2020届上海市上海中学高三下学期数学综合练习卷
上海市上海中学2020届高三下学期数学综合练习卷5含答案
上海中学高三综合数学试卷052020.04一、填空题1.已知z =复数则z 的虚部为___. 2.若(3,4),a =-r 则与(3,4)a =-r共线的单位向量为___.3.设221,x y +=则x+y 的最小值为____.4.已知矩阵1324106,05170A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭则AB=___. 5.若点55(cos,sin )66M ππ在角α的终边上,则tan2α=____. 6.将函数1y x a=+的图像向左平移一个单位后得到y= f(x)的图像,再将y= f(x)的图像绕原点旋转180°后仍与y= f(x)的图像重合,则a=__.7.已知函数210(),(1)10x x f x f x x ⎧-≤=⎨-+>⎩则方程f(x)=x 在区间(0,10)内所有实根的和为__.8.20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里,要求每个盒子内的球数不小于它的编号数,则不同的放法种数为____.9.已知数列{}{}n n a b 、满足:12,nn n n n a b a a +==+则{}n b 的前n 项和n S =____.10.若对任意实数x,都有1021001210(2)(2)(2),xa a x a x a x =+++++++L 则3a =___.11.在△ABC 中,角A ､B ､C 所对的边为a ､b ､c,已知sin A + sin(B -C)= 2sin2C,abcosC=3,则△ABC 面积的最大值为___.12. 设112233(,),(,),(,)x y x y x y 是平面曲线2224x y x y +=-上任意三点,则12A x y =-212332x y x y x y +-的最小值为___.二、选择题13. 直线121x ty t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)的倾斜角等于( ).6A π.3B π1.arctan 2CD.arctan214. 已知a>0, b>0,若11lim5,n n n nn a b a b ++→∞-=-则a+b 的值不可能是( )A.7B.8C.9D.1015. 已知数列1234a a a a 、、、满足1411111,(1,2,3)22nn n na a a a n a a ++=-=-=,则1a 所有可能的值构成的集合为( )1.[,1]2A ±±B. [±2,±1,]1.[,2,]2C ±±1.[,1,2]2D ±±±16. 若点N 为点M 在平面α上的正投影,则记(),a N f M =如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,记平面11AB C D 为β,平面ABCD 为γ,点P 是棱1CC 上一动点(与C ､1C 不重合),12[()],[()],Q f f P Q f f P γββγ==给出下列三个结论:①线段2PQ 长度的取值范围是12[,]2； ②存在点P 使得1//PQ 平面β; ③存在点P 使得12PQ PQ ⊥； 其中,所有正确结论的序号是( A.①②③B.②③C.①③D.①②三.解答题17.如图,在平面直角坐标系xOy 中, A 为单位圆与x 轴正半轴的交点, P 为单位圆上一点,且∠AOP=α,将点P 沿单位圆按逆时针方向旋转角β后到点Q(a,b),其中2[,].63ππβ∈(1)若点P 的坐标为34π(,),554β=时,求ab 的值; (2),6πα=求22b a -的取值范围.18. 如图所示,直三棱柱111ABC A B C -中,11,AA AB AC ===E ､F 分别是1CC BC 、的中点,11,AE A B ⊥D 为棱11A B 上的点.(1)证明:DF ⊥AE;(2)是否存在一点D,使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为1414？若存在,说明点D 的位置,若不存在,说明理由.19.中国高铁的快速发展给群众出行带来了巨大便利,极大促进了区域经济社会发展,已知某条高铁线路通车后,发车时间间隔t (单位:分钟)满足*525,,t t ≤≤∈N 经测算,高铁的载客量与发车时间间隔t 相关:当20≤t ≤25时高铁为满载状态,载客量为1000人,当5≤t< 20时,载客量会在满载基础上减少,减少的人数与2(20)t -成正比,且发车时间为5分钟时的载客量为100人,记发车间隔时间为t 分钟时,高铁载客量为P(t).(1)求P(t)的表达式;(2)若该线路发车时间间隔t 分钟时的净收入2()()4065020004tQ t P t t t =-+-(元),当发车时间间隔为多少时,单位时间的净收益()Q t t最大.20.如图,曲线L 由曲线22122:1x y C a b +=( a>b>0, y ≤0 )和曲线22222:1x y C a b -=(y>0)组成,其中12F F 、为曲线1C 所在圆锥曲线的焦点,34F F 、为曲线2C 所在圆锥曲线的焦点.(1)若23(2,0)(6,0),F F -、求曲线L 的方程;(2)如图,作直线l 平行于曲线2C 的渐近线,交曲线1C 于点A ､B,求证:弦AB 的中点M 必在曲线2C 的另一条渐近线上;(3)对于(1)中的曲线L,若直线1l 过点4F 交曲线1C 于点C ､D,求1CDF V的面积的最大值.21.已知数列{}n a 的前n 项积为,n T 满足(1)23n n n T -=*(),n ∈N 数列{}n b 的首项为2,且满足*1(1)()n n nb n b n +=+∈N(1)求数列{}{}n n a b 、的通项公式; (2)记集合*1{|(105)},n n n M n a b b n n λ+≤+∈N ,若集合M 的元素个数为2,求实数λ的取值范围;(3)是否存在正整数p ､q ､r,使得12q p q a a a b r a +++=+⋅L 成立?如果存在,请写出p ､q ､r 满足的条件,如果不存在,请说明理由.。
上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷第二学期综合练习高三数学文科1
上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第二学期综合练习高三数学文科第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（1）在复平面内，复数12i z =-对应的点的坐标为（A ）(1,2)（B ）(2,1) （C ）(1,2)-（D ）(2,1)-（2）双曲线2214x y -=的渐近线方程为（A ）12y x =± （B ）y = （C ）2y x =±（D ）y =（3）记函数)(x f 的导函数为)(x f '，若()f x 对应的曲线在点))(,(00x f x 处的切线方程为1y x =-+，则（A ）0()=2f x '（B ）0()=1f x ' （C ）0)(0='x f （D ）0()=1f x '-（4）已知命题p ：直线a ，b 不相交，命题q ：直线a ，b 为异面直线，则p 是q 的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）在区间[0,2]上随机取一个实数x ，则事件“310x -<”发生的概率为（A ）12（B ）13 （C ）14（D ）16（6）执行如图所示的程序框图，若输出的b 的值为4，则图中判断框内①处应填（A ）2（B ）3（C ）4（D ）5（7）设集合1,(,) 1.x y D x y x y ⎧⎫+≥⎧⎪⎪=⎨⎨⎬-≤⎩⎪⎪⎩⎭，则下列命题中正确的是（A ）(,)x y ∀D ∈，20x y -≤（B ）(,)x y ∀D ∈，22x y +≥- （C ）(,)x y ∀D ∈，2x ≥（D ）(,)x y ∃D ∈，1y ≤-（8）某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A ，B 两种菜可供选择．调查资料表明，凡是在星期一选A 种菜的学生，下星期一会有20%改选B 种菜；而选B 种菜的学生，下星期一会有30%改选A 种菜．用n a ，n b 分别表示在第n 个星期的星期一选A 种菜和选B 种菜的学生人数，若1300a =，则+1n a 与n a 的关系可以表示为（A ）111502n n a a +=+（B ）112003n n a a +=+ （C ）113005n n a a +=+（D ）121805n n a a +=+第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2020年上海中学高三下综合卷4
2019-2020年上海中学高三下综合卷04一. 填空题1. 函数()f x 的图像向右平移一个单位长度，所得图像与x y e =关于y 轴对称，则()f x =2. 抽取某老师的某个工作周五天中，收到的信件数分别是10、6、8、5、6，则估计该老师一周收到信件数的方差2s =3. 若直线l 与曲线2cos :12sin x C y θθ=⎧⎨=-+⎩（θ为参数）相交于A 、B 两点，且弦AB 的中点坐标是(1,2)-，则直线l 的倾斜角为4. 设5260126(1)(12)x x a a x a x a x -+=+++⋅⋅⋅+，则2a =5. 把三阶行列式3745210x a x+中元素7的代数余子式记为()f x ，若关于x 的不等式()0f x >的解集为(1,)b -，则实数a b +=6. 不等式22129t a t t +≤≤+在(0,2]t ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是 7. 在平面直角坐标系中，若与点(2,2)A 的距离为1，且与点(,0)B m 的距离为3的直线恰有3条，则实数m 的值为8. 一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个小正四面体，若该小正四面体可以在纸盒内任意转动，则该小正四面体棱长的最大值为9. 给定正整数n 和正常数a ，对于满足2211n a a a ++≤的所有等差数列{}n a ，则12n n a a ++++21n a +⋅⋅⋅+的最大值为10. 已知1x ≥，1y ≥，且2222lg lg lg10lg10x y x y +=+，则lg xy 的最大值为11. 在长方体1111ABCD A B C D -中，其中ABCD 是正方形，1AA AB >，设点A 到直线1B D 的距离和到平面11DCB A 的距离分别为1d 、2d ，则12d d 的取值范围是 12. 在△ABC 中，已知3AC =，sin sin C k A =（2k ≥），则△ABC 的面积的最大值为二. 选择题13. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）A.B. 2 C . 12 D . 12-14. 设函数()y f x =的定义域是R ，对于以下四个命题：（1）若()y f x =是奇函数，则(())y f f x =也是奇函数；（2）若()y f x =是周期函数，则(())y f f x =也是周期函数；（3）若()y f x =是(,)-∞+∞上的单调递减函数，则(())y f f x =也是(,)-∞+∞上单调递减函数；（4）若()y f x =函数存在反函数1()y f x -=，且函数1()()y f x f x -=-有零点，则函数()y f x x =-也有零点；其中正确的命题共有（ ）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个15. 已知函数22()1610f x x x x =++-+，① ()f x 的图像是中心对称图形；② ()f x 的图像是轴对称图形；③ 函数()f x 的值域为[13,)+∞；④ 方程(())110f f x =+有两个解；上述关于函数()f x 的描述正确的是（ ）A . ①③B . ③④C . ②③D . ②④16. 已知平面上四个点1(0,0)A 、2(23,2)A 、3(234,2)A +、4(4,0)A ，设D 是四边形1234A A A A 极其内部的点构成的点的集合，点0P 是四边形对角线的交点，若集合{|S P D =∈0||||,1,2,3,4}i PP PA i ≤=，则集合S 所表示的平面区域的面积为（ ）A . 2B . 4C . 8D . 16三. 解答题17. 已知向量4(cos ,1)OA x =-，4(1,sin 3sin 2)OB x x =+，x ∈R ，()f x OA OB =⋅.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若[0,]2x π∈，求()f x 的最值及相应的x 值.18. 已知三棱锥P ABC -中，PC ⊥底面ABC ，AB BC =，D 、F 分别为AC 、PC 的中点，DE AP ⊥于E .（1）求证：AP ⊥平面BDE ；（2）若:1:2AE EP =，求截面BEF 分三棱锥P ABC -所成的上、下两部分的体积比.19. 有一块形状是顶角为α角的耕地，tan 2α=-（如图，角的两边AM 、AN 足够长），该块土地中P 处有一建筑，经测量，它到土地边界AM 、AN 的距离分别为3千米、5千米，现要过P 修建一条直线公路，在公路与土地边界围成的区域内建一个工业园区，为尽量减少耕地占用，当AB 长为多少千米时，该工业园区的面积最小，最小面积为多少平方千米？20. 已知数列{}n a 中，12a =，23a =，其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+，其中2n ≥，*n ∈N .（1）求证：数列{}n a 为等差数列，并求其通项公式；（2）设2n n n b a -=⋅，n T 为数列{}n b 的前项n 和，求使2n T >的n 的取值范围；（3）设14(1)2n a n n n c λ-=+-⋅，试确定实数λ的值，使得对任意*n ∈N ，1n n c c +>恒成立.21. 设点P 为圆22:4O x y +=上的动点，点Q 为点P 在x 轴上的射影，动点M 满足：12MQ PQ =. （1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设过(3,0)A 且斜率为k 的直线l 与E 交于B 、C ，在E 上是否存在点D ，使OBDC 为平行四边形？若存在，求出k 的值，不存在，说明理由；（3）若ABCD 为E 的内接平行四边形（即A 、B 、C 、D 都在E 上），证明：O 为ABCD 的中心，并进一步求ABCD 面积的最大值.参考答案一. 填空题 1. 11x e + 2. 3.2 3. 4π 4. 305. 16. 1[,1]97. 2± 8. 29.10. 2+ 11. (1,)3 12. 2922k k - 二. 选择题13. C 14. B 15. C 16. B三. 解答题17.（1）T π=；（2）3x π=，min ()2f x =-.18.（1）证明略；（2）1:2.19. 当AB 长5千米时，该工业园区的面积最小，最小面积为15平方千米.20.（1）证明略，1n a n =+；（2）3n ≥，*n ∈N ；（3）1λ=-.21.（1）2214x y +=；（2）8±；（3）4.。
上海市2020〖苏科版〗高三数学复习试卷第二学期高三综合练习数学文科
上海市2020年〖苏科版〗高三数学复习试卷第二学期高三综合练习数学文科创作人：百里第次 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂进行创作单位： 明德智语学校一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1、已知集合{|(1)0,}A x x x x =-<∈R ，{|22,}B x x x =-<<∈R ，那么集合A B是（ ）A ．∅B ．{}|01x x x <<∈R ，C ．{}|22x x x -<<∈R ，D ．{}|21x x x -<<∈R ，2、如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：[)4050，，[)5060，，[)6070，，[)7080，，[)8090，，[]90100，，则图中x的值等于（ ） A ．0.754 B ．0.048C ．0.018D ．0.0123、()2203log 0x f x xx x ⎧-<⎪=⎨⎪+>⎩，，，则()()1f f -等于（ ） A ．2- B ．2 C ．4-D ．44、已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（ ） A ．1 B ．2频率组距0.054x0.0061009080706050400成绩俯视图侧（左）视图正（主）视图C ．3D ．45、已知命题:p x ∀∈R ，()sin πsin x x -=；命题:q α，β均是第一象限的角，且αβ>，则sin sin αβ>．下列命题是真命题的是（ ） A ．p q ∧⌝B ．p q ⌝∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ∧6、已知x ，y 满足11y xx y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≤≥，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47、根据表格中的数据，可以断定函数()3ln f x x x=-的零点所在的区间是（ ）A ．()12，B ．()2e ，C ．()e 3，D ．()35，8、在数列{}n a 中，若对任意的*n ∈N ，都有211n n n na a t a a +++-=（t 为常数），则称数列{}n a 为比等差数列，t 称为比公差．现给出以下命题： ①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；②若数列{}n a 满足122n n a n-=，则数列{}n a 是比等差数列，且比公差12t =； ③若数列{}n c 满足11c =，21c =，12n n n c c c --=+（ ）3n ≥，则该数列不是比等差数列；④若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b 是比等差数列． 其中所有真命题的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①③二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9、已知向量()23a =-，，()1b λ=，，若a b∥，则λ=________．10、各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32a =，425S S =，则1a 的值为________，4S 的值为________．11、阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为25-时，输出x 的值为________．12、在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ， c ，且+2A C B = 若1a =，b =c 的值为________．13、过抛物线24y x =焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若10AB =，则AB 的中点P 到y 轴的距离等于________．14、对定义域的任意x ，若有()1f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的函数，我们称为满足“翻负”变换的函数，下列函数：①1y x x =-，②log 1a y x =+，③,010,11,1x x y x x x⎧⎪<<⎪==⎨⎪⎪->⎩ 其中满足“翻负”变换的函数是________． （写出所有满足条件的函数的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15、（本小题共13分）已知函数)()sin sin f x x x x=-．⑴求()f x 的最小正周期；⑵当2π03x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，求()f x 的取值范围．16、（本小题共13分）用分层抽样方法从高中三个年级的相关人员中抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表：（单位：人）⑴求x ，y ；⑵若从高二、高三年级抽取的人中选2人，求这二人都来自高二年级的概率．17、（本小题共14分）如图，BCD △是等边三角形，AB AD =，90BAD ∠=︒，M ，N ，G 分别是BD ，BC ，AB 的中点，将BCD △沿BD 折叠到BC D '△的位置，使得AD C B'⊥．⑴求证：平面GNM ∥平面ADC '； ⑵求证：C A '⊥平面ABD ．18、（本小题共14分）已知函数()ln a f x x x=+（ ）0a >．19、（本小题共13分）已知椭圆C ：22221x y a b+=（ ）0a b >>的离心率e =，原点到过点()0A a ，，()0B b -，． ⑴求椭圆C 的方程；⑵如果直线1y kx =+（ ）0k ≠交椭圆C 于不同的两点E ，F ，且E ，F 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值．20、（本小题共13分）已知数列{}n a ，11a =，2n n a a =，410n a -=，411n a +=（ ）*n ∈N ． ⑴求4a ，7a ；⑵是否存在正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有n T n a a +=．数学参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）B （2）C （3）D （4）D （5）A （6）C （7）C （8）D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）32- （10）12152（11）4 （12）3π2 （13）4 （14）①③注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（共13分） 解：（Ⅰ）因为()sin sin )f x x x x =-=21cos 2sin )2x x x -1sin(2)62x π=+-．所以()f x 的最小正周期2T π==π2．（Ⅱ） 因为203x π<<，所以32662x πππ<+<．所以()f x 的取值范围是31(,]22-． ………………………………13分（16）（共13分） 解：（Ⅰ）由题意可得2992718x y ==，所以11x =，3y =． （Ⅱ）记从高二年级抽取的3人为1b ，2b ，3b ，从高三年级抽取的2人为1c ，2c ，则从这两个年级中抽取的5人中选2人的基本事件有：12(,)b b ，13(,)b b ，11(,)b c ，12(,)b c ，23(,)b b ，21(,)b c ，22(,)b c ，31(,)b c ，32(,)b c ，12(,)c c 共10种． ……8分设选中的2人都来自高二的事件为A ，则A 包含的基本事件有：12(,)b b ，13(,)b b ，23(,)b b 共3种． 因此3()0.310P A ==．故选中的2人都来自高二的概率为0.3． ………………………………………13分（17）（共14分）证明：（Ⅰ）因为M ，N 分别是BD ，'BC 的中点， 所以//MN DC '． 因为MN ⊄平面ADC '，DC '⊂平面ADC '，所以//MN 平面ADC '． 同理//NG 平面ADC '． 又因为MN NG N =， 所以平面//GNM 平面ADC '．（Ⅱ）因为90BAD ∠=， 所以AD AB ⊥．又因为'AD C B ⊥，且'AB C B B =，所以AD ⊥平面'C AB ． 因为'C A ⊂平面'C AB ， 所以'AD C A ⊥．因为△BCD 是等边三角形，AB AD =，不防设1AB =，则BC CD BD ===可得1C A '=．由勾股定理的逆定理，可得'AB C A ⊥．A BCDMNG因为AB AD A =， 所以'C A ⊥平面ABD ． (14)分（18）（共14分）解:(Ⅰ)()ln af x x x =+，定义域为(0,)+∞,则|221()a x a f x x x x -=-=．因为0a >,由()0,f x '>得(,)x a ∈+∞, 由()0,f x '<得(0,)x a ∈， 所以()f x 的单调递增区间为(,)a +∞ ,单调递减区间为(0,)a ． (Ⅱ)由题意，以00(,)P x y 为切点的切线的斜率k 满足00201()2x a k f x x -'==≤0(30)x >>，所以20012a x x ≥-+对030x >>恒成立．又当00x >时,200311222x x -<-+≤,（19）（共13分）解(Ⅰ)因为2c a =，222a b c -=，所以 2a b =．因为原点到直线AB ：1x y a b -=的距离5d ==，解得4a =，2b =．故所求椭圆C 的方程为221164x y+=．(Ⅱ) 由题意221,1164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得 22(14)8120k x kx ++-=．可知0∆>．设11(,)E x y ，22(,)F x y ，EF 的中点是(,)M M M x y ， 则1224214M x x kx k +-==+，21114M M y kx k =+=+．所以21M BM M y k x k +==-．所以20M M x ky k ++=．即 224201414k k k k k -++=++．又因为0k ≠， 所以218k =．所以k =．………………………………13分（20）（共13分）解：（Ⅰ）4211a a a ===；74210a a ⨯-==．（Ⅱ）假设存在正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有n T n a a +=． 则存在无数个正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有n T n a a +=． 设T 为其中最小的正整数．若T 为奇数，设21T t =-（ ）*t ∈N ， 则41414124()10n n T n T n t a a a a ++++++-====． 与已知411n a +=矛盾．若T 为偶数，设2T t =（ ）*t ∈N ， 则22n T n n a a a +==，而222n T n t n t a a a +++==从而n t n a a +=．而t T <，与T 为其中最小的正整数矛盾． 综上，不存在正整数T，使得对任意的*n ∈N ，有n T n a a +=．…………13分。
2020届上海市上海中学高三下学期数学综合练习卷6
