基本不等式知识点归纳.doc
(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)
高中数学基本不等式的巧用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
基本不等式完整版
基本不等式完整版一、知识点总结1.基本不等式原始形式：若 $a,b\in\mathbb{R}$，则 $a^2+b^2\geq 2ab$。
2.基本不等式一般形式（均值不等式）：若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $a+b\geq 2\sqrt{ab}$。
3.基本不等式的两个重要变形：1）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$。
2）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $ab\leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$。
总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值。
特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
4.求最值的条件：“一正，二定，三相等”。
5.常用结论：1）若 $x>0$，则 $x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当$x=1$ 时取“=”）。
2）若 $x<0$，则 $x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当 $x=-1$ 时取“=”）。
3）若 $a,b>0$，则 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）。
4）若 $a,b>0$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\leq \frac{a^2+b^2}{2}$。
5）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $\frac{1}{a+b}\leq\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\leq\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}$。
特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
6.柯西不等式：1）若 $a,b,c,d\in\mathbb{R}$，则$(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq (ac+bd)^2$。
(完整word版)高中数学不等式知识点总结(word文档良心出品)
选修4--5知识点 1不等式的基本性质 ① （对称性）a ■ b ：= b - a ② （传递性）a b,b • a c ③ （可加性）a • b= a c b c （同向可加性）a . b , c = a c b d （异向可减性）a b ，c . d = a - c b - d ④ （可积性）a ■ b , c ■ Q = ac . bc a . b , c ：：： 0 二 ac ::: bc ⑤ （同向正数可乘性） a .b . 0,c d .0=- ac . bd a b 0,0 ::: c :::d 二 a £ c d ⑥（平方法则）a b 0= a n b n （N,且n 1） ⑦（开方法则） a >b 苗 >V b （n E N,且n>1） 1 1 1 a b 0 ; a ：： b ：： 0 二 a b a 2、几个重要不等式用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大） 三（异向正数可除性） ⑧（倒数法则） 2 2 ①a b -2ab a ，b ・R ,（当且仅当 ab -a 2b 2 号）变形公式:②（基本不等式）a b € R \,（当且仅当a =b 时取到等号）变形公式:ab -¥2，要注意满足三个条件“一正、二定、相等” •a b C 3 赢3 「- （a、b c R ）（当且仅当2 2 2④a b c _ ab bc ca a, b 二R(当且仅当a =b =c时取到等号).3 3 3⑤a3b3c _3abc(a 0,b 0,c 0)(当且仅当a=b=c时取到等号).b a若ab 0,则--_2⑥ a b (当仅当a=b时取等号)b a右ab ：：： 0,则■: 2a b (当仅当a=b时取等号)b b m a n a1 ：：：⑦ a a+m b+n b ,(其中a Rb>0, m^O, n A°)规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.⑧当a .0时，x .a：=x2.a2：=x”-a或x a;x <a 吕x2 <a2二-acxca.⑨绝对值三角不等式a_b兰a=b兰a + b.3、几个著名不等式¥^兰后兰整-兰J o云一+①平均不等式：a b 2■2,(a b R，当且仅当a=b时取"="号).(即调和平均 -几何平均-算术平均-平方平均).变形公式：ab 严仁士a2+b2’4I 2 丿2②幕平均不等式：a i2 a22 ' ... a*2—^(a i a? … an)2.n③（三个正数的算术一几何平均不等式）③二维形式的三角不等式：、xj y；M22y22-、(x i -X2)2(% -y?)2(x i’yzm R).④二维形式的柯西不等式：2 2 2 2 2 _(a +b )(c +d )3(ac + bd) (a,b,c,^ R).当且仅当ad = be时，等号成立.