福建省泉州市泉港区第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学

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福建省泉州市泉港区第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学参考答案

高二数学期中考-参考答案一、单选题：1．A 2．B 3．A 4．C 5．A 6．D 7．C 8．B 二、多选题：9．AC 10．AB 11．AB 12．AC 三、填空题：13．43 14．3, 31- 15．33416．(4,0)- 15．以1B 为坐标原点，1111,B C B A 所在直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，则()()()()10,0,0,1,2,3,2,1,3,2,2,3B A C D ,设11B Q B D λ=,AP AC μ=,[],0,1λμ∈.()12,2,3B Q λλλ=,()1111,2,3B P B A AP B A AC μμμ=+=+=+-. ()1112,22,33QP B P B Q μλμλλ=-=+----,()()()2222122233QP μλμλλ=+-+--+-222215191730221417217234λλμμλμ⎛⎫⎛⎫=-+-+=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当1517λ=且12μ=时，2QP 取到最小值934，所以线段PQ 长度的最小值为334. 【点睛】本题主要考查空间向量的应用，利用空间向量求解距离的最值问题时，一般是把目标式表示出来，结合目标式的特征，选择合适的方法求解最值. 16、设(),C m n ，由重心坐标公式得ABC 的重心为24,33m n ++⎛⎫⎪⎝⎭，代入欧拉线方程得242033m n++-+=整理得40m n -+=①，因为AB 的中点为()1,2，40202AB k -==--，所以AB 的中垂线的斜率为12，所以AB 的中垂线方程为()1212y x -=-即230x y -+=，联立23020x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，∴ABC 的外心为()1,1-，则()()()222212111m n ++-=++②，联立①②得4,0m n =-=或0,4m n ==，当0,4m n ==时，点B 、C 两点重合，舍去； ∴4,0m n =-=即ABC 的顶点C 的坐标为()4,0-. 四、解答题17．（1）:(31)(2)450l x y λλλ++---=整理即：(24)(35)0x y x y λ+-+--=，令24023501x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨--==⎩⎩，故点A 的坐标为(2,1)； ················ 5分（2）∵点B 与点A 关于y 轴成轴对称，故点B 的坐标为(2,1)-， ∵点P 是直线35y x =+上一动点，设(,35)P t t +，∴2222222(2)(34)(2)(34)204840PA PB t t t t t t ⎡⎤⎡⎤+=-++++++=++⎣⎦⎣⎦265620()55t =++，故当65t =-时，22PA PB +取最小值为565. ····································· 10分【点睛】主要考查直线过定点的问题，考查两点间的距离公式，考查化归与转化的数学思想方法. 18．（1）1111111111BC BB BC BB AC A B AA AC AB a c b =+=+-=+-=+-，因为11||||cos 11cos602a b a b BAA ︒⋅=⋅∠=⨯⨯=，同理可得12a cbc ⋅=⋅=，所以2221(2221111BC a a c b a c a b c b ==+++⋅-⋅-⋅=+++-=6分（2）因为1AB a b =+，所以221(2111AB a a b a b ==++⋅=++=，因为2211()1111111222)2(AB BC a b a c b a a c ab b ac b b ⋅=+⋅+-=+⋅+-⋅+⋅+⋅=+-+=--，所以111111cos ,2AB BC AB BC AB BC ⋅<>===所以异面直线1AB 与1BC·················· 12分【点睛】考查了空间向量的线性运算，考查了利用空间向量计算线段的长度，考查了异面直线所成角的向量求法.19．（1）因为4AP CP AC ===，O 为AC 的中点，所以OP AC ⊥，且OP = 连结OB ．因为AB BC AC ==，所以ABC 为等腰直角三角形，且1,22OB AC OB AC ⊥== 由222OP OB PB +=知PO OB ⊥．由,OP OB OP AC ⊥⊥知PO ⊥平面ABC ． ···················· 4分（2）如图，以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz - ．由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(0,0,23),(0,2,23)O B A C P AP -= 取平面PAC 的法向量(2,0,0)OB =．设(,2,0)(02)M a a a -<≤，则(,4,0)AM a a =-．设平面PAM 的法向量为(,,)n x y z =．由0,0AP n AM n ⋅=⋅=得2230(4)0y z ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，可取2(3(4),3,)n a a a =-- 所以22223(4)cos 23(4)3a OB n a a a-〈⋅〉=-++ ．由已知得3cos 2OB n 〈⋅〉=．所以22223|4|323(4)3a a a a -=-++ ．解得4a =-(舍去)，43a =．所以83434,,333n ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭．又(0,2,23)PC =- ，所以3cos ,4PC n 〈〉=．所以PC 与平面PAM 所成角的正弦值为3． ··················· 12分【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”．20．（1）根据题意，圆C 轨迹方程为()22225x y -+=，可得圆心(2,0)C ，半径为=5r ， ①若直线l 的斜率不存在时，即:1l x =-，代入圆的方程()22225x y -+=，可得4y =±，即8AB =，符合题意； ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程为3(1)2y k x -=+，即22320kx y k -++=，设圆心C 的距离为d ，因为8AB =，由圆的弦长公式可得8==，解得3d =，所以3d ==，解得34k =，所以直线l 的方程为33(1)24y x -=+，即3490x y -+=，综上所述，直线l 的方程为1x =-或3490x y -+=. ··················································· 6分（2）由点P 是直线60x y ++=上的点，设点(,6)P m m --，根据切线的性质，可得AC PA ⊥，经过,,A P C 的三点的圆，即为以PC 为直径的圆，则圆的方程为()()()260x x m y y m --+++=，整理得22(26)(2)0x y x y m y x +-++-+=，令2226020x y x y y x ⎧+-+=⎨-+=⎩，解得20x y =⎧⎨=⎩或24x y =-⎧⎨=-⎩，即经过,,A P C 的三点的圆必经过定点(2,0),(2,4)--. ··················································· 12分【点睛】主要考查圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系及弦长的计算等知识点的综合应用，其中解答中熟记圆的弦长公式和圆的性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 21．解：（1）由题意知12c a =，则2a c =，圆M 的标准方程为22(1)16x y ++=，从而椭圆的左焦点为1(1,0)F -，即1c =，所以2a =，又222b a c =-，得b =所以椭圆的方程为：22143x y +=. ··············································································· 4分（2）由已知可设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，并设()11,A x y ，()22,B x y .由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22224384120k x k x k +-+-=.显然>0∆，且2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+.所以()2122121||43+=-=+k AB x k .过2F 且与l 垂直的直线11:(1)l y x k =--，则圆心到1l，所以||CD ==故四边形ABCD面积：1||2==‖S AB CD 因为2433k +>，所以2110433k <<+，所以21411433k <+<+，所以13<<，所以12<<故四边形ABCD面积的取值范围为.······························································ 12分【点睛】考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查不等式的性质，属于中档题．22．（1）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>离心率为12，即12c e a ==，∵点(0,2)G 与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形， ∴2a =，综上有：1c =，b =22143x y +=. ················ 4分（2）由直线与椭圆交于,M N 两点，联立方程：22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()()222348430k x kmx m +++-=，设()()1122,,,M x y N x y ，则()()()()()222221222122816343484308{344334km k m k m kmx x k m x x k ∆=-+-=+->-+=+-=+，()()()2212121212121212OM ONkx m kx m k x x mk x x m y y k k x x x x x x +++++===()()()()()22222222224m 383434344343k k m m k m k m m --++-===---，22243m k ∴=+，12MN x =-== 原点O 到l的距离d =2OMNMN Sd ∴=⋅==. ············ 12分【点睛】考查了由离心率求椭圆方程，根据直线与椭圆的相交关系证明交点与原点构成的三角形面积是否为定值的问题.。

【精品】学2020年福建省泉州市泉港一中高二上学期期中数学试卷和解析(理科)

2017学年福建省泉州市泉港一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．（5分）已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为（）A．2 B．3 C．7 D．52．（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．3 B．4 C．5 D．63．（5分）下列各数中，最小的数是（）A．75 B．111111（2）C．210（6）D．85（9）4．（5分）设命题p：﹣1＜log x＜0，q：2x＞1，则p是q成立的是（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）若椭圆+=1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|﹣|MF2|=1，则△MF1F2是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形6．（5分）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A．7 B．9 C．10 D．157．（5分）已知点P在以F1，F2为焦点的椭圆+=1（a＞b＞0）上，若•=0，tan ∠PF1F2=，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．8．（5分）下列命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分必要条件．C．命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”是真命题D．若￢（p∧q）为真命题，则p、q至少有一个为假命题．9．（5分）已知袋子中装有3个红球、2个白球、1个黑球，如果从中随机任取2个，则下列两个事件中是互斥而不对立的是（）A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．至少有一个白球；红球、黑球各一个D．恰有一个白球；白球、黑球各一个10．（5分）AB为过椭圆（a＞b＞0）中心的弦，F（c，0）是椭圆的右焦点，则△ABF面积的最大值是（）A．bc B．ac C．ab D．b211．（5分）若直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有公共点，则过点（m，n）的直线与椭圆的公共点个数为（）A．至多一个B．0个 C．1个 D．2个12．（5分）已知Ω={（x，y）|}，直线y=mx+2m和曲线y=有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P （M），若P（M）∈[，1]，则实数m的取值范围（）A．[，1]B．[0，]C．[，1]D．[0，1]二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．（5分）命题“∀x∈R，|x﹣2|＜3”的否定是．14．（5分）椭圆+=1的焦距为2，则m的值等于．15．（5分）从{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个集合，则这个集合是集合{c，d，e}的真子集的概率是．16．（5分）设椭圆两焦点为F1，F2，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆离心率的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知命题p ：方程表示焦点在y轴的椭圆；命题q：关于x的不等式x2﹣2x+m＞0的解集是R；若“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，求实数m的取值范围．18．（12分）某市环保局空气质量监控过程中，每隔x天作为一个统计周期．最近x天统计数据如表（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）为了创生态城市，该市提出要保证每个统计周期“空气污染指数大于150μg/m3的天数占比不超过15%，平均空气污染指数小于100μg/m3”，请问该统计周期有没有达到预期目标．19．（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，离心率．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若经过左焦点F1且倾斜角为的直线l与椭圆交于A、B两点，求|AB|的值．20．（12分）已知点A（﹣，0），B（，0），P是平面内的一个动点，直线PA与PB交于点P，且它们的斜率之积是﹣．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设直线l：y=kx+1与曲线C交于M、N两点，当线段MN的中点在直线x+2y=0上时，求直线l的方程．21．（12分）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1（Ⅰ）设集合P={1，2，3}，集合Q={﹣1，1，2，3，4}，从集合P中随机取一个数作为a，从集合Q中随机取一个数作为b，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．22．（12分）已知椭圆C方程为（a＞b＞0），左、右焦点分别是F1，F2，若椭圆C 上的点P（1，）到F1，F2的距离和等于4．（Ⅰ）写出椭圆C的方程和焦点坐标；（Ⅱ）设点Q是椭圆C的动点，求线段F1Q中点T的轨迹方程；（Ⅲ）直线l过定点M（0，2），且与椭圆C交于不同的两点A，B，若∠AOB为锐角（O为坐标原点），求直线l的斜率k0的取值范围．2017学年福建省泉州市泉港一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．（5分）已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为（）A．2 B．3 C．7 D．5【解答】解：设所求距离为d，由题得：a=5．根据椭圆的定义椭圆上任意一点到两个焦点距离的和等于2a得：2a=3+d⇒d=2a﹣3=7．故选：C．2．（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：该程序框图是循环结构经第一次循环得到i=1，a=2；经第二次循环得到i=2，a=5；经第三次循环得到i=3，a=16；经第四次循环得到i=4，a=65满足判断框的条件，执行是，输出43．（5分）下列各数中，最小的数是（）A．75 B．111111（2）C．210（6）D．85（9）=25+24+23+22+21+20=63．【解答】解：B中，111111（2）C中，210（6）=2×62+1×6=78；D中，85（9）=8×9+5=77；故111111最小，（2）故选：B．4．（5分）设命题p：﹣1＜log x＜0，q：2x＞1，则p是q成立的是（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由﹣1＜log x＜0，得：1＜x＜2，故p：1＜x＜2；由2x＞1，得：x＞0，故q：x＞0，则p是q成立的充分必要条件，故选：A．5．（5分）若椭圆+=1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|﹣|MF2|=1，则△MF1F2是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形【解答】解：由题意，|F1F2|=2，|MF1|+|MF2|=4，∵|MF1|﹣|MF2|=1，∴|MF1|=，|MF2|=，∴|MF2|2+|F1F2|2=|MF1|2，6．（5分）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A．7 B．9 C．10 D．15【解答】解：960÷32=30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21．由451≤30n﹣21≤750 解得15.7≤n≤25.7．再由n为正整数可得16≤n≤25，且n∈z，故做问卷B的人数为10，故选：C．7．（5分）已知点P在以F1，F2为焦点的椭圆+=1（a＞b＞0）上，若•=0，tan ∠PF1F2=，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由•=0，可知△PF1F2为直角三角形，又tan∠PF1F2=，可得|PF1|=2|PF2|，联立|PF1|+|PF2|=2a，解得：|PF1|=，|PF2|=．由，得，即．∴．故选：D．8．（5分）下列命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分必要条件．C．命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”是真命题D．若￢（p∧q）为真命题，则p、q至少有一个为假命题．【解答】解：根据原命题与逆否命题的定义即可知道A正确；方程x2﹣3x+2=0的根为x=1，或2，∴x=1能得到x2﹣3x+2=0，而x2﹣3x+2=0得不到x=1，∴“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，即B是错误的；“∀x∈R，sinx+cosx=sin（x+）≤”，故命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”是真命题，故C正确；若￢（p∧q）为真命题，则p∧q是假命题，则p，q至少1个是假命题；故D正确，故选：B．9．（5分）已知袋子中装有3个红球、2个白球、1个黑球，如果从中随机任取2个，则下列两个事件中是互斥而不对立的是（）A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．至少有一个白球；红球、黑球各一个D．恰有一个白球；白球、黑球各一个【解答】解：∵袋子中装有3个红球、2个白球、1个黑球，从中随机任取2个，结果有：两红，两白，一红一白，一红一黑，一白一黑，A中，至少有一个白球包括两白，一红一白，一白一黑与都是白球不互斥；B中，至少有一个白球包括两白，一红一白，一白一黑；至少有一个红球包括两红，一红一白，一红一黑，故至少有一个白球与至少有一个红球不互斥；C中，至少有一个白球包括两白，一红一白，一白一黑与一红一黑互斥，且不对立；D中，恰有一个白球包括一红一白，一白一黑与白球、黑球各一个不互斥．故选：C．10．（5分）AB为过椭圆（a＞b＞0）中心的弦，F（c，0）是椭圆的右焦点，则△ABF面积的最大值是（）A．bc B．ac C．ab D．b2【解答】解：△ABF面积等于△AOF 和△BOF 的面积之和，设A到x轴的距离为h，由AB为过椭圆中心的弦，则B到x轴的距离也为h，∴△AOF 和△BOF 的面积相等，故：△ABF面积等于×c×2h=ch，又h的最大值为b，∴△ABF面积的最大值是bc，故选：A．11．（5分）若直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有公共点，则过点（m，n）的直线与椭圆的公共点个数为（）A．至多一个B．0个 C．1个 D．2个【解答】解：因为直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有公共点，所以原点到直线mx+ny﹣4=0的距离d=＞2，所以m2+n2＜4，所以点P（m，n）是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点．∵椭圆的长半轴3，短半轴为2∴圆x2+y2=4内切于椭圆∴点P是椭圆内的点∴过点P（m，n）的一条直线与椭圆的公共点数为2．故选：D．12．（5分）已知Ω={（x，y）|}，直线y=mx+2m和曲线y=有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P （M），若P（M）∈[，1]，则实数m的取值范围（）A．[，1]B．[0，]C．[，1]D．[0，1]【解答】解：画出图形，不难发现直线恒过定点（﹣2，0），圆是上半圆，直线过（﹣2，0），（0，2）时，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），此时P（M）=，当直线与x轴重合时，P（M）=1；直线的斜率范围是[0，1]．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．（5分）命题“∀x∈R，|x﹣2|＜3”的否定是“∃x∈R，|x﹣2|≥3”．【解答】解：∵命题“∀x∈R，|x﹣2|＜3”为全称命题，∴“∀x∈R，|x﹣2|＜3”的否定是“∃x∈R，|x﹣2|≥3”，故答案为：“∃x∈R，|x﹣2|≥3”14．（5分）椭圆+=1的焦距为2，则m的值等于3或5．【解答】解：由题意可得：c=1．①当椭圆的焦点在x轴上时，m﹣4=1，解得m=5．②当椭圆的焦点在y轴上时，4﹣m=1，解得m=3．故答案为：3或5．15．（5分）从{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个集合，则这个集合是集合{c，d，e}的真子集的概率是．【解答】解：{a，b，c，d，e}的所有子集有25=32个，{a，b，c}的所有真子集有23﹣1=7个，∴从{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个集合，这个集合是集合{c，d，e}的真子集的概率为．故答案为：．16．（5分）设椭圆两焦点为F1，F2，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆离心率的取值范围为[，1）．【解答】解：∵点P满足PF1⊥PF2，∴点P的轨迹是以F1F2为直径的圆，其方程为x2+y2=c2．又∵椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，∴以F1F2为直径的圆与椭圆C有公共点，由此可得椭圆短轴的顶点在圆上或在圆的内部，∴b≤c，即≤c，化简得a2≤2c2，解得a≤．因此，椭圆C的离心率e=≥．∵椭圆离心率在（0，1）之间取值，∴椭圆C的离心率e∈[，1）．故答案为：[，1）三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知命题p：方程表示焦点在y轴的椭圆；命题q：关于x的不等式x2﹣2x+m＞0的解集是R；若“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，求实数m的取值范围．【解答】（本小题满分10分）解：当命题p 为真命题时，，解得2＜m＜4…（3分），当命题q为真命题时，△=4﹣4m＜0…解得m＞1…（5分）因为“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，∴p、q一个是假命题，一个是真命题…（6分），当p是真命题，q 是假命题时，解得m∈φ…（8分），当q是真命题，p 是假命题时，解得1＜m≤2或m≥4…（10分）18．（12分）某市环保局空气质量监控过程中，每隔x天作为一个统计周期．最近x天统计数据如表（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）为了创生态城市，该市提出要保证每个统计周期“空气污染指数大于150μg/m3的天数占比不超过15%，平均空气污染指数小于100μg/m3”，请问该统计周期有没有达到预期目标．【解答】解：（Ⅰ）由图可知，空气污染指数在[0，50]的频率为0.003×50=0.15，因此样本容量为，空气污染指数在（100，150]的天数为y=100﹣15﹣50﹣25=10；…（3分）画出完整的频率分布直方图，如图所示；…（6分）（Ⅱ）在该周期中空气污染指数大于150ug/m3的天数占；…（8分）该周期的平均空气污染指数为；…（11分）因此该周期有达到预期目标．…（12分）19．（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，离心率．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若经过左焦点F1且倾斜角为的直线l与椭圆交于A、B两点，求|AB|的值．【解答】解：（I）由题意设椭圆的标准方程为，由已知得：a+c=3，，解得a=2，c=1，∴b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程为；（Ⅱ）由已知得直线l的方程为y=x+1，与椭圆方程联立，可得7x2+8x﹣8=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=﹣，∴|AB|=|x1﹣x2|=•=•．20．（12分）已知点A（﹣，0），B（，0），P是平面内的一个动点，直线PA与PB交于点P，且它们的斜率之积是﹣．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设直线l：y=kx+1与曲线C交于M、N两点，当线段MN的中点在直线x+2y=0上时，求直线l的方程．【解答】解：（1）设，由，整理得+y2=1，x≠（2）设MN的中点坐标为（x0，y0），联立得（2k2+1）x2+4kx=0，所以，由x0+2y0=0，得k=1，所以直线的方程为：y=x+121．（12分）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1（Ⅰ）设集合P={1，2，3}，集合Q={﹣1，1，2，3，4}，从集合P中随机取一个数作为a，从集合Q中随机取一个数作为b，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．【解答】解（Ⅰ）∵函数f（x）=ax2﹣4bx+1的图象的对称轴为x=，要使f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，当且仅当a＞0且x=≤1，即2b≤a．若a=1，则b=﹣1；若a=2，则b=﹣1，1；若a=3，则b=﹣1，1，∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5∴所求事件的概率为．（Ⅱ）由（1）知当且仅当2b≤a．且a＞0时，函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为{}构成所求事件的区域为三角形部分．由，解得a=，b=，即交点坐标（，），∴所求事件的概率为P=．22．（12分）已知椭圆C方程为（a＞b＞0），左、右焦点分别是F1，F2，若椭圆C 上的点P（1，）到F1，F2的距离和等于4．（Ⅰ）写出椭圆C的方程和焦点坐标；（Ⅱ）设点Q是椭圆C的动点，求线段F1Q中点T的轨迹方程；（Ⅲ）直线l过定点M（0，2），且与椭圆C交于不同的两点A，B，若∠AOB为锐角（O为坐标原点），求直线l的斜率k0的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：2a=4，得a=2，又点P（1，）在椭圆上，∴，解得b2=1．∴椭圆C的方程为，焦点；（Ⅱ）设椭圆上的动点Q（x0，y0），线段F1Q中点T（x，y），由题意得：，得，代入椭圆的方程得，即为线段F1Q中点T的轨迹方程；（Ⅲ）由题意得直线l的斜率存在且不为0，设l：y=kx+2，代入整理，得（1+4k2）x2+16kx+12=0，△=（16k）2﹣4（1+4k2）•12=16（4k2﹣3）＞0，得…①设A（x1，y1），B（x2，y2），∴．∵∠AOB为锐角，∴cos∠AOB＞0，则，又．∴==，∴k2＜4 …②由①、②得．∴k的取值范围是．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.B2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