绝密★启用前上海中学高三综合数学试卷注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一.填空题1.不等式13x x+<的解为____ 2.函数2()(2f x x x =<-)的反函数是____3.已知b+i ､2-ai(a,b ∈R)是实系数一元二次方程20x px q ++=的两根,则q=____4.将一个底面半径为4,高为2的圆锥锻造成一个球体,则此球体的表面积为____5.以3122012-⎛⎫ ⎪⎝⎭为增广“矩阵的二元一次方程组的解为x ､y,则x ､y 这两个数的等比中项为____ 6.3名男生､3名女生和2位老师站成一排拍合照,要求2位老师必须站在正中间,队伍左右两端不能同时是一男生和一女生,则总共有____种排法.7.已知函数f(2(),(),x x g x ax x ==-其中a>0,若对任意m ∈[1,2]都存在n ∈[1,2]使得f(m)f(n)=g(m)g(n)成立,则实数a 的取值集合为___.8.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆22:()(3)4,M x a y a -++-=过原点的动直线l 与圆M 交于A ､B 两点,若以线段AB 为直径的圆,与以M 为圆心､MO 为半径的圆始终无公共点,则实数a 的取值范围是____. 9.已知正数x ､y ､z 满足2221,x y z ++=则1z xyz+的最小值为__. 10.已知向量a b r r 、满足:|2||3|2,a b a b -=+=r r r r 则a b ⋅r r 的取值范围是___. 11.已知△ABC 的面积为1,若BC=1,则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时,sinA=___.12.如图,已知正四面体ABCD 的棱长为2,棱AD 与平面α所成角[,],32ππθ∈且顶点A 在平面α内,点B ､C ､D 均在平面α外,则棱BC 的中点E 到平面α的距离的取值范围是___.二.选择题13.已知集合,2{|20}A x x x =∈-++≥N ,则满足条件A ∪B=A 的集合B 的个数为()A.4B.7C.8D.16 14.已知函数()2sin()(4f x x πω=+ω>0)的图像在区间(0,1]上恰好有三个最高点,则ω的取值范围是() 1927.[,)44A ππ 913.[,)22B ππ 1725.[,)44C ππ D.[4π,6π)15.已知a ､b 为实数,则“不等式|ax+b|≤1对所有满足|x|≤1都成立”是“|a|≤1且|b|≤1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件16.已知数列{}n a 的通项为:*,,(1)(21)(1)n nx a n x x nx =∈+++L N 若1220201a a a +++L ＜,则实数x 可以等于() 2.3A - 5.12B - 13.48C - 11.60D - 三.解答题 17.已知圆柱1OO 的底面半径为1,高为π,ABCD 为圆柱的一个轴截面,动点M 从点B 出发沿着圆柱的侧面到达点D,其路径最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示,将轴截面ABCD 绕着1OO 轴逆时针旋转θ后,边11B C 与曲线T 交于点P.(1)求曲线Γ的长度;(2)当2πθ=时,求点1C 到平面APB 的距离.18.已知12()log f x x =,当点M(x,y)在y=f(x)的图像上运动时,点N(x-2,ny)在函()n y g x =的图像上运动*()n ∈N .(1)求()n y g x =的解析式;(2)若方程12()(2)g x g x a =-+有实根,求实数a 的取值范围.19.某地火山喷发停止后,为测量的需要,设距离喷口中心50米内的圆面为第1区,50米至100米的圆环面为第2区,…，第50(n-1)米至50n 米的圆环面为第n 区,…，现测得第1区火山灰平均每平方米为1000kg,第2区为平方米的平均重量较第1区减少2%,第3区又较第2区减少2%,以此类推,求:(1)求离火山口1225米处的圆环面平均每平方米的火山灰重量(精确到1kg);(2)第几区内的火山灰总重量最大?20.已知椭圆C:22 221x ya b+=(a>b>0)过点2(1,),2离心率为2,2点A､B分别是椭圆C的上､下顶点,点M是椭圆C上异于A､B的一点.(1)求椭圆C的方程;(2)若点P在直线x-y+2=0上,且3,BP BM=u u u r u u u u r求△PMA的面积;(3)过点M作斜率为k的直线分别交椭圆C于另一点N,交y轴于点D,且点D在线段OA上(不包括端点),直线NA与直线BM交于点P,求OD OP⋅u u u r u u u r的值.21.已知a为正实数,n为自然数,抛物线22nay x=-+与x轴正半轴交于点A,设直线l过点A且在y轴上的截距为f(n),已知直线l与抛物线仅有一个交点.(1)用a和n表示f(n);(2)若对所有正整数n都有33()1()11f n nf n n-≥++成立,求a的最小值;(3)当0<a<1时,试比较11()(2)nkf k f k=-∑与27(1)(1)4(0)(1)f f nf f-+⋅-的大小,并说明理由.。
上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷模拟试题五及答案
上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷模拟试题五及答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)设全集}7,5,3,1{=U ，集合,|},5|,1{U M a M ⊆-=M C U =}7,5{，则a 的值为（ ） A ．2或8- B ．8-或－2 C ．－2或8 D ．2或8 (2)复数4312i i++的实部是（ ）A ．-2B ．2C ．3D ．4(3) “sin x ＝1”是 “cos x ＝0”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 (4) 在等比数列{a n }中，若a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＝16，则a 8＋a 9＝(A) 128 (B) －128 (C) 256 (D) －256(5)1-=m 是直线03301)12(=++=+-+my x y m mx 和直线垂直的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 (6)设F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0) 的焦点, 点A 是抛物线与双曲线C 2：22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的一个公共点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为2(7) 函数axxxxf+--=93)(23（）A．0>a B．0<a C．3010<<-a D．275<<-a(8) 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S(A) 1 (B)12(C)14(D)18(9) 若实数a，b，c，满足对任意实数x，y有 x＋2y－3≤ax＋by＋c≤x＋2y＋3，则a＋2b－3c的最小值为(A) －6 (B) －4 (C) －2 (D)0(10) 设U为全集，对集合X，Y*”，X*Y＝(X∩Y)．对于任意集合X，Y，Z，则 ( X*Y)*Z＝(A) (X Y)∩Z X∩Y Z X Y )∩Z(D) ( X∩Y )∪Z二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。
上海市普陀区2020年度第二学期高三年级质量调研数学试题(文理科)
上海市普陀区2020年第二学期高三年级质量调研 数学试卷 （文科） 2020.05说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。
本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须．．写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
一、填空题（本大题满分60分）本大题共有12小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得5分，填错或不填在正确的位置一律得零分. 1．若复数2z i i =+（i 是虚数单位），则||z = . 2. 不等式231x ->的解集为 .3. 已知函数)10(log 1)(≠>+=a a x x f a 且 ，)(1x f -是)(x f 的反函数，若)(1x fy -=的图像过点(3,4)，则a = .4. 用金属薄板制作一个直径为0.2米，长为3米的圆柱形通风管.若不计损耗，则需要原材料平方米（保留3位小数）. 5. 关于x 、y 的二元线性方程组25,32x my nx y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛110301，则x y += . 6. 设1e r 、2e r 是平面内一组基向量，且122a e e =+r r r 、12b e e =-+r r r ，则向量12e e +r r可以表示为另一组基向量a r 、b r 的线性组合，即12e e +=r ra +rb r .7. 右图是某算法的程序框图，该算法可表示分段函数，则其输出的结果所表示的分段函数为()f x = .8. 已知非负实数x 、y 满足不等式组3,2,x y x y +≤⎧⎨-≤⎩则目标函数2z x y =+的最大值为 .9. 正方体骰子六个表面分别刻有1~6的点数. 现同时掷了两枚骰子，则得到的点数之和大于10的概率为 .10. 设联结双曲线22221x y a b -=与22221y x b a-=（0a >，0b >）的4个顶点的四边形面积为1S ，联结其4个焦点的四边形面积为2S ，则12S S 的最大值为 . 11.将函数sin ()cos xf x x=的图像向左平移a （0a >）个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则a 的最小值为 .12. 已知数列{}n a 是首项为a 、公差为1的等差数列，数列{}n b 满足1nn na b a +=.若对任意的*N n ∈,都有8n b b ≥成立,则实数a 的取值范围是 .二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.13. 以下向量中，能成为以行列式形式表示的直线方程10121011xy =的一个法向量的是（ ）A ． ()1,2n =-r ； B. ()2,1n =-r ； C. ()1,2n =--r ; D. ()2,1n =r. 14. 若*Nn ∈，(1nn n b =+（n a 、n b Z ∈），则55a b +=（ ）A. 32；B. 50;C. 70;D. 120. 15. 在△ABC 中，“C B A sin sin 2cos =”是“△ABC 为钝角三角形”的 （ ）A ．必要非充分条件；B ．充分非必要条件；C ．充要条件；D ．既非充分又非必要条件.16. 现有两个命题：（1） 若lg lg lg()x y x y +=+，且不等式2y x t >-+恒成立，则t 的取值范围是集合P ； （2） 若函数()1xf x x =-，()1,x ∈+∞的图像与函数()2g x x t =-+的图像没有交点，则t 的取值范围是集合Q ；则以下集合关系正确的是（ ）A ． P Q Ü； B. Q P Ü； C. P Q =； D. P Q =∅I .三、解答题（本大题满分74分）本大题共有6题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.17. （本题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，314a =. 对任意*N n ∈，向量()1,n a a =r、11,2n b a +⎛⎫= ⎪⎝⎭r 都满足a b ⊥r r ，求lim n n S →∞.18. （本题满分14分）已知复数1cos z x i =+，21sin z x i =+⋅（i 是虚数单位），且12z z -=当实数()2,2x ππ∈-时，试用列举法表示满足条件的x 的取值集合P .19.（本题满分14分）如图，圆锥体是由直角三角形AOC 绕直角边AO 所在直线旋转一周所得，2OC =.设点B 为圆锥体底面圆周上一点，60BOC ∠=︒，且ABC △的面积为3. 求该圆锥体的体积.20. （本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD 是矩形，其中2AB =米，0.5BC =米.上部CmD 是个半圆，固定点E 为CD 的中点.EMN △是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆（MN 和AB DC 、不重合）. （1）当MN 和AB 之间的距离为1米时，求此时三角通风窗EMN 的通风面积； （2）设MN 与AB 之间的距离为x 米，试将三角通风窗EMN 的通风面积S（平方米）表C第19题图示成关于x 的函数()S f x =；（3）当MN 与AB 之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN 的通风面积最大？并求出这个最大面积.21. （本题满分18分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分）已知等轴双曲线222:C x y a -=（0a >）的右焦点为F ，O 为坐标原点. 过F 作一条渐近线的垂线FP 且垂足为P，OP =u u u r（1）求等轴双曲线C 的方程；（2）假设过点F 且方向向量为()1,2d =r的直线l 交双曲线C 于A 、B 两点，求OA OB ⋅u u u r u u u r 的值； （3）假设过点F 的动直线l 与双曲线C 交于M 、N 两点，试问：在x 轴上是否存在定点P ，使得PM PN ⋅u u u u r u u u r为常数.若存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．C DNC图（2）第20题图上海市普陀区2020年第二学期高三年级质量调研 数学试卷 （理科） 2020.05说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。
上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷第二学期综合练习高三数学文科
上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第二学期综合练习高三数学文科第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合{12}A x x =∈+≥R ，集合{2,1,0,1,2}--，则A B =（A ）{2}（B ）{1,2}（C ）{0,1,2}（D ）{1,0,1,2}-解析：根据集合的基本运算性质答案为B 。
知识点;集合与常用逻辑用语--------集合的运算 难度系数：1（2）在复平面内，复数21i-对应的点位于 （A ）第一象限（B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限 解析：22(1)11i (1)(1)_i i i i +==+--+，所以对应的点在第一象限。
知识点;推理与证明、数系的扩充与复数--------复数---复数乘除和乘方难度系数：2（3出的结果为0时，输入的x 值为 （A ）2或2-（B ）1-或2- （C ）1或2- （D ）2或1-解析：本程序相当于以分段函数221;02;0x x y x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，y=0，x=1或2-，答案为C 。
知识点;算法与框图--------算法和程序框图 难度系数：2（4）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若6726a a =+，则9S 的值是 （A ）18（B ）36（C ）54（D ）72解析：67555262()626a a a d a d a =+∴+=++∴=，195992=9=5422a a a S +⨯=⨯（）随意答案C 。
知识点;数列---------等差数列 难度系数：2（5）已知tan =2α，那么sin 2α的值是（A ）45-（B ）45（C ）35-（D ）35解析：tan =2α，α在逸散象限，4sin 2=2sin cos 2555αα•α=⨯=，所以答案B 。
知识点;三角函数--------三角函数--------同角三角函数的基本关系式；三角函数----恒等变换--------倍角公式难度系数：2（6）已知函数)(x f 在[0，+∞]上是增函数，()(||)g x f x =，若),1()(lg g x g >则x 的取值范围是（A ）(0,10)（B ）(10,)+∞ （C ）1(,10)10（D ）1(0,)(10,)10+∞ 解析;10,()()(),lg 1,10;0,()()(),lg 1,010x f x f x g x x x x f x f x g x x x >==>><=-=-><<,所以x 的范围1(0,)(10,)10+∞Z 知识点：函数与导数------基本初等函数与应用----------对数与对数函数；函数与导数---------函数-------------函数的单调性难度系数;3（7）已知点(2,0)A ，(2,4)B -，(5,8)C ，若线段AB 和CD 有相同的垂直平分线，则点D 的坐标是（A ）(6,7)（B ）(7,6) （C ）(5,4)--（D ）(4,5)--解析：AB 的中点坐标(0,2)，AB 的垂直平分线方程为y=x+2，设815(,)(6,7)58222y x D x y D x y -⎧=-⎪⎪-∴⎨++⎪+=⎪⎩知识点：解析几何--------直线-------两直线的位置关系 难度系数：3 （8）对任意实数a，b 定义运算“⊙”：,1,,1,b a b a b a a b -≥⎧=⎨-<⎩设2()(1)(4)f x x x k=-++，若函数()f x 的图象与x 轴恰有三个交点，则k 的取值范围是（A ）(2,1)-（B ）[0,1] （C ）[2,0)-（D ）[2,1)- 解析：22224;(1)(4)1()(1)(4)1(1)(4)1x k x x f x x x k x k x x ⎧++--+≥⎪=-++=⎨-+--+<⎪⎩，；，方法一：去特殊值验证答案。
2020年上海中学高考数学综合测试试卷(2)(4月份)(附答案详解)
2020年上海中学高考数学综合测试试卷（2）（4月份）一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1. 若函数f(x)在区间[−2,2]上的图象是一条连续不断的曲线，且函数f(x)在(−2,2)上仅有一个零点，则f(−2)⋅f(2)的符号是( )A. 小于零B. 大于零C. 小于或大于零D. 不能确定2. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实(虚)线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A. 64B. 643 C. 16 D. 1633. 矩阵的一种运算(a b cd)(y x)=(cx +dy ax+by )，该运算的几何意义为平面上的点(x,y)在矩阵(a bcd)作用下变换成点(ax +by,cx +dy)，若曲线x 2+4xy +2y 2=1，在矩阵(1a b 1)的作用下变换成曲线x 2−2y 2=1，则a +b 的值为( ) A. −2 B. 2 C. ±2 D. −44. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等，已知曲线C ：y =x 2，直线l 为曲线C 在点(1,1)处的切线．如图所示，阴影部分为曲线C 、直线l 以及x 轴所围成的平面图形，记该平面图形绕y 轴旋转一周所得到的几何体为Γ.给出以下四个几何体图①是底面直径和高均为1的圆锥；图②是将底面直径和高均为1的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体；图③是底面边长和高均为1的正四棱锥；图④是将上底面直径为2，下底面直径为1，高为1的圆台挖掉一个底面直径为2，高为1的倒置圆锥得到的几何体．根据祖暅原理，以上四个几何体中与Γ的体积相等的是( )A. ①B. ②C. ③D. ④二、单空题（本大题共12小题，共60.0分）5. 设集合A ={x|x =√3k +1,k ∈N}，B ={x|x ≤5,x ∈Q}，则A ∩B =______．6. 若复数z 满足(3−4i)z =|4+3i|，则z 的虚部为______．7. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =4x 2的焦点到准线的距离为______． 8. 若x 1，x 2，⋯，x 2020的平均数为4，标准差为3，且y i =−3(x i −2)，i =1，2，⋯，2020，则新数据y 1，y 2，⋯，y 2020的标准差为______．9. (2+x)n 的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则(2+x)n 的展开式中倒数第4项的系数为______．10. 某几何体的一条棱长为2，在该几何体的主视图中，这条棱的投影是长为√3的线段，在左视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则2a +b 的最大值为______．11. 已知函数f(x)={(3−a)x −3 (x ≤7)a x−6 (x >7)，数列a n 满足a n =f(n)(n ∈N ∗)，且a n 是递增数列，则实数a 的取值范围是______．12. 三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是______(结果用最简分数表示)． 13. 当x ∈[0,2]时，函数f(x)=ax 2+4(a −1)x −3在x =2时取得最大值，则实数a的取值范围是______ ．14. 若存在实数a 、b 使得直线ax +by =1与线段AB(其中A(1,0)，B(2,1))只有一个公共点，且不等式1sin 2θ+pcos 2θ≥20(a 2+b 2)对于任意θ∈(0,π2)成立，则正实数p 的取值范围为______．15. 设直线l 与抛物线y 2=4x 相交于A 、B 两点，与圆(x −5)2+y 2=r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条．则r 的取值范围是______． 16. 已知锐角的三个内角的余弦值分别等于钝角的三个内角的正弦值，其中A 2>π2，若|B 2C 2|=1，则2√2|A 2B 2|+3|A 2C 2|的最大值为 ． 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足：2√3asinCsinB =asinA +bsinB −csinC ．(1)求角C的大小；−B)=bcos(2kπ+A)(k∈Z)且a=2，求△ABC的面积．(2)若acos(π218.如图，四棱锥S−ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a，点E是SD上的点，且DE=λ(0<λ≤1)．(1)求证：对任意的λ∈(0,1]，都有AC⊥BE；(2)若二面角C−AE−D的大小为60°，求λ的值．19.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设关系：C(x)=k3x+5f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(Ⅰ)求k的值及f(x)的表达式．(Ⅱ)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．20.已知椭圆Γ：a2b2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O为坐标原点：(1)求椭圆Г的方程：(2)设点A在椭圆Г上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求证：1OA2+1OB2为定值：(3)设点C在Γ上运动，OC⊥OD，且点O到直线CD距离为常数d(0<d<2)，求动点D的轨迹方程：21.数列{a n}的各项均为正数，a1=t，k∈N∗，k≥1，p>0，a n+a n+1+a n+2+⋯+a n+k=6p n(1)当k=1，p=5时，若数列{a n}是成等比数列，求t的值；(2)当t=1，k=1时，设T n=a1+a2p +a3p2+⋯+a n−1p n−1+a np n−1，参照高二教材书上推导等比数列前n项求和公式的推导方法，求证：数列1+ppT n−a np n−6n是一个常数；(3)设数列{a n}是一个等比数列，求t(用p，k的代数式表示)．答案和解析1.【答案】D【解析】解：当f(x)=x 时，f(−2)⋅f(2)<0， 当f(x)=x 2时，f(−2)⋅f(2)>0， 当f(x)=sin(π2x)时，f(−2)⋅f(2)=0， 故选：D ．由题意举例f(x)=x ，f(x)=x 2，f(x)=sin(π2x)，从而解得． 本题考查了函数的零点的判定定理的应用．2.【答案】D【解析】 【分析】本题考查三视图求几何体的体积，结合三视图和对应的正方体复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．根据三视图知几何体是三棱锥、为棱长为4的正方体一部分，画出直观图，由正方体的性质判断出线面位置关系、求出底面的面积，由椎体的体积公式求出该多面体的体积． 【解答】解：根据三视图知几何体是：三棱锥D −ABC 、为棱长为4的正方体一部分， 直观图如图所示：B 是棱的中点， 由正方体的性质得，CD ⊥平面ABC ， △ABC 的面积S =12×2×4=4， 所以该多面体的体积V =13×4×4=163，故选：D ．3.【答案】B【解析】解：设(x,y)是曲线x 2+4xy +2y 2=1的点，在矩阵(1a b 1)的作用下的点为(x′,y′)，即{x′=x +ay y′=bx +y，又x′2−2y′2=1， ∴(x +ay)2−2(bx +y)2=1，(1−2b 2)x 2+(2a −4b)xy +(a 2−2)y 2=1． 故{1−2b =12a −4b =4a 2−2=2，解得：a =2，b =0， ∴a +b =2． 故选：B ．设(x,y)是曲线x 2+4xy +2y 2=1的点，在矩阵(abc d)的作用下的点为(x′,y′)，得出关于a ，b 的方程组，从而解决问题．本题主要考查几种特殊的矩阵变换、曲线与方程等基础知识，考查运算求解能力，解答的关键是利用待定系数法求解a ，b ；属于基础题．4.【答案】A【解析】解：设直线y =t ，与y =x 2交于(√t,t)，0≤t ≤1， 切线的斜率为2，切线方程为y =2x −1， y =t 与y =2x −1交于(t+12,t)，用平行于底面的平面截几何体Γ所得的截面为圆环， 截面面积为π(t 2+2t+14−t)=π⋅(t−1)24，对于图①，用一个平行于底面的平面截该几何体，得到圆的截面， 且圆的半径为12(t −1)，可得截面面积为π⋅(t−1)24，符合题意；对于图②，用一个平行于底面的平面截该几何体，得到一个圆环， 截面积为大圆面积去掉一个小圆面积，且面积为14π−14πt 2，不符合题意； 对于图③，用一个平行于底面的平面截该几何体，得到正方形截面，不符合题意； 对于图④，用一个平行于底面的平面截该几何体，得到一个圆环， 且面积为π⋅(t+12)2−πt 2=π(1−t)(1+3t)4，不符合题意．综上可得四个几何体中与Γ的体积相等的是图①． 故选：A ．求得切线方程，设直线y =t ，求得与切线的交点和抛物线的交点，可得截面面积，分别用平行于下底面且距离为t 的平面截四个几何体，求得截面面积，由祖暅原理，可得结论．