高中立体几何定理及性质(2020年10月整理).pdf

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(完整word版)高中数学立体几何知识点总结,推荐文档

高中数学之立体几何平面的基天性质公义 1假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上全部的点都在这个平面内 .公义 2假如两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过这个点的公共直线 .公义 3经过不在同向来线上的三个点，有且只有一个平面.依据上边的公义，可得以下推论.推论 1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论 2经过两条订交直线，有且只有一个平面.推论 3经过两条平行直线，有且只有一个平面.空间线面的地点关系共面平行—没有公共点(1)直线与直线订交—有且只有一个公共点异面 ( 既不平行，又不订交 )直线在平面内—有无数个公共点(2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点(直线在平面外 )订交—有且只有一公共点(3)平面与平面订交—有一条公共直线(无数个公共点)平行—没有公共点异面直线的判断证明两条直线是异面直线往常采纳反证法.有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线” .线面平行与垂直的判断(1)两直线平行的判断①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行 .那②假如一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面订交，么这条直线和交线平行，即若 a∥α ,a β，α∩β =b, 则 a∥b. ③平行于同向来线的两直线平行，即若 a∥b,b ∥ c, 则 a∥ c. ④垂直于同一平面的两直线平行，即若 a⊥α， b⊥α，则 a∥b⑤两平行平面与同一个平面订交，那么两条交线平行，即若α∥β , α∩γ , β∩γ =b, 则 a∥ b⑥假如一条直线和两个订交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若α∩β =b,a ∥α ,a ∥β，则 a∥b.(2)两直线垂直的判断1.定义：若两直线成 90°角，则这两直线相互垂直 .2.一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直 . 即若 b∥ c,a ⊥b, 则 a⊥ c3.一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的随意一条直线. 即若 a⊥α ,bα，a⊥b.4.假如一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直 . 即若a∥α ,b ⊥α , 则 a⊥b.5.三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即若α⊥β , β⊥γ，γ⊥α , 且α∩β =a, β∩γ =b, γ∩α =c，则 a⊥b,b ⊥c,c ⊥a.(3) 直线与平面平行的判断①定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.②假如平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行 . 即若 aα,bα，a∥b,则a∥α.③两个平面平行，此中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若α∥β ,lα，则l∥β.④假如一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面，那么这条直线和这个平面平行 . 即若α⊥β ,l ⊥β， lα，则l∥α.⑤在一个平面同侧的两个点，假如它们与这个平面的距离相等，那么过这两个点的直线与这个平面平行，即若 A α， B α， A、B 在α同侧，且 A、B 到α等距，则 AB∥α .⑥两个平行平面外的一条直线与此中一个平面平行，也与另一个平面平行，即若α∥β ,aα，aβ，a∥α，则α∥β.⑦假如一条直线与一个平面垂直，则平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行，即若 a⊥α ,bα，b⊥ a，则b∥α.⑧假如两条平行直线中的一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面 ( 或在这个平面内 ) ，即若 a∥b,a ∥α ,b ∥α ( 或 bα)(4)直线与平面垂直的判断①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直 .②假如一条直线和一个平面内的两条订交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 . 即若 m α， n α， m∩n=B,l ⊥m,l ⊥n, 则 l ⊥α .③假如两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若 l ∥a,a ⊥α , 则 l ⊥α .④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若α∥β ,l ⊥β，则 l ⊥α .⑤假如两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若α⊥β,a ∩β =α， lβ，l⊥ a,则l⊥α .⑥假如两个订交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面，即若α⊥γ , β⊥γ , 且 a∩β =α , 则 a⊥γ .(5)两平面平行的判断①定义：假如两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点α∥β .②假如一个平面内有两条订交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若 a,bα，a∩ b=P,a∥β ,b∥β ,则α∥β .③垂直于同向来线的两平面平行. 即若α⊥ a, β⊥ a, 则α∥β .④平行于同一平面的两平面平行. 即若α∥β , β∥γ , 则α∥γ .⑤一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条订交直线，则这两个平面平行，即若a,bα,c,dβ ,a∩b=P,a∥c,b∥d,则α∥β .(6) 两平面垂直的判断①定义：两个平面订交，假如所成的二面角是直二面角，那么这两个平面相互垂直，即二面角α－ a－β =90° α⊥β .②假如一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直，即若 l ⊥β ,lα，则α⊥β.. 即若α∥β，③一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个α⊥γ，则β⊥γ .直线在平面内的判断(1)利用公义 1：向来线上不重合的两点在平面内，则这条直线在平面内.(2)若两个平面相互垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即若α⊥β ,A ∈α， AB⊥β，则 AB α.(3)过一点和一条已知直线垂直的全部直线，都在过此点而垂直于已知直线的平面内，即若 A∈ a,a ⊥b，A∈α ,b ⊥α，则 a α.