线性代数考试题库及答案(六)

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线性代数练习题(有答案)

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《线性代数》 练习题一、选择题1、 设A ,B 是n 阶方阵,则必有 ……………………………………………( A )A 、|AB |=|BA | B 、2222)(B AB A B A ++=+C 、22))((B A B A B A -=-+D 、BA AB = 2、设A 是奇数阶反对称矩阵,则必有( B ) (A)、1=A (B)、0=A (C)、0≠A (D)、A 的值不确定3、向量组)0,1,1(,)9,0,3(-,)3,2,1(,)6,1,1(--的秩为____2 ________4、向量组)1,3,1,2(-,)4,5,2,4(-,)1,4,1,2(--的秩为______2__ ___.5、设A 是n m ⨯阶矩阵,r A r =)(,则齐次线性方程组O AX =的基础解系中包含解向量的个数为( C )(A)、r (B)、n (C)、r n - (D)、r m - 二、计算与证明题6、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022A , ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=221021132B 求(1)32AB A -,(2).T B A6、解(1). A AB 23-2202313212120020122--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-- ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭2202212020-⎛⎫⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭2223186240-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭2202212020-⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭210612622680-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭(2). 220231231212120120020122122T A B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭222186240-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭7、设A ,B 是n 阶方阵满足AB B A =+,证明:E A -可逆. 7、解、1()A E B E --=-8、设方阵A 满足0332=--E A A ,证明:A 可逆,并求1-A .8、解、由2330A A E --=有A (3A E -)=3E ,于是,A [21(3A E -)]=E ,所以A 可逆,且11(3)3A A E -=-.9、计算行列式:1014300211321221---=D9、69D =-.10、计算行列式D =4232002005250230---- 10、解:D =423200200525230----0205252304--=55208---=80-=11、计算n 阶行列式abbb b a bb b a D =11、1[(1)]()n D a n b a b -=+--。

