数学分析(I)

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数学分析_I_试题(1)doc - 扬州大学

姓名
线
学号
班
扬州大学 20 —20 学年度第学期
《数学分析 1》期末考试试卷（试卷编号： 01）
（闭卷 120 分钟）
题号一二三四五六七八总分复核
应得分 20 20 20 20 5
5
5
5
实得分
阅卷人
一.判断题（每小题 2 分,共 20 分）
1．设 A，B 为非空数集， S = A ∪ B ，则 sup S = max{sup A,sup B}
F(x) = f (x) 在 (0, +∞) 递增.（5 分）
x
八．若函数 f 在闭区间[a,b]上连续，则 f 在[a,b] 上有最大最小值.（5 分）
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姓名
线
学号
班
扬州大学 20 —20 学年度第学期
5．若
f(x)无界，则存在 { xn }
⊂
D(
f
) ，使得
lim
n→+∞
f
(xn )
=
∞
1
6． lim (1+ x)x = e x→+∞
7．若
lim(
n→∞
xn
−
yn
)
=
0
，
则
lim
n→∞
xn
=
lim
n→∞
yn
8．若
f
′
+
(
x0
),
f−′(x0 )
均存在，则
f
′( x0 )
存在
9． f (x) = x −[x] 是周期为 1 的周期函数

俄罗斯高等数学教材介绍

俄罗斯高等数学教材介绍在数学教育领域，俄罗斯素以其严谨的教学方法和优质的教材而闻名。

俄罗斯高等数学教材在国际上也享有很高的声誉，本文将介绍一些著名的俄罗斯高等数学教材，以及它们在数学学习中的重要性。

1. 《高等数学》(V. Smirnov)这本教材是俄罗斯最经典的高等数学教材之一。

它内容广泛，思路清晰，注重理论与实践的结合。

《高等数学》详尽地讲解了微积分、代数、几何和数学分析等领域的重要内容。

其深入浅出的解释和丰富的例题，可以帮助学生更好地理解数学原理和解题方法。

2. 《数学分析》(I. Petrovsky)这本教材被广泛应用于俄罗斯的大学教育中。

它深入而全面地介绍了数学分析的基本概念和理论，涵盖了极限、导数、积分、级数等关键内容。

《数学分析》强调数学思维的培养和问题解决能力的提升，通过严谨的推理和论证，培养学生的数学逻辑思维和分析问题的能力。

3. 《微积分学教程》(N. Krylov)这本教材被许多俄罗斯大学的工程和科学专业引用。

《微积分学教程》系统地介绍了微积分的基本概念、性质和应用。

它讲解了导数、微分方程、定积分等重要知识，让学生能够理解微积分的原理和应用，培养他们的问题解决能力和工程实践技巧。

4. 《线性代数与解析几何》(A. Skorobogatov)这本教材适用于线性代数和解析几何的学习。

它详细介绍了向量、矩阵、线性空间和线性变换等内容，并结合几何学概念进行讲解。

《线性代数与解析几何》注重理论与实践的应用，通过大量的例题和实例，巩固学生对线性代数和几何学的理解和应用能力。

这些俄罗斯高等数学教材以其独特的教学风格和严谨的内容，对数学学习起到了重要的推动作用。

它们注重理论与实践相结合，帮助学生理解数学原理和方法的同时，注重培养学生的问题解决能力和数学思维。

这些教材在俄罗斯国内外享有很高的声誉，并且被广泛采用。

总而言之，俄罗斯高等数学教材以其深入浅出的讲解和严谨的推理，为数学学习者提供了优质的学习资源。

数学分析与习题课教学大纲

《数学分析I》课程教学大纲（本课程周课时数为5，共85课时，此外每周还有2课时的习题课）课程编号：MAAB1101课程类别：大类基础课授课对象：数学与应用数学基地、数学与应用数学师范、信息与计算科学、统计专业开课学期：秋季，第1学期学分：5学分指定教材：1、华东师范大学数学系，《数学分析（下）》（第三版），高等教育出版社，2003年2、谢惠民，《数学分析讲义》（第一册），自编一、教学目的数学分析课程是是数学专业最重要的基础课，对学生数学思想的形成，后继课程的学习都有着重要的意义。

课程的其特点是：学习时间的跨度很大，一般是三个学期，内容极为丰富。

《数学分析I》课程是基础，其基本的内容为极限和连续理论、一元微分学。

课程的教学目的是通过系统的数学训练，使学生进一步提高数学修养，特别是分析的修养，积累从事进一步学习所需要的数学知识，掌握数学的基本思想方法，最终使学生的数学思维能力得到根本的提高。

二、课程内容第一章、引论（5 课时）1. 集合；2. 实数的连续性实数的一些描述方法。

3. 数集与确界确界的描述、确界原理及其应用；4. 逻辑记号的对偶法则逻辑记号的对偶法则；用逻辑记号叙述否命题；5. 常用不等式三角不等式、Bernoulli不等式、平均值不等式、Cauchy不等式。

.第二章、数列极限（20课时）1. 数列极限的定义数列极限的ε－N语言和邻域语言。

2. 数列极限的计算适当放大法；发散数列；一些重要例子；Cauchy命题和Stolz定理。

3. 单调数列的极限单调有界定理、闭区间套定理及其应用；4. Cauchy收敛准则用Cauchy收敛准则描述极限存在和不存在；5. 子列及其应用.子列的概念、它与收敛发散的关系及其应用。

第三章、映射与函数（2课时）1.映射；2. 一元实函数；3. 函数的几何特性草图的画法（如两个函数和的草图等）；有界函数、单调函数、反函数、奇偶函数和周期函数的特性。

第四章、函数极限与连续性（10课时）1. 函数极限的定义与性质,函数极限的定义、性质和几个重要的函数极限；三种存在性条件（Heine归结原则；单调有界函数的收敛定理；Cauchy准则），能有选择地应用。

第15讲泰劳公式2009

第15讲泰勒公式讲授内容一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式由微分概念知：f 在点0x 可导，则有 ).())(()()(0000x x x x x f x f x f -+-'+=ο即在点0x 附近，用一次多项式))(()(000x x x f x f -'+逼近函数)(x f 时，其误差为(0x x -)的高阶无穷小量．然而在很多场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为n x x ))((0-ο，其中n 为多项式的次数．为此，我们考察任一n 次多项式.)()()()(0202010nn n x x a x x a x x a a x p -++-+-+= (1)逐次求它在点0x 处的各阶导数，得到 00)(a x p n =，10)(a x p n ='，20!2)(a x p n =''，n n na n x p !)(,0)(= ，即 .!)(,!2)(,!1)(),(0)(020100n x p a x p a x p a x p a n n n n n n =''='== 由此可见，多项式)(x p n 的各项系数由其在点0x 的各阶导数值所唯一确定．对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数．由这些导数构造一个n 次多项式n n n x x n x f x x x f x x x f x f x T )(!)()(!2)()(!1)()()(00)(200000-++-''+-'+= （2）称为函数f 在点0x 处的泰勒(Taylor)多项式，)(x T n 的各项系数=k k x f k (!)(0)(1，2，…，n )称为泰勒系数．由上面对多项式系数的讨论，易知)(x f 与其泰勒多项式)(x T n 在点0x 有相同的函数值和相同的直至n 阶导数值，即.,,2,1,0),()(0)(0)(n k x T x fk n k == （3）下面将要证明))(()()(0n n x x x T x f -=-ο，即以(2)式所示的泰勒多项式逼近)(x f 时，其误差为关于n x x )(0-的高阶无穷小量．定理6．8 若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有+=)()(x T x f n 即),)((0n x x -ο).)(()(!)()(!2)())(()()(000)(200000n n n x x x x n x f x x x f x x x f x f x f -+-+-''+-'+=ο （4）证：设 n R (,)()(),()()0n n n x x x Q x T x f x -=-=现在只要证 .0)()(lim0=→x Q x R nn x x 由关系式(3)可知，0)()()(0)(0'0===x R x R x R n n n n ，并易知!.)(,0)()()(0)(0)1(0'0n x Q x Q x Q x Q n n n n n n =====-因为)(0)(x fn 存在，所以在点0x 的某邻域U(0x )内f 存在n —1阶导函数)(x f ．于是，当)(0x U x ∈且0x x →时，允许接连使用洛必达法则n —1次，得到.0)]()()([lim !1)(2)1())(()()(lim )()(lim )()(lim )()(lim 0)(00)1()1(000)(0)1()1()1()1(''0000=---=-----====--→--→--→→→x f x x x f x f n x x n n x x x f x f x f x Q x R x Q x R x Q x R n n n x x n n n x x n nn n x x n n x x n x x定理所证的(4)式称为函数f 在点0x 处的泰勒公式，)()()(x T x f x R n n -=称为泰勒公式的余项，形如))((0n x x -ο的余项称为佩亚诺(Peano)型余项．所以(4)式又称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式．注1 若)(x f 在点0x 附近满足),)(()()(0nn x x x p x f -+=ο （5）注2 满足(5)式要求(即带有佩亚诺型误差)的n 次逼近多项式)(x p n 是唯一的．以后用得较多的是泰勒公式(4)在00=x 时的特殊形式：n k x k x f xx f x x f k k k ,,2,1,)1()!1()1()(,,11)()1ln()(1)(' =+--=+=+=--).(!)0(!2)0()0()0()()(2n nn x x n f x f x f f x f ο+++''+'+= （6）它也称为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林(Maclaurin)公式．例1 验证下列函数的麦克劳林公式：)1( );(!!212n n xx n x x x e ο+++++= (2) );()!12()1(!5!3sin 212153m m m x m x x x x x ο+--+++-=-- )3( ;)()!2()1(!4!21cos 12242++-+++-=m m m x m x x x x ο (4) )()1(32)1ln(132n nn x nx x x x x ο+-+++-=+- ； )5( );(!)1()1(!2)1(1)1(2n n x x n n x x x οααααααα++--++-++=+(6))(1112n n x x x x xο+++++=- ．证：这里只验证其中两个公式，其余请读者自行证明．(2) 设x x f sin )(=，由于)2sin()()(πk x x f k +=，因此.,2,1,)1()0(,0)0(1)12()2(n k f f k k k =-==-- 代人公式(6)，便得到x sin 的麦克劳林公式．由于这里有)()(212x T x T m m =-，因此公式中的余项可以写作)(12-m x ο，也可以写作)(2m x ο)．关于公式3)中的余项可作同样说明．)4(设因此 .,,2,1,)!1()1()0(1)(n k k f k k =--=-代人公式(6)，便得)1ln(x +的麦克劳林公式例2 写出22)(x ex f -=的麦克劳林公式，并求)0()98(f与)0()99(f ．解：用)2(2x-替换公式1)中的x ，便得).(!2)1(!22212224222n n n nx x n x x x e ο+⋅-+⋅+-=-根据定理6．8注2，知道上式即为所求的麦克劳林公式．由泰勒公式系数的定义，在上述)(x f 的麦克劳林公式中，98x 与99x 的系数分别为.0)0(!991,!4921)1()0(!981)99(4949)98(=⋅-=f f 由此得到.0)0(,!492!98)0()99(49)98(=⋅-=f f 例3 求x ln 在2=x 处的泰勒公式．解：由于),221ln(2ln )]2(2ln[ln -++=-+=x x x 因此 ).)2(()2(21)1()2(221)2(212ln ln 122nn nn x x n x x x -+-⋅-++-⋅--+=-ο例 4 求极限4202cos limx e x x x -→-.解：本题可用洛必达法则求解(较繁琐)，在这里可应用泰勒公式求解．考虑到极限式的分母为4x ，我们用麦克劳林公式表示极限的分子(取4=n ，并利用例2)：),(821 ),(2421cos 54225422x x x ex xx x x οο++-=++-=-).(12cos 5422x x ex x ο+-=--因而求得.121)(121lim cos lim 45404202-=+-=-→-→xx x x e x x x x ο 二、带有拉格朗日型余项的泰勒公式上面我们从微分近似出发，推广得到用n 次多项式逼近函数的泰勒公式（4）。

