常微分方程期末考试练习题及答案
常微分期末试题及答案
常微分期末试题及答案[正文开始]第一部分：选择题1. 若函数 f(x) = 3x^2 + 2x + c 在区间 [0, 1] 上是增函数，则实数 c 的取值范围是：A) c > 1/4B) c > -1/4C) c < 1/4D) c < -1/4答案：A) c > 1/4解析：当 f(x) 是增函数时，f'(x) > 0。
对于 f(x) = 3x^2 + 2x + c，求导得到 f'(x) = 6x + 2。
显然当 x > -1/3 时，f'(x) > 0，即 c > 1/4。
2. 解微分方程 dy/dx = x^2 + 1 的通解为：A) y = (1/3)x^3 + x + CB) y = (1/3)x^3 + CC) y = (1/3)x^2 + x + CD) y = (1/3)x^2 + C答案：A) y = (1/3)x^3 + x + C解析：对方程 dy/dx = x^2 + 1 进行积分，得到 y = (1/3)x^3 + x + C，其中 C 为积分常数。
3. 设三角函数f(x) = sin(2x + π/3)，则 f'(x) = ？A) 2cos(2x + π/3)B) 2cos(2x - π/3)C) 2cos(2x)D) 2cos(2x + π/6)答案：B) 2cos(2x - π/3)解析：根据链式法则，对sin(2x + π/3) 求导，得到 f'(x) = 2cos(2x +π/3) * 2 = 2cos(2x - π/3)。
4. 设 f(x) = e^x，g(x) = ln(x)，则 f(g(2)) = ？A) e^2B) e^3C) 2D) ln(2)答案：A) e^2解析：首先求 g(2) = ln(2)，然后将结果代入 f(x) = e^x 中计算，得到 f(g(2)) = f(ln(2)) = e^ln(2) = 2。
(完整版)常微分方程期末考试试卷(6)
常微分方程期末考试试卷(6)学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______一． 填空题 （共30分，9小题，10个空格，每格3分）。
1.当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全微分方程。
2、________________称为齐次方程。
3、求dxdy =f(x,y)满足00)(y x =ϕ的解等价于求积分方程____________________的连续解。
4、若函数f(x,y)在区域G 内连续，且关于y 满足利普希兹条件，则方程),(y x f dx dy = 的解 y=),,(00y x x ϕ作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内是__________。
5、若)(),...(),(321t x t x t x 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。
6、方程组x t A x )(/=的_________________称之为x t A x )(/=的一个基本解组。
7、若)(t φ是常系数线性方程组Ax x =/的基解矩阵，则expAt =____________。
8、满足___________________的点（**,y x ），称为方程组的奇点。
9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。
二、计算题（共6小题，每题10分）。
1、求解方程：dx dy =312+++-y x y x2.解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=03、讨论方程23=dx dy 31y 在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解4、求解常系数线性方程：t e x x x t cos 32///-=+-5、试求方程组Ax x =/的一个基解矩阵，并计算⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3421,为其中A e At 6、试讨论方程组cy dtdy by ax dtdx =+=, （1）的奇点类型，其中a,b,c 为常数，且ac ≠0。
常微分方程期末试题答案
一、填空题（每空2 分，共16分）。
1、方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ．22d d y x x y+=2. 方程组的任何一个解的图象是 n+1 维n x x xR Y R Y F Y∈∈=,),,(d d 空间中的一条积分曲线.3．连续是保证方程初值唯一的 充分 条件．),(y x f y '),(d d y x f xy=4．方程组的奇点的类型是 中心⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y txd d d d )0,0( 5．方程的通解是2)(21y y x y '+'=221C Cx y +=6．变量可分离方程的积分因子是()()()()0=+dy y q x p dx y N x M ()()x P y N 17．二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要)(1x y ϕ=)(2x y ϕ=条件是 线性无关8．方程的基本解组是440y y y '''++=x x x 22e ,e--二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。