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第一章随堂检测1.已知行列式333231232221131211a a a a a a a a a D = 展开式的六项中含有,则i+j=( )A.1B.2C.4D.6我的答案:D2.某二阶行列式的所有元素都是整数,则该行列式的结果( ) A.一定是整数 B.一定不是零 C.一定是正数 D.一定是负数 我的答案:A3.[单选题] 行列式=bb a a ( )A.0B.b a 22- C.b a 22+ D.2ab我的答案:A4.[单选题] 方程组⎩⎨⎧=-=+2121212x x x x 的解是( )A.⎩⎨⎧==0121x x B.⎩⎨⎧==1121x xC.⎩⎨⎧==1021x xD.⎩⎨⎧==0021x x 我的答案:A 5.[单选题] 行列式34-43的结果是( )A.0B.7C.10D.25我的答案:D6.[单选题] 某三阶行列式的所有元素都是4,则该行列式的值是( ) A.3 B.4 C.7 D.0我的答案:D7.[单选题] 关于三阶行列式说法正确的是( )A.若行列式的所有元素都等于零,则行列式的结果一定等于零B.若行列式的所有元素都等于零,则行列式的结果一定不等于零C.若行列式的所有元素都不等于零,则行列式的结果一定等于零D.若行列式的所有元素都不等于零,则行列式的结果一定不等于零 我的答案:A8.[单选题]行列式101010102( )A.0B.1C.2D.4我的答案:B9.[单选题] 一元一次方程1211x =的解是( )A.x=1B.x=2C.x=3D.x=4我的答案:A10.[单选题] 已知行列式,3333333331=D ,5555555552=D 则( )A.4B.2C.8D.0我的答案:D11.[单选题] 若a 、b 、c 、d 的绝对值都是1,则行列式dc ba 的最大值是( )A.1B.2C.3D.4我的答案:B12.[单选题] 若某二阶行列式的结果为零,则关于该行列式的以下说法正确的是( )A.至少有一行元素为零B.至少有一列元素为零C.至少有一个元素为零D.以上答案都不对 我的答案:D1.[单选题] 三级排列321的逆序数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0我的答案:A2.[单选题] 以下四个4级排列中,逆序数为零的是( ) A.1234 B.4231 C.1324 D.1423我的答案:A3.[单选题] 一个偶排列的逆序数可能是( )A.1B.3C.4D.5我的答案:C4.[单选题] 已知由1、2、3、4、5组成的某个5级排列中,数字5排在最前面,则该排列的逆序数至少是( )A.1B.3C.4D.5我的答案:C5.[单选题] 关于逆序数说法正确的是( )A.相同的排列一定有相同的逆序数B.相同的排列一定有不同的逆序数C.不同的排列一定有相同的逆序数D.不同的排列一定有不同的逆序数我的答案:A6.[单选题] D是四阶上三角行列式,主对角线元素分别是1、2、3、4,则该行列式的值是( )A.2B.6C.10D.24我的答案:D7.[单选题] 某对角行列式结果等于1,说明该行列式( )A.主对角线上所有元素都等于1B.主对角线上所有元素都大于1C.主对角线上所有元素都小于1D.主对角线上所有元素乘积为1我的答案:D8.[单选题] D是四阶行列式,且结果不等于零,则该行列式的非零元素个数可能是( )A.1B.2C.3D.4我的答案:D9.[单选题] 若某四阶行列式所有元素都是奇数,则该行列式的结果( ) A.一定是奇数 B.可能是奇数 C.一定是正数 D.一定是偶数 我的答案:D10.[单选题] D 是五阶行列式,且位于前三数行和前三列交叉点处的9个元素都是0,而位于其它位置的16个元素都是1,该行列式的值是( ) A.4 B.16 C.25 D.0我的答案:D1.[单选题] 某三阶该行列式共有三个元素为零,则以下说法正确的是( ) A.该行列式的结果一定为零B.若三个零元素在同一行,则该行列式的结果为零C.若三个零元素都在主对角线上,则该行列式的结果为零D.若三个零元素都在副对角线上,则该行列式的结果为零 我的答案:B2.[单选题] 已知行列式13332312322211312111==a a a a a a a a a D 则==3332312322211312112a a a a a a a a a D ( )A.1B.2C.4D.6我的答案:A3.[单选题] 已知222112111a a a a D =,,121122212a a a a D =,且a D D ==21,则a=( )A.0B.1C.2D.4我的答案:A4.[单选题] 行列式ab bb a b a ab a b a ------+( ) A.0 B.b a 22- C.b a 22+ D.2ab我的答案:A5.[单选题] 已知行列式13332312322211312111==a a a a a a a a a D ,==333231223222121341241182a a a a a a a a a D ( ) A.1B.2C.4D.8我的答案:D6.[单选题] 行列式=11-1-111-111( )A.0B.2C.8D.4我的答案:D7.[单选题] 关于行列式说法正确的是( ) A.交换行列式的两行,行列式的结果不变 B.交换行列式的两列,行列式的结果不变C.交换行列式的两行,然后交换行列式的两列,行列式的结果不变D.交换行列式的两行,然后交换行列式的两列,行列式变号 我的答案:C8.[单选题] 行列式987654321=( )A.2B.0C.8D.4我的答案:B9.[单选题] 行列式30219910132121-1=( ) A.2 B.0 C.8 D.4我的答案:B10.[单选题] 若dc bD a =,则=D T( )A. B. C. D.我的答案:B1.[单选题] 在下列四个二阶行列式中,不满足a A ijij =(i,j=1,2,)的是( )A.1111B.111-1C.1001D.2002我的答案:A2.[单选题] 已知行列式,1333231232221131211==a a a a a a a a a D ,则=++231322122111a a a A A A ()A.1B.2C.3D.0我的答案:D3.[单选题] 对于二阶行列式D,中若a 2a 2112=,则有( )A.A 1212a =B.A 2121a =C.A 2A 2112=D.A 2A 1221=我的答案:D4.[单选题] 已知行列式1333231232221131211==a a a a a a a a a D ,则下列式子结果为1的是( )A.M a M a M a 232322222121++B.M a M a M a 333332323131++C.A a A a A a 131312121111++D.A a A a A a 131312121111+-我的答案:C5.[单选题] 对于二阶行列式D,中若a a 21211=,则有( )A.A 2A 1112=B.A 2A 1211=C.A1211A =D.以上都不对我的答案:D6.[单选题] 行列式300220111=D ,则A A A 131211++( )A.0B.2C.4D.6我的答案:D7.[单选题] 满足122211211====AAAA 的二阶行列式是( )A.1111B.1111----C.1111--D.1111--我的答案:D8.[单选题] 行列式694432111=( )A.2B.0C.8D.4我的答案:A9.[单选题] 行列式c b a D c ba 2221111=,)()()(1112222111111++++++=c b a D c b a ,则( )A.由D D 21=可得a+c=bB.由D D 21=可得a-c=bC.由D D 21=可得a ·c=bD.以上答案都不对我的答案:D10.[单选题] 若D 是二阶对角行列式,且202211=AA,则D=( )A.2B.1C.8D.4我的答案:A1.[单选题] 若b >a ,则线性方程组⎩⎨⎧=+=+c cax bx bx ax 2121解的情况与c 的关系是( )A.当等于零时,方程组无解B.当不等于零时,方程组无解C.当时,方程组无解D.在任何情况下,方程组都有解 我的答案:D2.[单选题] 若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 333323213123232221211313212111无解,则行列式==333231232221131211a a a a a a a a a D( ) A.1 B.2 C.3 D.0我的答案:D3.[单选题] 对于⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=++000-42-622-53121321x x x x x x x )()()(λλλ有非零解,则不可能取的值是( ) A.5B.8C.2D.6我的答案:D4.[单选题] 方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333232131323222121313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a 解的情况是( )A.一定有解B.一定无解C.可能无解D.当系数行列式为零时无解 我的答案:A5.[单选题] 若齐次线性方程组有一个非零解,则该方程组一定( ) A.有无穷多解 B.恰有两个非零解 C.没有零解 D.恰有三个解 我的答案:A6.[单选题] 在平面直角坐标系中,直线CB A Y X 1111:l =+与直线C B A Y X 2222:l =+相交,则线性方程组⎩⎨⎧=+=+C B A C B A Y X Y X 222111解的情况是( ) A.有无穷多解B.恰有一个解C.恰有两个解D.恰有三个解 我的答案:B7.[单选题] 关于X 、Y 、Z 的齐次线性方程组⎩⎨⎧=++=++0ey 0fz dx cz by ax 解的情况是( )A.无解B.有非零解C.没有零解D.只有零解 我的答案:B8. [单选题] 已知方程组⎩⎨⎧=+=+24622y x y ax 无解,则a=( )A.1B.2C.3D.0我的答案:C9.[单选题] 已知方程组⎩⎨⎧=++=+p y x p y 3225x 3的解满足x+y=2,则p=( )A.1B.2C.3D.4我的答案:D10.[单选题] 若cx a x 2bx )(f ++=,f(d)=f(e)=f(g)=0,且d 、e 、g 两两不等,则关于a 、b 、c 的取值情况是( ) A.a=0,b ≠0,c=0 B.a=0,b=0,c=0 C.a ≠0,b=0,c=0 D.a=0,b ≠0,c ≠0 我的答案:B作业1计算行列式 ____正确答案:132计算行列式 ____正确答案:13计算行列式 ____正确答案: 04计算行列式____正确答案:-275计算行列式____正确答案:06解方程,结果是____正确答案:47解方程,结果是或____正确答案:38解方程,结果是或____正确答案:-21在六阶行列式中,元素乘积应取什么符号____(本节课习题凡是涉及符号问题的,正号请在横线上填“+;正;正号;➕”,负号请在横线上填“-;负;负号;➖”)正确答案:+;正;正号;➕2在六阶行列式中,元素乘积应取什么符号____正确答案:-;负;负号;➖3在六阶行列式中,元素乘积应取什么符号____正确答案:+;正;正号;➕4在六阶行列式中,元素乘积应取什么符号____正确答案:-;负;负号;➖5项是不是五阶行列式中的一项____(是/不是),若是,它的符号是____.(若不是,第二个空不用填)正确答案:第一空:是第二空:+;正;正号;➕6项是不是五阶行列式中的一项____(是/不是),若是,它的符号是____.(若不是,第二个空不用填)正确答案:不是7项是不是五阶行列式中的一项____,若是,它的符号是____.(若不是,第二个空不用填)正确答案:第一空:是第二空:-;负;负号;➖8四阶行列式中乘积前应冠以什么符号? ____ 正确答案:-;负;负号;➖9计算行列式____正确答案:2410计算行列式____正确答案:1某三阶该行列式共有三个元素为零,则以下说法正确的是( )A、该行列式的结果一定为零B、若三个零元素在同一行,则该行列式的结果为零C、若三个零元素都在主对角线上,则该行列式的结果为零D、若三个零元素都在副对角线上,则该行列式的结果为零正确答案: B2已知行列式,则( )A、1B、2C、4D、6正确答案: A3已知,,且,则( )A、0B、1C、2D、4正确答案: A4行列式( )A、0B、C、D、正确答案: A5已知行列式,则( )A、1B、2C、4D、8正确答案: D6行列式( )A、0B、2C、8D、4正确答案: D7关于行列式说法正确的是( )A、交换行列式的两行,行列式的结果不变B、交换行列式的两列,行列式的结果不变C、交换行列式的两行,然后交换行列式的两列,行列式的结果不变D、交换行列式的两行,然后交换行列式的两列,行列式变号正确答案: C8行列式( )A、2B、0C、8D、4正确答案: B9行列式( )A、2B、0C、8D、4正确答案: B10若,则( )A、B、C、D、正确答案: B1用行列式的性质计算行列式的值____正确答案:40131002用行列式的性质计算行列式的值____正确答案:53用行列式的性质计算行列式的值____正确答案:84已知,求行列式的值____ 正确答案:125已知,求行列式的值____ 正确答案:-486计算行列式的值____正确答案:607计算行列式的值____正确答案:-218计算行列式的值____正确答案:09计算行列式的值____正确答案:n!10计算行列式的值____正确答案:-2(n-2)!1求行列式中元素-4的代数余子式(计算出结果).