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福建省泉州市泉港区第一中学2021届高三数学上学期期中试题理考试时间：120分钟总分：150分一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分） 1.已知集合{}2|20A x x x =∈--≥Z ，则z C A =（）A. {0}B. {1}C. {0,1}D. {-1,0,1,2}2.复数121z i z i =+=，，其中i 为虚数单位，则12z z 的虚部为（） A. 1- B. 1 C. iD. i -3．在△ABC 中,“>0”是“△ABC 为锐角三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4.设数列是单调递增的等差数列，且，，成等比数列，则（）A.1009B. 1011C. 2021D. 20215.2的是（）3sin14︒+︒324sin 24︒+︒ 364sin 64︒+︒374sin 74︒+︒ 6．下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．23y x -=C ．1y x x=- D ．()2ln 1y x =+7.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤”。

其意思为“今有持金出五关，第1关收税金为持金的12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，5关所税金之和，恰好重1斤。

”则在此问题中，第5关收税金为( )A ．136斤 B ． 130斤 C ． 125斤 D ． 120斤8．设正实数满足则（）A． B． C． D．9．已知()()sin0,0,||2f x A x B Aπωϕωϕ⎛⎫=++>><⎪⎝⎭部分图象如图，则()f x的一个对称中心是( )A．()0π， B．012π⎛⎫⎪⎝⎭，C．516π⎛⎫--⎪⎝⎭，D．16π⎛⎫--⎪⎝⎭，10.一给定函数()y f x=的图象在下列四个选项中，并且对任意1(0,1)a∈，由关系式1()n na f a+=得到的数列{}na满足1n na a+<.则该函数的图象可能是( )A B C D11. 已知等边△ABC的边长为2，现把△ABC绕着边BC旋转到△PBC的位置．给出以下三个命题：①对于任意点P，；②存在点P，使得；③三棱锥P ABC的体积的最大值为1. 以上命题正确的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③12．已知函数()32ln1,0,42,0,xxf x xx x x+⎧>⎪=⎨⎪--<⎩若方程()f x ax=有四个不等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．()1,1- B．()0,1 C．()1,+∞ D．1,ee⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.14．已知数列{}n a满足：11a=，11n na a+-=，则使25na<成立的n的最大值为_____15．设D 为ABC ∆的边AB 的中点，P 为ABC ∆内一点，且满足25AP AD BC =+，则APDABCS S ∆∆=______ . 16.已知四面体ABCD 内接于球O ，且2,2AB BC AC ===，若四面体ABCD 的体积为233，球心O 恰好在棱DA 上，则球O 的表面积是_____ ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =+ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12na nb n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18.(本小题满分12分) 如图，在中，点P 在边BC 上，，，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若的面积是，求．19．(本小题满分12分)某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值y （y 值越大产品的性能越好）与这种新合金材料的含量x （单位：克）的关系：当07x ≤<时，y 是x 的二次函数；当7x ≥时，13x my -⎛⎫= ⎪⎝⎭.测得部分数据如表所示.x0 2 6 10 … y－48819…（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）求该新合金材料的含量x 为何值时产品的性能达到最佳.20. (本小题满分12分)如图，以111,,,,,A B C A B C 为顶点的五面体中，111AA BB CC ∥∥,1CC ⊥平面ABC ,5AB BC ==，11122AA BB CC AC ====，F 是AC 的中点.（1）求证：1AC ⊥平面1BA F ；（2）求二面角11B A F B --的余弦值.21.（本小题满分 12 分）已知函数 f (x ) xm2 ln x ， mR ．x（1）求函数 f (x ) 的单调增区间；（2）若函数 f (x ) 有两个极值点 x 1 ， x 2 ，且 x 1x 2 ，证明： f (x 2 ) 1 x 1 ．22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为． (Ⅰ)求圆C 的直角坐标方程； (Ⅱ)设过点且倾斜角为的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且，求直线l 的普通方程．23(本小题满分10分) 选修4—5：不等式已知函数.(Ⅰ)若,解不等式;(Ⅱ)若不等式对任意的实数恒成立，求的取值范围.泉港一中2021届高三上期中考试理科数学参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C ABBDDCCDABB二、填空题13 、 4 14 、 4 15、 1516、 16π 三、解答题17.解：（1）当1n =时，12a =当2n ≥时，()()221112n n n a S S n n n n n -=-=+----=也适合1n =时， ∴2n a n =………………………………..5分（2）1124n a nn b n n ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()()2111441111121444214nnn n n T n ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭+⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++++++=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-…………………………12分18.Ⅰ 在中，因为，，，由余弦定理得，………………2分所以，整理得，解得．所以．所以是等边三角形．所以． ………………6分Ⅱ 法1：由于是的外角，所以．因为的面积是，所以．所以．在中，，所以．在中，由正弦定理得，所以．………………19.（1）当07x ≤<时，y 是x 的二次函数，可设2y ax bx c =++()0a ≠.依题意有48428366c a b c a b c -=⎧⎪=++⎨⎪=++⎩，解得：1a =-，8b =，4c =-，即284y x x =-+-()07x ≤<. 当7x ≥时，13x my -⎛⎫= ⎪⎝⎭，由10x =，19y =可得8m =，即813x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭()7x ≥.综上可得2884,07,1,7.3x x x x y x -⎧-+-≤<⎪=⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩……………………………7分（2）当07x ≤<时，()2284412y x x x =-+-=--+，即当4x =时，y 取得最大值12；当7x ≥时，813x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，可得3y ≤，即当7x =时，y 取得最大值3.综上可得，该新合金材料的含量x 为4时产品的性能达到最佳……………….5分 20.解：（1）因为1CC ⊥平面ABC ，BF ⊂平面ABC ，所以1CC BF ⊥.因为5AB BC =F 是AC 的中点，所以BF AC ⊥. ..................................................... 1分又1CC AC C =，所以11BF AAC C ⊥平面，从而1BF AC ⊥. ............................... 2分因为1CC ⊥平面ABC ，且1111,AA CC AA CC ≠∥，所以四边形11AA C C 为直角梯形.又F 是AC 的中点，1122AA CC AC ===，所以1A AF △与1ACC △均为等腰直角三角形，所以1145A FA C AC ∠=∠=︒. ....................................... 3分设11A FAC D =，则90ADF ∠=︒，所以11A F AC ⊥. ................................................. 4分又1BFA F F =，1,BF A F ⊂平面1BA F ，所以1AC ⊥平面1BA F . ............................................ 5分（2）由（1）知11BF ACC A ⊥平面.设11A C 的中点为E ，连接EF ，则EF ∥1CC ，从而EF AC ⊥.以F 为原点，,,FA FE FB 分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.由题意得，()()()()()1110,0,0,1,1,0,0,2,2,1,0,0,1,2,0,F A B A C -................................................................ 6分则111(0,2,2),(1,1,0),(2,2,0),FB FA AC ===- .......................... 7分设平面11A B F 的法向量为m (,,)x y z =，由110,0,FB FA ⎧=⎪⎨=⎪⎩m m 得220,0,y z x y +=⎧⎨+=⎩ ...................................... 8分令1y =-，得1,1x z ==，所以m (1,1,1)=-为平面11A B F 的一个法向量. ........................ 9分因为1AC ⊥平面1BA F ，所以1(2,2,0)AC =-为平面1BA F 的一个法向量. ...................... 10分因为()()11112126cos ,322AC AC AC ⨯-+-⨯===⨯m m m ， .............. 11分且由图可知二面角111B AC C --为锐角，所以二面角111B AC C --的余弦值为6. ............................ 12分 21解：（Ⅰ）由x xmx x f ln 2)(-+=，得：222221)(x mx x x x m x f --=--='，),0(+∞∈x ………………1分设函数m x x x g --=2)(2，),0(+∞∈x当1-≤m 时，即044≤+=∆m 时，0)(≥x g ，0)(≥'x f ，所以函数)(x f 在),0(+∞上单调递增． ………………2分当1->m 时，即044>+=∆m 时，令0)(=x g 得m x +-=111，m x ++=112，21x x <， ………………3分当01<<-m 时，即210x x <<时，在),(),0(21+∞⋃x x 上，0)(>x g ，0)(>'x f ；在),(21x x 上，0)(<x g ，0)(<'x f ．所以函数)(x f 在),(,),0(21+∞x x 上单调递增，在),(21x x 上单调递减．………………4分当0≥m 时，即210x x <<时，在),0(2x 上，0)(<x g ，0)(<'x f ，在),(2+∞x 上，0)(>x g ，0)(>'x f ．所以函数)(x f 在),0(2x 上单调递减，在),(2+∞x 上单调递增． ………………5分综上，当1-≤m 时，函数)(x f 的单调递增区间为),0(+∞；当01<<-m 时，函数)(x f 的单调递增区间为),11(,)11,0(+∞+++-m m ；当0≥m 时，函数)(x f 的单调递增区间为),11(+∞++m ． ………………6分（2）证明：函数)(x f 有两个极值点1x ，2x ，且21x x <，02)(2=--=∴m x x x g 有两个不同的正实根m x +-=111，m x ++=112，⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=+>+=∆∴m x x x x m 21212044，即01<<-m欲证明121)(x x f -<，1ln 22222-<-+∴x x x m x ，即证明1ln 222>-x mx …………8分 2222x x m -= ，所以等价于证明1ln 222->-x x 成立.)0,1(-∈m ，)2,1(112∈++=∴m x ………………9分设函数x x x h -=ln 2)(，)2,1(∈x ，求导可得12)(-='xx h 易得0)(>'x h 在)2,1(∈x 上恒成立，即)(x h 在)2,1(∈x 上单调递增，1)1()(-=>∴h x h ，即1ln 222->-x x 在)2,1(∈x 上恒成立 ………………11分∴函数)(x f 有两个极值点1x ，2x ，且21x x <，121)(x x f -<． ………………12分 22圆C 的极坐标方程为．，，，圆C 的直角坐标方程为，化为圆的标准方程为 ………………5分设直线l 的参数方程为为参数将l 代入圆C 的直角坐标方程中，化简得，设A ，B 两点所对应的参数分别为，，由韦达定理知，，由，同号又，，由可知或，或，解得，，的普通方程为 23.（Ⅰ）所以解集为：. ………………5分(2)所以的取值范围为：. ………………10分。

