AMN的面积S△AMN=2×.(2)由题意t>3,k>0,A(-,0).将直线AM的方程y=k(x+)代入=1得(3+tk2)x2+2·tk2x+t2k2-3t=0.由x1·(-)=-得x1=-,故|AM|=|x1+.由题设,直线AN的方程为y=-(x+),故同理可得|AN|=.由2|AM|=|AN|得,即(k3-2)t=3k(2k-1).当k=时上式不成立,因此t=--.t>3等价于-----<0,即--<0.由此得--或--解得<k<2.因此k的取值范围是(,2).3.(2016全国Ⅰ·20)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A 于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;(2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q 两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.因为|AD|=|AC|,EB∥AC,故∠EBD=∠ACD=∠ADC.所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为:=1(y≠0).(2)当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),由-得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,则x1+x2=,x1x2=-,所以|MN|=|x1-x2|=.过点B(1,0)且与l垂直的直线m:y=-(x-1),A到m的距离为,所以|PQ|=2-=4.故四边形MPNQ的面积S=|MN||PQ|=12.可得当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8).当l与x轴垂直时,其方程为x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形MPNQ的面积为12.综上,四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8.新题演练提能·刷高分1.(2018江西南昌一模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过焦点F的直线交C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,y1y2=-4.(1)求抛物线方程;(2)点B在准线l上的投影为E,D是C上一点,且AD⊥EF,求△ABD面积的最小值及此时直线AD的方程.依题意F,当直线AB的斜率不存在时,|y1y2|=-p2=-4,p=2.当直线AB的斜率存在时,设AB:y=k-,由-化简得y2-y-p2=0.由y1y2=-4,得p2=4,p=2,所以抛物线方程为y2=4x.(2)设D(x0,y0),B,则E(-1,t).又由y1y2=-4,可得A-.因为k EF=-,AD⊥EF,所以k AD=,故直线AD:y+-.由---化简得y2-2ty-8-=0,所以y1+y0=2t,y1y0=-8-.所以|AD|=·|y1-y0|=-.设点B到直线AD的距离为d,则d=---.所以S△ABD=|AD|·d=≥16,当且仅当t4=16,即t=±2.当t=2时,直线AD的方程为x-y-3=0,当t=-2时,直线AD的方程为x+y-3=0.2.(2018山东济南一模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C1:x2=4y,直线l与抛物线C1交于A,B 两点.(1)若直线OA,OB的斜率之积为-,证明:直线l过定点;(2)若线段AB的中点M在曲线C2:y=4-x2(-22)上,求的最大值.A(x1,y1),B(x2,y2),由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+m,由得x2-4kx-4m=0, Δ=16(k2+m)>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,k OA·k OB==-,由已知:k OA·k OB=-,所以m=1,所以直线l的方程为y=kx+1,所以直线l过定点(0,1).M(x0,y0),则x0==2k,y0=kx0+m=2k2+m,将M(x0,y0)代入C2:y=4-x2(-2<x<2),得2k2+m=4-(2k)2,∴m=4-3k2.∵-2<x0<2,∴-2<2k<2,∴-<k<.∵Δ=16(k2+m)=16(k2+4-3k2)=32(2-k2)>0,∴-<k<,故k的取值范围是k∈(-.|AB|=-,将m=4-3k2代入,得|AB|=4-≤4-=6当且仅当k2+1=2-k2,即k=±时取等号,所以|AB|的最大值为63.(2018山东青岛一模)已知O为坐标原点,点A,B在椭圆C:+y2=1上,点E-在圆D:x2+y2=r2(r>0)上,AB的中点为Q,满足O,E,Q三点共线.(1)求直线AB的斜率;(2)若直线AB与圆D相交于M,N两点,记△OAB的面积为S1,△OMN的面积为S2,求S=S1+S2的最大值.设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点Q(x0,y0).∵点A,B在椭圆C上,∴相减得-+(y1-y2)(y1+y2)=0.∴k AB=-=-.-∵x0=,y0=,∴k AB=-.∵E-,∴k OE=-.∵O,E,Q三点共线,∴k OQ=k OE=-,∴k AB=-=1.(2)∵点E-在圆D上,∴r2=-.∴圆D的方程为x2+y2=.设直线AB的方程:y=x+m,由得3x2+4mx+2m2-2=0.由Δ>0得m2<3.x1+x2=-,x1x2=-,则|AB|=--.设O到直线AB的距离为d,d=,∴|MN|=2-=2-.∴S=S1+S2=|AB|·d+|MN|·d=-×2-|m|--=--,∴当m2=<3时,即m=±时,S max=.4.(2018广东珠海3月质检)已知抛物线C1:y2=2px(p>0),圆C2:x2+y2=4,直线l:y=kx+b与抛物线C1相切于点M,与圆C2相切于点N.(1)若直线l的斜率k=1,求直线l和抛物线C1的方程;F为抛物线C1的焦点,设△FMN,△FON的面积分别为S1,S2,若S1=λS2,求λ的取值范围.由题设知l:x-y+b=0,且b>0,由l与C2相切知,C2(0,0)到l的距离d==2,得b=2,∴l:x-y+2=0.将l与C1的方程联立消x得y2-2py+4p=0,其Δ=4p2-16p=0得p=4∴C1:y2=8x.综上,l:x-y+20,C1:y2=8(2)不妨设k>0,根据对称性,k>0得到的结论与k<0得到的结论相同.此时b>0,又知p>0,设M(x1,y1),N(x2,y2),由消y得k2x2+2(kb-p)x+b2=0,其Δ=4(kb-p)2-4k2b2=0得p=2kb,从而解得M,由l与C2切于点N知C2(0,0)到l:kx-y+b=0的距离d==2,得b=2,则p=4k,故M.由得N,故|MN|=M-x N|=.F到l:kx-y+b=0的距离d0==2k2+2,∴S1=S△FMN=|MN|d0=,又S2=S△FON=|OF|·|y N|=2k,∴λ=(k2+1)=2k2++3≥2+3.当且仅当2k2=即k=时取等号,与上同理可得,k<0时亦是同上结论.综上,λ的取值范围是[3+2,+∞).命题角度4圆锥曲线的定值、定点问题高考真题体验·对方向1.(2017全国Ⅰ·20)已知椭圆C:=1(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3-,P4中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l 过定点.P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知C经过P3,P4两点.又由知,C不经过点P1,所以点P2在C上.因此解得故C的方程为+y2=1.P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2,如果l与x轴垂直,设l:x=t,由题设知t≠0,且|t|<2,可得A,B的坐标分别为---.则k 1+k 2=- --=-1,得t=2,不符合题设.从而可设l :y=kx+m (m ≠1). 将y=kx+m代入 +y 2=1得(4k 2+1)x 2+8kmx+4m 2-4=0.由题设可知Δ=16(4k 2-m 2+1)>0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+x 2=-,x 1x 2=-.而k 1+k 2= --= - - =-.由题设k 1+k 2=-1,故(2k+1)x 1x 2+(m-1)(x 1+x 2)=0. 即(2k+1)· -+(m-1)·-=0.解得k=-. 当且仅当m>-1时,Δ>0,于是l :y=-x+m ,即y+1=-(x-2), 所以l 过定点(2,-1). 2.(2016北京·19)已知椭圆C :=1(a>b>0)的离心率为,A (a ,0),B (0,b ),O (0,0),△OAB 的面积为1.(1)求椭圆C 的方程;(2)设P 是椭圆C 上一点,直线PA 与y 轴交于点M ,直线PB 与x 轴交于点N ,求证:|AN|·|BM|为定值.解得a=2,b=1. 所以椭圆C 的方程为+y 2=1. (1)知,A (2,0),B (0,1).设P (x 0,y 0),则 +4=4.当x 0≠0时,直线PA 的方程为y= -(x-2).令x=0,得y M =--,从而|BM|=|1-y M |=-.直线PB的方程为y=-x+1.令y=0,得x N=--,从而|AN|=|2-x N|=-.所以|AN|·|BM|=--=----=----=4.当x0=0时,y0=-1,|BM|=2,|AN|=2,所以|AN|·|BM|=4.综上,|AN|·|BM|为定值.3.(2015全国Ⅱ·20)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,点(2,)在C上.(1)求C的方程;(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.由题意有-=1,解得a2=8,b2=4.所以C的方程为=1.l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(x M,y M).