____正确答案:102若某四阶行列式第三行元素依次为,,,,对应的余子式依次为,,,,求此行列式的值.____正确答案:-113计算行列式的值____正确答案:44计算行列式的值____正确答案:435计算行列式的值____正确答案:-246计算行列式的值____正确答案:-277计算行列式的值____正确答案:278计算行列式的值____正确答案:481已知4阶行列式,则中的系数是____正确答案:-4;➖42设4阶行列式,则=____,其中为元素的代数余子式.正确答案:0;零3设4阶行列式,则第一列各元素的代数余子式之和____正确答案:0;零4设5阶行列式,则____ 和____,其中为的第四行第列元素的代数余子式.正确答案:第一空:-9;➖9第二空:185用克莱姆法则求解线性方程组的解为____ ,____,____ .正确答案:第一空: 1第二空: 2第三空: 36用克莱姆法则求解线性方程组的解为____ ,____,____ ,____ .正确答案:第一空:-8;➖8第二空: 3第三空: 6第四空:07用克莱姆法则求解线性方程组的解为____ ,____,____ ,____ .正确答案:第一空:0第二空: 2第三空:0第四空:08用克莱姆法则求解线性方程组的解为____ ,____,____ ,____ ,____ .正确答案:第一空: 1第二空:-1;➖1第三空: 1第四空:-1;➖1第五空: 19当____ 或____时,齐次线性方程组有非零解.(小数在前,大数在后)正确答案:第一空:-2;➖2第二空: 1二.判断题(共1题,10.0分)1判断:齐次线性方程组仅有零解( ) .正确答案:√1已知行列式展开式的六项中含有,则( )A、1B、2D、6我的答案:D2某二阶行列式的所有元素都是整数,则该行列式的结果( )A、一定是整数B、一定不是零C、一定是正数D、一定是负数我的答案:A3行列式( )A、0B、C、D、我的答案:A4方程组的解是( )A、B、C、D、我的答案:A5行列式的结果是( )A、0C、10D、25我的答案:D6某三阶行列式的所有元素都是4,则该行列式的值是( )A、3B、4C、7D、0我的答案:D7关于三阶行列式说法正确的是( )A、若行列式的所有元素都等于零,则行列式的结果一定等于零B、若行列式的所有元素都等于零,则行列式的结果一定不等于零C、若行列式的所有元素都不等于零,则行列式的结果一定等于零D、若行列式的所有元素都不等于零,则行列式的结果一定不等于零我的答案:A8行列式( )A、B、1C、2D、4我的答案:B9一元一次方程的解是( )A、B、C、D、我的答案:A10已知行列式,,则( )A、4B、2C、8D、0我的答案:D11若、、、的绝对值都是1,则行列式的最大值是( )A、1B、2C、3D、4我的答案:B12若某二阶行列式的结果为零,则关于该行列式的以下说法正确的是( )A、至少有一行元素为零B、至少有一列元素为零C、至少有一个元素为零D、以上答案都不对我的答案:D第二章随堂检测1【单选题】已知矩阵是二阶单位矩阵,则( )A、1B、2C、3D、0我的答案:A2【单选题】已知矩阵的四个元素中任意两个都互为相反数,则该矩阵是( )A、单位矩阵B、四阶矩阵C、负矩阵D、零矩阵我的答案:D3【单选题】下列四个矩阵中是单位矩阵的是( )A、B、C、D、我的答案:B4【单选题】关于矩阵说法正确的是( )A、该矩阵是3阶单位矩阵B、该矩阵是9阶单位矩阵C、该矩阵是27阶单位矩阵D、该矩阵不是单位矩阵我的答案:D5【单选题】关于矩阵的行数与列数说法正确的是( )A、四行八列B、八行四列D、两行三列我的答案:D6【单选题】下列关于单位矩阵、对角矩阵以及数量矩阵说法正确的是( )A、对角矩阵是单位矩阵B、单位矩阵是数量矩阵C、对角矩阵是数量矩阵D、以上说法都不对我的答案:B7【单选题】四阶单位矩阵所有元素的和等于( )A、1B、2C、4D、16我的答案:C8【单选题】下列关于零矩阵说法正确的是( )A、所有元素都是零B、未必所有元素都是零,但第一行的元素一定都是零C、未必所有元素都是零,但所有元素的和一定等于零D、未必所有元素都是零,但所有元素的乘积一定等于零我的答案:A9【单选题】一个3×4矩阵和一个4×3矩阵的共同点是( )A、行数相同B、列数相同C、行数及列数都相同D、所含元素的个数相同我的答案:D10【单选题】某方阵共有16个元素,则它的行数是( )A、2B、4C、8D、16我的答案:B1【单选题】在矩阵等式中,已知和都是二行三列,则是( )A、二行三列B、三行二列D、六行六列我的答案:A2【单选题】已知是非零常数,是非零矩阵,则是否是零矩阵( )A、一定是B、一定不是C、可能是D、不确定我的答案:B3【单选题】已知,,则( )A、B、C、D、我的答案:D4【单选题】矩阵不可能是( )A、两个单位矩阵的和B、两个上三角矩阵的和C、两个下三角矩阵的和D、两个对角矩阵的和我的答案:A5【单选题】已知是负数,是上三角矩阵,则是( )A、下三角矩阵B、上三角矩阵C、数量矩阵D、对角矩阵我的答案:B6【单选题】已知矩阵是六行九列,则矩阵是( )A、十八行二十七列B、两行三列C、六行九列D、九行六列我的答案:C7【单选题】当取何值时,矩阵等式成立( )A、1B、2C、3D、不论取何值,等式都不成立我的答案:D8【单选题】是二阶单位矩阵,则( )A、B、C、D、以上答案都不对我的答案:D1【单选题】,,则( )A、B、C、D、我的答案:D2【单选题】在矩阵等式中,若是上三角矩阵,是下三角矩阵,,则关于的说法正确的是( )A、一定是上三角矩阵B、一定是下三角矩阵C、一定是对角矩阵D、以上答案都不对我的答案:D3【单选题】二阶方阵乘以二阶方阵等于( )A、四阶方阵B、四行四列矩阵C、行数和列数相等且含有十六个元素的方阵D、二阶方阵我的答案:D4【单选题】在矩阵等式中,和的元素都是负数,则的元素符号( )A、都是正数B、都是负数C、正负交替出现D、不确定,与矩阵的行数与列数有关我的答案:A5【单选题】关于矩阵和,以下说法不正确的是( )A、若有意义,则必有的行数等于的行数B、若有意义,则必有的行数等于的列数C、若有意义,则必有的列数等于的行数D、若有意义,则必有的行数等于的列数我的答案:B6【单选题】某矩阵既是对称矩阵又是反对称矩阵,则关于该矩阵说法正确的是( )A、是上三角矩阵,但未必是对角矩阵B、是下三角矩阵,但未必是对角矩阵C、是对角矩阵,但未必是零矩阵D、是零矩阵我的答案:D7【单选题】已知矩阵等式成立,则有( )A、,B、,C、,D、,我的答案:A8【单选题】,,,,则在,,,四个矩阵中,对称矩阵的个数是( )A、1B、2C、3D、4我的答案:D9【单选题】是阶方阵,,则( )A、B、C、D、4我的答案:C10【单选题】如果,则( )A、B、C、D、我的答案:A11【单选题】如果是同阶方阵,则以下说法正确的是( )A、若,则B、若,则C、若,则D、若,则我的答案:D12【单选题】,,且第列的元素和是(,,),则( )A、B、C、D、我的答案:A13【单选题】矩阵的结果是零矩阵,说明( )A、的行数等于的列数B、的列数等于的行数C、和至少有一个是零矩阵D、我的答案:D1【单选题】和是同阶可逆矩阵,则( )A、若,则B、若,则C、若,则D、若,则我的答案:A2【单选题】若,则( )A、可逆,且B、可逆,且C、可逆,且逆矩阵不唯一D、未必可逆我的答案:A3【单选题】逆矩阵不唯一的三阶可逆矩阵有( )个A、0B、1C、2D、3我的答案:A4【单选题】若,且,则( )A、B、C、D、我的答案:A5【单选题】是可逆矩阵,且,若,则( ) A、B、C、D、我的答案:A6【单选题】、、是同阶可逆矩阵,且,则( )A、B、C、D、我的答案:A7【单选题】是阶矩阵,是的伴随矩阵,以下说法正确的是( )A、可逆时,也可逆B、可逆时,不可逆C、不可逆时,可逆D、可逆时,不可逆我的答案:A8【单选题】,则的伴随矩阵( )A、B、C、D、我的答案:B9【单选题】是阶方阵,以下说法正确的是( )A、当可逆时,有B、当是数量矩阵时,有C、当是对角矩阵时,有D、当不可逆时,有我的答案:B10【单选题】、是同阶可逆矩阵,则下列矩阵未必可逆的是( ) A、B、C、D、我的答案:B1【单选题】是3阶初等矩阵,则的值不可能是( )A、3B、2C、1D、0我的答案:D2【单选题】下列关于初等矩阵的说法正确的是( )A、初等矩阵一定是可逆矩阵B、可逆矩阵一定是初等矩阵C、初等矩阵的行列式可能为零D、初等矩阵可能是退化矩阵我的答案:A3【单选题】已知矩阵是一行三列,矩阵是三行四列,则的结果是( )A、矩阵的第一列B、矩阵的第一行C、矩阵的第一列D、矩阵的第一行我的答案:B4【单选题】方阵经过一次初等变换后得到方阵,且,则( )A、0B、1C、2D、不确定我的答案:D5【单选题】交换方阵的第一、二行得到矩阵,交换方阵的第一、二列得到矩阵,则下列说法正确的是( )A、与不等价,且B、与不等价,且C、与等价,且D、与等价,且我的答案:C6【单选题】,则( )A、B、C、D、我的答案:A7【单选题】,则的标准形是( )A、B、C、D、我的答案:D8【单选题】,且已知矩阵可以经过行初等变换得到矩阵,其中,,则( )A、B、C、D、我的答案:A9【单选题】某初等矩阵一共有三行,则该矩阵一共有( )列A、27B、9C、3D、1我的答案:C10【单选题】四阶方阵的标准形中含元素1的个数最多是( )个A、2B、4C、1D、3我的答案:B1【单选题】,,则矩阵方程的解是( ) A、B、C、D、我的答案:B2【单选题】,,则矩阵方程的解是( ) A、B、C、D、我的答案:A3【单选题】可逆,且,则( )A、B、C、D、我的答案:C4【单选题】是阶方阵,且,则有( )A、不可逆B、可逆且C、可逆且D、可逆且我的答案:B5【单选题】是三阶可逆方阵,且,,则矩阵方程的解( )A、B、C、D、我的答案:D1【单选题】A是n阶矩阵,是非零常数,则一定有( )A、B、C、D、我的答案:B2【单选题】A=,则有( )A、B、C、D、我的答案:C3【单选题】A是n阶可逆矩阵,则下列结论正确的是( )A、B、C、D、我的答案:D4【单选题】一个六行八列矩阵的秩可能是( )A、6B、8C、66D、88我的答案:A5【单选题】矩阵A是m行n列且,若,则( )A、1B、2C、3D、4我的答案:D6【单选题】A是一个矩阵,则“是零矩阵”是“”的( )条件A、充分不必要B、必要不充分C、充分必要D、不充分不必要我的答案:C7【单选题】A是n阶矩阵,,,则有( )A、B、C、D、以上答案都错我的答案:A8【单选题】k是常数,,则不可能是( )A、1B、2C、3D、4我的答案:B9【单选题】,则有( )A、B、C、D、我的答案:A10【单选题】矩阵经过3次初等变换得到矩阵,,则( )A、8B、2C、5D、15我的答案:C作业1已知矩阵,、是常数且,则____正确答案:第一空: 12已知,满足,则常数____正确答案:第一空: 43矩阵,(),且,则____正确答案:第一空:504矩阵,及常数,满足,则____正确答案:05,是常数,,是未知数,且矩阵方程组有无穷多组解,则常数____正确答案:101某数量矩阵第四行的非零元素是2,则该矩阵第二行的非零元素是4( ) 正确答案:×2对角矩阵主对角线上的元素都不等于零( )正确答案:×3既是上三角矩阵又是下三角矩阵的矩阵是零矩阵( )正确答案:×4非负矩阵的行数不超过列数( )正确答案:×5五阶方阵的每个元素不小于5( )正确答案:×6数量矩阵不可能是单位矩阵( )正确答案:×7上三角矩阵第一行的元素都不等于零( )正确答案:×8某矩阵共四行,且所有元素都是4,则该矩阵是四阶方阵( )正确答案:×9下三角矩阵的行数不等于列数( )正确答案:×10数量矩阵的所有元素都相等( )正确答案:×1已知矩阵,且,则____正确答案:32已知且,是方阵,则是____阶方阵正确答案:4;四3矩阵,,且,又,则主对角线上所有元素的和等于____正确答案:34矩阵是行3列矩阵,是3行列矩阵,且,则____正确答案:35、、、、、是六个矩阵,且,,, 则矩阵所有元素的和等于____正确答案:06,,其中是单位矩阵,,则____正确答案: 27是反对称矩阵,则____正确答案:08二阶方阵、满足,且,, 则____正确答案:109,,则____正确答案:010是矩阵,是矩阵,的行数与列数相等,则____正确答案:81已知矩阵,且是的逆矩阵,则____正确答案:12是反对称矩阵且可逆,则主对角线上元素的和等于____正确答案:03矩阵可逆且,,则____正确答案:24矩阵是8阶方阵,则是 ____阶方阵正确答案:8;八5,是退化矩阵,则常数____正确答案:26方阵不可逆,则____正确答案:07方阵,且可逆,则____正确答案:18方阵,则____正确答案:29可逆矩阵的逆矩阵,若,则____ 正确答案:410矩阵,且,则____正确答案:01方阵经过初等变换后得到方阵,且,则的值不可能是____正确答案:02是四阶方阵且,是的标准形,则____正确答案:13矩阵,若,则____正确答案:24矩阵与等价,且是3行5列,是行列,则____正确答案:85矩阵,,,,,则____正确答案:36矩阵,,,则____正确答案:7矩阵,,,则____正确答案:18、是同阶方阵且,,则将矩阵的第二行乘以____就能得到矩阵正确答案:29在、、,三个矩阵中,逆矩阵等于自身的有____个正确答案:310矩阵,且矩阵序列,实数序列。