福建省泉州市泉港区第一中学2021-2022高二数学上学期第二次月考试题

福建省泉州市泉港区第一中学2021-2022高二数学上学期第二次月考试题试卷满分150分考试时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.经过点且在x轴上的截距为3的直线方程是A. B. C. D.2.已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是( )A. B.C. D.3.焦点在x轴上,长、短半轴长之和为10,焦距为,则椭圆的标准方程为( )A. B. C. D.4.点是直线l：上的动点,点,则的最小值是( )A. B. C. D.5.等差数列{a n}中，a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33，则a5+a8+a11的值为（）A. 30B. 27C. 9D. 156.若等比数列{a n}的前n项和S n=3n+1+a，则a=（）A. 1B.C. 3D.7.已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4-1），则a2=（）A. 2B. 1C.D.8.过点M（2，-2）以及圆x2+y2-5x=0与圆x2+y2=2交点的圆的方程是（）A. B.C. D.9.如图，M是抛物线y2=4x上一点（M在x轴上方），F是抛物线的焦点，若|FM|=4，则∠xFM=（）A.30○B..45○C. 60○D. 75○10.已知F1，F2是双曲线E：-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（）A. 2B.C.D.11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A 1B1C1D1中，M是A1B1的中点，点P是侧面CDD1C1上的动点，且MP∥截面AB1C，则线段MP长度的取值范围是（）A. B. C. D.12.我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书里出现了如图所示的表,即杨辉三角,这是数学史上的一个伟大成就在“杨辉三角”中,第n行的所有数字之和为,若去除所有为1的项,依次构成数列,则此数列的前55项和为.A. 4072B. 2026C. 4096D. 2048二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f（x）=，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为______．14.若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n=______时，{a n}的前n项和最大．15.已知双曲线C：的一条渐近线l的倾斜角为，且C的一个焦点到l的距离为，则C的方程为______．16.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1，则下列四个命题：①P在直线BC1上运动时，三棱锥A-D1PC的体积不变；②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；③P在直线BC1上运动时，二面角P-AD1-C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线，其中真命题的编号是____________．(写出所有真命题的编号)三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知等差数列｛a n｝的前n项和为S n，a2＝3，S4＝16，n∈N*．（1）求数列｛a n｝的通项公式；（2）设，求数列｛b n｝的前n项和T n．18.已知抛物线的焦点上一点到焦点的距离为.（1）求的方程；（2）过作直线，交于两点，若直线中点的纵坐标为，求直线的方程.19.在平面直角坐标系中，已知圆与圆关于直线对称．（1）求直线的方程；（2）设圆与圆交于点、，点为圆上的动点，求面积的最大值．20.设数列的前n项和为，且，数列为等差数列，且．（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和;（Ⅲ）若对任意正整数，不等式均成立，求的最大值．21.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E、F分别为A1C1、BC的中点，AB=BC=2，C1F⊥AB．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）若直线C1F和平面ACC1A1所成角的正弦值等于，求二面角A-BE-C的余弦值．22.已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，且与直线l：y=x+3相切．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过椭圆上点A（2，1）作椭圆的弦AP，AQ，若AP，AQ的中点分别为M，N，若MN平行于l，则OM，ON斜率之和是否为定值？答案和解析1. C2. B3.C4. C5. D6. D7. C8. A9. C 10. D 11. B 12. A13. 1 14. 8 15. x2-=1 16. ①③④17.解：（1）设数列｛an｝的公差为d，∵＝3，＝16，∴,∴解得,∴；（2）∵由题意，,,,∴,,,.18.解：（1）抛物线:的准线方程为由抛物线的定义可知，解得.∴的方程为；（2）由（1）得抛物线C的方程为，焦点，设两点的坐标分别为，则.两式相减整理得，∵线段AB中点的纵坐标为，∴直线的斜率.直线的方程为，即.19.解：（1）把圆的方程化为，所以圆心,半径为.因为, 所以的中点为,.由已知条件得,直线经过点,且斜率,所以直线的方程为,即.（2）由（1）得:直线的方程为，圆心到直线的距离为.由条件可得圆的半径与圆的半径相等,都是，所以弦长.要使的面积最大,则须.此时点到的距离为,此时的面积为．所以面积的最大值为.20.解：（Ⅰ）当时，；当时，，此式当时也成立.重点中学试卷可修改欢迎下载..，，公差d=b2-b1=2,易得；（Ⅱ）由（Ⅰ） .，.==；（Ⅲ）,得.令，则当时，.而，从第2项起是递增的，故，，的最大值为4.21.（1）证明：由直三棱柱ABC-A1B1C1，∴BB1⊥底面ABC，∴BB1⊥AB，又C1F⊥AB，BB1与C1F相交，∴AB⊥平面ABE，又AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）解：由（2）可知：AB⊥BC．因此可建立如图所示的空间直角坐标系．F（0，1，0），设C1（0，2，t）（t＞0），=（0，1，t）．由题意可取平面ACC1A1的法向量为=（1，1，0）．∵直线C1F和平面ACC1A1所成角的正弦值等于，∴=|cos|==，解得t=2．∴E（1，1，2），A（2，0，0），C（0，2，0），=（2，0，0），=（1，1，2），=（0，2，0）．设平面ABE的法向量为=（x，y，z），则=•=0，可得：x=0，x+y+2z=0，取y=2，可得：=（0，2，-1）．同理可得平面CBE的法向量为=（2，0，-1）．∴cos===．∴二面角A-BE-C的余弦值为．22.解：（Ⅰ）∵，∴，即a2=2b2，由，得3x2+12x+18-2b2=0，=144-4×3（18-2b2）=0，得b2=3，则a2=6，所以椭圆方程为；（Ⅱ）因为AP，AQ的中点分别为M，N，直线MN平行于l，所以K MN=K PQ=1，设直线PQ的方程y=x+t，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立方程组，得3x2+4tx+2t2-6=0，，，由题意得，，，==，所以OM，ON斜率之和是为定值0．。

福建省泉州市泉港区第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试卷

试卷第1页，总4页泉港一中2020-2021学年度上学期期中考试卷高二数学考试时间：120分钟一、单选题（每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1．直线0ax by c的倾斜角为45，则实数,a b 满足的关系是（） A ．0a b += B ．0a b -= C ．1a b += D ．1a b -=2．已知直线1:(2)(3)50l m x m y +++-=和2:6(21)5l x m y +-=互相平行，则m =( ) A ．4 B ．52- C ．4，52- D ．1-，92- 3．若双曲线()0,01C 2222>>=-b a by a x ：的一条渐近线与直线x −2y =0垂直，则C 的离心率为 A ．5 B ．3 C ．25 D ．32 4．如图，圆C 的部分圆弧在如图所示的网格纸上（小正方形的边长为1），图中直线与圆弧相切于一个小正方形的顶点，若圆C 经过点()2,15A ，则圆C 的半径为（）A ．26B ．8C ．27D ．105．已知两点A （－2，0），B （0，2），点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是（）A ．3－2B ．3＋2C ．3－22D ．32- 6．如图，在四面体O ABC -中，1G 是△ABC 的重心，G 是1OG 上的一点，且12OG GG =，若OG xOA yOB zOC =++，则(,,)x y z 为（）A ．111(,, )222B ．222(,, )333 C ．111(, , )333 D ．222(, , )999。

2020-2021学年福建省泉州市高二上学期期中考试数学试题(b) word版

保密★启用前泉州市2021—2022学年度第一学期期中考试高二数学试题（B ）本试卷共4页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150分，考试时间120分钟.第I 卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2．每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂在其它答案标号.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量a ＝(－1，1，0)，b ＝(0，1，－1)，则a b ⋅=A ．0B ．1C ．－1D ．22．设平面α的法向量为(1，－2，λ)，平面β的法向量为(2，μ，4)，若α∥β，则λμ+=A ．2B ．4C ．－2D ．－43．已知a ＝(1，5，－2)，b ＝(m ，2，m ＋1)，若a b ⊥，则m 的值为A ．－6B ．－8C ．6D ．84．若点A (a ＋1，3)在圆C ：(x －a )2＋(y －1)2＝m 内部，则实数m 的取值范围是A ．(5，＋∞)B ．[5,)+∞C ．(0，5)D ．[0，5]5．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m ＝A ．3B ．5C ．3或5D ．26．两直线l 1:3x －2y －6=0，l 2:3x －2y ＋8=0，则直线l 1关于直线l 2对称的直线方程为A ．3x －2y ＋24=0B ．3x －2y －10=0C ．3x －2y －20=0D ．3x －2y ＋22=07. 如图所示，P 是二面角α－AB －β棱上的一点，分别在α，β平面内引射线PM ，PN ，如果∠BPM ＝∠BPN ＝∠MPN ＝60°，设二面角α－AB －β的大小为α，则cos α＝ A ．1B ．23C ．23D ．138．已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为PC ，PD 上的点，且2=PM MC ，=PN ND ，=++NM xAB y AD z AP ，则x ＋y ＋z ＝A ．23-B ．23C ．1D ．56二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的的0分. 9．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，与向量AB 相等的向量有A ．CDB ．''A BC ．''D CD ．BC10．已知平面α过点A (1，－1，2) ，其法向量n =(2，－1，2) ，则下列点不在α内的是A ．(2，3，3)B ．(3，－3，4)C ．(－1，2，0)D ．(－2，0，1)11．已知直线l 1:ax －y －b=0，l 2:bx －y ＋a=0，当a ，b 满足一定的条件时，它们的图形可以是A B C D12．已知椭圆C ：22143+=x y 的左、右焦点分别为F 、E ，直线=x m (11)-<<m 与椭圆相交于点A 、B ，则 A ．椭圆C 3B ．存在m ，使△F AB 为直角三角形C ．存在m ，使△F AB 的周长最大D ．当m =0时，四边形FBEA 面积最大第II 卷本卷为必考题. 第13～16题为填空题，第17～22题为解答题，每个试题考生都必须作答．三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 13．化简--+AB CD AC BD ＝________.14．已知(2,0)F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点，且E 过点(2,1)，则椭圆E 的离心率为____________.15．已知直线0-+=x y a 与圆22:2O x y +=相交于A ， B 两点（O 为坐标原点），且△AOB为等边三角形，则实数a ＝________．16．如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体的水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面CDD 1C 1有一个小孔E ，E 点到CD 的距离为3，若该正方体水槽绕CD 倾斜（CD 始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面CDD 1C 1与桌面所成的角正切值为 .四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知直线l 1斜率为－2，在y 轴上的截距为2；直线l 2过定点(1,3),(2,4). （1）求直线l 1，l 2的方程；（2）求l 1，l 2的交点P 的坐标，并求点P 到坐标原点O 的距离.18．（本小题满分12分）在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝4，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 中点. （1）求M 、N 两点间的距离；（2）判断直线MN 与直线BD 1是否垂直，并说明理由.19．（本小题满分12分）已知圆C经过点A(2，－1)，且圆心在直线y＝－2x上，直线x＋y＝1与圆C相切．（1）求圆C的方程；（2）已知斜率为-1的直线l经过原点，求直线l被圆C截得的弦长．20．（本小题满分12分）已知椭圆C的焦点在x轴上，左顶点为A(－2，0)，离心率为3 2.（1）求椭圆C的方程；（2）斜率为1的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，求|PQ|的最大值.21．（本小题满分12分）在四棱锥P—ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，90∠=︒ADC，112===BC CD AD，E为线段AD的中点，过BE的平面与线段PD，PC分别交于点G，F．（1）求证：GF⊥平面P AD；（2）若2=PA PD点G为PD的中点，求直线PB与平面BEGF所成角的正弦值.22．（本小题满分12分）已知圆O：x2＋y2＝4和定点A(1，0)，平面上一动点P满足以线段AP为直径的圆内切于圆O，动点P的轨迹记为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）直线与曲线C交于不同两点M，N，直线AM，AN分别交y轴于P，Q两点．求证：AP AQ=．泉州市高二数学试题（B ）参考答案一、选择题 1—5 BCDAC 6—8 DDB二、多项选择题 9．BC10．BCD11．AC12．BD三、填空题 13．014215．3± 16．2四、解答题 17．解：（1）由题意知，直线1l 的方程为22y x =-+，即220x y +-=；……………………………2分设直线2l 的斜率为k ，则43121k -==-，所以2l 的方程为31y x -=-，即20x y -+=；…………………………5分（2）联立20,220,x y x y -+=⎧⎨+-=⎩ 得0,2,x y =⎧⎨=⎩ 所以交点坐标为(0,2), ……………………………8分所以22(00)(20)OP =-+-2= . ……………………………10分18．解：（1）建立如图所示空间直角坐标系-O xyz ，(0,0,0)A ,(2,0,0)B ,(2,2,0)C ,1(0,0,4)A ,1(2,2,4)C ,1(0,2,4)D ,因为|MC 1|＝2|A 1M |，所以11113=A M AC , 得M (23，23，4). ………………………2分又N 为CD 1中点，所以N (1,2,2)，…………………4分所以2222253(1)(2)(24)333-+-+-=MN ； …………………6分（2）14(,,2)33MN =-，1(2,2,4)BD =-,………………………8分所以11428(,,2)(2,2,4)863333MN BD -=--=+-=-，………………………10分 10MN BD ≠，…………………………11分所以直线MN 与直线1BD 不垂直. ……………………………12分 19（1. ……………………………1分化简，得a －2a ＋1＝0，解得a ＝1，所以C (1，－2)，……………………………3分半径r ＝|AC |＝2，…………………………5分所以圆C 的方程为(x －1)＋(y ＋2)＝2. ………………………6分（2）直线l 的方程为y x =-，……………………………7分设圆心到直线的距离为d ，则==d ，…………………………9分设弦长为l ，得==l ……………………………11分所以直线l 被圆C ……………………………12分 20．解：（1）设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32，解得c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1；…………………………4分（2）设P ，Q 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t 消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0，…………………………6分……………………………7分所以|PQ|＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·21212()4x x x x +-＝2·⎝⎛⎭⎫－85t 2－4×4t 2－15＝425·5－t 2 ， ……………………………10分因为205t ≤≤，所以当t ＝0时，|PQ|max ＝4105. …………………………12分 21．证明：（1）因为12=BC AD ，且E 为线段AD 的中点，所以BC=DE ，又因为BC ∥AD ，所以四边形BCDE 为平行四边形，所以BE ∥CD ， ……………………………2分又因为,⊂⊄平面平面CD PCD BE PCD ，所以BE ∥平面PCD ，又平面BEGF 平面=PCD GF ,所以BE ∥GF ，……………………………4分又⊥BE AD ,且⊥平面平面PAD ABCD ，=平面平面PAD ABCD AD , 所以⊥平面BE PAD ，所以⊥平面GF PAD ，……………………………6分（2）因为=PA PD ， E 为线段AD 的中点，所以⊥PE AD ，又因为⊥平面平面PAD ABCD ，所以⊥平面PE ABCD ，………………7分以E 为坐标原点，EA 的方向为x 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系-E xyz ；则(0,0,1)P ,(0,1,0)B ,(0,0,0)E ,(1,0,0)-D , 则(0,1,1)=-PB ,(0,1,0)=-BE ,(1,0,1)=DP ,11(,0,)22-G ，所以11(,0,)22=-EG , ……………………9分设平面BEGF 的法向量为(..)=n x y z ，则0,0,BE n EG n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0,110,22=⎧⎪⎨-+=⎪⎩y x z 不妨令2=x ，可得(2,0,2)=n 为平面BEGF 的一个法向量，……………10分设直线PB 与平面BEGF 所成角为α， ,n PB ⋅=⋅n PB n PB2=所以直线PB 与平面BEGF 所成角的正弦值为2.……………………………12分 22．解：（1）设以线段AP 为直径的圆的圆心为C ，取A ′(－1,0)．依题意，圆C 内切于圆O ，设切点为D ，则O ，C ，D 三点共线，因为O 为AA ′的中点，C 为AP 中点，所以|A′P |＝2|OC |.…………………………1分所以|P A ′|＋|P A |＝2OC ＋2AC ＝2OC ＋2CD ＝2OD ＝4＞|AA ′|＝2，所以动点P 的轨迹是以A ，A ′为焦点，长轴长为4的椭圆，………………3分设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则2a ＝4,2c ＝2，所以a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3，………………………5分所以动点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1; …………………6分（2）设，．由，得，………………………7分依题意，即，…………………………8分则，…………………………9分因为,…………………………10分所以直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，即∠=∠OAP OAQ ．因为⊥OA PQ ，所以=AP AQ ．…………………………12分。