将y=kx+b代入=1,得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.故x M=-,y M=k·x M+b=.于是直线OM的斜率k OM==-,即k OM·k=-.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.新题演练提能·刷高分1.(2018福建厦门第一次质检)设O为坐标原点,椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为.直线l:y=kx+m(m>0)与C交于A,B两点,AF的中点为M,|OM|+|MF|=5.(1)求椭圆C的方程;(2)设点P(0,1),=-4,求证:直线l过定点,并求出定点的坐标.F1,则OM为△AFF1的中位线.∴OM=AF1,MF=AF,∴|OM|+|MF|==a=5,∵e=,∴c=2,∴b=∴椭圆C的方程为=1.A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y,整理得(1+5k2)x2+10mkx+5m2-25=0.∴Δ>0,x1+x2=-,x1x2=-,∴y1+y2=k(x1+x2)+2m=,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=--=-.∵P(0,1),=-4,∴(x1,y1-1)·(x2,y2-1)=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1=-4,∴--+5=0,整理得3m2-m-10=0,解得m=2或m=-(舍去).∴直线l过定点(0,2).2.(2018安徽合肥第二次质检)已知点A(1,0)和动点B,以线段AB为直径的圆内切于圆O:x2+y2=4.(1)求动点B的轨迹方程;(2)已知点P(2,0),Q(2,-1),经过点Q的直线l与动点B的轨迹交于M,N两点,求证:直线PM与直线PN的斜率之和为定值.(1)解如图,设以线段AB为直径的圆的圆心为C,取A'(-1,0).依题意,圆C内切于圆O,设切点为D,则O,C,D三点共线,∵O为AA'的中点,C为AB中点,∴A'B=2OC.∴|BA'|+|BA|=2OC+2AC=2OC+2CD=2OD=4>|AA'|=2,∴动点B的轨迹是以A,A'为焦点,长轴长为4的椭圆,设其方程为=1(a>b>0), 则2a=4,2c=2,∴a=2,c=1,∴b2=a2-c2=3,∴动点B的轨迹方程为=1.当直线l垂直于x轴时,直线l的方程为x=2,此时直线l与椭圆=1相切,与题意不符.②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y+1=k(x-2).由-消去y整理得(4k2+3)x2-(16k2+8k)x+16k2+16k-8=0.∵直线l与椭圆交于M,N两点,∴Δ=(16k2+8k)2-4(4k2+3)(16k2+16k-8)>0,解得k<.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-,∴k PM+k PN=--------=2k---=2k----=2k---=2k----=2k+3-2k=3(定值).3.(2018北京丰台期末)在平面直角坐标系xOy中,动点P到点F(1,0)的距离和它到直线x=-1的距离相等,记点P的轨迹为C.(1)求C的方程;(2)设点A在曲线C上,x轴上一点B(在点F右侧)满足|AF|=|FB|.平行于AB的直线与曲线C 相切于点D,试判断直线AD是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.因为动点P到点F(1,0)的距离和它到直线x=-1的距离相等,所以动点P的轨迹是以点F(1,0)为焦点,直线x=-1为准线的抛物线.设C的方程为y2=2px,则=1,即p=2.所以C的轨迹方程为y2=4x.(2)设A,m,则B+2,0,所以直线AB 的斜率为k= -=-.设与AB 平行,且与抛物线C 相切的直线为y=-x+b ,由-得my 2+8y-8b=0, 由Δ=64+32mb=0得b=-,所以y D =-,所以点D,-.当,即m ≠±2时,直线AD 的方程为y-m=-x-,整理得y=-(x-1),所以直线AD过定点(1,0).当,即m=±2时,直线AD 的方程为x=1,过定点(1,0).综上所述,直线AD 过定点(1,0).4.(2018四川德阳二诊)已知长度为3 的线段AB 的两个端点A ,B 分别在x 轴和y 轴上运动,动点P 满足=2 ,设动点P 的轨迹为曲线C. (1)求曲线C 的方程;(2)过点(4,0)且斜率不为零的直线l 与曲线C 交于M ,N 两点,在x 轴上是否存在定点T ,使得直线MT 与NT 的斜率之积为常数.若存在,求出定点T 的坐标以及此常数;若不存在,请说明理由. 设P (x ,y ),A (m ,0),B (0,n ),由于=2 ,所以(x ,y-n )=2(m-x ,-y )=(2m-2x ,-2y ),即 - - - 所以又|AB|=3 ,所以m 2+n 2=18,从而+9y 2=18. 即曲线C的方程为=1. (2)由题意设直线l 的方程为:x=my+4,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2), 由得(m 2+4)y 2+8my+8=0, 所以--故x 1+x 2=m (y 1+y 2)+8= , x 1x 2=m 2y 1y 2+4m (y 1+y 2)+16= - ,假设存在定点T (t ,0),使得直线MT 与NT 的斜率之积为常数,则k MT ·k NT =- -=.---当t2-8=0,且t-4≠0时,k MT·k NT为常数,解得t=±2.显然当t=2时,常数为;当t=-2时,常数为-,所以存在两个定点T1(2,0),T2(-2,0),使得直线MT与NT的斜率之积为常数,当定点为T1(2,0)时,常数为;当定点为T2(-2,0)时,常数为-.命题角度5圆锥曲线的探究、存在性问题高考真题体验·对方向1.(2015全国Ⅰ·20)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点. (1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.由题设可得M(2,a),N(-2,a),或M(-2,a),N(2,a).又y'=,故y=在x=2处的导数值为,C在点(2,a)处的切线方程为y-a=(x-2), 即x-y-a=0.y=在x=-2处的导数值为-,C在点(-2,a)处的切线方程为y-a=-(x+2),即x+y+a=0.故所求切线方程为x-y-a=0和x+y+a=0.(2)存在符合题意的点,证明如下:设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.故x1+x2=4k,x1x2=-4a.从而k1+k2=--=-.当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-a)符合题意.2.(2015全国Ⅱ·20)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C 有两个交点A,B,线段AB的中点为M.(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;(2)若l过点,延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率;若不能,说明理由.l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(x M,y M).将y=kx+b代入9x2+y2=m2得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,故x M=-,y M=kx M+b=.于是直线OM的斜率k OM==-,即k OM·k=-9.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.OAPB能为平行四边形.因为直线l过点,所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0,k≠3.由(1)得OM的方程为y=-x.设点P的横坐标为x P.由-得,即x P=.将点的坐标代入l的方程得b=-,因此x M=-.四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分,即x P=2x M.于是=2×-,解得k1=4-,k2=4+.因为k i>0,k i≠3,i=1,2,所以当l的斜率为4-或4+时,四边形OAPB为平行四边形.3.(2014山东·21)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A 的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时,△ADF 为正三角形.(1)求C的方程;(2)若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E,①证明直线AE过定点,并求出定点坐标;②△ABE的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.由题意知F,设D(t,0)(t>0),则FD的中点为.因为|FA|=|FD|,由抛物线的定义知3+-,解得t=3+p或t=-3(舍去).由=3,解得p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)①由(1)知F(1,0).设A(x0,y0)(x0y0≠0),D(x D,0)(x D>0),因为|FA|=|FD|,则|x D-1|=x0+1.由x D>0得x D=x0+2,故D(x0+2,0).故直线AB的斜率k AB=-.因为直线l1和直线AB平行,设直线l1的方程为y=-x+b,代入抛物线方程得y2+y-=0, 由题意Δ==0,得b=-.设E(x E,y E),则y E=-,x E=.当≠4时,k AE=--=---,可得直线AE的方程为y-y0=-(x-x0),由=4x0,整理可得y=-(x-1),直线AE恒过点F(1,0).当=4时,直线AE的方程为x=1,过点F(1,0).所以直线AE过定点F(1,0).②由①知直线AE过焦点F(1,0),所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+=x0++2.设直线AE的方程为x=my+1,因为点A(x0,y0)在直线AE上,故m=-.