线性代数第六章二次型试题及答案

线性代数第六章二次型试题及答案

第六章 二次型一、基本概念n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为f(x 1,x 2,…,x n )= a 11x 12+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22+2a 23x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + …+a nn x n 2=212nii iij i j i i ja x a x x =≠+∑∑.它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑==n nn n n n n n n i nj j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f 21212222111211211121),,(),,( 记[]Tx x x X ,,21=,则f(x 1,x 2,…,x n )= X TAX称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩.注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AX X f T=,此时二次型的矩阵是唯一的,即二次型f 和它的矩阵A (A 为对称阵)是一一对应的,因此,也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。

实二次型 如果二次型的系数都是实数,并且变量x 1,x 2,…,x n 的变化范围也限定为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型.标准二次型 只含平方项的二次型,即形如2222211n n x d x d x d f +++=称为二次型的标准型。

规范二次型 形如221221q p p p x x x x ++--+ 的二次型,即平方项的系数只1,-1,0,称为二次型的规范型。

二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为它们的齐一次线性函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn nn y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n … … …c n1 c n2 … c nn 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X =Y AC C Y CY A CY AX X f T T T T )()()(===记AC C B T =,则B B T=,从而BY Y f T=。

(完整word版)线性代数经典试题4套及答案

(完整word版)线性代数经典试题4套及答案

线性代数经典试题4套及答案试卷1一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分)在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

1.设行列式a aa a11122122=m,a aa a13112321=n,则行列式a a aa a a111213212223++等于()A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,则A-1等于()A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,A*是A的伴随矩阵,则A *中位于(1,2)的元素是()A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有()A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩(A T)等于()A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则()A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λs βs=0B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1+β1)+λ2(α2+β2)+…+λs(αs+βs)=0C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1-β1)+λ2(α2-β2)+…+λs(αs-βs)=0D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r,则A中()A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是()A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆,则必有()A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵,下列陈述中正确的是()A.如存在数λ和向量α使Aα=λα,则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α,使(λE-A)α=0,则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1,λ2,λ3是A的3个互不相同的特征值,α1,α2,α3依次是A的属于λ1,λ2,λ3的特征向量,则α1,α2,α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有()A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵,则下列结论错误的是()A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行(列)向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵,C是实可逆矩阵,B=C T AC.则()A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为()A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题(共72分)二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)不写解答过程,将正确的答案写在每小题的空格内。

线性代数第 六章二次型试题及答案

线性代数第    六章二次型试题及答案
相似的矩阵一定有相等的特征值,但是特征值相等的矩阵不 一定等价。
特征值相同的实对称矩阵A和B一定相似,因为实对称矩阵 都能相 似对角化,特征值相同的实对称矩阵相似于同一个对角阵,根 据相似的传递性,A和B一定相似。
特征值相同的普通矩阵A和B可能相似,也可能不相似。 若A和B都能相似对角化,一定相似。 若一个能对角化,一个不能对角化,一定不相似。 若都不能对角化,可能相似,也可能相似。 例题:已知矩阵A和B,判断能否相似,
Abj=0, j=1,2,…,s b1,b2,…,bs均为Ax=0的解(r(A)+r(B)≤n) 若bj≠0且A为n阶方阵时,bj为对应特征值λj=0的特征向量 A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关。
AB=CA(b1, b2,…, br)=(C1, C2,…, Cr)
Abj=Cj,j=1,2,…,r bj为Ax=Cj的解. C1, C2,…, Cr可由A的列向量组α1, α2,…, αs线性表示.
因为(2,1,2)T是A的特征向量,所以,

二、化二次型为标准型
1.用配方法将下列二次型化为标准形,并判断正、负惯性指数的个数, 然后写出其规范形。
(1)Leabharlann 解:先集中含有x1的项,凑成一个完全平方,再集中含有x2的项,凑 成完全平方
=
设,, 标准型:,正惯性指数:,负惯性指数: 规范性:
(2) f(x1,x2,x3)= x12+2x22+2x1x2-2x1x3+2x2x3. 解:f(x1,x2,x3)= (x12+2x1x2-2x1x3)+2x22+2x2x3= 设 ,,标准型: 正惯性指数:,负惯性指数:,规范性: (3) f(x1,x2,x3)= -2x1x2+2x1x3+2x2x3. 解:像这种不含平方项的二次型,应先做线性变换: ,,, 设: , 标准型:,规范性: 2.设二次型f(x1,x2,x3)=X TAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3,(b>0),其中A的特征 值之和 为1, 特征值之积为-12.(1) 求a,b.(2) 用正交变换化f(x1,x2,x3)为标准型。 解:二次型的矩阵:,因为, (2)

线性代数第六章二次型试题及答案-二次型f

线性代数第六章二次型试题及答案-二次型f

第六章 二次型一、基本概念n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为f(x 1,x 2,…,x n )= a 11x 12+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22+2a 23x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + …+a nn x n 2=212nii i ij i j i i ja x a x x =≠+∑∑.它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑==n nn n n n n n n i n j j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f 21212222111211211121),,(),,( 记[]Tx x x X ,,21=,则f(x 1,x 2,…,x n )= X TAX称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩.注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AX X f T=,此时二次型的矩阵是唯一的,即二次型f 和它的矩阵A (A 为对称阵)是一一对应的,因此,也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。

实二次型 如果二次型的系数都是实数,并且变量x 1,x 2,…,x n 的变化围也限定为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型.标准二次型 只含平方项的二次型,即形如2222211n n x d x d x d f +++=称为二次型的标准型。

规二次型 形如221221q p p p x x x x ++--+ 的二次型,即平方项的系数只 1,-1,0,称为二次型的规型。

二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为它们的齐一次线性函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n … … …12 …n 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X =Y AC C Y CY A CY AX X f T T T T )()()(===记AC C B T =,则B B T=,从而BY Y f T=。

线性代数考试题及答案

线性代数考试题及答案

线性代数考试题及答案一、单项选择题(每题2分,共10分)1. 矩阵A的行列式为0,则矩阵A是:A. 可逆的B. 不可逆的C. 正定的D. 负定的答案:B2. 若向量组\( \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \)线性相关,则:A. 存在不全为0的实数k1, k2, ..., kn,使得k1\( \alpha_1 +k2\alpha_2 + \ldots + k_n\alpha_n = 0 \)B. 所有向量都为零向量C. 存在不全为0的实数k1, k2, ..., kn,使得k1\( \alpha_1 +k2\alpha_2 + \ldots + k_n\alpha_n \)是零向量D. 所有向量都为非零向量答案:A3. 矩阵A和B的乘积AB等于零矩阵,则:A. A和B都是零矩阵B. A和B中至少有一个是零矩阵C. A和B的秩之和小于A的列数D. A和B的秩之和小于B的行数答案:C4. 向量组\( \beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_m \)可以由向量组\( \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \)线性表示,则:A. m > nB. m ≤ nC. m ≥ nD. m < n答案:B5. 若矩阵A和B合同,则:A. A和B具有相同的行列式B. A和B具有相同的秩C. A和B具有相同的特征值D. A和B具有相同的迹答案:B二、填空题(每题3分,共15分)1. 若矩阵A的特征值为λ,则矩阵A^T的特征值为______。

答案:λ2. 若矩阵A可逆,则矩阵A的行列式|A|与矩阵A^-1的行列式|A^-1|满足关系|A^-1|=______。

答案:1/|A|3. 若向量组\( \alpha_1, \alpha_2 \)线性无关,则由这两个向量构成的矩阵的秩为______。

答案:24. 矩阵A的秩为r,则矩阵A的零空间的维数为______。

线性代数试题(完整试题与详细答案)

线性代数试题(完整试题与详细答案)

线性代数试题(完整试题与详细答案)一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)1.行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =( )A .-2B .-1C .1D .22.设A 为2阶矩阵,若A 3=3,则=A 2( ) A .21 B .1 C .34 D .23.设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =,则=-1C ( ) A .AB B .BA C .11--B AD .11--A B4.已知2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A 的行列式1-=A ,则=-1*)(A ( ) A .⎪⎪⎭⎫⎝⎛----d c b aB .⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a c b dC .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb d D .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a5.向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是( ) A .s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B .s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C .s ααα,,,21 全是非零向量D .s ααα,,,21 全是零向量6.设A 为n m ⨯矩阵,则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是( )A .n r =)(AB .m r =)(AC .n r <)(AD .m r <)(A 7.已知3阶矩阵A 的特征值为-1,0,1,则下列矩阵中可逆的是( ) A .A B .AE - C .A E -- D .A E -2 8.下列矩阵中不是..初等矩阵的为( )A .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001B .⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010001C .⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020001D .⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1010110019.4元二次型4332412143212222),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的秩为( ) A .1B .2C .3D .410.设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ,则二次型Ax x T 的规范形为( )A .232221z z z ++ B .232221z z z ---C .232221z z z --D .232221z z z -+二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。

线性代数试题及答案

线性代数试题及答案

线性代数习题和答案好东西第一部分选择题(共28分)一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分)在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

1。

设行列式=m,=n,则行列式等于( )A. m+n B。

—(m+n)C。

n—m D。

m—n2。

设矩阵A=,则A-1等于()A。

B。

C. D。

3.设矩阵A=,A*是A的伴随矩阵,则A *中位于(1,2)的元素是()A。

–6 B。

6C。

2 D. –24.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有()A. A =0B。

BC时A=0C. A0时B=C D。

|A|0时B=C5。

已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩(A T)等于()A。

1 B. 2C。

3 D。

46。

设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则()A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B。

有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1+β1)+λ2(α2+β2)+…+λs(αs+βs)=0 C。