【精品】学2020年福建省泉州市泉港一中高二上学期期中数学试卷和解析(文科)

2017学年福建省泉州市泉港一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．（5分）已知x，y的值如表所示：如果y与x呈线性相关且回归直线方程为=bx+3.4，则b=（）A．1.2 B．2.2 C．3.2 D．4.22．（5分）下列各数中，最小的数是（）A．75 B．111111（2）C．210（6）D．85（9）3．（5分）设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a=﹣1，b=﹣2，则输出的a的值为（）A．16 B．8 C．4 D．25．（5分）过点（3，1）作一直线与圆（x﹣1）2+y2=9相交于M、N两点，则|MN|的最小值为（）A．B．2 C．4 D．66．（5分）已知实数x，y满足方程x2+y2﹣4x+1=0，则的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[0，]7．（5分）一个袋中装有大小相同的5个球，现将这5个球分别编号为1，2，3，4，5，从袋中取出两个球，每次只取出一个球，并且取出的球不放回．求取出的两个球上编号之积为奇数的概率为（）A ．B ．C ．D ．8．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“∃x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3＞0”B．命题p：“∀x∈R，sinx+cosx ≤”，则￢p是真命题C．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件D．“a＜1”是“a＞0”的必要不充分条件9．（5分）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P为事件“x+y ≤”的概率，则P=（）A ．B ．C ．D ．10．（5分）已知椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的右顶点是圆x2+y2﹣4x+3=0的圆心，其离心率为，则椭圆C的方程为（）A ．+y2=1B ．+y2=1C ．+y2=1D ．+=111．（5分）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（）A．2号学生进入30秒跳绳决赛 B．5号学生进入30秒跳绳决赛C．8号学生进入30秒跳绳决赛 D．9号学生进入30秒跳绳决赛12．（5分）设F1、F2分别是椭圆+=1的左、焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|=3，则P点到椭圆左焦点的距离为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．（5分）命题“对任意实数x，都有x2﹣2x+2＞0”的否定是．14．（5分）直线l：（a﹣2）x+（a+1）y+6=0，则直线l恒过定点．15．（5分）已知F1，F2为椭圆的两个焦点，并且椭圆上点P满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积为．16．（5分）从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球（1）至少有1个白球；都是白球；（2）至少有1个白球；至少有1个红球（3）恰有1个白球；恰有2个白球（4）至少有1个白球；都是红球是互斥事件的序号为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知直线l：x﹣my+3=0和圆C：x2+y2﹣6x+5=0（1）当直线l与圆C相切时，求实数m的值；（2）当直线l与圆C相交，且所得弦长为时，求实数m的值．18．（12分）如图的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名同学在一次英语听力比赛中的成绩（单位：分），已知甲代表队数据的中位数为76，乙代表队数据的平均数是75．（1）求x，y的值；（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取1名成绩不低于80分的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率；（3）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由（方差较小者稳定）．19．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，q：实数x满足|x﹣3|＜1．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若a＞0且￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．20．（12分）已知椭圆C的焦点为F1（）和F2（），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点．求：（1）椭圆C的标准方程；（2）弦AB的中点坐标及弦长．21．（12分）设函数f（x）=x2+2ax﹣b2+4（1）若a是从0，1，2三个数中任取的一个数，b是从﹣2，﹣1，0，1，2五个数中任取的一个数，求函数f（x）有零点的概率；（2）若a是从区间[﹣3，3]上任取的一个数，b是从区间[0，3]上任取的一个数，求函数g （x）=f（x）+5无零点的概率．22．（12分）椭圆过点（2，），（，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）设F1，F2是椭圆的焦点，椭圆在第一象限的部分上有一点P满足∠F1PF2=60°，求三角形F1PF2的面积和点P的坐标．2017学年福建省泉州市泉港一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．（5分）已知x，y的值如表所示：如果y与x呈线性相关且回归直线方程为=bx+3.4，则b=（）A．1.2 B．2.2 C．3.2 D．4.2【解答】解：==3，==10．样本中心坐标（3，10），回归直线经过样本中心，可得10=3b+3.4，解得b=2.2．故选：B．2．（5分）下列各数中，最小的数是（）A．75 B．111111（2）C．210（6）D．85（9）=25+24+23+22+21+20=63．【解答】解：B中，111111（2）C中，210（6）=2×62+1×6=78；D中，85（9）=8×9+5=77；最小，故111111（2）故选：B．3．（5分）设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由2x2+x﹣1＞0，可知x＜﹣1或x＞；所以当“x＞”⇒“2x2+x﹣1＞0”；但是“2x2+x﹣1＞0”推不出“x＞”．所以“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的充分而不必要条件．故选：A．4．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a=﹣1，b=﹣2，则输出的a的值为（）A．16 B．8 C．4 D．2【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=﹣1，b=﹣2时，不满足条件a＞6，a=（﹣1）×（﹣2）=2＜6；不满足条件a＞6，a=2×（﹣2）=﹣4＜6；不满足条件a＞6，a=（﹣4）×（﹣2）=8；满足条件a＞6，退出循环，输出a的值为8．故选：B．5．（5分）过点（3，1）作一直线与圆（x﹣1）2+y2=9相交于M、N两点，则|MN|的最小值为（）A．B．2 C．4 D．6【解答】解：圆心到（3，1）的距离：所以|MN|min=4故选：C．6．（5分）已知实数x，y满足方程x2+y2﹣4x+1=0，则的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[0，]【解答】解：将方程x2+y2﹣4x+1=0化简得，（x﹣2）2+y2=3，∴方程表示以点（2，0）为圆心，以为半径的圆表示两点（x，y），（﹣1，0）的斜率设，即kx﹣y+k=0当直线与圆相切时，k取最大最小值此时，圆心到直线的距离d=r∴∴．故选：B．7．（5分）一个袋中装有大小相同的5个球，现将这5个球分别编号为1，2，3，4，5，从袋中取出两个球，每次只取出一个球，并且取出的球不放回．求取出的两个球上编号之积为奇数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：设“取出的两个球上编号之积为奇数”为事件A，则Ω={（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），…（5，1），（5，2），（5，3），（5，4）}共包含20个基本件其中事件A={（1，3），（1，5），（3，1），（3，5），（5，1），（5，3）}包含6个基本事件，所以P（A）==故选：B．8．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“∃x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3＞0”B．命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题C．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件D．“a＜1”是“a＞0”的必要不充分条件【解答】解：A．命题“∃x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3≤0”，故A错误，B．∵sinx+cosx=sin（x+）≤恒成立，∴p是真命题，则￢p是假命题，故B错误，C．若p∧q为真命题，则p，q都是真命题，此时p∨q为真命题，即充分性成立，反之当p 假q真时，p∨q为真命题，但p∧q为假命题，故“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件，故C错误，D．由a＞0得0＜a＜1，则“a＜1”是“a＞0”的必要不充分条件，正确，故选：D．9．（5分）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P为事件“x+y≤”的概率，则P=（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得总的基本事件为{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，事件P包含的基本事件为{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1，x+y≤}，它们所对应的区域分别为图中的正方形和阴影三角形，故所求概率P==，故选：D．10．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右顶点是圆x2+y2﹣4x+3=0的圆心，其离心率为，则椭圆C的方程为（）A ．+y2=1B ．+y2=1C ．+y2=1D ．+=1【解答】解：圆x2+y2﹣4x+3=0化为：（x﹣2）2+y2=1，可得圆心（2，0），为椭圆的右顶点，∴a=2．又，b2=a2﹣c2，解得c=，b2=1．∴椭圆C 的方程为=1．故选：A．11．（5分）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．（单在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（）A．2号学生进入30秒跳绳决赛 B．5号学生进入30秒跳绳决赛C．8号学生进入30秒跳绳决赛 D．9号学生进入30秒跳绳决赛【解答】解：∵这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，故编号为1，2，3，4，5，6，7，8的学生进入立定跳远决赛，又由同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则3，6，7号同学必进入30秒跳绳决赛，剩下1，2，4，5，8号同学的成绩分别为：63，a，60，63，a﹣1有且只有3人进入30秒跳绳决赛，故成绩为63的同学必进入30秒跳绳决赛，故选：B．12．（5分）设F1、F2分别是椭圆+=1的左、焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|=3，则P点到椭圆左焦点的距离为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：如图，则OM是三角形PF1F2的中位线，∵|OM|=3，∴|PF2|=6，又|PF1|+|PF2|=2a=10，∴|PF1|=4，故选：C．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．（5分）命题“对任意实数x，都有x2﹣2x+2＞0”的否定是存在实数x，使x2﹣2x+2≤0．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“对任意实数x，都有x2﹣2x+2＞0”的否定是：存在实数x，使x2﹣2x+2≤0．故答案为：存在实数x，使x2﹣2x+2≤0．14．（5分）直线l：（a﹣2）x+（a+1）y+6=0，则直线l恒过定点（2，﹣2）．【解答】解：直线l：（a﹣2）x+（a+1）y+6=0即a（x+y）+（﹣2x+y+6）=0，根据a的任意性可得，解得x=2，y=﹣2，∴当a取不同的实数时，直线l：（a﹣2）x+（a+1）y+6=0恒过一个定点，这个定点的坐标是（2，﹣2）．故答案为：（2，﹣2）．15．（5分）已知F1，F2为椭圆的两个焦点，并且椭圆上点P满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积为1．【解答】解：由椭圆的方程可得a=2，b=1，c=，令|F1P|=m、|PF2|=n，由椭圆的定义可得m+n=2a=4 ①，Rt△F1PF2中，由勾股定理可得（2c）2=m2+n2，∴m2+n2=12②，由①②可得m•n=2，∴△F1PF2的面积是m•n=1．故答案为：1．16．（5分）从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球（1）至少有1个白球；都是白球；（2）至少有1个白球；至少有1个红球（3）恰有1个白球；恰有2个白球（4）至少有1个白球；都是红球是互斥事件的序号为（3）（4）．【解答】解：（1）“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”与都是白球不是互斥事件；（2）当是“1个白球，1个红球”，两个事件都成立，故（2）不是互斥事件；（3）“恰有1个白球”发生时，“恰有2个白球”不会发生，且在一次实验中不可能必有一个发生，则（3）是互斥事件；（4）“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”，与都是红球，是互斥事件；故答案为：（3）（4）三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知直线l：x﹣my+3=0和圆C：x2+y2﹣6x+5=0（1）当直线l与圆C相切时，求实数m的值；（2）当直线l与圆C相交，且所得弦长为时，求实数m的值．【解答】解：（1）由x2+y2﹣6x+5=0得，（x﹣3）2+y2=4，∴圆心C为（3，0），r=2；∵直线x﹣my+3=0与圆C相切，∴解得m=或m=；（2）设圆心C到直线l的距离为d，且弦长为，由勾股定理得：，由点到直线的距离公式得，，∴=，解得m=±3．所以实数m的值为3或﹣3．18．（12分）如图的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名同学在一次英语听力比赛中的成绩（单位：分），已知甲代表队数据的中位数为76，乙代表队数据的平均数是75．（1）求x，y的值；（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取1名成绩不低于80分的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率；（3）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由（方差较小者稳定）．【解答】解：（1）因为甲代表队的中位数为76，其中已知高于76的有77，80，82，88，低于76的有71，71，65，64，所以x=6，因为乙代表队的平均数为75，其中超过75的差值为5，11，13，14，和为43，少于75的差值为3，5，7，7，19，和为41，所以y=3，（2）甲队中成绩不低于80的有80，82，88；乙队中成绩不低于80的有80，86，88，89，甲乙两队各随机抽取一名，种数为3×4=12，其中甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有80，80；82，80；88，80；88，86；88，88．种数为3+1+1=5，所以甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率为p=，（3）因为甲的平均数为：=（64+65+71+71+76+76+77+80+82+88）=75，=[（64﹣75）2+（65﹣75）2+2×（71﹣75）2+2×（76﹣75）2+（77﹣75）所以甲的方差S2甲2+（80﹣75）2+（82﹣75）2+（88﹣75）2]=50.2，又乙的方差S2=[（56﹣75）2+2×（68﹣75）2+（70﹣75）2+（72﹣75）2+（73﹣75）2+乙（80﹣75）2+（86﹣75）2+（88﹣75）2+（89﹣75）2]=100.8，因为甲队的方差小于乙队的方差，所以甲队成绩较为稳定．19．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，q：实数x满足|x﹣3|＜1．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若a＞0且￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．由|x﹣3|＜1，得﹣1＜x﹣3＜1，得2＜x＜4即q为真时实数x的取值范围是2＜x＜4，若p∧q为真，则p真且q真，∴实数x的取值范围是2＜x＜3．（2）由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0，若￢p是￢q的充分不必要条件，则￢p⇒￢q，且￢q⇏￢p，设A={x|￢p}，B={x|￢q}，则A⊊B，又A={x|￢p}={x|x≤a或x≥3a}，B={x|￢q}={x|x≥4或x≤2}，则0＜a≤2，且3a≥4∴实数a的取值范围是．20．（12分）已知椭圆C的焦点为F1（）和F2（），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点．求：（1）椭圆C的标准方程；（2）弦AB的中点坐标及弦长．【解答】解：（1）∵椭圆C的焦点为F1（）和F2（），长轴长为6，∴椭圆的焦点在x轴上，c=2，a=3，∴b=1，∴椭圆C的标准方程（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB线段的中点为M（x0，y0）由，消去y，得10x2+36x+27=0，∴，，∴，∵，∴弦AB的中点坐标为（，），==．21．（12分）设函数f（x）=x2+2ax﹣b2+4（1）若a是从0，1，2三个数中任取的一个数，b是从﹣2，﹣1，0，1，2五个数中任取的一个数，求函数f（x）有零点的概率；（2）若a是从区间[﹣3，3]上任取的一个数，b是从区间[0，3]上任取的一个数，求函数g （x）=f（x）+5无零点的概率．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=x2+2ax﹣b2+4有零点等价于方程x2+2ax﹣b2+4=0有实根，可得△=（2a）2﹣4（﹣b2+4）≥0，可得a2+b2≥4记事件A为函数f（x）=x2+2ax﹣b2+4有零点，总的基本事件共有15个：（0，﹣2，），（2，﹣1），（2，﹣2），（0，﹣1），（1，﹣1），（1，﹣2），（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），事件A包含9个基本事件，∴P（A）=（Ⅱ）如图，试验的全部结果所构成的区域为（矩形区域）函数g（x）=f（x）+5无零点表示事件A，所构成的区域为A={（a，b）|a2+b2＜9且（a，b）∈Ω}即图中的阴影部分．∴P（A）=．22．（12分）椭圆过点（2，），（，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）设F1，F2是椭圆的焦点，椭圆在第一象限的部分上有一点P满足∠F1PF2=60°，求三角形F1PF2的面积和点P的坐标．【解答】解：（1）设椭圆的方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n）代入得，，解得，所以椭圆的方程为…（4分）（2）设|PF1|=m，|PF2|=n，由（1）知道m+n=2a=8…..①在△F1PF2中，由余弦定理得m2+n2﹣2mncos60°=（2c）2=48…..②由①②联立得，，所以…．（8分）设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则有，代入椭圆方程得，所以点P的坐标为…..（12分）赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