设B(x1,y1),直线AB的方程为y-y0=-(x-x0),由于y0≠0,可得x=-y+2+x0,代入抛物线方程得y2+y-8-4x0=0.所以y0+y1=-,可求得y1=-y0-,x1=+x0+4.所以点B到直线AE的距离为d=-==4.则△ABE的面积S=×4≥16,当且仅当=x0,即x0=1时等号成立.所以△ABE的面积的最小值为16.新题演练提能·刷高分1.(2018山西太原一模)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左顶点为A,右焦点为F2(2,0),点B(2,-在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线y=kx(k≠0)与椭圆C交于E,F两点,直线AE,AF分别与y轴交于点M,N,在x轴上,是否存在点P,使得无论非零实数k怎样变化,总有∠MPN为直角?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.依题意,c=2.∵点B(2,-)在C上,∴=1.∵a2=b2+c2,∴a2=8,b2=4,∴椭圆方程为=1.(2)假设存在这样的点P,设P(x0,0),E(x1,y1),则F(-x1,-y1),联立消去y化简得(1+2k2)x2-8=0,解得x1=,y1=.∵A(-2,0),∴AE所在直线方程为y=·(x+2),∴M0,,同理可得N0,-,=-x0,,=-x0,-,由=0,得-4=0.∴x0=2或x0=-2.∴存在点P,使得无论非零实数k怎么变化,总有∠MPN为直角,点P坐标为(2,0)或(-2,0).2.(2018山东菏泽一模)已知抛物线E的顶点为平面直角坐标系xOy的坐标原点O,焦点为圆F:x2+y2-4x+3=0的圆心F.经过点F的直线l交抛物线E于A,D两点,交圆F于B,C两点,A,B 在第一象限,C,D在第四象限.(1)求抛物线E的方程;(2)是否存在直线l使2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项?若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.∵圆F的方程为(x-2)2+y2=1,∴圆心F的坐标为(2,0),半径r=1.根据题意设抛物线E的方程为y2=2px(p>0),∴=2,解得p=4.∴抛物线E的方程为y2=8x.(2)∵2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项,|BC|=2r,∴|AB|+|CD|=4|BC|=4×2r=8.∴|AD|=|AB|+|BC|+|CD|=10r=10.讨论:若l垂直于x轴,则l的方程为x=2,代入y2=8x,解得y=±4.此时|AD|=8,不满足题意; 若l不垂直于x轴,则设l的斜率为k(k≠0),此时l的方程为y=k(x-2),由-得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=.∵拋物线E的准线方程为x=-2,∴|AD|=|AF|+|DF|=(x1+2)+(x2+2)=x1+x2+4.∴+4=10,解得k=±2.当k=±2时,k2x2-(4k2+8)x+4k2=0化为x2-6x+4=0.∵(-6)2-4×1×4>0,∴x2-6x+4=0有两个不相等的实数根.∴k=±2满足题意.∴存在满足要求的直线l:2x-y-4=0或2x+y-4=0.3.(2018山西晋城一模)已知直线l1是抛物线C:x2=2py(p>0)的准线,直线l2:3x-4y-6=0,且l2与抛物线C没有公共点,动点P在抛物线C上,点P到直线l1和l2的距离之和的最小值等于2.(1)求抛物线C的方程;(2)点M在直线l1上运动,过点M作抛物线C的两条切线,切点分别为P1,P2,在平面内是否存在定点N,使得MN⊥P1P2恒成立?若存在,请求出定点N的坐标,若不存在,请说明理由.解(1)作PA,PB分别垂直l1和l2,垂足为A,B,抛物线C的焦点为F0,,由抛物线定义知|PA|=|PF|,所以d1+d2=|PA|+|PB|=|PF|+|PB|,易知d1+d2的最小值即为点F到直线l2的距离,故d=--=2,∴p=2,所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)由(1)知直线l1的方程为y=-1,当点M在特殊位置(0,-1)时,易知两个切点P1,P2关于y轴对称,故要使得MN⊥P1P2,点N必须在y轴上.故设M(m,-1),N(0,n),P1x1,,P2x2,,抛物线C的方程为y=x2,求导得y'=x,所以切线MP1的斜率k1=x1,直线MP1的方程为y-x1(x-x1),又点M在直线MP1上,所以-1-x1(m-x1),整理得-2mx1-4=0,同理可得-2mx2-4=0,故x1和x2是一元二次方程x2-2mx-4=0的两根,由韦达定理得-=x2-x1,·(-m,n+1)=(x2-x1)[-4m+(n+1)(x2+x1)]=(x2-x1)[-4m+2m(n+1)]=m(x2-x1)(n-1),可见n=1时,=0恒成立,所以存在定点N(0,1),使得MN⊥P1P2恒成立.4.(2018河北衡水中学七调)如图,已知椭圆的离心率为,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1,F2为顶点的三角形的周长为4(1).一双曲线的顶点是该椭圆的焦点,且双曲线的实轴长等于虚轴长,设P为该双曲线上异于顶点的任意一点,直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A,B和C,D,且点A,C在x轴的同一侧.(1)求椭圆和双曲线的标准方程;(2)是否存在题设中的点P,使得||+||=?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.由题意知,椭圆离心率e=,即a=c,又2a+2c=4(+1),所以a=2,c=2,所以b2=a2-c2=4,所以椭圆的标准方程为=1.所以椭圆的焦点坐标为(±2,0).又双曲线为等轴双曲线,且顶点是该圆的焦点,所以该双曲线的标准方程为=1.(2)设P(x0,y0)(x0≠±2),则,因为点P在双曲线=1上,所以=1.-设A(x1,y1),B(x2,y2),直线PF1的方程为y=k(x+2),所以直线PF2的方程为y=(x-2),联立得(2k2+1)x2+8k2x+8k2-8=0,所以x1+x2=-,x1·x2=-,所以|AB|=----.同理可得|CD|=.由题知||+||=|·||·cos θ(θ=∠F1PF2), 即cos θ=.因为=||||cos θ,即(-2-x0)(2-x0)+(-y0)(-y0)=-,又因为=4,所以2(-4)=-----,所以=8,=4.即存在满足题意的点P,且点P的坐标为(±2±2).。

精选高难度压轴填空题----解析几何

1.已知椭圆是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，且直线的斜率分别为，若的最小值为1，则椭圆的离心率为_______解析：设),(),,(),,(222211y x N y x M y x P --，2121221211,x x y y k x x y y k ++=--=，把M,N 代入方程作差得222122122212122121010))(())((ab k k b k k a b y y y y a x x x x -=⇒=+⇒=-++-+ 1212222121=⇒=≥+ab k k k k2.M 是以B A ,为焦点的双曲线222=-y x 右支上任一点，若点M 到点)1,3(C 与到点B 的距离之和为S ，则S 的取值范围是_______),2226[+∞- 解析：222622-=-≥+-=+a AC MC a MA MC MB3.设B A ,为双曲线)0(2222≠=-λλby a x 同一条渐近线上的两不同点，)0,1(=m ,6||,=AB 3||=m ，则双曲线的离心率为_______________2或332 解析：3||=m 21,cos >=<⇒m AB ，故3=a b 或3=ba4.有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为12,F F ，且它们在第一象限的交点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形．若110PF =，双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，则该椭圆的离心率的取值范围是 ______⎪⎭⎫⎝⎛52,31 解析：画图后，521103310252210221,22<<⇒<<⇒<-<1⇒<<=c c c c a c c PF )52,31(1512102∈+=+=cc c e5.已知曲线22:x y C =，点A (0,-2)及点B (3,a )，从点A 观察点B ，要使视线不被C 挡住，则实数a 的取值范围是．（－∞,10）解析：关键是用什么模型，设切点),(00y x ，则切线为)(4000x x x y y -=-，过点A (0,-2)，得切于点)2,1(，切线为)1(42-=-x y ，切线与直线x =3的交点为(3,10)，故a ＜10。

高中数学立体几何 15.精选高难度压轴填空题----立体几何