有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1—β1)+λ2(α2-β2)+…+λs(αs—βs)=0 D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r,则A中( )A.所有r-1阶子式都不为0 B。

所有r-1阶子式全为0C。

至少有一个r阶子式不等于0 D。

所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是()A。

η1+η2是Ax=0的一个解 B.η1+η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆,则必有()A.秩(A)〈nB.秩(A)=n-1C.A=0D。

《线性代数》习题集(含答案)

《线性代数》习题集(含答案)

《线性代数》习题集(含答案)第一章【1】填空题 (1) 二阶行列式2a ab bb=___________。

(2) 二阶行列式cos sin sin cos αααα-=___________。

(3) 二阶行列式2a bi b aa bi+-=___________。

(4) 三阶行列式xy zzx y yzx =___________。

(5) 三阶行列式a bc c a b c a bbc a+++=___________。

答案:1.ab(a-b);2.1;3.()2a b -;4.3333x y z xyz ++-;5.4abc 。

【2】选择题(1)若行列式12513225x-=0,则x=()。

A -3;B -2;C 2;D 3。

(2)若行列式1111011x x x=,则x=()。

A -1, B 0, C 1, D 2,(3)三阶行列式231503201298523-=()。

A -70;B -63;C 70;D 82。

(4)行列式00000000a ba b b a ba=()。

A 44a b -;B ()222a b-;C 44b a -;D 44a b 。

(5)n 阶行列式0100002000100n n -=()。

A 0;B n !;C (-1)·n !;D ()11!n n +-•。

答案:1.D ;2.C ;3.A ;4.B ;5.D 。

【3】证明33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b zx y bz ax bx ay by azyzx++++++=++++ 答案:提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和,即得结果。

【4】计算下列9级排列的逆序数,从而确定他们的奇偶性: (1)134782695;(2)217986354;(3)987654321。

答案:(1)τ(134782695)=10,此排列为偶排列。

线性代数题库及答案

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《线性代数》题库及答案(总11页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--《线性代数》题库及答案一、选择题1.如果D=333231232221131211a a a a a a a a a ,则行列式33323123222113121196364232a a a a a a a a a 的值应为: A . 6D B .12D C .24D D .36D 2.设A 为n 阶方阵,R (A )=r<n,那么:A .A 的解不可逆B .0=A中所有r 阶子式全不为零 D. A 中没有不等于零的r 阶子式 3.设n 阶方阵A 与B 相似,那么:A .存在可逆矩阵P ,使B AP P =-1 B .存在对角阵D ,使A 与B 都相似于DC .E B E A λλ-=-D .B A ≠4.如果3333231232221131211==a a a a a a a a a D ,则131211332332223121333231323232a a a a a a a a a a a a ---等于A . 6B . -9C .-3D .-6 5.设矩阵n m ij a A ⨯=)(,m<n,且R (A )=r,那么:A .r<mB .r<nC .A 中r 阶子式不为零D .A 的标准型为⎪⎪⎭⎫⎝⎛0E ,其中E 为r 阶单位阵。

6.A 为n 阶可逆矩阵,λ是A 的一个特征根,则A 的伴随矩阵*A 的特征根之一是:A .nA1-λ B .A λ C .A 1-λ D .nA λ7.如果⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=++050403z y kx z y z ky x 有非零解,则k 应为:____________。

A . k =0B . k =1C . k =2D . k =-28.设A 是n 阶方阵,3≥n 且2)(-=n A R ,*A 是A 的伴随阵,那么:___________。

考研数学(三)题库 线性代数(第六章 二次型)打印版【圣才出品】

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Λ1,P2-1BP2=Λ2。所以有
P1
0
0
1
A
P2
0
0 P1
B
0
P21
0
0 P1
B
0
0
P2
P11 AP1 0
0
P21BP2
1
2
即存在可逆矩阵
Q
P1 0
0
P2
,使
Q
1CQ
1
2
故 C 相似于对角矩阵。
(2)若 A、B 都是正交矩阵,则 ATA=AAT=Em,BTB=BBT=En。所以有
+4x32)-x22-2x2x3-x32=(x1+x2+2x3)2-(x2+x3)2

y1
x1 x2 2x3 y2 x2 x3
y3 x3

x1
x2
y1
y2 y2
y3 y3
x3 y3
1 1 1
P
0
1
1
0 0 1
x1 y1
则在
x2
P
y2
下,二次型
f
5 1 3
A
1
5
3
3 3 d
5 1 3 1 5 3
A 1 5 3 12 0 2 1 24d 3
3 3 d
0 0 d 3
因 r(A)=2,所以|A|=0,解得 d=3。
(2)由矩阵 A 的特征多项式
5 1 3 E A 1 5 3
3 3 3
4 1 3 4 5 3
0 3 3
5/6
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CC T
A 0
0 AT
B
0

线性代数试题及答案

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1线性代数试题及答案一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设行列式333231232221131211a a a a a a a a a =4,则行列式333231232221131211333222a a a a a a a a a =( ) A.12 B.24 C.36D.482.设矩阵A ,B ,C ,X 为同阶方阵,且A ,B 可逆,AXB =C ,则矩阵X =( ) A.A -1CB -1 B.CA -1B -1 C.B -1A -1CD.CB -1A -13.已知A 2+A -E =0,则矩阵A -1=( ) A.A -E B.-A -E C.A +ED.-A +E4.设54321,,,,ααααα是四维向量,则( )A.54321,,,,ααααα一定线性无关B.54321,,,,ααααα一定线性相关C.5α一定可以由4321,,,αααα线性表示D.1α一定可以由5432,,,αααα线性表出 5.设A 是n 阶方阵,若对任意的n 维向量x 均满足Ax =0,则( ) A.A =0 B.A =E C.r (A )=nD.0<r (A )<(n )6.设A 为n 阶方阵,r (A )<n ,下列关于齐次线性方程组Ax =0的叙述正确的是( ) A.Ax =0只有零解B.Ax =0的基础解系含r (A )个解向量C.Ax =0的基础解系含n -r (A )个解向量D.Ax =0没有解7.设21,ηη是非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解,则( ) A.21ηη+是Ax =b 的解 B.21ηη-是Ax =b 的解 C.2123ηη-是Ax =b 的解D.2132ηη-是Ax =b 的解8.设1λ,2λ,3λ为矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200540093的三个特征值,则321λλλ=( )2A.20B.24C.28D.309.设P 为正交矩阵,向量βα,的内积为(βα,)=2,则(βαP P ,)=( ) A.21 B.1 C.23 D.210.二次型f (x 1,x 2,x 3)=323121232221222x x x x x x x x x +++++的秩为( )A.1B.2C.3D.4二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。

2022年线性代数试卷及答案6套

2022年线性代数试卷及答案6套

线性代数试卷及答案6套.试卷(一): 一. 填空题(每小题4分,共20分)1.已知正交矩阵P 使得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=200010001AP P T ,则.________)(2006=+P A E A P T2.设A 为n 阶方阵,n λλ,,1 为A 的n 个特征值,则 ._________)det(2=A 3.设A 是n m ⨯矩阵,B 是m 维列向量,则方程组B AX =有无数多个解的充分必要条件是:._________4.若向量组T T T t )3,2,(,)1,3,2(,)2,4,0(===γβα的秩为2,则._____=t5.,27859453251151)(32--=x x x x D 则0)(=x D 的全部根为:_________.二. 选择题 (每小题4分,共20分)1.行列式001010100 ---的值为( ).A. 1B. -1C. 2)1()1(--n n D. 2)1()1(+-n n2. 对矩阵n m A ⨯施行一次行变换相当于( ).A. 左乘一个m 阶初等矩阵B. 右乘一个m 阶初等矩阵C. 左乘一个n 阶初等矩阵D. 右乘一个n 阶初等矩阵 3. 若A 为n m ⨯矩阵,{},,0|,)(n R X AX X M n r A r ∈==<= 则( ). A. M 是m 维向量空间 B. M 是n 维向量空间 C. M 是r m -维向量空间 D. M 是r n -维向量空间 4. 若n 阶方阵A 满足,,02=A 则下列命题哪一个成立 ( ).A. 0)(=A rB. 2)(n A r =C. 2)(n A r ≥D. 2)(nA r ≤5. 若A 是n 阶正交矩阵,则下列命题哪一个不成立( ). A. 矩阵T A 为正交矩阵 B. 矩阵1-A 为正交矩阵 C. 矩阵A 的行列式是1± D. 矩阵A 的特征值是1±三. 解下列各题(每小题6分,共30分)1. 若A 为3阶正交矩阵, *A 为A 的伴随矩阵, 求).det(*A2. 计算行列式.111111111111aa a a 3. 设,,100002020B A AB A -=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=求矩阵.B4. 求向量组,)2,1,2,1(1T =α,)2,1,0,1(2T =α,)0,0,1,1(3T =αT )4,2,1,1(4=α的一个 最大无关组.5. 求向量T )1,2,1(=ω在基,)1,1,1(T =α,)1,1,0(T =βT )1,1,1(-=γ下的坐标. 四. (12分) 求方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--+=+++-=++-+631052372322543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x的通解(用基础解系与特解表示).五.(12分) 用正交变换化下列二次型为标准型, 并写出正交变换矩阵3123222132122),,(x x x x x x x x x f -++= 六. 证明题(6分)设r ξξξβ ,,,021≠是线性方程组β=AX 对应的齐次线性方程组的一个 基础解系,η是线性方程组β=AX 的一个解, 求证ηηξηξηξ,,,,21+++r 线性无关.试卷(二):一.计算下列各题:(每小题6分,共30分)(1),180380162176380162225379162(2)求,3222E A A ++其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3112A(3)已知向量组T T T t ),2,1(,)3,3,2(,)3,2,0(321-===ααα线性相关,求.t (4) 求向量T )4,2,1(-=α在基T T T )1,2,1(,)1,1,0(,)1,0,1(321-===ααα下的坐标.(5) 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=5321A , 求A 的特征值.二.(8分) 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200002130A ,且,B A AB T +=求矩阵B.三. (8分) 计算行列式: 100200300321x c b a四. (8分) 设有向量组,)6,0,2,3,3(,)7,2,0,1,1(,)5,2,1,0,1(,)3,2,1,1,0(4321T T T T -=--===αααα 求该向量组的秩以及它的一个最大线性无关组.五. (8分) 求下列方程组的通解以及对应的齐次方程组的一个基础解系.⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+-=-+-+.18257,432,1042354315432154321x x x x x x x x x x x x x x六. (8分) 求出把二次型323121232221222)(x x x x x x x x x a f -++++=化为标准形的正交变换,并求出使f 为正定时参数a 的取值范围.七. (10分) 设三阶实对称矩阵A 的特征值为3(二重根)、4(一重根),T )2,2,1(1=α是A 的属于特征值4的一个特征向量,求.A 八. (10分) 当b a ,为何值时,方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,233,1032,4321321321x bx x x bx x x x ax 有惟一解、无穷多解、无解?九.(10分) (每小题5分,共10分) 证明下列各题(1) 设A 是可逆矩阵, ,~B A 证明B 也可逆, 且.~11--B A (2) 设βα,是非零1⨯n 向量,证明α是n n ⨯矩阵T αβ的特征向量.试卷(三):一. 填空题(共20分)1. 设A 是n m ⨯矩阵,B 是m 维列向量,则方程组B AX =有唯一解的充分必要条件是:2. 已知E 为单位矩阵, 若可逆矩阵P 使得11223,P AP P A P E --+= 则当E A -可逆时, 3A =3. 若t 为实数, 则向量组α=(0,4,t ),β=(2,3,1),γ=(t ,2,3+t )的秩为:4. 若A 为2009阶正交矩阵,*A 为A 的伴随矩阵, 则*A =5. 设A 为n 阶方阵,12,,,n λλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是A 的n 个特征根,则1ni i i i E A λ=-∑ =二. 选择题(共20分)1. 如果将单位矩阵E 的第i 行乘k 加到第j 行得到的矩阵为)),(,(k i j P 将矩阵n m A ⨯的第i 列乘k 加到第j 列相当于把A :A, 左乘一个));(,(k j i P B ,右乘一个));(,(k j i PC . 左乘一个));(,(k i j PD ,右乘一个)).(,(k i j P2. 若A 为m ×n 矩阵,B 是m 维非零列向量,()min{,}r A r m n =<。