i数学含义

i数学含义
i数学是指复数，也就是具有虚数和实数部分的数。

这是数学中虚数概念开发的一种形式，它含有一种新的数量概念，即虚数，这种数量的含义是与实数和复数完全不同的。

复数可以分解成实部和虚部，这两个部分具有不同的性质，实部是实数，可以用来描述物体的形状及各种性质，而虚部则可以用来描述物体的运动。

它们可以被用来表示不同的实际物体，如圆柱体、锥形等，复数的概念在几何学中有着一种重要的作用。

i数学的发展还是从费马把一个复数的形式提出来，也就是i，
我们称之为虚数，它的特点是它可以像实数一样进行加减乘除的运算，可以进行复数之间的比较，并且比较的结果是实数。

但是要注意的是，在这里所乘的i只是一种符号，它本身不能被乘以任何实数，因为它没有实际意义。

i数学主要应用在数学分析和复数函数，它对描述实际物体有重要的作用，这些物体的变化可以描述为复数。

i数学也在很多其它领域中被用到，如数学建模，机器学习，信号处理，图像处理，动力学，控制系统，电路设计等。

它的应用使得许多非线性的系统或者是多元的系统的解决得以简化，给解决实际问题带来了许多便利。

总体来说，i数学是一种重要的概念，它的发展让实际问题的求解变得更加容易，从而更好地指导人们把理论转化为实际应用。

因此，i数学是实际应用中不可或缺的一部分，它在当今社会中发挥着重要的作用。

数学分析I,II,III

中国海洋大学本科生课程大纲课程属性：学科基础课程性质：必修一、课程介绍1.课程描述：数学分析是以极限为工具研究函数的学科，是数学专业的一门重要基础课，共分三个学期讲授。

数学分析针对数学类专业一、二年级学生开设，它一方面为后继课程提供所需的基础知识，同时又为培养学生利用数学工具进行独立工作的能力提供必需的训练。

学生学好这门课程的基本内容和方法，对后继课程的学习具有关键性的作用。

通过本课程的学习，要求学生掌握一元函数微积分学、多元函数微积分学与级数理论中的基本概念、基本理论和基本运算，并培养学生对数学问题的思维能力、论证能力、运算技能和独立分析、解决问题的能力。

本课程主要内容包括：数学分析I——函数、极限和连续、实数基本定理、导数与微分、微分学基本定理及应用、不定积分。

数学分析II——定积分、定积分的应用和近似计算、数项级数、广义积分、函数项级数、幂级数、Fourier级数和Fourier变换、多元函数的极限与连续。

数学分析III——多元函数的偏导数和全微分，极值和条件极值，隐函数存在定理，含参量的积分和含参量的反常积分，多元函数各种积分的定义、性质和运算，场论初步。

2.设计思路：本课程是专业基础课，为数学专业一二年级新生设置，教学历时3个学期，教学内- 9 -容为学生专业发展的后继学习奠定必要的理论基础。

课程内容的选取基于该课程作为分析类课程的基础性地位。

课程内容主要包括三大模块：单变量微积分学、多变量微积分学、级数理论；三大模块相互联系，体现了数学分析研究的基本内容和方法。

单变量微积分学是数学分析中最基础的部分，内容是研究函数的微分、积分及其应用，重用极限与连续的工具。

主要包括函数、极限和连续、实数基本定理、导数与微分、微分学基本定理及应用、不定积分、定积分、定积分的应用和近似计算、广义积分。

多变量微积分学是在单变量微积分学的基础上，将研究的一元函数推广为更为广泛的多元函数上去。

内容包括多元函数的极限与连续、多元函数的偏导数和全微分、极值和条件极值、隐函数存在定理、含参量的积分和含参量的反常积分、多元函数各种积分的定义、性质和运算、场论初步。

数学分析戴斌祥答案

数学分析戴斌祥答案第一章实数集与函数
S1实数
1、设a为有理数，x为无理数，试证明：
(I)a+x是无理数.
(2)当a≠0时，ax是无理数.
证：(I)假设a+x是有理数，则(a+x)-a=x是有理数，这与题设x为无理数相矛盾，故a+x是无理数.
(②)假设ax是有理数，则匹=x为有理数，这与题设x为无理数相矛盾a故r是无理数.
1、试在数轴上表示出下列不等式的解：
x(x²-1)>0; (2)||(3)
2、设a、b∈R.证明：若对任何正数&有a-<6,则a=b.
证：用反证法.倘若结论不成立，则根据实数集有序性，有a>b 或a<b:
若a>b,则又由绝对值定义知：a-b=a-b.
令6=a-b,则c为正数，但这与a-b=a-b<6矛盾：
若a<b,则又由绝对值定义知：a-=b-a.
令e=b-a,则e为正数，但这与a-b=b-a<6矛盾：
从而必有a=b.
3、设0，证+补2，并说明其中等号何时成立。

证：因x与1/x同号，从而+到-+日22问旧=2.
等号当且仅当时-日即x=士1时成立.
4、证明:对任何xER,有(1) |x-1+x-221; (2)|x-i|+|x-2|+|x-3|≥2,（2)因为2-|x-3sx-1|sx-1+1x-2,所以x-1+x-2+1x-322
5、5、设a、b、ceR*(R*表示全体正实数的集合),证明:Va+b-va+sb-d 深:对任意的正实数a、b、c有2abcSa(b+c),两端同时加a+bc2,有a+bc+2abcsabdc+b即(a +bc)2 <(a +b2)(a2 +c)。

数学分析1

第1章集合与映射 █ █1《数学分析Ⅰ》第1讲教学内容：数学分析总概第1章集合与映射一、数学分析总概牛顿（Newton.I 1642-1727）英国数学物理学家，在1665－1666年间发表著名公式()()()baf x dx F b F a =-⎰。

莱布尼兹（Leibniz.G.W 1646-1716）德国数学家，在1673－1676年间发表著名公式()()()b af x dx F b F a =-⎰。

二、集合 §1.1集合概念：一些事物所汇聚的总体通常称为一个集合，总体中的每一个成员，叫做该集合的元素。

一般用大写英文字母表示集合，小写英文字母表示集合中的元素，例如：,,...A B C 通常表示集合；,,...,...a b c x y 等表示集合中的元素。

－自然数集；－整数集；－有理数集；－实数集； {|0}x x +==>▇ ▇ 数学分析2有限集可列集无限极空集子集 ∙集合的运算：（1）并集：A B{|A B x x A =∈ 或}x B ∈见(图1-1)（2）交集：A B{|A B x x A =∈ 且}x B ∈见(图1-2)（3）差集：A B -{|A B x x A -=∈且}x B ∉见(图1-3)（4）设 A X ⊂，即A 为X 的子集，补集：CA X A =-称为A 的补集。

见(图1-4)（5）无限并：设12,,...,...n A A A 是一列集合，定义1{|,}nn n x n x A ∞=A=∃∈∈（6）无限交：设12,,...,...n A A A 是一列集合，定义1{|,}nn n Ax n x A ∞==∀∈∈设Γ是任意的一个非空集合（拓扑集），α∀∈Γ，对应有集合A α， {:}A αα∈Γ称为集合族，无论Γ是有限集、可列集、还是不可列集（不可数集），都可定义（1）不可数并：{|,}A x x A αααα∈Γ=∃∈Γ∈ （2）不可数交：{|,}A x x A αααα∈Γ=∀∈Γ∈第1章集合与映射 █ █3命题1.1 设{ A α：α∈Γ}中每一个集合都是某个大集合X 的子集，记 A C＝X －A ，其中A ⊂X ，则（3） ()c αα∈ΓA ＝c αα∈ΓA （4）()c αα∈ΓA ＝c αα∈ΓA 上面公式（9）和（10）通常称为DeMorgan 公式（隶末根定理）。

陈纪修数学分析答案

陈纪修数学分析答案【篇一：陈纪修教授《数学分析》九讲学习笔记与心得】class=txt>云南分中心 ? 昆明学院 ? 周兴伟此次听陈教授的课，收益颇多。

陈教授的这些讲座，不仅是在教我们如何处理《数学分析》中一些教学重点和教学难点，更是几堂非常出色的示范课。

我们不妨来温习一下。

第一讲、微积分思想产生与发展的历史法国著名的数学家h.庞加莱说过：“如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状。

” 那么，如果你要学好并用好《数学分析》，那么，掌故微积分思想产生与发展的历史是非常必要的。

陈教授就是以这一专题开讲的。

在学校中，我不仅讲授《数学分析》，也讲授《数学史》，所以我非常赞同陈教授在教学中渗透数学史的想法，这应该也是提高学生数学素养的有效途径。

在这一讲中，陈教授脉络清晰，分析精当，这是我自叹不如的。

讲《数学史》也有些年头，但仅满足于史料的堆砌，没有对一些精彩例子加以剖析。

如陈教授对祖暅是如何用“祖暅原理”求出球的体积的分析，这不仅对提高学生的学习兴趣是有益的（以疑激趣、以奇激趣），而且有利于提高学生的民族自豪感（陈教授也提到了这一点）。

第二讲、实数系的基本定理在这一讲中，陈教授从《实变函数》中对集合基数的讨论展开，对实数系的连续性作了有趣的讨论。

首先是从绅士开party的礼帽问题，带我们走进了“无穷的世界”。

我在开《数学赏析》时有一个专题就是“无穷的世界”，我给学生讲礼帽问题、也讲希尔伯特无穷旅馆问题，但遗憾的是，当我剖析“若无穷旅馆住满了人，再来两个时，可将住１号房间的移往３号房间，住２号房间的移往４号房间，从而空出两个房间”时，学生对我“能移”表示怀疑。