1. 已知四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面的射影恰好是底面菱形ABCD 的两对角线的交点，若3AB =，4PB =，则PA 长度的取值范围为 )5,7(解析：如图设x BO =，则216x PO -=， 229x AO -=，)3,0(,25.02∈-=x x PA2. 一个半径为1的小球在一个棱长为64的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是_______372解析：如图，当小球贴着底面和三个侧面运动时，它与底面的切点形成一个三角形，这个三角形和底面三角形之间的部分就是在底面上不能接触的部分，设小球同时与底面和左右两侧面都相切，O 为球心，与底面和右侧面切点分别为M,N ，平面OMN 与底面棱AB 交于点P ，显然OMN AB ⊥，则MPN ∠为二面角的平面角， 31cos =∠MPN ，则22tan =∠MPN ,由二倍角公式可求得22tan =∠OPM ,而1==ON OM ，故2=MP ,6=AP ,故四个面不能接触到面积=672])62()64[(43422=-⨯ 3. 在一个密封的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 )65,61(OM N PA BPOB解析：必须比如图的三棱锥体积大，然后小于剩余体积，否则根据对称性一样液面是三角形 4. 一个半径为2的球放在桌面上，桌面上的一点1A16,AA =21 解析：（单德林双球）设A1A2上切点为T ，AB2与球O则44442222++=+=+=b T B P B AB 而2212226B A AB += 22246b ++=5. 一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a 的正三角形，这样的两个多面体的内切球的半径之比是一个最简分数nm ，那么积mn 是______6 解析：正六面体内切球的球心就是底面正三角形的中心，它到各个侧面的距离就是内切球半径，可以直接求，也可以用体积法求；而正八面体也可以用两种方法求解6. 三位学友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选取了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口饮料杯，如图所示．盛满饮料后约定：先各自饮杯中饮料一半．设剩余饮料的高度从左到右依次为1h ，2h ，3h ，则它们的大小关系是．B 1A 2A 1B 21h 2h 3h解析：圆锥、圆柱是圆台的特例，故2h 介于1h ，3h 之间，结论是1h ＞2h ＞3h ．7. 如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点．现将AFD ∆沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ．在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t =，则t 的取值范围是．)1,21( 解析：过D 作AF DG ⊥于G ，则由三垂线定理知，在平面图形中K G D ,,三点共线，下面只需要研究平面图形中F 点与E ，C 分别重合情形即可.8. 在矩形ABCD 中，AB = 4，BC = 3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B –AC –D ，则折起后的BD =________5337 解析：注意在平面图形中应用余弦定理求线段长9. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以顶点A 为球心，332为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于_______635π 解析：（2007全国联赛）如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A 所在的三个面上，即面AA 1B 1B 、面ABCD 和面AA 1D 1D 上；另一类在不过顶点A 的三个面上，即面BB 1C 1C 、面CC 1D 1D 和面A 1B 1C 1D 1上。

填空题压轴题解析几何高考黄金系列之数学压轴题解析版

备战高考黄金30题系列之数学填空题压轴题【北京版】专题5 解析几何1．（2022·北京市第三十五中学高三阶段练习）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，乘坐出租车往往不能沿直线到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走.在平面直角坐标系中，定义()1212,d P Q x x y y =-+-为两点()11,P x y 、()22,Q x y 之间的“出租车距离”.给出下列四个结论：①若点()0,0O ，点()1,2A ，则(),3d O A =；②到点()0,0O 的“出租车距离”不超过1的点的集合所构成的平面图形面积是π； ③若点()1,2A ，点B 是抛物线2y x =上的动点，则(),d A B 的最小值是1； ④若点()1,2A ，点B 是圆221x y +=上的动点，则(),d A B 的最大值是32. 其中，所有正确结论的序号是______________. 【答案】①③④ 【解析】【分析】利用题中定义可判断①；作出平面区域并计算平面区域的面积可判断②；利用题中定义以及二次函数的性质可判断③；设点()cos ,sin B θθ，利用题中定义结合正弦型函数的有界性可判断④. 【详解】对于①，(),10203d O A =-+-=，①对；对于②，设点(),P x y 满足(),1d O P ≤，即1x y +≤.对于方程1x y +=，当0x ≥，0y ≥时，1x y +=；当0x ≤，0y ≥时，1x y -+=；当0x ≤，0y ≤时，1x y --=；当0x ≥，0y ≤时，1x y -=.作出集合(){},1x y x y +≤所表示的平面区域如下图中的阴影部分区域所表示：2的正方形，该区域的面积为222=，②错；对于③，设点(),B x y ，则()2,1212d A B x y y y =-+-=-+-，令()212f y y y =-+-.当1y ≤-时，()22213121324f y y y y y y ⎛⎫=-+-=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，当11y -<<时，()222113131231,244f y y y y y y ⎛⎫⎛⎤=-+-=--+=-++∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦；当12y ≤<时，()[)222131211,324f y y y y y y ⎛⎫=-+-=-+=-+∈ ⎪⎝⎭；当2y ≥时，()222113123324f y y y y y y ⎛⎫=-+-=+-=+-≥ ⎪⎝⎭.综上所述，(),1d A B ≥，③对；对于④，设点()cos ,sin B θθ，则()(),1cos 2sin 3sin cos 324d A B πθθθθθ⎛⎫=-+-=-+=+ ⎪⎝⎭，所以，(),d A B 的最大值是32，④对. 故答案为：①③④. 【点睛】关键点点睛：本题考查曲线中的新定义，在判断③时，要注意去绝对值，结合二次函数的基本性质求解；在判断④时，在涉及圆或椭圆上的点相关的最值问题时，可充分将点的坐标利用三角函数的形式表示，利用三角函数的有界性与三角恒等变换求解，简化计算.2．（2021·北京大兴区一模）已知曲线2221:+=W x y m ，4222:+=W x y m ，其中0m >．①当1m =时，曲线1W 与2W 有4个公共点；②当01m <<时，曲线1W 围成的区域面积大于曲线2W 围成的区域面积； ③1∃>m ，曲线1W 围成的区域面积等于2W 围成的区域面积；④0m ∀>，曲线1W 围成的区域内整点（即横、坐标均为整数的点）个数不少于曲线2W 围成的区域内整点个数．其中，所有正确结论的序号是________．【答案】①③④【分析】当1m =时，由2224x y x y +=+可解得交点坐标，即可判断①；当01m <<时，可知(),0,1x y ∈，当x 取同一个值时，2212y y <即可判断②；当1m 时，(),0,x y m ∈，当1W 与2W 的方程中x 取同一个大于1的数，可得2212y y >即可判断③；分别讨论当01m <≤和1m 时的整数点比较可判断④，进而可得正确答案．【解析】对于①：当1m =时，曲线2211:W x y +=， 4222:+=W x y m ，令2224x y x y +=+可得()2210x x -=，当0x =时，1y =±，当1x =±时，0y =，∴1W 与2W 有4个公共点分别为()0,1，()0,1-，()1,0，()1,0-，共4个，故①正确；对于②：当01m <<时，由1W 与2W 的方程可知(),0,1x y ∈，当x 取同一个值时，22211:W y m x =-，24222:W y m x =-，当01x <<时，24x x >，∴2212y y <，∴曲线1W 围成的区域面积小于曲线2W 围成的区域面积；故②不正确；对于③：当1m 时，(),0,x y m ∈，当1W 与2W 的方程中x 取同一个大于1的数，可得2212y y >，∴1∃>m ，曲线1W 围成的区域面积等于2W 围成的区域面积；故③正确；对于④：当01m <≤时，曲线1W 围成的区域内整点个数等于曲线2W 围成的区域内整点个数，当1m 时，x 取同一个大于1的数，可得2212y y >，此时曲线1W 围成的区域内整点个数较多，∴曲线1W 围成的区域内整点个数不少于曲线2W 围成的区域内整点个数，故④正确；故答案为：①③④．【名师点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是分情况讨论01m <≤和1m 时，当x 取同一个值时，两个曲线方程中y 的大小的比较，此类多采用数形结合的思想．3．（2022·北京丰台·高三期末）已知点(2,0)P 和圆22:36O x y +=上两个不同的点M ，N ，满足90MPN ∠=︒，Q 是弦MN 的中点，给出下列四个结论： ①||MP 的最小值是4； ②点Q 的轨迹是一个圆；③若点(5,3)A ，点(5,5)B ，则存在点Q ，使得90AQB ∠=︒； ④△MPN 面积的最大值是18+217 其中所有正确结论的序号是________．【答案】①②④ 【解析】【分析】①可以通过设出圆的参数方程，进行求解；②设出(),x y ，找到等量关系，建立方程，求出点Q 的轨迹方程，即可说明；③转化为两圆是否有交点，说明是否存在点Q ；④当,PM PN 斜率分别为1和-1时，且点P ，M 在y 轴左侧，此时△MPN 面积最大，求出最大值. 【详解】点M 在圆22:36O x y +=上，设()6cos ,6sin M θθ，则()()22||6cos 26sin 4024cos MP θθθ-+-cos 1θ=时，||MP 取得最小值，最小值为4，①正确；设点Q (),x y ，则由题意得：2222PQ QM OM OQ ==-，则()()2222236x y x y -+=-+，整理得：()22117x y -+=，所以点Q 的轨迹是一个圆，②正确；为以AB 为直径的圆，圆心为()5,4，半径为1，方程为：()()22541x y -+-=，下面判断此圆与点Q 的轨迹方程()22117x y -+=()425142171-+=>，两圆相离，故不存在点Q ，使得90AQB ∠=︒，③错误；当,PM PN 斜率分别为1和-1时，且点P ，M 在y 轴左侧，此时△MPN 为等腰直角三角形，面积最大，此时117PQ QM QN ===+()(2max 12117182172PMN S=⨯⨯=+④正确.