线性代数期末习题库及答案.docx

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一、计算下列行列式: 1、 3、 5、 7、 《线性代数》补充练习 练习一 行列式2、1 -1 1力- -2 1 0 0 01 -1Z + 1 -1 ?4、-211 Z-1 1 -1 —°10 =二? z + l -11 -10 0 0 -2 11O 10 0-22-1 -1 -1 -12 0-1 -1 A-1 -1 -1 -?6、 0-z A- 1 --1 -1 2-1-1-12-1 -1 -1 2-1k0 1 1 1 1 1 1 =?1 — a a 0 0 00 1 1 … 1 1 -11 — Q a1 0 1 … 1 10 -1 1 — Q a 0 =? 8、D … =11… 1 1-1 1 — Cla1 1 1 … 0 1 0 0 0-1 1 — a111 … 1 0babD 51 0 0 … 0 11 1 0 …0 0 D” =0 1 1 … 0 00 …1 19、 -?10、、若下面的齐次线性方程组有非零解,求2的取值。

兀1 +加3=0 2x l _无 =0 加1 + x 2 =0 x 3 + 2X 4 = 0 三、用克莱姆法则解线性方程组:兀]+ x2+兀 3 =a+b+cax x+ bx2+ cx3=a2 +b2 +c2其中a、b、c为互不相等的常数。

bcx、+ acx2+ abx3=3abc练习二线性方程组一、选择题:(1)设n阶方阵A的秩r<n,则在A的n个行向量中( )(A)必有r个行向量线性无关;(B)任意r个行向量均可构成极大无关组;(C)任意r个行向量均线性无关;(D)任一个行向量均可由其他r个行向量线性表示(2)若向量组a, p, 丫线性无关;a, p, 6线性相关,贝)(A)a必可由B, y, 6线性表示;(B) B必不可由a, y, 6线性表示;(C) 6必可由a, B, 丫线性表示;(D) 6必不可由a, B, 丫线性表示;(3)设有向量组a ]= (1, -1, 2, 4) ,a2= (0, 3, 1, 2) a 3= (3, 0, 7, 14),a 4= (1, -2, 2, 0) ,a 5= (2, 1, 5, 10)则该向量组的极大线性无关组是( )(A) a a 2, a 3(B) a” a 2, a 4(C) a” a 2, a 5 (D) a 1; a 2, a 4, a 5(4)设A为mXn矩阵,齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是:( )(A)A的列向量线性无关;(B) A的列向量线性相关;(C) A的行向量线性无关;(D) A的行向量线性相关。

《线性代数》练习题库参考答案

《线性代数》练习题库参考答案

《线性代数》练习测试题库一.选择题1、=-0000000000121nn a a a a ( B )A. n n a a a 21)1(-B. n n a a a 211)1(+-C. n a a a 212、n 阶行列式0000000000a a a a= ( B )A.na B. (1)2(1)n n n a -- C. (1)n n a -3、n21= ( B )A. (1)!nn - B. (1)2(1)!n n n -- C. 1(1)!n n +-4、 A 是n 阶方阵,m, l 是非负整数,以下说法不正确的是 ( C ). A. ()m l mlA A = B. mlm lA A A+⋅= C. m m mB A AB =)(5、A 、B 分别为m n ⨯、s t ⨯矩阵, ACB 有意义的条件是 ( C ) A. C 为m t ⨯矩阵; B. C 为n t ⨯矩阵; C. C 为n s ⨯矩阵6、下面不一定为方阵的是 (C )A.对称矩阵.B.可逆矩阵.C. 线性方程组的系数矩阵.7、 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1021 的伴随矩阵是 (A ) A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1021 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1201 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1021 8、 分块矩阵 00A B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(其中A 、B 为可逆矩阵)的逆矩阵是 ( A )A. 1100A B --⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 00BA ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 1100B A --⎡⎤⎢⎥⎣⎦9、线性方程组Ax b = 有唯一解的条件是 ( A )A.()()r A r A b A ==的列数B.()()r A r A b = .C.()()r A r A b A ==的行数10、线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211a ax x x a x ax x x x ax 有唯一解的条件是 (A )A. 2,1-≠aB. 21-==a a 或.C. 1≠a11、 的是则下面向量组线性无关),,,=(),,,=()6,2,4(054312--=--γβα(B )A. 0,,βα B. γβ, C. γα, 12、设A 为正交矩阵,下面结论中错误的是 ( C )A. A T 也为正交矩阵.B. A -1也为正交矩阵.C. 总有 1A =-13、二次型()233221214321342,,,,x x x x x x x x x x f --+=的矩阵为 ( C )A 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---340402021B 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---320201011 C 、⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---0000032002010011 14、设r 是实二次型),,,(21n x x x f 的秩,p 是二次型的正惯性指数,q 是二次型的负惯性指数,s 是二次型的符号差,那么 ( B )A. q p r -=;B. q p r +=;C. q p s +=; 15、下面二次型中正定的是 ( B )A. 21321),,(x x x x x f =B.2322213212),,(x x x x x x f ++= C.22213212),,(x x x x x f +=二、判断题1、若行列式主对角线上的元素全为0,则此行列式为0. ( ⨯ )2、A 与B 都是3×2矩阵,则A 与B 的乘积也是3×2矩阵。

线性代数(大连理工大学)第6章习题答案

线性代数(大连理工大学)第6章习题答案

思考题6-11)正确。

2)不正确。

=Ax b 有可能无解,例如,1212120030x x x x x x +=⎧⎪-=⎨⎪+=⎩有唯一解,但1212121231x x x x x x +=⎧⎪-=⎨⎪+=⎩无解。

3)正确。

因为()[](,)m r r m =≤≤A A b ,[]()(,)r r =A b A ,所以=Ax b 一定有解. 4)正确。

因为()r m n ≤<A ,所以=Ax 0有非零解.习题6-11.(1)0k =或1k = (2)2k =-2.(1)当0k ≠且2k ≠±时,有唯一解;当0k =或2k =时,无解;当2k =-时,有无穷多个解。

(2)当1k ≠且2k ≠-时,有唯一解;当2k =-时,无解;当1k =时,有无穷多个解。

(3)当0a ≠且a b ≠时,有唯一解;当0a =时,无解;当0a b =≠时,有无穷多个解。

(4)当1k ≠且2k ≠-时,无解;当1k =时,有唯一解;当2k =-时,有无穷多个解。

3. 当2k ≠时,向量b 能由向量组123,,a a a 线性表示。

4.解:方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321x x x a ++=-有公共解,就是方程组12312321231230204021x x x x x ax x x a x x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩ 是有解的。

[]22111011101200110,140031012110101a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦A b2211101110101010103100013301100011a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥−−→−−→---+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---+⎣⎦⎣⎦221110111001010101001100110013300043a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥−−→−−→--+--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+-+⎣⎦⎣⎦当1a ≠且3a ≠时,无解;当1a =时,有无穷多个解;当3a =时,有唯一解。