高二数学上学期期中试题_18

泉港区第一中学2021-2021学年高二数学上学期期中试题〔范围：直线、圆、圆锥曲线〕一、选择题：〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个答案中，只有一项是哪一项符合题目要求的〕 1．直线013=++y x 的倾斜角为A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．30︒ 2．过圆22(1)(2)4x y ++-=的圆心，且斜率为1的直线方程为A ．10x y +-=B ．30x y ++=C ．30x y -+=D ．30x y --= 3．抛物线214y x =的准线方程是 A ．1y =-B ．1x =-C ．1y =D ．1x =4．焦点为06（，）且与双曲线2212x y -=有一样的渐近线的双曲线方程是 A ．2212412x y -= B ．2212412y x -= C ．2211224y x -= D ．2211224x y -=5．点(,1)m 〔0m >〕到直线02:=+-y x l 的间隔为1，那么m 等于A B 1 C ．26．设0>m ，那么直线0122=+++m y x 与圆m y x =+22的位置关系为A ．相切B ．相交C ．相切或者相交D ．相切或者相离 7．两圆2220x y x +-=与2240x y y +-=的公一共弦长A B C ．1 D ．2 8．双曲线2211620x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线右支上一点，且2PF 的中点M 在以O 为圆心，1OF 为半径的圆上，那么2PF =A ．6B ．4C ．2D ．19．F 是椭圆22:195x y C +=的左焦点，P 为C 上一点，4(1,)3A ，那么PA PF +的最小值为A ．103B ．113 C ．4 D ． 13310．抛物线24y x =，以(1,1)为中点作抛物线的弦，那么这条弦所在直线的方程为A ．210x y -+=B ．230x y +-=C ．210x y --=D ．230x y +-=11．F 是椭圆22:14x E y +=的一个焦点，直线0x my -=与E 交于,A B 两点，那么ABF △的周长的取值范围为A ．(2,4)B ．[2,4)C ．(6,8)D ．[6,8)12．点E 是抛物线2:2(0)C y px p =>的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线C 的焦点，点P 在抛物线C 上．在EFP ∆中，假设sin sin EFP t FEP ∠=⋅∠，那么t 的最大值为AD 二、填空题：〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13．椭圆22:24C x y +=的两个焦点与短轴一个端点构成的三角形的面积等于__________．14．以双曲线221169x y -=的右顶点为焦点的抛物线的HY 方程为__________．15．设直线10x my --=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于,A B 两点，AB =，那么实数m 的值是__________．16．双曲线E 的中心是坐标原点O ，以E 的焦点F 为圆心，OF 为半径的圆与E 的一条渐近线交于,O A 两点．假设劣弧OA 所对的圆心角等于2π3，那么E 的离心率为__________．三、解答题：〔本大题一一共6小题，一共70分，应写出证明过程或者演算步骤〕 17．〔本小题10分〕在平面直角坐标系xOy 中，ABC ∆的顶点坐标为(2,4),(1,2),(2,3)A B C --．〔1〕求直线BC 的方程；〔2〕求边BC 上高AD 所在的直线方程．18．〔本小题12分〕椭圆C 的焦点为1(0,2)F -和2(0,2)F ，长轴长为52，设直线2y x =+交椭圆C 于,A B 两点．〔1〕求椭圆C 的HY 方程；〔2〕求弦,A B 的中点坐标及AB ．19．〔本小题12分〕在直角坐标系xOy 中，圆22:48160C x y x y ++-+=．〔1〕求圆C 的圆心坐标，及半径；〔2〕从圆C 外一点P 向该圆引一条切线，切点为M ，且PM PO =，求使得PM 获得最小值时的点P 的坐标．20．〔本小题12分〕抛物线22(0)y px p =>上的点(3,)T t 到焦点F 的间隔为4．〔1〕求t ，p 的值；〔2〕设,A B 是抛物线上分别位于x 轴两侧的两个动点，且5OA OB ⋅=，其中O 为坐标原点．求证：直线AB 过定点，并求出该定点的坐标．21．〔本小题12分〕椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F，过焦点2F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1．〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕点(0,1)M -，直线l 经过点(2,1)N 且与椭圆 C 相交于,A B 两点〔异于点M 〕，记直线MA 的斜率为1k ，直线MB 的斜率为2k ，证明：12+k k 为定值．22．〔本小题12分〕坐标平面xOy 内，y 轴的右侧动点P 到点(1,0)的间隔比它到y 轴的间隔大1，记P 的轨迹为1C ．〔1〕求1C 的HY 方程；〔2〕曲线222:143x y C +=的左右焦点分别是1F ，2F ，过2F 的直线l 分别与曲线21,C C 交于点,A B 和,M N ，假设1F AB ∆与1F MN ∆面积分别是12,S S ，求12S S 的取值范围．2021届高二年〔上〕期中考试卷〔数学〕参考答案及评分HY一、选择题：本大题考察根本概念和根本运算．每一小题5分，满分是60分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACACBDBBDCDA二、填空题：本大题考察根底知识和根本运算．每一小题5分，满分是20分．13． 2 14．216y x = 15．33±16．23311．解析：记椭圆22:14x E y +=的另一个焦点为'F ，那么四边形'AFBF 为平行四边形〔如下图〕，ABF △的周长等于'2++=++=+AB AF BF AB AF AF AB a ，又[2,2)∈AB b a ，故ABF △的周长取值范围2[22,4)[6,8)+∈+=AB a a b a ．12．解析：由题意得，准线:2p l x =-，,02p E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，过P 作PH l ⊥，垂足为H ，那么由抛物线定义可知PH PF =，于是sin sin EFP PE FEP PF μ∠==∠11cos cos PE PH EPH PEF===∠∠， cos y x =在(0,)π上为减函数，∴当PEF ∠取到最大值时〔此时直线PE 与抛物线相切〕，计算可得直线PE 的斜率为1，从而45PEF ∠=︒，max 1222μ∴==．16．解析：如图，设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，那么其渐近线方程为by x a=±，由题意，可知30AOx ∠=，故3tan 303b a ==，所以222313c b e a a ==+=．三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．17．〔本小题满分是10分〕解析：〔1〕由两点式直线方程得BC 的方程为322312y x -+=--+， 5310x y ∴++=．……………………………………………………………………………5分〔说明：其他解法参照给分，答案对就给5分〕〔2〕BC 直线的斜率为53-，…………………………………………………………………7分 ∴AD 直线斜率为35k =．……………………………………………………………………8分由点斜式得AD 方程为 ()3425y x -=-，整理得35140x y -+=．…………………10分 18．〔本小题满分是12分〕解析：〔1〕依题意，椭圆的焦点在y 轴上，设其方程为22221y x a b +=．…………………1分2,5c a ==3分又222a b c =+…………………………………………………………………………………4分得1b =，…………………………………………………………………………………………5分故椭圆的HY 方程22:15y C x +=．…………………………………………………………6分〔2〕设1122(,),(,)A x y B x y ， ,A B 的中点为00(,)M x y⎩⎨⎧=++=55222y x x y 消去y 得01462=-+x x ．…………………………………………………8分故3221-=+x x ，6121-=x x ， ……………………………………………………………10分那么310-=x ，35200=+=x y ，弦AB 的中点坐标为)35,31(-．………………………………………………………………11分35232942=+=AB ．…………………………………………………………………6分 19．〔本小题满分是12分〕解析：〔1〕依题意，22(+2)(4)4x y +-=…………………………………………………2分故圆心坐标为(2,4)-……………………………………………………………………………4分半径2r =．………………………………………………………………………………………6分〔2〕依题意，设00(,)P x y ，有=8分变形可得00240x y -+=，那么P 在直线:240l x y -+=上，……………………………9分分析可得，假设PM 最小，只需过点O 向l 作垂线':2l y x =-，…………………………11分l 与'l 的交点即为要求的点，联立可得2402x y y x-+=⎧⎨=-⎩，解可得4585x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即P 的坐标为48,)55-（．………………………………………………12分20．〔本小题满分是12分〕解析：〔1〕由抛物线的定义得，342p+=，解得2p =，………………………………3分所以抛物线的方程为24y x =，代入点(3,)T t ，可解得23t =±．………………………6分〔2〕设直线AB 的方程为x my n =+，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ， (8)分联立24y x x my n⎧=⎨=+⎩，消元得2440y my n --=，那么124y y n =-， (10)分由5OA OB ⋅=，可得21212()516y y y y +=，所以1220y y =-或者124y y =〔舍去〕，即420n -=-，解得5n =，所以直线AB 的方程为5x my =+，所以直线AB 过定点(5,0)．…………………………………………………………………12分 21．〔本小题满分是12分〕解析：〔1〕将x ＝c 代入方程中，由a 2﹣c 2＝b 2可得，所以弦长为． (2)分所以 (4)分解得． (5)分所以椭圆C的方程为：．…………………………………………………………6分〔2〕假设直线l的斜率不存在，那么直线的方程为x＝2，直线与椭圆只有一个交点，不符合题意；…………………………………………………7分设直线l的斜率为k，假设k＝0，那么直线l与椭圆只有一个交点，不符合题意，故k≠0；所以直线l的方程为y﹣1＝k〔x﹣2〕，即y＝kx﹣2k+1，． (8)分直线l的方程与椭圆的HY方程联立得：消去y得〔1+4k2〕x2﹣8k〔2k﹣1〕x+16k2﹣16k＝0，设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，那么，． (9)分∵∴k1+k2＝+＝＝＝＝2k ﹣，……………………10分把代入上式，得．……………………………………………………12分22．〔本小题满分是12分〕解析：〔1〕依题意， y 轴的右侧动点P 到点(1,0)的间隔与到定直线的间隔相等，…1分故1C 的方程为24y x =．………………………………………………………………………3分〔2〕依题意12AB S S MN=，……………………………………………………………………4分 ①当l 不垂直于x 轴时，设l 的方程是()()10y k x k =-≠，联立()21{4y k x y x=-=，得()2222240k x k x k -++=， ()22412440k k ∆=+->，…5分设()11,A x y ， ()22,B x y ，那么212224k x x k ++=， ()2122412k AB x x k+=++=；…6分联立()221 34120y k x x y ⎧=-⎨+-=⎩得： ()22223484120k x k x k +-+-=，()42264434k k ∆=-+ ()()2241214410k k -=+>，…………………………………7分设()33,M x y ， ()44,N x y ，那么2342834k x x k +=+， 234241234k x x k-=+，…………………………………………………8分()2212134kMNk+==+，……………………………………9分〔或者()()2342121234kMN a e x xk+=-+=+〕那么2122234414,333ABS kS MN k k+⎛⎫===+∈+∞⎪⎝⎭， (10)分②当l垂直于x轴时，易知4AB=，223bMNa==，此时1243ABSS MN==………11分综上有12SS的取值范围是4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．………………………………………………………12分〔设:1l x my=+相应给分；用其他方法的相应给分〕励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