这一点我往往只能遗憾的说“跳不出有限的圈子，用有限的眼光来看无限，只能是‘只在此山中，云深不知处’”。

当然，我还是会进一步考虑如何来讲好这一讲。

若陈教授或其他老师有好的建议，能指点一下，则不胜感激。

对于集合[0,1]与(0,1)的对等关系，包括q与Ｒ的对等关系，或者说他们之间双射的构造。

数学分析第一章

Chapter1.Metric Spaces§1.Metric SpacesA metric space is a set X endowed with a metricρ:X×X→[0,∞)that satisﬁes the following properties for all x,y,and z in X:1.ρ(x,y)=0if and only if x=y,2.ρ(x,y)=ρ(y,x),and3.ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z).The third property is called the triangle inequality.We will write(X,ρ)to denote the metric space X endowed with a metricρ.If Y is a subset of X,then the metric space(Y,ρ|Y×Y)is called a subspace of(X,ρ).Example1.Letρ(x,y):=|x−y|for x,y∈I R.Then(I R,ρ)is a metric space.The set I R equipped with this metric is called the real line.Example2.Let I R2:=I R×I R.For x=(x1,x2)∈I R2and y=(y1,y2)∈I R2,deﬁneρ(x,y):=(x1−y1)+(x2−y2).Thenρis a metric on I R2.The set I R2equipped with this metric is called the Euclidean plane.More generally,for k∈I N,the Euclidean k space I R k is the Cartesian product of k copies of I R equipped with the metricρgiven byρ(x,y):=kj=1(x j−y j)21/2,x=(x1,...,x k)and y=(y1,...,y k)∈I R k.Example3.Let X be a nonempty set.For x,y∈X,deﬁneρ(x,y):=1if x=y, 0if x=y.In this case,ρis called the discrete metric on X.Let(X,ρ)be a metric space.For x∈X and r>0,the open ball centered at x∈X with radius r is deﬁned asB r(x):={y∈X:ρ(x,y)<r}.A subset A of X is called an open set if for every x∈A,there exists some r>0 such thatB r(x)⊆A.1Theorem1.1.For a metric space(X,ρ)the following statements are true.1.X and∅are open sets.2.Arbitrary unions of open sets are open sets.3.Finite intersections of open sets are open sets.Proof.Theﬁrst statement is obviously true.For the second statement,we let(A i)i∈I be a family of open subsets of X and wish to prove that∪i∈I A i is an open set.Suppose x∈∪i∈I A i.Then x∈A ifor some i0∈I.Since A i0is an open set,there exists some r>0such that B r(x)⊆A i.Consequently,B r(x)⊆∪i∈I A i.This shows that∪i∈I A i is an open set.For the third statement,we let{A1,...,A n}be aﬁnite collection of open subsets of X and wish to prove that∩n i=1A i is an open set.Suppose x∈∩n i=1A i.Then x∈A i for every i∈{1,...,n}.For each i∈{1,...,n},there exists r i>0such that B ri(x)⊆A i. Set r:=min{r1,...,r n}.Then r>0and B r(x)⊆∩n i=1A i.This shows that∩n i=1A i is an open set.Let(X,ρ)be a metric space.A subset B of X is called an closed set if its complement B c:=X\B is an open set.The following theorem is an immediate consequence of Theorem1.1.Theorem1.2.For a metric space(X,ρ)the following statements are true.1.X and∅are closed sets.2.Arbitrary intersections of closed sets are closed sets.3.Finite unions of closed sets are closed sets.Let(X,ρ)be a metric space.Given a subset A of X and a point x in X,there are three possibilities:1.There exists some r>0such that B r(x)⊆A.In this case,x is called an interiorpoint of A.2.For any r>0,B r(x)intersects both A and A c.In this case,x is called a boundarypoint of A.3.There exists some r>0such that B r(x)⊆A c.In this case,x is called an exteriorpoint of A.For example,if A is a subset of the real line I R bounded above,then sup A is a boundary point of A.Also,if A is bounded below,then inf A is a boundary point of A.A point x is called a closure point of A if x is either an interior point or a boundary point of A.We denote by A the set of closure points of A.Then A⊆A.The set A is called the closure of A.2Theorem1.3.If A is a subset of a metric space(X,ρ),then A is the smallest closed set that includes A.Proof.Let A be a subset of a metric space.Weﬁrst show that A is closed.Suppose x/∈A. Then x is an exterior point of A;hence there exists some r>0such that B r(x)⊆A c.If y∈B r(x),thenρ(x,y)<r.Forδ:=r−ρ(x,y)>0,by the triangle inequality we have Bδ(y)⊆B r(x).It follows that Bδ(y)⊆A c.This shows y/∈A.Consequently,B r(x)⊆A c. Therefore,A c is open.In other words,A is closed.Now assume that B is a closed subset of X such that A⊆B.Let x∈B c.Then there exists r>0such that B r(x)⊆B c⊆A c.This shows x∈A c.Hence,B c⊆A c.It follows that A⊆B.Therefore,A is the smallest closed set that includes A.A subset A of a metric space(X,ρ)is said to be dense in X if A=X.§pletenessLet(x n)n=1,2,...be a sequence of elements in a metric space(X,ρ).We say that (x n)n=1,2,...converges to x in X and write lim n→∞x n=x,ifρ(x n,x)=0.limn→∞From the triangle inequality it follows that a sequence in a metric space has at most one limit.Theorem2.1.Let A be a subset of a metric space(X,ρ).Then a point x∈X belongs to A if and only if there exists a sequence(x n)n=1,2,...in A such that lim n→∞x n=x. Proof.If x∈A,then B1/n(x)∩A=∅for every n∈I N.Choose x n∈B1/n(x)∩A for each n∈I N.Thenρ(x n,x)<1/n,and hence lim n→∞x n=x.Suppose x/∈A.Then there exists some r>0such that B r(x)∩A=∅.Consequently, for any sequence(x n)n=1,2,...in A,we haveρ(x n,x)≥r for all n∈I N.Thus,there is no sequence of elements in A that converges to x.A sequence(x n)n=1,2,...in a metric space(X,ρ)is said to be a Cauchy sequence if for any givenε>0there exists a positive integer N such thatm,n>N impliesρ(x m,x n)<ε.Clearly,every convergent sequence is a Cauchy sequence.If a metric space has the property that every Cauchy sequence converges,then the metric space is said to be complete.For example,the real line is a complete metric space.3The diameter of a set A is deﬁned byd(A):=sup{ρ(x,y):x,y∈A}.If d(A)<∞,then A is called a bounded set.Theorem2.2.Let(X,ρ)be a complete metric space.Suppose that(A n)n=1,2,...is a sequence of closed and nonempty subsets of X such that A n+1⊆A n for every n∈I N and lim n→∞d(A n)=0.Then∩∞n=1A n consists of precisely one element.Proof.If x,y∈∩∞n=1A n,then x,y∈A n for every n∈I N.Hence,ρ(x,y)≤d(A n)for all n∈I N.Since lim n→∞ρ(A n)=0,it follows thatρ(x,y)=0,i.e.,x=y.To show∩∞n=1A n=∅,we proceed as follows.Choose x n∈A n for each n∈I N.Since A m⊆A n for m≥n,we haveρ(x m,x n)≤d(A n)for m≥n.This in connection with the assumption lim n→∞d(A n)=0shows that(x n)n=1,2,...is a Cauchy sequence.Since (X,ρ)is complete,there exists x∈X such that lim n→∞x n=x.We have x m∈A n for all=A n.This is true for all n∈I N.Therefore,x∈∩∞n=1A n.m≥n.Hence,x∈A§pactnessLet(X,ρ)be a metric space.A subset A of X is said to be sequentially compact if every sequence in A has a subsequence that converges to a point in A.For example,aﬁnite subset of a metric space is sequentially compact.The real line I R is not sequentially compact.But a bounded closed interval in the real line is sequentially compact.A subset A of a metric space is called totally bounded if,for every r>0,A can be covered byﬁnitely many open balls of radius r.For example,a bounded subset of the real line is totally bounded.On the other hand, ifρis the discrete metric on an inﬁnite set X,then X is bounded but not totally bounded. Theorem3.1.Let A be a subset of a metric space(X,ρ).Then A is sequentially compact if and only if A is complete and totally bounded.Proof.Suppose that A is sequentially compact.Weﬁrst show that A is complete.Let (x n)n=1,2,...be a Cauchy sequence in A.Since A is sequentially compact,there exists a )k=1,2,...that converges to a point x in A.For anyε>0,there exists subsequence(x nka positive integer N such thatρ(x m,x n)<ε/2whenever m,n>N.Moreover,there exists some k∈I N such that n k>N andρ(x n,x)<ε/2.Thus,for n>N we havek4ρ(x n,x)≤ρ(x n,x nk )+ρ(x nk,x)<ε.Hence,lim n→∞x n=x.This shows that A iscomplete.Next,if A is not totally bounded,then there exists some r>0such that A cannot be covered byﬁnitely many open balls of radius r.Choose x1∈A.Suppose x1,...,x n∈A have been chosen.Let x n+1be a point in the nonempty set A\∪n i=1B r(x i).If m,n∈I N and m=n,thenρ(x m,x n)≥r.Therefore,the sequence(x n)n=1,2,...has no convergent subsequence.Thus,if A is sequentially compact,then A is totally bounded.Conversely,suppose that A is complete and totally bounded.Let(x n)n=1,2,...be a sequence of points in A.We shall construct a subsequence of(x n)n=1,2,...that is a Cauchy sequence,so that the subsequence converges to a point in A,by the completeness of A.For this purpose,we construct open balls B k of radius1/k and corresponding inﬁnite subsets I k of I N for k∈I N recursively.Since A is totally bounded,A can be covered byﬁnitely many balls of radius1.Hence,we can choose a ball B1of radius1such that the set I1:={n∈I N:x n∈B1}is inﬁnite.Suppose that a ball B k of radius1/k and an inﬁnite subset I k of I N have been constructed.Since A is totally bounded,A can be covered by ﬁnitely many balls of radius1/(k+1).Hence,we can choose a ball B k+1of radius1/(k+1) such that the set I k+1:={n∈I k:x n∈B k+1}is inﬁnite.Choose n1∈I1.Given n k,choose n k+1∈I k+1such that n k+1>n k.By our construction,I k+1⊆I k for all k∈I N.Therefore,for all i,j≥k,the points x niandx nj are contained in the ball B k of radius1/k.It follows that(x nk)k=1,2,...is a Cauchysequence,as desired.Theorem3.2.A subset of a Euclidean space is sequentially compact if and only if it is closed and bounded.Proof.Let A be a subset of I R k.If A is sequentially compact,then A is totally bounded and complete.In particular,A is bounded.Moreover,as a complete subset of I R k,A is closed.Conversely,suppose A is bounded and closed in I R k.Since I R k is complete and A is closed,A is complete.It is easily seen that a bounded subset of I R k is totally bounded.Let(A i)i∈I be a family of subsets of X.We say that(A i)i∈I is a cover of a subset A of X,if A⊆∪i∈I A i.If a subfamily of(A i)i∈I also covers A,then it is called a subcover. If,in addition,(X,ρ)is a metric space and each A i is an open set,then(A i)i∈I is said to be an open cover.Let(G i)i∈I be an open cover of A.A real numberδ>0is called a Lebesgue number for the cover(G i)i∈I if,for each subset E of A having diameter less thanδ,E⊆G i for5some i∈I.Theorem3.3.Let A be a subset of a metric space(X,ρ).If A is sequentially compact, then there exists a Lebesgue numberδ>0for any open cover of A.Proof.Let(G i)i∈I be an open cover of A.Suppose that there is no Lebesgue number for the cover(G i)i∈I.Then for each n∈I N there exists a subset E n of A having diameter less than1/n such that E n∩G c i=∅for all i∈I.Choose x n∈E n for n∈I N.Since A is sequentially compact,there exists a subsequence(x nk)k=1,2,...which converges to a point x in A.Since(G i)i∈I is a cover of A,x∈G i for some i∈I.But G i is an open set.Hence, there exists some r>0such that B r(x)⊆G i.We canﬁnd a positive integer k such that1/n k<r/2andρ(x nk ,x)<r/2.Let y be a point in E nk.Since x nkalso lies in the setE nk with diameter less than1/n k,we haveρ(x nk,y)<1/n k.Consequently,ρ(x,y)≤ρ(x,x nk)+ρ(x nk,y)<r2+1n k<r.This shows E nk ⊆B r(x)⊆G i.However,E nkwas so chosen that E nk∩G c i=∅.Thiscontradiction proves the existence of a Lebesgue number for the open cover(Gi)i∈I.A subset A of(X,ρ)is said to be compact if each open cover of A possesses aﬁnite subcover of A.If X itself is compact,then(X,ρ)is called a compact metric space. Theorem3.4.Let A be a subset of a metric space(X,ρ).Then A is compact if and only if it is sequentially compact.Proof.If A is not sequentially compact,then A is an inﬁnite set.Moreover,there exists a sequence(x n)n=1,2,...in A having no convergent subsequence.Consequently,for each x∈A,there exists an open ball B x centered at x such that{n∈I N:x n∈B x}is aﬁnite set.Then(B x)x∈A is an open cover of A which does not possess aﬁnite subcover of A. Thus,A is not compact.Now suppose A is sequentially compact.Let(G i)i∈I be an open cover of A.By Theorem3.3,there exists a Lebesgue numberδ>0for the open cover(G i)i∈I.By Theorem 3.1,A is totally bounded.Hence,A is covered by aﬁnite collection{B1,...,B m}of open balls with radius less thanδ/2.For each k∈{1,...,m},the diameter of B k is less thanδ.Hence,B k⊆G ik for some i k∈I.Thus,{G ik:k=1,...,m}is aﬁnite subcover of A.This shows that A is compact.6§4.Continuous FunctionsLet(X,ρ)and(Y,τ)be two metric spaces.A function f from X to Y is said to be continuous at a point a∈X if for everyε>0there existsδ>0(depending onε)such thatτ(f(x),f(a))<εwheneverρ(x,a)<δ.The function f is said to be continuous on X if f is continuous at every point of X.Theorem4.1.For a function f from a metric space(X,ρ)to a metric space(Y,τ),the following statements are equivalent:1.f is continuous on X.2.f−1(G)is an open subset of X whenever G is an open subset of Y.3.If lim n→∞x n=x holds in X,then lim n→∞f(x n)=f(x)holds in Y.4.f(A)⊆f(A)holds for every subset A of X.5.f−1(F)is a closed subset of X whenever F is a closed subset of Y.Proof.1⇒2:Let G be an open subset of Y and a∈f−1(G).Since f(a)∈G and G is open,there exists someε>0such that Bε(f(a))⊆G.By the continuity of f,there exists someδ>0such thatτ(f(x),f(a))<εwheneverρ(x,a)<δ.This shows Bδ(a)⊆f−1(G). Therefore,f−1(G)is an open set.2⇒3:Assume lim n→∞x n=x in X.Forε>0,let V:=Bε(f(x)).In light of statement2,f−1(V)is an open subset of X.Since x∈f−1(V),there exists someδ>0 such that Bδ(x)⊆f−1(V).Then there exists a positive integer N such that x n∈Bδ(x) for all n>N.It follows that f(x n)∈V=Bε(f(x))for all n>N.Consequently, lim n→∞f(x n)=f(x).3⇒4:Let A be a subset of X.If y∈f(A),then there exists x∈A such that y=f(x).Since x∈A,there exists a sequence(x n)n=1,2,...of A such that lim n→∞x n=x. By statement3we have lim n→∞f(x n)=f(x).It follows that y=f(x)∈f(A).This shows f(A)⊆f(A).4⇒5:Let F be a closed subset of Y,and let A:=f−1(F).By statement4we have f(A)⊆⊆F=F.It follows that A⊆f−1(F)=A.Hence,A is a closed subset of X.5⇒1:Let a∈X andε>0.Consider the closed set F:=Y\Bε(f(a)).By statement5,f−1(F)is a closed subset of X.Since a/∈f−1(F),there exists someδ>0 such that Bδ(a)⊆X\f−1(F).Consequently,ρ(x,a)<δimpliesτ(f(x),f(a))<ε.So f is continuous at a.This is true for every point a in X.Hence,f is continuous on X.As an application of Theorem4.1,we prove the Intermediate Value Theorem for continuous functions.7Theorem 4.2.Suppose that a,b ∈I R and a <b .If f is a continuous function from [a,b ]to I R ,then f has the intermediate value property,that is,for any real number d between f (a )and f (b ),there exists c ∈[a,b ]such that f (c )=d .Proof.Without loss of any generality,we may assume that f (a )<d <f (b ).Since the interval (−∞,d ]is a closed set,the set F :=f −1((−∞,d ])={x ∈[a,b ]:f (x )≤d }is closed,by Theorem 4.1.Let c :=sup F .Then c lies in F and hence f (c )≤d .It follows that a ≤c <b .We claim f (c )=d .Indeed,if f (c )<d ,then by the continuity of f we could ﬁnd r >0such that c <c +r <b and f (c +r )<d .Thus,we would have c +r ∈F and c +r >sup F .This contradiction shows f (c )=d .The following theorem shows that a continuous function maps compact sets to compact sets.Theorem 4.3.Let f be a continuous function from a metric space (X,ρ)to a metric space (Y,τ).If A is a compact subset of X ,then f (A )is compact.Proof.Suppose that (G i )i ∈I is an open cover of f (A ).Since f is continuous,f −1(G i )is open for every i ∈I ,by Theorem 4.1.Hence,(f −1(G i ))i ∈I is an open cover of A .By thecompactness of A ,there exists a ﬁnite subset {i 1,...,i m }of I such that A ⊆∪m k =1f−1(G i k ).Consequently,f (A )⊆∪mk =1G i k .This shows that f (A )is compact.Theorem 4.4.Let A be a nonempty compact subset of a metric space (X,ρ).If f is a continuous function from A to the real line I R ,then f is bounded and assumes its maximum and minimum.Proof.By Theorem 4.3,f (A )is a compact set,and so it is bounded and closed.Let t :=inf f (A ).Then t ∈f (A )=f (A ).Hence,t =min f (A )and t =f (a )for some a ∈A .Similarly,Let s :=sup f (A ).Then s ∈f (A )=f (A ).Hence,s =max f (A )and s =f (b )for some b ∈A .A function f from a metric space (X,ρ)to a metric space (Y,τ)is said to be uni-formly continuous on X if for every ε>0there exists δ>0(depending on ε)such that τ(f (x ),f (y ))<εwhenever ρ(x,y )<δ.Clearly,a uniformly continuous function is continuous.A function from (X,ρ)to (Y,τ)is said to be a Lipschitz function if there exists a constant C f such that τ(f (x ),f (y ))≤C f ρ(x,y )for all x,y ∈X .Clearly,a Lipschitz function is uniformly continuous.8Example.Let f and g be the functions from the interval(0,1]to the real line I R given by f(x)=x2and g(x)=1/x,x∈(0,1],respectively.Then f is uniformly continuous, while g is continuous but not uniformly continuous.Theorem4.5.Let f be a continuous function from a metric space(X,ρ)to a metric space(Y,τ).If X is compact,then f is uniformly continuous on X.Proof.Letε>0be given.Since f is continuous,for each x∈X there exists r x>0suchthatτ(f(x),f(y))<ε/2for all y∈B rx (x).Then(B rx(x))x∈X is an open cover of X.Since X is compact,Theorem3.3tells us that there exists a Lebesgue numberδ>0for this open cover.Suppose y,z∈X andρ(y,z)<δ.Then{y,z}⊆B rx(x)for some x∈X. Consequently,τ(f(y),f(z))≤τ(f(y),f(x))+τ(f(x),f(z))<ε/2+ε/2=ε.This shows that f is uniformly continuous on X.9。