⑤ 三维形式的柯西不等式： 2 2 2 2 2 2 2 (Q a ? a 3 )(b b 2 b s ) _(aib a zd a s b s ). ⑥ 一般形式的柯西不等式： 2 2 2 2 2 2 2 (a i a ... - a n )(b b 2 ... b n ) - (ab azb …a n b n ). ⑦ 向量形式的柯西不等式:⑧ 排序不等式（排序原理） 设a i 兰a 2兰…兰a n , b i 兰b 2兰…兰b n 为两组实数 .C 1 , C 2 ,..., C n 是b 1 , b 2 ,..., b n 的任一排列，则 a i b n a 2bu ... a nd 乞• a 2$ ... a n C^ aQ a 2b ? ... a n b n (反序和岂乱序和 < 顺序和），当且仅当a i =吐二…二冇或b =b 2 = ... =0时，反序和等于顺序和 ⑨ 琴生不等式：（特例：凸函数、凹函数） f （X ），对于定义域中任意两点X 公2（人=X 2）,有 f （X 十X 2） ^f （x ） +f （X 2）或 f （X i +X 2） > f （X i ） +f （X 2） （2 2 或 （ 2丿- 2 .则称f （X ）为凸（或凹）函数 4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有：比较法（作差，作商法） 、综合法、分析法； 其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等 常见不等式的放缩方法：(k N *,k i)5、一元二次不等式的解法2求一元二次不等式aX bX c °（或::°）2(a =0" =b -4ac 0)解集的步骤:一化：化二次项前的系数为正数 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根.当且仅当 是零向量，或存在实数k ，使 时, 若定义在某区间上的函数 ①舍去或加上(a ¥ 2 3 +— 4 (a * 2②将分子或分母放大（缩小）， 1 i i i 2 , 2如 k k （k -i ） k k （k i ）i 22 “ k 、k 「k Jk 「k Jk=i 是两个向量,四画：画出对应函数的图象 •五解集：根据图象写出不等式的解集 •规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边• 6、 高次不等式的解法：穿根法 .分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿(奇穿偶切) 写出不等式的解集•7、 分式不等式的解法：先移项通分标准化，则f(x) 0 f (x) g (x) 0 g(x)f(x) c f(x)g(x)—0g (x) g(x )=0 (“ ：：：或乞”时同理)规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解8无理不等式的解法：转化为有理不等式求解 [f(x “0,f(x) ：： g(x) = g(x) 0I 2f(x)订g(x)]2!f(x^0 ,1 ---------------- I -----------------------------Jf(x) > Jg(x)二 g (x)Z0⑸ / (x^>g(x)规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解9、指数不等式的解法：⑴当 a>1 时,a f(x) Aa g(x) = f(x)>g(x)f (x) g(x) …、 彳、⑵当 0cav1 时，a >af(x)cg(x)规律：根据指数函数的性质转化10、对数不等式的解法 f(x) 0，结合原式不等号的方向, .f(x) a(a 0)：=⑴ f(x) 一0 f(x) a 2f(x) :: a(a 0)：=⑵ f(x) 一0 2 .f(x) ：：.f(x) g(x)u ⑶f(x) 0 g(x)_O2 f(x) [g(x)] 或｛ g;：)：0lOg a f(X)- lOg a g(X)：= g(x) 0⑴当a>1 时，l f(x)>g(x)f(x) 0 log a f (x) log a g(x) u g(x) . 0l⑵当0ca<1 时，l f(x)v g(x)规律：根据对数函数的性质转化•11、含绝对值不等式的解法：a (ax 0)a =《⑴定义法：—a (a :: 0)⑵平方法：f(x)| |g(x)二f2(x)乞g2(x).⑶同解变形法，其同解定理有：①x Ea= —aExEa(a^O);②x £a二x^a或xW—a(a£0);③| f (x)| 兰g(x)二—g(x)兰f (x)兰g(x) (g(x)色0)④ f (x) _g(x)：= f(x) _g(x)或f(x)乞-g(x) (g(x) _0)规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集•13、含参数的不等式的解法2解形如ax bx c 0且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有:⑴讨论a与0的大小；⑵讨论二与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题2⑴不等式ax bx c 0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：①当a = 0 时=b = 0,c 0;a 0=I②当a = 0时0 -2⑵不等式ax bx c ::: 0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：①当a = 0 时二b = 0, c ：： 0;-l a :：: 00.②当a = 0时⑶ f(X)：：a恒成立：=f(x)max ：：a;f(X)一a 恒成立=f(X)max -a；⑷ f (x) a恒成立：=f (X)min a；f(X)— a 恒成立=f(x)min —a-15、线性规划问题常见的目标函数的类型：①“截距”型：Ax By;z y z y-b.z =_ z = ------------ .②“斜率”型：X或x-a2 丄 2 _2③“距离”型：z = x・y或z —X y .2 2 2 2z=(x-a) (y-b)或z = ：,(x-a) (y-b).在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解, 题简单化.从而使问。