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福建省泉州一中高二上学期期中考试（数学文）第Ⅰ卷参考公式：方差])()()[(1222212x x x x x x n s n -++-+-= ，其中x 是样本平均数．线性回归方程：ˆˆy bx a =+ 其中一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1．已知命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ，则（）A.1sin ,:≥∈∃⌝x R x pB. 1sin ,:>∈∃⌝x R x pC. 1sin ,:≥∈∀⌝x R x pD. 1sin ,:>∈∀⌝x R x p 2．已知一个样本5,,1,y x ．其中y x ,是方程组⎩⎨⎧=+=+3232y x y x 的解，则这个样本的方差是（）A ．4B ．2C ．5D ．253．取一根长度为5 m) A ．51 B ．52 C ．53 D ．54 4．已知某篮球运动员在一个赛季中的40示，则中位数与众数分别为（）A ．21与23B ．23与24C ．23与22D ．23与第4题图5．当x=2时，右图程序输出的结果是（） A. 0 B. 2 C. 3 D.46．有4件产品，其中2件正品2件次品。

从中任取两件，则互斥而不对立的两个事件是( ) A.“至少有一件正品”与“都是正品B.“至少有一件正品”与“至少有一件次品”C.“至少有一件正品”与“都是次品D. “恰有一件正品”与“恰有两件正品”7．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4的四个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中第5题图共9个共13个共11个0 1 3 5 60 1 2 2 3 4 4 8 90 1 1 1 3 3 3 3 5 5 7 8 81 2 2 2 3 3 4 6 7 8 98 9432101122211()()ˆ,()ˆ.n ni i i ii i n ni ii i x x y y x y nx yb x x xnx a y bx ====⎧---⎪⎪==⎨--⎪⎪=-⎩∑∑∑∑随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（） A.61 B.31 C.21 D.32 8．阅读右图的程序框图，若输出的S 的值等于16,那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是（）A ．3>i ? B. 4>i ? C. 5>i ? D. 6>i ? 9．已知R a ∈，则“3>a ”是“0342>+-a a ”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10.已知21,F F 是椭圆的两个焦点，点B 为椭圆短轴的一个顶点，若12021=∠BF F ，则这个椭圆的离心率是（）A.21B.2C. 2D.3311．将一个各个面上涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取一个，其中恰有2面涂有颜色的概率是（）A ．94 B ．92C ．278D ．27112．有金盒、银盒、铅盒各一个，只有一个盒子里有肖像．金盒上写有命题p ：肖像在这个盒子里；银盒上写有命题q ：肖像不在这个盒子里；铅盒上写有命题r ：肖像不在金盒里．p 、q 、r 中有且只有一个是真命题，则肖像在（） A ．金盒里 B ．银盒里 C ．铅盒里D ．在哪个盒子里不能确定二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分13．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 2：3：5．现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号的产品有16件，那么此样本的容量n = ．14．某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的k 的值是． 15．假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元），有如下的统计资料：由资料知y 与x 呈线性相关关系．（参考数据5521190,112.3i ii i i x x y ====∑∑）估计当使用年限为时，维修费用是万元．第7题图16．若方程11422=-+-t y t x 所表示的曲线为C ，给出下列四个命题： ① 若C 为椭圆，则1<t<4； ② 若C 为双曲线，则t>4或t<1；③ 曲线C 不可能是圆； ④ 若C 表是椭圆，且长轴在x 轴上，则251<<t . 其中真命题的序号为．（把所有正确命题的序号都填在横线上）三、解答题：本大题共6小题，满分74分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.17．（本小题满分12分）已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距2c=8，过点)142,9(，求双曲线的标准方程。

福建省泉州一中高二上学期期中考试数学(理)试题.pdf

Ⅰ卷一、选择题(本题共有12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.本题每小题5分，满分60分.请将答案填写在Ⅱ卷上) 1.中，若，则的面积为（） A． B． C.1 D. 2．在ABC中，角A、B、C的大小成等差数列，则sin(A+C)=( ) A. B. C. D. 3. 在等差数列中,( ) A. 5 B．6 C．4 D．8 4．对于任意实数，给定下列命题；其中真命题的是（） A．若 B．若，则 C． D． 5．等比数列中，且，则（） A．9 B．6 C．3 D．2 6．两灯塔A，B 与海洋观察站C 的距离都为10 km，灯塔A 在C 北偏东15°，B 在C 南偏东45°，则A，B 之间的距离为（）公里. A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，则不等式组所表示的平面区域的面积为( ) A. 7 B．4 C． D． 8．中,下列说法正确的是（） A．; B．若，则为锐角三角形 C．若，则 D．若，则 9．正项等比数列中，为其前项和，若，，则为（） A．21 B．18 C．15 D．12 10．如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来，(n=1,2,3,…)，则第n－2个图形中共有（）个顶点。

A．n2+n B．n2+n-2 C．n2+2n D．n3+n 11．已知各项均不为零的数列,定义向量，，. 下列命题中为真命题的是 ( ) A．若总有成立，则数列是等差数列 B．若总有成立，则数列是等比数列 C．若总有成立，则数列是等差数列 D．若总有成立，则数列是等比数列 12．已知二次函数的图像关于轴对称，则此函数的图象与轴交点的纵坐标的最大值为（） A．1 B． C．2 D．4 二、填空题(本题共有4小题．请把结果直接填写在Ⅱ卷上，每题填对得4分，否则一律是零分．本题满分16分.) 13．在△ABC中，若_________。

14．函数的最小值为_____________。

福建省泉州市泉港区第一中学2020届高三数学上学期期中试题文

福建省泉州市泉港区第一中学2020届高三数学上学期期中试题文一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．已知集合{}216A x x =+≤，[1,4]B =-，则AB =( )A ．5(,]2-∞ B ．(,4]-∞ C ．5[1,]2- D ．[1,3]-2．已知sin()22πϕϕπ+=<<，则tan ϕ=( )A ．3 B ．3-．D 3．等差数列{}n a 中，11=-a ，246+=a a ，则54-=S S ( )A ．5B ．6C ．7D ．9 4．设0.321log 3,2,log 3a b c π===，则( ) A ． a b c >> B ． a c b >> C ． c a b >> D ． b a c >>5. 在正方体1111-ABCD A B C D 中，,M N 分别为1，A B AC 的中点，则MN 与平面11BB C C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不确定 6. 下列函数：①()40y x x x =+>；②()1111y x x x =++>-； ③1cos (0)cos 2y x x x π=+<<；④()4ln 0ln y x x x=+>．其中最小值为4的函数有( ) A ．1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个7．若数列{}n a 满足112,1n n n a a a a +==-，则2019a 的值为( )A ．2B ．12C ．1-D ．1 8．函数()()πsin 0,2f x x ωφωφ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π，若其图象向左平移π6个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象( )A ．关于点7π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．关于点π,012⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．关于直线π12x =-对称 D ．关于直线7π12x =对称9．如图，已知点O 是边长为1的等边ABC D 的中心，则(OA OB +)·(OA OC +)为( )A ．19B ．19-C ．16D ．16-10.已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能是( )A ．B ．C ．D ．11. 已知函数()ln 2mf x x x=--恰有两个零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．(,0)e -B ．(,)e -+∞C ．(0,)eD ．(,)e -∞12. 若正三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，其底面边长为3，,,E F G 分别为侧棱,,AB AC AD 的中点．若O 在三棱锥A BCD -内，且三棱锥A BCD -的体积是三棱锥O BCD -体积的3倍，则平面EFG 截球O 所得截面的面积为( ) A ．3π2 B ．15π4 C ．4π D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知平面向量(1,2),(2,),a b k a b ==-若与共线，则3a b +=__________．14．若,x y 满足约束条件0,0,40,220,x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+-⎪⎪-+⎩≥≥≤≥ 则z x y =-的最小值__________．15. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c S 为ABC ∆的面积，()sin A C +=222Sb c-，且,,A B C 成等差数列，则C 的大小为__________．16. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知21()21x x f x -=+2019=S __________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12分）在∆ABC 中，点D 在BC 边上，⊥AD AC，cos =B，=AB=BD （1）求∆ABD 的面积；（2）求线段DC 的长.18．（12分）已知函数()228=--f x x x .（1）若()0>f x ，求x 的取值范围；（2）若当3≥x 时，()()21≥-f x a x ，求a 的取值范围.19．（12分）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22312,22a S a =+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2log 3n nb a =+,数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,求满足13n T >的正整数n 的最小值.20.（12分）已知四棱锥ABCD P -，底面ABCD 为菱形，⊥PA 平面ABCD ，060=∠ABC ，E 是BC 的中点．（1）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；（2）设2=AB ，若H 为PD 上的动点，若AHE ∆面积的最小值为26，求四棱锥ABCD P -的体积．21．（12分）已知函数1ln )(+-=px x x f ()p R ∈．（1）1p =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的极值；（3）若对任意的0>x ，恒有22()f x p x ≤，求实数p 的取值范围．泉港一中2020届高三上学期文科数学期中考试参考答案二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，计20分）14. 1- 15.6π16. 4038 三、解答题：（本题共6个小题，共70分.） 17. （本小题满分10分）解：（1）∵，且，∴．又∵，∴．∴． ……2分∵,，∴ ； ……5分（2） ∵，且,，， ∴，∴． ……7分又∵， ……9分∴， ……10分又∵在中,,∴,即,∴． ……12分（也可分离参数求解，相应得分）19．（本题满分12分） (1)由题意知,22122a S =+,∴212122a a a =++,得2112a a =+, ……2分设等比数列{}n a 的公比为q ,又∵32a =,∴22212q q =+,化简得2440q q -+=, ……4分解得2q =. ……5分∴3323222n n n n a a q ---=⋅=⋅=. ……6分 (2)由(1)知,2log 3n n b a =+ 22log 23231n n n -=+=-+=+. ……7分∴()()111111212n n b b n n n n +==-++++, ()12231111111111233412112222+∴=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-++=-=++n n n T b b b b b b n n n n n .……10分令13n T >,得()1223n n >+,解得4n >, ∴满足13n T >的正整数n 的最小值是5. ……12分 20．（本题满分12分）（1）∵四边形ABCD 是菱形 ∴AC BD ⊥PA ⊥平面ABCD BD ABCD ⊂平面∴PA BD ⊥又PA AC A = ∴BD PAC ⊥平面又∵BD PBD ⊂平面∴PBD PAC ⊥平面平面 ……4分（2）∵四边形ABCD 是菱形，060=∠ABC ， ∴ABC ∆为等边三角形。

泉州第一中学2020-2021学年第一学期高二期中考试(数学)

