He原子非相对论基态能量的变分计算
X(六章3讲)变分法-氦原子
ˆ | | H ˆ | | E H | H n n
1 2
1
2
代入上式得基态能量近似值为：
2 1 1 2 1 H 2 2 2 8 2
这正是精确的一维谐振子基态能量
代入试探波函数，得：
( x) Ae
x2
1/ 4
e
x 2 / 2
2
0
c 2 (2 x 2 )2 dx c 2
16 5 15
1
c
15 5 16
2.求能量平均值
H ( )
c
2 d 2 1 2 2 2 2 2 ˆ * Hdx c ( x ) x (2 x 2 )dx 2 2 2 dx
(r1, r2 , rz ) k (r1 )k (r2 ) kz (rz )
1 2
现以Hartree 积形式的波函数做为有相互作用 的多电子体系的试探波函数（变分参量先不指定）， 计算能量的平均值
2 2 1 1 H (ri )hiki (ri ) d i ki (ri ) k j (r j ) d i d j 2 i j rij i 1 ki
| n |
(0) n
mn
ˆ m H n ( 0) | H ˆ | ( 0) H mn m n
(1) En H 11 H 21
氦原子和类氦离子基态能量的变分计算及相对论修正
氦原子和类氦离子基态能量的变分计算及相对论修正一、概述氦原子和类氦离子是一类重要的原子系统，它们的基态能量计算对于理解原子结构和相互作用具有重要意义。
在过去的研究中，许多学者针对氦原子和类氦离子的基态能量进行了理论和实验研究。
而其中变分计算和相对论修正是影响基态能量计算准确性的重要因素。
二、变分计算方法变分法是解决量子力学问题的一种重要方法，其基本思想是通过对波函数进行适当的变分，使得能量泛函达到最小值，从而得到系统的基态能量。
对于氦原子和类氦离子的基态能量计算，变分法被广泛应用。
1. 非相对论变分计算对于氦原子和类氦离子的非相对论变分计算，常采用数值方法求解Schrödinger方程，如Hartree-Fock方法、密度泛函理论等。
这些方法能够较好地描述非相对论情况下的基态能量，但不能考虑相对论效应对基态能量的修正。
2. 相对论变分计算相对论变分计算考虑了相对论效应对基态能量的修正，常见的方法包括Dirac方程、Breit方程等。
相对论修正可以提高对于高速运动的电子、以及高精度的原子性质和反应的描述能力。
相对论修正后的基态能量可以更好地符合实验结果。
三、相对论修正相对论修正是在非相对论基础上进行修正，包括狭义相对论和广义相对论两种情况。
对于氦原子和类氦离子，相对论修正主要包括以下几个方面：1. 狭义相对论修正狭义相对论修正主要考虑了电子的高速运动对基态能量的影响，可以通过Dirac方程和Klein-Gordon方程进行计算。
狭义相对论修正对于高速运动的电子体系基态能量的修正作用较为显著。
2. 广义相对论修正广义相对论修正考虑了引力场对基态能量的影响，常用的方法有考虑引力场的Dirac方程等。
在重力场较为强烈的情况下，广义相对论修正对基态能量的修正作用很大。
四、计算结果与讨论针对氦原子和类氦离子的基态能量，进行了变分计算和相对论修正。
通过数值计算得到了氦原子和类氦离子的基态能量，并与实验结果进行了比较。
氦原子基态能量实验及其运用变分法和微扰法两种方法比较
氦原子基态能量实验及其运用变分法和微扰法两种方法比较【摘要】：对于由单电子粒子组成的两体问题，如氢原子或类氢离子，其基态能量本征值以及相应的波函数是可以通过薛定谔方程解析求解的，而且也很容易求解。
但对于多电子体系，即使是像氦原子和氢分子这样最简单的多电子体系，精确求解也是十分困难的。
因此，在量子力学中往往采用近似的方法来求解这类问题。
本文将以氦原子基态能量(实验测定值为-79eV)的求解为例，通过运用变分法和微扰法两种方法进行比较来解决多电子体系的基态能量求解问题。
【关键词】：氦原子 基态能量 变分法 微扰法 【引言】：在量子力学中，体系的能级和定态波函数可以通过求解定态薛定谔方程得到。
像一维无限深势阱、一维线性谐振子及氢原子等都能精确求解，但由于体系的哈密顿算符通常比较复杂，大多问题不能精确求解， 必须采用近似方法。
本文就氦原子基态能量分别用变分法和微扰法进行计算并加以比较。
【正文】：一、变分法的基本思想 设体系的定态薛定谔方程为ˆ,0,1,2n n nH E n ψψ==⋅⋅⋅ （1-1-1） 式中ˆH 的本征值012n E E E E <<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅，{}nψ是ˆH 的正交归一完备的本征函数系。
我们知道在任意态ψ中能量平均值0E E <，若随意选择一系列波函数计算E ,则最小的那个E 必最接近基态的能量0E ,而与之相应的那个波函数必最接近真正的基态波函数0ψ。
这就是变分法的基本思想。
由此得到求量子体系基态近似能量和近似波函数的方法。
二、利用变分法求氦原子基态的能级和波函数 1、氦原子的哈密顿算符氦原子由带电量为2e 的原子核和两个核外电子组成，由于核的质量比电子质量大得多，可以略去电子折合质量与电子质量的差异，氦原子的哈密顿算符为222222212121222ˆ22s s s e e e Hu r u r r =-∇--∇-+ （1-2-1） 式中u 为电子质量，1r 与2r 分别为两电子到核的距离，12r 是两电子间的距离。