9．一阶线性微分方程的积分因子是（ A ）．d ()()d yp x y q x x+=（A ）（B ）（C ）（D ）⎰=xx p d )(e μ⎰=xx q d )(e μ⎰=-xx p d )(e μ⎰=-xx q d )(e μ10．微分方程是（ B ）0d )ln (d ln =-+y y x x y y （A ）可分离变量方程（B ）线性方程（C ）全微分方程（D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A)(B)1±=x 1±=y (C ), (D ), 1±=y 1±=x 1=y 1=x12．阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．n （A ）构成一个线性空间（B ）构成一个维线性空间1-n（C ）构成一个维线性空间（D ）不能构成一个线性空间1+n 13．方程（ D ）奇解．222+-='x y y （A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个（D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。
常微分方程期末试题标准答案
一、填空题（每空2 分，共16分）。
1、方程22d d y x xy +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ． 2. 方程组n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy =初值唯一的 充分 条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 中心 5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y += 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 1 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e-- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。
9．一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ A ）． （A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=x x q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程（C ）全微分方程 （D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。
常微分期末考试试题和答案
《 常微分方程 》期末考试试卷（1）班级 学号 姓名 成绩.一、填空（每格3分，共30分）1、方程(,)(,)M x y d x N x y d y +=有只与x有关的积分因子的充要条件是 。
2、若12(),(),,()n x t x t x t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是 。
3、若()t Φ和()t ψ都是'()x A t x=的基解矩阵，则()t Φ和()t ψ具有的关系是_____________________________。
4、函数),(y x f 称为在矩形域Ｒ上关于y 满足利普希兹条件，如果 。
5、当 时，方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 称为恰当方程，或称全微分方程。
6、若()t Φ是x t A x )(='的基解矩阵，则x t A x )(=')(t f =满足η=)(0t x的解 。
7、若()(1,2,,)i x t i n =为n 阶齐线性方程()()1()()0n n n x a t x a t x +++=的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为 。
8、求dxdy=f(x,y)满足00()y x y =的解等价于求积分方程 的解。
9、如果),(y x f 在R 上 且关于y 满足李普希兹条件，则方程),(y x f dxdy=存在唯一的解)(x y ϕ=，定义于区间h x x ≤-0上，连续且满足初始条件00)(y x =ϕ，其中h = ，),(max ),(y x f M Ry x ∈=。
二、计算题(每题10分,共50分)10、求方程 221dy y dx xy x y +=+ 的解。
11、求方程2dyx y dx=-通过点(1,0)的第二次近似解。
12、求非齐线性方程sin x xt ''+=的特解。
13、求解恰当方程 0)4()3(2=---dy x y dx x y 。
《常微分方程》期末模拟试题
《常微分方程》模拟练习题及参考答案一、填空题（每个空格4分，共80分）1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。
2、一阶微分方程2=dyx dx的通解为 2=+y x C （C 为任意常数） ，方程与通过点（2，3）的特解为 21=-y x ，与直线y=2x+3相切的解是 24=+y x ，满足条件33ydx =⎰的解为 22=-y x 。
3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 必要 条件。
4、对方程2()dyx y dx=+作变换 =+u x y ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 tan()=+-y x C x 。
5、方程21d d y x y -=过点)1,2(π共有 无数 个解。
6、方程''21=-y x的通解为 4212122=-++x x y C x C ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为421912264=-++x x y x 。
7、方程x x y xy+-=d d 无 奇解。