北京大学数学科学学院【数学分析 I】课程习题集(参考谢惠民数学分析习题课讲义)

或任意 n ≥ N 有则仍有矛盾. 从而 c = 1.
1 ∈ (c − ϵ, c + ϵ) .
an
解. 取 M > 1 使得
[
]
1
a1, a2 ∈
,M M
.
则归纳易知任意
n
有
an
∈
[
1 M
,
M ],
从而
α = lim sup an, β = lim inf an
n→∞
n→∞
均为正数, 且 α ≥ β. 又从两个方向分别导出不等式, 可得出 αβ = 1. 取 {ank }∞ k=1 收敛于 α, 易证
4
证明. 只须证 α < c < β 的情形. 找 p1 < q1 < p2 < q2 < · · · 使得
xpl > c > xqm (l = 1, 2, . . . ; m = 1, 2, . . .). 又存在 pj ≤ rj < qj (j = 1, 2, . . .) 使得
此时
xrj ≥ c ≥ xrj+1.
lim
k→∞
ank −1
=
lim
k→∞
ank −2
=
β.
而 2
ank−3 = ank−1 − ank−2 (nk > 3).
左式关于 k 的上极限不大于 α, 但右式关于 k 的极限为 2α − β > α, 矛盾.
问题 4 (08 上期中). 设 {an}∞ n=1 为单调递增的正整数列. 证明: 数列
cn = max(bn+1, bn) (n = 1, 2, . . .).
则 {cn}∞ n=1 不增且有下界, 故其下确界 c 为其极限值 (显然 c ≥ 1), 从而任意 ϵ > 0, 存在 N 使得任意 n ≥ N 有