(4)过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而与该平面平行的平面内，即若 P α， P∈β，β∥α， P∈a,a ∥α，则 a β .(5)假如一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内，即若a∥α ,A ∈α， A∈b,b ∥a, 则 bα .存在性和独一性定理(1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条；(2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条；(3)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个；(4)与两条异面直线都垂直订交的直线有且只有一条；(5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；(6)过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个；(7)过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个；(8)过两条相互垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个 .射影及相关性质(1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的射影还是点 .(2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影 .和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直线 .(3)图形在平面上的射影一个平面图形上全部的点在一个平面上的射影的会合叫做这个平面图形在该平面上的射影 .当图形所在平面与射影面垂直时，射影是一条线段；当图形所在平面不与射影面垂直时，射影还是一个图形.(4)射影的相关性质从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：(i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；(ii)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；(iii)垂线段比任何一条斜线段都短 .空间中的各样角等角定理及其推论定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，而且方向同样，则这两个角相等 .推论若两条订交直线和另两条订交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角( 或直角 ) 相等.异面直线所成的角(1)定义： a、b 是两条异面直线，经过空间随意一点 O，分别引直线 a′∥a,b ′∥ b, 则 a′和 b′所成的锐角 ( 或直角 ) 叫做异面直线 a 和 b 所成的角 .(2)取值范围： 0°＜θ≤ 90°.(3)求解方法①依据定义，经过平移，找到异面直线所成的角θ；②解含有θ的三角形，求出角θ的大小 .直线和平面所成的角(1)定义和平面所成的角有三种：(i)垂线面所成的角的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角 .(ii)垂线与平面所成的角直线垂直于平面，则它们所成的角是直角 .(iii)一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角 .(2)取值范围 0°≤θ≤ 90°(3)求解方法①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ .②解含θ的三角形，求出其大小.二面角及二面角的平面角(1)半平面直线把平面分红两个部分，每一部分都叫做半平面 .(2)二面角条直线出发的两个半平面所构成的图形叫做二面角 . 这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面构成 .若两个平面订交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来胸怀，往常以为二面角的平面角θ的取值范围是0°＜θ≤ 180°(3)二面角的平面角①以二面角棱上随意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角 .②二面角的平面角拥有以下性质：(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即 AB⊥平面 PCD.(ii)从二面角的平面角的一边上随意一点 ( 异于角的极点 ) 作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边 ( 或其反向延伸线 ) 上 .(iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD⊥α，平面 PCD⊥β .③找 ( 或作 ) 二面角的平面角的主要方法.(i)定义法(ii)垂面法(4)求二面角大小的常有方法①先找 ( 或作 ) 出二面角的平面角θ，再经过解三角形求得θ的值.②利用面积射影定理S′=S·cosα此中 S 为二面角一个面内平面图形的面积， S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α为二面角的大小 .③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.空间的各样距离点到平面的距离(1)定义面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离 .(2)求点面距离常用的方法：1)直接利用定义求①找到 ( 或作出 ) 表示距离的线段；②抓住线段 ( 所求距离 ) 所在三角形解之 .2)利用两平面相互垂直的性质 . 即假如已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离 .3)体积法其步骤是：①在平面内选用适合三点，和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V 和所取三点构成三角形的面积S；③由V=1S·h，求出h 即3为所求 . 这类方法的长处是不用作出垂线即可求点面距离 . 难点在于怎样结构适合的三棱锥以便于计算 .4)转变法将点到平面的距离转变为 ( 平行 ) 直线与平面的距离来求 .直线和平面的距离(1)定义一条直线和一个平面平行，这条直线上随意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离 .(2)求线面距离常用的方法①直接利用定义求证 ( 或连或作 ) 某线段为距离，而后经过解三角形计算之.②将线面距离转变为点面距离，而后运用解三角形或体积法求解之.③作协助垂直平面，把求线面距离转变为求点线距离.空间几何体的三视图和直观图1三视图：正视图：以前去后侧视图：从左往右俯视图：从上往下2画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等3 直观图：斜二测画法（角度等于45 或许 135）4斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依旧平行于坐标轴；（2）.平行于 y 轴的线长度变半，平行于x 轴的线长度不变；（3）.画法要写好。