8、微分方程2260--=d y dyy dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩dyz dx dz z y dx。
9、方程y xy=d d 的奇解是 y=0 。
10、35323+=d y dy x dx dx是 3 阶常微分方程。
11、方程22dyx y dx=+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 。
12、微分方程22450d y dy y dx dx--=通解为 512-=+x xy C e C e ，该方程可化为一阶线性微分方程组45⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩dy z dxdz z y dx。
13、二阶线性齐次微分方程的两个解12(),()y x y x ϕϕ==成为其基本解组的充要条件是 线性无关 。
14、设1342A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则线性微分方程组dXAX dt =有基解矩阵 25253()4φ--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦t t t t e e t ee 。
常微分方程期末考试题
常微分方程期末考试题以下是某校 ode 期末考试题一：计算题（ 1,2,3,5 各8分，第4题18分，总50分）1） \frac{dy}{dx}=\frac{x+y-3}{x-y+1}2) \frac{dy}{dx}+2xy+xy^4=03) x'=Ax,A=\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&3\end{matrix}\right) 求基解矩阵4） x^2y''+xy'-y=x （该题给出3种解法）5) x''+2x'-3x=e^t+cost二：解答题（每题10分，总50分）6）证明：如已知 Riccati 方程的一个特解，则可用初等解法得到它的通解.7）方程 \frac{dy}{dx}=x^2+y^2 定义在矩形域 \left| x\right|\leq1，\left| y \right|\leq1 试利用存在唯一性定理确定经过 y(0)=0 的解存在区间，并写出 \varphi_n(x) 的迭代序列，求第二次近似解及误差估计。
8）微分方程 \frac{dy}{dx}+ay=f(x)(a>0)\\f(x) 是以 2\pi 为周期的连续函数，试求方程的 2\pi 周期解。
9）设 \phi(x) 是齐次线性微分方程组\frac{dy}{dx}=A(x)y\\ 的一个基解矩阵，并且 n 维向量函数 f(x,y) 在区域 a<x<b,\left| \left| y\right|\right|<+\infty 上连续，试证明：求解初值问题\frac{dy}{dx}=A(x)y+f(x,y),y(x_0)=y_0\\ 等价于求解积分方程 y(x)=\phi (x)\phi^{-1}(x_0)y_0+\int_{x_0}^{x}\phi (x)\phi^{-1}(s)f(s,y(s))ds\\ 其中 x_0\in(a,b)10）证明：方程 y'=\sqrt[5]{\frac{y^4+2}{x^6+2}} 的每条积分曲线有两条水平渐近线。
常微分方程试题及参考答案
常微分方程试题一、填空题(每小题3分，共39分)1.常微分方程中的自变量个数是________.2.路程函数S(t)的加速度是常数a，则此路程函数S(t)的一般形式是________.3.微分方程=g( )中g(u)为u的连续函数，作变量变换________，方程可化为变量分离方程.4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式为x= (t),P=ψ(t),t为参数，则方程参数形式的通解为________.5.方程=(x+1)3的通解为________.6.如果函数f(x,y)连续，y= (x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上，满足初始条件 (x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h 上的连续解.7.方程=x2+xy，满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________.8.方程+a1(t) +…+a n-1(t) +a n(t)x=0中a i(t) i=1,2,…，n是〔a,b〕上的连续函数，又x1(t),x2(t),…，x n(t)为方程n 个线性无关的解，则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是：________.9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________.10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，x1(t),x2(t),…，x n(t)是方程组x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为：x(t)=________的形式.11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之等价的一阶方程组________.12.如果A是3×3的常数矩阵，-2为A的三重特征值，则方程组x′=Ax的基解矩阵exp A t=________.13.方程组的奇点类型是________.二、计算题(共45分)1.(6分)解方程= .2.(6分)解方程x″(t)+ =0.3.(6分)解方程(y-1-xy)dx+xdy=0.4.(6分)解方程5.(7分)求方程：S″(t)-S(t)=t+1满足S(0)=1, (0)=2的解.6.(7分)求方程组的基解矩阵Φ(t).7.(7分)验证方程：有奇点x1=1, x2=0,并讨论相应驻定方程的解的稳定性.