故答案为：①②④ 【点睛】轨迹方程问题，一般处理思路，直接法，定义法，相关点法以及交轨法，要能结合题目特征选择合适的方法进行求解.4．（2022·北京·首都师范大学附属中学高三开学考试）数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为r 的小圆在一个半径为4r 的大圆内部，小圆沿着大圆的圆周滚动，小圆的圆周上任一点形成的轨迹即为星形线.如图，已知1r =，起始位置时大圆与小圆的交点为A （A 点为x 轴正半轴上的点），滚动过程中A 点形成的轨迹记为星形线C .有如下结论：① 曲线C 上任意两点间距离的最大值为8； ② 曲线:4D x y +=的周长大于曲线C 的周长； ③ 曲线C 与圆224x y +=有且仅有4个公共点. 其中正确的序号为________________. 【答案】①③ 【解析】【分析】由题意知星形线C 任意点(),x y 满足00cos sin x x y y θθ=+⎧⎨=+⎩，θ为参数，其中003,3x y -≤≤，即44x -≤≤，44y -≤≤，从而可判断①；分析曲线D 的图像，与星形线图像对比可知②；求出星形线与直线y x =的交点(2,2,2,2--，知曲线C 与圆相切，可判断③；【详解】由已知可知小圆与大圆是内切的关系，设小圆的圆心为()00,x y ，则小圆的圆心轨迹为以()0,0为圆心，半径为3的圆，即22009+=x y设星形线C 任意点(),x y ，则00cos sin x x y y θθ=+⎧⎨=+⎩，θ为参数，其中003,3x y-≤≤可知星形线C 任意点(),x y ，满足44x -≤≤，44y -≤≤对于①，星形线C 上左右两个端点()4,0，()4,0-或上下两个端点()0,4-，()0,4的距离最远，等于8，故①正确；对于②，曲线:4D x y +=为过点()4,0A ，()0,4B ，()4,0C -，()0,4D -的正方形，而星形线与坐标轴的交点也是这四个点，由两点之间线段最短，可知曲线:4D x y +=的周长小于曲线C 的周长，故②错误；对于③，星形线与直线y x =的交点为322223222x y ⎧=±⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即((2,2,2,2--()()22222+=与圆224x y +=的半径相等，所以曲线C 与圆相切，即有且仅有4个公共点，故③正确；故答案为：①③ 【点睛】关键点点睛：本题考查两个圆的内切关系求轨迹，解题的关键是理解星形线的定义，求出对应点满足的条件，再分析选项，考查学生的分析审题能力，属于难题.5．（2021北京海淀区·人大附中高三期中）椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上且同时满足： ①12F F P 是等腰三角形； ②12F F P 是钝角三角形；③线段12F F 为12F F P 的腰； ④椭圆C 上恰好有4个不同的点P ．则椭圆C 的离心率的取值范围是______．【答案】1213⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】由已知12F F P 是以12F F 为腰的等腰三角形，即点P 在以1F 为圆心，2c 为半径的圆上，结合圆与椭圆有两个交点，及12PF F ∠为钝角，结合余弦定理建立关于,a c 的不等式，解不等式即可求得结果．【解析】如图，根据椭圆的对称性知，点P 及关于x 轴，y 轴，原点对称的其它3点，即为椭圆C 满足条件的4个不同的点．根据题意可知12F F P 是以12F F ，1F P 为两腰的等腰三角形，故1122F F F P c ==，即点P 在以1F 为圆心，12F F 为半径的圆上，由题知以1F 为圆心，2c 为半径的圆与椭圆有两个交点，即可存在两个满足条件的等腰12F F P ，此时必有11F P AF >，即2c a c >-，即3a c <，∴离心率13e >；又12PF F ∠为钝角，则12os 0c PF F <∠，利用余弦定理知2221122||||||F P F F F P <+，即222(2)(2)(22)c c a c <+-，整理得2220c ac a +-<，两边同除以2a 得，2210e e +-<，解得：021e <<综上，可知椭圆C 的离心率的取值范围是1213e << 故答案为：1213⎛⎫ ⎪⎝⎭【名师点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的基本性质，及椭圆离心率的取值范围，解题关键是找到关于,a c 的不等关系，本题中12F F P 是以12F F 为腰的等腰三角形，结合圆与椭圆有两个交点，及12PF F ∠为钝角，建立关于,a c 的不等式，解不等式求得结果，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．6．（2021北京中关村中学高三月考）设Q 为平面直角坐标系xOy 中的点集，从Q 中的任意一点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，记点M 的横坐标的最大值与最小值之差为x (Q )，点N 的纵坐标的最大值与最小值之差为y (Q )．若Q 是边长为1的正方形，给出下列三个结论： ①x (Q )2②x (Q )+y (Q )的取值范围是2,22⎡⎣③x (Q )-y (Q )恒等于0．其中所有正确结论的序号是_________ 【答案】①②③．【分析】易得(),()x Q y Q 与正方形Q 的位置无关，故可以考虑将正方形确定在原点，再绕着原点旋转分析所有情况即可．【解析】如图由题易得(),()x Q y Q 与正方形Q 的位置无关，故将正方形ABCD 确定在原点，则只需考虑当正方形ABCD 2()()1x Q y Q ==．且{}()()max22x Q y Q αα==对①，()2x Q ⎡⎤∈⎣⎦，故①正确对②， ()()2()2x Q y Q x Q ⎡⎤+=∈⎣⎦，故②正确．对③，∵{}()()max22x Q y Q αα==，故()()0x Q y Q -=，故③正确．故答案为①②③ 【名师点睛】本题主要考查新定义的函数题型．利用数形结合的思想以及三角函数分析即可．7．（2021·北京顺义区·高三期末）已知椭圆22:1168x y C +=的左､右焦点分别为12,F F ，直线(44)x m m =-<<与椭圆C 相交于点A ，B ．给出下列三个命题：①存在唯一一个m ，使得12AF F △为等腰直角三角形； ②存在唯一一个m ，使得1ABF 为等腰直角三角形； ③存在m ，使1ABF 的周长最大．其中，所有真命题的序号为_________．【答案】①③ 【分析】首先根据题意得到4a =，22b c ==()122,0F -，()222,0F ，设(),A m y ，(),B m y -．对①，分类讨论12AF AF =，1290F AF ∠=，和1290AF F ∠=，以及2190AF F ∠=，即可判断①为真命题．对②，根据椭圆的对称性可知，11AF BF =，利用1122AF k m ==+，解方程即可判断②为假命题，对③，利用椭圆的定义即可判断③为真命题．【解析】由题知：4a =，22b c ==()122,0F -，()222,0F ，设(),A m y ，(),B m y -．对①，若12AF AF =，则0m =，此时(0,22A ．1221022AF k ==+，2221022AF k ==--，则121AF AF k k ⋅=-，∴1290F AF ∠=，满足12AF F △为等腰直角三角形．若1290AF F ∠=，则()22,2A -，此时12AF =，1242F F = 若2190AF F ∠=，则()22,2A ，此时22AF =，1242F F =∴存在唯一一个m ，使得12AF F △为等腰直角三角形，故①为真命题．对②，根据椭圆的对称性可知，11AF BF =，满足等腰三角形．当190AF B ∠=时，根据椭圆的对称性可知：直线1AF 的倾斜角为45，1122AF k m ==+，即2y m =+又∵221168m y +=，∴(222216m m ++=，解得0m =或823m =-，都在44m -<<内，故存在唯一一个m ，使得1ABF 为等腰直角三角形为假命题．对③，1ABF 的周长为11AB AF BF ++，又∵128AF AF =-，128BF BF =-， ∴()112216AF BF AF BF +=-+，即1ABF 的周长为()2216AB AF BF +-+，又∵22AF BF AB +≥，当且仅当22m =时取等号， ∴()22AF BF AB -+≤-，即1ABF 的周长为()22161616AB AF BF AB AB +-+≤+-=．当且仅当22m =时，1ABF 的周长最大．故③为真命题．故答案为：①③ 【名师点睛】关键点点睛：本题主要考查椭圆的定义，解决本题①的关键为分类讨论12AF AF =，1290FAF ∠=，和1290AF F ∠=，以及2190AF F ∠=，②的关键为代入椭圆的对称性，③的关键为椭圆的定义．8．（2021·北京东城区·高三期末）已知双曲线M ：22221x y a b-=（0a >，0b >），ABC 为等边三角形．若点A 在y 轴上，点B ，C 在双曲线M 上，且双曲线M 的实轴为ABC 的中位线，则双曲线M 的离心率为________． 2 【分析】可根据实轴为ABC 的中位线，得出BC ，再根据对称性及ABC 为等边三角形，表示出B 的坐标，代入双曲线方程，得到,a b 关系式求解离心率．【解析】实轴长为2a ，则4BC a =，BC 关于y 轴对称不妨设B 在双曲线左支，则其横坐标为2a ，根据ABC 为等边三角形，60ABC ∠=可得3B y a =- 故()2,3B a a -，()2,3C a a --，将B 的坐标代入双曲线方程有2222431a a a b-=，则a b =，则2c a = 故2e =2【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．9．（2021北京海淀区·人大附中高三期中）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦距等于其过焦点且与长轴垂直的弦长，则该椭圆的离心率为______．【答案】512【分析】作出图形，设过椭圆右焦点2F 且垂直于长轴的弦为AB ，计算出1AF ，再利用椭圆的定义可得出关于a 、c 的等式，进而可求得椭圆的离心率的值．