氦原子组态能量的变分法计算
尺 ｒ （ ）：讹 ｅ 卜圳
ห้องสมุดไป่ตู้
（ ４）
氦原子是第 ２号元 素 ， 在元 素周 期表 的第 一周期 内， 其原子核外有 ２个 电子 ， 基态 的电子组态为 １ｌ 或 ｓＳ 表示为 １ 当受激发后成 为 １ ｄ组 态时 ， 能量可 以 ， Ｓ ｓ ３ 其
用变分法来 求 解。但用 变 分法 来 求解 时需 要 注 意 的 是： 首先两个 电子处 于不 同的壳层 ， 所受 的屏蔽 作用不
氦 原 子 组 态 能 量 的 变 分 法 计 算
杨 汉嵩， 李元 杰
（ 河 科技 学 院 工 学 院 ， 南 郑 州 ４０ ０ ） 黄 河 ５０ ６
摘
要 ： 文 利 用 拉 卡 方 法 与 对 角 和 不 变 法 则 导 出 氦 原 子 组 态 的 两 个 谱 项 式 ， 用 波 动 力 学 的 变 分 法 得 出两 谱 项 的 能量 本 利
啪） ：
Ｒ ）
． 一ｒ ｒ ） ２ 唧（
（ ６ ）
图 １ 图 ２分别 给出了径 向波 函数 Ｒ ｒ 和 Ｒ （ ） 、 。 ） （ ｒ
分 布 图 （ 图 １ 图 ２所 示 ） 如 、 。
一
＋ ， 中 的 Ｚ为 核 电荷数 （ 文采用 原子单 其 全
位 ， 中的能量单位为哈特利 ， 其 即 ＝ ． ｅ） ２ｘ１ ６ｖ 。由 ３
２ ２
。２ｒ ｒｚ １ ） （） ｄ ， ２ Ｉ （） ｒ ｄ
（ ３ １）
５ Ｅ ’ 谱 项 能 量 解 的 确 定 （Ｄ）
其 中的 Ｏ为参数 。 ｔ
按 照归 一 化 原 则 有 ： Ｍ２ Ｆ ｒ 』 Ｏｅ ２ ＝１ ｔ ｄ
Ｍ ＝４ａ
同， 因此需要 用双参 数 的形式 。其次 要保证 两个 态 的
变分法求基态能量的步骤
W
am (t) 2
am (t)
2
(m)d m
(1)
m
显然， (m)不可能处处非0。
2、
am
(t)
1 ih
将Ф按 Hµ0 的定态微扰波函数 n 展开：
n
e
i h
nt
n
n 含时 （4）
an (t)n
n
（5）
将（5）式代入schr.eq.(2),则
ih n
(n
an (t) t
an
(t)
n t
)
n
an (t)Hµ0n
n
an (t)Hµ'n
（6）
e2
2 2 2
振子仍然 保留在基态的几率为1W01()
如果 ，即微扰无限缓慢地加入，则
W01() 0 ，即粒子始终保持在基态，不发生 跃迁。
§5.7跃迁几率
一、Hµ' 仅在 t (0,t) 时间间隔内作用，在此时间内 Hµ' 不含时间，初态 k 是分立的，而最终时连续分布 （如：电离）活近与连续分布的（n大）。
Wk m
am (t) 2
1 ih
2
t 0
H e ' imkt mn
dt
(15)
2）讨论：an (t) an (0) 的0 物理意义：第一个等号，认
定一个初态 k ， ak (0) 2 1, 而 an (t) an (0) 是一个近
变分法求基态能量的步骤课件
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对非线性问题处理困难 对于非线性问题，变分法往往难以找到合适的变分形式来 逼近真实解，这使得变分法在处理非线性问题时具有一定 的局限性。
变分法的未来发展
结合其他方法
为了克服变分法的局限性，未来研究可以将变分法与其他方法（如有限元方法、有限差分 方法等）相结合，形成一种混合方法，以提高算法的稳定性和精度。
变分法求基态能量的 步骤课 件
目录
CONTENTS
• 变分法的基本概念
01
引言
变分法的定义
定义
变分法是数学的一个分支，主要研究泛函的极值问题，即寻找函数集合中使特 定泛函取得极值的函数。在量子力学中，变分法用于求解粒子在给定势能下的 基态能量。
公式表示
假设粒子在势能函数V(x)下运动，基态能量E0可以通过变分法求解的公式为： E0 = ∫ (dV/dx²) dx。
氢原子的基态能量求解
氢原子是原子物理中的基本模型，其基态能量的求解可以 通过变分法实现。
首先，我们需要确定氢原子的运动方程，即薛定谔方程。 然后，我们构造一个变分函数来近似描述氢原子的波函数。 接下来，将变分函数代入薛定谔方程，并求解得到基态能 量。最后，我们需要验证求解结果的正确性。
谐振子的基态能量求解
泛函的极值与变分法
泛函的极 值
泛函在给定约束条件下的最大值或最 小值。
变分法
通过求解泛函的极值问题，得到满足 约束条件的函数，从而得到系统的最 优解或基态解。
03
变分法在物理中的
应用
基态能量的定义
基态能量
系统最低的能量状态，即系统处于稳定平衡时的能量。
基态能量的物理意义
描述系统的基本性质和行为，是研究系统稳定性和相变等问题的关 键参数。
变分法求基态能量的步骤
4、例题：
一维带电谐振子，电量为q， t 时刻处于基态。 设微扰 H ' q xet / ，ε为外电场强度，τ为参数。求当 t 时，谐振子处于激发态 的几率。 n
2 2
解：取一级近似：
W0n ()
1
2
H e
in 0 t ' n0
dt a0n ()
mk
)时,即可认为 t
∴ t 即t足够大
而
am (t )
2
2 t
2
H
' 2 mk
(mk )
意义是当 mk 0 即本态能量 m k 情况下,才有可 2 a ( t ) 观的跃迁发生,此情况下的 m 远远大于 m k 0 情况, (mk ) 是常微扰作用下体系能量守恒的反映. 例:VRH变程跳跃,无规半导体”宋-陈理论”.