三、证明题(每小题8分，共16分)1.设f(x,y)及连续，试证方程dy-f(x,y)dx=0为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x的积分因子.2.函数f(x)定义于-∞<x<+∞，且满足条件|f(x1)-f(x2)|≤N|x1-x2|,其中0<N<1,证明方程x=f(x)存在唯一的一个解.常微分方程试题参考答案一、填空题(每小题3分，共39分)1.12. 2+c1t+c23.u=4. c为任意常数5.y= (x+1)4+c(x+1)26.y=y0+7. (x)=8.对任意t9.x(t)=c1e t+c2te t+c3e-t+c4te-t10.x(t)=c1x1(t)+c2x2(t) +c n x n(t)11. x1(1)=1,x2(1)=2, x3(1)=312.expAt=e-2t[E+t(A+2E)+ ]13.焦点二、计算题（共45分）1.解：将方程分离变量为改写为等式两边积分得y-ln|1+y|=ln|x|-即y=ln 或e y=2.解：令则得=0当0时-arc cosy=t+c1y=cos(t+c1) 即则x=sin(t+c1)+c2当=0时y= 即x3.解：这里M=y-1-xy, N=x令u=xye-xu关于x求偏导数得与Me-x=ye-x-e-x-xye-x 相比有则因此u=xye-x+e-x方程的解为xye-x+e-x=c4.解：方程改写为这是伯努利方程，令z=y1-2=y-1 代入方程得解方程z==于是有或5.特征方程为特征根为对应齐线性方程的通解为s(t)=c1e t+c2e-tf(t)=t+1, 不是特征方程的根从而方程有特解=（At+B）,代入方程得-(At+B)=t+1两边比较同次幂系数得A=B=-1故通解为S(t)=c1e t+c2e-t-(t+1)据初始条件得c1=因此所求解为：S(t)=6.解：系数矩阵A=则，而det特征方程det( )=0, 有特征根对对对因此基解矩阵7.解：因故x1=1，x2=0是方程组奇点令X1=x1-1, X2=x2, 即x1=X1+1,x2=X2代入原方程，得化简得*这里R(X)= , 显然（当时）方程组*中，线性部分矩阵det(A- )=由det(A- )=0 得可见相应驻定解渐近稳定三、证明题（每小题8分，共16分）1.证明：若dy-f(x,y)dx=0为线性方程则f(x,y)=因此仅有依赖于x的积分因子反之，若仅有依赖于x的积分因子。
(完整版)常微分方程试题及答案
第十二章 常微分方程(A)一、是非题1．任意微分方程都有通解。
( X )2．微分方程的通解中包含了它所有的解。
( X )3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。
( O )4．函数x e x y ⋅=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。
( X )5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y +=2ln 21(C 为任意常数)。
(O ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。
( X )7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。
( O )8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。
( O )9．221xy y x dx dy+++=是可分离变量的微分方程。
( O )二、填空题1．在横线上填上方程的名称①()0ln 3=-⋅-xdy xdx y 是可分离变量微分方程。
②()()022=-++dy y x y dx x xy 是可分离变量微分方程。
③x yy dx dyx ln ⋅=是齐次方程。
④x x y y x sin 2+='是一阶线性微分方程。
⑤02=-'+''y y y 是二阶常系数齐次线性微分方程。
2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 3 个独立常数。
3．x e y 2-=''的通解是21241C x C e x ++-。
4．x x y cos 2sin -=''的通解是21cos 2sin 41C x C x x +++-。
5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 3 阶微分方程。
6．微分方程()06='-''⋅y y y 是 2 阶微分方程。
临沂大学《常微分方程》期末考试复习题及参考答案
A、 阶 B、 解 C、 通解 D、 特解
正确答案： D
16、如果 f(x,y),f(x,y)/y 都在 xoy 平面上连续，那么方程 dy/dx= f(x,y)的任一解的存在区间 （2.0）
A、 必为(-∞,+∞) B、 必为(0,+∞) C、 必为(-∞, 0) D、 将因解而定
A、 y2-x=C B、 y-√x=C C、 y=x+C D、 y=-x+C
正确答案： BCD
三、 判断题 （共 10 题，20 分）
1、dy/dx=1+x+y2+xy2 是可分离变量的微分方程（2.0）
正确答案： 正确
2、方程 xydx + (2x2 + 3y2-20)dy = 0 的只与 y 有关的积分因子为 y（2.0）
正确答案： ABC
9、下列方程中，全微分方程为（2.0）
A、 (3x2 + 6xy2)dx+ (6x2y +4y2)dy=0 B、 edx+ (x·eY-2y)dy= 0 C、 y(x- -2y)dx-x2dy= 0 D、 (x2-y)dx-xdy= 0
正确答案： ABD
10、微分方程 2ydy-dx = 0 的通解不为（2.0）
6、微分方程 y" -2y + 2y= ex 的通解为 y=ex(c*cosx+c*sinx+1)（2.0）
正确答案： 正确
7、三阶常系数齐线性方程 y" -2y" +y= 0 的特征根是 1（2.0）