立体几何定理总结

立体几何定理总结一、三类关系1、线线关系：不垂直异面a⊥）垂直（异面直线b 直线与直线不垂直相交a⊥）共面垂直（ba//）平行（b2、线面关系：直线与平面平行直线与平面直线与平面相交直线在平面内3、面面关系：二、平行定义：在同一个平面内没有公共点1、直线与直线三角形中位线定理判定：平行四边形面面平行定义：直线与平面没有公共点2、直线与平面判定定理：性质定理：定义：两平面没有公共点3、平面与平面判定定理：a b a b A a b αααβββ⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭⊂⊂⋂=⇒//////性质定理：a b a b αβαγβγ⎫⎪⎬⎪⎭//⋂=⇒⋂=//三、垂直勾股定理相交垂直⇐三线合一定理菱形1、直线与直线正方形异面垂直线面垂直⇐线面垂直定义：一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线2、直线与平面判定定理：性质定理：定义：两平面成直二面角3、平面与平面判定定理：性质定理：四、空间角度1、异面直线所成的角：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。

异面直线所成角的范围：oo2、线面所成的角：①线面平行或直线在平面内：线面所成的角为o0；②线面垂直：线面所成的角为o90；③斜线与平面所成的角：就是斜线与它在平面内的射影所成的角。

线面所成的角范围090o oα≤≤3、二面角：关键是找出二面角的平面角。

方法有：①定义法；②三垂线定理法；③垂面法；二面角的平面角的范围：0180o oα≤≤；五、空间距离1、点点、点线、点面距离：点与点之间的距离就是两点之间线段的长、点与线、面间的距离是点到线、面垂足间线段的长。

求它们首先要找到表示距离的线段，然后再计算。

注意：求点到面的距离的方法：①直接法：直接确定点到平面的垂线段长（垂线段一般在二面角所在的平面上）；②转移法：转化为另一点到该平面的距离（利用线面平行的性质）；③体积法：利用三棱锥体积公式。

2、线线距离：关于异面直线的距离，常用方法有：①定义法，关键是确定出ba,的公垂线段；②转化为线面距离，即转化为a与过b而平行于a的平面之间的距离，关键是找出或构造出这个平面；③转化为面面距离；3、线面、面面距离：线面间距离面面间距离与线线间、点线间距离常常相互转化；六、一些结论1.经过平面外一点，有无数条直线和已知平面平行。

立体几何所有的定理大总结(绝对全)

（二）异面直线所成角1.定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交的两条直线叫异面直线。

2.画法：借助辅助平面。

1.定义：对于异面直线a 和b ，在空间任取一点P ，过P 分别作a 和b 的平行线1a 和1b ，我们把1a 和1b 所成的锐角或者叫做异面直线a 和b 所成的角。

2.范围：(0°，90°】(★空间两条直线所成角范围：【0°，90°】)（三）线面角1.定义：当直线l 与平面α相交且不垂直时，叫做直线l 与平面α斜交，直线l 叫做平面α的斜线。

设直线l 与平面α斜交与点M ，过l 上任意点A ，做平面α的垂线，垂足为O ，把点O 叫做点A 在平面α上的射影，直线OM 叫做直线l 在平面α上的射影。

1.定义：把直线l 与其在平面α上的射影所成的锐角叫做直线l 和平面α所成的角。

2.范围【0°，90°】（★斜线与平面所成角范围：【0°，90°】）（三）二面角1.定义：（1）半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。