高三数学知识点总结3：基本不等式
基本不等式1.基本不等式：2b a ab +≤.（一正、二定、三相等） （1）基本不等式成立的条件：0,0≥≥b a .（2）等号成立的条件：当且仅当b a =时取等号. 2.算术平均数与几何平均数设,0,0>>b a 则b a ,的算术平均数为,2b a +几何平均数为,ab 基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数.3.几个重要的不等式（1）),(222R b a ab b a ∈≥+；（2）)0,0(2≥≥≥+b a ab b a ；（3）),(4)(2R b a b a ab ∈+≤；（4）222)()(2b a b a +≥+（R b a ∈,） 4.利用基本不等式求最值问题已知,0,0>>y x 则（1）如果积xy 是定值,p 那么当且仅当y x =时，y x +有最小值是.2p （2）如果和y x +是定值,s 那么当且仅当y x =时，xy 有最大值是.4s 2注：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正（各项均为正），二定（积或和为定值），三相等（等号能否取得）”，若忽略了某个条件，就会出现错误.解答题用基本不等式求最值一定要说明何时取等号，不说明会扣分。
如果多次用基本不等式求最值，必须保持每次取“=”的一致性.5.注意：正负要判断，等号要考虑例（1）已知,45<x 函数54124-+-=x x y 的最大值为_________答案：1. （2）函数4522++=x x y 的最小值是_________答案：.25 6.“1”的代换问题：例（3）设,32,0,0=+>>b a b a 则11a b+最小值是 答案：3223+. （4）已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点，且满足,,,R y x AC y AB x AP ∈+=则xy y x +4的最小值是 .答案：9.7.“y x +”与“xy ”的互相转化例（5）若正实数y x ,满足,62++=y x xy 则xy 的最小值是_________答案：18.（6）设y x ,为实数，若,1422=++xy y x 则y x +2的最大值是_________答案：.5102 8.巧妙运用换元法 例（7）设y x ,是正实数，且,1=+y x 则1222+++y y x x 的最小值是_________答案：41. （8）若,0,0>>b a 且,11121=+++b b a 则b a 2+的最小值为________答案：.321+ 9.灵活使用消元法例（9）已知正实数y x ,满足,42=++y x xy 则y x +的最小值为_____答案：62.3-（10）若ABC ∆的内角满足,sin 2sin 2sin C B A =+则C cos 的最小值是_____答案：.426-。
高中基本不等式知识点归纳总结
高中基本不等式知识点归纳总结一、基本概念：不等式是数学中的一种关系，表示两个数之间的大小关系。
高中基本不等式主要包括一元一次不等式、一元二次不等式和简单的多元不等式。
二、一元一次不等式：一元一次不等式是指只有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的不等式。
解一元一次不等式的关键是确定未知数的取值范围。
常用的解法有图像法、代入法和分段讨论法。
三、一元二次不等式：一元二次不等式是指只有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的不等式。
解一元二次不等式的关键是找到不等式的根，并确定根的取值范围。
常用的解法有图像法、配方法和开口方向法。
四、基本性质：1. 对称性：如果a>b，则-b>-a。
2. 传递性：如果a>b，并且b>c，则a>c。
3. 加减性：如果a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。
4. 倍数性：如果a>b，并且c>0，则ac>bc；如果a>b，并且c<0，则ac<bc。
五、常用不等式：1. 平均值不等式：对于任意非负实数a和b，有(a+b)/2 >= √(ab)。
2. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意实数a1、a2、...、an和b1、b2、...、bn，有|(a1b1+a2b2+...+anbn)| <= √(a1^2+a2^2+...+an^2)√(b1^2+b2^2+...+bn^2)。
3. 三角不等式：对于任意实数a和b，有|a+b| <= |a|+|b|。
六、应用：1. 解实际问题：不等式在解决实际问题中起着重要作用，例如在优化问题、最值问题和约束问题中常常会用到不等式。
2. 推导其他不等式：基本不等式可以推导出其他不等式，例如根据平均值不等式可以推导出均值不等式和加权均值不等式。
七、注意事项：1. 在解不等式时，需要注意不等号的方向，切勿将不等号颠倒。
2. 在使用不等式进行推导时，需要保持不等式的严格性，即不等号不能变为等号，否则可能导致错误的结论。
《基本不等式》知识点及题型总结