本题考查祖暅原理的理解和运用，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．5.【答案】{1,2，4，5}【解析】解：∵A={x|x=√3k+1,k∈N}，B={x|x≤5,x∈Q}，∴A∩B={1,2，4，5}．故答案为：{1,2，4，5}．进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．6.【答案】45【解析】解：∵|4+3i|=√42+32=5．由(3−4i)z=|4+3i|，得(3−4i)z=5，即z=53−4i =5(3+4i)(3−4i)(3+4i)=5(3+4i)25=35+45i．∴z的虚部为45．故答案为：45．首先求出|4+3i|，代入后直接利用复数的除法运算求解．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．7.【答案】18【解析】解：抛物线y=4x2的焦点到其准线的距离为：p=18．故答案为：18．利用抛物线方程求出p，即可得到结果．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．8.【答案】9【解析】解：∵x1，x2，⋯，x2020的标准差为3，∴x1，x2，⋯，x2020方差为9，∵y i=−3(x i−2)，i=1，2，⋯，2020，∴新数据y1，y2，⋯，y2020的方差为(−3)2×9=81，即标准差为√81=9．故答案为：9．根据已知条件，结合方差的线性公式，即可求解．本题主要考查了方差的线性公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．9.【答案】280【解析】【分析】本题考查二项式定理，考查二项式展开式的通项公式，是基础题．由已知求得n=7，求出展开式的第5项得答案．【解答】解：由展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，得C n2=C n5，得n=7．∴(2+x)n=(2+x)7，(2+x)7的展开式中倒数第4项为T5=C74⋅23⋅x4=280x4．∴展开式中倒数第4项的系数为280．故答案为：280．10.【答案】5【解析】解：根据题意，将已知中的棱和它在三视图中的投影扩展为长方体，三视图中的三个投影，是三个面对角线，则设长方体的长为x，高为y，宽为z，所以x2+y2+z2=4，x2+y2=3，y2+z2=a2，x2+z2=b2，变形，可得a 2+b 2=5，设a =√5cosθ，b =√5sinθ，(0<θ<π2)，则2a +b =2√5cosθ+√5sinθ=5sin(θ+α)(其中tanα=2)， 当tanθ=12，即a =2b =1时，2a +b 取得最大值，且其最大值为5． 故答案为：5．根据题意，将棱和它在三视图中的投影扩展为长方体，则三视图中的三个投影，是三个面的对角线；设出长宽高，分析可得a 2+b 2=5，再设a =√5cosθ，b =√5sinθ，则有2a +b =2√5cosθ+√5sinθ，由此可得答案．本题考查几何体的三视图，涉及三角函数的恒等变形，属于基础题．11.【答案】(2,3)【解析】解：∵数列{a n }是递增数列， 又∵f(x)={(3−a)x −3 (x ≤7)a x−6 (x >7)a n =f(n)(n ∈N ∗)， ∴1<a <3且f(7)<f(8)∴7(3−a)−3<a 2解得a <−9，或a >2 故实数a 的取值范围是(2,3) 故答案为：(2,3)由函数f(x)={(3−a)x −3 (x ≤7)a x−6 (x >7)，数列a n 满足a n =f(n)(n ∈N ∗)，且a n 是递增数列，我们易得函数f(x)={(3−a)x −3 (x ≤7)a x−6 (x >7)为增函数，根据分段函数的性质，我们可得函数在各段上均为增函数，根据一次函数和指数函数单调性，我们易得a >1，且3−a >0，且f(7)<f(8)，由此构造一个关于参数a 的不等式组，解不等式组即可得到结论． 本题考查的知识点是分段函数，其中根据分段函数中自变量n ∈N ∗时，对应数列为递增数列，得到函数在两个段上均为增函数，且f(7)<f(8)，从而构造出关于变量a 的不等式是解答本题的关键．12.【答案】23【解析】解：每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球，三个同学共有3×3×3=27种，有且仅有两人选择的项目完全相同有C32×C31×C21=18种，其中C32表示3个同学中选2个同学选择的项目，C31表示从三种组合中选一个，C21表示剩下的一个同学有2种选择，故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是1827=23，故答案为：23．先求出三个同学选择的所求种数，然后求出有且仅有两人选择的项目完全相同的种数，最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可．本题主要考查了古典概型及其概率计算公式，解题的关键求出有且仅有两人选择的项目完全相同的个数，属于基础题．13.【答案】[23,+∞)【解析】解：对称轴为x=2−2aa，1)当a>0时，要使x=2时候取得最大值，则2−2aa ≤1，解得a≥23，2)当a=0时，f(x)=−4x−3，x=0时候取得最大值，不符合题意，3)当a<0时，要使x=2时候取得最大值，则2−2aa ≥2，a≥12，与a<0相悖．综上所述a的取值范围为[23,+∞)．故答案为：[23,+∞)．分a>0，a=0，a<0三种情况进行讨论，然后根据x的范围结合图象进行求解．本题考查二次函数的图象和性质，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．14.【答案】[1,+∞)【解析】解：∵直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，∴点A(1,0)，B(2,1)在直线ax+by=1的两侧，∴(a−1)(2a+b−1)≤0，即{a −1≤02a +b −1≥0，或{a −1≥02a +b −1≤0； 画出它们表示的平面区域，如图所示．a 2+b 2表示原点到区域内的点的距离的平方，由图可知，当原点O 到直线2x +y −1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，∵d min =1√5那么a 2+b 2的最小值为：d 2=15．由于存在实数a 、b 使得不等式1sin 2θ+pcos 2θ≥20(a 2+b 2)对于任意θ∈(0,π2)成立， ∴(1sin 2θ+pcos 2θ)min ≥20(a 2+b 2)min =4， ∵θ∈(0,π2)，∴sinθ，cosθ∈(0,1)．∴1sin 2θ+pcos 2θ=(sin 2θ+cos 2θ)(1sin 2θ+pcos 2θ)=1+p +cos 2θsin 2θ+psin 2θcos 2θ≥1+p +2√cos 2θsin 2θ⋅psin 2θcos 2θ=1+p +2√p ，当且仅当tan 2θ=√p时取等号．∴1+p +2√p ≥4，p >0，解得1≤p ． ∴tanθ=1，即θ=π4时取等号． 故答案为：[1,+∞)．直线ax +by =1与线段AB 有一个公共点，可知：点A(1,0)，B(2,1)在直线ax +by =1的两侧，因此(a −1)(2a +b −1)≤0.画出它们表示的平面区域，如图所示．由图可知，当原点O 到直线2x +y −1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，可得d min =√5由于存在实数a 、b 使得不等式1sin 2θ+pcos 2θ≥20(a 2+b 2)对于任意θ∈(0,π2)成立，可得(1sin2θ+pcos2θ)min≥20(a2+b2)min=4，再利用基本不等式的性质即可得出答案．本题考查了函数图象与性质、线性规划有关知识、三角函数基本关系式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．15.【答案】2<r<4【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(x0,y0)，斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，相减得(y1+y2)(y1−y2)=4(x1−x2)，当l的斜率存在时，利用点差法可得ky0=2，因为直线与圆相切，所以y0x0−5=−1k，所以x0=3，即M的轨迹是直线x=3．将x=3代入y2=4x，得y2=12，∴−2√3<y0<2√3，∵M在圆上，∴(x0−5)2+y02=r2，∴r2=y02+4≤12+4=16，∵直线l恰有4条，∴y0≠0，∴4<r2<16，故2<r<4时，直线l有2条；斜率不存在时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，2<r<4，故答案为：2<r<4．先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2√3，所以交点与圆心(5,0)的距离为4，即可得出结论．本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题16.【答案】√10【解析】 【分析】本题主要考查了诱导公式，三角形内角和定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质的综合应用，考查了转化思想，属于中档题． 由已知结合诱导公式，三角形内角和定理可解得A 2=3π4，由正弦定理可得b 2=√2sinB 2，c 2=√2sin(π4−B 2)，利用三角函数恒等变换的应用化简所求，利用正弦函数的性质可求最大值． 【解答】解：∵锐角△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于钝角△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值， ∴不妨设：cosA 1=sinA 2，cosB 1=sinB 2，cosC 1=sinC 2， 又A 2>π2，为钝角，则B 2，C 2为锐角，结合诱导公式可知：A 2=A 1+90°，B 2=90°−B 1，C 2=90°−C 1， 由三角形内角和定理可得：A 2+B 2+C 2=180°， 解得：A 1=π4.A 2=3π4，∵|B 2C 2|=1， ∴由正弦定理可得：c 2sin(π4−B 2)=b 2sinB 2=√22=√2，可得：b 2=√2sinB 2，c 2=√2sin(π4−B 2)， ∴2√2|A 2B 2|+3|A 2C 2|=2√2c 2+3b 2=4√2sin(π4−B 2)+3√2sinB 2=4(√22cosB 2−√22sinB 2)+3√2sinB 2=2√2cosB 2+√2sinB 2 =√10sin(B 2+φ)≤√10，故答案为：√10．17.【答案】解：(1)2√3asinCsinB =asinA +bsinB −csinC ．∴由正弦定理a 2+b 2−c 2=2√3absinC 即cosC =a 2+b 2−c 22ab =2√3absinC2ab=√3sinC ，即tanC =sinCcosC =√3sinC=√33， 则C =π6，(2)∵acos(π2−B)=bcos(2kπ+A)(k ∈Z)，∴asinB =bcosA ， 即sinAsinB =sinBcosA ， ∵sinB ≠0，∴sinA =cosA ，即tanA =1， 则A =π4，B =π−π6−π4， ∵a =2， ∴asin π4=csin π6得2√22=c12，得c =√2，则三角形的面积S =12acsinB =12×2×√2sin(π6+π4)=√2(12×√22+√32×√22)=1+√32．【解析】(1)利用正弦定理，余弦定理建立方程关系进行求解即可．(2)根据条件求出A 的大小，结合正弦定理求出c 的值，结合三角形的面积公式进行计算即可．本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理余弦定理以及三角形的面积，两角和差的正弦公式进行转化求解是解决本题的关键．考查学生的计算能力．18.【答案】解：以D 为原点，DA ，DC ，DS 的方向分别作为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0,0，0)，A(a,0，0)，B(a,a ，0)，C(0,a ，0)，E(0,0，λa)， (1)证明：∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,a ，0)， BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,−a,λa)，EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,0，−λa)，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,a ，−λa)． ∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,a ，0)⋅(−a ，−a ，λa) =a 2−a 2+0⋅λa =0，即对任意的λ∈(0,1]，都有AC ⊥BE ． (2)DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,a ，0)为平面ADE 的一个法向量． 设平面ACE 的一个法向量为n ⃗ =(x,y ，z)， 则n ⃗ ⊥EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ ⊥EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴即{ax −aλz =0ay −aλz =0, 取z =1，得n⃗ =(λ,λ,1)．∴cos60°=√2λ2+1⇔√2λ2+1=2|λ|．由λ∈(0,1]，解得λ=√22．【解析】本题主要考查了二面角及其度量，以及空间中直线与直线之间的位置关系，属于中档题．(1)以D 为原点，DA ，DC ，DS 的方向分别作为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，分别求出AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，计算向量的数量积，只要说明数量积与λ无关即可； (2)分别求出平面ADE 与平面ACE 的一个法向量，利用二面角C −AE −D 的大小为60°建立两法向量的关系式，求出λ的值即可．19.【答案】解：(Ⅰ)设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消耗费用为C(x)=k3x+5． 再由C(0)=8，得k =40， 因此C(x)=403x+5． 而建造费用为C 1(x)=6x ，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)=20C(x)+C 1(x)=20×403x +5+6x =8003x +5+6x(0≤x ≤10) (Ⅱ)f′(x)=6−2400(3x+5)2，令f′(x)=0，即2400(3x+5)2=6． 解得x =5，x =−253(舍去)．当0<x <5时，f′(x)<0，当5<x <10时，f′(x)>0，故x =5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)=6×5+80015+5=70．当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值为70万元．【解析】(I)由建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)=k3x+5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得C(0)=8，得k =40，进而得到C(x)=403x+5.建造费用为C 1(x)=6x ，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)，我们不难得到f(x)的表达式． (II)由(1)中所求的f(x)的表达式，我们利用导数法，求出函数f(x)的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f(x)的最小值．函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大(小)化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大(小)是最优化问题中，最常见的思路之一．20.【答案】解：(1)∵椭圆Γ：a2b2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O为坐标原点，∴b=c=√2，∴a=√2+2=2，∴椭圆Г的方程为x24+y22=1．证明：(2)设A(x0,y0)，则OB的方程x0x+y0y=0，由y=2，得B(−2y0x,2)，∴1OA2+1OB2=1x02+y02+14y02x02+4=4+x024(x02+y02)=4+x024(x02+2−x022)=12，∴1OA2+1OB2为定值12．解：(3)设C(x0,y0)，D(x,y)，由OC⊥OD，得x0x+y0y=0，①又C点在椭圆上，得：x024+y022=1，②联立①②，得：x02=4y22x2+y2，y02=4x22x2+y2，③由OC⊥OD，得OC⋅OD=CD⋅d，∴OC2⋅OD2=(OC2+OD2)⋅d2，∴1d2=1OC2+1OD2=1x02+y02+1x2+y2=14x22x2+y2+4y22x2+y2+1x2+y2=2x2+y2+44(x2+y2)，化简，得D点轨迹方程为：(1d2−12)x2+(1d2−14)y2=1．【解析】(1)由椭圆的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，求出a，b，由此能求出椭圆Г的方程．(2)设A(x0,y0)，则OB的方程x0x+y0y=0，由y=2，得B(−2y0x0,2)，由此能证明1OA2+1 OB2为定值12．(3)设C(x0,y0)，D(x,y)，由OC⊥OD，得x0x+y0y=0，又C点在椭圆上，得：x024+y022=1，从而x02=4y22x2+y2，y02=4x22x2+y2，由此能求出D点轨迹方程．本题考查椭圆方程的求法，考查代数式和为定值的证明，考查点的轨迹方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质及椭圆与直线的位置关系的合理运用．21.【答案】解：(1)a n+a n+1=6⋅5n，a n+1+a n+2=6⋅5n+1，…(2分)设等比数列(a n}的公比是q，则a n+a n+1=6⋅5n⋅5，∴q=5，…(4分)n=1时，t+5t=30，∴t=5.…(5分)(2)证明：∵n是任意的正整数，当n=1时，a1+a2p=6P1=6，依此类推，当n取n−1项时，a n−1+a np n−1=6p np n−1=6，∴T n=a1+a2p +a3p2+⋯+a n−1p n−2+a np n−1，1 p T n=a1p+a2p2+a3p3+⋯+a n−1p n−2+a np n=a1+a1+a2p +a2+a3p2+⋯+a n−1+a np n−1+a np n，…(7分)∴(1+1p )T n=2a1+a1+2a2p+a2+2a3p2+⋯+a n−1+2a np n−1+a np n=a1+6n−6+a np n，…(9分)∴1+pp T n−a nP n−6n=a1−6=−5.…(10分)(3)a n+a n+1+a n+2+⋯+a n+k=6p n，a n+1+a n+2+a n+3+⋯+a n+1+k=6p n+1，…(11分)数列{a n}是一个等比数列，所以求出公比为p，…(13分)∴t(p n−1+p n+⋯+p n+k−1)=6p n，…(15分)项数为n+k−1−(n−1)十1=k+1项，当p=1时，t(k+1)=6，∴t=6k+1，…(16分)当p≠1，且p>0时，t p n−1(1−p k+1)1−p=6p n，∴t=6p(1−p)1−p k+1.…(17分)【解析】(1)由a n+a n+1=6⋅5n，a n+1+a n+2=6⋅5n+1，得到等比数列(a n}的公比q= 5，由此能求出t的值．(2)T n =a 1+a 2p+a 3p 2+⋯+a n−1p n−2+a n p n−1，1p T n =a 1+a 1+a 2p+a 2+a 3p 2+⋯+a n−1+a n p n−1+anp n ，由此能够证明1+p pT n −a n P n−6n =a 1−6=−5．(3)a n +a n+1+a n+2+⋯+a n+k =6p n ，a n+1+a n+2+a n+3+⋯+a n+1+k =6p n+1，数列{a n }是一个等比数列，所以求出公比为p ，由此能求出t ．本题考查数列的综合运用，综合性强，难度大，对数学思维的要求较高，有一定的探索性，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．。
上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷第二学期高三期中练习数学理科
上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第二学期高三期中练习数学理科创作人：百里安娜 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂王会 创作单位： 明德智语学校第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合}21{≤<-=x x P ，}01{>-=x x Q ，则=Q PA ．}11|{<<-x xB ．}21|{≤<x xC ．}21|{≤<-x xD ．}1|{->x x2．若向量a =（1，—1），b =（—1，1），c =（5，1），则c +a+b =A ．aB ．bC ．cD ．a+b 3．抛物线24y x =-的准线方程是 A ．116x =B ．1x =C ．1y =D ．116y =4．已知1=a ，复数),()2()1(2R b a i a a z ∈-+-=，则“1=a ”是“z 为纯虚数”的 A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件5．如图，是CCTV 青年歌手大奖赛上某位选手得分的茎叶 图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方 差为A ．647B ．9C ．738D ．7806．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1⊥底面A1B1C1，主视图是边长为2的正方形，该三棱柱的左视图面积为A．4B．32C ．22D．37．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为A．827B．271C．2627D．15278．如图，一个粒子在第一象限运动，在第一秒内，它从原点运动到(0,1)，然后接着按图所示在x轴，y轴平行方向来回运动（即(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0) →(2,0) ……），若每秒运动一个单位长度，那么第秒时，这个粒子所在的位置为A．（16,44）B．（15,44）．C．（14,44）D．（13,44）第Ⅱ卷（非选择题共110分）注意事项：用黑色签字笔将答案写在答题卡上规定的区域内．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．函数sin cosy x x=的最小正周期为.10．经过极点，圆心在极轴上，且半径为1的圆的极坐标y方程为_.11．如图，是计算111124620++++的值的一个程序框 图，其中判断框内应填入的条件是. 12．若函数2)(3++-=cx x x f )(R c ∈，则/3()2f -、/(1)f -、/(0)f 的大小关系是_.13．如图，圆O 和圆O '相交于A ，B 两点，AC 是圆O '的切线，AD 是圆O 的切线，若BC ＝2，AB ＝4，则=BD _. 14．已知函数⎩⎨⎧>-≤++-=0,20,)(2x x c bx x x f ，若1)1(=-f ，2)0(-=f ，则函数x x f x g +=)()(的零点个数为____.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共12分）已知函数)2sin()42cos(21)(x x x f --+=ππ． （Ⅰ）求函数)(x f 的定义域；（Ⅱ）求)(x f 在区间[,)42ππ-上的最大值与最小值．16．（本小题满分14分）如图，已知四棱锥S —ABCD 的底面ABCD 是矩形，M 、N 分别是CD 、SC 的中点，SA ⊥底面ABCD ，SA =AD =1，AB =2．. .'OCO BD A（I ）求证：MN ⊥平面ABN ；（II ）求二面角A —BN —C 的余弦值． 17．（本小题满分13分）已知函数()32331f x ax x a=-+-(R a ∈,且0)a ≠，求)(x f '及函数)(x f 的极大值与极小值．18．（本小题满分13分）甲、乙两人同时参加奥运志愿者选拔赛的考试，已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才能入选． （I ）求甲答对试题数ξ的分布列及数学期望； （II ）求甲、乙两人至少有一人入选的概率． 19．（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，离心率32e =，一个焦点的坐标为()3,0．（I ）求椭圆C 方程；（II ）设直线1:2l y x m =+与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点T ．当m 变化时，求TAB ∆面积的最大值．20．（本小题满分14分）当n p p p ,,,21 均为正数时，称np p p n+++ 21为n p p p ,,,21 的“均倒数”．已知数列{}n a 的各项均为正数，且其前n 项的“均倒数”为121+n ．（Ⅰ）试求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设12+=n a c nn ，试判断并说明()*1n n c c n N +-∈的符号； （Ⅲ）已知(0)na nb t t =>，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，试求1n nS S +的值；（Ⅳ）设函数124)(2+-+-=n a x x x f n，是否存在最大的实数λ，使当λ≤x 时，对于一切正整数n ，都有0)(≤x f 恒成立？参考答案一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9. π10. 2cos ρθ= 11.20n ≤12./(0)f ＞/(1)f -＞/3()2f -13. 814.3 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 15. （本小题共12分） 解：（Ⅰ）由题意 0)2sin(≠-x π⇒Z k k x ∈≠-,2ππ⇒Z k k x ∈+≠,2ππ故所求定义域为{Z k k x x ∈+≠,2|ππ} (4)分（Ⅱ）x x x x x x f cos 2sin 2cos 1)2sin()42cos(21)(++=--+=ππxx x x cos cos sin 2cos 22+=x x sin 2cos 2+=)4sin(22π+=x …………9分3,04244x x ππππ-≤<∴≤+<，…………10分∴当04x π+=即4x π=-时，min ()0f x =；当42x ππ+=即4x π=时，max ()f x =．