第五章 动态数列

（一）数学模型法(模型拟合法) 它根据时间序列的数据特征， 用数学方法建立一个合适的趋势 方程（即配合一条适当的趋势线） 来描述时间序列的趋势变动，推 算各时期的趋势值，分析和预测 长期趋势。
数学模型法的主要步骤：
第一步，选取合适的数学模型； 第二步，估计模型参数。 第三步，计算趋势变动预测值。
2．定基发展速度
yi 报告期发展水平 定基发展速度 某一固定基期发展水平 y 0
动态数列中，各期定基发展速度分别为：
yn y1 y 2 y3 , , , , y0 y0 y0 y0
环比发展速度与定基发展速度的关系： ① 各环比发展速度的连乘积等于相应的 定基发展速度。即： yi yi Π (i 1,2,3, ,n) y i 1 y 0
2．直线趋势测定的方法
yc=a+bt 其中：
yc——时间序列的长期趋势 t——时间序列的时间序号 a——t=0时，yc的值， (截距) b——（斜率）t 每变动一个单位时， yc平 均增减的数量。b>0时，直线呈上升 趋势，b<0时，直线呈下降趋势。
（1）最小平方法
基本原理：要求配合的长期趋势直线的理 论值与原数列的实际值之间的离差平方和 为最小。即：∑(y-yc)2=最小值 ∑(y-a-bt)2=最小值 令G(a，b)=∑(y-a-bt)2，要使G(a，b)有最小 值，则需G对a、b的偏导数为零。
四、增长１％的绝对值
指每增长1%所包含的绝对 增长量，是一个由相对数和绝 对数结合运用的指标。
逐期增长量 增长1%的绝对值 环比增长速度 100 前一期水平 100
【例】
已知某集团公司2006年利税总额比 2005年增长1000万元，环比增长速 度为20%，求该公司2006年利税总 额比2005年增长1%的绝对值。
yn 定基发展速度 由此可得： y0 y n - y n -1 y n -1 （ 1） * （ ） y n -1 y0
则： 所以
y n y n -1 y n - y n -1 1 y0 y0 y n -1 y n y n-1 y n - y n -1 -1 y0 y0 y n -1
② 相邻的两个定基发展速度之商，等于 相应时期的环比发展速度。即：
y i y i 1 yi (i 1,2,3, ,n) y0 y0 y i 1
二、增长速度
增长量 增长速度 基期发展水平 报告期发展水平 基期发展水平 基期发展水平 发展速度 1
1．定基增长速度
【解】
逐期增长量 增长1%的绝对值 环比增长速度 100 1000 50(万元) 20
第四节 动态数列的趋势分析
一．动态数列的影响因素 二．长期趋势的分析
一、动态数列的影响因素
1．长期趋势(T) 指现象在一段较长的时间内， 由于普遍的、持续的、决定的基本 因素的影响作用，而使发展水平沿 着一个方向，表现为持续向上、向 下或稳定的趋势变动。
y -y y n - y n -1 y -y 1） * （ n -1 n -2 1） * * （ 1 0 1） -1 y n -1 y n -2 y0 y n - y n -1 y y y 1） * （ n -1 ） * （ n -2 ） * （ 1） -1 y n -1 y n -2 y n -3 y0 y n - y n -1 y 1） * （ n -1 ） -1 y n -1 y0
【注】
定基发展速度＝各环比发展速度 定基增长速度≠ 各环比增长速度
定基增 长速 度 yi y 0 y y i -1 i y0 y i-1 yi -1 y0 yi -1 y i-1 定基发展速度 -1
环比发展速度 -1
（环比增长速度 1） -1 （ y i - y i -1 1） -1 y i-1
2．季节变动(S)
指由于自然季节因素（气候条件）或人 文习惯因素（节假日）的影响，动态数 列随季节变动更替而呈现的周期性变动。 季节变动一般以年为周期。也有以一周 或一日为周期的。周期不到一年的规律 性变动称准季节变动，分析方法与季节 变动相同，纳入季节变动范畴。
３．循环变动(C)
指周期在一年以上，现象近 乎规律性的上升与下降交替 出现的循环往复变动。
nty ty b nt 2 ( t ) 2 a y b t
最小平方法的简捷计算
取时期 t 的中点为原点，使t＝0 1）当n为奇数时，取数列中间的一项为原点0 大于中间项的 t 分别为1，2，3，…， 小于中间项的 t 分别为-1，-2，-3，… 2）当n为偶数时，取数列中间两项的中点为 原点0， 大于中间项的 t 分别为1，3，5，…， 小于中间项的 t 分别为-1，-3，-5，…。
三、平均发展速度和 平均增长速度
平均发展速度：是指各个时期环比发 展速度的平均数，说明现象在一定时 期内逐期发展变化的一般水平。 平均增长速度：是现象在一段时间内 增减变化的平均程度。 平均增长速度=平均发展速度-1 平均发展速度总是正值，而平均增长 速度可为正值也可为负值
总发展速度
1、选取合适的趋势方程： 直接观察法，也称散点图法。它以 时间t为横轴，以时间序列指标 值（或其对应数值）为纵轴，绘 出散点图，根据散点的分布来选 择趋势方程。
增长特征法
① 若时间序列中的逐期增长量大致相 等，配合直线方程。yc=a+bt
② 若二级增长量大致相等，则配合抛 物线方程。yc=a+bt+ct2 ③ 若各期环比发展速度相等时，则配 合指数曲线。yc=abt
G G 0与 0 a b
即：
Σ y na b Σ t 2 Σ( y a bt )( 1 ) 0 2 2 Σ( y a bt )( t ) 0 Σ ty a Σ t b Σ t