（3）二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。

（4）二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。

（5）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

（6）直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。

1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

2.表示：如下图，可记作α-AB-β或P-AB-Q3.范围为【0°，180°】（五）六种距离1.点到点的距离：两点之间的线段PQ 的长。

2.点到线的距离：过P 点作1PP ⊥l ，交l 于1P ，线段1PP 的长。

3.点到面的距离：过P 点作1PP ⊥α，交α于1P ，线段1PP 的长。

两条平行线的距离4.线到线的距离：异面直线的距离：公垂线段PQ ⊥1l ， PQ ⊥2l ，则线段PQ 的长。

高中数学立体几何判定定理及性质大全

有一个平面．
使得aA
推
论
a
2
Ab
有且经只过有两一条个相平交面直．线存使 a 在得b 唯 ba一 A 的平面 ,
推
论
b
a
3
有且只经有过一两个条平平面行．直线存使a 在得∥ 唯 b ba一的平面 ,
知识清单
图形语言
文字语言
符号语言
如果一个平面经过另一
个两平个面平的面一互条相垂垂线直 , ．那么这 aa⊥ ⊥
作用
直线平面平面平面
知识清单
线 ⊥ 面的性质定理
图形语言
文字语言
符号语言
如果两个平面互相垂直， ⊥
如果平面外一条直线和
这个平面内一条直线平行 , a 那么这条直线和这个平面 b
a
∥
平行．
a
∥
b
作用
直线 ∥ 直线直线 ∥ 平面
知识清单
线 ∥ 面的性质定理
图形语言
文字语言
符号语言
面平如行果 ,经一过条这直条线直和线一的个平平 a∥ 面和这个平面相交 ,那么这 a
图形语言
知识清单
基本性质4
文字语言
符号语言
a b
c
线条直平如线行果平 .两行条 ,直那线么都这和两第条三直 ac∥ ∥bba∥c

高中数学立体几何判定定理及性质

高中立体几何判定定理及性质一、公理及其推论文字语言符号语言图像语言作用公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

ααα⊂⇒∈∈∈∈l B A l B l A ,,,①用来验证直线在平面内； ② 用来说明平面是无限延展的公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）ll P ∈=⋂⇒⋂∈P 且βαβα① 用来证明两个平面是相交关系；② 用来证明多点共线，多线共点。

公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面确定一个平面不共线C B A C B A ,,,,⇒用来证明多点共面，多线共面推论1经过一条直线和这αααα⊂∈⇒∉a A A ,使，有且只有一个平面条直线外的一点，有且只有一个平面推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面ααα⊂⊂⇒=⋂baPba,使，有且只有一个平面推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面ααα⊂⊂⇒baba,使，有且只有一个平面∥公理4 （平行公理）平行于同一条直线的两条直线平行cacbba∥∥∥⇒⎭⎬⎫用来证明线线平行二、平行关系文字语言符号语言图像语言作用（1）公理4 （平行公理）平行于同一条直线的两条直线平行cacbba∥∥∥⇒⎭⎬⎫（2）线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那ααα∥∥ababa⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄么这条直线和这个平面平行。

（3）线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

baabb∥∥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂=⋂ββαβ（4）面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.βαααββ∥∥∥⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⊂⊂=⋂baObaba（5）面面平行的判定如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

高中数学立体几何判定定理及性质

ααα⊂⇒∈∈∈∈lBAlBlA,,,①用来验证直线在平面内；②用来说明平面是无限延展的公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）llP∈=⋂⇒⋂∈P且βαβα①用来证明两个平面是相交关系；②用来证明多点共线，多线共点。

公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面确定一个平面不共线CBACBA,,,,⇒用来证明多点共面，多线共面推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面αααα⊂∈⇒∉aAA,使，有且只有一个平面推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面ααα⊂⊂⇒=⋂baPba,使，有且只有一个平面推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面ααα⊂⊂⇒baba,使，有且只有一个平面∥公理4 （平行公理）平行于同一条直线的两条直线平行cacbba∥∥∥⇒⎭⎬⎫用来证明线线平行二、平行关系文字语言符号语言图像语言作用（1）公理4 （平行公理）平行于同一条直线的两条直线平行cacbba∥∥∥⇒⎭⎬⎫（2）线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

ααα∥∥ababa⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄（3）线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

βαβα∥⇒⎭⎬⎫⊥'⊥'OOOO（6）面面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。

(完整版)高中立体几何知识点总结

高中立体几何知识点总结一、空间几何体（一）空间几何体的类型1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。

围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。

2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。

其中，这条直线称为旋转体的轴。

（二）几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

1.2 棱柱的分类棱柱四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体性质：Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等； Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行； Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；1.3 棱柱的面积和体积公式ch S 直棱柱侧（c 是底周长，h 是高）S 直棱柱表面 = c ·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h2 、棱锥的结构特征2.1 棱锥的定义（1）棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