……12分16．（本小题满分14分）解：（I ）以A 点为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AD 为z 轴的空间直角坐标系，如图所示. 则依题意可知相关各点的坐标分别是：A （0，0，0），B （2，0，0），C （2，1，0），D （0，1，0），S （0，0，1）(图略)).21,21,22(),0,1,22(N M ∴……………………2分 ).21,21,22(),0,0,2(),21,21,0(==-=∴…………………………4分∴MN ⊥平面ABN .……………………………………………………………………7分（II ）设平面NBC 的法向量.,),,,(SC n BC n c b a n ⊥⊥=则且又易知 令a =1，则).2,0,1(= (11)分显然，)21,21,0(-=MN 就是平面ABN 的法向量.由图形知，二面角A —BN —C 是钝角二面角…………………………………12分.33---∴的余弦值是二面角C BN A ……………………………………14分 17．（本小题满分13分）解：由题设知)2(363)(,02ax ax x ax x f a -=-='∴≠………………2分令2()00f x x x a'===得 或……………………………4分 当0a >时，随x 的变化，()/f x 与()f x 的变化如下：∴()()301f x f a ==-极大，()22431f x f a a a ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭极小……………8分 当0a <时，随x 的变化，()'f x 与()f x 的变化如下：∴()()301f x f a ==-极大，()22431f x f a a a ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭极小…………………12分 综上，当0a >时，()31f x a =-极大，()2431f x a a=--+极小； 当0a <时，()31f x a=-极大，()2431f x a a=--+极小.……………13分 18．（本小题满分13分）解：（I ）依题意，甲答对试题数ξ的可能取值为0,1,2,3，…………………1分则,301)0(31034===C C P ξ.61)3(31036===C C P ξ…………………………………………………5分ξ∴的分布列为…………………… 6分 甲答对试题数ξ的数学期望为.5961321210313010=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ………………………………7分 （II ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则.15141205656)(310381228=+=+=C C C C B P ………………………………9分 因为事件A 、B 相互独立，∴ 甲、乙两人考试均不合格的概率为.451]15141][321[)()()(=--=⋅=⋅B P A P B A P ………………………11分∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为答：甲、乙两人于少有一人考试合格的概率为.4544…………………13分 另解：甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为 答：甲、乙两人于少有一人考试合格的概率为.454419．（本小题满分14分）解法一：（I ）依题意，设椭圆C 的方程为22221x y a b+=)0(>>b a,2=∴a ………………3分 ,1222=-=c a b ………………4分 (9)…………10分∴椭圆C 的方程是2214x y +=………………5分（II ）221412x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩由设()()1122,,,A x y B x y ，AB 中点为()00,M x y()21212012002,22 111,,2221,2x x m x x m AB x x x m y x m m M m m +=-=-====+=-=+=⎛⎫∴- ⎪⎝⎭则(),0,1012,1233,,044MT AB T t mMT AB k k t m t m T m -⊥∴⋅=⋅=-+⎛⎫=-∴- ⎪⎝⎭设解得………………11分.1)1(8522+--=m ………………13分 22<<-m ，∴当21m =，即1m =±时，TAB S ∆取得最大值为.85………………14分解法二：（I ）同解法一（II ）221412x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩由 设()()1122,,,A x y B x y ，AB 中点为()00,M x y212122,22x x m x x m ∴+=-=-………………8分()01200111,,2221,2x x x m y x m m M m m =+=-=+=⎛⎫∴- ⎪⎝⎭………………10分MT∴的方程为322y x m =--令0y =，得34x m =-，3,04T m ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭………………9分设AB 交x 轴与点R,则()2,0R m -.||45||m TR =∴ ………………11分 ,852)2(8522=-+⋅≤m m ………………13分 ∴当21m =，即1m =±时，TAB S ∆取得最大值为.85…………14分20．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）121(21)n n a a a a n n -++⋅⋅⋅++=+,121(1)(21)n a a a n n -++⋅⋅⋅+=--，两式相减，得41(2)n a n n =-≥ . 又111211a =⨯+，解得 13411a ==⨯- , ∴ 41()n a n n N +=-∈ . ………4分 （Ⅱ）∵4132212121n n a n c n n n -===-+++, 11322323n n a c n n ++==-++ , ∴1332123n n c c n n +-=-++＞0， 即1n n c +＞c .………7分（Ⅲ）∵41()na n nb t t t -==＞0,∴374112n n n S b b b t t t -=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+，当1t =时,n S n = ,11n n S n S n++=; ………8分 当t ＞0且1t≠时, 344(1)1n n t t S t -=-，441411n n nn S t S t ++-=-. ………10分创作人：百里安娜 创作日期：202X.04.01创作人：百里安娜 创作日期：202X.04.01 综上得，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠>--=+=++1,0,111,14441t t tt t n n S S n n n n ………11分 （Ⅳ）由（Ⅱ）知数列 {}n c 是单调递增数列,11c =是其的最小项，即11n c c ≥=．假设存在最大实数,使当x λ≤时,对于一切正整数n ,都有2()4021n a f x x x n =-+-≤+ 恒成立，则2421n n a x x c n -+≤=+ ()n N +∈．只需2141x x c -+≤=，即2410x x -+≥．解之得2x ≥+或2x ≤-,可取2λ=………14分。
2020届上海市浦东新区高三下学期教学质量检测数学试题(解析版)
当且仅当x＝89时等号成立．
∴可以实现盈利，利润最大时，产量为89台．
【点睛】
本题考查分式函数模型的实际应用，涉及利用基本不等式求最值，属综合基础题.
20．已知点 是抛物线 上的焦点， 、 是抛物线上的两个动点．
（1）若直线 经过点 ，且 ，求 ；
（2）若 ，求证:线段 的垂直平分线经过一个定点 ，并求出 点的坐标；
三、解答题
17．如图，长方体 的底面 是正方形，点 为棱 的中点， ， ．
（1）求点 到平面 的距离；
（2）求二面角 的正弦值．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）建立空间直角坐标系，用向量法求点到平面的距离；
（2）用空间向量法求二面角的余弦值，再求正弦值．
【详解】
解：（1）如图所示，建立直角坐标系，则有关点的坐标为 ， ， ， ，所以， ， ．
【答案】10
【解析】由样本容量与总体容量的比值相等计算．
【详解】
设抽取的男运动员人数为 ，则由分层抽样定义得 ，解得 ．
故答案为：10．
【点睛】
本题考查分层抽样，利用分层抽样中样本容量与总体容量的比值相等求解即可．
13．若一个底面边长为 ，侧棱长为 的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的体积为．
③每台产品的市场售价为10万元；
④每年产量最高可达到100台；
（1）若要保证投产这款产品后，一年内实现盈利，求至少需要生产多少台（而且可全部售出）这款产品；
（2）进一步的调查后发现，由于疫情，这款产品第一年只能销售出60台，而生产出来的产品如果没有在当年销售出去，造成积压，则积压的产品每台将亏损1万元，试判断该企业能否在投产第一年实现盈利．如果可以实现盈利，则求出当利润最大时的产量；若不能实现盈利，则说明理由．
上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷综合测评
上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷综合测评一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若f (x )＝错误!，则函数f (x )的定义域为( )【导学号：97030124】A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞B ．(0，＋∞) C.⎝⎛⎭⎪⎫－12，0D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0 【解析】 要使函数有意义，只需错误!即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－12，2x ＋1＜1，解得⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜0.故选C.【答案】C 2．已知函数t ＝－144lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－N 100的图象可表示打字任务的“学习曲线”，其中t(小时)表示达到打字水平N (字/分钟)所需的学习时间，N 表示打字速度(字/分)，则按此曲线要达到90字/分钟的水平，所需的学习时间是( )A ．144小时B ．90小时C ．60小时D ．40小时【解析】t ＝－144lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－N100＝－144lg 110＝144. 【答案】 A3．下列函数中，在区间(0,1)上为增函数的是( )A ．y ＝2x 2－x ＋3 B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13xC ．y ＝x 23D ．y ＝log 12x【解析】∵y ＝2x 2－x ＋3的对称轴x ＝14，∴在区间(0,1)上不是增函数，故A 错；又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x及y ＝log 12x为减函数，故B ，D 错；y ＝x 23中，指数23>0，在[0，＋∞)上单调递增，故C 正确．【答案】 C4．如图1为函数y ＝m ＋log n x 的图象，其中m ，n 为常数，则下列结论正确的是( )图1A ．m <0，n >1B ．m >0，n >1C ．m >0,0<n <1D ．m <0,0<n <1【解析】当x ＝1时，y ＝m ，由图形易知m<0，又函数是减函数，所以0<n <1.【答案】D5．已知f (x )＝a －x(a ＞0且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是( )A ．a >0B ．a >1C ．a <1D ．0<a <1【解析】∵f (－2)＞f (－3)，∴f (x )＝a －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x是增函数，∴1a＞1，∴0＜a＜1，则a的取值范围是0＜a＜1，故选D.【答案】D6．(·山东高考)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )A．a<b<c B．a<c<bC．b<a<c D．b<c<a【解析】因为函数y＝0.6x是减函数，0<0.6<1.5，所以1>0.60.6>0.61.5，即b<a<1.因为函数y＝x0.6在(0，＋∞)上是增函数，1<1.5，所以1.50.6>10.6＝1，即c>1.综上，b<a<c.【答案】C7．已知函数f(x)＝lg (1－x)的值域为(－∞，1]，则函数f(x)的定义域为( )A．[－9，＋∞) B．[0，＋∞)C．(－9,1) D．[－9,1)【解析】因为函数f(x)＝lg (1－x)的值域为(－∞，1]，所以lg (1－x)≤1，即0<1－x≤10，解得－9≤x<1，所以函数f(x)的定义域为[－9,1)．【答案】D8．已知函数f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝a x(a＞0且a≠1)，且f(log124)＝－3，则a的值为( )A.3B．3C．9 D.32【解析】∵f(log124)＝f⎝⎛⎭⎪⎫log214＝f(－2)＝－f(2)＝－a2＝－3，∴a 2＝3，解得a ＝±3，又a ＞0，∴a ＝3.【答案】A9．已知f (x )＝a x，g(x )＝log a x (a >0且a ≠1)，若f (3)·g(3)<0，则f (x )与g(x )在同一坐标系里的图象是( )【解析】∵a >0且a ≠1，∴f (3)＝a 3>0，又f (3)·g(3)<0，∴g(3)＝log a 3<0，∴0<a <1，∴f (x )＝a x 在R 上是减函数，g (x )＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数，故选C.【答案】C10．设偶函数f (x )＝log a |x ＋b |在(0，＋∞)上具有单调性，则f (b －2)与f (a ＋1)的大小关系为( )A ．f (b －2)＝f (a ＋1)B ．f (b －2)>f (a ＋1)C ．f (b －2)<f (a ＋1)D ．不能确定【解析】∵函数f (x )是偶函数，∴b ＝0，此时f (x )＝log a |x |.当a >1时，函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上是增函数，∴f (a ＋1)>f (2)＝f (b －2)；当0<a <1时，函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上是减函数，∴f (a ＋1)>f (2)＝f (b －2)．综上可知f (b －2)<f (a ＋1)．【答案】C11．已知函数f (x )＝错误!满足对任意的实数x 1≠x 2都有错误!<0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138C ．(－∞，2] D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫138，2 【解析】由题意知函数f (x )是R 上的减函数，于是有错误!由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138，选B .【答案】B12．若函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是( )A ．0＜a ＜1B ．0＜a ＜2，a ≠1C ．1＜a ＜2D ．a ≥2【解析】 令g (x )＝x 2－ax ＋1(a ＞0，且a ≠1)，①当a ＞1时，g (x )在R 上单调递增，∴Δ＜0，∴1＜a ＜2； ②当0＜a ＜1时，g (x )＝x 2－ax ＋1没有最大值，从而函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)没有最小值，不符合题意．综上所述：1＜a ＜2.故选C.【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则用a ，b 表示log 125的值为________．【解析】∵lg 2＝a ，lg 3＝b ，∴log 125＝lg 5lg 12＝1－lg 22lg 2＋lg 3＝1－a2a ＋b. 【答案】1－a2a ＋b 14．方程log 2(9x －1－5)＝log 2(3x －1－2)＋2的解为________．【解析】 依题意log 2(9x －1－5)＝log 2(4·3x －1－8)，所以9x－1－5＝4·3x －1－8，令3x －1＝t (t >0)，则t 2－4t ＋3＝0，解得t ＝1或t ＝3，当t ＝1时，3x －1＝1，所以x ＝1，而91－1－5<0，所以x ＝1不合题意，舍去；当t ＝3时，3x －1＝3，所以x ＝2,92－1－5＝4>0,32－1－2＝1>0，所以x ＝2满足条件．所以x ＝2是原方程的解． 【答案】 215．已知当x ＞0时，函数f (x )＝(2a －1)x⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＞0，且a ≠12的值总大于1，则函数y ＝a 2x －x 2的单调增区间是________. 【导学号：97030126】【解析】 由题意知：2a －1＞1，解得a ＞1，设t ＝2x －x 2，则函数y ＝a t 为增函数，∵函数t ＝2x －x 2的增区间为(－∞，1)，∴函数y ＝a 2x －x 2的单调增区间是(－∞，1)．【答案】 (－∞，1)(或(－∞，1]) 16．给出下列结论：①错误!＝±2；②y ＝x 2＋1，x ∈[－1,2]，y 的值域是[2,5]； ③幂函数图象一定不过第四象限； ④函数f (x )＝a x ＋1－2(a ＞0，且a ≠1)的图象过定点(－1，－1)；⑤若lna ＜1成立，则a 的取值范围是(－∞，e )． 其中正确的序号是________．【解析】①错误!＝2，因此不正确；②y ＝x 2＋1，x ∈[－1,2]，y 的值域是[1,5]，因此不正确；③幂函数图象一定不过第四象限，正确；④当x ＝－1时，f (－1)＝a 0－2＝－1，∴函数f (x )＝a x ＋1－2(a ＞0，a ≠1)的图象过定点(－1，－1)，正确；⑤若l na ＜1成立，则a 的取值范围是(0，e)，因此不正确．综上所述：只有③④正确．【答案】③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫21412－(－9.6)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23＋(1.5)－2； (2)log 2512·log 45－log 133－log 24＋5log 52.【解】(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫21412－(－9.6)0－⎝⎛⎭⎪⎫338－23＋(1.5)－2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9412－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫278－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2 ＝32－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝32－1－49＋49＝12. (2)log 2512·log 45－log 133－log 24＋5log 52＝－14＋1－2＋2＝34.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a 2x ＋2a x－1(a ＞1，且a 为常数)在区间[－1,1]上的最大值为14.(1)求f (x )的表达式；(2)求满足f (x )＝7时，x 的值．【解】(1)令t ＝a x＞0.∵x ∈[－1,1]，a ＞1，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，f (x )＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2，故当t ＝a 时，函数f (x )取得最大值为a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3，∴f (x )＝32x ＋2×3x －1.(2)由f (x )＝7，可得32x ＋2×3x －1＝7，即(3x ＋4)·(3x－2)＝0，求得3x＝2，∴x ＝log 32.19．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x . 图2(1)画出函数f (x )的图象；(2)根据图象写出f (x )的单调区间，并写出函数的值域． 【解】 (1)先作出当x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，利用偶函数的图象关于y 轴对称，再作出f (x )在x ∈(－∞，0)时的图象．(2)函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log a (x －1)，g (x )＝log a (3－x )(a ＞0且a ≠1)．(1)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的定义域；(2)利用对数函数的单调性，讨论不等式f (x )≥g (x )中x 的取值范围．【解】(1)由⎩⎨⎧ x －1＞0，3－x ＞0，得1＜x ＜3.∴函数h (x )的定义域为(1,3)． (2)不等式f (x )≥g (x )，即为log a (x －1)≥log a (3－x )．(*)①当0＜a ＜1时，不等式(*)等价于⎩⎨⎧1＜x ＜3，x －1≤3－x ，解得1＜x ≤2.②当a ＞1时，不等式(*)等价于⎩⎨⎧1＜x ＜3，x －1≥3－x ，解得2≤x ＜3.综上，当0＜a ＜1时，原不等式解集为(1,2]； 当a ＞1时，原不等式解集为[2,3)． 21．(本小题满分12分)若函数y ＝f (x )＝a·3x －1－a3x －1为奇函数．(1)求a 的值； (2)求函数的定义域； (3)求函数的值域． 【解】∵函数y ＝f (x )＝a·3x －1－a 3x －1＝a －13x －1，(1)由奇函数的定义，可得f (－x )＋f (x )＝0， 即2a －13x －1－13－x －1＝0，∴a ＝－12. (2)∵y ＝－12－13x －1，∴3x－1≠0，即x ≠0. ∴函数y ＝－12－13x －1的定义域为{x |x ≠0}． (3)∵x ≠0，∴3x－1＞－1.∵3x－1≠0，∴0＞3x－1＞－1或3x－1＞0. ∴－12－13x －1＞12或－12－13x －1＜－12. 即函数的值域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ y>12或y<－12.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x . (1)求证：f (x )是奇函数；(2)求证：f (x )＋f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y1＋xy ； (3)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 1－ab ＝2，求f (a )，f (b )的值. 【导学号：0296】【解】 (1)证明：由函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ，可得1－x 1＋x >0，即x －11＋x<0，解得－1<x <1，故函数的定义域为(－1,1)，关于原点对称．再根据f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝－lg 1－x1＋x ＝－f (x )，可得f (x )是奇函数．(2)证明：f (x )＋f (y )＝lg 1－x 1＋x ＋lg 1－y1＋y ＝lg 错误!， 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ＝lg 1－x ＋y 1＋xy 1＋x ＋y 1＋xy＝lg 1＋xy －x －y1＋xy ＋x ＋y ＝lg 错误!，∴f (x )＋f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy 成立． (3)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 1－ab ＝2， 则由(2)可得f (a )＋f (b )＝1，f (a )－f (b )＝2， 解得f (a )＝32，f (b )＝－12.。
上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷文科