数学分析课后习题答案(华东师范大学版)

P.182 习题1．验证下列等式（1）C x f dx x f +='⎰)()( （2）⎰+=C x f x df )()(证明（1）因为)(x f 是)(x f '的一个原函数，所以⎰+='C x f dx x f )()(.（2）因为C u du +=⎰, 所以⎰+=C x f x df )()(.2．求一曲线)(x f y =, 使得在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率为x 2, 且通过点)5,2(.解由导数的几何意义, 知x x f 2)(=', 所以C xxdx dx x f x f +=='=⎰⎰22)()(.于是知曲线为C x y +=2, 再由条件“曲线通过点)5,2(”知，当2=x 时，5=y , 所以有 C +=225, 解得1=C , 从而所求曲线为12+=x y3．验证x x y sgn 22=是||x 在),(∞+-∞上的一个原函数. 证明当0>x 时, 22x y =, x y ='; 当0<x 时, 22x y -=, x y -='; 当0=x 时, y 的导数为02sgn lim 0sgn )2(lim020==-→→x x x x x x x , 所以⎪⎩⎪⎨⎧=<-=>='||0000x x xx x xy 4．据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数？解由P.122推论3的证明过程可知：在区间I 上的导函数f '，它在I 上的每一点，要么是连续点，要么是第二类间断点，也就是说导函数不可能出现第一类间断点。