解此联立方程得直线yc=a+bt的参数解为
第五章
动态数列
任课教师：郭卫萍
第三节
动态数列速度分析指标
一．发展速度 二．增长速度 三．平均发展速度和平均增长速度 四．增长1%的绝对值
一、发展速度
发展速度=报告期水平/基期水平
报告期发展水平 yi 1．环比发展速度 前一期发展水平 yi1
动态数列中，各期环比发展速度分别为：
y1 y 2 y 3 yn , , , , y 0 y1 y 2 y n 1
因此，报告期的环比增长速度等于报告期的定 基发展速度与前一期定基发展速度之商-1。 即等于（报告期的定基增长速度+1）与（前一 期的定基增长速度+1）之比-1。
(例题分析)
【 例 】某企业几年来产量不断增长，已知1996年 比1995年增长20%，1997年比1995年增长 50%，1998年比1997年增长25%，1999年比 1998年增长15%，2000年比1995年增长 132.5%，计算下表空缺数字
累计增长量 定基增 长速 度 某一固定基期水平 报告期水平 -某一固定基期水平 某一固定基期水平 yi y 0 y0 定基发展速度 1 (i 1,2,3, ,n)
2．环比增长速度
逐期增长量 环比增 长速 度 前一期发展水平 报告期水平 -前一期水平 前一期水平 yi y i-1 y i-1 环比发展速度 1 (i 1,2,3, ,n)
一定时期内现象的总发展速度 等于各期环比发展速度的连乘积。
总发展 速度 环比发展速度 yi y i-1 yn y0 （i 1， 2， ，n）
【例】
根据第四次、第五次人口普查资料，我 国大陆人口1990年普查时有113368万人， 2000年普查时为126583万人，则此两次人口 普查之间我国人口平均发展速度为：
如产品的生命周期、经济危机 周期等。

４．随机变动(I)
又称不规则变动。指动态数列由 于偶然性因素的影响而表现出的不规 则的波动。包括由突发的自然灾害、 意外事故或重大政治事件所引起的剧 烈变动，也包括大量无可名状的随机 因素干扰造成的起伏波动。
二、长期趋势的分析
长期趋势的测定方法： （一） 数学模型法 （二） 时距扩大法 （三） 序时平均法 （四） 移动平均法
平均增长速度为：10.125‰
【 例 】某地区GDP “九五” 前三年平均发展速度 为112%，后两年平均发展速度为109%，求该地 区“九五”期间GDP平均发展速度和平均增长速度
解：
平均发展速度 = （112%） （ 109%） 110.79%
5 3 2
平均增长速度 =平均发展速度-1=110.79%-1=10.79%
（i 1， 2， ，n）
当i=n时
定基增 长速 度 yn y0 y0 yn -1 y0 yi -1 y i-1
定基发展速度 -1
环 比 发 展 速 度 -1 （环比增长速度 1） -1 y i - y i-1 （ 1） -1 y i-1 （ （ （
Σy na bΣt 3569 9a 45b 2 Σty aΣt bΣt 19306 45a 285b nΣty ΣtΣy b 2 2 nΣt (Σt) 把上表数值代入得 a y bt
某企业1996-2000年产量增长速度
年份 环比增长速度（%） 1996 20 1997 （ 2） 25 50 1998 25 1999 15 2000 （ 5） 7.8
20 定基增Βιβλιοθήκη Baidu速度（%） （ 1）
（ 3） 115.6 （4） 132.5 87.5
1996年定基增长速度=20% 解： 1+50% 1997年环比增长速度= 1 25% 1+20% 1998年定基增长速度 =（ （ 1 25%） （ 1 25%） 1 20%） 1 87.5% 1999年定基增长速度 = 1+87.5% 1 15% 1 115.6% 2000年环比增长速度 = 1+132.5% 1 115.6% 1 7.8%
书上P121页例5-11 已知某企业2002-2010年的销售额资 料如下表所示。
年份 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 合计
序号t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 45
销售额y t 2 300 324 347 372 396 420 446 469 495 3569
ty 1 4 9 16 25 36 49 64 81 285 300 648 1041 1488 1980 2520 3122 3752 4455 19306
趋势值yc 299.16 323.51 347.86 372.21 396.56 420.91 445.26 469.61 493.96 —
解：设直线方程为： yc=a+bt
使方程式： y na bt 2 ty a t b t
变为 y na 2 ty b t
则参数a，b的计算公式简化为：
ty b 2 t a y y n
注：
原点改变前后的趋势值应该是相等的。 1）n为奇数时，a 值不等，b值相等。 2）n为偶数时，a 值不等，b值为原点 改变前的1/2。
xn
y n 1 0 126583 101.1087% y0 113368
x -1=11.087‰ 平均增长速度为：
【例】
若要求在2010年底，把我国大陆人口 数控制在14亿以内，以2000年底全国人口 数为基数，10年内我国大陆人口增长率应 控制在什么水平上？
xn
y n 1 0 140000 101.0125% y0 126583