线性代数二次型练习题及答案

线性代数二次型练习题及答案

第六章 二次型一、填空题1、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A 120212021,则相应的二次型为__________。

2、二次型()323121321642,,χχχχχχχχχ+-=f 的矩阵是_________,该二次型的秩是__________ 3、二次型()323121232221321822532,,χχχχχχχχχχχχ+-+++=f 的矩阵为__________。

4、A 、B 均为n 阶方阵,且A 与B 合同,)()(_______R ,4=B =A 则R 。

5、实二次型2322213χχχ+-=f 的秩为_________,正惯性指数为_________,负惯性指数为________,符号差为_________。

6、设()23222121321222,,χχχχχχχχ+++=f ,则二次型矩阵是________,其顺序主子式_________1=A ,_______,2=A ________3=A ,()________,,321是χχχf 二次型。

7、设()3221232221321222,,χχχχχχχχχχt f ++++=,则当t 满足条件_______时,该二次型是正定的。

二、选择题1、如果A 、B 都是正定的n 阶实对称矩阵,则AB 一定是( ) (A )实对称矩阵 (B )正交矩阵 (C )正定矩阵 (D )可逆矩阵2、二次型()233222312121321246,,χχχχχχχχχχχχt f +++++=,当t=( )时,其秩为2。

(A )0; (B )2; (C )87; (D )1 3、实二次型()322221214321434,,,χχχχχχχχχχ-++=f ,则其正惯性指数=( )(A)1; (B)2 (C)3 (D)4 4、实二次型()AX =T χχχχn f,...,,2,1为正定的充分必要条件是( )(A );0>A (B )负惯性指数为零 (C )存在n 阶矩阵C ,使C C T=A(D )对任意()0,0,...,,21>AX X ≠=X T T有n χχχ三、计算题1、用正交变换将下列二次型化为标准形,并写出所用变换X=PY ()4342324131214321222222,,,χχχχχχχχχχχχχχχχ++--+=f2、问λ取何值时下列二次型正定)(31212322212212χχχλχχλχχ++-++=f答案: 一、(1)()322123222132144,,χχχχχχχχχχ++++=f(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--032301210;3 (3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--541431112 (4)4;(5)3,2,1,1; (6)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛200021011,1,1,2,正定 (7)22<t二、(1)D ; (2)C (3)B (4)D三、1、标准形为242322213y y y y +++-,而⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=P 21210212121021210212121021212、01<<-λ。

线性代数试题及答案

线性代数试题及答案

线性代数习题和答案好东西第一部分选择题共28分一、单项选择题本大题共14小题,每小题2分,共28分在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内;错选或未选均无分;1.设行列式a aa a11122122=m,a aa a13112321=n,则行列式a a aa a a111213212223++等于A. m+nB. -m+nC. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,则A-1等于A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,A是A的伴随矩阵,则A中位于1,2的元素是A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩A T等于A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+β1+λ2α2+β2+…+λsαs+βs=0C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1-β1+λ2α2-β2+…+λsαs-βs=0D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r,则A中A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆,则必有A.秩A<nB.秩A=n-1=0 D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n≥3阶方阵,下列陈述中正确的是A.如存在数λ和向量α使Aα=λα,则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α,使λE-Aα=0,则λ是A的特征值的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1,λ2,λ3是A的3个互不相同的特征值,α1,α2,α3依次是A的属于λ1,λ2,λ3的特征向量,则α1,α2,α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵,则下列结论错误的是A.|A|2必为1B.|A|必为1=A T的行列向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵,C是实可逆矩阵,B=C T AC.则与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题共72分二、填空题本大题共10小题,每小题2分,共20分不写解答过程,将正确的答案写在每小题的空格内;错填或不填均无分;15.11135692536= .16.设A=111111--⎛⎝⎫⎭⎪,B=112234--⎛⎝⎫⎭⎪.则A+2B= .17.设A=a ij3×3,|A|=2,A ij表示|A|中元素a ij的代数余子式i,j=1,2,3,则a11A21+a12A22+a13A232+a21A21+a22A22+a23A232+a31A21+a32A22+a33A232= .18.设向量2,-3,5与向量-4,6,a线性相关,则a= .19.设A是3×4矩阵,其秩为3,若η1,η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解,则它的通解为 .20.设A是m×n矩阵,A的秩为r<n,则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 .21.设向量α、β的长度依次为2和3,则向量α+β与α-β的内积α+β,α-β= .22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8,已知A有2个特征值-1和4,则另一特征值为 .23.设矩阵A=01061332108---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,已知α=212-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪是它的一个特征向量,则α所对应的特征值为 .24.设实二次型fx1,x2,x3,x4,x5的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为 .三、计算题本大题共7小题,每小题6分,共42分25.设A =120340121-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,B =223410--⎛⎝ ⎫⎭⎪.求1AB T;2|4A |.26.试计算行列式3112513420111533------.27.设矩阵A =423110123-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,求矩阵B 使其满足矩阵方程AB =A +2B .28.给定向量组α1=-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪2103,α2=1324-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪,α3=3021-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪,α4=0149-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 试判断α4是否为α1,α2,α3的线性组合;若是,则求出组合系数; 29.设矩阵A =1212242662102333334-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 求:1秩A ;2A 的列向量组的一个最大线性无关组;30.设矩阵A=022234243----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T 和对角矩阵D ,使T -1AT =D .31.试用配方法化下列二次型为标准形fx 1,x 2,x 3=x x x x x x x x x 12223212132323444+-+--,并写出所用的满秩线性变换;四、证明题本大题共2小题,每小题5分,共10分32.设方阵A 满足A 3=0,试证明E -A 可逆,且E -A -1=E +A +A 2.33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b 的一个特解,ξ1,ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明 1η1=η0+ξ1,η2=η0+ξ2均是Ax=b 的解; 2η0,η1,η2线性无关;答案:一、单项选择题本大题共14小题,每小题2分,共28分二、填空题本大题共10空,每空2分,共20分 15. 6 16. 337137--⎛⎝⎫⎭⎪17. 4 18. –1019. η1+c η2-η1或η2+c η2-η1,c 为任意常数 20. n -r 21. –5 22. –2 23. 124. z z z z 12223242++-三、计算题本大题共7小题,每小题6分,共42分25.解1AB T=120340*********-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=861810310⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪. 2|4A |=43|A |=64|A |,而|A |=1203401212-=-. 所以|4A |=64·-2=-12826.解 311251342011153351111113100105530------=-----=5111111550---- =5116205506255301040---=---=+=.27.解 AB =A +2B 即A -2EB =A ,而A -2E -1=2231101211431531641--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪=-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪-. 所以 B =A -2E -1A =143153164423110123-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=3862962129-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪. 28.解一 ----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪2130130102243419053213010112013112 所以α4=2α1+α2+α3,组合系数为2,1,1.解二 考虑α4=x 1α1+x 2α2+x 3α3,即 -++=-=-+=+-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪230312243491231223123x x x x x x x x x x .方程组有唯一解2,1,1T,组合系数为2,1,1.29.解 对矩阵A 施行初等行变换A−→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪12102 00062 03282 09632−→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪12102032830006200021712102032830003100000=B.1秩B=3,所以秩A=秩B=3.2由于A与B的列向量组有相同的线性关系,而B是阶梯形,B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组,故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组;A的第1、2、5列或1、3、4列,或1、3、5列也是30.解A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为ξ1=2,-1,0T, ξ2=2,0,1T.经正交标准化,得η1=25555//-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,η2=2515451553///⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.λ=-8的一个特征向量为ξ3=122-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,经单位化得η3=132323///.-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪所求正交矩阵为T=25521515135545152305323////////--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.对角矩阵D=100 010 008-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.也可取T=25521515130532355451523////////---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.31.解 fx1,x2,x3=x1+2x2-2x32-2x22+4x2x3-7x32=x1+2x2-2x32-2x2-x32-5x32.设y x x xy x xy x11232233322=+-=-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪, 即x y yx y yx y112223332=-=+=⎧⎨⎪⎩⎪,因其系数矩阵C=120011001-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪可逆,故此线性变换满秩;经此变换即得fx1,x2,x3的标准形y12-2y22-5y32 .四、证明题本大题共2小题,每小题5分,共10分32.证由于E-AE+A+A2=E-A3=E,所以E-A可逆,且E-A-1= E+A+A2 .33.证由假设Aη0=b,Aξ1=0,Aξ2=0.1Aη1=Aη0+ξ1=Aη0+Aξ1=b,同理Aη2= b,所以η1,η2是Ax=b的2个解;2考虑l0η0+l1η1+l2η2=0,即l0+l1+l2η0+l1ξ1+l2ξ2=0.则l0+l1+l2=0,否则η0将是Ax=0的解,矛盾;所以l1ξ1+l2ξ2=0.又由假设,ξ1,ξ2线性无关,所以l1=0,l2=0,从而l0=0 .所以η0,η1,η2线性无关;。