基本不等式 一、考点、热点回顾 1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大) 知识拓展不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f (x )在区间D 上存在最小值，则不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立⇔f (x )min >A (x ∈D )； 若f (x )在区间D 上存在最大值，则不等式f (x )<B 在区间D 上恒成立⇔f (x )max <B (x ∈D )．(2)能成立问题：若f (x )在区间D 上存在最大值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )>A 成立⇔f (x )max >A (x ∈D )； 若f (x )在区间D 上存在最小值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )<B 成立⇔f (x )min <B (x ∈D )．(3)恰成立问题：不等式f (x )>A 恰在区间D 上成立⇔f (x )>A 的解集为D ；不等式f (x )<B 恰在区间D 上成立⇔f (x )<B 的解集为D .二、典型例题例1、设0a b ，则下列不等式中正确的是（ ）A ．a ＜b ＜＜ B. a ＜＜＜bC ．a ＜＜b ＜ D ．＜a ＜＜b变式训练1、已知等比数列的各项均为正数，公比0＜q ＜1，设392a a P +=，Q =，则a 3，a 9，P 与Q 的大小关系是（ ）A ．a 3＞P ＞Q ＞a 9 B. a 3＞Q ＞P ＞a 9C ．a 9＞P ＞a 3＞QD ．P ＞Q ＞a 3＞a 9考点二、利用基本不等式求最值例2、(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________．(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________． （3）设a ＞0，b ＞0，且21a b +=，则11a b+的最小值为 。
(完整版)基本不等式知识点
基本不等式知识点1、不等式的基本性质①（对称性）a b b a >⇔>②（传递性）,a b b c a c >>⇒>③（可加性）a b a c b c >⇔+>+（同向可加性）d b c a d c b a +>+⇒>>,（异向可减性）d b c a d c b a ->-⇒<>,④（可积性）bc ac c b a >⇒>>0,bc ac c b a <⇒<>0,⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >><<⇒>⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且⑦（开方法则）0,1)a b n N n >>∈>且 ⑧（倒数法则）b a b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>>2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22.2a b ab +≤②（基本不等式）2a b +≥()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）.变形公式：a b +≥2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）3a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）.⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号）0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，，规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔-<< ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+3、几个著名不等式①平均不等式：1122a b a b --+≤≤≤+，,a b R +∈（，当且仅当a b =时取""=号）.（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）.变形公式：222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭ 222().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n +++≥+++③二维形式的三角不等式：≥1122(,,,).x y x y R ∈④二维形式的柯西不等式：22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a ab b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式： 2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++ ⑦向量形式的柯西不等式：设,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和），当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项，如22131()();242a a ++>+ ②将分子或分母放大（缩小），如211,(1)kk k <- 211,(1)k k k>+=⇒<*,1)k N k >∈>等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或 2(0,40)a b ac ≠∆=->解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （<≤“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解⑴2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧>>⇔⎨>⎩⑵2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧<>⇔⎨<⎩⑶2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或⑷2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩⑸()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩ 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>⑵当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔< 规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法⑴当1a >时, ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩⑵当01a <<时, ()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法： ⑴定义法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ⑵平方法：22()()()().f x g x f x g x ≤⇔≤⑶同解变形法，其同解定理有： ①(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥ ②(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或 ③()()()()()(()0)f xg x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥ ④()()()()()()(()0)f x g x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如20ax bx c ++>且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： ⑴讨论a 与0的大小；⑵讨论∆与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： ①当0a =时 0,0;b c ⇒=>②当0a ≠时00.a >⎧⇒⎨∆<⎩ ⑵不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时0,0;b c ⇒=<②当0a ≠时00.a <⎧⇒⎨∆<⎩ ⑶()f x a <恒成立max ();f x a ⇔<()f x a ≤恒成立max ();f x a ⇔≤⑷()f x a >恒成立min ();f x a ⇔>()f x a ≥恒成立min ().f x a ⇔≥15、线性规划问题常见的目标函数的类型：①“截距”型：;z Ax By =+ ②“斜率”型：y z x =或;y b z x a -=-③“距离”型：22z x y =+或z = 22()()z x a y b =-+-或z =在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.。
基本不等式知识点梳理
基本不等式1、教学重点：应用数形结合的思想理解不等式ab b a 222≥+，并从不同角度探索不等式2a b ab +≤的证明过程； 通过简单的变形发现基本不等式在最值问题上的作用，并能够进行使用条件辨析及其简单运用。
2、教学难点：基本不等式2a b ab +≤使用限制条件 基本不等式2a b ab +≤等号成立条件 基本不等式在最值问题中的运用3、学生必须掌握的内容：1．重要不等式定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．2．基本不等式(1)定理2：如果a ，b >0，那么2a b ab +≥ ( a ＋b 2≥ab)，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(2)定理2的应用：对两个正实数x ，y ，①如果它们的和S 是定值，则当且仅当x ＝y 时，它们的积P 取得最大值，最大值为S 24. ②如果它们的积P 是定值，则当且仅当x ＝y 时，它们的和S 取得最小值，最小值为2P .3．基本不等式ab ≤a ＋b 2的几何解释如图，AB 是⊙O 的直径，C 是AB 上任意一点，DE 是过C 点垂直AB 的弦．若AC ＝a ，BC ＝b ，则AB ＝a ＋b ，⊙O 的半径R ＝a ＋b 2，Rt △ACD ∽Rt △DCB ，CD 2＝AC ·BC ＝ab ，CD ＝ab ，CD ≤R ⇒ab ≤a ＋b 2，当且仅当C 点与O 点重合时，CD ＝R ＝AB 2，即ab ＝a ＋b 2.4．几个常用的重要不等式(1)如果a ∈R ，那么a 2≥0，当且仅当a ＝0时取等号；(2)如果a ，b >0，那么ab ≤（a ＋b ）24，当且仅当a ＝b 时等号成立． (3)如果a >0，那么a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1时等号成立．(4)如果ab >0，那么a b ＋b a ≥2，当且仅当a ＝b 时等号成立．3．三个正数的算术-几何平均不等式1．如果a 、b 、c ∈R ＋，那么a 3＋b 3＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．2．(定理3)如果a 、b 、c ∈R ＋，那么3++≥a b c (a ＋b ＋c 3≥3abc)，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．3．如果a 1，a 2，…，a n ∈R ＋，那么a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．即对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均．4、容易出现的问题：学生容易忽略和混淆不等式取到等号的条件，容易遗忘不等式使用的限制条件.5、解决方法：找到具体实例，和学生一起分析存在的问题并及时纠正学生的易错之处.。