因此每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数。

5．求下列不定积分⑴Cx x x x dx x dx x xdx dx dx x x x +-+-=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰-31423233233421)11(⑵C x x x dx x x x dx xx ++-=+-=-⎰⎰||ln 343)12()1(2332122⑶C gxC x gdx x ggxdx +=+⋅==⎰⎰-22212122121 ⑷ ⎰⎰⎰+⋅+=+⋅+=+dx dx dx xx x x x x x x )9624()3)32(22()32(222C x x x ++⋅+=9ln 96ln 624ln 4 ⑸C x dx x dx x +=-=-⎰⎰arcsin 23112344322⑹ C x dx x dx x x dx x x +-=+-=+-+=+⎰⎰⎰)arctan 1(31)111(31)1(311)1(322222 ⑺C x x dx x xdx +-=-=⎰⎰tan )1(sec tan 22 ⑻ C x x dx x dx x xdx +-=-=-=⎰⎰⎰)2sin 21(21)2cos 1(2122cos 1sin 2⑼ C x x dx x x dx xx xx dx x x x +-=+=--=-⎰⎰⎰cos sin )sin (cos sin cos sin cos sin cos 2cos 22 ⑽C x x dx x x dx x x x x dx x x x +--=-=⋅-=⋅⎰⎰⎰tan cot )cos 1sin 1(sin cos sin cos sin cos 2cos 22222222⑾ C C dt dt tt ttt+=+⋅⋅=⋅=⋅⎰⎰90ln 90)910ln()910()910(3102⑿C x dx x dx x x x +==⎰⎰81587158⒀ Cx dx xdx x x x x dx x x x x +=-=--+-+=+-+-+⎰⎰⎰arcsin 212)1111()1111(222⒁C x x xdx dx dx x dx x x +-=+=+=+⎰⎰⎰⎰2cos 212sin 1)2sin 1()sin (cos 2⒂ C x x dx x x xdx x ++=+=⎰⎰)sin 3sin 31(21)cos 3(cos 212cos cos ⒃ C ee e e dx e e e e dx e e x xx x x x x x x x ++--=-+-=------⎰⎰33333313331)33()( P.188 习题1．应用换元积分法求下列不定积分：⑴ C x x d x dx x ++=++=+⎰⎰)43sin(31)43()43cos(31)43cos( ⑵ C ex d e dx xe x x x +==⎰⎰222222241)2(41 ⑶ C x x x d x dx ++=++=+⎰⎰|12|ln 2112)12(2112 ⑷ C x n x d x dx x n nn +++=++=++⎰⎰1)1(11)1()1()1( ⑸Cx x xd xdx x dx xx++=-+-=-+-⎰⎰⎰3arcsin 313arcsin 3)3113131)31131(2222⑹ C C x d dx x x x x +=+=+=++++⎰⎰2ln 22ln 22)32(221222323232⑺C x C x x d x dx x +--=+-⋅-=---=-⎰⎰232321)38(92)38(3231)38()38(3138 ⑻C x C x x d x x dx+--=+-⋅-=---=-⎰⎰-3232313)57(103)57(2351)57()57(5157 ⑼C x dx x dx x x +-==⎰⎰2222cos 21sin 21sin ⑽ C x x x d x dx++-=++=+⎰⎰)42cot(21)42(sin )42(21)42(sin 22ππππ⑾ 解法一：C xx x dx dxx dx+===+⎰⎰⎰2tan 2cos 22cos 2cos 122解法二： ⎰⎰⎰⎰-=--=+xxdx x dx xdxx x dx 222sin cos sin cos 1)cos 1(cos 1 C xx xxd x ++-=--=⎰sin 1cotsin sin cot 2⑿解法一：利用上一题的结果，有C x C x x x d x dx +--=+--=-+--=+⎰⎰)24tan()2(21tan )2cos(1)2(sin 1πππ 解法二： C x x xx d x dx x dx x x dx +-=+=--=+⎰⎰⎰⎰cos 1tan cos cos cos sin 1)sin 1(sin 1222 解法三：⎰⎰⎰+⋅=+=+222)12(tan 2cos )2cos 2(sin sin 1x x dx x x dx x dxC x x x d ++-=+=⎰12tan 2)12(tan 2tan 22⒀ 解法一：⎰⎰⎰---=-=)2()2sec()2sec(csc x d x dx x xdx πππC x x C x x ++-=+-+--=|cot csc |ln |)2tan()2sec(|ln ππ解法二：C x x x x d dx x x dx x xdx ++-=-===⎰⎰⎰⎰1cos 1cos ln 211cos cos sin sin sin 1csc 22C x x +-=|cot csc |ln解法三：⎰⎰++=dx x x x x x xdx cot csc )cot (csc csc cscC x x C xx x x d ++-=+++-=⎰|cot csc |ln cot csc )cot (csc解法四：⎰⎰⎰==dx x x xdx x x xdx 2cos2sin 22sin2cos 2sin 21csc 2C xC x x d x +=+-=-=⎰|2tan |ln |2cot |ln 2cot 2cot 1⒁C x x d x dx x x +--=---=-⎰⎰22221)1(11211 ⒂ C x dx x dx x x +=+=+⎰⎰2arctan 41)(4121422224⒃C x x x d x x dx +==⎰⎰|ln |ln ln ln ln⒄ C x x d x dx x x +-=---=-⎰⎰25535354)1(1101)1()1(151)1( ⒅ C x x C x x dx x dx x x ++-=++-⋅=-=-⎰⎰|22|ln 281|22|ln 221412)(1412444442483⒆C xx C x x dx x x x x dx ++=++-=+-=+⎰⎰|1|ln |1|ln ||ln )111()1( ⒇ C x dx x xxdx +==⎰⎰|sin |ln sin cos cot(21) ⎰⎰⎰-==x d x xdx x xdx sin )sin 1(cos cos cos 2245C x x x x d x x ++-=+-=⎰5342sin 51sin 32sin sin )sin sin 21((22) 解法一：C x x x x d x x dx +-==⎰⎰|2cot 2csc |ln 2sin )2(cos sin 解法二：C x x xd xx xdx x x dx +===⎰⎰⎰|tan |ln tan tan cos sin cos cos sin 2 解法三：⎰⎰+=xx dx x x x x dx cos sin )cos (sin cos sin 22C x x dx xxx x +-=+=⎰|cos |ln |sin |ln )sin cos cos sin ((23) C e e de e dx e e e dx xx x x x x x+=+=+=+⎰⎰⎰-arctan 1122 (24) C x x x x x x d dx x x x ++-=+-+-=+--⎰⎰|83|ln 83)83(83322222(25) C x x x dx x x x dx x x x dx x x ++-+++=+++-+=+++-+=++⎰⎰⎰2323232)1(2312|1|ln ))1(3)1(211()1(3)1(2)1()1(2(26)⎰+22ax dx解令t a x tan =, 则C a x x C t t t a tdt a a x dx+++=++==+⎰⎰||ln |tan sec |ln sec sec 221222(27)C a x x a a x x d a a x dx ++=+=+⎰⎰21222212222322)(1)(1)(解法2 令t a x tan =, 则C ax a x C t a tdt a t a tdt a a x dx ++=+===+⎰⎰⎰222223322322sin 1cos 1sec sec )( (28)⎰-dx xx 251解令t x sin =, 则Cx x x C t t t td t tdt dt t t t dx x x +---+--=+-+-=--===-⎰⎰⎰⎰25223221253225525)1(51)1(32)1(cos 51cos 32cos cos )cos 1(sin cos cos sin 1(29)⎰-dx xx31解令t x =61, 则6t x =, 56tdx =C t t t t t t dt tt t t dt tt t t t dt t t t dt t t dx x x++--+++-=-++++-=-++++-=-+-=-⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰|11|ln 26)357(6)11)1((611)1)(1(6111)(61613572246224622422533其中61x t = (30)⎰++-+dx x x 1111解令t x =+1, 则21t x =+, tdt dx 2=,Cx x x C x x x C t t t dt t t dt t t t tdt t tdt t t dx x x +++++-=+++++-+=+++-=++-=+-=+-=+-=++-+⎰⎰⎰⎰⎰|11|ln 414|11|ln 4141|1|ln 44)1442()142(2)121(21111111122．应用分部积分法求下列不定积分： ⑴ C x x x dx x x x x xdx +-+=--=⎰⎰221arcsin 1arcsin arcsin⑵ C x x x dx xx x x xdx +-=⋅-=⎰⎰ln 1ln ln ⑶Cx x x x x xdx x x x x x xd x x xdx x x x x d x xdx x +-+=-+=+=-==⎰⎰⎰⎰⎰sin 2cos 2sin cos 2cos 2sin cos 2sin sin 2sin sin cos 222222 ⑷C x x x dx x x x x xd dx x x +--=+-=-=⎰⎰⎰223223412ln 121ln 211ln 21ln ⑸ C x x x x x xdx x x dx x ++-=-=⎰⎰2ln 2)(ln ln 2)(ln )(ln 222⑹ ⎰⎰⎰+-==dx x x x x xdx xdx x 2222121arctan 21arctan 21arctan C x x x x dx x x x +--=+--=⎰)arctan (21arctan 21)111(21arctan 21222 C x x x +-+=21arctan )1(212⑺ ⎰⎰⎰+=+dx x dx x dx x x ln 1)ln(ln ]ln 1)[ln(ln C x x dx xdx x x x x x +=+⋅-=⎰⎰)ln(ln ln 1ln 1)ln(ln⑻ ⎰⎰--=dx xx x x x dx x 2221arcsin 2)(arcsin )(arcsin⎰-+=221arcsin 2)(arcsin x xd x x⎰----+=dx xx x x x x 22221112arcsin 12)(arcsinC x x x x x +--+=2arcsin 12)(arcsin 22⑼ ⎰⎰⎰-==xdx x x x x xd xdx 23tan sec tan sec tan sec sec⎰⎰⎰+-=--=xdx xdx x x dx x x x x sec sec tan sec )1(sec sec tan sec 32 |tan sec |ln sec tan sec 3x x xdx x x ++-=⎰所以 C x x x x xdx +++=⎰|)tan sec |ln tan sec 21sec 3⑽⎰⎰+⋅-+=+dx ax x x a x x dx a x 222222⎰+-+-+=dx ax a a x a x x )(2222222⎰⎰+++-+=dx ax a dx a x a x x 2222222)ln(2222222a x x a dx a x a x x ++++-+=⎰所以C a x x a a x x dx a x +++++=+⎰))ln((212222222 类似地可得C a x x a a x x dx a x +-+--=-⎰))ln((212222222 3．求下列不定积分：⑴ C x f a x df x f dx x f x f a aa++=='+⎰⎰1)]([11)()]([)()]([ ⑵C x f x df x f dx x f x f +=+=+'⎰⎰)(arctan )()]([11)]([1)(22⑶C x f x f x df dx x f x f +=='⎰⎰|)(|ln )()()()( ⑷ C e x df e dx x f ex f x f x f +=='⎰⎰)()()()()( 4．证明：⑴ 若⎰=dx x I nn tan ， ,3,2=n ，则21tan 11----=n n n I x n I 证 ⎰⎰⎰----=-=dx x dx x x dx x x I n n n n 22222tan sec tan )1(sec tan22tan tan ---=⎰n n I x d x .因为⎰⎰-----=x d x n x x d x n n n tan tan )2(tan tan tan212，所以x n x d x n n 12tan 11tan tan ---=⎰. 从而21tan 11----=n n n I x n I . ⑵ 若⎰=dx x x n m I nm sin cos ),(，则当0≠+n m 时，),2(1sin cos ),(11n m I nm m n m x x n m I n m -+-++=+-)2,(1sin cos 11-+-++-=-+n m I nm n n m x x n m ， ,3,2,=m n证 ⎰⎰+-+==x d x n dx x x n m I n m n m11sin cos 11sin cos),( ]sin cos )1(sin [cos 112211⎰+-+--++=dx x x m x x n n m n m ])cos 1(sin cos )1(sin [cos 112211⎰--++=-+-dx x x x m x x n n m n m ))],(),2()(1(sin [cos 1111n m I n m I m x x n n m ---++=+-所以),2(1sin cos ),(11n m I n m m n m x x n m I n m -+-++=+-，同理可得)2,(1sin cos ),(11-+-++-=-+n m I nm n n m x x n m I n mP.199 习题1．求下列不定积分：⑴ ⎰⎰⎰-+++=-+-=-dx x x x dx x x dx x x )111(1111233 C x x x x +-+++=|1|ln 2323 ⑵ 解法一：C x x dx x x dx x x x +--=---=+--⎰⎰|3|)4(ln )3142(127222解法二：⎰⎰⎰+-++--=+--dx x x dx x x x dx x x x 12732112772211272222 ⎰⎰---++-+-=)27(41)27(123127)127(21222x d x x x x x dC x x x x +--++-=34ln 23|127|ln 212 ⑶ 解22311)1)(1(111xx CBx x A x x x x +-+++=+-+=+ 去分母得 )1)(()1(12x C Bx x x A ++++-=令1-=x ，得31=A . 再令0=x ，得1=+C A ，于是32=C . 比较上式两端二次幂的系数得 0=+B A ，从而31-=B ，因此⎰⎰⎰+---+=+dxx x x x dx x dx 2312311311⎰⎰+-++---+=dx x x dx x x x x 22112111261|1|ln 31⎰+-++--+=dx x x x x 43)21(121)1ln(61|1|ln 3122C x x x x +-++-+=312arctan 311)1(ln 6122 ⑷ 解 ⎰⎰⎰⎰+--++=+--+=+dx x x dx x x dx xx x x dx 42424224112111211)1()1(211 ⎰⎰⎰⎰++-+-=+--++=22222222221)1(211)1(211112111121x x x x d x x x x d dx x x x dx x x x ⎰⎰-++-+--=2)1()1(212)1()1(2122xx x x d x x x x d C xx x x x x +++-+--=2121ln 24121arctan221C x x x x x x ++++---=1212ln 8221arctan 42222 ⑸⎰+-22)1)(1(x x dx解令22222)1(11)1)(1(1++++++-=+-x EDx x C Bx x A x x , 解得 41=A , 41-==CB , 21-==E D , 于是 ⎰⎰⎰⎰++-++--=+-dxx x dx x x x dx x x dx 22222)1(1211141141)1)(1(C x x x x x x x +++-++-+--=)1(arctan 411141arctan 41)1ln(81|1|ln 41222 C x x x x x ++-+-+-=)11arctan 21|1|(ln 4122 ⑹⎰⎰⎰++-+++=++-dx x x dx x x x dx x x x 222222)122(125)122(2441)122(2 其中1221)122()122()122(24222222++-=++++=+++⎰⎰x x x x x x d dx x x x ⎰⎰⎰+++=++=++)12(]1)12[(12]1)12[(4)122(1222222x d x dx x dx x x)12arctan(1)12(122+++++=x x x 参见教材P.186 例9或P.193关于k I 的递推公式⑺. 于是，有C x x x x x dx x x x ++-+++-++-=++-⎰)12arctan(251)12(1225122141)122(22222 C x x x x ++-+++=)12arctan(25)122(23522．求下列不定积分⑴⎰-x dxcos 35解令2tan xt =，则C t t t d tdt t dt t t dx x dx+=+=+=++--=-⎰⎰⎰⎰2arctan 21)2(1)2(2141121135cos 3522222 C x+=)2tan 2arctan(21 ⑵⎰⎰⎰⎰+=+=+=+)tan 32(tan cos )tan 32(sin 3cos 2sin 2222222x xd x x dx x x dx x dxC x x x d +=+=⎰)tan 23arctan(61)tan 231()tan 23(612 ⑶ ⎰⎰⎰++-+=+=+dx xx xx x x x x xdx x dx sin cos cos sin sin cos 21sin cos cos tan 1 )sin cos )cos (sin (21)sin cos cos sin 1(21⎰⎰⎰+++=++-+=x x x x d dx dx x x x x C x x x +++=|)sin cos |ln (21另解：设⎰+=x x xdx I sin cos cos 1，⎰+=x x xdxI sin cos sin 2，则C x dx x x xx I I +=++=+⎰sin cos sin cos 21，C x x x x x x d dx x x x x I I ++=++=+-=-⎰⎰|sin cos |ln sin cos )sin (cos sin cos sin cos 21所以C x x x I x dx +++==+⎰|)sin cos |ln (21tan 11⑷⎰⎰⎰-+++-+-=-+22221)1(11xx dx x dx x x dx xx x⎰⎰⎰-++-++---+-=2221231)12(211x x dxx x dx x dx x x 其中（利用教材P.185例7的结果）]1)21(512arcsin 45[21)21(451222x x x x dx x dx x x -+-+-=--=-+⎰⎰ 2222121)1(1)12(x x x x x x d x x dx x -+=-+-+=-++-⎰⎰512arcsin)21(45122-=--=-+⎰⎰x x dxxx dx所以有⎰-+dx xx x 221C x x x x x x x +-+-+--+-+--=512arcsin 231221]1)21(512arcsin 45[2122C x x x x +-++--=21432512arcsin 87 ⑸C x x x x x d xx dx ++++=-++=+⎰⎰|21|ln 41)21()21(222⑹⎰+-dx x xx 1112解令 x x t +-=11，则2211t t x +-=，22)1(4t tdtdx +-=，代入原式得 ⎰⎰⎰⎰---=--=+-⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-dt t t dt t t dt t t t t t dx x xx 222222222222)1(114)1(4)1(411111⎰⎰⎰⎰-+-++--=---=dt t t t dt t dt t dt t ]12)1(1)1(1[114)1(141142222222C t t t t dt t t dt t +++---+=-++--=⎰⎰1111|11|ln ])1(1)1(1[112222 C xx x x +---+=221|11|ln总练习题求下列不定积分： ⑴Cx x x dx x xx dx xx x +--=--=--⎰⎰-4312134541121414334132454)2(12⑵]11arcsin [21arcsin 21arcsin 2222⎰⎰⎰--==dx xx x x dx x dx x x 其中)2sin 21(2122cos 1cos cos sin 1222t t dt t dt t t t dx x x -=-==-⎰⎰⎰)1(arcsin 212x x x --=所以]11arcsin [21arcsin 222⎰⎰--=dx xx x x dx x xC x x x x x +---=)]1(arcsin 21arcsin [2122 C x x x x x +-+-=22141arcsin 41arcsin 21 ⑶⎰+xdx 1解令u x =，则udu dx 2=C u u du uu udu xdx ++-=+-=+=+⎰⎰⎰|)1|ln (2)111(2121 C x x ++-=|)1|ln (2⑷ ⎰⎰⎰⎰===x x x xde x x d x e dx x x e dx x esin sin sin sin sin 2sin sin 2cos sin 22sin C x e C e x e x d e x e x x x x x +-=+-=-=⎰)1(sin 2)sin (2)sin sin (2sin sin sin sin sin⑸ C x e C e u e du u e u x dx ex u u u x+-=+-==⎰⎰)1(2)(22)(令⑹C x x d xx x dx x xdx +-=--=-=-⎰⎰⎰1arcsin )1(1111112222 解法二：令t x sec =，CxC t dt t t t t x xdx +=+==-⎰⎰1arccos tan sec tan sec 12⑺⎰⎰⎰++=+-=+-x x x x d dx x x x x dx x x sin cos )sin (cos sin cos sin cos tan 1tan 1C x x ++=|sin cos |lnC x dx x dx x x +-=-=+-⎰⎰|)4cos(|ln )4tan(tan 1tan 1ππ ⑻ C x x x dx x x x dx x x x +-----=-+-+-=--⎰⎰23232)2(123|2|ln )2(2)2(3)2()2( ⑼C x x x d x xdx x x dx ++=+==⎰⎰⎰32224tan 31tan tan )tan 1(cos sec cos ⑽ ⎰⎰⎰-==dx x dx x dx x 2224)22cos 1()(sin sin ⎰⎰++-=+-=dx x x dx x x )24cos 12cos 21(41)2cos 2cos 21(412 C x x x C x x x x ++-=+++-=4sin 3212sin 4183)84sin 22sin (41 ⑾ ⎰+--dx x x x 43523解⎰⎰-+-=+--dx x x x dx x x x 223)2)(1(5435令22)2(21)2)(1(5-+-++=-+-x Cx B x A x x x 去分母得：)1()2)(1()2(52++-++-=-x C x x B x A x 解得：32-=A ，32=B ，1-=C 所以⎰⎰⎰⎰---++-=+--dx x dx x dx x dx x x x 223)2(121321132435 C x x x +-++-=21|12|ln 32 ⑿ ⎰+dx x )1arctan(解令u x =+1，duu dx )1(2-=⎰⎰⎰⎰-⋅=-⋅=+du u du u u du u u dx x arctan 2arctan 2)1(2arctan )1arctan(122)1ln(arctan 2]arctan )1[(C u u u u u u +++--+=C x x x x x ++++-+=)22ln()1arctan(⒀ ⎰⎰⎰+-=+-+=+dx x x x dx x x x x dx x x )22(2222433433747 C x x ++-=)2ln(214144 另解：C x x dx x dx x x x dx x x ++-=+-=+⋅=+⎰⎰⎰)2ln(2141)221(4122444443447 ⒁⎰++dx x x x2tan tan 1tan 解令u x =tan⎰⎰⎰⎰++-+=+++=++du u u du u du u u u u dx x x x 222221111111tan tan 1tanC x x C u u ++-=++-=31tan 2arctan 32312arctan 32arctan ⒂ ⎰⎰-+---=-dx x x x dx x x 10021002)1(1)1(2)1()1( C x x x +-+---=979899)1(971)1(491)1(991⒃⎰⎰⎰-+-=-=dx x x xx x d x dx x x 2211arcsin 1arcsin arcsin C xx x x +-+--=|11|ln arcsin 2⒄⎰⎰⎰--+=--+=-+2)]1ln()1[ln(21)]1ln()1[ln(11lndx x x dx x x x dx x x x C x xxx dx x x x x x x ++-+-=-++---+=⎰11ln 21)1111(21)]1ln()1[ln(21222⒅⎰⎰⎰+==x d xx dx xx dx xx tan tan tan 1cos tan 1cos sin 1247C x x ++=)tan 511(tan 22⒆ ⎰⎰⎰⎰+-++=+-+=+-dx x x e dx x e dx x x x e dx x x e xx x x22222222)1(21)1(21)11( C xe dx x e x e dx x e x d e dx x e x x x x x x ++=+-+++=+++=⎰⎰⎰⎰2222221111111 ⒇ ⎰=dx uv I n n ，x b a u 11+=，x b a v 22+=解 ][221211⎰⎰⎰--===dx v b u n u v b u d v b dx uv I n nn n n ])([2][21122111121⎰⎰---+-=-=dx u v b a b a v b n u v b dx u uv b n u v b n nn n ])([21122111----=n n nI b a b a n I nb u v b 所以])([)12(2112211---+=n n n I b a b a n u v b n I. ..。