泉州第一中学2020-2021学年第一学期高二期中考试(数学) 一、单选题1经过点，倾斜角为的直线方程是（）A. B. C. D.2下列曲线中与椭圆有相同焦点的是（）A. B. C. D.3已知空间向量为单位正交基底，，，则向量与的数量积等于（）A. B. 0 C. 1 D. 44已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（）A. B.C. D.5若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为( ).A. 2x＋y－3＝0B. x－2y＋1＝0C.x＋2y－3＝0D. 2x－y－1＝06已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为5，则=（）A. B. C. D.7如图所示，在正四棱锥S-ABCD中，是的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持．则动点的轨迹与△组成的相关图形最有可能是图1中的( )A. B. C. D.8已知四面体的四个顶点都在球的球面上，，，，平面平面，则球的体积为（）A. B. C. D.二、多选题9已知直线，直线，下列命题中正确的是（）A.//B.//C.//D.//10如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（）A. B.C. 向量与的夹角是60°D. 与AC所成角的余弦值为211已知P 是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，且，则（）A.的周长为12B.C.点P到x 轴的距离为D.12正方体的棱长为2，分别为的中点，则（）A. 直线与直线夹角B. 直线与平面平行C.平面截正方体所得的截面面积为D.点和点到平面的距离相等三、填空题13双曲线的渐近线的斜率是___________．3则___________．15过点作斜率为的直线与椭圆相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率等于______________．16直线与圆心为，半径为的圆相交于两点，另一直线与圆交于两点，则四边形面积的最大值为___．四、主观题17已知关于的方程，直线．（1）当该方程表示圆时，求的取值范围；（2）当圆有最大面积时，判断此时直线与圆的位置关系．4正方形，且平面平面．（1）请作出平面ABC 和平面BDE的交线，并说明理由；（2）求直线与平面所成角的正弦值．19已知线段的端点B(4,0)，端点在圆上运动.（1）求线段的中点的轨迹方程；（2）已知点,设过点的直线与轨迹交于不同的两点以，以，为邻边作平行四边形. 是否存在这样的直线，使得直线与恰好平行？如果存在，求出的方程；如果不存在，请说明理由.5这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．问题：已知的内角所对的边分别是，面积为，若_______，且，试判断的形状．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．21已知四棱锥中，底面为菱形,,，，分别是中点，点在上移动．（1）证明：无论点在上如何移动，都有平面平面；（2）当直线与平面所成的角最大时，求二面角的余弦值．622已知椭圆C:+=1(a>b>0)的长轴长为6，且椭圆离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P(0,2)作斜率为(k0)的直线l与椭圆C交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点D，使得ADB为以AB为底边的等腰三角形．若存在，求出点D的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．7泉州第一中学2020-2021学年第一学期高二期中考试(数学)参考答案1、解：由于直线的倾斜角为135°，可得直线的斜率为tan135°=-1，再根据直线经过点（-3，2），可得直线的方程为y-2=-（x+3），即.故选B．2、解：因为椭圆的焦点在x轴上，焦点坐标为对于A,双曲线方程可变为,所以所以，A正确，B,C,D经验证不正确.故选A.3、解：∵，，为单位正交基底，=3+2-，=-，∴•=（）•（）=3-3+2-2-+=3-2=1.故选C．4、解：设圆C2的圆心为(a，b)．因为圆C1的圆心坐标为(－1，1)，所以解得又因为圆C2的半径与圆C1的半径长相等，所以圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.故选B.5、解：圆的标准方程为(x-3)2+y2=9,圆心为A(3,0).因为点P(1,1)是弦MN的中点,所以AP⊥MN.因为直线AP的斜率k==-,所以直线MN的斜率为2,所以弦MN所在直线的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.故选D.86、解：由题意：,∵的最大值为5，∴|AB|的最小值为3.当且仅当AB⊥x轴时，取得最小值，此时，，代入椭圆方程可得：.∵c2=4-b2，∴，∴.故选A．7、解：如图,连接BD交AC于点O,设F,G分别是SC,CD的中点,连接GE,GF,EF,SO,则EF SB,GE DB,因为EF∩GE=E,SB∩DB=B，EF，GE平面EFG，SB，DB平面SBD，所以平面SBD平面EFG，又AC BD,SO AC,SO∩DB=O，SO,DB平面SBD，所以AC平面SBD,所以AC平面EFG,所以点P在FG上,故选A.8、解：由于平面ABD平面BCD，交线为BD，CD BD，CD平面BCD，因此CD平面ABD，CD AB，由于AB²+AD²=BD²，所以AB AD,又AD CD=D，AD、CD在平面ACD内，因此AB平面ACD，AB AC，9所以ABC和DBC为直角三角形，因此BC 的中点为球心，DC=2，，所以直径长BC=2R=，半径，因此球的体积.故选A.9、解：对于A，因为平面，若，则，又直线平面，所以，故A 正确;对于B，因为平面,若,则与m平行，相交或异面，故B错误;对于C，因为平面,若，则,又直线平面，所以，故C正确；对于D，平面,,则可能此时与相交，故D错误.故选AC.10、解：以顶点A为端点的三条棱长都相等，它们彼此的夹角都是，可设棱长为1，则===11=，对于A ，由为平行六面体,知四边形ABCD 和四边形ACC 1A 1都是平行四边形,所以,所以A 正确；对于B ，(-)=(++)(-)=-+-+-=0，所以B正确；对于C，向量=，显然D为等边三角形，则D=，所以向量与的夹角是，向量与的夹角是，所以C不正确；又=+-，=+，则||==，| |==，10=(+-)(+)=1，所以===，所以D不正确.故选AB.11、解：由条件可知a=3,b=2,,故的周长为,故A错误;设|PF 1|=m,|PF 2|=n,则m+n=2a=6,由，可得,即,解得mn=6.故,,故B 、D正确.设点P到x轴的距离为h,由,故，故C正确.故选BCD.12、解：A．由题意，BC1EF，∴直线与直线所成角为，在中，由题意，EF=，AE=，,由余弦定理得，∴=，故直线与直线夹角为，故A正确；B．如图所示，取的中点，连接，1112由条件可知：，，A 1Q ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，GQ ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以A 1Q ∥平面AEF ，GQ ∥平面AEF ，且，GQ 、A 1Q ⊂平面A 1GQ ，所以平面平面，又因为平面，所以平面，故B 正确；C ．如图所示，连接，因为为的中点，所以，所以四点共面，所以截面即为梯形，延长交于点，由勾股定理得，，所以，所以，故C 正确；D ．记点与点到平面的距离分别为，因为，又因为，所以，故D错误.故选ABC.13、解：因为双曲线方程为,所以a=1,b=3,所以渐近线方程为,即渐近线的斜率为±3. 故答案为±3.14、解：因为正四面体的棱长等于1,所以∠DBA=∠DBC=60°,所以,又点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点,所以,所以.故答案为.15、解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则+=1 ①，+=1 ②，∵M是线段AB的中点，∴=1，=1，∵直线AB的方程是y=-（x-1）+1，∴y1-y2=-（x1-x2），①②两式相减可得：+=0，∴+=0，∴2+2=0，∴2+2=0，∴a=b，∴c==b，∴e==，故答案为.16、解：以为圆心，半径为的圆的方程为，联立解得，中点为．13又直线恒过定点，要使四边形ACBD的面积最大，只需直线过圆心即可，即以CD 为直径，此时AB 垂直CD，如图，，∴四边形ACBD 的面积最大值．故答案为.17、解：（1）把圆的方程化为标准式方程得+（y+1）2＝1-，1-，即（2）当圆的面积最大时，此时圆半径的平方最大，由半径r满足r2＝1-，可得当k＝0时r2最大，此时圆心坐标为（0，﹣1）因此圆的最大半径为1，最大圆的面积为πr2＝π；可得当k＝0时圆有最大面积，可得直线y＝（k﹣1）x+2即y＝﹣x+2，斜率为-1．∵圆心（0，-1）到直线y＝-x+2的距离为=>1，∴圆心到直线的距离大于圆的半径，可得直线与圆相离．1418、解:（1）在平面ABC内过点B 作直线l AC，即l 为平面BDE和平面ABC的交线，理由如下:因为底面是正方形,所以DE AC,又因为l AC，所以l DE，又l过点B，所以l在平面BDE内，又l在平面ABC内，所以l为平面BDE和平面ABC的交线；（2）取AC的中点O,连接BO,过O在平面ACDE内作直线m垂直AC,因为平面平面,平面∩平面=AC,所以由面面垂直的性质知,m⊥平面ABC,又AC,OB平面ABC,所以m⊥AC,m⊥OB又是正三角形,所以OB⊥AC,所以直线AC,直线OB,直线m两两垂直,如下图，以O为坐标原点，OA，OB所在的直线为x，y轴，直线m为z轴,建立空间直角坐标系O﹣xyz，则O（0，0，0），A（1，0，0），C（-1，0，0），B（0，，0），E（1，0，2）,15D （-1，0，2）,,,设平面BCD的法向量为＝（x，y，z），则,，取y＝-1，可得＝（,-1，0）,设直线与平面所成角，则.∴直线与平面BCD所成角的正弦值为.19、解：(1)设点C的坐标为，利用中点坐标公式可得，点A在圆上，则：，化简可得其轨迹方程为；（2）当斜率不存在时，直线l为：x=0不满足题意．当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，又∵l与圆E相交于不同的两点，联立，消去y得：(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0，∴Δ=(6k-2)2-24(1+k2)=4（3k2-6k-5）>0，解得或．x1+x2=，y1+ y2=k(x1+x2)+6=，，，假设 // ，则，∴，解得16，假设不成立．∴不存在这样的直线l．20、解：若选、由4S=(+-)可得2bc A=2bccosA ，所以A=，又因为0，所以A=，因此由余弦定理可得=+-bc ，①由A+C=2B，即a+c=2b，②代入①即=+-bc，即，因此b=c，所以为等边三角形；若选、由4S=(+-)可得2bc A=2bccosA，所以A=.又因为0，所以A=，因此由余弦定理可得=+-bc，①由A=B C，得=bc，②代入①因此bc=+-bc，所以=0，因此b=c，所以为等边三角形；若选、由4S=(+-)可得2bc A=2bccosA，所以A=.又因为0，所以A=.又2b C=2a-c，所以2B C=2A-C，即2B C=2(B+C)-C，即，又因为C是三角形内角，所以，因此B=.又因为B是三角形内角，所以B=，因此C=，所以为直角三角形.21、（1）证明:连接AC，底面ABCD为菱形，ABC=，ABC是正三角形，E是BC中点，AE BC，又AD BC，AE AD，又PA平面，AE平面ABCD，PA AE，又PA AD=A，PA、AD平面PAD，AE平面PAD，又AE平面，平面AEF平面PAD；17（2）解：由(1)知,AE,AD,AP两两垂直，以AE,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易知：A(0,0,0)，B(,-1,0)，C(,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，=(,1,-2)，==(,,-2)，=(0,0,2)，而=+=(0,0,2)+(,,-2)=(,,2-2)，且=(0,2,-2)，设平面PCD 的法向量=(,,)，则，即，取=，=(1,,)，根据题意，设直线与平面所成的角为,==，当=时最大，此时F为PC 的中点，即F(,,1)，=(,0,0)，=(,,1)，设平面AEF的法向量为=(,,)，则，，取=-1，解得=(0,2,-1)，PA平面ABCD，是平面ABCD的一个法向量，=(0,0,-2)，18===,由图可知，二面角是锐角，所以二面角F-AE-D的余弦值为.22、解：（1）由题知：2a=6,所以a=3,又,所以c=1,则,所以椭圆C 的方程为；（2）直线的解析式为，设，，，，的中点为，，假设存在点，使得为以为底边的等腰三角形，则．由，得，故，所以，，因为，所以，即，所以，当时，，当且仅当时取等号，即时等号成立；所以；当时，，当且仅当时取等号，即时等号成立所以，19。

福建省泉州市泉港区第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题Word版含答案

（2）求弦的中点坐标及．
19．（本小题12分）
在直角坐标系中，已知圆．
（1）求圆的圆心坐标，及半径；
（2）从圆外一点向该圆引一条切线，切点为，且，求使得取得最小值时的点的坐标．
20．（本小题12分）
已知抛物线上的点到焦点的距离为．
（1）求，的值；
（2）设是抛物线上分别位于轴两侧的两个动点，且，其中为坐标原点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
18．（本小题满分12分）
解析：（1）依题意，椭圆的焦点在轴上，设其方程为．…………………1分
已知，……………………………………………………………………………3分
又 …………………………………………………………………………………4分
得，…………………………………………………………………………………………5分
分析可得，若最小，只需过点向作垂线，…………………………11分
19．（本小题满分12分）
解析：（1）依题意， …………………………………………………2分
故圆心坐标为 ……………………………………………………………………………4分
半径．………………………………………………………………………………………6分
（2）依题意，设，有，………………8分
变形可得，则在直线上，……………………………9分
．……………………………………………………………………………5分
（说明：其他解法参照给分，答案对就给5分）
（2）直线的斜率为，…………………………………………………………………7分
∴ 直线斜率为．……………………………………………………………………8分

福建省泉州第一中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试卷带解析

根据圆几何特征可知最短距离为 .
点为直线与直线的交点，直线的方程为，
由，解得，
故点纵坐标为 .
故答案为； .16.在正方体中，是棱的中点，是底面内（包括边界）的一个动点，若平面，则异面直线与所成角的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】取中点，中点，连接，，，取中点，连接，推导出平面平面，从而的轨迹是线段，当与重合时，异面直线与所成角取最大值，当与或重合时，异面直线与所成角取最小值，即可得解.
【详解】解：取中点，中点，连接，，，取中点，连接，
∵在正方体中，是棱的中点，
∴ ，，
∵ 平面，，面，
∴ 平面，同理可得平面，
∵ ，，是平面内两相交直线，
∴平面平面，
∵ 是底面内（包括边界）的一个动点，平面，
∴ 的轨迹是线段，
∵ ，是中点，∴ ，
∵ ，，，四点共面，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，
即，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题考查了线面平行的性质定理、线面垂直的判定定理，考查了空间向量数量积和共面向量定理，解题的关键是熟悉利用空间向量的共面定理，考查了转化能力与探究能力，属于难题.
三､填空题
13.过点且与直线垂直的直线方程___________.
∵ ，∴ ，
∴当与重合时，异面直线与所成角取最大值，
∵ ，是上动点，，
∴当与或重合时，异面直线与所成角取最小值，
∴异面直线与所成角的取值范围是 .
故答案为： .

福建省泉州市泉港区第一中学2020届高三上学期期中考试数学(理) Word版含答案

泉港一中2020届高三期中考试理科试卷考试时间：120分钟总分：150分一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分） 1.已知集合{}2|20A x x x =∈--≥Z ，则z C A =（）A. {0}B. {1}C. {0,1}D. {-1,0,1,2}2.复数121z i z i =+=，，其中i 为虚数单位，则12z z 的虚部为（） A.1- B. 1 C. iD. i -3．在△ABC 中,“>0”是“△ABC 为锐角三角形”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.设数列是单调递增的等差数列，且，，成等比数列，则（）A.1009B. 1011C. 2018D. 2019 5.的是（）sin14︒+︒24sin 24︒+︒C.sin 64︒+︒sin 74︒+︒6．下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．23y x -=C ．1y x x=- D ．()2ln 1y x =+7.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤”。