Wk m
4 Fmk
2
1 sin (mk )t ' 2 2 (mk ) 2
2
(9)
将1)、2)两种情况合写为一式，即把(4)式改写
Wk m am (t )
2
4 Fmk
2
1 sin (mk )t 2 2 2 (mk )
2
(6)
３、由于共振跃迁时(6)式分子分母0/0,当t足够大时， 1 1 x ( ) ( ax ) ( x) 利用δ 函数的性质，令 2 mk ，并且 a 则(6)式成为
t 是指时间间隔
这时 mk (t )
(t t1 )
t t 0 足够长, mk t1
1,
只在 mk 0 的一个窄范围内不为0
当常微扰只在一段时间 (0, t1 ) 内作用,只要 t1 足 够大,即t1 (体系的特征时间,例如原子特长时 间 1 1015 s, 激发能级寿命 108 109 ，光电效 应： 10 9 s
变分原理和基态能量
变分原理和基态能量变分原理是应用数学中的一种方法，用于解决极值问题。
在物理学中，变分原理被广泛应用于研究系统的基态能量。
本文将从理论和应用两个方面探讨变分原理与基态能量的关系。
一、变分原理的基本概念和原理变分原理是对函数的极值问题进行求解的一种方法。
它通过对函数进行微小的变化，然后利用极值点的性质来求得函数的极值。
变分原理的关键在于选取合适的变分函数和边界条件。
根据变分原理，我们可以将一个函数视为一个整体，而不仅仅是一系列离散的数值。
通过对函数引入适当的变分函数，然后求解变分函数的极值，我们可以得到原函数的极值。
二、基态能量的概念和意义基态能量是指系统在最低能级时具有的能量。
在量子力学中，基态能量是系统最稳定和最低能量的状态。
研究系统的基态能量对于了解系统的稳定性和行为具有重要意义。
基态能量的计算涉及到系统的波函数和哈密顿算符。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到系统的波函数，进而计算出基态能量。
三、变分原理与基态能量的关系变分原理在研究基态能量时起到了重要的作用。
通过变分法，我们可以从整体上考虑系统的波函数的变化，从而更准确地计算系统的基态能量。
在应用变分原理求解基态能量时，我们首先选择一个适当的变分函数，然后求解该变分函数对应的极值，即找到使得变分函数取极小值的波函数。
这个波函数就是系统的基态波函数，基态能量可以由此得到。
通过变分原理求解基态能量的好处在于，我们不需要事先知道系统的确切波函数形式。
通过选择合适的变分函数，我们可以逼近真实的波函数，并得到较为准确的基态能量。
四、变分原理和基态能量的应用变分原理和基态能量的概念和方法在物理学的各个领域都有着广泛的应用。
在量子力学中，变分原理被用来求解系统的基态能量，从而研究原子、分子和凝聚态物理的性质和行为。
在固态物理学中，变分原理被用来研究晶体和材料的基态能量，从而探索材料的电子结构和导电性等性质。
在统计物理学中，变分原理被用来分析系统的基态能量和热力学性质，从而研究相变、磁性和量子统计效应等现象。
氦原子基态能量的Hylleraas变分计算
第29卷第11期大 学 物 理V o.l 29N o .112010年11月COLLEGE PHYS I CS N ov .2010收稿日期:2010-04-20;修回日期:2010-07-08作者简介:陈冠军(1980)),男,山西泽州人,太原师范学院物理系讲师,硕士研究生,主要从事原子与分子物理学领域的研究工作.氦原子基态能量的Hylleraas 变分计算陈冠军(太原师范学院物理系,山西太原 030031)摘要:本文给出了基于H ylleraas 波函数变分计算氦原子基态非相对论能量的详细过程,得到了含参数的基态能量表达式,并编写了相应的M athe m atica 程序来完成变分,计算所得的基态能量的理论值和实验数据符合得很好,误差小于0.04j .由于计算过程直观简单,在教学过程中亦可采用.关键词:氦原子;基态;H y ll eraas 方法;M athe m atica中图分类号:O 413.1 文献标识码:A 文章编号:1000-0712(2010)11-0014-02作为薛定谔方程无法精确求解的库仑三体系统,氦原子,特别是处于基态的氦原子(由于其特殊的对称性可以使问题简化),在量子力学教科书中常用来作为各种近似方法的例子.求解氦原子基态能量的方法有微扰法、变分法、自洽场法等,利用类氢离子波函数作为试探波函数的单参数变分法[1]和简单的自洽场计算[2]均给出氦原子的基态能量为-2.8477H artree (哈特利,1H artree U 27.211e V ),而一阶微扰计算的能量值为-2.750H artree ,均与精确的计算值[3]-2.903724375H artree 相差较远.1929年,H y lleraas [4]提出了一种包含关联坐标r 12的变分波函数,描写电子之间的关联效应,获得了较高精度的变分基态能量.由于H ylleraas 变分方法不能解析完成,且计算量大,各种量子力学教材均不采用.随着计算技术的发展,H y lleraas 1929年的工作现在借助于计算机可以在几分钟内完成.本论文给出了利用M athe m atica 编程计算氦原子基态能量的过程,将繁复的计算工作交由计算机来完成,又尽可能保留H y lleraas 方法的思想,而且还具有相当的精度,可以作为量子力学教学的有益拓展.1 薛定谔方程和变分法类氦原子的薛定谔方程为H W (r 1,r 2)=E W (r 1,r 2)(1)式中H 为非相对论的哈密顿算符,其形式为(全文采用原子单位,能量单位为哈特利)H =T +V =-1221-1222+-Z r 1-Z r 2+1r 12(2)式中前两项为动能项T ,后3项为势能项V .r 1,r 2分别为两个电子距原子核的的距离,r 12为两个电子之间的距离,Z 是原子序数.W 是波函数,是r 1和r 2的函数,即6个坐标的函数,由于氦原子基态的原子态为1s 21S ,总角动量为零,具有特殊对称性,即在同时转动r 1,r 2而保持r 1,r 2和r 12所构成的三角形形状不变的情况下,哈密顿是不变的.