数学分析习题集答案10

4.
不成立;
lim
n→∞
S
' n
(1)
=
1 2
≠
S '(1) .
5. (1) α < 1. (2) α < 2 . (3) α < 0 .
6. 提示: ∀η > 0 , 证明 {Sn (x)}在 [a + η,b −η]上一致收敛于 S '(x) . 取 0 < α < η ,
则 S '(x) 在 [a + α,b −α ]上一致连续, 即 ∀ε > 0, ∃δ > 0 , ∀x', x"∈ [a + α,b −α ],
x
=
lim
∞
∑
ln⎜⎛1
+
A→+∞ n=0 ⎝
A 2n
⎟⎞ = +∞ . ⎠
第3节
1．（1） R = 1 , 3
D
=
⎢⎣⎡−
1 3
,
1 3
⎟⎞ ⎠
.
（2） R = 1, D = (0,2) .
[ ] （3） R = 2 , D = − 2, 2 .（4） R = 1, D = (− 2,0].
（5） R = +∞ , D = (− ∞,+∞). （6） R = 1, D = [−1,1].
n=1
n=1
∞
∞
∑ (−1)n n−x 与 (−1)k ∑ (−1)n n−x ln k n (k = 1,2,") 在 (0,+∞) 上内闭一致收敛.
n=1
n=1
5.
提示:
证明
∞
∑

第14讲柯西中值定理与洛必达法则2009

第14讲柯西中值定理与洛必达法则讲授内容一、柯西中值定理定理 6.5(柯西（cauchy ）中值定理) 设函数f 和g 满足 (i)在],[b a 上都连续；(ii)在(b a ,)上都可导；(iii))()(x g x f ''和不同时为零；(iv)),()(b g a g ≠ 则存在),,(b a ∈ξ使得.)()()()()()(a g b g a f b f g f --=''ξξ证：作辅助函数)).()(()()()()()()()(a g x g a g b g a f b f a f x f x F -----=易见)(x F 在],[b a )上满足罗尔定理条件，故存在),(b a ∈ξ，使得.0)()()()()()()(='---'='ξξξg a g b g a f b f f F因为0)(≠'ξg (否则由上式)(ξf '也为零)，所以得证.例1 设函数f 在[a,b])0(>a 上连续，在(b a ,)内可导，则存在),(b a ∈ξ，使得 .ln)()()(a b f a f b f ξξ'=-证：设x x g ln )(=，显然它在],[b a 上与)(x f 一起满足柯西中值定理条件，于是存在b a ,(∈ξ)，使得+→0limx .1)(ln ln )()(ξξf ab a f b f '=--整理便得所要证明的等式．二、不定式极限现在我们将以导数为工具研究不定式极限，这个方法通常称为洛必达(L ’Hospital)法则． 1．0型不定式极限定理6.6 若函数f 和g 满足：(i)0)(lim )(lim 0==→→x g x f x x x x ；(ii)在点0x 的某空心邻域)(0x U 内两者都可导，且0)(≠'x g ；A x g x f x x =''→)()(lim(A 可为实数，也可为±∞或)∞，则.)()(lim)()(limA x g x f x g x f x x x x =''=→→证：补充定义0)()(00==x g x f ，使得f 与g 在点0x 处连续．任取x ∈)(0x U ，在区间[x x ,0] (或[0,x x ]上应用柯西中值定理，有,)()()()()()(00ξξg f x g x g x f x f ''=--即)()()()(ξξg f x g x f ''=(ξ介于).0之间与x x当令0x x →时,也有,0x →ξ使得.)()(lim)()(lim)()(limA x g x f g f x g x f x x x x x x =''=''=→→→ξξ注意若将定理6.6中0x x → 换成,,,,00∞→±∞→→→-+x x x x x x 也可得到同样的结论.例2 求 .tancos 1lim2xx x +→π解：容易检验x x f cos 1)(+=与x x g 2tan)(=在点π=0x 的邻域内满足定理6．6的条件(i)和(ii)，又因212c o s limsectan 2sin lim)()(lim32=-=-=''→→→x xx x x g x f x x x πππ故由洛必达法则求得.21)()(lim)()(lim=''=→→x g x f x g x f x x ππ例3 求.)1ln()21(lim221x x exx ++-→解：利用)1ln(2x +～),0(2→x x 则得xx e xx e x x e xx xx xx 2)21(lim)21(lim)1ln()21(lim210221221-→→→+-=+-=++-=1222)21(lim230==++-→x e xx求.1xex -例4解：这是0型不定式极限，可直接运用洛必达法则求解．但若作适当变换，在计算上可方便些．为此，令x t =，当+→0x 时有+→0t ，于是有.11lim 1lim 1lim-=-=-=-+++→→→tt tt xx t eet ee2．∞∞型不定式极限定理6.7 若函数f 和g 满足：(i) ;)(lim )(lim 00∞==++→→x g x f x x x x ii ）在某右邻域)(00x U +内两者都可导，且;0)(≠'x g （iii ）A x g x f x x =''+→)()(lim(A 可为实数，也可为±∞∞,)，则.)()(lim )()(limA x g x f x g x f x x x x =''=++→→注：定理6.7对于00,x x x x →→-。

《数学分析》试题(含答案)

考试科目：数学分析(I)一、求极限、导数或高阶导数(每小题5分，共35分)1.n lim →∞⎛⎫++……解：n n n 11(1)(1)lim lim n n n n →∞++⎛⎫≤+≤……，故原式1=2.2.()222n x x x n x x x x 2x 2lim =lim =lim =lim =022ln 22ln 22n →∞→∞→∞→∞. 3.()42220011-cos 12lim =lim =sin ln 1+2x x xx x x x x x x →→•.4. 11limarcsin()1ln x x x x→--解：111limarcsin()arcsin 1ln 26x x x x π→-==-. 5.设(0)xxy x x =>,求y '.1(ln (ln 1))xx x x y x x x x x -'=++.6. 设函数)(x y y =是由参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x 确定，求2t dydxπ=和t dy dxπ=。

21t dy dxπ==.7. 设函数f 二阶可导，1()1x y f x -=+，22d y dx解：221()(1)1dy x f dx x x -'=++， 22344141()()(1)1(1)1d y x x f f dx x x x x --'''=-+++++.二、解答题（每小题8分，共32分）1. 已知001a <<，)n+1a n 0≥，求证n a 的极限存在并求其极限.解: 易知{}n a 单调增有上界1，故由单调收敛定理及n+1n n lim a =→∞知n n lima =1.→∞2. 讨论函数()211sin x x f x e x-=的间断点及其类型. 解: 0x =为可去间断点，=1x ±为第二类间断点.3. 求函数()(4)f x x =-的极值点与极值。

数学分析第一章自测试卷

对外经济贸易大学2009─2010学年第一学期《数学分析(I)》第一章自测试卷学号：姓名：成绩：请同学们在100分钟内独立、闭卷完成！一、判断下列陈述的正误（每题2分，共14分）得分 ___1．存在在区间[,]a b 上连续的函数()f x ，其值域为[0,1][2,3]⋃。

