7第七讲 函数的单调性及最值(教师版)

第一课时：单调性知识点一 函数的单调性思考 画出函数f (x )＝x 、f (x )＝x 2的图象，并指出f (x )＝x 、f (x )＝x 2的图象的升降情况如何？ 答案 两函数的图象如下：函数f (x )＝x 的图象由左到右是上升的；函数f (x )＝x 2的图象在y 轴左侧是下降的，在y 轴右侧是上升的. 梳理 一般地，单调性是相对于区间来说的，函数图象在某区间上上升，则函数在该区间上为增函数，该区间称为增区间.反之则为减函数，相应区间称为减区间.因为很多时候我们不知道函数图象是什么样的，而且用上升下降来刻画单调性很粗糙.所以有以下定义： 设函数f (x )的定义域为I ：(1)如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数.(2)如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数. 知识点二 函数的单调区间思考 我们已经知道f (x )＝x 2的减区间为(－∞，0]，f (x)＝1x 的减区间为(－∞，0)，这两个减区间能不能交换？答案 f (x )＝x 2的减区间可以写成(－∞，0)，而f (x )＝1x的减区间(－∞，0)不能写成(－∞，0]，因为0不属第七节.函数的单调性与最值 基本不等式于f (x )＝1x的定义域.梳理 一般地，有下列常识：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开. (2)单调区间D ⊆定义域I .(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大.类型一 求单调区间并判断单调性例1 如图是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？解 y ＝f (x )的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]，其中y ＝f (x )在区间[－5，－2]，[1,3]上是减函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是增函数.反思与感悟 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D 上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有.跟踪训练1 写出函数y ＝|x 2－2x －3|的单调区间，并指出单调性.解 先画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3，x <－1或x >3，－(x 2－2x －3)，－1≤x ≤3的图象，如图.所以y ＝|x 2－2x －3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，其中单调减区间是(－∞，－1]，[1,3]；单调增区间是[－1,1]，[3，＋∞). 类型二 证明单调性命题角度1 证明具体函数的单调性例2 求证：函数f (x )＝x ＋1x在[1，＋∞)上是增函数.证明 设x 1，x 2是实数集R 上的任意实数，且1≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－(x 2＋1x 2)＝(x 1－x 2)＋(1x 1－1x 2)＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)(1－1x 1x 2)＝(x 1－x 2)(x 1x 2－1x 1x 2). ∵1≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0,1<x 1x 2， ∴x 1x 2－1x 1x 2>0，故(x 1－x 2)(x 1x 2－1x 1x 2)<0， 即f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2).∴f (x )＝x ＋1x在区间[1，＋∞)上是增函数.反思与感悟 运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x 1，x 2且x 1<x 2的条件下，转化为确定f (x 1)与f (x 2)的大小，要牢记五大步骤：取值→作差→变形→定号→小结. 跟踪训练2证明()1f x x x=- 在()0,+∞上是增函数.命题角度2证明抽象函数的单调性例3已知函数f(x)对任意的实数x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当x>0时，f(x)>1.求证：函数f(x)在R 上是增函数.证明方法一设x1，x2是实数集上的任意两个实数，且x1>x2.令x＋y＝x1，y＝x2，则x＝x1－x2>0.f(x1)－f(x2)＝f(x＋y)－f(y)＝f(x)＋f(y)－1－f(y)＝f(x)－1.∵x>0，∴f(x)>1，f(x)－1>0，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).∴函数f(x)在R上是增函数.方法二设x1>x2，则x1－x2>0，从而f(x1－x2)>1，即f(x1－x2)－1>0.f(x1)＝f[x2＋(x1－x2)]＝f(x2)＋f(x1－x2)－1>f(x2)，故f(x)在R上是增函数.反思与感悟因为抽象函数不知道解析式，所以不能代入求f(x1)－f(x2)，但可以借助题目提供的函数性质来确定f(x1)－f(x2)的大小，这时就需要根据解题需要对抽象函数进行赋值.跟踪训练3已知函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0<f(x)<1.求证：f(x)在R上是减函数.证明∵对于任意实数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，令m＝1，n＝0，可得f(1)＝f(1)·f(0)，∵当x＞0时，0＜f(x)＜1，∴f(1)≠0，∴f(0)＝1.令m＝x＜0，n＝－x＞0，则f(m＋n)＝f(0)＝f(－x)·f(x)＝1，∴f(x)f(－x)＝1，又∵－x＞0时，0＜f(－x)＜1，∴f(x)＝1f(－x)＞1.∴对任意实数x，f(x)恒大于0.设任意x1<x2，则x2－x1>0，∴0<f(x2－x1)<1，∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)f(x1)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]<0，∴f(x)在R上是减函数.类型三 单调性的应用命题角度1 利用单调性求参数范围例4 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x <1，－ax ，x ≥1是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围为( )A.