因此H y lleraas 注意到波函数是简并的,可以只与3个独立的变量r 1,r 2和r 12有关,另外的3个坐标(欧拉角)决定三角形的空间取向,可以是任意的.即波函数W (r 1,r 2)=W (r 1,r 2,r 12).方程(1)没有严格解,可以利用Rayle i g h-R itz 变分法求得近似解,变分法要求E 0[E (W )=Q W H W d S QW 2d S (3)即先取一包含若干参数的试探波函数W ,求得能量泛函E (W ),变分取其极小值,即得基态能量E 0.最简单的试探波函数是两个类氢1s 波函数的乘积W (r 1,r 2,r 12)=N e-F (r 1+r 2)其中N 是归一化常数,F 是变分参数.利用变分原理可以求得[1]F =Z -516U 116875,相应的基态能量是E =-(Z -5/16)2U -2.8477哈特利.与实验值相比约有2%的误差.2 H ylleraas 方法为了精确计算氦原子的基态能量,H y lleraas[4]于1929年提出了一种采用椭球坐标的H y lleraas第11期 陈冠军:氦原子基态能量的H y lleraas 变分计算15坐标s =r 1+r 2, t =r 1-r 2, u =r 12(4)来代替(r 1,r 2,r 12),把波函数写成W =W (s ,t ,u )=6ic i <i (s ,t ,u )=6n ,2l ,mc n ,2l ,m e -F s s n t 2l u m,(n ,l ,m =0,1,2,,)(5)式中F 和c i 是变分参数,由变分法来确定.本文为了简便,将F 取定,只将c i 作为变分参数.式中反对称的自旋被函数未写出,W 是对称的要求波函数中只能含有t 的偶次项.为了利用变分法,首先需要将式(3)中的积分做出,其中体积元Qd S =Q d r 1d r 2=8P 2Q r 21r 22si n H 12d r 1d r 2d H 12利用u d u =r 1r 2si n H 12d H 12Qd S =8P 2Q ]Q ]r 1r 2d r 1d r 2Q r 1+r 2|r 1-r 2|u d u再利用d r 1d r 2=12d s d t ,r 1r 2=14(s 2-t 2),最终Qd S =2P2Q ]0d sQ s 0d uQuu (s 2-t 2)d t(6)由于坐标t 可以取负值,但考虑到积分中被积函数为t 的偶函数,因此式(6)已将t 的积分范围取做0y u ,将体积元乘以2[5].为了将式(3)中的积分完成,式(2)的哈密顿算符亦需用H ylleraas 坐标表示出来,其中势能可以直接写出V =-Z r 1-Z r 2+1r 12=-4Z s s 2-t2+1u 动能项T 经过冗长的微分运算也可以写出,为了简化我们直接利用格林公式将积分作如下替换-QW 2iW d S =Q(iW )2d S -R S(W iW )#d S =Q(iW )2d S将i 进一步写成对H ylleraas 坐标的微分,式(3)中T 算符的积分即可以写成[5]M =Q W T W d S =2P 2Q ]d s Q sd u Q u 0d tu (s 2-t 2)5W5s2+5W 5t 2+5W5u 2+2s (u 2-t 2)5W 5s 5W5u+2t (s 2-u 2)5W 5t 5W5u(7)V 算符的积分L =QW V W d S =2P2Q ]d sQ sd u Qu 0[-4Z s u +(s 2-t 2)]W 2d t(8)归一化积分N =QW 2d S =2P2Q ]0d sQ s 0d u Qu 0u (s 2-t 2)W 2d t (9)代入式(3)即得到能量本征值为E =M +L N式中M ,L ,N 项均为c i 的平方项,变分原理要求5M 5c i +5L 5c i -E 5N 5c i=0, i =1,2,,由此可得关于c i 的线性齐次方程组成的方程组,方程组有解的条件是其系数行列式为零,即52M 5c i 5c j +52L 5c i 5c j -E 52N5c i 5c j=0, i ,j =1,2,,(10)该行列式的阶数等于式(5)波函数展开式中的项数,为了便于利用M a t h e m atica 编程,还需要利用式(7))式(9)将行列式的每个元写出为D ij =H ij -E N ij(11)H ij =2P 2Q ]0d sQ s 0d u Qu 0d t u (s 2-t 2)#5<i 5s 5<j 5s +5<i 5t 5<j 5t +5<i 5u 5<j5u+ s (u 2-t 2)5<i 5u 5<j 5s +5<i 5s 5<j5u + t (s 2-u 2)5<i 5u 5<j 5t +5<i 5t 5<j5u+ (-4Z su +s 2-t 2)<i <j }(12)N ij =2P2Q ]0d sQ s 0d uQuu (s 2-t 2)<i <j d t (13)3 结果和讨论利用M a the m atica 软件的符号计算功能可以方便地求积分式(12)、式(13)和解行列式方程式(10),本文里采用11项展开的H y lleraas 波函数<1=e -F s, <2=e -F ss , <3=e -F su , <4=e-F s s 2, <5=e-F s t 2, <6=e -F su2<7=e -F ssu , <8=e-F s s 2u ,<9=e-F s t 2u , <10=e -F su 3, <11=e -F s t 2u2试验计算表明基态能量对变分参数F 的变化并不敏感,这里取F =1.72.解行列式方程(10)给出11个根,其中最小的即为所求的基态能量.E 0=-2190362H artree(下转34页)34大学物理第29卷除各y i异方差的影响,使拟合出来的直线真实反映物理量间的客观规律.物理实验中,逐差法的典型运用是拉伸法测杨氏模量实验和牛顿环实验的数据处理.杨氏模量实验中,由于受金属丝弯曲和光杠杆镜面偏转角增大的共同影响,望远镜中读数的方差随着金属丝荷重的增加呈现两端大中间小的变化规律,牛顿环实验中,由于受环纹宽度和环直径平方的方差随环直径增大而增大的共同影响,环直径平方的方差也呈现两端大中间小的变化规律.