中考数学复习专题 转化思想(含答案)

转化思想
一. 选择题：（本题10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分；共40分）
1、用换元法解方程x
x x x +
=++222
1时，若设x 2+x=y, 则原方程可化为（ ）
A 、y 2+y+2=0
B 、y 2－y －2=0
C 、y 2－y+2=0
D 、y 2+y －2=0 2、如图，已知ABC ∆外有一点,P 满足PC PB PA ==，则（ ） A 、22
3
1∠=
∠ B 、21∠=∠ C 、221∠=∠ D 、2,1∠∠的大小无法确定
3、小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数2
3.5
4.9h t t =-（t 的单位：s ，
h 的单位：m ）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（ ）
A 、0.71s
B 、 0.70s
C 、0.63s
D 、0.36s 4、已知如图：ΔABC 中，∠C=90°，BC=AC ，以AC 为直
径的圆交AB 于D ，若AD=8cm ，则阴影部分的面积为
（ ） A 、64πcm 2
B 、64 cm 2
C 、32 cm 2
D 、48 πcm 2
5、已知实数x 满足0112
2
=+++
x x x
x ，那么x x 1+的值为（ ） A 、1或-2 B 、-1或2 C 、1 D 、-2
6、如图，在半圆的直径上作4个正三角形，如这半圆周长为1C ，这4个正三角形的周长和为2C ，则1C 和2C 的大小关系是（ ）
第2题 第3题
第4题
第6题
A 、1C >2C
B 、1
C <2C C 、1C =2C
D 、不能确定 7.如图，点A 、D 、G 、M 在半圆O 上，四边形
ABOC 、DEOF 、HMNO 均为矩形，设BC=aEF=b ，NH=c ，则下列各式中正确的是 A 、a ＞b ＞c B 、a=b=c C 、c ＞a ＞b
D 、b ＞c ＞a
8. 如图，梯形ABCD 中，AB//DC ，AB ＝a ，BD ＝b ，CD ＝c ，
且a 、b 、c 使方程ax bx c 220-+=有两个相等实数根，则∠DBC 和∠A 的关系是（ ） A. ∠=∠DBC A B. ∠≠∠DBC A
C. ∠>∠DBC A
D. ∠<∠DBC A
9. 如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周 上从点A 出发绕侧面一周，再回到点A 的最短的路线长是( ) (A) 36 (B)
2
3
3 (C) 33 (D) 3 10. 已知a 、b 、c 是∆ABC 三边的长，b>a ＝c ，且方程
ax bx c 220-+=两根的差的绝对值等于2，则∆ABC 中
最大角的度数是（ ） A. 90︒
B. 120︒
C. 150︒
D. 60︒
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，）
11、一位美术老师在课堂上进行立体模型素描教学时，把14个棱长为
1分米的正方体摆在课桌上成如图形式，然后他把露出的表面都涂上不同的颜色，则被他涂上颜色部分的面积为__________
12、某同学在电脑中打出如下排列的若干个圆（图中●表示实心圆，
○表示空心圆）：
● ○●●○●●●○●●●●○●●●●●○●●●●●●○
若将上面一组圆依此规律复制得到一系列圆，那么前2007个圆中有 个空心圆； 13、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的部分对应值如下表，则不等式ax 2+bx+c>0的解集为 ．
H
N O F C
A D
G
M
c
a
b E B
第7题
第8题 D C
1
2 A B 第9题
第11题
y(元)
12
x－3－2－101234
y60－4－6－6－406
5
第13题
038x(公里)
第14题
14.我市某出租车公司收费标准如图所示，如果小明只有19元钱，那么他乘此出租车最远
能到达公里处．
三、解答题：（共6小题，第15题10分、第16题10分、第17题10分、第18题9分、
第19题10分、第20题11分）
15、某数学兴趣小组，利用树影测量树高．已测出树AB的影长AC为9米，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角．
（1）求出树高AB；
（2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变，试求树影的最大长度．
（计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）
B
太阳光线
30°
A C
第15题
16．一天上行6点钟，汪老师从学校出发，乘车上市里开会，8点准时到会场，中午12点
钟回到学校，他这一段时间内的行程S （km ）（即离开学校的距离）与时间（h ）的关系可用图4中的折线表示，根据图4提供的有关信息，解答下列问题： （1）开会地点离学校多远？
（2）求出汪老师在返校途中路程S （km ）与时间t （h ）的函数关系式；
（3）请你用一段简短的话，对汪老师从上午6点到中午12点的活动情况进行描述．
17、已知正方形ABCD 的边长AB=k （k 是正整数），正△PAE 的顶点P 在正方形内，顶点E
在边AB 上，且AE=1. 将△PAE 在正方形内按图1中所示的方式，沿着正方形的边AB 、BC 、CD 、DA 、AB 、……连续地翻转n 次，使顶点．．P ．第一次回到原来的起始位置. （1）如果我们把正方形ABCD 的边展开在一直线上，那么这
一翻转过程可以看作是△PAE 在直线上作连续的翻转运动. 图2是k =1时，△PAE 沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图. 请你探索：若k =1，则△PAE 沿正方形的边连续翻转的次数n = 时，顶点．．P ．
第一次回到原来的起始位置.
（2）若k =2，则n = 时，顶点．．P ．
第一次回到原来的起始位置；若k =3，则 n = 时，顶点．．P ．
第一次回到原来的起始位置. （3）请你猜测：使顶点．．P ．第一次回到原来的起始位置的n 值与k 之间的关系（请用含k 的代数式表示n ）.