上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷文科创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1.（5分）函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是（）A. B.π C.2π D.4π2.（5分）设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M ∩N=（）A.[0，1]B.（0，1）C.（0，1]D.[0，1）3.（5分）已知复数z=2﹣i，则z•的值为（）A.5B.C.3D.4.（5分）根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是（）A.a n=2nB.a n=2（n﹣1）C.a n=2nD.a n=2n﹣15.（5分）将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是（）A.4πB.3πC.2πD.π6.（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（）A. B. C. D.7.（5分）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）A.f（x）=x3B.f（x）=3xC.f（x）=xD.f（x）=（）x8.（5分）原命题为“若＜a n，n∈N+，则{a n}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A.真、真、真B.假、假、真C.真、真、假D.假、假、假9.（5分）某公司10位员工的月工资（单位：元）为x1，x 2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（）A.，s2+1002B.+100，s2+1002C.，s2D.+100，s210.（5分）如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）A.y=x3﹣x2﹣xB.y=x3+x2﹣3xC.y=x3﹣xD.y=x3+x2﹣2x二、填空题（共4小题，每小题5分，共25分）11.（5分）抛物线y2=4x的准线方程是.12.（5分）已知4a=2，lgx=a，则x=.13.（5分）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（1，﹣cosθ），若•=0，则tanθ=.14.（5分）已知f（x）=，x≥0，若f1（x）=f（x），f n+1（x）=f（f n（x）），n∈N+，则f（x）的表达式为.选考题（请在15-17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）不等式选做题15.（5分）设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为.几何证明选做题16.如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF=.坐标系与参数方程选做题17.在极坐标系中，点（2，）到直线的距离是.三、解答题（共6小题，共75分）18.（12分）△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c.（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值.19.（12分）四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC 的平面分别交四面体的棱AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H.（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；（Ⅱ）证明：四边形EFGH是矩形.20.（12分）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上，且=m +n（m，n∈R）（Ⅰ）若m=n=，求||；（Ⅱ）用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值.21.（12分）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：01000200030004000赔付金额（元）500130100150120车辆数（辆）（Ⅰ）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；（Ⅱ）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率.22.（13分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l：y=﹣x+m与椭圆交于A、B两点，与以F1F2为直径的圆交于C、D 两点，且满足=，求直线l的方程.23.（14分）设函数f（x）=lnx+，m∈R.（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围.参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1.（5分）函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是（）A. B.π C.2π D.4π【分析】由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式求解.【解答】解：根据复合三角函数的周期公式得，函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是π，故选：B.【点评】本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题.2.（5分）设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M ∩N=（）A.[0，1]B.（0，1）C.（0，1]D.[0，1）【分析】先解出集合N，再求两集合的交即可得出正确选项.【解答】解：∵M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}={x|﹣1＜x＜1，x∈R}，∴M∩N=[0，1）.故选：D.【点评】本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键.3.（5分）已知复数z=2﹣i，则z•的值为（）A.5B.C.3D.【分析】由z求出，然后直接利用复数代数形式的乘法运算求解.【解答】解：由z=2﹣i，得z•=（2﹣i）（2+i）=4﹣i2=5.故选：A.【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，是基础的计算题.4.（5分）根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是（）A.a n=2nB.a n=2（n﹣1）C.a n=2nD.a n=2n﹣1【分析】根据框图的流程判断递推关系式，根据递推关系式与首项求出数列的通项公式.【解答】解：由程序框图知：a i+1=2a i，a1=2，∴数列为公比为2的等比数列，∴a n=2n.故选：C.【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键.5.（5分）将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是（）A.4πB.3πC.2πD.π【分析】边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积.【解答】解：边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，则所得几何体的侧面积为：1×2π×1=2π，故选：C.【点评】本题是基础题，考查旋转体的侧面积的求法，考查计算能力.6.（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（）A. B. C. D.【分析】设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，即可得出结论.【解答】解：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，∴所求概率为=.故选：B.【点评】本题考查概率的计算，列举基本事件是关键.7.（5分）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）A.f（x）=x3B.f（x）=3xC.f（x）=xD.f（x）=（）x【分析】对选项一一加以判断，先判断是否满足f（x+y）=f （x）f（y），然后考虑函数的单调性，即可得到答案.【解答】解：A.f（x）=x3，f（y）=y3，f（x+y）=（x+y）3，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故A错；B.f（x）=3x，f（y）=3y，f（x+y）=3x+y，满足f（x+y）=f（x）f （y），且f（x）在R上是单调增函数，故B正确；C.f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故C错；D.f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，满足f （x+y）=f（x）f（y），但f（x）在R上是单调减函数，故D错.故选：B.【点评】本题主要考查抽象函数的具体模型，同时考查幂函数和指数函数的单调性，是一道基础题.8.（5分）原命题为“若＜a n，n∈N+，则{a n}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A.真、真、真B.假、假、真C.真、真、假D.假、假、假【分析】先根据递减数列的定义判定命题的真假，再判断否命题的真假，根据命题与其逆否命题同真性及四种命题的关系判断逆命题与逆否命题的真假.【解答】解：∵＜a n=⇔a n+1＜a n，n∈N+，∴{a n}为递减数列，命题是真命题；其否命题是：若≥a n，n∈N+，则{a n}不是递减数列，是真命题；又命题与其逆否命题同真同假，命题的否命题与逆命题是互为逆否命题，∴命题的逆命题，逆否命题都是真命题.故选：A.【点评】本题考查了四种命题的定义及真假关系，判断命题的真假及熟练掌握四种命题的真假关系是解题的关键.9.（5分）某公司10位员工的月工资（单位：元）为x1，x 2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（）A.，s2+1002B.+100，s2+1002C.，s2D.+100，s2【分析】根据变量之间均值和方差的关系和定义，直接代入即可得到结论.【解答】解：由题意知y i=x i+100，则=（x1+x2+…+x10+100×10）=（x1+x2+…+x10）=+100，方差s2=[（x1+100﹣（+100）2+（x2+100﹣（+100）2+…+（x10+100﹣（+100）2]=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x10﹣）2]=s2.故选：D.【点评】本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，利用均值和方差的定义是解决本题的关键，要求熟练掌握相应的计算公式.10.（5分）如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）A.y=x3﹣x2﹣xB.y=x3+x2﹣3xC.y=x3﹣xD.y=x3+x2﹣2x【分析】由题设，“需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）“可得出此两点处的切线正是两条直道所在直线，由此规律验证四个选项即可得出答案.【解答】解：由函数图象知，此三次函数在（0，0）上处与直线y=﹣x相切，在（2，0）点处与y=3x﹣6相切，下研究四个选项中函数在两点处的切线.A、，将0，2代入，解得此时切线的斜率分别是﹣1，3，符合题意，故A正确；B、，将0代入，此时导数为﹣3，不为﹣1，故B错误；C、，将2代入，此时导数为﹣1，与点（2，0）处切线斜率为3矛盾，故C错误；D、，将0代入，此时导数为﹣2，与点（0，0）处切线斜率为﹣1矛盾，故D错误.故选：A.【点评】本题考查导数的几何意义在实际问题中的应用，导数的几何意义是导数主要应用之一.二、填空题（共4小题，每小题5分，共25分）11.（5分）抛物线y2=4x的准线方程是 x=﹣1 .【分析】先根据抛物线的标准方程形式求出p，再根据开口方向，写出其准线方程.【解答】解：∵2p=4，∴p=2，开口向右，∴准线方程是x=﹣1.故答案为x=﹣1.【点评】根据抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程，一定要先化为标准形式，求出的值，再确定开口方向，否则，极易出现错误.12.（5分）已知4a=2，lgx=a，则x=.【分析】化指数式为对数式求得a，代入lgx=a后由对数的运算性质求得x的值.【解答】解：由4a=2，得，再由lgx=a=，得x=.故答案为：.【点评】本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题.13.（5分）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（1，﹣cosθ），若•=0，则tanθ=.【分析】由条件利用两个向量的数量积公式求得 2sinθcosθ﹣cos2θ=0，再利用同角三角函数的基本关系求得tanθ【解答】解：∵=sin2θ﹣cos2θ=2sinθcosθ﹣cos2θ=0，0＜θ＜，∴2sinθ﹣cosθ=0，∴tanθ=，故答案为：.【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题.14.（5分）已知f（x）=，x≥0，若f1（x）=f（x），f n+1（x）=f（f n（x）），n∈N+，则f（x）的表达式为.【分析】由题意，可先求出f1（x），f2（x），f3（x）…，归纳出f n（x）的表达式，即可得出f（x）的表达式【解答】解：由题意...…故f（x）=故答案为：【点评】本题考查逻辑推理中归纳推理，由特殊到一般进行归纳得出结论是此类推理方法的重要特征.选考题（请在15-17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）不等式选做题15.（5分）设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为.【分析】根据柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad=bc取等号，问题即可解决.【解答】解：由柯西不等式得，（ma+nb）2≤（m2+n2）（a2+b2）∵a2+b2=5，ma+nb=5，∴（m2+n2）≥5∴的最小值为故答案为：【点评】本题主要考查了柯西不等式，解题关键在于清楚等号成立的条件，属于中档题.几何证明选做题16.如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF= 3 .【分析】证明△AEF∽△ACB，可得，即可得出结论.【解答】解：由题意，∵以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，∴∠AEF=∠C，∵∠EAF=∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴，∵BC=6，AC=2AE，∴EF=3.故答案为：3.【点评】本题考查三角形相似的判定与运用，考查学生的计算能力，属于基础题.坐标系与参数方程选做题17.在极坐标系中，点（2，）到直线的距离是1 .【分析】把极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式即可得出.【解答】解：点P（2，）化为=，y=2=1，∴P.直线展开化为：=1，化为直角坐标方程为：，即=0.∴点P到直线的距离d==1.故答案为：1.【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标的公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.三、解答题（共6小题，共75分）18.（12分）△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c.（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值.【分析】（Ⅰ）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质得到a+c=2b，再利用正弦定理及诱导公式变形即可得证；（Ⅱ）由a，b，c成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，将c=2a代入表示出b，利用余弦定理表示出cosB，将三边长代入即可求出cosB的值.【解答】解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，∴a+c=2b，由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB，∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），则sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，将c=2a代入得：b2=2a2，即b=a，∴由余弦定理得：cosB===.【点评】此题考查了余弦定理，等差、等比数列的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键.19.（12分）四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H.（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；（Ⅱ）证明：四边形EFGH是矩形.【分析】（Ⅰ）证明AD⊥平面BDC，即可求四面体ABCD的体积；（Ⅱ）证明四边形EFGH是平行四边形，EF⊥HG，即可证明四边形EFGH是矩形.【解答】（Ⅰ）解：由题意，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD=DC=2，AD=1，∴AD⊥平面BDC，∴四面体ABCD的体积V==；（Ⅱ）证明：∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC=FG，平面EFGH∩平面ABC=EH，∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH.同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形.【点评】本题考查线面垂直，考查线面平行性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.20.（12分）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上，且=m+n（m，n∈R）（Ⅰ）若m=n=，求||；（Ⅱ）用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值.【分析】（Ⅰ）由点的坐标求出向量和的坐标，结合m=n=，再由=m+n求得的坐标，然后由模的公式求模；（Ⅱ）由=m+n得到，作差后得到m﹣n=y﹣x，令y ﹣x=t，然后利用线性规划知识求得m﹣n的最大值.【解答】解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），∴，又m=n=，∴.∴；（Ⅱ）∵，∴，两式相减得，m﹣n=y﹣x.令y﹣x=t，由图可知，当直线y=x+t过点B（2，3）时，t取得最大值1，故m﹣n的最大值为：1.【点评】本题考查了平面向量的数乘及坐标加法运算，考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.21.（12分）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：01000200030004000赔付金额（元）500130100150120车辆数（辆）（Ⅰ）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；（Ⅱ）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率.【分析】（Ⅰ）设A表示事件“赔付金额为3000元，”B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率，求得P（A），P （B），再根据投保额为2800元，赔付金额大于投保金额得情形是3000元和4000元，问题得以解决.（Ⅱ）设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，分别求出样本车辆中车主为新司机人数和赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机人数，再求出其频率，最后利用频率表示概率.【解答】解：（Ⅰ）设A表示事件“赔付金额为3000元，”B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P（A）=，P（B）=，由于投保额为2800元，赔付金额大于投保金额得情形是3000元和4000元，所以其概率为P（A）+P（B）=0.15+0.12=0.27.（Ⅱ）设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000=100，而赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120=24，所以样本中车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为，由频率估计概率得P（C）=0.24.【点评】本题主要考查了用频率来表示概率，属于中档题.23.（14分）设函数f（x）=lnx+，m∈R.（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围.【分析】（Ⅰ）m=e时，f（x）=lnx+，利用f′（x）判定f （x）的增减性并求出f（x）的极小值；（Ⅱ）由函数g（x）=f′（x）﹣，令g（x）=0，求出m；设φ（x）=m，求出φ（x）的值域，讨论m的取值，对应g（x）的零点情况；（Ⅲ）由b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f （a）﹣a恒成立；即h（x）=f（x）﹣x在（0，+∞）上单调递减；h′（x）≤0，求出m的取值范围.【解答】解：（Ⅰ）当m=e时，f（x）=lnx+，∴f′（x）=；∴当x∈（0，e）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，e）上是减函数；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（e，+∞）上是增函数；∴x=e时，f（x）取得极小值为f（e）=lne+=2；（Ⅱ）∵函数g（x）=f′（x）﹣=﹣﹣（x＞0），令g（x）=0，得m=﹣x3+x（x＞0）；设φ（x）=﹣x3+x（x＞0），∴φ′（x）=﹣x2+1=﹣（x﹣1）（x+1）；当x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，1）上是增函数，当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上是减函数；∴x=1是φ（x）的极值点，且是极大值点，∴x=1是φ（x）的最大值点，∴φ（x）的最大值为φ（1）=；又φ（0）=0，结合y=φ（x）的图象，如图；可知：①当m＞时，函数g（x）无零点；②当m=时，函数g（x）有且只有一个零点；③当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点；④当m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；综上，当m＞时，函数g（x）无零点；当m=或m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点；（Ⅲ）对任意b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；设h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞0），则h（b）＜h（a）.∴h（x）在（0，+∞）上单调递减；∵h′（x）=﹣﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，∴m≥﹣x2+x=﹣+（x＞0），∴m≥；对于m=，h′（x）=0仅在x=时成立；∴m的取值范围是[，+∞）.【点评】本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题，是难题.22.（13分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l：y=﹣x+m与椭圆交于A、B两点，与以F1F2为直径的圆交于C、D两点，且满足=，求直线l的方程.【分析】（Ⅰ）由题意可得，解出即可.（Ⅱ）由题意可得以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1.利用点到直线的距离公式可得：圆心到直线l的距离d及d＜1，可得m的取值范围.利用弦长公式可得|CD|=2.设A（x 1，y1），B （x2，y2）.把直线l的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，进而得到弦长|AB|=.由=，即可解得m.【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，解得，c=1，a=2.∴椭圆的方程为.（Ⅱ）由题意可得以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1.∴圆心到直线l的距离d=，由d＜1，可得.（*）∴|CD|=2==.设A（x1，y1），B（x2，y2）.联立，化为x2﹣mx+m2﹣3=0，可得x 1+x2=m，.∴|AB|==.由=，得，解得满足（*）.因此直线l的方程为.【点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交的弦长问题、点到直线的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题.创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校。
上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2020年第二学期高三年级数学试题(文理合卷)