[18，13)B.(0，13)C.[18，＋∞)D.(－∞，18]∪[13，＋∞) 答案 A解析 要使f (x )在R 上是减函数，需满足： ⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，－a <0，(3a －1)·1＋4a ≥－a ·1.解得18≤a ＜13.反思与感悟 分段函数在定义域上单调，除了要保证各段上单调外，还要接口处不能反超.另外，函数在单调区间上的图象不一定是连续不断的.跟踪训练4 已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上单调，则实数a 的取值范围为________________. 答案 a ≤1或a ≥2解析 由于二次函数开口向上，故其增区间为[a ，＋∞)，减区间为(－∞，a ]，而f (x )在区间[1,2]上单调，所以[1,2]⊆[a ，＋∞)或[1,2]⊆(－∞，a ]，即a ≤1或a ≥2. 命题角度2 用单调性解不等式例5 已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，求a 的取值范围. 解 f (1－a )<f (2a －1)等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1，1－a >2a －1，解得0<a <23，即所求a 的取值范围是0<a <23.反思与感悟 若已知函数f (x )的单调性，则由x 1，x 2的大小，可得f (x 1)，f (x 2)的大小；由f (x 1)，f (x 2)的大小，可得x 1，x 2的大小.跟踪训练5 在例5中若函数y ＝f (x )的定义域为R ，且为增函数，f (1－a )<f (2a －1)，则a 的取值范围又是什么？解 ∵y ＝f (x )的定义域为R ，且为增函数， f (1－a )<f (2a －1)，∴1－a <2a －1，即a >23，∴所求a 的取值范围是(23，＋∞).第二课时：函数的最值知识点一 函数的最大(小)值思考 在下图表示的函数中，最大的函数值和最小的函数值分别是多少？1为什么不是最小值？答案 最大的函数值为4，最小的函数值为2.1没有A 中的元素与之对应，不是函数值.梳理 一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I .如果存在实数M 满足：(1)对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M .(2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .那么，称M 是函数y ＝f (x )的最大值.如果存在实数M 满足：(1)对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M .(2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .那么，称M 是函数y ＝f (x )的最小值.知识点二 函数的最大(小)值的几何意义 思考 函数y ＝x 2，x ∈[－1,1]的图象如下：试指出函数的最大值、最小值和相应的x 的值.答案 x ＝±1时，y 有最大值1，对应的点是图象中的最高点，x ＝0时，y 有最小值0，对应的点为图象中的最低点.梳理 一般地，函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个.类型一 借助单调性求最值例1 已知函数f (x )＝xx 2＋1(x >0)，求函数的最大值和最小值.解 设x 1，x 2是区间(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 21＋1－x 2x 22＋1＝x 1(x 22＋1)－x 2(x 21＋1)(x 21＋1)(x 22＋1)＝(x 2－x 1)(x 2x 1－1)(x 21＋1)(x 22＋1). 当x 1<x 2≤1时，x 2－x 1>0，x 1x 2－1<0，f (x 1)－f (x 2)<0，f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在(0,1]上单调递增；当1≤x 1<x 2时，x 2－x 1>0，x 1x 2－1>0， f (x 1)－f (x 2)>0，f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在[1，＋∞)上单调递减. ∴f (x )max ＝f (1)＝12，无最小值.反思与感悟 (1)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，则f (x )的最大值为f (b )，最小值为f (a ). (2)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，则f (x )的最大值为f (a )，最小值为f (b ).(3)若函数y ＝f (x )有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决出最大(小).函数的最大(小)值是整个值域范围内最大(小)的.(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势.跟踪训练1 已知函数f (x )＝2x －1(x ∈[2,6])，求函数的最大值和最小值. 解 设x 1，x 2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－1－2x 2－1＝2[(x2－1)－(x1－1)] (x1－1)(x2－1)＝2(x2－x1) (x1－1)(x2－1).由2≤x1<x2≤6，得x2－x1>0，(x1－1)(x2－1)>0，于是f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).所以，函数y＝2x－1在区间[2,6]上是减函数.因此，函数y＝2x－1在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x＝2时取得最大值，最大值是2，在x＝6时取得最小值，最小值是25.类型二求二次函数的最值例2(1)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[0,2]，求函数f(x)的最值；(2)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最值；(3)已知函数f(x)＝x－2x－3，求函数f(x)的最值；(4)“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h m 与时间t s之间的关系为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？(精确到1m)解(1)∵函数f(x)＝x2－2x－3开口向上，对称轴x＝1，∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，且f(0)＝f(2).