【解析】如下图所示，设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，设过椭圆右焦点2F 且垂直于长轴的弦为AB ，则2AB c =，212AF AB c ==，由勾股定理可得2212125AF AF F F c =+=，由椭圆的定义可得122AF AF a +=52c c a +=，∴该椭圆的离心率为()()25151515151c e a -====++- 故答案为：512．【名师点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率．10．（2021北京模拟）能使得命题“曲线2221(0)9x y a a-=≠上存在四个点,,,A B C D 满足四边形ABCD 是正方形”为真命题的一个实数a 是__________．【答案】3a >或3a <-的任意实数，例如4【分析】由题意可设(,),(0,0)A m n m n >>，由对称性可得(,),(,),(,)B m n C m n D m n ----，可得m n =，代入曲线方程，由双曲线的范围，解不等式即可得到所求值．【解析】曲线()222109x y a a-=≠上存在四个点,,,A B C D 满足四边形ABCD 是正方形，可设(,),(0,0)A m n m n >>，由对称性可得(,),(,),(,)B m n C m n D m n ----，则AB AD =，即22m n =，即m n =，由曲线的方程可得2221(0)9x y a a -=≠，即2221(0)9m m a a -=≠有解，即有222999a m a =>-，可得290a ->，解得3a >或3a <-，故答案为：3a >或3a <-的任意实数，例如4．【名师点睛】本题考查双曲线方程和性质，主要是范围的运用，考查对称性和不等式的解法．11．（2021北京昌平区模拟）已知函数2()1f x x =+，直线:2l y ax =+与x 轴和y 轴分别交于点D ，B ，直线l 与函数()f x 的图象交于A ，C 两点（点C 在点B ，D 之间），给出下列四个结论： ①若点E 为y 轴上一点，则存在符合条件的点E 和实数a ，使得ABE 为等边三角形； ②记()AC r a DC =，则1{|y y r ∈=（a ）}；③记()AB h a BC=，则h （a ）的值域为(0,)+∞；④记{}{},(),max AB BC g a min AB BC =，则对任意的非零实数a ，都有()1()g a g a =-成立1({max x ，2}x 表示1x ，2x 中最大的数，1{min x ，2}x 表示1x ，2x 中最小的数）．其中正确结论的序号是__．【答案】①②④ 【分析】根据等边三角形性质判断①，联立方程组，当C 为AD 中点时，根据方程是否有解判断②，根据||AB 和||BC 的不等关系判断③，根据对称性判断④．【解析】解：直线2y ax =+与x 轴，y 轴均相交，0a ∴≠．对于①，当60ABy ∠=︒时，则当BE BA =时，ABE ∆为等边三角形，故①正确；对于②，联立方程组22{1y ax y x =+=+，消元可得：210x ax --=，解得2142a a x +=，2242a a x +=，若r （a ）1=，则AC DC =，即C 为AD 的中点，又2(D a-，0)， 222442a a a a a ++-+∴-+=244(0)33a a a a +=+>，2221684999a a a ∴+=++，即422740a a +-=，解得212a =，2a = 故当22a =时，AC DC =，1{|y y r ∴∈=（a ）}，故②正确；对于③，0a ≠，AB BC ∴≠，故h （a ）1AB BC=≠，故③错误；对于④，直线2y ax =+和直线2y ax =-+关于y 轴对称，且抛物线2()1f x x =+都关于y 轴对称，故g （a ）()g a =-，即()1()g a g a =-成立，故④正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查了直线与抛物线得位置关系，考查数学抽象与运算求解能力．12．（2021北京朝阳区·高三二模）颗粒物过滤效率η是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为out inout100%C C C η-=⨯，其中out C 表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：ind./L ），in C 表示经口罩过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量（单位：ind./L ）．某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了4次测试，测试结果如图所示．图中点ij A 的横坐标表示第i 种口罩第j 次测试时out C 的值，纵坐标表示第i 种口罩第j 次测试时in C 的值()1,2,1,2,3,4i j ==．该研究小组得到以下结论：①在第1种口罩的4次测试中，第4次测试时的颗粒物过滤效率最高； ②在第2种口罩的4次测试中，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高；③在每次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高；④在第3次和第4次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低．其中，所有正确结论的序号是__________．【答案】②④ 【分析】先根据题意分析得直线ij OA 的斜率inoutC k C =越大，颗粒物过滤效率η越小，再看图逐一分析结论即可．【解析】依题意，out in inout out 100%1100%C C CC C η⎛⎫-=⨯=-⨯ ⎪⎝⎭，知直线ij OA 的斜率in out C k C =越大，颗粒物过滤效率η越小．看图分析如下：在第1种口罩的4次测试中，四条直线1(1,2,3,4)j OA j =中，直线14OA 斜率最大，故η最小，第4次测试时的颗粒物过滤效率最低，则①错误；在第2种口罩的4次测试中，四条直线2(1,2,3,4)j OA j =中，直线23OA 斜率最小，故η最大，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高，则②正确；在第1次和第2次测试中，直线2j OA 斜率大于1j OA 斜率，(1,2)j =，即第1种口罩的颗粒物过滤效率高，在第3次和第4次测试中，1j OA 斜率大于直线2j OA ，斜率(1,2)j =，即第2种口罩的颗粒物过滤效率高，故③错误，④正确．故答案为：②④．13．（2021北京人大附中高三三模）在平面直角坐标系中，以双曲线22221x y a b-=，(0,0)a b >>的右焦点为圆心，以实半轴a 为半径的圆与其渐近线相交，则双曲线的离心率的取值范围是___________．【答案】2) 【分析】根据圆与直线相交，得到圆心到直线的距离小于半径，求得结果．【解析】根据题意有圆222()a c y x +=-与双曲线22221x y a b-=的渐近线相交，则有圆心(,0)c 到直线0bx ay -=的距离22bc d b a b a==<+，∴22221()c a b b e a a a+===+ ∵b a <，∴01ba<<， ∴21()2)b e a=+，故答案为：2)．【名师点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有双曲线的离心率的范围的求解，直线与圆相交的特征，属于简单题目．14．（2022·北京朝阳·一模）在平面直线坐标系xOy 中，设抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l ：)31y x -与抛物线C 交于点A ，且点A 在x 轴上方，过点A 作抛物线C 的切线与抛物线C 的准线交于点P ，与x 轴交于点H .给出下列四个结论： ① OFA 3 ②点H 的坐标是()3，； ③在x 轴上存在点Q 使0AQ PQ ⋅=；④以HF 为直径的圆与y 轴的负半轴交于点N ，则2AF FN =.其中所有正确结论的序号是___________. 【答案】①③④ 【解析】【分析】根据题意()1,0F ，进而联立方程得(3,3A ，再根据导数的几何意义求得过点(3,23A 与抛物线C 相切的切线方程为330x y -+=，进而结合题意，依次讨论求解即可. 【详解】解：根据题意()1,0F ，联立方程)2431y xy x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得231030x x -+=，解得1323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或33x y =⎧⎪⎨=⎪⎩因为点A 在x 轴上方，所以点(3,23A ，所以OFA 的面积是112332S =⨯⨯①正确；由于抛物线C 在x 轴上方对应的曲线方程为y x ='y x=所以过点(3,3A 与抛物线C 相切的切线斜率为33k ==，所以，过点(3,3A 与抛物线C 相切的切线方程为)333y x -=-，即330x +=，所以23P ⎛- ⎝⎭，()3,0-H ，故②错误；假设在x 轴上存在点()0,0Q x 使0AQ PQ ⋅=，则()003,23,1,23AQ x PQ x ⎛=--=+ ⎝⎭，所以()()003140AQ PQ x x ⋅=-++=，解得01x =，即存在点()1,0Q 使0AQ PQ ⋅=，故③正确；以HF 为直径的圆的方程为()2214x y ++=，令0x =得3y =y 轴的负半轴交于点(0,3N ，此时()(2,23,1,3AF FN =--=--，显然2AF FN =，故④正确. 故答案为：①③④15．（2021北京市延庆区模拟）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为4，则C 的焦距的最小值为______________．【答案】42【分析】∵2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，可得双曲线的渐近线方程是b y x a=±，与直线x a =联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得ED ，根据ODE 的面积为4，可得ab 值，根据2222c a b =+结合均值不等式，即可求得答案．