正确答案： 错误
8、微分方程 y -2y-3y = 0 的通解为 y=c*e-x+c*e3x（2.0）
常微分期末考试试题和答案a#
《常微分方程》期终测试试卷<A ）<适用班级：班）下属学院_________________班级_________姓名____________成绩______________________。
2、一阶方程0=+Ndy Mdx ，若存在可微函数)0)(,(≠μy x 使_____________ _________________________时，称),(y x μ为这个方程的积分因子。
3、____________________称为黎卡提方程，若它有一个特解)(x y ，则经过变换____________________，可化为伯努利方程。
4、对R y x y x ∈∀),(),,(21，存在常数)0(>N ，使____________________则称),(y x f 在R 上关于y 满足李普希兹条件。
5、若)(x ϕ为毕卡逼近序列)}({x n ϕ的极限，则有≤ϕ-ϕ|)()(|x x n _________。
6、方程22y x dx dy +=定义在矩形域R ：22≤≤-x ，22≤≤-y 上，则经过点)0,0(解的存在区间是__________________。
7、若),,3,2,1)((n i t x i =是n 阶齐线性方程01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n 的n 个解，)(t w 为其伏朗基斯行列式，则)(t w 满足一阶线性方程__________________。
8、设0)(1≠t x 是二阶齐线性方程0)()(21=+'+'x t a x t a x 的一个解，则该方程的通解为____________________________________________。
9、若),,3,2,1)((n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组，)(t x 为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的通解为_____________________________。
(完整版)常微分方程期末试题答案
一、填空题（每空2 分，共16分）。
1、方程22d d y x xy +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ． 2. 方程组n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy =初值唯一的 充分 条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 中心 5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y += 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 1 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e-- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。
9．一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ A ）． （A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=x x q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程（C ）全微分方程 （D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。
常微分方程期末考试试题与答案
(2)首先，用分离变量法求得dx/dt=ax有通解x(t)=c exp(at)。
设方程有形如x(t)=c(t) exp(at)的解。代入方程得dc/dt= exp(-as) f(s),
从而得到特解x(t)= exp(at)exp(-as) f(s)ds和通解
(a)f连续，(b) f连续且对x有界，
(c) f连续且对x可微，(d) f连续且对x连续可微。
(5)在(4)中考虑的初值问题解对初值连续依赖的条件是__c___。
(a)f连续，(b) f连续且对x有界，
(c)连续且对x是Lipschitz的，(d) f连续且对x可微。
(6)设系统dx/dt=f(x)的初值问题具有存在唯一性且满足f(0)=0。系统关于初值x(0)=x0的解记为x(t,x0)。系统零解的渐近稳定性是指其零解稳定并且__d__。
[解](1)特征方程为2+1=0,=i, -i。通解为x(t)=C1exp(it)+C2exp(-it).
实通解为x(t)=C1cos(t)+C2sin(t).[5分]
(2)考虑算子形式的复系统(D2+1)z=exp(it).从而
z(t)= exp(it){1/( (D+i)2+ 1)}1= exp(it)(1/( (D2+2iD))1
=(x/y) d(xy3)+ 4x2d(xy)
=(x/y) {d(xy3)+ 4xy d(xy) }
=(x/y) d{xy3+ 2(xy)2}，[4分]
从而得到xy3+ 2(xy)2=C。[1分]
《常微分方程》期末考试试题库
《常微分方程》期末考试试题目录《常微分方程》期末考试题（一） (1)《常微分方程》期末考试题（二） (6)《常微分方程》期末考试题（三） (13)《常微分方程》期末考试题（四） (18)《常微分方程》期末考试题（五） (24)《常微分方程》期末考试题（六） (31)《常微分方程》期末考试题库 (36)《常微分方程》期末考试题（一）一、填空题（每空2 分，共16分）。