”则在此问题中，第5关收税金为( )A ．136斤 B ． 130斤 C ． 125斤 D ． 120斤8．设正实数满足则（） A ．B ．C ．D ．9．已知()()sin 0,0,||2f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭部分图象如图，则()f x 的一个对称中心是( )A ．()0π，B ．012π⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．516π⎛⎫-- ⎪⎝⎭，D ．16π⎛⎫-- ⎪⎝⎭，10.一给定函数()y f x =的图象在下列四个选项中，并且对任意1(0,1)a ∈，由关系式1()n n a f a +=得到的数列{}n a 满足1n n a a +<.则该函数的图象可能是( )A B C D11. 已知等边△ABC 的边长为2，现把△ABC 绕着边BC 旋转到△PBC 的位置．给出以下三个命题：①对于任意点P ，； ②存在点P ，使得平面；③三棱锥P ABC -的体积的最大值为1. 以上命题正确的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③12．已知函数()32ln 1,0,42,0,x x f x xx x x +⎧>⎪=⎨⎪--<⎩若方程()f x ax =有四个不等的实数根，则实数a 的取值范围是（）A ．()1,1-B ．()0,1C ．()1,+∞D ．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.14．已知数列{}n a 满足：11a =1=，则使25n a <成立的n 的最大值为_____ 15．设D 为ABC ∆的边AB 的中点，P 为ABC ∆内一点，且满足25AP AD BC =+，则APDABCS S ∆∆=______ . 16.已知四面体ABCD 内接于球O ，且2A B B C ===，若四面体ABCD的体积为O 恰好在棱DA 上，则球O 的表面积是_____ ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =+ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12na nb n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18.(本小题满分12分)如图，在中，点P 在边BC 上，，，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若的面积是，求．19．(本小题满分12分)某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值y （y 值越大产品的性能越好）与这种新合金材料的含量x （单位：克）的关系：当07x ≤<时，y 是x 的二次函数；当7x ≥时，13x my -⎛⎫= ⎪⎝⎭.测得部分数据如表所示.（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）求该新合金材料的含量x 为何值时产品的性能达到最佳.20. (本小题满分12分)如图，以111,,,,,A B C A B C 为顶点的五面体中，111AA BB CC ∥∥,1CC ⊥平面ABC ,AB BC =，11122AA BB CC AC ====，F 是AC 的中点.（1）求证：1AC ⊥平面1BA F ；（2）求二面角11B A F B --的余弦值.21.（本小题满分 12 分）已知函数 f (x ) = x + m- 2 ln x ， m ∈ R ．x（1）求函数 f (x ) 的单调增区间；（2）若函数 f (x ) 有两个极值点 x 1 ， x 2 ，且 x 1 < x 2 ，证明： f (x 2 ) < 1- x 1 ．22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为． (Ⅰ)求圆C 的直角坐标方程；(Ⅱ)设过点且倾斜角为的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且，求直线l 的普通方程．23(本小题满分10分) 选修4—5：不等式已知函数 . (Ⅰ)若 ,解不等式 ;(Ⅱ)若不等式对任意的实数恒成立，求的取值范围.泉港一中2020届高三上期中考试理科数学参考答案一、选择题二、填空题13 、 4 14 、 4 15、 1516、 16π 三、解答题17.解：（1）当1n =时，12a =当2n ≥时，()()221112n n n a S S n n n n n -=-=+----=也适合1n =时， ∴2n a n =………………………………..5分（2）1124n a nn b n n ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()()2111441111121444214nnn n n T n ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭+⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++++++=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-…………………………12分18. Ⅰ 在中，因为，，，由余弦定理得，………………2分所以，整理得，解得．所以．所以是等边三角形．所以． ………………6分 Ⅱ 法1：由于是的外角，所以．因为的面积是，所以．所以．在中，，所以．在中，由正弦定理得，所以．……………… 19.（1）当07x ≤<时，y 是x 的二次函数，可设2y ax bx c =++()0a ≠.依题意有48428366ca b c a b c -=⎧⎪=++⎨⎪=++⎩，解得：1a =-，8b =，4c =-，即284y x x =-+-()07x ≤<. 当7x ≥时，13x my -⎛⎫= ⎪⎝⎭，由10x =，19y =可得8m =，即813x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭()7x ≥.综上可得2884,07,1,7.3x x x x y x -⎧-+-≤<⎪=⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩……………………………7分（2）当07x ≤<时，()2284412y x x x =-+-=--+，即当4x =时，y 取得最大值12；当7x ≥时，813x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，可得3y ≤，即当7x =时，y 取得最大值3.综上可得，该新合金材料的含量x 为4时产品的性能达到最佳……………….5分 20.解：（1）因为1CC ⊥平面ABC ，BF ⊂平面ABC ，所以1CC BF ⊥.因为AB BC =，F 是AC 的中点，所以BF AC ⊥. ..................................................... 1分又1CC AC C =，所以11BF AAC C ⊥平面，从而1BF AC ⊥. ............................... 2分因为1CC ⊥平面ABC ，且1111,AA CC AA CC ≠∥，所以四边形11AA C C 为直角梯形.又F 是AC 的中点，1122AA CC AC===，所以1A AF △与1ACC △均为等腰直角三角形，所以1145A FA C AC ∠=∠=︒......................................... 3分设11A FAC D =，则90ADF ∠=︒，所以11A F AC ⊥. ................................................. 4分又1BFA F F =，1,BF A F ⊂平面1BA F ，所以1AC ⊥平面1BA F . ............................................ 5分（2）由（1）知11BF ACC A ⊥平面.设11A C 的中点为E ，连接EF ，则EF ∥1CC ，从而EF AC ⊥.以F 为原点，,,FA FE FB 分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系. 由题意得，()()()()()1110,0,0,1,1,0,0,2,2,1,0,0,1,2,0,F A B A C -................................................................ 6分则111(0,2,2),(1,1,0),(2,2,0),FB FA AC ===- .......................... 7分设平面11A B F 的法向量为m (,,)x y z =，由110,0,FB FA ⎧=⎪⎨=⎪⎩m m 得220,0,y z x y +=⎧⎨+=⎩...................................... 8分令1y =-，得1,1x z ==，所以m (1,1,1)=-为平面11A B F 的一个法向量. ........................ 9分因为1AC ⊥平面1BA F ，所以1(2,2,0)AC =-为平面1BA F 的一个法向量. ...................... 10分因为1111cos ,ACAC AC ⨯===m m m ， ............... 11分且由图可知二面角111B AC C --为锐角，所以二面角111B AC C -- ............................ 12分21解：（Ⅰ）由x xmx x f ln 2)(-+=，得：222221)(xmx x x x m x f --=--='，),0(+∞∈x ………………1分设函数m x x x g --=2)(2，),0(+∞∈x当1-≤m 时，即044≤+=∆m 时，0)(≥x g ，0)(≥'x f ，所以函数)(x f 在),0(+∞上单调递增． ………………2分当1->m 时，即044>+=∆m 时，令0)(=x g 得m x +-=111，m x ++=112，21x x <， ………………3分当01<<-m 时，即210x x <<时，在),(),0(21+∞⋃x x 上，0)(>x g ，0)(>'x f ；在),(21x x 上，0)(<x g ，0)(<'x f ．所以函数)(x f 在),(,),0(21+∞x x 上单调递增，在),(21x x 上单调递减．………………4分当0≥m 时，即210x x <<时，在),0(2x 上，0)(<x g ，0)(<'x f ，在),(2+∞x 上，0)(>x g ，0)(>'x f ．所以函数)(x f 在),0(2x 上单调递减，在),(2+∞x 上单调递增． ………………5分综上，当1-≤m 时，函数)(x f 的单调递增区间为),0(+∞；当01<<-m 时，函数)(x f 的单调递增区间为),11(,)11,0(+∞+++-m m ；当0≥m 时，函数)(x f 的单调递增区间为),11(+∞++m ． ………………6分（2）证明：函数)(x f 有两个极值点1x ，2x ，且21x x <，02)(2=--=∴m x x x g 有两个不同的正实根m x +-=111，m x ++=112，⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=+>+=∆∴m x x x x m 21212044，即01<<-m欲证明121)(x x f -<，1ln 22222-<-+∴x x x m x ，即证明1ln 222>-x mx …………8分 2222x x m -= ，所以等价于证明1ln 222->-x x 成立.)0,1(-∈m ，)2,1(112∈++=∴m x ………………9分设函数x x x h -=ln 2)(，)2,1(∈x ，求导可得12)(-='xx h 易得0)(>'x h 在)2,1(∈x 上恒成立，即)(x h 在)2,1(∈x 上单调递增，1)1()(-=>∴h x h ，即1ln 222->-x x 在)2,1(∈x 上恒成立 ………………11分∴函数)(x f 有两个极值点1x ，2x ，且21x x <，121)(x x f -<． ………………12分 22 Ⅰ 圆C 的极坐标方程为．，，，圆C 的直角坐标方程为，化为圆的标准方程为 ………………5分设直线l 的参数方程为为参数将l 代入圆C 的直角坐标方程中，化简得，设A ，B 两点所对应的参数分别为，，由韦达定理知，，由，同号又，，由①②可知或，或，解得，，的普通方程为分 23.（Ⅰ）所以解集为：. ………………5分(2)所以的取值范围为：. ………………10分。

福建省泉州市泉港区第一中学2020届高三数学上学期期中试题理

福建省泉州市泉港区第一中学2020届高三数学上学期期中试题理考试时间：120分钟总分：150分一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分） 1.已知集合{}2|20A x x x =∈--≥Z ，则z C A =（）A. {0}B. {1}C. {0,1}D. {-1,0,1,2}2.复数121z i z i =+=，，其中i 为虚数单位，则12z z 的虚部为（） A. 1- B. 1 C. iD. i -3．在△ABC 中,“>0”是“△ABC 为锐角三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4.设数列是单调递增的等差数列，且，，成等比数列，则（）A.1009B. 1011C. 2018D. 20195.2的是（）3sin14︒+︒324sin 24︒+︒ 364sin 64︒+︒374sin 74︒+︒ 6．下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．23y x-=C ．1y x x=- D ．()2ln 1y x =+7.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤”。

”则在此问题中，第5关收税金为( )A．136斤 B ．130斤 C．125斤 D．120斤8．设正实数满足则（）A． B． C． D．9．已知()()sin0,0,||2f x A x B Aπωϕωϕ⎛⎫=++>><⎪⎝⎭部分图象如图，则()f x的一个对称中心是( )A．()0π， B．012π⎛⎫⎪⎝⎭，C．516π⎛⎫--⎪⎝⎭，D．16π⎛⎫--⎪⎝⎭，10.一给定函数()y f x=的图象在下列四个选项中，并且对任意1(0,1)a∈，由关系式1()n na f a+=得到的数列{}na满足1n na a+<.则该函数的图象可能是( )A B C D11. 已知等边△ABC的边长为2，现把△ABC绕着边BC旋转到△PBC的位置．给出以下三个命题：①对于任意点P，；②存在点P，使得；③三棱锥P ABC-的体积的最大值为1. 以上命题正确的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③12．已知函数()32ln1,0,42,0,xxf x xx x x+⎧>⎪=⎨⎪--<⎩若方程()f x ax=有四个不等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．()1,1- B．()0,1 C．()1,+∞ D．1,ee⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.14．已知数列{}n a满足：11a=，11n na a+-=，则使25na<成立的n的最大值为_____15．设D 为ABC ∆的边AB 的中点，P 为ABC ∆内一点，且满足25AP AD BC =+u u u r u u u r u u u r，则APDABCS S ∆∆=______ . 16.已知四面体ABCD 内接于球O ，且2,2AB BC AC ===，若四面体ABCD 的体积为233，球心O 恰好在棱DA 上，则球O 的表面积是_____ ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =+ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12na nb n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18.(本小题满分12分) 如图，在中，点P 在边BC 上，，，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若的面积是，求．19．(本小题满分12分)某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值y （y 值越大产品的性能越好）与这种新合金材料的含量x （单位：克）的关系：当07x ≤<时，y 是x 的二次函数；当7x ≥时，13x my -⎛⎫= ⎪⎝⎭.测得部分数据如表所示.x0 2 6 10 … y－48819…（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）求该新合金材料的含量x 为何值时产品的性能达到最佳.20. (本小题满分12分)如图，以111,,,,,A B C A B C 为顶点的五面体中，111AA BB CC ∥∥,1CC ⊥平面ABC ,5AB BC ==，11122AA BB CC AC ====，F 是AC 的中点.（1）求证：1AC ⊥平面1BA F ；（2）求二面角11B A F B --的余弦值.21.（本小题满分 12 分）已知函数 f (x ) xm2 ln x ， mR ．x（1）求函数 f (x ) 的单调增区间；（2）若函数 f (x ) 有两个极值点 x 1 ， x 2 ，且 x 1x 2 ，证明： f (x 2 ) 1 x 1 ．22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为． (Ⅰ)求圆C 的直角坐标方程； (Ⅱ)设过点且倾斜角为的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且，求直线l的普通方程．23(本小题满分10分) 选修4—5：不等式已知函数.(Ⅰ)若,解不等式;(Ⅱ)若不等式对任意的实数恒成立，求的取值范围.泉港一中2020届高三上期中考试理科数学参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C ABBDDCCDABB二、填空题13 、 4 14 、 4 15、 1516、 16π 三、解答题17.解：（1）当1n =时，12a =当2n ≥时，()()221112n n n a S S n n n n n -=-=+----=也适合1n =时， ∴2n a n =………………………………..5分（2）1124n a nn b n n ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()()2111441111121444214nn n n n T n ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭+⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-L L…………………………12分18.Ⅰ 在中，因为，，，由余弦定理得，………………2分所以，整理得，解得．所以．所以是等边三角形．所以．………………6分Ⅱ法1：由于是的外角，所以．因为的面积是，所以．所以．在中，，所以．在中，由正弦定理得，所以．………………19.（1）当07x≤<时，y是x的二次函数，可设2y ax bx c=++()0a≠.依题意有48428366ca b ca b c-=⎧⎪=++⎨⎪=++⎩，解得：1a=-，8b=，4c=-，即284y x x=-+-()07x≤<. 当7x≥时，13x my-⎛⎫= ⎪⎝⎭，由10x=，19y=可得8m=，即813xy-⎛⎫= ⎪⎝⎭()7x≥.综上可得2884,07,1,7.3xx x xyx-⎧-+-≤<⎪=⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩……………………………7分（2）当07x≤<时，()2284412y x x x=-+-=--+，即当4x=时，y取得最大值12；当7x ≥时，813x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，可得3y ≤，即当7x =时，y 取得最大值3.综上可得，该新合金材料的含量x 为4时产品的性能达到最佳……………….5分 20.解：（1）因为1CC ⊥平面ABC ，BF ⊂平面ABC ，所以1CC BF ⊥.因为5AB BC ==，F 是AC 的中点，所以BF AC ⊥. ..................................................... 1分又1CC AC C =I ，所以11BF AAC C ⊥平面，从而1BF AC ⊥. ............................... 2分因为1CC ⊥平面ABC ，且1111,AA CC AA CC ≠∥，所以四边形11AA C C 为直角梯形.又F 是AC 的中点，1122AA CC AC ===，所以1A AF △与1ACC △均为等腰直角三角形，所以1145A FA C AC ∠=∠=︒......................................... 3分设11A F AC D =I ，则90ADF ∠=︒，所以11A F AC ⊥. ................................................. 4分又1BF A F F =I ，1,BF A F ⊂平面1BA F ，所以1AC ⊥平面1BA F . ............................................ 5分（2）由（1）知11BF ACC A ⊥平面.设11A C 的中点为E ，连接EF ，则EF ∥1CC ，从而EF AC ⊥.以F 为原点，,,FA FE FB u u u r u u u r u u u r分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系. 由题意得，()()()()()1110,0,0,1,1,0,0,2,2,1,0,0,1,2,0,F A B A C -................................................................ 6分则111(0,2,2),(1,1,0),(2,2,0),FB FA AC ===-u u u r u u u r u u u u r.......................... 7分设平面11A B F 的法向量为m (,,)x y z =，由110,0,FB FA ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r g u u u rg m m 得220,0,y z x y +=⎧⎨+=⎩...................................... 8分令1y =-，得1,1x z ==，所以m (1,1,1)=-为平面11A B F 的一个法向量. ........................ 9分因为1AC ⊥平面1BA F ，所以1(2,2,0)AC =-u u u u r为平面1BA F 的一个法向量. ...................... 10分因为()()11112126cos ,322AC AC AC ⨯-+-⨯===⨯u u u u rg u u u u r u u u u r m m m ， .............. 11分且由图可知二面角111B AC C --为锐角，所以二面角111B AC C --的余弦值为6. ............................ 12分 21解：（Ⅰ）由x xmx x f ln 2)(-+=，得：222221)(x mx x x x m x f --=--='，),0(+∞∈x ………………1分设函数m x x x g --=2)(2，),0(+∞∈x当1-≤m 时，即044≤+=∆m 时，0)(≥x g ，0)(≥'x f ，所以函数)(x f 在),0(+∞上单调递增． ………………2分当1->m 时，即044>+=∆m 时，令0)(=x g 得m x +-=111，m x ++=112，21x x <， ………………3分当01<<-m 时，即210x x <<时，在),(),0(21+∞⋃x x 上，0)(>x g ，0)(>'x f ；在),(21x x 上，0)(<x g ，0)(<'x f ．所以函数)(x f 在),(,),0(21+∞x x 上单调递增，在),(21x x 上单调递减．………………4分当0≥m 时，即210x x <<时，在),0(2x 上，0)(<x g ，0)(<'x f ，在),(2+∞x 上，0)(>x g ，0)(>'x f ．所以函数)(x f 在),0(2x 上单调递减，在),(2+∞x 上单调递增． ………………5分综上，当1-≤m 时，函数)(x f 的单调递增区间为),0(+∞；当01<<-m 时，函数)(x f 的单调递增区间为),11(,)11,0(+∞+++-m m ；当0≥m 时，函数)(x f 的单调递增区间为),11(+∞++m ． ………………6分（2）证明：Θ函数)(x f 有两个极值点1x ，2x ，且21x x <，02)(2=--=∴m x x x g 有两个不同的正实根m x +-=111，m x ++=112，⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=+>+=∆∴m x x x x m 21212044，即01<<-m欲证明121)(x x f -<，1ln 22222-<-+∴x x x m x ，即证明1ln 222>-x mx …………8分 2222x x m -=Θ，所以等价于证明1ln 222->-x x 成立.)0,1(-∈m Θ，)2,1(112∈++=∴m x ………………9分设函数x x x h -=ln 2)(，)2,1(∈x ，求导可得12)(-='xx h 易得0)(>'x h 在)2,1(∈x 上恒成立，即)(x h 在)2,1(∈x 上单调递增，1)1()(-=>∴h x h ，即1ln 222->-x x 在)2,1(∈x 上恒成立 ………………11分∴函数)(x f 有两个极值点1x ，2x ，且21x x <，121)(x x f -<． ………………12分 22圆C 的极坐标方程为．，，，圆C 的直角坐标方程为，化为圆的标准方程为 ………………5分设直线l 的参数方程为为参数将l 代入圆C 的直角坐标方程中，化简得，设A ，B 两点所对应的参数分别为，，由韦达定理知，，由，同号又，，由可知或，或，解得，，的普通方程为23.（Ⅰ）所以解集为：. ………………5分(2)所以的取值范围为：. ………………10分精品文档实用文档。