【解析】2222:1(0,0)x y C a b a b-=>> ∴双曲线的渐近线方程是by x a=±，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩，即(,)D a b 联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩，即(,)E a b - ∴2ED b =； ∴ODE 面积为：1242ODESa b ab =⨯==；双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，∴其焦距为2222222842c a b ab =+≥==当且仅当2a b ==时，取等号；∴C 的焦距的最小值为42；故答案为：42【名师点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力． 16．（2021北京朝阳区模拟）在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点．若圆上存在一点C ，满足5344OC OA OB =+，则r 的值为________． 10 【解析】22225325539OC OA OB OA 2OA OB OB 44164416⎛⎫=+=+⋅⋅+ ⎪⎝⎭即222225159r r r cos AOB r 16816=+∠+，整理化简得cos ∠AOB ＝－35，过点O 作AB 的垂线交AB 于D ，则cos ∠AOB ＝2cos 2∠AOD －1＝－35，得cos 2∠AOD ＝15．又圆心到直线的距离为OD 22=，∴cos 2∠AOD ＝15＝22OD r＝22r ，∴r 2＝10，r 10．17．（2022·北京一七一中高三阶段练习）已知曲线C 的方程是22||||8x y x y x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，给出下列三个结论：①曲线C 与两坐标轴有公共点；②曲线C 既是中心对称图形，又是轴对称图形； ③若点P ，Q 在曲线C 上，则||PQ 的最大值是2 其中，所有正确结论的序号是___________. 【答案】②③ 【解析】【分析】对绝对值里面的正负分类讨论求出方程，作出图象，即可判定①错误，②正确，结合对称性判断③. 【详解】当0x >，0y >时，方程()()22118x y -+-=，当0x >，0y <时，方程()()22118x y -++=，当0x <，0y >时，方程()()22118x y ++-=，当0x <，0y <时，方程()()22118x y +++=，作出图象：由于0x ≠，0y ≠，所以①错误. 曲线C 既是中心对称，又是轴对称图形，对称中心为()0,0，对称轴为,x y 轴，②正确.点P ，Q 在曲线C 上，当且仅当P ，Q 与圆弧所在的圆心共线时取得最大值， ||PQ 的最大值为圆心距加两个半径62③正确.故答案为：②③18．（2021北京顺义区·牛栏山一中高三月考）已知直线l 与x 轴交于点Q ，与23πα=的终边（始边为x 轴正半轴）交于点P ，O 为坐标原，若P 点横坐标为1-，6OPQ π∠=，则直线l 的方程为________．3330x y +-= 【分析】由直线方程和P 点横坐标为1-，求得2OP =，进而得到(2,0)Q ，再根据斜率公式，求得直线的斜率，利用直线的点斜式方程，即可求解．【解析】由题意知，直线23πα=的终边，交于点P ，O 为坐标原，即23POQ π∠=，又由P 点横坐标为1-，可得(3)P -，∴2OP =，又∵6OPQ π∠=，则6PQO π∠=，∴2OQ =，即(2,0)Q ，又由6PQO π∠=，∴直线l 的斜率为53tan()tan663k πππ=-==-， ∴直线l 的方程为32)y x =-3330x y +-=， 33230x y +-=．【名师点睛】本题主要考查了直线方程的求解，其中解答中涉及到直线的极坐标系的应用，以及直线的点斜式方程的应用，着重考查了推理与计算能力．19．（2021北京人大附中高三期中）已知椭圆2212x y +=上存在相异两点关于直线y x t =+对称，请写出两个符合条件的实数t 的值______．【答案】0或12（答案不唯一在3333t -<<内任取两个实数）【分析】由对称性可知，线段AB 被直线y x t =+垂直平分，则AB 的中点M 在直线y x t =+上，且1AB k =-，设直线AB 的方程y x b =-+，联立直线AB 的方程和椭圆方程，由韦达定理表示中点M 的坐标，由相交于相异两点，可由判别式得到b 的取值范围，由M 在直线y x t =+上，用b 表示t ，则任取范围内两个实数即可．【解析】设2212x y +=上存在关于直线y x t =+对称的两点()()1122,,,A x y B x y 由对称性可知，线段AB 被直线y x t =+垂直平分，则AB 的中点()00,M x y 在直线y x t =+上，且1AB k =- 故可设直线AB 的方程为：y x b =-+联立方程：22223422012y x b x bx b x y =-+⎧⎪⇒-+-=⎨+=⎪⎩ 由韦达定理可知：()12121243223b x x by y b x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=-+=⎪⎩，即中点M 的坐标为2,33b b ⎛⎫⎪⎝⎭ 由()221612220b b =-->，得33b << ∵M 在直线y x t =+上，∴233333b t t b b t =+⇒=-⇒<<任取0t =或12（答案不唯一，在33t <<内的任意两个实数均可）【名师点睛】本题考查直线与椭圆位置关系的综合应用，涉及对称性的性质，属于难题．20．（2021北京清华附中高三期中）在平面直角坐标系中，关于曲线2321y x x =-+，下列说法中正确的有________．①该曲线是有界的（即存在实数,,a b 使得对于曲线上任意一点(),A x y ，都有x a ≤，||y b ≤成立）； ②该曲线不是中心对称图形； ③该曲线是轴对称图形；④直线()0x m m =>与该曲线至少有1个公共点．【答案】②③【分析】①分析2321y x x =-+中x 的取值范围并进行判断；②根据x 的取值范围进行分析；③将方程中y变为y -进行分析；④根据x 的取值范围作出判断．【解析】①∵2321y x x =-+中3210x x -+≥，∴()()2110x x x +--≥，解得：[)51511,x ⎡+-∈+∞⎢⎣⎦，∴x a ≤不恒成立，故错误；②假设曲线是中心对称图形，∵[)5151,1,22x ⎡⎤∈-+∞⎢⎥⎣⎦，∴取一点()00,P x y ，当0x →+∞，此时点()00,P x y 的对称点的横坐标x →-∞，不符合[)5151,1,22x ⎡⎤∈-+∞⎢⎥⎣⎦，∴假设错误，故正确；③将方程2321y x x =-+中的y 变为y -时，方程变为()2321y x x -=-+与原方程相同，∴曲线关于x 轴对称，故正确；④∵[)51511,x ⎡+-∈+∞⎢⎣⎦，∴当51m ⎫-∈⎪⎪⎝⎭时，直线()0x m m =>与该曲线无交点，故错误，故答案为：②③．【名师点睛】结论点睛：曲线的对称性有如下常见结论：（1）将方程中的x 换成x -，若方程不变，则曲线关于y 轴对称；（2）将方程中的y 换成y -，若方程不变，则曲线关于x 轴对称；（3）将方程中的的x 换成x -，y 换成y -，若方程不变，则曲线关于原点对称；（4）将方程中的的x 换成y ，y 换成x ，若方程不变，则曲线关于y x =对称；（5）将方程中的的x 换成y -，y 换成x -，若方程不变，则曲线关于y x =-对称．21．（2021中央民族大学附属中学高三一模（文））已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，O 为坐标原点，点4,2p M ⎛⎫-⎪⎝⎭，1,2p N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，射线MO ，NO 分别交抛物线C 于异于点O 的点A ，B ，若A ，B ，F 三点共线，则p =__________．【答案】2 【解析】分析：求出,OM ON 所在的直线方程，与抛物线的方程联立，分别求出,A B 的坐标，再由24A B px x =，即可求解p 的值．详解：由题意(4,),(1,)22p p M N ---，则直线OM 的方程为8p y x =-，联立方程组282p y x x py ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得24A p x =-，直线OM 的方程为2p y x =，联立方程组222p y x x py⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得2B x p =，又由,,A B F 三点共线，∴24A B p x x =，即22244p p p -⨯=，解得2p =．点睛：本题考查了抛物线的几何性质及直线和抛物线的位置关系，解答此类问题通常需要熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解，同时涉及中点弦问题往往利用点差法．22．（2021·北京平谷区·高三期末）“曲线3y k x =+与圆22450x y x +--=有且仅有三个公共点”的充要条件是_________________．【答案】125k =- 【分析】圆的方程化为标准形式找出圆心和半径，画出图形，结合图形分析有且仅有三个公共点的情况，利用点到直线的距离公式可得答案．【解析】由22450x y x +--=得()2229x y -+=，圆心为(2,0)，半径为3，3y k x =+与y 轴的交点为(0,3)，圆的最高点为(2,3)，由图知，曲线3y k x =+与圆()2229x y -+=要有且仅有三个公共点，0k <，且在0x >时3y kx =+的部分与圆相交， 3y k x =+在0x ≤时3y kx =-+与圆相切，22331k k -=+，解得125k =-或0k =，当0k =时，3y =与圆相切不符合题意舍去，当125k =-时，1235y x =-+，由于0x >，∴1235y x =-+，圆心到1235y x =-+21223953131215⨯-=<⎛⎫+ ⎪⎝⎭，综上所述125k =-．故答案为：125k =-．【名师点睛】本题关键点是结合图形分析有且仅有三个公共点的情况，考查了学生分析问题、解决问题的能力及数形结合的思想．23．（2021·北京人大附中高三期末）已知直线1:43120l x y -+=和直线2:1l x =-，则抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 距离之和的最小值是________．【答案】165【分析】作出图像，根据抛物线定义和性质将距离之和转化为动点P到直线1l 和焦点距离之和最小值，数形结合得焦。