1、方程22d d y x x y+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ． 2. 方程组n x x xR Y R Y F Y∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy=初值唯一的 充分 条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y txd d d d 的奇点)0,0(的类型是 中心5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y +=6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 17．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e -- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。
9．一阶线性微分方程d ()()d yp x y q x x+=的积分因子是（ A ）． （A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=xx q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-xx q d )(e μ10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程 （C ）全微分方程 （D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y (C)1±=y , 1±=x (D)1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间 （C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间 13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。
常微分方程练习试卷及答案
常微分方程练习试卷及答案常微分方程练试卷一、填空题。
1.方程d2x/dt2+1=是二阶非线性微分方程。
2.方程xdy/ydx=f(xy)经变换ln|x|=g(xy)可以化为变量分离方程。
3.微分方程d3y/dx3-y2-x=0满足条件y(0)=1,y'(0)=2的解有一个。
4.设常系数方程y''+αy'+βy=γex的一个特解y(x)=e-x+e2x，则此方程的系数α=-1，β=2，γ=1.5.朗斯基行列式W(t)≠0是函数组x1(t),x2(t)。
xn(t)在[a,b]上线性无关的条件。
6.方程xydx+(2x2+3y2-20)dy=0的只与y有关的积分因子为1/y3.7.已知X'=A(t)X的基解矩阵为Φ(t)，则A(t)=Φ(t)-1dΦ(t)/dt。
8.方程组x'=[2,5;1,0]x的基解矩阵为[2e^(5t),-5e^(5t);e^(5t),1]。
9.可用变换将伯努利方程y'+p(x)y=q(x)化为线性方程。
10.方程y''-y'+2y=2e^x的通解为y(x)=C1e^x+C2e^2x+e^x。
11.方程y'''+2y''+5y'+y=1和初始条件y(0)=y'(0)=y''(0)=0的唯一解为y(x)=e^-x/2[sin(5^(1/2)x/2)-cos(5^(1/2)x/2)]。
12.三阶常系数齐线性方程y'''-2y''+y=0的特征根是1，1，-1.二、计算题1.设曲线方程为y(x)=kx/(1-k^2)，则曲线上任一点处的斜率为y'(x)=k/(1-k^2)，切点为(0,0)，切线方程为y=kx，点(1,0)的连线斜率为-1/k，因此k=-1，曲线方程为y=-x/(1+x)。
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一，常微分方程的基本概念常微分方程：含一个自变量x，未知数y及若干阶导数的方程式。
一般形式为：F（x，y，y，.....y(n)）=0 (n≠0).1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。
如：f(x)（3）+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。
2.若f（x）使常微分方程两端恒等，则f（x）称为常微分方程的解。
3.含有独立的任意个常数（个数等于方程的阶数）的方程的解称为常微分方程的通解。
如常系数三阶微分方程F（t，x（3））=0的通解的形式为：x（t）=c1x（t）+c2x（t）+c3x（t）。
4.满足初值条件的解称为它的特解（特解不唯一，亦可能不存在）。
5.常微分方程之线性及非线性：对于F（x，y，y，......y(n)）=0而言，如果方程之左端是y，y，......y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。
（方程线性与否与自变量无关）。
如：xy（2）-5y，+3xy=sinx 为2阶线性微分方程；y（2）+siny=0为非线性微分方程。
注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。
余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。
另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。
b.教材28页第八题不妨做做。
二.可分离变量的方程A.变量分离方程1.定义：形如dxdy=f （x)φ(y)的方程，称为分离变量方程。
这里f （x ），φ（x ）分别是x ，y 的连续函数。
2.解法：分离变量法⎰⎰+=c dx x f y dy)()(ϕ. （*） 说明： a 由于（*）是建立在φ（y ）≠0的基础上，故而可能漏解。
需视情况补上φ（y ）=0的特解。
（有时候特解也可以和通解统一于一式中）b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。