这两实验数据都基本满足运用逐差法的条件,因此,通常运用逐差法而不用普通最小二乘法处理数据.总之,逐差法既不能滥用,也不可由最小二乘法取而代之,运用逐差法要注意满足条件.参考文献:[1]成正维.)元线性问题中的实验标准差[J].大学物理,2004,6:35-36.[2]朱鹤年.物理实验研究[M].北京:清华大学出版社,1994:83-103.[3]朱鹤年.再谈物理实验中的直线拟合[J].工种物理,1994,3:23-26.D iscussion about t he li near fitti ng by s uccessi ve differenti alm ethodGAO Yong-x iang(Co ll ege of Physics and E lectron i cs Eng i neer i ng,Shanx iU n i versity,T aiyuan,Shanx i030006,Ch i na)Abst ract:The characteristic o f successive differentialm ethod is analyzed.It is opened out thatwh ich is really a kind o fw eighted least square m e t h od.V arious opinions and pr oble m s for the m ethod are discussed.K ey w ords:successive d ifferentialm ethod;w eighted least square m ethod;variance;w e i g hti n g functi o n(上接15页)结果与精确的计算值[3]-21903724375H ar-tree相比误差只有0.036j.如果增加波函数展开的项数可以进一步提高计算精度,但相应的计算时间就会很长,此外,文献中还有改进精度的其它方法,比如在波函数中引入松驰参数k[5].调整Z和F的值,同样的方法也可以用来计算氦的等电子序列的基态能量;通过解与式(10)相应的矩阵方程还可以求出展开系数ci,进而得到波函数,限于篇幅这些内容都不再详述.参考文献:[1]曾谨言.量子力学(卷Ñ)[M].北京:科学出版社,1990:612-613.[2]黄时中,喻其山.双电子体系的简单自洽场计算[J].大学物理1998,17(1):7-9.[3]P eker i s C L.11S and23S states o f H eli u m[J].PhysR ev,1959,115(5):1216-1221.[4]H y ll eraas E A.N eue be rechnung de r energ i e desH eli u m si m g rundzustande,sow i e des ti e fsten ter m s von O rtho-H e li u m[J].Z Physi k,1929,54(5):347-366.[5]Be t he H A,Sa l peter E E.Q uantu m m echan i cs o f one-and t wo-electron atom s[M].Be rli n:Spri nger-V er l ag,1957:146-149.Hylleraas variati onal calculati on for ground-state energy of Heli u mCHEN Guan-jun(D epart m ent o f Physics,T aiyuan N o r m al U ni vo rs it y,T a i yuan,Shanx i030031,Chi na)Abst ract:By usi n g t h e H y lleraas-type wave function,the expression for the energy ofH e li u m in the g round state is derived i n deta i.l The variationalm ini m um o f g r ound state ener gy i s obtai n ed by t h e he l p o fM athe m atica. The t h eo retica l va l u e of ener gy is i n agree m ent w ith experi m ental data,and the relative error is less than0.04j. Th is calcu lation is easy to understand,thus it is very su itable for the teach i n g pur pose.K ey w ords:H e li u m;ground state;H ylleraas m ethod;M athe m atica。
5.5氦原子基态
下面我们用变分法求解氦原子基态问题。
氦原子体系的总Hˆ 为
Hˆ
2
2m (12
22 )
2e2 r1
2e2 r2
e2 r12
Hˆ 0
e2 r12
（5.5.1）
因为 e2 与 ze2 及 ze2 具有同样的量级，故不能用微扰
r12
r1
r2
法，现应用变分法处理，首先选去合适的尝试波函数
（5.5.5）
计算出 zmin ，从而得到基态能量和波函数。
计算过程略，有兴趣的同学可在这里看 计算过程
从计算结果可以看出：
氦原子基态计算过程
氦原子基态计算过程如下：
E(z) * Hˆ dr1dr2 *(r1,r2, z)
2
2m
12
22
2e2
1 r1
1 r2
e2 r12
(r1 r2 );
氦原子基态计算过程
0
Pl (cos
) sin d
2 2l
1
lo
2lo;
dr1 r12 sin1dr1d1d1;
dr2 r22 sin2dr2d2d2;
cos sin1 sin2 cos(1 2 ) cos1 cos2;