上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2020学年第二学期高三年级数学试卷（文理合卷）（满分150分，答题时间120分钟） 2020.05 一、填空题（本大题满分60分）本大题共有12题，每题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果．1．直线013=+-y x 的倾斜角为 ．2．已知全集R U =，集合{}0542>--=x x x M ，{}1≥=x x N ，则)(N C M U ⋂= ．3．若复数z 满足iiz +=3，则z = ． 4．二项式6)21(x -展开式中3x 系数的值是 ．5．（理）市场上有一种“双色球”福利彩票，每注售价为2元，中奖概率为6.71%，一注彩票的平均奖金额为14.9元．如果小王购买了10注彩票，那么他的期望收益是 元．（文）高三（1）班班委会由3名男生和2名女生组成，现从中任选2人参加上海世博会的志愿者工作，则选出的人中至少有一名女生的概率是 ． 6．（理）把αα5cos 3cos +化为积的形式，其结果为 ．（文）如果某音叉发出的声波可以用函数t t f π00.001sin40)(=描述，那么音叉声波的频率是 赫兹．7．（理）已知)(y x P ，是椭圆191622=+y x 上的一个动点，则y x +的最大值是 ．（文）若抛物线px y 22=的焦点与椭圆12622=+y x 的右焦点重合，则实数p 的值是 ． 8．（理）已知21tan 1tan 2=-x x （]0[π，∈x ），则x 的 值是 ．（文）方程33tan -=x 的解集是 ． 9．如图是输出某个数列前10项的框图，则该数列第 3项的值是 ．10. （理）在极坐标系中,过圆6cos ρθ=的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ．（文）若经过点P （－1，0）的直线与圆224230x y x y ++-+=相切，则此直线的方程是 .11．（理）如图，用一平面去截球所得截面的面积为π2cm 2，已知球心到该截面的距离为1 cm ，则 该球的体积是 cm 3.（文）计算：)11211(lim 222+++++++∞→n nn n n Λ= .12．在△ABC 中，5=AB ，7=AC ，D 是BC 边的中点，则⋅的值是 .二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题4分．每题只有一个正确答案，选择正确答案的字母代号并按照要求填涂在答题纸的相应位置．13．线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++78615304z y x z y x z y x 的增广矩阵是（ ）．A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛786115130411B ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--786115130411 C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛861513411 D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛854611131 14．在直角坐标系xoy 中，已知△ABC 的顶点)01(，-A 和)01(，C ，顶点B 在椭圆13422=+y x 上，则BCA sin sin sin +的值是（ ）．理第11题A ．23 B ．3 C ．2D ．415. 以c b a 、、依次表示方程232212=+=+=+x x x xxx、、的根，则c b a 、、的大小顺序为（ ）．A ．c b a <<B ．c b a >>C ．b c a <<D ．c a b >>16．（理）已知数列{}n a ，对于任意的正整数n ，⎪⎩⎪⎨⎧≥⋅-≤≤=-)2010(.)31(2)20091(12009n n a n n ，，设n S 表 示数列{}n a 的前n 项和．下列关于n n S +∞→lim 的结论，正确的是（ ）．A ．1lim -=+∞→n n SB ．2008lim =+∞→n n SC ．⎩⎨⎧≥-≤≤=+∞→)2010(.1)20091(2009lim n n S n n ，（*N n ∈） D ．以上结论都不对（文）如图，下列四个几何体中，它们的三视图（主视图、侧视图、俯视图）有且仅有两个相同，而另一个不同的两个几何体是（ ）．A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（1）（4）三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸上与题号对应的区域写出必要的步骤.17．(本题满分12分)动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的长方形熊猫居室（如图所示）．如果可供建造围墙的材料长是30米，那么宽x 为多少米时才能使所建造的熊猫居室面积最大？熊猫居室的最大面积是多少平方米？（2）底面直径和高均为2的圆柱（1）棱长为2的正方体（3）底面直径和高均为2的圆锥 （4）底面边长为2、高为3的正四棱柱（理）在长方体D C B A ABCD ''''-中，2=AB ，1=AD ，1='A A ．求：（1）顶点D '到平面AC B '的距离； （2）二面角B AC B '--的大小．（结果用反三角函数值表示）（文）已知某圆锥的体积是π12cm 3，底面半径等于3cm ． （1）求该圆锥的高； （2）求该圆锥的侧面积．19．(本题满分15分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.（理）设数列{}n a 的前n 和为n S ，已知311=S ，3132=S ，3163=S ，3644=S ， 一般地，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-++=-)().12(3412)(),12(3412)1(212为偶数时当为奇数时当n n n n S n n n （*N n ∈）．（1）求4a ； （2）求n a 2；（3）求和：n n a a a a a a a a 212654321-++++Λ．（文）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的通项公式分别为)1(2-=n a n 、nn b )21(=，（其中*N n ∈）．（1）求数列{}n a 前n 项的和； （2）求数列{}n b 各项的和； （3）设数列{}n c 满足⎩⎨⎧=)(.)(,为偶数时当为奇数时当n a n b c n n n ，求数列{}n c 前n 项的和．A 'D ' AB 'C 'BCD已知a 为实数，函数3sin )(++=a f θθ．（1）若θθcos )(=f （R ∈θ），试求a 的取值范围； （2）若1>a ，1sin )1(3)(+-=θθa g ，求函数)()(θθg f +的最小值．21．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分.已知B A 、是抛物线x y 42=上的相异两点．（1）设过点A 且斜率为-1的直线1l ，与过点B 且斜率为1的直线2l 相交于点P(4，4)， 求直线AB 的斜率；（2）问题（1）的条件中出现了这样的几个要素：已知圆锥曲线Γ，过该圆锥曲线上的相异两点A 、B 所作的两条直线21l l 、相交于圆锥曲线Γ上一点；结论是关于直线AB的斜率的值．请你对问题（1）作适当推广，并给予解答；（3）若线段AB （不平行于y 轴）的垂直平分线与x 轴相交于点)0(0，x Q ． （理）若50=x ，试用线段AB 中点的纵坐标表示线段AB 的长度，并求出中点的纵坐 标的取值范围．（文）若20>x ，试用0x 表示线段AB 中点的横坐标．2020年5月静安区等四区联考高三数学参考答案与评分标准：说明1. 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅. 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.3. 第17题至第21题中右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数.4. 给分或扣分均以1分为单位.答案及评分标准1．3π； 2．{}1-<x x ； 3．10； 4．160-； 5．（理）002.10-元；（注：课本答案为66.8-）（文）0.7； 6．（理）ααcos cos42⋅； （文）200赫兹； 7．（理）5； （文）p=4． 8．（理）858ππ==x x 或； （文）⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,6ππ 9．2113； 10．（理）cos 3ρθ=； （文）方程为01=+-y x ． 11．（理）π34； （文）21； 12．12．13——16：A ； C ； C ； 理B 文A17．设熊猫居室的总面积为y 平方米，由题意得：)100()330(<<-=x x x y ．… 6分解法1：75)5(32+--=x y ，因为)10,0(5∈，而当5=x 时，y 取得最大值75． 10分 所以当熊猫居室的宽为5米时，它的面积最大，最大值为75平方米． …… 12分 解法2：2]2)330(3[31)]330(3[31)330(x x x x x x y -+≤-=-==75，当且仅当x x 3303-=，即5=x 时，y 取得最大值75． …… 10分所以当熊猫居室的宽为5米时，它的面积最大，最大值为75平方米． …… 12分18．理：如图，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为)0,0,1(A 、)0,0,0(D 、)0,2,0(C 、)1,0,1(A '、)1,2,1(B '、)1,0,0(D '． ……2分设平面AC B '的法向量为),,(w v u n =，则B n '⊥，B '⊥．因为)1,2,0(--='A B ，)1,0,1(--='C B ， ……3分0='⋅B ，0='⋅B ，所以⎩⎨⎧=+=+.0,02w u w v 解得v w v u 2,2-==，取1=v ，得平面AC B '一个法向量)2,1,2(-=，3=． ……5分 （1）在平面AC B '取一点A ，可得)1,0,1(-='D A ，于是顶点D '到平面AC B '的距离34==d ，所以顶点D '到平面AC B '的距离为34， ……8分 （2）因为平面ABC 的一个法向量为)1,0,0(1=n ，设n 与1n 的夹角为α，则32cos -=⋅=n n α， ……12分结合图形可判断得二面角B AC B '--是一个锐角，它的大小为32arccos ．……14分文：（1）圆锥底面积为π9 cm 2， ……1分 设圆锥高为h cm ，由体积h V ⋅⋅=π931， ……5分 由π12=V cm 3得4=h cm ； ……8分 （2）母线长5=l cm ， ……9分 设底面周长为c ，则该圆锥的侧面积=cl 21， ……12分 所以该圆锥的侧面积=π15cm 2． ……14分19．（理）（1）164=a ； ……3分 （2）当k n 2=时，（*N k ∈）k k k k k k k k S S a 22222212222)]12(3412)2([)12(3412)2(=-+--+=-=--， ……6分所以，nn a 42=（*N n ∈）． ……8分（3）与（2）同理可求得：)12(3112-=-n a n ， ……10分 设n n a a a a a a a a 212654321-++++Λ=n T ， 则]4)12(45434[3132n n n T ⨯-++⨯+⨯+=Λ，（用等比数列前n 项和公式的推导方法）]4)12(45434[3141432+⨯-++⨯+⨯+=n n n T Λ，相减得]4)12()444(24[313132+⨯--++++=-n n n n T Λ，所以94)14(2732491211--⨯-⨯-=-+n n n n T ． ……14分（文）（1）设数列前n 项和为n S ，则n n n n S n -=-+=22)220(． ……3分（2）公比121<=q ，所以由无穷等比数列各项的和公式得： 数列{}n b 各项的和为21121-=1． ……7分（3）设数列{}n c 的前n 项和为n T ，当n 为奇数时，n n n b a b a b T +++++=-1321Λ=2)1())41(1(32221-+-+n n ； ……11分当n 为偶数时，n n n a b b a b T +++++=-1321Λ=2))41(1(3222n n+-． ……14分即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-+-+-=+为偶数时当，为奇数时当n n n n T n n n 322)21(32,322)1()21(3222)1(． ……15分20．（1）θθcos )(=f 即a --=-3cos sin θθ，又)4sin(2cos sin πθθθ-=-，2分所以232≤+≤-a ，从而a 的取值范围是]23,23[+---． ……5分（2）21sin )1(3)1(sin )()(+++-++=+a a g f θθθθ，令x =+1sin θ，则20≤<x ，因为1>a ，所以)1(32)1(3-≥-+a xa x ，当且仅当)1(3-=a x 时，等号成立，8分 由2)1(3≤-a 解得37≤a ，所以当371≤<a 时，函数)()(θθg f +的最小值是2)1(32++-a a ； ……11分 下面求当37>a 时，函数)()(θθg f +的最小值． 当37>a 时，2)1(3>-a ，函数xa x x h )1(3)(-+=在]2,0(上为减函数．所以函数)()(θθg f +的最小值为2)1(522)1(32+=++-+a a a ． ……12分 当37>a 时，函数xa x x h )1(3)(-+=在]2,0(上为减函数的证明：任取2021≤<<x x ，])1(31)[()()(121212x x a x x x h x h ---=-，因为4012≤<x x ，4)1(3>-a ，所以0)1(3112<--x x a ，0)()(12<-x h x h ，由单调性的定义函数xa x x h )1(3)(-+=在]2,0(上为减函数．于是，当371≤<a 时，函数)()(θθg f +的最小值是2)1(32++-a a ；当37>a 时，函数)()(θθg f +的最小值2)1(5+a ． ……15分21．（1）由⎩⎨⎧==-+.4,082x y y x 解得)8,16(-A ；由⎩⎨⎧==+.4,02x y y x 解得)0,0(B ．由点斜式写出两条直线21l l 、的方程，0:;08:21=-=-+y x l y x l ，所以直线AB 的斜率为21-． ……4分 （2）推广的评分要求分三层一层:点P 到一般或斜率到一般,或抛物线到一般（3分，问题1分、解答2分）例：1．已知B A 、是抛物线x y 42=上的相异两点．设过点A 且斜率为-1的直线1l ，与过点B 且斜率为1的直线2l 相交于抛物线x y 42=上的一定点P ),4(2t t ，求直线AB 的斜率；2．已知B A 、是抛物线x y 42=上的相异两点．设过点A 且斜率为-k 1的直线1l ，与过点B 且斜率为k 的直线2l 相交于抛物线x y 42=上的一点P （4，4），求直线AB 的斜率； 3．已知B A 、是抛物线)0(22>=p px y 上的相异两点．设过点A 且斜率为-1的直线1l ，与过点B 且斜率为1的直线2l 相交于抛物线)0(22>=p px y 上的一定点P ),2(2t pt ，求直线AB 的斜率； AB 的斜率的值．二层:两个一般或推广到其它曲线（4分，问题与解答各占2分）例：4．已知点P 是抛物线x y 42=上的定点．过点P 作斜率分别为k 、k -的两条直线21l l 、，分别交抛物线于A 、B 两点，试计算直线AB 的斜率．三层:满分（对抛物线，椭圆，双曲线或对所有圆锥曲线成立的想法．）（7分，问题3分、解答4分）例如：5.已知抛物线px y 22=上有一定点P ，过点P 作斜率分别为k 、k -的两条直线21l l 、，分别交抛物线于A 、B 两点，试计算直线AB 的斜率．过点P （00,y x ），斜率互为相反数的直线可设为00)(y x x k y +-=，00)(y x x k y +-=，其中0202px y =。
上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷调研考试数学统一考试试卷
上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷调研考试数学统一考试试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．把每小题的答案填在答题纸相应的位置上） 1．已知,1,121i z i z -=+=且12111z z z-=，则=z ▲．（-i ）2．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差数列，则87109a a a a ++=▲．（ ）223+3．函数x x x f sin cos 3)(+=)22(ππ<<-x 的值域为▲．(]2,1-4．下图是一个算法的流程图，则输出n 的值是▲．（5）5．观察x x 2)(2='，344)(x x ='，x x sin )(cos -='，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f =-，记()g x 为)(x f 的导函数，则)(x g -与()g x 的关系是▲．（)(x g -+()g x =0）6．已知α、β表示两个不同的平面，m 是平面α内的一条直线，则“βα⊥”是“β⊥m ”的▲条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”、“充要”之一）“必要不充分”7．用数字1,2,3作为函数c bx ax y ++=2的系数，则该函数有零点的概率为▲．（ ）318．已知点),(b a M 在由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥20y x y x 所确定的平面区域内，则),(b a b a N +-所在的平面区域的面积为▲．（4）9．给出下列四个命题：①函数)32sin(3)(π-=x x f 的图象关于点)0,6(π-对称；②若1->≥b a ，则bba a +≥+11；③存在实数x ，使0123=++x x ；④设),(11y x P 为圆9:221=+y x O 上任意一点，圆1)()(:222=-+-b y a x O ，当1)()(2121=-+-b y a x 时，两圆相切．其中正确命题的序号是▲．（把你认为正确的都填上）（②③） 10．在ABC∆中，2,4==AC AB ，M是ABC∆内一点，且满足2=++，则AM ⋅=▲．（-3）11．在直角坐标系中，过双曲线1922=-y x 的左焦点F 作圆122=+y x 的一条切线（切点为T ）交双曲线右支于P ，若M 为线段FP 的中点，则MT OM -=▲．（2） 12．在斜三角形ABC中，角CB A ,,所对的边分别为c b a ,,，若1tan tan tan tan =+BCA C ，则 =+222cb a ▲．（3） 13．在等差数列{}n a 中，n S 表示其前n 项，若m nS n =，)(n m nm S m ≠=，则m n S +的取值范围是▲．（4，∞+） 14．设函数||1)(x xx f +-=)(R x ∈，区间[])(,b a b a M <=，集合{}M x x f y y N ∈==),(|，则使N M =成立的实数对),(b a 有▲对．（0）答卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 2． 3． 4． 5． 6．7． 8． 9． 10． 11． 12． 13． 14．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点P在单位圆上，,),0(,OP OA OQ AOP +=<<=∠πθθ四边形OAQP 的面积为S⑴求S OQ OA +⋅的最大值及此时θ的值0θ；⑵设点,),54,53(α=∠-AOB B 在⑴的条件下求)cos(0θα+．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥A —BCDE 中，底面BCDE 是直角梯形， 90=∠BED ，BE ∥CD ，AB =6，BC =5，31=BE CD ，侧面ABE ⊥底面BCDE ，︒=∠90BAE ．⑴求证：平面ADE ⊥平面ABE ；⑵过点D 作面α∥平面ABC ，分别于BE ，AE 交于点F ，G ，求DFG ∆的面积．17．（本小题满分14分）如图所示，一科学考察船从港口O 出发，沿北偏东α角的射线OZ 方向航行，而在离港口a 13（a 为正常数）海里的北偏东β角的A处有一个供给科考船物资的小岛，其中31tan =α，132cos =β．现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口O 正东m 海里的B 处的补给船，速往小岛A 装运物资供给科考船，该船沿BA 方向全速追赶科考船，并在C 处相遇．经测算当两船运行的航向与海岸线OB 围成的三角形OBC 的面积最小时，这种补给最适宜． ⑴ 求S 关于m 的函数关系式)(m S ； E BCD A第16题图⑵ 应征调m 为何值处的船只，补给最适宜． 18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆12:22=+y x C 的左、右焦点分别为21,F F ，下顶点为A ，点P 是椭圆上任一点，圆M 是以2PF⑴当圆M 的面积为8π，求PA ⑵当圆M 与直线1AF 相切时，求圆M ⑶求证：圆M 总与某个定圆相切． 19．（本小题满分16分） 在数列{}n a 中，121,411,111-=-==+n n n n a b a a a ⑴求证：数列{}n b 为等差数列；⑵设nb nc 2=，试问数列{}n c 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，说明理由． ⑶已知当*∈N n 且6≥n 时，mn n m )21()31(<+-，其中n m ,2,1=，求满足等式nb n n n n b n )3()2(43+=++++ 的所有n 的值．20．（本小题满分16分） 已知函数1)(+=x ax ϕ，a 为正常数．⑴若)(ln )(x x x f ϕ+=，且a 29=，求函数)(x f 的单调增区间；⑵在⑴中当0=a 时，函数)(x f y =的图象上任意不同的两点()11,y x A ，()22,y x B ，线段AB 的中点为),(00y x C ，记直线AB 的斜率为k ，试证明：)(0x f k '>．⑶若)(ln )(x x x g ϕ+=，且对任意的(]2,0,21∈x x ，21x x ≠，都有1)()(1212-<--x x x g x g ，求a 的取值范围．附加题21．已知⊙1O 与⊙2O 的极坐标方程分别为θρθρsin 4,cos 4-==． (1)写出⊙1O 和⊙2O 的圆心的极坐标；(2)求经过⊙1O 和⊙2O 交点的直线的极坐标方程． 22．若2011201122102011)21(x a x a x a a x ++++=- （ ）Rx ∈，求20112011221222a a a +++ 的值．23．如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD 是正三角形，且垂直于底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，︒=∠60BAD ，M 为PC 上一点，且PA ∥平面BDM ．⑴求证：M 为PC 中点；⑵求平面ABCD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小． 24．已知抛物线L 的方程为()022>=p py x ，直线x y =截抛物线L 所得弦24=AB ．⑴求p 的值；⑵抛物线L 上是否存在异于点A 、B 的点C ，使得经过A 、B 、C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线．若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．答案及评分标准填空题答案 ： -i ； 223+； (]2,1-； 5； )(x g -+()g x =0； 必要不充分；31； 4； ②③； -3； 2； 3； （4，∞+）； 0二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）A是单位圆与x轴正半轴的交点，点P在单位圆上，,),0(,OP OA OQ AOP +=<<=∠πθθ四边形OAQP 的面积为SAPBCDM第23题图⑴求S +⋅的最大值及此时θ的值0θ；⑵设点,),54,53(α=∠-AOB B 在⑴的条件下求)cos(0θα+．答案：解:⑴由已知)sin ,(cos ),0,1(θθP A (3)OP OA OQ += ，)sin ,cos 1(θθ+=∴OQ又,sin θ=S 1)4sin(21cos sin ++=++=+⋅∴πθθθS OQ OA )0(πθ<<故S+⋅的最大值是12+，此时40πθ=, (8)⑵,),54,53(α=∠-AOB B 54sin ,53cos =-=∴αα………………………………… (10))cos(0θα+=1027)cos (sin 22)4cos(-=+=+ααπα．………………………… (14)16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥A —BCDE 中，底面BCDE 是直角梯形， 90=∠BED ，BE ∥CD ，AB =6，BC =5，31=BE CD ，侧面ABE ⊥底面BCDE ，︒=∠90BAE ．⑴求证：平面ADE ⊥平面ABE ；⑵过点D 作面α∥平面ABC ，分别于BE ，AE 交于点F ，G ，求DFG ∆的面积．答案：A A（1）证明：因为侧面ABE ⊥底面BCDE ， 侧面ABE ∩底面BCDE =BE ，DE ⊂底面BCDE ， DE ⊥BE ，所以DE ⊥平面ABE ， 所以AB ⊥DE ， 又因为AE AB ⊥， 所以AB ⊥平面ADE ， 所以平面ADE ⊥平面ABE ； (7)（2）因为平面α∥平面ABC ， 所以DF∥BC，同理FG∥AB (9)所以四边形BCDF 为平行四边形． 所以BF CD BC DF ===,5， 因为31=BECD ，所以32=EB EF所以432==AB FG (11)由⑴易证：⊥FG 平面ADE ，所以DG FG ⊥，所以3=DG 所以DFG∆的面积6=S ． (14)17．（本小题满分14分）如图所示，一科学考察船从港口O 出发，沿北偏东α角的射线OZ方向航行，而在离港口a 13（a 为正常数）海里的北偏东β角的A 处有一个供给科考船物资的小岛，其中31tan =α，132cos =β．现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口O 正东m 海里的B 处的补给船，速往小岛A 装运物资供给科考船，该船沿BA 方向全速追赶科考船，并在C 处相遇．经测算当两船运行的航向与海岸线OB 围成的三角形OBC 的面积最小时，这种补给最适宜． ⑴ 求S 关于m 的函数关系式)(m S ；⑵ 应征调m 答案：解 ⑴以O 为原点，OB 所在直线为则直线OZ 方程为x y 3=． …………………………………………………………………2 设点()00,y x A ，则aa a x 313313sin 130=⋅==β，a a a y 213213cos 130=⋅==β，即()a a A 2,3，又()0,m B ，所以直线AB 的方程为()m x ma ay --=32．上面的方程与xy 3=联立得点)736,732(am ama m am C -- (5))37(733||21)(2a m a m am y OB m S C >-=⋅=∴ (8)⑵328)3149492(314)37(949)37()(222a a a a a a m a a m a m S =+≥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-=…………………12当且仅当)37(949372a m a a m -=-时，即a m 314=时取等号， …………………………14 18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆12:22=+y x C 的左、右焦点分别为21,F F ，下顶点为A ，点P 是椭圆上任一点，圆M 是以2PF⑴当圆M 的面积为8π，求PA ⑵当圆M 与直线1AF 相切时，求圆M ⑶求证：圆M 总与某个定圆相切． 