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基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+3、基本不等式的两个重要变形 （1）若*,R b a ∈，则ab ba ≥+2（2）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=”4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论 （1）若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）（4）若R b a ∈,，则2)2(222b a b a ab +≤+≤ （5）若*,R b a ∈，则2211122b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式（1）若,,,abc d R ∈，则22222()()()a b c d a c b d ++≥+（2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++（3）设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有 222(a a a ++⋅⋅⋅+)222)b b b ++⋅⋅⋅+(2()a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ba 112+2、已知cb a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2223、已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥4、已知,,a b c R+∈，且1a b c ++=，求证：a b cc b a 8)1)(1)(1(≥---5、已知,,a b c R+∈，且1a b c ++=，求证：1111118a bc ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）选修4—5：不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.7、（2013年江苏卷（数学）选修4—5：不等式选讲 已知0>≥b a ，求证:b a ab b a 223322-≥- 题型二：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域 （1）22213x x y += （2）)4(x x y -=（3）)0(1>+=x x x y （4）)0(1<+=x xx y题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项）1、已知2>x ，求函数42442-+-=x x y 的最小值；变式1：已知2>x ，求函数4242-+=x x y 的最小值；变式2：已知2<x ，求函数4242-+=x x y 的最大值；练习：1、已知54x >，求函数14245y x x =-+-的最小值；2、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值；题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数）1、当时，求(82)y x x =-的最大值；变式1：当时，求4(82)y x x =-的最大值；变式2：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
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一、知识点总结1、基本不等式原始形式(1)若a,b R，则a2 b2 2abc2 h2(2)若a,b R，则ab a L22、基本不等式一般形式(均值不等式)若a,b R*，则a b 2 . ab3、基本不等式的两个重要变形(1)若a,b R*，则ab22(2)若a,b R*，则ab 口2总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值;特别说明：以上不等式中，当且仅当a b时取“=”4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论(1) 若x 0,则x 1 2 (当且仅当x 1时取“=”)x(2)若x 0,则x 1 2 (当且仅当x 1时取x(3)若ab 0，则a b2(当且仅当 a b时取“=”)b a(4)若a, b R，则ab(a b)2 a2b22 2(5)若a, b R*，则1vab b l a2b2112\ 2a b特别说明：以上不等式中，当且仅当 a b时取“=”6、柯西不等式(1)若a,b,c,d R，则(a2 b2)(c2 d2) (ac bd)2(2)若a1,a2,a3,bi,b2,b3 R，则有：(印2a22 a32)4bj b22 b32) (a^ a?b2 a s b s)2(3)设a1,a2, ,a n与6也，,b n是两组实数，则有2 2 2 2 2 2 2 (a1 a2 a n )(b1 b2 b n) gb’ a2b2a n b n)二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式.