Pl (cos ) Pl (cos1)Pl (cos2 )
(
r1
r2
)
dr1dr2
,
氦原子基态计算过程
利用下列关系式和简单结果
e
z a0
r1
1
z a0
(1r1
)e
z a0
r1
z a0
r1 r1
e
z a0
r1
;
变分法求基态能量的步骤
似。（15）式成立的条件是：Wkm (t) 1 (k m) 即跃迁几率很小，体系保持在初始状态的几率很大，
4、例题：
一维带电谐振子，电量为q，t 时刻处于基态。 设微扰 H ' q xet2 /2，ε为外电场强度，τ 为参数。求
W
am (t) 2
am (t)
2
(m)d m
(1)
m
显然， (m)不可能处处非0。
2、
am
(t)
1 i
t 0
H
' mk
eimk
t
'dt
'
H
' mk
eimkt 1
mk
(2)
am (t) 2
H
' mk
2
(eimk t
1)(e imk t
§5.7跃迁几率
一、H ' 仅在 t (0,t) 时间间隔内作用，在此时间内 H ' 不含时间，初态 k 是分立的，而最终时连续分布 （如：电离）活近与连续分布的（n大）。
1、终态：能量 m m dm之间的末态数目：即 以 (m)表示末态的态密度。这样，从初态到末 态的跃迁几率是各种可能的跃迁几率之和：
dt
从k m （初态 终态）。即发生量子跃 迁，从一个定态 另一个定态，系统有局部的能
量变化
2、含时微扰下的schr.eq.
体系波函数Ф 应满足schr.eq; i H (t) (2)
t
H(t) 中的 H 0 不含t，本征函数 n 已知：
氦原子1s2s组态能量
引以一个参数λ，令 H H (0) H ' ，当λ=0 时， H H (0) 即未微扰体系，当λ=1 时，出现微扰项，微扰态的薛定谔方程为
( H (0) H ') n En n
将 n 和 En 按λ的幂的泰勒级数展开，有
(1)
(H (0) H ')( n(0) n(1) ' n(2) )
,
2 1 Z I (1s) (1s 0 m (r1 ) 1s 0 m (r1 )) 2 r1
,
（19）
I (2s) (2 s 0 m (r2 )
2 Z 2 2 s 0 m (r2 )) 2 r2
,
（20） （21）
1 2 2 2 F 0 (1s, 2s) R12s (r1 ) R2 s (r2 )r 1 r2 d r1 d r2 , r 0 0 G (1s, 2s)
1
r R (r ) R2 s (r2 ) R2 s (r1 ) R1s (r2 )r12r22d r1 d r2 . 2 1s 1 r 0 0
（22）
式中： r min(r1 , r2 ) ， r max(r1 , r2 ) 在本文中 r1 r2 ，故 r min(r1, r2 ) r1 ， r max(r1 , r2 ) r2 , 为保证激发态波函数与基态波函数正交，将试探性单电子径向波函数取为：
(0)
将以上各式代入（17） （18）式，得到用参数 和 表示的能量表达式为
2c (Z 1) (Z 1) (1 c) E( S ) Z 2 8 4 4(1 3c 3c 2 )
（13）
氦原子基态能量实验及其运用变分法和微扰法两种方法比较
氦原子基态能量实验及其运用变分法和微扰法两种方法比较【摘要】：对于由单电子粒子组成的两体问题，如氢原子或类氢离子，其基态能量本征值以及相应的波函数是可以通过薛定谔方程解析求解的，而且也很容易求解。
但对于多电子体系，即使是像氦原子和氢分子这样最简单的多电子体系，精确求解也是十分困难的。
因此，在量子力学中往往采用近似的方法来求解这类问题。
本文将以氦原子基态能量(实验测定值为-79eV)的求解为例，通过运用变分法和微扰法两种方法进行比较来解决多电子体系的基态能量求解问题。
【关键词】：氦原子 基态能量 变分法 微扰法 【引言】：在量子力学中，体系的能级和定态波函数可以通过求解定态薛定谔方程得到。
像一维无限深势阱、一维线性谐振子及氢原子等都能精确求解，但由于体系的哈密顿算符通常比较复杂，大多问题不能精确求解， 必须采用近似方法。
本文就氦原子基态能量分别用变分法和微扰法进行计算并加以比较。
【正文】：一、变分法的基本思想 设体系的定态薛定谔方程为ˆ,0,1,2n n nH E n ψψ==⋅⋅⋅ （1-1-1） 式中ˆH 的本征值012n E E E E <<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅，{}nψ是ˆH 的正交归一完备的本征函数系。
我们知道在任意态ψ中能量平均值0E E <，若随意选择一系列波函数计算E ,则最小的那个E 必最接近基态的能量0E ,而与之相应的那个波函数必最接近真正的基态波函数0ψ。
这就是变分法的基本思想。
由此得到求量子体系基态近似能量和近似波函数的方法。
二、利用变分法求氦原子基态的能级和波函数 1、氦原子的哈密顿算符氦原子由带电量为2e 的原子核和两个核外电子组成，由于核的质量比电子质量大得多，可以略去电子折合质量与电子质量的差异，氦原子的哈密顿算符为222222212121222ˆ22s s s e e e Hu r u r r =-∇--∇-+ （1-2-1） 式中u 为电子质量，1r 与2r 分别为两电子到核的距离，12r 是两电子间的距离。
5.5氦原子基态