[ ]2．若数列2{}k a 收敛，数列{}n a 单调，则数列{}n a 收敛。

[ ]3．若0)(lim 1>→x f x ，则0)(>x f 。

[ ]4．当0x →时，322x x +是比2x 高阶的无穷小量。

[ ]5. 若()f x 在区间[,]a b 连续，)(sup ],[x f b a 存在，则最大值)(sup ],[x f M b a =。

[ ]6. 设()f x 定义在区间[,]a b 上，且0)(,0)(<>b f a f ，则)(x f 在),(b a 必有零点。

[ ]7．若()f x 在区间[,]a b 连续，则()m in {(),}h x f x x =在[,]a b 上一致连续。

[ ]二、填空题：（每空3分，共21分）得分 ____ 1．已知0)12(lim 2=+-++∞→a x xx x x ，则__________a =。

2． =+∈)sin (sup )1,0(x x x __________。

3．若1)(lim 0-=→x f x ，则=∞→|)(|lim 1n n f 。

4． =+-→x x x x 10)11(lim 。

5． n1n )n 1-(2lim ∞→=____________.6． )(lim 24n n n n -+∞→=_______________. 7．曲线x x y ++=112的渐近线为。

三、基本概念题（每小题6分，共12分）得分 __1. 设S 为非空集合，试给出S 的下确界的定义；设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=+N 1Q n n，求该集合的下确界，并用定义加以证明。

《数学分析》I-2017-2018-1 期中考试试题参考答案

《数学分析》I-2017-2018-1期中考试试题参考答案一题，填空题（每空3分，共15分）1.lim$→$&f x≠A的定义为：∃ε->0,∀δ>0,∃x′,0<x′−x-<δ，有f x′−A≥ε-2.设f(x)在0点可导，则lim8→09:;<=>8;9(-)8?=:Af′(0)3.函数y=sgn(sin x) 的间断点为：kπ,k∈Z4.若lim$→∞$NO$;O$=9,则a=ln35.若函数f x=cos x;$?,x≠0a,x=0在x=0处连续，则a=1二题，选择题（每题3分，共15分）1.（D）2.（D）3.（D）4.（A）5.（C）三题、计算题（每题5分，共30分）1.lim$→0O V NW V NX VYZV(a>0,b>0,c>0)lim$→-a$+b$+c$3:$=lim$→-1+a$−1+b$−1+c$−13:$因为lim$→-a$−1+b$−1+c$−13x=13ln abc所以有：lim$→-O V NW V NX VYZV=abc^2.设x_N:=x_+2,x:=2,证明该数列收敛，并求其极限。

首先证明有界性，因为x:=2<2,假设x_<2，则有x_N:=x_+2<2。

由归纳法知该数列有界。

下证该数列单调递增：x_N:−x_=x_+2−x_;:+2=x_−x_;:x_+2+x_;:+2所以该数列单调，因为x:<x A,所以该数列单调递增。

由单调有界定理，该数列收敛。

假设极限为A，则有：A=A+2→A=23.设y=f(x+y),其中f具有二阶导数，且f′≠1,求b?cb$?y d=f d x+y1+y dy dd=f dd x+y1+y d A+f d x+y y′′所以有：y′′=f′′x+y1+y′A 1−f′x+y其中：y d=f d x+y/(1−f′(x+y)) 4.设y=sin A x,求y(_)解：y=sin A x=1−cos2x2y(-)=1−cos2x2n ≥1,有y_=1−cos 2x 2_=−122_cos 2x +nπ25. 设x =ln 1+t Ay =arctan t，求b ?c b$?d Ay dx A =d dx dy dx =d dx 11+t A 2t 1+t A =d dt 12t dt dx =−12t A 1+t A 2t =1+t A−4t Y6. 利用微分计算sin 30-30′(30d =lYm-≈0.0087)sin 30-30d 30d =π360≈0.0087=sin π6+π360≈sin π6+cos π6π360≈12+32π360四．证明题（本题10分）证明：五．论述题（每小题5分，共10分）1. 指出函数:$−:$的间断点，并指出其类型。

北京大学数学与应用数学专业本科教学计划

《常微分方程教程》丁同仁、李承治高等教育出版社 10、复变函数论《复变函数教程》方企勤北京大学出版社 11、数学模型《数学模型讲义》雷功炎北京大学出版社 12、抽象代数 II 《抽象代数》（胶印本）徐明曜，赵春来 2003 13、实变函数论《实变函数》周民强北京大学出版社 14、微分几何《微分几何初步》陈维桓北京大学出版社 15、偏微分方程《偏微分方程》周蜀林北京大学出版社 16、数理统计《数理统计学讲义》陈家鼎等著高等教育出版社，1993 17、随机过程《应用随机过程》钱敏平，龚光鲁，北京大学出版社 1998 18、数值分析* 《数值分析》自编讲义张平文，李铁军 19、拓扑学《基础拓扑学讲义》尤承业北京大学出版社 20、测度论《测度论讲义》程士宏著北京大学出版社，待出版。《测度与积分》严加安著陕西师范大学出版社，1988 21、泛函分析《泛函分析讲义》（上、下册），张恭庆，林源渠北京大学出版社 22、微分流形《微分流形初步》陈维桓高等教育出版社 23、微分拓扑《微分拓扑新讲》张筑生北京大学出版社 24、时间序列分析* 《应用时间序列分析》何书元北京大学出版社 25、回归分析* 《回归分析》周纪芗华东师范大学出版社 , 1993 26、最优化方法* 《最优化方法理论与方法》，袁亚湘，孙文瑜科学出版社 27、非参数统计* 《非参数统计讲义》孙山泽北京大学出版社 , 2000 28、初等数论* 《初等数论》潘承洞, 潘承彪, 北京大学出版社, 1991 29、多元分析* 自编讲义 30、数值代数* 自编讲义
注：“*”为选修
二、教材
1、数学分析 I 《数学分析 I》 (彭立中，伍胜健，谭小江) （教材科讲义） 2、数学分析 II 《数学分析 II》（伍胜健，谭小江，彭立中）（教材科讲义） 3、数学分析 III 《数学分析 III》（谭小江，黄克服，伍胜健，彭立中）（教材科讲义） 4、高等代数 I 《高等代数简明教程》（上册）蓝以中北京大学出版社 5、高等代数 II 《高等代数简明教程》（下册）蓝以中北京大学出版社 6、抽象代数 I 《抽象代数基础》丘维声高等教育出版社 7、解析几何《解析几何》丘维声北京大学出版社 8、概率论《概率论引论》汪仁官北京大学出版社 9、常微分方程

数学分析(一)：一元微积分南京大学 6 第六章积分的推广和应用 (6.3.1) Riemann积分的基本

a
b
f (x)g(x) dx
a
b
= [fn(x) − f (x)]g(x) dx
a
b
≤ M |fn(x) − f (x)| dx ≤ M/n,
a
这说明 (2) 式成立.
分段线形逼近
命题 4 (分段线性逼近) 设 f ∈ R[a, b], 则存在一列连续的分段线性函数 fn, 使得 fn(a) = f (a), fn(b) = f (b),
一元微积分与数学分析
— Riemann 积分的基本性质
梅加强
南京大学数学系
积分的基本性质
推论 1
(1) 设 [α, β] ⊂ [a, b], 如果 f 在 [a, b] 中可积, 则 f 在 [α, β] 中也可积. (2) 设 c ∈ (a, b), 如果 f 在 [a, c] 及 [c, b] 中都可积, 则 f 在 [a, b] 中也可积, 且
b
lim
n→∞
a
|fn(x) − f (x)| dx = 0,
(1)
且每一个 fn 均介于 f 的上下确界之间. 此时, 任给 g ∈ R[a, b], 还有
b
b
lim
n→∞
a
fn(x)g(x) dx =
a
f (x)g(x) dx.
(2)
阶梯逼近
命题 3 (阶梯逼近) 设 f ∈ R[a, b], 则存在一列阶梯函数 fn, 使得
当 |g| 有正下界时, 不妨设 |g| ≥ m > 0. 此时, 由 1/g(x) − 1/g(y )
=
|g (x )−g (y )| |g (x )g (y )|
可
得 ωi (1/g) ≤ m−2ωi (g), 由此可知 1/g 可积, 于是 f /g = f · (1/g) 可积.

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一元微积分学
一.函数
实数理论简介；确界存在定理；函数概念与基本性质；初等函数
二. 序列极限
序列极限定义；无穷小量与无穷大量；序列极限的性质；单调有界序列，实数系连续性的基本定理；Cauchy收敛准则；序列的上，下极限
三．函数的极限与连续性
函数极限的定义与推广；函数极限的性质，数列极限与函数极限的关系；函数极限存在性定理及两个重要极限；函数的连续与间断；连续函数的基本性质与初等函数的连续性；闭区间连续函数的性质；一致连续函数；无穷小量与无穷大量的阶
数学分析（I）课程详细信息
课程号
00132301
学分
5
英文名称
Mathematical Analysis (I)
先修课程
无
中文简介
本课程是数学类各专业最重要的基础课之一。第一册内容主要包括极限论、一元微分学。本课程是数学分析（II）（III）的基础，同时是许多后继课程如微分方程、微分几何、复变函数、实变函数、概率论、基础物理、理论力学等学习的基础。数学分析(I)将提供大学数学的基本能力及思维方法的训练重要课程。具有良好的数学分析(I)的基础对于今后的学习和研究起着关键的作用。
杨家忠：
英文简介
Mathematical analysis (I) is one of the most important courses for the students who wish to study the mathematics and related subjects. The course mainly includes the theory of limits of sequence of numbers and functions; derivatives and differentials of real functions. The course is a basis for Mathematical analysis (II) and (III) and for many courses such as differential equations; differential geometry, functions of one complex variable; real analysis, probability; basic physics, etc. The course provides the training for the mathematical thinking and skills.
期中考试时间，初步定在 2020.11.18（周三随堂），前三章内容。
期末考试时间，学校已定： 2021.1.20 上午。
课堂讲授为主.
课程总评成绩由三部分构成：平时成绩 15%，期中成绩 35%, 期末成绩 50%.
作业提交和发放：习题课课堂。
作业布置：课堂、微信群、邮件等方式。
教学评估
四．导数和微分
导数的引入与定义；单侧导数；求导的方法；微分的定义与一阶微分的形式不变性；高阶导数与高阶微分
五．导数的应用
微分中值定理； del′Hospitale法则；Taylor公式；利用导数研究函数
六．不定积分
原函数；不定积分；第一与第二换元法；分部积分法；一些常见函数的不定积分有理函数积分
开课院系
数学科学学院
通选课领域
是否言
中文
教材
数学分析(I),伍胜健,北京大学出版社,2009年07月,第一,978-7-301-15685-8/O-0787；
数学分析习题演练,周民强,数学分析习题课讲义,谢惠民等编著,数学分析,卓里奇,
参考书
教学大纲
本课程是数学类各专业最重要的基础课之一。其基本内容包括极限论、微分学。本课程是许多后继课程如微分方程、微分几何、复变函数、实变函数、泛函分析、概率论、基础物理、理论力学等学习的基础。数学分析同时也是大学数学的基本能力及思维方法的训练重要课程。具有良好的数学分析的基础对于今后的学习和研究起着关键的作用。