答案：解 ⑴易得()0,11-F ，()0,12F ，()1,02-A ，设()11,y x P ， 则()()()2121212121222212111-=-+-=+-=x x x y x PF ，∴()22222112≤≤--=x x PF ， ………………………………………… (2)又圆M 的面积为8π，∴()21288-=x ππ，解得11=x ， ∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,1P 或⎪⎪⎭⎫⎝⎛-22,1， ∴PA所在的直线方程为1221-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x y 或1221-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y ； (4)⑵∵直线1AF 的方程为01=++y x ，且⎪⎭⎫⎝⎛+2,2111y x M 到直线1AF 的距离为111422221221x y x -=+++， 化简得1211--=x y ， (6)联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=1212212111y x x y ，解得1=x 或981-=x ． …………………………8 当01=x 时，可得⎪⎭⎫⎝⎛-21,21M ，∴ 圆M的方程为21212122=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ；………9 当981-=x 时，可得⎪⎭⎫ ⎝⎛187,181M ， ∴ 圆M的方程为16216918718122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ； (10)⑶圆M 始终与以原点为圆心，半径21=r （长半轴）的圆（记作圆O ）相切． 证明：∵()()121212121422284141441x x x y x OM +=-++=++=， ……………14 又圆M 的半径1224222x MF r -==，∴21r r OM -=， ∴圆M总与圆O 内切． (16)19．（本小题满分16分） 在数列{}n a 中，121,411,111-=-==+n n n n a b a a a ，其中*∈N n ． ⑴求证：数列{}n b 为等差数列；⑵设nb nc 2=，试问数列{}n c 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，说明理由． ⑶已知当*∈N n 且6≥n 时，mn n m )21()31(<+-，其中n m ,2,1=，求满足等式nb n n n n b n )3()2(43+=++++ 的所有n 的值．答案： ⑴证明：11211212112112111=----=---=-++n nn n n n a a a a b b ……………………2 ∴数列{}n b 为等差数列 …………………………………………4 ⑵解：假设数列{}n c 中存在三项，它们可以够成等差数列；不妨设为第)(,,q r p q r p <<项， 由⑴得nb n =，∴n n c 2=， (5)∴qp r 2222+=⋅， ∴p q p r --++=2121 (7)又pr -+12为偶数，pq -+21为奇数． …………………………………………9 故不存在这样的三项，满足条件． …………………………………………10 ⑶由⑵得等式nb n n n n b n )3()2(43+=++++可化为n n n n n n )3()2(43+=++++ 即1)32()34()33(=+++++++nn n n n n n ∴1)311()311()31(=+-+++--++-nn n n n n n n (12)∵当6≥n 时，mn n m )21()31(<+-， ∴,21)311(<+-n n ,)21()321(2<+-n n …,)21()31(n n n n <+-∴1)21(1)21()21(21)311()311()31(2<-=++<+-+++--++-n n n n n n n n n n∴当6≥n 时，n n n n n n )3()2(43+<++++ (14)当5,4,3,2,1=n 时，经验算3,2=n 时等号成立 ∴满足等式nb n n n n b n )3()2(43+=++++ 的所有3,2=n (16)20．（本小题满分16分） 已知函数1)(+=x ax ϕ，a 为正常数．⑴若)(ln )(x x x f ϕ+=，且a 29=，求函数)(x f 的单调增区间；⑵在⑴中当0=a 时，函数)(x f y =的图象上任意不同的两点()11,y x A ，()22,y x B ，线段AB 的中点为),(00y x C ，记直线AB 的斜率为k，试证明：)(0x f k '>． ⑶若)(ln )(x x x g ϕ+=，且对任意的(]2,0,21∈x x ，21x x ≠，都有1)()(1212-<--x x x g x g ，求a 的取值范围．答案： 解：⑴222)1(1)2()1(1)(++-+=+-='x x x a x x a x x f∵a 29=，令0)(>'x f 得2>x 或210<<x∴函数)(x f 的单调增区间为),2(),21,0(+∞ (4)⑵证明：当0=a 时x x f ln )(=∴xx f 1)(='∴210021)(x x x x f +==' 又121212121212lnln ln )()(x x x x x x x x x x x f x f k -=--=--=不妨设12x x > ， 要比较k 与)(0x f '的大小， 即比较1212lnx x x x -与212x x +的大小，又∵12x x >，∴ 即比较12ln x x 与1)1(2)(212122112+-=+-x x x x x x x x 的大小．令)1(1)1(2ln )(≥+--=x x x x x h (8)则0)1()1()1(41)(222≥+-=+-='x x x x x x h ∴)(x h 在[)+∞,1上位增函数． 又112>x x ，∴0)1()(12=>h x x h ， ∴1)1(2ln 121212+->x x x x x x ，即)(0x f k '>……………………………………………10 ⑶∵1)()(1212-<--x x x g x g ， ∴[]0)()(121122<-+-+x x x x g x x g由题意得xx g x F +=)()(在区间(]2,0上是减函数． (12)︒1 当x x ax x F x +++=≤≤1ln )(,21， ∴1)1(1)(2++-='x a x x F 由313)1()1(0)(222+++=+++≥⇒≤'xx x x x x a x F 在[]2,1∈x 恒成立．设=)(x m 3132+++x x x ，[]2,1∈x ，则0312)(2>+-='xx x m∴)(x m 在[]2,1上为增函数，∴227)2(=≥m a (14)︒2 当x x ax x F x +++-=<<1ln )(,10，∴1)1(1)(2++--='x a x x F 由11)1()1(0)(222--+=+++-≥⇒≤'xx x x x x a x F 在)1,0(∈x 恒成立设=)(x t 112--+xx x ，)1,0(∈x 为增函数∴0)1(=≥t a综上：a 的取值范围为227≥a (16)附加题21．已知⊙1O 与⊙2O 的极坐标方程分别为θρθρsin 4,cos 4-==． (1)写出⊙1O 和⊙2O 的圆心的极坐标；(2)求经过⊙1O 和⊙2O 交点的直线的极坐标方程． 答案：解：(1)⊙1O 和⊙2O 的圆心的极坐标分别为)23,2(),0,2(π(2)以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系， 在直角坐标系下⊙1O 与⊙2O 的方程分别为04,042222=++=-+y y x x y x (6)则经过⊙1O 和⊙2O 交点的直线的方程为x y -= 其极坐标方程为4πθ-=（ ）R ∈ρ． (10)22．若2011201122102011)21(x a x a x a a x ++++=- （ ）Rx ∈，求20112011221222a a a +++ 的值．答案：解：由题意得：2011,2,1,)2(2011 =-=r C a r rr ， (2)∴201120112010201132011220111201120112011221222C C C C C a a a -++-+-=+++ ， (6)∵0201120112010201132011220111201102011=-++-+-C C C C C C …………………………8 ∴122220112011221-=+++a a a …………………………………………10 23．如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD 是正三角形，且垂直于底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，︒=∠60BAD ，M 为PC 上一点，且PA ∥平面BDM ．⑴求证：M 为PC 中点；⑵求平面ABCD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小． 证明 ⑴连接AC 与BD 交于G ，则平面PAC ∩平面BDM =MG ，由PA ∥平面BDM ，可得PA ∥MG ， ∵底面ABCD 是菱形，∴G 为AC 中点，∴MG 为△PAC 中位线， ∴M 为PC 中点． (4)⑵取AD 中点O ，连接PO ，BO ， ∵△PAD 是正三角形，∴PO ⊥AD ， 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，APBCDM 第23题图∴PO ⊥平面ABCD ，∵底面ABCD 是边长为2的菱形，︒=∠60BAD ，△ABD 是正三角形， ∴AD ⊥OB ，∴OA ，OP ，OB 两两垂直，以O 为原点，，分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，如右图所示，则()0,0,1A ，()0,3,1B ，()0,0,1-D ，()3,0,0P ，∴()3,0,1=DP ，()0,3,1-=AB ，∴()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=+=23,23,02121()3,3,0--=BP ，()0,0,2==DA CB ，∴023230=+-=⋅BP DM ，000=++=⋅∴DM ⊥BP ，DM ⊥CB ，∴DM ⊥平面PBC ， ∴22,cos >=< 平面ABCD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小为4π (10)24．已知抛物线L 的方程为()022>=p py x ，直线x y =截抛物线L 所得弦24=AB．⑴求p 的值；⑵抛物线L 上是否存在异于点A 、B 的点C ，使得经过A 、B 、C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线．若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由． 答案：解：⑴由⎩⎨⎧==pyx x y 22解得)2,2(),0,0(p p B A∴pp p AB 22442422=+==，∴2=p (4)⑵由⑴得)4,4(),0,0(,42B A y x =假设抛物线L 上存在异于点A 、B 的点C )4,0()4,(2≠≠t t t t ，使得经过A 、B 、C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线令圆的圆心为),(b a N ，则由⎩⎨⎧==NC NA NBNA 得⎪⎩⎪⎨⎧-+-=+-+-=+222222222)4()()4()4(t b t a b a b a b a 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+83248481244222t t b tt a t t tb a b a …………………………………………6 ∵抛物线L 在点C 处的切线斜率)0(2|≠='==t t y k t x又该切线与NC 垂直， ∴0412212432=--+⇒-=⋅--t t bt a t t a t b∴08204128324)84(223322=--⇒=--++⋅++-⋅t t t t t t t t t t (8)∵4,0≠≠t t ，∴2-=t 故存在点C 且坐标为（-2,1） (10)。
上海市2020届高三第二学期期末考试数学试卷
高三第二学期期末考试数学试卷一、填空题1．若集合{}12A x Z x =∈-<<，{}220B x x x =-=，则A B =______.2．不等式102xx -≥+的解集是______. 3．已知指数函数的图像过点()2,4，则其反函数为______.4．若直线()1:110l a x ay ++-=与()2:320l ax a y +-=互相垂直，则实数a 的值为______.5．在行列式2146532020x --中，第三行第二列的元素3的代数余子式的值为4，则实数x 的值为______.6．5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 的系数是______.7．抛物线24y x =的准线方程是______.8．若实数,x y 满足条件0,26,2,x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩则3z x y =+的最小值是______.9．设函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中0ω>.若函数()f x 在[]0,2π上恰有2个零点，则ω的取值范围是______.10．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()11f x f x -=+，当()0,1x ∈时，()axf x e =（其中e是自然对数的底数），若()2020ln 28f -=-，则实数a 的值为______.11．如果方程214x y y +=所对应的曲线是函数()y f x =的图像，那么对于函数()y f x =有如下结论，其中正确结论的序号是______. ①函数()y f x =在R 上单调递减；②()y f x =的图像上的点到坐标原点距离的最小值为1； ③函数()y f x =的值域为(],2-∞； ④函数()()F x f x x =+有且只有一个零点.12．已知等差数列{}n a 的首项11a =-，若数列{}n a 恰有6项落在区间1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭内，则公差d 的取值范围是______.二、选择题13．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），该几何体的体积是（ ）A ．13cm 3B ．23cm 3C ．43cm 3D ．83cm 3 14．已知,A B 是函数2xy =的图像上的相异两点，若点A ，B 到直线12y =的距离相等，则点,A B 的横坐标之和的取值范围是（ ） A ．(),1-∞-B ．(),2-∞-C ．(),3-∞-D ．(),4-∞-15．用1nkk x=∑表示n 个实数12,,...,n x x x 的和，设11nk n k a q-==∑，1nk n nkk A C a==∑，其中()()3,00,1q ∈-，则lim2nnn A →∞的值为（ ）A ．1qB ．11q-C ．qD ．1q -16．已知平面向量()1,2,...,6k a k =满足：()1,2,...,6k a k k ==，且126...0a a a +++=，则()()1256a a a a +⋅+的最大值是（ ）A ．9B ．10C ．12 D ．14三、解答题17．在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos 2c B a b =-. （1）求C ∠的大小； （2）若122CA CB -=，求ABC △面积的最大值. 18．已知函数()2af x x x =+（0x ≠，常数a R ∈）. （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）若函数()f x 在[)1,x ∈+∞上是单调函数，求a 的取值范围. 19．如图，AE ⊥平面ABCD ，CFAE ，AD BC ，AD AB ⊥，1AB AD ==，2AE BC ==.（1）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值； （2）若二面角E BD F --的余弦值为13，求线段CF 的长.20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的短轴长为2，左、右焦点分别为12,F F ，且当点P 在C 上移动时，12F PF ∠的最大值为90︒.直线:l y kx m =+与椭圆交于不同的两点,A B ，与圆2223x y +=相切于点M .（1）求椭圆C 的方程；（2）证明：OA OB ⊥（其中O 为坐标原点）； （3）设AM BMλ=，求实数λ的取值范围.21．设N 为正整数，区间[],1k k k I a a =+（其中k a R ∈，1,2,...,k N =）同时满足下列两个条件： ①对任意[]0,100x ∈，存在k 使得k x I ∈；②对任意{}1,2,...,k N ∈，存在[]0,100x ∈，使得i i kx I ≠∉，其中i i kI ≠表示除k I 外的1N -个集合的并集.（1）若100N =，判断以下两个数列是否满足条件：①()11,2,...,100k a k k =-=；②()11,2,...,1002k ka k =-=？（结论不需要证明） （2）求N 的最小值；（3）判断N 是否存在最大值，若存在，求N 的最大值；若不存在，说明理由.1、在最软入的时候，你会想起谁。
上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学试卷13
上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学试卷创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校一.填空题1．（5分）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为．2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件．4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是．5．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=．6．（5分）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是．7．（5分）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是．9．（5分）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3=，S6=，则a8=．10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是．11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是．12．（5分）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是．14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是．二.解答题15．（14分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．16．（14分）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若∥，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x 的值．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．18．（16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E 1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．19．（16分）对于给定的正整数k，若数列{a n}满足：a n﹣k+a n﹣k+1+…+a n﹣1+a n+1+…+a n+k﹣1+a n+k=2ka n对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{a n}是“P（k）数列”．（1）证明：等差数列{a n}是“P（3）数列”；（2）若数列{a n}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{a n}是等差数列．20．（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2 =AP•AB．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵A=，B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P 为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．［选修4-5：不等式选讲］24．已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd ≤8．【必做题】25．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA 1=，∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．26．已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜．参考答案与试题解析一.填空题1．（5分）（•江苏）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为 1 ．【考点】1E：交集及其运算．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={a，a2+3}．A∩B={1}，∴a=1或a2+3=1，解得a=1．故答案为：1．2．（5分）（•江苏）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i，∴|z|==．故答案为：．3．（5分）（•江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取18 件．【考点】B3：分层抽样方法．【分析】由题意先求出抽样比例即为，再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为=，则应从丙种型号的产品中抽取300×=18件，故答案为：184．（5分）（•江苏）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是﹣2 ．【考点】EF：程序框图．【分析】直接模拟程序即得结论．【解答】解：初始值x=，不满足x≥1，所以y=2+log2=2﹣=﹣2，故答案为：﹣2．5．（5分）（•江苏）若tan（α﹣）=．则tanα=．【考点】GR：两角和与差的正切函数．【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可【解答】解：∵tan（α﹣）===∴6tanα﹣6=tanα+1，解得tanα=，故答案为：．6．（5分）（•江苏）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LG：球的体积和表面积．【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．【解答】解：设球的半径为R，则球的体积为：R3，圆柱的体积为：πR2•2R=2πR3．则==．故答案为：．7．（5分）（•江苏）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是．【考点】CF：几何概型．【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3，则D=[﹣2，3]，则在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率P==，故答案为：8．（5分）（•江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F 2，则四边形F1PF2Q的面积是．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P，Q坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积．【解答】解：双曲线﹣y2=1的右准线：x=，双曲线渐近线方程为：y=x，所以P（，），Q（，﹣），F1（﹣2，0）．F2（2，0）．则四边形F 1PF2Q的面积是：=2．故答案为：2．9．（5分）（•江苏）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3=，S6=，则a8= 32 ．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1，S3=，S6=，可得=，=，联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵S3=，S6=，∴=，=，解得a1=，q=2．则a8==32．故答案为：32．10．（5分）（•江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是30 ．【考点】7F：基本不等式．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4×2×=240（万元）．当且仅当x=30时取等号．故答案为：30．11．（5分）（•江苏）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e 是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是[﹣1，]．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出f（x）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f（x）在R上递增；再由奇偶性的定义，可得f（x）为奇函数，原不等式即为2a2≤1﹣a，运用二次不等式的解法即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣的导数为：f′（x）=3x2﹣2+e x+≥﹣2+2=0，可得f（x）在R上递增；又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e﹣x﹣e x+x3﹣2x+e x﹣=0，可得f（x）为奇函数，则f（a﹣1）+f（2a2）≤0，即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）=f（1﹣a），即有2a2≤1﹣a，解得﹣1≤a≤，故答案为：[﹣1，]．12．（5分）（•江苏）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n= 3 ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．可得cosα=，sinα=．C．可得cos（α+45°）=．sin（α+45°）=．B．利用=m+n（m，n∈R），即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．