（2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底棱长都相等底面是正方形底面是矩形侧棱垂直于底面底面是平行四边形底面是四边形图1-1 棱柱面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

2.2 正棱锥的结构特征Ⅰ、平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；Ⅱ、正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；正棱锥侧面积：1'2S ch =正棱椎（c 为底周长，'h 为斜高）体积：13V Sh =棱椎（S 为底面积，h 为高）正四面体：对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为a 22的正方体问题。

高中数学立体几何中所有定理高考必背

立体几何中所有定理
一、公理
名称
图形
符号
文字
公理 (一)
公理 (二) 公理 (三)
· ·l
αA B
· A
· B·
C
βl
α
·
P
公理 (四) a b c
A∈l
如果一条直线上
B∈l A∈α B∈α
⇒ l⊂α
的两点在一个平面内，那么这条直
线在此平面内
A、B、C三点不共线过不在一条直线
⇒
上的三点，有且只
它也和这条斜线垂直，反之亦成立
九、线面垂直的判定
名称线面垂直判定定理
图形 l
a α Ob
线面垂直的性
a
b
质
α
面面垂
βB
直的性 C A 质定理 α
面面垂
直的性
质
α
a βγ
十、面面垂直的判定
名称
图形
面面垂直的判
βa
定定理 α
面面垂
α
直的性
β
质
γ
符号
a⊂α b⊂α a∩b=O l⊥a l⊥b
七、面面平行的判定
名称面面平行的判定定理
图形
b
a
αO
β
线面垂 α 直性质 β a
八、线线垂直的判定
符号
a⊂α b⊂α
a∩b=O a∥β b∥β
a⊥α
a⊥β
⇒ α∥β ⇒ α∥β
文字
如果一个平面内有两条相交直线分别平行另一个平面，则这两个平面平行
若一条直线同时与两个平面垂直，则这两个平面平行
垂直于同一平面的两条直线相互平行

高中数学立体几何判定定理及性质

ααα⊂⇒∈∈∈∈lBAlBlA,,,①用来验证直线在平面内；②用来说明平面是无限延展的公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）llP∈=⋂⇒⋂∈P且βαβα①用来证明两个平面是相交关系；②用来证明多点共线，多线共点。

βαβα∥⇒⎭⎬⎫⊥'⊥'OOOO（6）面面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。

高中数学立体几何判定定理及性质

ααα⊂⇒∈∈∈∈lBAlBlA,,,①用来验证直线在平面内；②用来说明平面是无限延展的公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）llP∈=⋂⇒⋂∈P且βαβα①用来证明两个平面是相交关系；②用来证明多点共线，多线共点。

βαβα∥⇒⎭⎬⎫⊥'⊥'OOOO（6）面面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。

(完整版)高中数学立体几何定理总结,推荐文档

l
m
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//
l // m
三、面面平行的判定 1.定义：两个平面没有公共点.
//
2.如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行．
a
a
b b
A
//
a //
b //
3. 一个平面内的两条相交直线与另一平面平行，则这两个平面平行.
a //
a AB
4.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线
垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.
PA A
PB a
a
AB
a PA
二、线面垂直 1.定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直. 2. 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.
直判定总结一、线线垂直 1.定义：两直线所成角为 90o. 2.线面垂直的性质：若直线垂直平面，则直线垂直平面内的任何直线.
l a
l
a
3.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，
那么它也和这条斜线垂直.
PA A
PB a
a
PA
平行判定总结一、线线平行的判定 1.定义:在同一平面内,没有公共点的两条直线.
a
b
a
//
b
a b
2.平行于同一条直线的两条直线互相平行.
a b
// //
b
c
a
//
c
3.如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，
那么这条直线和交线平行．