—91、设a,b均为正数，证明不等式：ab >1 1a b2、已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：2 2 2a b c ab bc ca3、已知a b c 1，求证：a2 b2 c2 134、已知a,b,c R ,且a b c 1 ,求证：(1 a )(1 b)(1 c) 8abc5、已知a,b,c R 且a b c 1 , 求证6、（2013年新课标H卷数学（理）选修4—5:不等式选讲设均为正数，且,证明：（I ）；（H）.7、（2013年江苏卷（数学）选修4—5:不等式选讲已知a b 0,求证:2a3 b3 2ab2 a2b 题型二：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域(1) y 3x22x(2) y x(4 x)1(3) y x —(X 0)X (4) y1x (x 0)x题型三：利用不等式求最值（一）（凑项）1、已知x 2，求函数y 2x42x 4的最小值;变式1 :已知x 2，求函数2x2x 4的最小值;变式2:已知x 2，求函数y 2x 4的最大值;2x 4变式2：设0 x ，求函数y 4x（3 2x）的最大值。
高考数学-基本不等式(知识点归纳)
高考数学-基本不等式(知识点归纳) 高中数学基本不等式的巧用一、基本不等式1.若$a,b\in\mathbb{R}$，则$a+b\geq 2ab$，$ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}$（当且仅当$a=b$时取“=”）2.若$a,b\in\mathbb{R}$，则$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$（当且仅当$a=b$时取“=”）3.若$x>1$，则$x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当$x=1$时取“=”）；若$x<1$，则$x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当$x=-1$时取“=”）；若$x\neq 0$，则$x+\frac{1}{x}\geq 2$或$x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当$x=1$或$x=-1$时取“=”）4.若$a,b>0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当$a=b$时取“=”）；若$ab\neq 0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$或$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\leq -2$（当且仅当$a=b$时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最大值，正所谓“积定和最小，和定积最大”。
2）求最值的条件“一正，二定，三取等”。
3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用。
应用一：求最值例1：求下列函数的值域1.$y=3x+\frac{11}{2}$2.$y=x+\frac{1}{2x}$解：（1）$y=3x+\frac{11}{2}\geq 6$，所以值域为$[6,+\infty)$。
2）当$x>0$时，$y=x+\frac{1}{2x}\geq 2$；当$x<0$时，$y=x+\frac{1}{2x}\leq -2$；当$x=0$时，$y$无定义。
基本不等式知识点归纳
基本不等式知识点归纳基本不等式是数学中的重要概念，涉及到数值之间的大小关系。
在数学学习中，掌握基本不等式的知识点对于解决各类问题至关重要。
本文将对基本不等式的定义、性质以及常用的基本不等式进行归纳总结。
一、基本不等式的定义基本不等式是指关于变量的不等关系式，通常形式为a ≤ b 或 a < b，其中 a、b 为实数，表示 a 与 b 之间的大小关系。
二、基本不等式的性质1. 传递律：若a ≤ b 且b ≤ c，则a ≤ c。
2. 对称律：若a ≤ b，则b ≥ a。
3. 加法性：若a ≤ b，则a + c ≤ b + c。
4. 减法性：若a ≤ b，则 a - c ≤ b - c（其中 c 为正数）。
5. 乘法性：若a ≤ b 且c ≥ 0，则ac ≤ bc。
若c ≤ 0，则ac ≥ bc。
6. 除法性：若a ≤ b 且 c > 0，则a/c ≤ b/c。
若 c < 0，则a/c ≥ b/c。
三、常用的基本不等式1. 平均值不等式：对于任意非负实数 a₁、a₂、...、aₙ，有 (a₁ +a₂ + ... + aₙ)/n ≥ √(a₁a₂...aₙ)。
该不等式表明，若 n 个非负实数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，那么这些数之间存在不等关系。
2. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意实数 a₁、a₂、...、aₙ 和 b₁、b₂、...、bₙ，有(a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ)² ≤ (a₁² + a₂² + ... + aₙ²)(b₁² + b₂²+ ... + bₙ²)。
柯西-施瓦茨不等式表明了两个向量内积的平方与两个向量长度乘积的平方之间的关系。