例1.0)4(2=-+dy x x ydx解：由题意分离变量得：042=+-ydy x dx即：0)141(41=+--ydydx x x 积分之，得：c y x x =+--ln )ln 4(ln 41故原方程通解为：cx y x =-4)4( （c 为任意常数），特 解y=0包含在通解中（即两者统一于一式中）。
*例2.若连续函数f （x ）满足2ln )2()(20+=⎰dt tf x f x ，则f （x ）是？ 解：对给定的积分方程两边关于x 求导，得： )(2)('x f x f = （变上限求积分求导） 分离变量，解之得：x Ce x f 2)(=由原方程知： f （0）=ln2， 代入上解析式得： C=ln2，B.可化为分离变量方程的类型。
解决数学题目有一个显而易见的思想：即把遇到的新问题，结合已知条件，设法将其转化为已经解决的问题来解决。
故可把一些常微分方程方程，通过适当变形，转化为大家熟悉的变量分离方程，进而解决之。
类型1.1.形式： 形如)(xy g dxdy = （2.2）的方程，此类方程称为齐次微分方程， 这里g （u ）是u 的连续函数。
1.解法：作变量变换 u=xy ， （2.3） 即y=ux ，从而：u dxdu x dx dy += （2.4） 将（2.3）（2.4）代入（2.2），则原方程变为：xuu g dx du -=)( 这是一个变量分离方程，可按照A 中的方法求解。
例3.求解方程：2)(y x dxdy+= 解：令 u=x+y ，则y=u-x ，于是：1-=dxdu dx dy 于是，原方程可化为：21u dxdu=- 分离变量得：dx u du=+12积分之，得：arctanu=x+c 变量回代，既得 方程之通解： arctan （x+y ）=x+c 例4求解方程0)ln (ln =--ydx dy y x x . 解：由题意可得：0ln =-dx xy dy yx ，即：xy y xdydx ln =（2.5）令u y x =，则uy x =，于是：u y dydu dy dx +=， 代入（2.5）得：1ln -=+uuu y dy du ， 分离变量，并整理得：ydyu u du =-)1(ln两边积分得：⎰⎰=-ydyu u du )1(ln ，令u=t e则有：⎰⎰=-ydy dt t 11，从而有：c y t ln ln 1ln +=-（c>0）.即：cy t ±=-1，变量回代得：y c yx1ln =+1 (c c ±=1) 类型二：形式：)(222111c b x a c y b x a f dx dy ++++= 解法：1.当c 1=c 2=0时，)()()(22112211x y g xy b a x yb a f y b x a y b x a f dx dy =++=++=转化为齐次方程。
2.当λ==2121b b a a 时，)())((22222122y b x a g c y b x a c y b x a f dx dy +=++++=λ ,22u y b x a =+ 则)(212222c u c f b a dx dy b a dx du +++=+=λμ 从而可转化为变量分离方程。
3.当2121b b a a ≠且21,c c 不全为零时， 解方程组｛00222111=++=++c y b x a c y b x a ，求交点),(βα, 令x=X+α，β+=Y y ，则原方程化为：)(XYdY dX ϕ= 这是齐次方程。
例5.求解方程1212+-+-=y x y x dx dy . 解：｛12012=+-=+-y x y x 得交点｛3131=-=y x ，令｛3131+=-=Y y X x 代入原方程有：Y X Y X dX dY 22--= 令u X Y =，则uX Y =，于是：u X dXdu dX dY +=， 从而有：u u u X dX du 212--=+， 整理得：XdXdu u u u 21212=+--，两边积分之，得：⎰⎰=+-+--XdXu u u u d 21)1(22，即：12ln ln 2)1ln(c X u u +-=+- （c 1>0） 即 ：2121X c u u =+-， 变量回代，并整理得：c xy y x y x =--++22 （ c 1-31=c ）例6. 求解方程25--+-=y x y x dx dy .解：令y x u -=，则 y=x u -，从而：dxdu dx dy -=1， 代入原方程，得：251-+=-u u dx du ， 整理得：dxduu =-27， 分离变量得：dx du u 7)2(=-，两边积分之：cx u u 2172122-=-，变量回代，并整理得：c xy y x y x =-+++241022（c 是任意常数）C.线性微分方程和常数变易法 1.形式：形如)()(x Q y x p dxdy=+的一阶方程称为一阶线性方 程.当0)(≡x Q 时，称之为齐次的，否则称之为非齐次的. 2. 解法：利用常数变易法求解。
其解为：))(()()(c dx e x Q e y dxx p dxx p +⎰⎰=-⎰.下面用具体的题目体现这一思想.注意：在用公式求解一阶线性方程时，一定要化为标注标准式（dx dy的系数为1），否则易出错. 例7 求方程x y dxdysin +=的通解.解：首先求线性齐次方程y dxdy=的通解，分离变量得：dx ydy=，两边同时积分， 得：x ce y =，因而可设原方程的通解为： x e x c y )(=，则)()(x c e e dxx dc dx dy x x+=， 将之入原方程，得：x e x c x c e e dxx dc x x xsin )()()(+=+，即：x xe dx x dc -=sin )(， 两边积分得：dx xe x c x ⎰-=sin )(，而 ⎰⎰---=)(sin sin x x e xd dx xe =)(sin sin x d e xe x x ⎰--+- =xdx e xe x x cos sin ⎰--+- =⎰----)(cos sin x x e xd xe =)(cos cos sin x d e xe xe x x x ⎰---+-- xdx e x x e x x sin )cos (sin ⎰---+-=从而：)cos (sin 21)(x x e x c x +-=- （这里没加常 数 ），从而通解为：)cos (sin 21x x y +-=. D.