福建省泉州市泉港区第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试 数学

棠 ᤿븠 ֎ 聄 垂直，则
的离心率为
A． 5
B． 3
5
C．
2
D． 2 3
4．如图，圆 C 的部分圆弧在如图所示的网格纸上（小正方形的边长
为 1），图中直线与圆弧相切于一个小正方形的顶点，若圆 C 经过点
A2,15 ，则圆 C 的半径为（ ）
A． 6 2
B．8
C． 7 2
D．10
5．已知两点 A（－2，0），B（0，2），点 C 是圆 x2＋y2－2x＝0 上任意一点，则△ABC 面积的最
22．已知椭圆
C：x a
2 2
y2 b2
1a
b 0 ．离心率为 1
2
，点 G(0,2) 与椭圆的左、右顶点可以构成
等腰直角三角形．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）若直线 y kx m 与椭圆 C 交于 M , N 两点， O 为坐标原点直线 OM , ON 的斜率之积等 于 3 ，试探求△OMN 的面积是否为定值，并说明理由．
B． E 的离心率为 3
C． E 的渐近线与圆 x 22 y2 1相切
D．满足 AB 2 3 的直线 l 仅有 1 条
三、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13．过双曲线 x2 y2 1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于 A ， B 两 3
点，则 AB 的长度为______．
线方程为 x y 2 0 ，则△ABC 的顶点 C 的坐标为__________.
四、解答题（10+12+12+12+12+12，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．已知直线 l : (3 1)x (2 ) y 4 5 0 恒过定点 A .
（1）求点 A 的坐标； （2）若点 B 与点 A 关于 y 轴成轴对称，点 P 是直线 m : y 3x 5 上一动点，试求 PA2 PB2 的
20．已知圆 C 的方程为 x 22 y2 25 .
（1）设点 M
1,
3 2
，过点 M
作直线 l 与圆
C
交于
A、
B
两点,若
AB
8 ，求直线 l 的方程；
（2）设 P 是直线 x y 6 0 上的点，过 P 点作圆 C 的切线 PA 、 PB ，切点为 A 、 B .求证： 经过 A 、 P 、 C 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标。
D．存在实数 k 使得曲线 C 为双曲线，其离心率为 2
12．在平面直角坐标系 xOy 中，动点 P 与两个定点 F1 3, 0 和 F2 3, 0 连线的斜率之积等
于
1 3
，记点
P
的轨迹为曲线
E
，直线
l
：
y
k
x
2
与
E
交于
A
，
B
两点，则（
）
2
A． E 的方程为 x2 y2 1(x 3) 3
小值是（ ）
A．3－ 2
B．3＋ 2
C．3－ 2 2
D． 3 2 2
6．如图，在四面体 O ABC 中， G1 是△ABC 的重心， G 是 OG1 上的一点，且 OG 2GG1 ，
若 OG xOA yOB zOC ，则 (x, y, z) 为（ ）
A． (1 , 1 , 1 ) 222
小正方体构成），正方形 ABCD 是上底面正中间一个正方形，正方
形 A1B1C1D1 是下底面最大的正方形，已知点 P 是线段 AC 上的动
点，点 Q 是线段 B1D 上的动点，则线段 PQ 长度的最小值为_____．
16．数学家欧拉在 1765 年发现，任意三角形的外心、重心、垂心
在同一条直线上，这条直线称为“欧拉线”.已知△ABC 的顶点 A(2, 0), B(0, 4) ，其“欧拉线”的直
14．椭圆 E 的左右焦点为 F1 ， F2 ，以 F2 为圆心的圆过原点，且与椭圆 E 在第一象限交于点 P ，
若过 P ､ F1 的直线 l 与圆 F2 相切，则直线 l 的斜率 k _____；椭圆 E 的离心率 e ______.
15．如图所示的正方体是一个三阶魔方(由 27 个全等的棱长为 1 的
C． (1 , 1 , 1) 333
B． ( 2 , 2 , 2) 333
D． ( 2 , 2 , 2) 999
1
7．对于直线 l : ax ay 1 0 a 0 ，下列说法不正确的是（ ）
a A．无论 a 如何变化，直线 l 的倾斜角的大小不变 B．无论 a 如何变化，直线 l 一定不经过第三象限 C．无论 a 如何变化，直线 l 必经过第一、二、三象限 D．当 a 取不同数值时，可得到一组平行直线
C． a b 1
D． a b 1
2．已知直线 l1 : (m 2)x (m 3) y 5 0 和 l2 : 6x (2m 1) y 5 互相平行，则 m ( )
A． 4
B． 5 2
C． 4 ， 5 2
D．
1
，
9 2
3．若双曲线
C：x a
2 2
y2 b2
1a
0, b 0 的一条渐近线与直线
泉港一中 2020-2021 学年度上学期期中考试卷
高二数学
考试时间：120 分钟
一、单选题（每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．直线 ax + by + c = 0 的倾斜角为 45 ，则实数 a, b 满足的关系是 （
）
A． a b 0 B． a b 0
A．1
B． 2
C． 3
D． 4
11．已知曲线 C 的方程为 x2 y2 1(k R) ，则下列结论正确的是（ ） k2 6k
A．当 k 4 时，曲线 C 为圆
B．当 k 0 时，曲线 C 为双曲线，其渐近线方程为 y 3x
Fra Baidu bibliotek
C．“ k 4 ”是“曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆”的充分而不必要条件
A．
AO
=
1
AB
1
AC
1
AA
B． AO BC
2
2
2
C．三棱锥 A BBO 的体积为 3 24
D． AO 与平面 BB′C′C 所成的角为 π 6
10．在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2 y2 4x 0 .若直线 y k x 1 上存在一点
P ，使过 P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数 k 的取可以是( )
4
4
最小值.
18．如图，三棱柱 ABC A1B1C1 中，底面边长和侧棱长都等于 1， BAA1 CAA1 60 ．
（1）设
AA1
a
，
AB
b
，
AC
c
，用向量
a
，
b
，
c
表示
BC1
，
并求出 BC1 的长度；
（2）求异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值．
3
19．如图，在三棱锥 P ABC 中， AB BC 2 2 ， PA PB PC AC 4 ， O 为 AC 的中点． （1）证明： PO 平面 ABC ； （2）若点 M 在棱 BC 上，且二面角 M PA C 为 30°，求 PC 与 平面 PAM 所成角的正弦值．
21．已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 的离心率为
1 2
，左焦点为 F1 为圆 M
: x2
y2
2x 15 0
的圆心.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过椭圆右焦点 F2 的直线 l（斜率存在且不为 0）交椭圆于 A 、 B 两点，过 F2 且与 l 垂
直的直线 l1 与圆 M 交于 C 、 D 两点，求四边形 ACBD 面积的取值范围．
8．
F1
、
F2
分别为椭圆
x2 a2
y2 b2
1 的左右焦点，点 P 在椭圆上，若△POF2 是面积为
3 的正三
角形，则 b2 的值为 (
)
A． 3
B． 2 3
C． 3 3
D． 4 3
二、多选题（每小题 5 分，共 20 分。全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错的得 0 分）
9．在正三棱柱 ABC ABC 中，所有棱长为 1，又 BC 与 BC 交于点 O ，则（ ）