5.5氦原子基态（变分法）一．体系的哈密顿量由于氦核的质量远大于电子的质量，所以可认为核是固定不动的，所以氦原子的哈密顿量为12222122222122222ˆr e r e r e m m H s s s +--∇-∇-= （5.5.1） 若不考虑两个电子之间的相互作用，则221222221202222ˆr e r e m m H s s --∇-∇-= 体系的基态波函数可用分离变量法求得()()()2100110021,r r r rψψψ= （5.5.2）式中()r100ψ是氢原子的基态波函数()()()0213030010100,a Zre a Z Y r R r -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==πϕθψ（5.5.3）二．试探波函数()()21030321,r r a Ze a Z r r +-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=πψ（5.5.4） 由于两个电子间有相互屏蔽作用，核的有效电荷数不是2e ，所以我们把Z 看作是参量，把（5.5.4）当做试探波函数，则 三．H 的平均值()()()()()()()21212222122221223032121212102102102101122,ˆ,ττπττψψd d e r e e r r e e e m a Z d d r r H r r H r r a Z s r r a Z s r r a Z r r a Z ⎰⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∇+∇-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+-+-+-+-∙=()()()212221223032102102ττπd d e e m a Z r r a Zr r a Z ⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∇+∇-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+- -()2122122303210112ττπd d e r r e a Z r r a Zs ⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+- ()2121222303210ττπd d e r e a Z r r a Zs ⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛++- （5.5.5）第一项()()()302212221223032102102Z a e d d e e m a Z s r r a Zr r a Z =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∇+∇-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰+-+-ττπ （5.5.6） 第二项()Z a e d d e r r e a Z s r r a Zs 0221221223034112210-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰+-ττπ （5.5.7） 最后一项()2121222303210ττπd d e r e a Z I r r a Zs ⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+- 0212122223038511020a Z e d e r d ea e Z s r a Zr a Zs =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰--ττπ （5.5.8）()2211202303303212122230320102104ττπεππττπd e d r e a eZ a eZ d d e r e a Z I r a Zr a Zr r a Zs --+-⎰⎰⎰⎰⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 上式中()2110023310r e e a eZ r a Zψπ-=--是第一个电子在1r 处的电荷密度。
氢原子能级公式计算及应用
氢原子能级公式计算及应用氢原子能级公式是量子力学中描述氢原子能级分布的数学模型。
在原子结构和化学反应的研究中，能级分布是理解原子和分子行为的关键因素。
通过计算和分析氢原子能级公式，科学家们可以深入探讨原子能级之间的跃迁、能量吸收和发射等过程。
本文将详细介绍氢原子能级公式的理论基础和计算方法，并探讨其在实际研究中的应用及发展前景。
在量子力学中，氢原子能级公式是由波尔（Niels Bohr）在1913年提出的。
他假设氢原子中的电子在库仑势场中运动，并应用量子力学的概念，推导出了一系列能级公式。
这些公式包括：E1 = -6eV，E2 = -4eV，E3 = -51eV，E4 = -85eV， (1)其中，En代表第n个能级能量，eV是电子伏特单位。
波尔的假设得到了实验的证实，这些能级公式至今仍被广泛应用。
氢原子能级公式适用于描述氢原子中电子的能级分布和跃迁过程。
然而，这些公式存在一定的局限性。
例如，它们无法描述多电子原子中电子之间的相互作用，也不能解释某些化学反应中的精细结构。
为了解决这些问题，科学家们不断提出新的理论模型和方法，如密度泛函理论（DFT）、耦合簇理论（CCSD）等。
在物理学和化学领域，还存在许多其他的能级公式，如碱金属原子的能级公式、费米黄金定律等。
这些公式各有特点，适用于不同的研究对象。
例如，碱金属原子的能级公式描述了多电子原子中的电子分布和跃迁过程，费米黄金定律则描述了金属中电子的费米能级。
氢原子能级公式在化学、物理、冶金等领域的应用在化学领域，氢原子能级公式可以用于计算分子的稳定性和化学反应的能量变化。
例如，通过比较不同分子的能级分布，可以预测分子的成键类型和稳定性。
在物理领域，氢原子能级公式可以用来解释原子光谱的精细结构，以及光的吸收和发射等过程。
在冶金领域，氢原子能级公式可以帮助研究金属中电子的行为，从而优化材料的性能。
氢原子能级公式在核聚变、太阳物理和X射线探测等方面的应用在核聚变领域，氢原子能级公式可以用来描述原子核的能量状态和跃迁过程。
11氦原子基态能级要点
n最后一步用了・的归一化条件'TkI2二
n
⑹式和⑺式给出:
A
Eo r-* H'-d.
⑻
这个不等式说明,用任意波函数算出H的平均值总是大于体系基态能量，而只有当
恰好是体系的基态波函数
A
5时，H的平均值才等于能量EOo
上面讨论中曾假定是归一化的，如果-
:不是归一化的,那么(5)式应该写为：
A
*H-d.