伯努利方程及其解法 1.形式：形如n y x Q y x p dxdy)()(=+（1,0≠n ）的方程称为伯努利方 程. 2.解法：在方程两边同时成乘以,n y -做代换n y z -=1，则伯努利方程转化为新的未知函数z 的线性方程)()1()()1(x Q n z x p n dxdz-=-+，从而可用C 中方法解决之.注意：n>0时，方程还有解y=0.例8.求方程26xy xydx dy -=的通解. 解：方程两边同乘2-y ，得：x y x ydx dy y -=--226，即：x xydx dy y -=-162（2.12） 令 1-=y z ， 则dxdyy dx dz 2--=，将之代入（2.12）得：x z x dx dz +-=6. （2.13） 616xc z xdx zdz =⇒-=, 记（2.13）之通解为：61)(xx c z =，于是：7161)(6)(---=x x c x dxx dc dx dz ，将以上两式代入（2.13） 得：x x x c xx x c x dxx dc +-=----61716)(6)(6)(71)(x dxx dc =⇒， c xx c +=⇒8)(81 628x c x z +=⇒ ，变量回代得原方程之通解为：6281xcx y +=，此外，方程还有解y=0.例9.解方程33y x xy dxdy=+. 解：这是n=3时的伯努利方程，令z=231--=y y ， 则方程可化为：322x xz dxdz-=，这是一阶线性方程， 应用公式得：)2(232c dx e x e z xdxxdx+⎰-⎰=-⎰=)1(22++x e c x 这样，方程之通解为：11222++=x ce yx ， 另外，方程有解：y=0. E.恰当微分方程与积分因子1.形式：对于一阶方程0),(),(=+dy y x N dx y x M （2.14） 如果其左端是某一函数),(y x u 的全微分，即dy y x N dx y x M y x du ),(),(),(+=，则称此方程为恰当微分方程.2.条件：若（2.14）中的),(),,(y x N y x M 在某一单连通区域D 有一阶连续的偏导数，则（2.14）为恰当微风方程 的充要条件为：xNy M ∂∂=∂∂，D y x ∈),(. 3.解的形式：c u =. 4.解法：a.朴素化简法：由M xu=∂∂，得)(),(),(y dx y x M y x u ϕ+=⎰， 再由N y u =∂∂，得4)(y y =ϕ)(),(),(,y dx yy x M y x N ϕ+∂∂=⎰ 由上式解得)(,y ϕ，在积分之既得)(y ϕ. (当然这种解法具有对称性)b.分项组合法：通过例题予以说明.（宜熟记课本54页（2.55））c.利用原函数之积分仅与起始点有关，而与道路无 关求解.（旨在提醒有此法，一般不用） 例10.求0)46()63(3222=+++dy y y x dx xy x 的通解.解：这里322246,63y y x N xy x M +=+=，此时：xy yN xy y M 12,12=∂∂=∂∂ 因此为恰当微分方程. a.朴素化简法.令2263xy x x u+=∂∂ （2.15）3246y y x yu+=∂∂ （2.16） 对（2.15）关于x 积分，得)(3223y y x x u ϕ++= （2.17） 对（2.17）两边关于y 求导，并对照（2.16），得： 32246)(6y y x dyy d y x yu +=+=∂∂ϕ，于是34)(y dyy d =ϕ积分之，得：4)(y y =ϕ，将4)(y y =ϕ代入（2.17），得：42233y y x x u ++=，从而通解为：c y y x x =++42233b.分项组合法.将上面方程重新组合得：0)66()43(2232=+++ydy x dx xy dy y dx x ，即：0)3()()(2243=++y x d y d x d ，亦即：0)3(2243=++y x y x d ， 从而通解为:c y x y x =++22433.（此种方法需要多观察）例11 求解方程 0)(11)(2222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--dy y x x y dx x y x y . 解：因为：32222)(2)(11)(y x xyy x x y x x y x y y -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--ϕϕ， 故此方程为恰当微分方程.分项组合得：0)()(112222=---+-y x dy x y x dx y dx x dy y ，即 0)ln (ln =---yx xy x y d ， 从而方程之通解为：c yx xyx y =--ln. 5. 定义：能使非恰当微分方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 变成恰当微分方程的连续可微函数u （x ，y ）（0),(≠y x u ），称之为该方程的积分因子.即0),(),(),(),(=+dy y x N y x u dx y x M y x u ，满足xuNy uM ∂∂=∂∂. 5.积分因子(只与x ，y 有关)的求解：a.与x 有关的积分因子.由)(x NxNy M ψ=∂∂-∂∂得：⎰=dx x e u )(ψ，b.与y 有关的积分因子.由)(y MxNy M ϕ=-∂∂-∂∂得：dx x e u ⎰=)(ϕ. 例12.求方程02)3(2=++xydy dx y e x 的通解.解：由于xxy y y y y e x ∂∂=≠=∂+∂)2(26)3(2，故此方程不是恰当微 当微分方程。