∴f(x)max＝f(0)＝f(2)＝－3，f(x)min＝f(1)＝－4.(2)∵对称轴x＝1，①当1≥t＋2即t≤－1时，f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，f(x)min＝f(t＋2)＝t2＋2t－3.②当t ＋t ＋22≤1<t ＋2，即－1<t ≤0时，f (x )max ＝f (t )＝t 2－2t －3， f (x )min ＝f (1)＝－4.③当t ≤1<t ＋t ＋22，即0<t ≤1时，f (x )max ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3， f (x )min ＝f (1)＝－4.④当1<t ，即t >1时，f (x )max ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3， f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t －3.设函数最大值为g (t )，最小值为φ(t )，则有g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t －3(t ≤0)，t 2＋2t －3(t >0)，φ(t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2t －3(t ≤－1)，－4(－1<t ≤1)，t 2－2t －3(t >1).(3)设x ＝t (t ≥0)，则x －2x －3＝t 2－2t －3.由(1)知y ＝t 2－2t －3(t ≥0)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增. ∴当t ＝1即x ＝1时，f (x )min ＝－4，无最大值.(4)作出函数h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18的图象(如图).显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.由二次函数的知识，对于函数h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18，我们有：当t ＝－14.72×(－4.9)＝1.5时，函数有最大值h ＝4×(－4.9)×18－14.724×(－4.9)≈29.于是，烟花冲出后1.5s 是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m.反思与感悟 (1)二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素. (2)图象直观，便于分析、理解；配方法说理更严谨，一般用于解答题. 跟踪训练2 (1)已知函数f (x )＝x 4－2x 2－3，求函数f (x )的最值； (2)求二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在[2,4]上的最小值；(3)如图，某地要修建一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水平方向为x 轴、竖直方向为y 轴建立平面直角坐标系.那么水流喷出的高度h (单位：m)与水平距离x (单位：m)之间的函数关系式为h ＝－x 2＋2x ＋54，x ∈[0，52].求水流喷出的高度h 的最大值是多少？解 (1)设x 2＝t (t ≥0)，则x 4－2x 2－3＝t 2－2t －3.y ＝t 2－2t －3(t ≥0)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增. ∴当t ＝1即x ＝±1时，f (x )min ＝－4，无最大值. (2)∵函数图象的对称轴是x ＝a ， ∴当a <2时，f (x )在[2,4]上是增函数， ∴f (x )min ＝f (2)＝6－4a .当a >4时，f (x )在[2,4]上是减函数， ∴f (x )min ＝f (4)＝18－8a .当2≤a ≤4时，f (x )min ＝f (a)＝2－a 2.∴f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧6－4a ，a <2，2－a 2，2≤a ≤4，18－8a ，a >4.(3)由函数h ＝－x 2＋2x ＋54，x ∈[0，52]的图象可知，函数图象的顶点就是水流喷出的最高点.此时函数取得最大值.对于函数h ＝－x 2＋2x ＋54，x ∈[0，52]， 当x ＝1时，函数有最大值h max ＝－12＋2×1＋54＝94. 于是水流喷出的最高高度是94m. 类型三 函数最值的应用例3 已知x 2－x ＋a >0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围.解 方法一 令y ＝x 2－x ＋a ，要使x 2－x ＋a >0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，只需y min ＝4a －14>0，解得a >14. ∴实数a 的取值范围是(14，＋∞). 方法二 x 2－x ＋a >0可化为a >－x 2＋x .要使a >－x 2＋x 对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，只需a >(－x 2＋x )max ，又(－x 2＋x )max ＝14，∴a >14. ∴实数a 的取值范围是(14，＋∞). 引申探究把例3中“x ∈(0，＋∞)”改为“x ∈(12，＋∞)”，再求a 的取值范围. 解 f (x )＝－x 2＋x 在(12，＋∞)上为减函数， ∴f (x )的值域为(－∞，14)， 要使a >－x 2＋x 对任意x ∈(12，＋∞)恒成立， 只需a ≥14，∴a 的取值范围是[14，＋∞).反思与感悟 恒成立的不等式问题，任意x ∈D ，f (x )>a 恒成立，一般转化为最值问题：f (x )min >a 来解决.任意x ∈D ，f (x )<a 恒成立⇔f (x )max <a .跟踪训练3 已知ax 2＋x ≤1对任意x ∈(0,1]恒成立，求实数a 的取值范围.解 ∵x >0，∴ax 2＋x ≤1可化为a ≤1x 2－1x. 要使a ≤1x 2－1x对任意x ∈(0,1]恒成立， 只需a ≤(1x 2－1x)min . 设t ＝1x，∵x ∈(0,1]，∴t ≥1. 1x 2－1x ＝t 2－t ＝(t －12)2－14. 当t ＝1时，(t 2－t )min ＝0，即x ＝1时，(1x 2－1x)min ＝0， ∴a ≤0.∴a 的取值范围是(－∞，0].函数的单调性 1.