高中立体几何常用定理精编版

立体几何中的公理、定理和常用结论一、定理1．公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．若A∈l，B∈l，A∈α，B∈α，则l⊂α．2．公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．P∈α，P∈α⇒α∩β＝l，且P∈l．3．公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面．4．异面直线的判定定理：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．（若a⊂α，A/∈α，B∈α，B/∈a，则直线AB和直线a是异面直线．）5．公理4（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行．6．等角定理：如果一个角的两边和另一角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．7．定理：如果一条直线垂直于两条平行线中的一条直线，那么它也垂直于另一条直线．若b∥c，a⊥b，则a⊥c．8．直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．若a⊂／α，b⊂α，a∥b，则a∥α．9．直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．若a∥α，a⊂β，α⋂β＝b，则a∥b．10．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，这条直线和这个平面垂直．若m⊂α，n⊂α，m⋂n＝O，l⊥m，l⊥n，则l⊥α．11．：若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也和这个平面垂直．若a∥b，a⊥α，则b⊥α．12．直线与平面垂直的性质定理：若两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行．若a⊥α，b⊥α，则a∥b．13．平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．若a⊂α，b⊂α，a⋂b＝A，a∥β，b∥β，则α∥β．14．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b．15．定理：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．若α∥β，a⊥α，则a⊥β．16．两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．若l⊥α，l⊂β，则α⊥β．17．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．若α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，则a⊥β．18．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么过一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．若α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β，则a⊂α．19．长方体的体积公式：V长方体＝abc，其中a，b，c分别为长方体的长、宽、高．20．祖暅原理：两个等高（夹在两个平行平面之间）的几何体，如果在任何等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等．二、常识1．过空间一点，与已知平面垂直的直线有且只有一条．2．过空间一点，与已知直线垂直的平面有且只有一个．3．经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行．三、常用结论（可用来解决选择、填空题）1．空间四点A、B、C、D，若直线AB与CD异面，则AC 与BD，AD与BC也一定异面．2．如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线，那么这条直线在此平面内．3．如果过平面内一点的直线垂直于与此平面垂直的一条直线，那么这条直线在此平面内．4．夹在两个平行平面间的平行线段相等．5．经过两条异面直线中的一条，有且只有一个平面与另一条直线平行．6．若直线a同时平行于两个相交平面，则a一定也平行于这两个相交平面的交线．7．如果一条直线垂直于一个三角形的两边，那么它也垂直于第三边．8．如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线所在直线上．9．如果一个平面内有两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行．10．平行于同一平面的两个平面平行．11．空间四面体A－BCD中，若有两对对棱互相垂直，则第三对对棱也互相垂直，且顶点A在平面BCD内的射影是△BCD 的垂心（类似地，顶点B在平面ACD内的射影是ΔACD的垂心，…）．12．空间四面体P－ABC中，若P A、PB、PC两两垂直，则①点P在平面ABC内的射影是ΔABC的垂心；②△ABC的垂心O也是点P在平面ABC内的射影（PO⊥平面ABC）．13．空间四面体P－ABC中，①若P A＝PB＝PC，则点P在平面ABC内的射影是△ABC的外心．②若三个侧面上的斜高PH1＝PH2＝PH3，则点P在平面ABC 内的射影是△ABC的内心．14．如果两个平面同时垂直于第三个平面，那么这两个平面的交线垂直于第三个平面．若α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β，则a⊂α．。

(完整版)高中立体几何八大定理

线面位置关系的八大定理一、直线与平面平行的判定定理：文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行a 图形语言：符号语言：a ⊄α⎫⎪b ⊂α⎬⇒a //αa //b ⎪⎭αb作用：线线平行⇒线面平行二、直线与平面平行的性质定理：文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

图形语言：β⎫⎪符号语言：l ⊂β⎬⇒l //mα⋂β=m ⎪⎭作用：线面平行⇒线线平行三、平面与平面平行的判定定理l //αl m α文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．图形语言：符号语言：a ⊂αb ⊂αa I b =a ∥βb ∥β⎫⎪⎪⎪A ⎬⇒α//β⎪⎪⎪⎭作用：线线平行⇒面面平行四、平面与平面平行的性质定理:文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行图形语言:α//β⎫⎪符号语言:α⋂γ=a ⎬⇒a //bβ⋂γ=b ⎪⎭作用:面面平行⇒线线平行五、直线与平面垂直的判定定理：文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面图形语言：符号语言：aa ma nam n Am,n作用：线线垂直线面垂直六、直线与平面垂直的性质定理：文字语言：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行图形语言：符号语言：Amnabaa//bb作用：线面垂直线线平行七、平面与平面垂直的判定定理：文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。

图形语言：a符号表示：aa注：线面垂直面面垂直八、平面与平面垂直的性质定理：文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另一个平面图形语言：I l符号语言：ABABAB l作用：面面垂直线面垂直Al B。