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线性代数考试题库及答案第一部分 客观题(共30分)一、单项选择题(共 10小题,每小题2分,共20分)1. 若行列式111213212223313233a a a a a a d a a a =,则212223111213313233232323a a a a a a a a a 等于 ( ) (A) 2d (B) 3d (C) 6d (D) 6d -2. 设123010111A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,ij M 是A 中元素ij a 的余子式,则313233M M M -+=( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 3. 设A 为n 阶可逆矩阵,则下列各式恒成立的是( ) (A) |2|2||T A A = (B) 11(2)2A A --= (C) *1A A -= (D) 11[()][()]T T T T A A --= 4. 初等矩阵满足( )(A) 任两个之乘积仍是初等矩阵 (B) 任两个之和仍是初等矩阵 (C) 都是可逆矩阵 (D) 所对应的行列式的值为1 5. 下列不是..n 阶矩阵A 可逆的充要条件为( )(A) 0≠A (B) A 可以表示成有限个初等阵的乘积 (C) 伴随矩阵存在 (D) A 的等价标准型为单位矩阵 6. 设A 为m n ⨯矩阵,C 为n 阶可逆矩阵,B AC =,则 ( )。

(A) 秩(A )> 秩(B ) (B) 秩(A )= 秩(B )(C) 秩(A )< 秩(B ) (D) 秩(A )与秩(B )的关系依C 而定 7. 如果向量β可由向量组12,,,s ααα线性表示,则下列结论中正确的是( ) (A) 存在一组不全为零的数12,,s k k k ,使得1122s s k k k βααα=+++ 成立 (B) 存在一组全为零的数12,,s k k k ,使得1122s s k k k βααα=+++ 成立(C) 存在一组数12,,s k k k ,使得1122s s k k k βααα=+++ 成立(D) 对β的线性表达式唯一8. 设12,ξξ是齐次线性方程组0AX =的解,12,ηη是非齐次线性方程组AX b =的解,则( )(A) 112ξη+为0AX =的解 (B) 12ηη+为AX b =的解 (C) 12ξξ+为0AX =的解 (D) 12ηη-为AX b =的解9. 设110101011A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则A 的特征值是( )。

(A) 0,1,1 (B) 1,1,2 (C) 1,1,2- (D) 1,1,1- 10. 若n 阶方阵A 与某对角阵相似,则 ( )。

(A) ()r A n = (B) A 有n 个互不相同的特征值 (C) A 有n 个线性无关的特征向量 (D) A 必为对称矩阵二、判断题(共 10小题,每小题1分,共10分 )注:正确选择A,错误选择B.11. 设A 和B 为n 阶方阵,则有22()()A B A B A B +-=-。

( ) 12. 当n 为奇数时,n 阶反对称矩阵A 是奇异矩阵。

( )13. 设A ,B ,C 为同阶方阵,AB AC =,则B C =。

( )14. 若矩阵A 有一个r 阶子式0D ≠,且A 中有一个含有D 的1r +阶子式等于零,则A 的秩等于r 。

( )15. 若非齐次线性方程组AX b =有无穷多解,则其导出组0AX =一定有非零解。

( )16 若向量组135,,ααα线性无关,则向量组129,,,ααα线性无关。

( )17. 等价的向量组的秩相等。

( )18. 设A 与B 都是n 阶正交矩阵,则A B +也是正交矩阵。

( ) 19. 矩阵A 不同特征值对应的特征向量必线性无关。

( ) 20. 两个相似的方阵必等价,两个合同的方阵也必等价。

( )第二部分 主观题(共70分)三、填空题(共5小题,每小题2分,共10分)1.在5阶行列式中,1225314354a a a a a 的符号是2.若A 为3阶方阵,1A -为A 的逆矩阵且1500021011A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,则A = .3.线性方程组 12312312302030x x x x x x x x x λ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 仅有零解的充要条件是 .4.已知三阶矩阵A 的特征值为1,2,3,则3257A A A -+= .5.实二次型22212311223(,,)23f x x x x x x tx x =+++,当t = 时,其秩为2.。

四、计算题(一)(共3小题,每小题6分,共18分)1. 计算4阶行列式21231000231262312. 已知向量组123(1,1,2,1),(1,0,0,2),(1,4,8,)T T T k ααα===---线性相关,求.k3. 设T T T )7,3,5(,)1,0,1(,)2,2,1(321--=--=-=ααα,用施密特正交化法将该向量组正交化。

五、计算题(二)(共2小题,每小题8分,共16分)1. 设3111201-12A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,14-1332B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,若矩阵X 满足AX X B -=,求X 。

2. 设00111100A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,问a 为何值时,矩阵A 能对角化?六、计算题(三)(共2小题,每小题10分,共20分)1.当λ为何值时,线性方程组12345123452345123451323022635433x x x x x x x x x x x x x x x x x x x λ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩ 有解?在有解的情况下,求其全部解(若有无穷解,用其导出组的基础解系表示)。

2. 求向量组1(2,1,4,3)T α=、2(1,1,6,6)T α=--、3(1,2,2,9)T α=---、4(1,1,2,7)T α=-、5(2,4,4,9)T α=的一个极大无关组,并将其余向量用极大无关组线性表示。

七、证明题(共1小题,每题6分,共计6分)设1λ和2λ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量依次为1p 和2p ,证明12p p +不是A 的特征向量。

线性代数 课程试卷(A )及答案一、单项选择题(共10小题,每题2分,共计20分)1.若21321,,,,ββααα都是四维列向量,且四阶行列式m =1321βααα,n =3221αβαα,则四阶行列式)()(21123C =+ββααα(A)m+n (B)-(m+n) (C)n-m (D)m-n2.设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-8631562321c b ac a ,则(B ) (A)221=-==c b a (B)221-===c b a (C)221=-=-=c b a (D)221-==-=c b a3.若A 、B 均为非零方阵,且AB=O ,则有A 、B (D )(A)都可逆 (B)至少有一个可逆 (C)r(A)=r(B) (D)都不可逆 4.下列向量中,可由T 1)0,1,0(=α与T 2)0,0,1(=α线性表示的是(B ) (A) T )1,0,0( (B) T )0,3,0( (C) T )1,2,0( (D) T )1,0,2( 5.设矩阵A 满足=-+E A A 542O ,则(A )(A)A 与A+4E 同时可逆 (B)A+5E 一定可逆 (C)齐次线性方程组()=+X E A 5O 有非零解 (D)A-E 一定可逆 6.若n 阶矩阵A 的行列式1=A ,则A 的秩为(D ) (A)1 (B)0 (C)n-1 (D)n 7.设A 为n 阶方阵,且0=A ,有(C ) (A)A 中必有两行(列)元素对应成比例 (B)A 中至少有一行(列)元素全为零(C)A 中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合 (D)A 中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合 8.设A 为n m ⨯矩阵,则齐次线性方程组AX=O 仅有零解的充要条件是(D ) (A)A 的行向量线性相关 (B)A 的列向量线性相关 (C)A 的行向量线性无关 (D)A 的列向量线性无关 9.可逆矩阵A 与矩阵(A )有相同的特征值(A)T A (B)1-A (C)2A (D)A+E10.1α与2α分别是n 阶方阵A 的属于特征值21,λλ的特征向量,若21λλ≠,则1α与2α(B )(A)线性相关 (B)线性无关 (C)相等 (D)正交二、判断题(共10小题,每题1分,共计10分)答题要求:判断正误,正确选择A ,错误选择B11.若方阵T A 可逆,则*A 也可逆 (A ) 12.设A 、B 均为n 阶方阵,则B A B A +=+ (B ) 13.对任意n 阶方阵(n>1)A 与B ,都有22))((B A B A B A -=-+ (B ) 14.若向量组s ααα,,,21 与t βββ,,,21 等价,则t s = (B ) 15.若齐次线性方程组AX=O 存在基础解系,则方程组AX=b (b ≠0)有无穷多解 (B) 16.若同阶矩阵A 与B 的秩相等,则A 可经过有限次的初等变换化成B (A ) 17.若λ是方阵A 的特征值,则n λ是n A 的特征值(其中n 为自然数)(A ) 18.若n 阶方阵A 相似于对角矩阵,则A 有n 个互异特征值 (B ) 19.设1X 与2X 是A 的任意两个特征向量,则21X X +也是其特征向量(B )20.若A 为正交矩阵,则1±=A (A )三、填空题(共10小题,每题2分,共计20分)答题要求:请将最终答案直接填在题中横线上.21.设A 为三阶矩阵,且2=A ,则=A 3 5422. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1111A ,则⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-+-0110)()(21E A E A 23.设矩阵A 可逆,则其伴随矩阵*A 可逆,且A AA 1)(1=-* 24.如果54⨯阶矩阵A 的行向量组线性无关,则齐次线性方程组AX=O 的 基础解系中含有1个向量25.若向量组中含有零向量,则此向量组线性相关 26.若T k )4,,2,1(1=α与T )2,2,3,4(2-=α正交,则1-=k 27.设A 为正交矩阵,则1=A A T28.设三阶矩阵A 的特征值为-2、1、4,则8-=A29.已知-5是方阵A 的特征值,则A-2E 一定有一个特征值-7 30.设s ηηη,,,21 为非齐次线性方程组AX=b 的一组解,如果s s c c c ηηη+++ 2211也是该方程组的一个解,则11=∑=si i cS1:计算题一(共2小题,每题8分,共16分)答题要求:写出文字说明和主要验算步骤1.计算四阶行列式2101502143210113--解:6410312011102101264103122220210101135021432121012101502143210113-=-----=---=--=3660013001110210125301300111021012-=-=-2.解矩阵方程B X A E =-)(,其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=101111010A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=350211B解:=-A E ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛201101011101111010100010001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-112213111002201013001333001111011011442101111011011352010210111011),(X B A ES2:计算题二(共3小题,每题10分,共30分)答题要求:写出文字说明和主要验算步骤1.给定向量组T )1,1,1,1(1=α,T )1,1,1,1(2--=α,T )3,1,3,1(3=α,T )1,1,1,1(4--=α ,求该向量组的秩,并确定一个极大无关组,将其余向量用该极大无关组线性表示。

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