H
*
(9)
⑻式应写为
A
Eo-
严H屮di
•
■
(10)
0
■_Ad
A
A
根据波函数算出H的平均值总是不小于Eo,我们可以选取很多的■-并算出H的
平均值,这些平均值中最小的一个最接近于Eoo
2.2
2.2.1选取一个参量的尝试波函数
求岀H的最小值z所得结果就是E。的近似值。
1.2.2选题的意义
氨原子是比类氢离子这种单粒子体系复杂但是相对于其他粒子要简单的粒子，研究氮原子这 种简单的多粒子体系，对于硏究更复杂的多粒子体系具有重要
的意义。变分法是解决氨原子和类氮原子的强有力工具z只要选择合适的试探波函数，对于提高
求解能级近似值有很大的帮助。
1.3
本文主要硏究氮原子的基态能级，通过应用双参数变分法,选择适当的试探波函数，求岀氨
第一童绪论
对氮原子基态能级的探讨一般选用微扰法及变分法，本文重点讨论变分法对氮原子基态能级
的求解。变分法是解决氨原子和类氮离子基态问题的强有力工具,到目前为止，国内外为追求高精度所选取的变分参数个数已由数百增至数干,在忽略核质量的情况下,它们的非相对论基态波函数和能量的不确定度分别达到
变分法计算氦原子基态能量
r1 r
k
k 1 2
dr 2
1 r12
e
ar 2
0
r dr 2
2 2
1 r1
r1
e
ar 2
0
r dr 2
2 2
1 r2
e
ar 2
r1
r2 dr 2
2
z3 a 3 0
2
2
e
2
2z a0
r1 r2
e
r12
2
d 1d
2z
(
a
3 0
)
2
r
e
d 1d 2
12
核外两电子动能的计算
利用积分公式：
r e
n
ar
dr a
n!
n 1
0
及
2
1 r
2
r
z a0
r
2
r
2 2
r
2 r r
（径向部分）
z3 3 a 0
3
2
2 m e
2
2 z ( r1 r2 ) 1 z z 2 2 z ( r1 r2 ) a e a0 e 0 }d 1 d 2 a a r2 0 0
z3 a 3 0
(
a0
z
3
) 3
2
e
2
2
z a0
( r1 r2 )
1s3p变分计算方法
P p s 1)31(态能量的变分计算氦原子(含类氦离子)的非相对论性哈密顿为2222222212121212121212222p p Ze Ze e Z Z e H m m r r r r r r a⎡⎤∇∇=+--+≡-+---+⎢⎥⎣⎦ (1)其中Z 为核电荷数，能量单位为哈特利，即 eV a e 6.132/2⨯≈(方括号中的各量无量纲)。
对于氦原子的()p s 31组态，有两个谱项，即P 1和P 3。
利用对角和方法或拉卡公式，可以导出这两个谱项能量的表达式。
实际上，按照1122()n n 组态的拉卡公式，)()()()(2211LS E n I n I LS E C ++= ， (2a))12)(12()(21++= LS E C∑⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯k k L n n F k L k k ),(000000)1(2211)(12212211 ⎥⎥⎦⎤⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+),(000)1(2211)(1212221n n G k L k k S ， (2b) ()p s 31组态3P 谱项的能量为()()()()P E p I s I P E C 3331++=，()()()()∑⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k k C p s F k k k P E 3,1101100100100000133()()()⎥⎥⎦⎤⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-p s G k k k 3,1100110100012， ()()∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k k p s F k k k 3,11011001001000003 ()()∑⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k p s G k k 3,1100110100032，对第一个求和，由000000k ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭的条件：00k ≤≤，可知只有0k =一项，对第二个求和，由010000k ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭的条件：11k ≤≤，可知只有1k =一项，因而()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=p s F P E C3,1010110010001000000303()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-p s G 3,1110011010100312，()()()()p s G p s F 3,1313,110-=，即)3,1()3,1()3()1()()1(31)0(3p s G p s F p I s I P E -++= (3) 同理)3,1()3,1()3()1()()1(31)0(1p s G p s F p I s I P E +++= (4) 其中)(2)()1(101121101x r Z x s I s s m s m sψ-∇-ψ= (5-a))(2)()3(2322223x r Z x p I s s m pm m pmψ-∇-ψ= (5-b)2122212211230021222122312100)0()()(1)()(1)3,1(dr dr r r r R r R r dr dr r r r R r R r p s F s p p s ⎰⎰⎰⎰∞∞>∞∞>== (5-c) 21222121132311002)1()()()()()3,1(dr dr r r r R r R r R r R r r p s G s p p s ⎰⎰∞∞><= (5-d) 式中),m i n(21r r r =<, ),max(21r r r => (6) )1(s I 和)3(p I 是单电子积分，)3,1()0(p s F 和)3,1()0(p s G 分别是直接积分和交换积分。
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! 收稿日期： ! ’ ’ ) ? ’ A ? ’ @ 基金项目： 国家自然科学基金 （编号： ） ； 甘肃省自然科学基金 （编号： ） 资助项目。 > ’ ! C ( ’ @ ’ K ; ’ ! ! Z/ ! ( Z ’ > A 作者简介： 刘玉孝 （ ， 男， 贵州毕节人， 兰州大学博士， 主要从事理论物理及计算物理研究。陈玉红 （ ， 男， 甘肃秦安人， > ] C C Z） > ] C ! Z） 兰州理工大学讲师， 硕士， 主要从事原子结构及计算机的研究， ： 7 ? V G F $ Q H ! ’ ’ \ " ! ] > > % I B O % R
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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万方数据 刘玉孝： ： ! ! 通讯联系人： 7 ? V G F $ $ F D E ’ > " N O % $ S D % B U D % Q I R
第@ @卷第@期
刘玉孝等： B &原子非相对论基态能量的变分计算
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