高中立体几何概念及定理

高中立体几何概念及定理基本概念公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。

公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：（1）共面：平行、相交（2）异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

两异面直线所成的角：范围为( 0°，90° ) esp.空间向量法两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法2、若从有无公共点的角度看可分为两类：（1）有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点——平行或异面直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行①直线在平面内——有无数个公共点②直线和平面相交——有且只有一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

esp.空间向量法(找平面的法向量)规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直esp.直线和平面垂直直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

高中立体几何定理及性质

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
线线垂直推线面垂直
（13）线面垂直的判定
如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面
线线平行推线面垂直
（14）线面垂直的性质定理如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
线面垂直推线线垂直、平行
（15）线面垂直的性质
如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线
线面垂直推线线垂直
（16）面面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
线面垂直推面面垂直
（17）面面垂直的性质定理
如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
面面垂直推线面垂直
（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）
① 用来证明两个平面是相交关系；
② 用来证明多点共线。
公理3
经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
简单的说，不共线的三点，确定一个平面
可以用来确定一个平面
用来证明多点共面，多线共面
推论1
经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面
推论2
经过两条相交直线，有且只有一个平面
推论3
经过两条平行直线，有且只有一个平面
公理4 （平行公理）
平行于同一条直线的两条直线平行
用来证明线线平行
二、平行关系
文字语言
符号语言
图像语言
作用
（1）公理4 （平行公理）
平行于同一条直线的两条直线平行
（2）线面平行的判定定理
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

高中立体几何定理性质

高中立体几何定理及性质一、公义及其推论文字语言公义 1假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上全部的点都在这个平面内。

我们说：直线在平面内或：平面经过直线公义 2假如两个平面有一个公共点 ,那么它们还有其余公共点 ,且全部这些公共点的会合是一条过这个公共点的直线。

（那么它们有且只有一条经过这个公共点的公共直线）公义 3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面简单的说，不共线的三点，确立一个平面符号语言图像语言A lB lABABlPP lP II lP lA, B,C不共线A, B, C确立一个平面C直线 AB存在独一的平面,作用①用来考证直线在平面内；②用来说明平面是无穷延展的③能够用来判断点在平面内①用来证明两个平面是订交关系；②用来证明多点共线。

能够用来确立一个平面用来证明多点共面，多线共面推论 1经过一条直线和这A使得BCA直线 a存在独一的平面,条直线外的一点，使得A 有且只有一个平面a推论 2经过两条订交直线，有且只有一个平面推论 3经过两条平行直线，有且只有一个平面公义 4 （平行公义）平行于同一条直线的两条直线平行a b P有且只有一个平面，使 a,ba ∥ b有且只有一个平面，使 a,ba ∥ ba ∥ cb ∥ c用来证明线线平行二、平行关系文字语言符号语言图像语言作用（ 1）公义 4 （平行公义）平行于同一条直线的两条直线平行a ∥ bb ∥ ca ∥ c（ 2）线面平行的判断定理假如平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

（3）线面平行的性质定理假如一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面订交，那么这条直线和交线平行。

（4）面面平行的判断定理假如一个平面内有两条订交直线都平行于另一个平面 ,那么这两个平面平行 .a ∥ ba a ∥bb∥b a ∥ baa∥b ∥a b O∥ab线线平行推线面平行线面平行推线线平行线面平行推面面平行（ 5）面面平行的判OO线面垂直推面面定假如两个平面∥平行OO垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

高中立体几何定理及性质

线面垂直推面面平行
（6）面面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。
面面平行推线线平行
（7）面面平行的性质如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。
面面平行推线面平行
（8）面面平行的性质如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。
推论3
经过两条平行直线，有且只有一个平面
公理4（平行公理）
平行于同一条直线的两条直线平行
用来证明线线平行
二、平行关系
文字语言
符号语言
图像语言
作用
（1）公理4（平行公理）
平行于同一条直线的两条直线平行
（2）线面平行的判定定理
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
线线平行推线面平行
（3）线面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
线面平行推线线平行
（4）面面平行的判定定理
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
线面平行推面面平行
（5）面面平行的判定如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
其他定理
文字语言
符号语言
图像语言
作用
等角定理
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等
判定两个角相等（或互补）的依据
最小角定理
斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线
所成的一切角中最小的角，且有
（其中如图中所示）
如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线

高中立体几何定理及性质(2020年10月整理).pdf

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