A B C
D
P E 图1 A B C D P (E)C D A B C D A B C D A B A B
C D 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 20
40 60 t (h ) s (km ) 图4
18、如图，∆ABC 中，
BC ＝4，AC ACB =∠=︒
2360，，P 为BC 上一点，过点P 作PD//AB ，交AC 于D 。

连结AP ，问点P 在BC 上何处时，∆APD 面积最大？
19、阅读以下短文，然后解决下列问题：
如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”. 如图8①所示，矩形ABEF 即为①ABC 的“友好矩形”. 显然，当①ABC 是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个 .
(1) 仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；
(2) 如图8①，若①ABC 为直角三角形，且①C =90°，在图8①中画出①ABC 的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；
(3) 若①ABC 是锐角三角形，且BC >AC >AB ，在图8①中画出①ABC 的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明.
A
B P C
D
20、已知P （m ，a ）是抛物线2
y ax =上的点，且点P 在第一象限. （1）求m 的值
（2）直线y kx b =+过点P ，交x 轴的正半轴于点A ，交抛物线于另一点M.
①当2b a =时，∠OPA=90°是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，举出一个反例说明；
②当4b =时，记△MOA 的面积为S ，求s
1
的最大值.
O
P A
M
参考答案：
一、DCACDBBACB
二、11、33平方分米 12、447 13、-2<x<3 14、13 三、15、（1）在Rt △A BC 中，∠BAC ＝90°，∠C ＝30° ∵tanC ＝
AB
AC
………2分
∴AB ＝AC·tanC ………3分
＝
9×3
≈5.2（米） ………4分
（2）以点A 为圆心，以AB 为半径作圆弧，当太阳光线与圆弧相切时树影最长，点D 为切
点，DE ⊥AD 交AC 于E 点，（如图） ………6分
在Rt △ADE 中，∠ADE ＝90°，∠E ＝30°， ∴AE ＝2AD ………8分
＝2×5.2＝10.4（米） ………9分
答：树高AB 约为5.2米，树影有最长值，最长值约为10.4米．……10分 16、（1）开会地点离学校有60千米……………………………………2分
（2）设汪老师在返校途中S 与t 的函数关系式为S ＝kt ＋b （k ≠0）． 由图可知，图象经过点（11,60）和点（12,0）
∴⎩
⎨⎧=+=+0126011b k b k ………………………………………………………4分
解之，得⎩
⎨⎧-==60720k b ……………………………………………………5分
∴S ＝－60t ＋720（11≤t ≤12）……………………………………7分
（3）汪老师由上午6点钟从学校出发，乘车到市里开会，到了40公里处时，发生了堵车，堵了约30分钟才通车，在8占钟准里到达会场开了3个小时的会，会议一结束就返校，结果在12点钟到校．………………………10分 17、（1）12次 ……………………………………………………2分 （2）24次；12次……………………………………………………6分
（3）当k 是3的倍数时，n =4k ；当k 不是3的倍数时，n =12k . ………………10分 18、解：设BP ＝x ，∆APD 的面积为y
作AH BC ⊥于H ……………………………………………………1分 则AH AC C =⋅∠=⋅
=sin 233
2
3
∴=
⋅=⨯⨯=∴=⋅=S BC AH S BP AH x ABC ABP
∆∆121
2
4361232
…………………………………………3分
PD AB
PCD BCA
//~∴∆∆
∴
=∴=⋅=-S S CP CB S CP S x PCD BCA PCD ABC ∆∆∆∆()()()2
22
43
8
4
S S S S y x x APD ABC ABP PCD
∆∆∆∆=--∴=---6323
8
42
()……………………………………………………5分 化简得 y x x =-
+383
22……………………………………………………7分 配方得 y x =--+
38
232
2
() ∴=x 2 即P 为BC 中点时，∆APD 的面积最大
这时∆APD 的面积最大值为
3
2
…………………………………………………9分 19、(1) 如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”. ······························· 1分 (2) 此时共有2个友好矩形，如图的BCAD 、ABEF . ································································· 3分
易知，矩形BCAD 、ABEF 的面积都等于△ABC 面积的2倍，∴ △ABC 的“友好矩形”的面积相等. ····················································· 4分
(3) 此时共有3个友好矩形，如图的BCDE 、CAFG 及ABHK ，其中的矩形ABHK 的周长最小 . ·························································· 5分
证明如下：
易知，这三个矩形的面积相等，令其为S . 设矩形BCDE 、CAFG 及ABHK 的周长分别为L 1，L 2，L 3，△ABC 的边长BC =a ，CA =b ，AB =c ，则
L 1=2S a +2a ，L 2=2S b +2b ，L 3=2S c
+2c . ··············· 6分
∴ L 1- L 2=(2S a +2a )-(2S b
+2b )=2(a -b )ab S
ab -， ··· 7分
而 ab >S ，a >b ，
∴ L 1- L 2>0，即L 1> L 2 . ································· 8分 同理可得，L 2> L 3 .
∴ L 3最小，即矩形ABHK 的周长最小. ·············································· 10分 20、（1）2
(0)m a a =>
21(0)1m m m =>⇒=……………………………………………………3分 （2）①b=2a ，2y kx a =+ P 在直线上，则
2a k a a k =+⇒=-(0)k < 22202a k kx a x k k
-+=⇒=-=-= A （2，0）
2
2
220(2)(1)0,21kx kx k x x x x x x -=-⇒--=⇒-+===-或 M （-1，a ） ∠OPA=90° 即2
1a =，1a =
1k =-，2
2,y x y x =--=
P （1，1）
故存在这样的点P …………………………………………………7分 ②440kx x k
+=⇒=-
又44k a k a +=⇒=-
2
2
(4)4(4)40(4)(1)0a x ax ax a x ax x -+=⇒---=⇒+-=
∴S=
2
416132
424a a a a
=--
2211111(2)832328
a a a S =-=--+ ∴当2a =时，max
11
8
S =
…………………………………………………11分。