如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，那么对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，下列结论中不正确的是( ) A.f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0 B.(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0 C.若x 1<x 2，则f (a )<f (x 1)<f (x 2)<f (b ) D.x 1－x 2f (x 1)－f (x 2)>0 答案 C解析 因为f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)的符号相同，故A ，B ，D 都正确，而C 中应为若x 1<x 2，则f (a )≤f (x 1)<f (x 2)≤f (b ).2.已知函数f (x )在R 上是增函数，则下列说法正确的是( )A.y ＝－f (x )在R 上是减函数B.y ＝1f (x )在R 上是减函数 C.y ＝[f (x )]2在R 上是增函数 D.y ＝af (x )(a 为实数)在R 上是增函数答案 A解析 设x 1<x 2，因为函数f (x )在R 上是增函数，故必有f (x 1)<f (x 2).所以－f (x 1)>－f (x 2)，A 选项一定成立.其余三项不一定成立，如当f (x )＝x 时，B 、C 不成立，当a <0时，D 不成立.3.已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，若a ，b ∈R 且a ＋b >0，则有( )A.f (a )＋f (b )>－f (a )－f (b )B.f (a )＋f (b )<－f (a )－f (b )C.f (a )＋f (b )>f (－a )＋f (－b )D.f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )答案 C解析 ∵a ＋b >0，∴a >－b ，b >－a ，∵f (x )在R 上是增函数，∴f (a )>f (－b )，f (b )>f (－a )，∴f (a )＋f (b )>f (－a )＋f (－b ). 4.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x ≥0，x 2－ax ＋1，x <0是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是________. 答案 [0，13] 解析 当x <0时，函数f (x )＝x 2－ax ＋1是减函数，解得a ≥0，当x ≥0时，函数f (x )＝－x ＋3a 是减函数，分段点0处的值应满足1≥3a ，解得a ≤13，∴0≤a ≤13. 5.已知一次函数y ＝(k ＋1)x ＋k 在R 上是增函数，且其图象与x 轴的正半轴相交，则k 的取值范围是________. 答案 (－1,0)解析 依题意⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋1>0，－k k ＋1>0，解得－1<k <0.6.已知f (x )＝x x －a(x ≠a ). (1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围.(1)证明 任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增.(2)解 任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). ∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1.综上所述0<a ≤1.函数的最值1.函数g (x )＝x 2－4x ＋3在区间(1,4]上的值域是( )A.[－1，＋∞)B.[0,3]C.(－1,3]D.[－1,3]答案 D解析 g (x )＝(x －2)2－1，当x ＝2时，g (x )min ＝－1；当x ＝4时，g (x )max ＝3，∴g (x )在(1,4]上的值域为[－1,3].2.下列说法正确的是( )A.若函数f (x )的值域为[a ，b ]，则f (x )min ＝a ，f (x )max ＝bB.若f(x)min＝a，f(x)max＝b，则函数f(x)的值域为[a，b]C.若f(x)min＝a，直线y＝a不一定与f(x)的图象有交点D.若f(x)min＝a，直线y＝a一定与f(x)的图象有且仅有一个交点答案 A解析值域为[a，b]，则最小的函数值即f(x)min＝a，最大的函数值即f(x)max＝b，A对.f(x)min＝a，f(x)max＝b，区间[a，b]上的某些元素可能不是函数值，因而[a，b]不一定是值域，B错.若f(x)min＝a，由定义一定存在x0使f(x0)＝a，即f(x)与直线y＝a一定有交点，但不一定唯一，C，D都错.3.已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)的最小值为－2，则f(x)的最大值为()A.－1B.0C.1D.2答案 C解析因为f(x)＝－(x－2)2＋4＋a，由x∈[0,1]可知当x＝0时，f(x)取得最小值，即－4＋4＋a＝－2，所以a ＝－2，所以f(x)＝－(x－2)2＋2，当x＝1时，f(x)取得最大值为－1＋2＝1.故选C.4.若x2－x＋1>2x＋m在[－1,1]上恒成立，则实数m的取值范围是________.答案(－∞，－1)解析由题意得x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立.令g(x)＝x2－3x＋1－m＝(x－32－54－m，2)，其对称轴为x＝32∴g(x)在区间[－1,1]上是减函数，∴g(x)min＝g(1)＝1－3＋1－m>0，∴m<－1.5.已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________.答案(1,3]解析f(x)的对称轴为x＝3，当且仅当1<a≤3时，f(x)min＝f(a).6.求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值.解f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.(1)当a＜0时，由图①可知，f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.(2)当0≤a≤1时，由图②可知，对称轴在区间[0,2]内，所以f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a.(3)当1＜a≤2时，由图③可知，对称轴在区间[0,2]内，所以f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1.(4)当a＞2时，由图④可知，f(x)在[0,2]上为减函数，所以f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.。