∴cosα=，sinα=．∴C．cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．∴B．∵=m+n（m，n∈R），∴=m﹣n，=0+n，解得n=，m=．则m+n=3．故答案为：3．13．（5分）（•江苏）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是[﹣5，1]．【考点】9R：平面向量数量积的运算；7B：二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】根据题意，设P（x0，y0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意，设P（x0，y0），则有x02+y02=50，=（﹣12﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20，化为：12x0﹣6y0+30≤0，即2x0﹣y0+5≤0，表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立，解可得x0=﹣5或x0=1，结合图形分析可得：点P的横坐标x 0的取值范围是[﹣5，1]，故答案为：[﹣5，1]．14．（5分）（•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8 ．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】由已知中f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，分析f（x）的图象与y=lgx图象交点的个数，进而可得答案．【解答】解：∵在区间[0，1）上，f（x）=，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又f（x）是定义在R上且周期为1的函数，∴在区间[1，2）上，f（x）=，此时f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；同理：区间[2，3）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[3，4）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[4，5）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[5，6）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[6，7）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[7，8）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[8，9）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；在区间[9，+∞）上，f（x）的图象与y=lgx无交点；故f（x）的图象与y=lgx有8个交点；即方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8，故答案为：8二.解答题15．（14分）（•江苏）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC ⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．【考点】LS：直线与平面平行的判定；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论．【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，所以AB∥EF，又因为EF⊊平面ABC，AB⊆平面ABC，所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，因为BC⊥BD，所以FG∥BC，又因为平面ABD⊥平面BCD，所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，故AD⊥AC．16．（14分）（•江苏）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若∥，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x 的值．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；9R：平面向量数量积的运算．【分析】（1）根据向量的平行即可得到tanx=﹣，问题得以解决，（2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解：（1）∵=（cosx，sinx），=（3，﹣），∥，∴﹣cosx=3sinx，∴tanx=﹣，∵x∈[0，π]，∴x=，（2）f（x）==3cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+），∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，∴﹣1≤cos（x+）≤，当x=0时，f（x）有最大值，最大值3，当x=时，f（x）有最小值，最大值﹣2．17．（14分）（•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得a=2c，由椭圆的准线方程x=±，则2×=8，即可求得a和c的值，则b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆方程；（2）设P点坐标，分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率，则即可求得l2及l1的斜率及方程，联立求得Q点坐标，由Q在椭圆方程，求得y02=x02﹣1，联立即可求得P点坐标；方法二：设P（m，n），当m≠1时，=，=，求得直线l1及l1的方程，联立求得Q点坐标，根据对称性可得=±n2，联立椭圆方程，即可求得P点坐标．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e==，则a=2c，①椭圆的准线方程x=±，由2×=8，②由①②解得：a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程：；（2）方法一：设P（x 0，y0），则直线PF2的斜率=，则直线l2的斜率k2=﹣，直线l2的方程y=﹣（x﹣1），直线PF 1的斜率=，则直线l2的斜率k1=﹣，直线l1的方程y=﹣（x+1），联立，解得：，则Q（﹣x0，），由P，Q在椭圆上，P，Q的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则y0=，∴y02=x02﹣1，则，解得：，则，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（，）．方法二：设P（m，n），由P在第一象限，则m＞0，n＞0，当m=1时，不存在，解得：Q与F 1重合，不满足题意，当m≠1时，=，=，由l 1⊥PF1，l2⊥PF2，则=﹣，=﹣，直线l1的方程y=﹣（x+1），①直线l2的方程y=﹣（x﹣1），②联立解得：x=﹣m，则Q（﹣m，），由Q在椭圆方程，由对称性可得：=±n2，即m2﹣n2=1，或m2+n2=1，由P（m，n），在椭圆方程，，解得：，或，无解，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（，）．18．（16分）（•江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E 1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过N作NP∥MC，交AC于点P，推导出CC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC，NP⊥AC，求出MC=30cm，推导出△ANP∽△AMC，由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，推导出EE1G1G为等腰梯形，求出E1Q=24cm，E1E=40cm，由正弦定理求出sin∠GEM=，由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度．【解答】解：（1）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面ACM中，过N作NP∥MC，交AC于点P，∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱，∴CC1⊥平面ABCD，又∵AC⊂平面ABCD，∴CC1⊥AC，∴NP⊥AC，∴NP=12cm，且AM2=AC2+MC2，解得MC=30cm，∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC，∴=，，得AN=16cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面E1EGG1中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台，∴EE1=GG1，EG∥E1G1，EG≠E1G1，∴EE1G1G为等腰梯形，画出平面E1EGG1的平面图，∵E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，∴E1Q=24cm，由勾股定理得：E1E=40cm，∴sin∠EE1G1=，sin∠EGM=sin∠EE1G1=，cos，根据正弦定理得：=，∴sin，cos，∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=，∴EN===20cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．19．（16分）（•江苏）对于给定的正整数k，若数列{a n}满足：a n﹣k+a n﹣k+1+…+a n﹣1+a n+1+…+a n+k﹣1+a n+k=2ka n对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{a n}是“P（k）数列”．（1）证明：等差数列{a n}是“P（3）数列”；（2）若数列{a n}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{a n}是等差数列．【考点】8B：数列的应用．【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=（a n﹣3+a n+3）+（a n﹣2+a n+2）+（a n﹣1+a n+1）═2×3a n，根据“P（k）数列”的定义，可得数列{a n}是“P（3）数列”；（2）由“P（k）数列”的定义，则a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n，a n﹣3+a n ﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n，变形整理即可求得2a n=a n﹣1+a n+1，即可证明数列{a n}是等差数列．【解答】解：（1）证明：设等差数列{a n}首项为a1，公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d，则a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3，=（a n﹣3+a n+3）+（a n﹣2+a n+2）+（a n﹣1+a n+1），=2a n+2a n+2a n，=2×3a n，∴等差数列{a n}是“P（3）数列”；（2）证明：由数列{a n}是“P（2）数列”则a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n，①数列{a n}是“P（3）数列”a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n，②由①可知：a n﹣3+a n﹣2+a n+a n+1=4a n﹣1，③a n﹣1+a n+a n+2+a n+3=4a n+1，④由②﹣（③+④）：﹣2a n=6a n﹣4a n﹣1﹣4a n+1，整理得：2a n=a n﹣1+a n+1，∴数列{a n}是等差数列．20．（16分）（•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b ∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）通过对f（x）=x3+ax2+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，进而再求导可知g′（x）=6x+2a，通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为x=﹣，从而f（﹣）=0，整理可知b=+（a＞0），结合f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根，进而可知a＞3．（2）通过（1）构造函数h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），结合a＞3可知h（a）＞0，从而可得结论；（3）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为﹣+2，进而问题转化为解不等式b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因式分解即得结论．【解答】（1）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1，所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，g′（x）=6x+2a，令g′（x）=0，解得x=﹣．由于当x＞﹣时g′（x）＞0，g（x）=f′（x）单调递增；当x ＜﹣时g′（x）＜0，g（x）=f′（x）单调递减；所以f′（x）的极小值点为x=﹣，由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点，所以f（﹣）=0，即﹣+﹣+1=0，所以b=+（a＞0）．因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，所以f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根，所以4a2﹣12b＞0，即a2﹣+＞0，解得a＞3，所以b=+（a＞3）．（2）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），由于a＞3，所以h（a）＞0，即b2＞3a；（3）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，设x1，x2是y=f（x）的两个极值点，则x1+x2=，x1x2=，所以f（x 1）+f（x2）=++a（+）+b（x1+x2）+2=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2 =﹣+2，又因为f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因为a＞3，所以2a3﹣63a﹣54≤0，所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0，所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0，由于a＞3时2a2+12a+9＞0，所以a﹣6≤0，解得a≤6，所以a的取值范围是（3，6]．二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．（•江苏）如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2 =AP•AB．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【分析】（1）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，即可证明．【解答】证明：（1）∵直线PC切半圆O于点C，∴∠ACP=∠ABC．∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°．∵AP⊥PC，∴∠APC=90°．∴∠PAC=90°﹣∠ACP，∠CAB=90°﹣∠ABC，∴∠PAC=∠CAB．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，∴=．∴AC2 =AP•AB．[选修4-2：矩阵与变换]22．（•江苏）已知矩阵A=，B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．【考点】OE：矩阵与矩阵的乘法的意义．【分析】（1）按矩阵乘法规律计算；（2）求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线C1的方程化简即可．【解答】解：（1）AB==，（2）设点P（x，y）为曲线C1的任意一点，点P在矩阵AB的变换下得到点P′（x0，y0），则=，即x0=2y，y0=x，∴x=y0，y=，∴，即x02+y02=8，∴曲线C2的方程为x2+y2=8．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】求出直线l的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离d关于参数s的函数，从而得出最短距离．【解答】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0，∴P到直线l的距离d==，∴当s=时，d取得最小值=．［选修4-5：不等式选讲］24．（•江苏）已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．【考点】7F：基本不等式；R6：不等式的证明．【分析】a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．代入ac+bd化简，利用三角函数的单调性即可证明．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），即可得出．【解答】证明：∵a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．因此ac+bd≤8．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）=4×16=64，当且仅当时取等号．∴﹣8≤ac+bd≤8．【必做题】26．（•江苏）已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n ≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A 2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|）P（），由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．（2）X的所有可能取值为，…，，P（x=）=，k=n，n+1，n+2，…，n+m，从而E（X）=（）=，由此能证明E（X）＜．【解答】解：（1）设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A 2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|）P（）===．证明：（2）∵X的所有可能取值为，…，，P（x=）=，k=n，n+1，n+2，…，n+m，∴E（X）=（）==＜==•（）==，∴E（X）＜．25．（•江苏）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA 1=，∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LM：异面直线及其所成的角．【分析】在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，由AA1⊥平面ABCD，可得AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A，B，C，D，A 1，C1的坐标，进一步求出，，，的坐标．（1）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值，进一步得到正弦值．【解答】解：在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax⊂平面ABCD，∴AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵AB=AD=2，AA 1=，∠BAD=120°，∴A（0，0，0），B（），C（，1，0），D（0，2，0），A 1（0，0，），C1（）．=（），=（），，．（1）∵cos＜＞==．∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为；（2）设平面BA 1D的一个法向量为，由，得，取x=，得；取平面A 1AD的一个法向量为．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为，则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为．创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校。
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上海中学高三综合数学试卷06
2020.04
一.填空题
1.不等式13x x
+<的解为____ 2.函数2()(2f x x x =<-)的反函数是____
3.已知b+i ､2-ai(a,b ∈R )是实系数一元二次方程20x px q ++=的两根,则q=____
4.将一个底面半径为4,高为2的圆锥锻造成一个球体,则此球体的表面积为____
5.以3122012-⎛⎫ ⎪⎝⎭
为增广“矩阵的二元一次方程组的解为x ､y,则x ､y 这两个数的等比中项为____ 6.3名男生､3名女生和2位老师站成一排拍合照,要求2位老师必须站在正中间,队伍左右两端不能同时是一男生和一女生,则总共有____种排法.
7.已知函数f(2(),(),x x g x ax x ==-其中a>0,若对任意m ∈[1,2]都存在n ∈[1,2]使得f(m)f(n)=g(m)g(n)成立,则实数a 的取值集合为___.
8.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆22:()(3)4,M x a y a -++-=过原点的动直线l 与圆M 交于A ､B 两点,若以线段AB 为直径的圆,与以M 为圆心､MO 为半径的圆始终无公共点,则实数a 的取值范围是____.
9.已知正数x ､y ､z 满足2221,x y z ++=则1z xyz
+的最小值为__. 10.已知向量a b 、满足:|2||3|2,a b a b -=+=则a b ⋅的取值范围是___.
11.已知△ABC 的面积为1,若BC=1,则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时,sinA=___.
12.如图,已知正四面体ABCD 的棱长为2,棱AD 与平面α所成角[
,],32
ππθ∈且顶点A 在平面α内,点B ､C ､D 均在平面α外,则棱BC 的中点E 到平面α的距离的取值范围是___.
二.选择题
13.已知集合,2
{|20}A x x x =∈-++≥N ,则满足条件A ∪B=A 的集合B 的个数为()
A.4
B.7
C.8
D.16 14.已知函数()2sin()(4
f x x πω=+ω>0)的图像在区间(0,1]上恰好有三个最高点,则ω的取值范围是() 1927.[,)44
A ππ 913.[,)22
B ππ 1725.[,)44
C ππ D.[4π,6π) 15.已知a ､b 为实数,则“不等式|ax+b|≤1对所有满足|x|≤1都成立”是“|a|≤1且|b|≤1”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
16.已知数列{}n a 的通项为:*,,(1)(21)(1)n nx a n x x nx =
∈+++N 若1220201a a a +++＜,则实数x 可
以等于() 2.3
A - 5.12
B - 13.48
C - 11.60
D - 三.解答题 17.已知圆柱1OO 的底面半径为1,高为π,ABCD 为圆柱的一个轴截面,动点M 从点B 出发沿着圆柱的侧面到达点D,其路径最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示,将轴截面ABCD 绕着1OO 轴逆时针旋转θ后,边11B C 与曲线T 交于点P.
(1)求曲线Γ的长度;
(2)当2πθ
=时,求点1C 到平面APB 的距离.
18.已知12()log f x x =,当点M(x,y)在y=f(x)的图像上运动时,点N(x-2,ny)在函()n y g x =的图像上运动
*()n ∈N .
(1)求()n y g x =的解析式;
(2)若方程12()(2)g x g x a =-+有实根,求实数a 的取值范围.
19.某地火山喷发停止后,为测量的需要,设距离喷口中心50米内的圆面为第1区,50米至100米的圆环面为第2区,…，第50(n-1)米至50n 米的圆环面为第n 区,…，现测得第1区火山灰平均每平方米为1000kg,第2区为平方米的平均重量较第1区减少2%,第3区又较第2区减少2%,以此类推,求:
(1)求离火山口1225米处的圆环面平均每平方米的火山灰重量(精确到1kg);
(2)第几区内的火山灰总重量最大?
20.已知椭圆C:22221x y a b
+=(a>b>0)过点2(1,),2离心率为2,2点A ､B 分别是椭圆C 的上､下顶点,点M 是椭圆C 上异于A ､B 的一点.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)若点P 在直线x-y+2=0上,且3,BP BM =求△PMA 的面积;
(3)过点M 作斜率为k 的直线分别交椭圆C 于另一点N,交y 轴于点D,且点D 在线段OA 上(不包括端点),直线NA 与直线BM 交于点P,求OD OP ⋅的值.
21.已知a 为正实数,n 为自然数,抛物线2
2n
a y x =-+与x 轴正半轴交于点A,设直线l 过点A 且在y 轴上的截距为f(n),已知直线l 与抛物线仅有一个交点.
(1)用a 和n 表示f(n); (2)若对所有正整数n 都有3
3()1()11
f n n f n n -≥++成立,求a 的最小值; (3)当0<a<1时,试比较
11()(2)n k f k f k =-∑与27(1)(1)4(0)(1)
f f n f f -+⋅-的大小,并说明理由.。