常微分方程期末考试练习题及答案

一，常微分方程的基本概念

常微分方程：

含一个自变量x，未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为：F（x，y，y，.....y(n)）=0 (n≠0).

1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。如：f(x)（3）+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。

2.若f（x）使常微分方程两端恒等，则f（x）称为常微分方程的解。

3.含有独立的任意个常数（个数等于方程的阶数）的方程的解称为常微分方程的通解。如常系数三阶微分方程F（t，x（3））=0的通解的形式为：x（t）=c1x（t）+c2x（t）+c3x（t）。

4.满足初值条件的解称为它的特解（特解不唯一，亦可能不存在）。

5.常微分方程之线性及非线性：对于F（x，y，y，......y(n)）=0而言，如果方程之左端是y，y，......y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。（方程线性与否与自变量无关）。如：xy（2）-5y，+3xy=sinx 为2阶线性微分方程；y（2）+siny=0为非线性微分方程。

注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。

b.教材28页第八题不妨做做。

二.可分离变量的方程

A.变量分离方程

1.定义：形如

dx

dy

=f （x)φ(y)的方程，称为分离变量方程。这里f （x ），φ（x ）分别是x ，y 的连续函数。 2.解法：分离变量法⎰

⎰

+=c dx x f y dy

)()(ϕ. （*） 说明： a 由于（*）是建立在φ（y ）≠0的基础上，故而可能漏解。需视情况补上φ（y ）=0的特解。（有时候特解也可以和通解统一于一式中）

b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。 例1.0)4(2=-+dy x x ydx

解：由题意分离变量得：04

2=+-y

dy x dx

即：

0)141(41=+--y

dy

dx x x 积分之，得：c y x x =+--ln )ln 4(ln 4

1

故原方程通解为：cx y x =-4)4( （c 为任意常数），特 解y=0包含在通解中（即两者统一于一式中）。 *例2.若连续函数f （x ）满足

2

ln )2

()(20

+=⎰

dt t

f x f x ，则f （x ）是？ 解：对给定的积分方程两边关于x 求导，得： )(2)('x f x f = （变上限求积分求导） 分离变量，解之得：x Ce x f 2)(=

由原方程知： f （0）=ln2， 代入上解析式得： C=ln2，

B.可化为分离变量方程的类型。

解决数学题目有一个显而易见的思想：即把遇到的新问题，结合已知

条件，设法将其转化为已经解决的问题来解决。故可把一些常微分方程方程，通过适当变形，转化为大家熟悉的变量分离方程，进而解决之。

类型1.1.形式： 形如)(x

y g dx

dy = （2.2）

的方程，此类方程称为齐次微分方程， 这里g （u ）是u 的连续函数。

1.解法：作变量变换 u=x

y ， （2.3） 即y=ux ，从而：

u dx

du x dx dy += （2.4） 将（2.3）（2.4）代入（2.2），则原方程变为：

x

u

u g dx du -=)( 这是一个变量分离方程，可按照A 中的方法求解。 例3.求解方程：

2)(y x dx

dy

+= 解：令 u=x+y ，则y=u-x ，于是：1-=dx

du dx dy 于是，原方程可化为：21u dx

du

=- 分离变量得：

dx u du

=+1

2

积分之，得：arctanu=x+c 变量回代，既得 方程之通解： arctan （x+y ）=x+c 例4求解方程0)ln (ln =--ydx dy y x x . 解：由题意可得：0ln =-dx x

y dy y

x ，

即：x

y y x

dy

dx ln =

（2.5）

令u y x =，则uy x =，于是：u y dy

du dy dx +=， 代入（2.5）得：

1ln -=+u

u

u y dy du ， 分离变量，并整理得：y

dy

u u du =-)1(ln

两边积分得：⎰⎰=-y

dy

u u du )1(ln ，令u=t e

则有：⎰⎰=-y

dy dt t 11，从而有：c y t ln ln 1ln +=-

（c>0）.

即：cy t ±=-1，变量回代得：y c y

x

1ln =+1 (c c ±=1) 类型二：形式：

)(2

22111c b x a c y b x a f dx dy ++++= 解法：1.当c 1=c 2=0时，

)()(

)(221

12211x y g x

y b a x y

b a f y b x a y b x a f dx dy =++=++=转化为齐次方程。 2.当λ==2

1

21b b a a 时，

)())((222

221

22y b x a g c y b x a c y b x a f dx dy +=++++=λ ,22u y b x a =+ 则

)(2

1

2222c u c f b a dx dy b a dx du +++=+=λμ 从而可转化为变量分离方程。