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1. 已知椭圆),0(12222>>=+b a by a x N M ,是椭圆上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点，且直线PN PM ,的斜率分别为)0(,2121≠k k k k ，若21k k +的最小值为1，则椭圆的离心率为_______23解析：设),(),,(),,(222211y x N y x M y x P --，2121221211,x x y y k x x y y k ++=--=，把M,N 代入方程作差得222122122212122121010))(())((ab k k b k k a b y y y y a x x x x -=⇒=+⇒=-++-+ 1212222121=⇒=≥+ab k k k k2. M 是以B A ,为焦点的双曲线222=-y x 右支上任一点，若点M 到点)1,3(C 与到点B 的距离之和为S ，则S 的取值范围是_______),2226[+∞- 解析：222622-=-≥+-=+a AC MC a MA MC MB3. 设B A ,为双曲线)0(2222≠=-λλby a x 同一条渐近线上的两不同点，)0,1(=m ,6||,=AB 3=，则双曲线的离心率为_______________2或332 3=21,cos >=<⇒m AB ，故3=a b 或3=ba4. 有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为12,F F ，且它们在第一象限的交点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形．若110PF =，双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，则该椭圆的离心率的取值范围是 ______⎪⎭⎫⎝⎛52,31 解析：画图后，521103310252210221,22<<⇒<<⇒<-<1⇒<<=c c c c a c c PF)52,31(1512102∈+=+=cc c e5. 已知曲线22:x y C =，点A (0,-2)及点B (3,a )，从点A 观察点B ，要使视线不被C 挡住，则实数a 的取值范围是．（－∞,10）解析：关键是用什么模型，设切点),(00y x ，则切线为)(4000x x x y y -=-，过点A (0,-2)，得切于点)2,1(，切线为)1(42-=-x y ，切线与直线x =3的交点为(3,10)，故a ＜10。

6. 若椭圆1C ：1212212=+b y a x （011>>b a ）和椭圆2C ：1222222=+b y a x （022>>b a ）的焦点相同且12a a >.给出如下四个结论：①椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点； ②1122a b a b >； ③22212221b b a a -=-； ④1212a a b b -<-.其中，所有正确结论的序号是．①③④解析：22222121b a b a -=-，从而③22212221b b a a -=-成立，关键之一：1a ＞2a ，由上得1b ＞2b ，从而①成立；②不成立；关键之二：22222121b a b a -=-→))(())((22221111b a b a b a b a -+=-+→11b a -＜22b a -，从而④成立；（也可令c =1的特值法）7. 设直线l ：m kx y +=（其中m k ,为整数），与椭圆1121622=+y x 交于不同两点B A ,，与双曲线112422=-y x 交于不同两点D C ,，使向量=+，符合上述条件的直线共有__________条9解析：设),(),,(),,(),,(44332211y x D y x C y x B y x A ，⇒+=+4321x x x x03234822=⇒-=+-k kkm k km 或0=m 或34)3(422--=-k k 无整数解当0=k 时，0,1,2,33232±±±=⇒<<-m m 共7组解当0=m 时，0,1±=k ，而)0,0(与上面重复，故有2组解这样共有9组解8. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作圆：2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若1()2OE OF OP =+，则双曲线的离心率为．210 解析：OE 是中位线,a PF =',a PF 3=，在'PFF Rt ∆中，利用勾股定理即可9. 有如下结论：“圆222r y x =+上一点),(00y x P 处的切线方程为200r y y y x =+”，类比也有结论：“椭圆),()0(1002222y x P b a by a x 上一点>>=+处的切线方程为12020=+by y a x x ”，过椭圆C ：2212x y +=的右准线l 上任意一点M 引椭圆C 的两条切线，切点为 A 、B.直线AB 恒过一定点（1,0）解析：实际上与圆类似，过椭圆外一点),(00y x P 作两条切线的方程也是12020=+byy a x x ，（证明如下：设两切线的切点分别是),(),,(2211y x y x ，则切线分别是12121=+byy a x x 和 12222=+byy a x x ，把点),(00y x P 代入，显然),(),,(2211y x y x 都满足方程12020=+b y y a x x ，这就是切点弦方程）10. 在直角坐标系中，若与点)2,2(A 的距离为1且与点)0,(m B 的距离为3的直线恰有两条，则实数m 的取值范围为_______________)322,2()2,322(+⋃-解析：即以A 为圆心半径为1的圆与以B 为圆心半径为3的圆恰有两条公切线，故它们是相交的位置关系，利用r R AB r R +<<-求解11. 已知实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0=++c by ax 上的射影为M ，点)1,2(N ，则线段MN 长的取值范围是____________．]23,2[解析：由c a b +=2知0=++c by ax 过定点)2,1(-Q ，而P 在0=++c by ax 上射影为M ，则090=∠PMQ ，点M 在以PQ 为直径的圆上，其圆心)1,0(-C ，半径为212. 设22)22()(),(yx y x y x F ++-=，对于一切R y x ∈,，0≠y ),(y x F 的最小值为___516 解析：即为两点)2,(),2,(y y x x -距离的平方，它们分别在曲线xy x y 2,2-==上运动，画图后转化为双曲线与2x y =平行的切线与2xy =的距离 13. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (−3，0)，B (1，−1)，C (0，3)，D (−1，3)及一个动点P ，则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为_________5223+解析：（2007全国联赛）如图，设AC 与BD 交于F 点，则|PA |+|PC |≥|AC |=|FA |+|FC |，|PB |+|PD |≥|BD |=|FB |+|FD |，因此，当动点P 与F 点重合时，|PA |+|PB |+|PC |+|PD |取到最小值5223||||+=+BD AC 。

14. 在平面直角坐标系中，定义2121),(y y x x Q P d -+-=为两点),(),,(2211y x Q y x P 之间的“折线距离”，则坐标原点O 与直线0522=-+y x 上一点的“折线距离”的最小值是_________；圆122=+y x 上一点与直线0522=-+y x 上一点的“折线距离”的最小值是________5;25 解析：（1）代数方法，直接设),sin ,(cos αα直线上点设为)252,(x x -，即求ααsin 252cos --+-x x 最小值，这里有两个独立变量，先把x 看成变量，对x分段讨论，求最小值，然后再把α看成变量求最小值；（2）几何法，固定圆上一点，对于直线上动点，如果向上移动，则横坐标每减少一个单位，纵坐标就增加2个单位，反之，向下移动，横坐标每增加1个单位，纵坐标就减少2个单位，过此点作x 轴平行线，当再向下移动时，横坐标绝对值增加1，纵坐标绝对值就增加2，综上，当过此点平行于x 轴时最小，然后采用代数方法求解.A15. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ，点(0,)P p 在线段AO 上的一点（异于端点），这里p c b a ,,,均为非零实数，设直线CP BP ,分别与边AB AC ,交于点F E ,，某同学已正确求得直线OE 的方程为01111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y a p x c b ，请你完成直线OF 的方程： ( )011=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+y a p x 。

解析：2008江苏高考，本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填11c b-．事实上，由截距式可得直线AB ：1x y b a +=，直线CP ：1x y c p += ，两式相减得11110x y b c p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．16. 已知直线:60l x y +-=和圆M ：222220x y x y +---=，点A 在直线l 上，若直线AC 与圆M 至少有一个公共点Ｃ，且30MAC ∠=，则点A 的横坐标的取值范围是_______[1,5]解析：圆M ：4)1()1(22=-+-y x 如图，当AC 与圆M 相切于点C 时，只需要030≥∠MAC 即可，即21≥MA MC ，设)6,(x x A -，解不等式即可.MAC。