该不等式在数学分析、线性代数等领域有广泛应用。
3. 三角不等式：对于任意实数 a、b，有|a + b| ≤ |a| + |b|。
三角不等式表明了两个实数之和的绝对值小于等于两个实数的绝对值之和。
高中数学基本不等式知识点
高中数学基本不等式知识点1.不等式性质比较大小方法：(1)作差比较法(2)作商比较法不等式的基本性质①对称性：abba②传递性:ab,bcac③可加性:aba+cb+c④可积性:ab,c0acbc⑤加法法则:ab,cda+cb+d⑥乘法法则：ab0,cd0acbd⑦乘方法则：ab0,anbn(nN)⑧开方法则：ab02.算术平均数与几何平均数定理：(1)如果a、bR,那么a2+b22ab(当且仅当a=b时等号)(2)如果a、bR+,那么(当且仅当a=b时等号)推广：如果为实数，则重要结论(1)如果积某y是定值P，那么当某=y时，和某+y有最小值2;(2)如果和某+y是定值S，那么当某=y时，和某y有最大值S2/4。
3.证明不等式的常用方法：比较法：比较法是最基本、最重要的方法。
当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法;当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法;碰到绝对值或根式，我们还可以考虑作平方差。
综合法：从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证的不等式。
综合法的放缩经常用到均值不等式。
4.不等式的解法(1)不等式的有关概念同解不等式：两个不等式如果解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式。
同解变形：一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做同解变形。
提问：请说出我们以前解不等式中常用到的同解变形去分母、去括号、移项、合并同类项(2)不等式a某b的解法①当a0时不等式的解集是{某|某b/a}; ②当a0时不等式的解集是{某|某(3)一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系(4)绝对值不等式|某|0)的解集是{某|-aa(a0)的解集是{某|某-a或某a｝，几何表示为：oo-a0a小结：解绝对值不等式的关键是-去绝对值符号(整体思想，分类讨论)转化为不含绝对值的不等式，通常有下列三种解题思路：(1)定义法：利用绝对值的意义，通过分类讨论的方法去掉绝对值符号;(2)公式法：|f(某)|af(某)a或f(某)-a;|f(某)|a-a(3)平方法：|f(某)|a(a0)f2(某)a2;|f(某)|a(a0)f2(某)a2;(4)几何意义(5)分式不等式的解法(6)一元高次不等式的解法数轴标根法把不等式化为f(某)0(或0)的形式(首项系数化为正)，然后分解因式，再把根按照从小到大的顺序在数轴上标出来，从右边入手画线，最后根据曲线写出不等式的解。
基本不等式知识点
基本不等式知识点1. 算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）- 表述：对于所有非负实数 \(a_1, a_2, ..., a_n\)，算术平均数总是大于或等于几何平均数。
- 数学表达：\(\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq\sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n}\)。
- 等号成立条件：当且仅当所有 \(a_i\) 相等时，等号成立。
2. 柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）- 表述：对于所有实数序列 \(a_1, a_2, ..., a_n\) 和 \(b_1,b_2, ..., b_n\)，两序列对应元素乘积的和的平方不超过各自平方和的乘积。
- 数学表达：\((a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2 \leq(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2)\)。
- 等号成立条件：当且仅当 \(a_i = \lambda b_i\) 对所有 \(i\) 成立时，等号成立，其中 \(\lambda\) 是一个常数。
3. 詹森不等式（Jensen's Inequality）- 表述：如果 \(\phi\) 是一个实数上的凸函数，对于任意实数序列 \(x_1, x_2, ..., x_n\)，算术平均数的函数值总是小于或等于这些数的函数值的算术平均数。
- 数学表达：\(\phi\left(\frac{x_1 + x_2 + ... +x_n}{n}\right) \leq \frac{1}{n}\phi(x_1) +\frac{1}{n}\phi(x_2) + ... + \frac{1}{n}\phi(x_n)\)。
- 等号成立条件：当且仅当 \(x_1 = x_2 = ... = x_n\) 时，等号成立。
基本不等式知识点
基本不等式知识点1.不等式的性质：不等式具有与等式类似的运算性质，例如可以进行加减乘除运算，并且可以对不等式的两边同时进行相同的运算。
但需要注意的是，当不等式两边同时乘或除以负数时，不等号的方向会发生改变。
2.加法不等式：对于实数a、b和c，若a<b，则a+c<b+c。
即不等式两边同时加上相同的数，不等式的关系保持不变。
3.减法不等式：对于实数a、b和c，若a<b，则a-c<b-c。
即不等式两边同时减去相同的数，不等式的关系保持不变。
4.乘法不等式：对于实数a、b和正数c，若a<b且c>0，则a·c<b·c。
即不等式两边同时乘以正数，不等式的关系保持不变。
需要注意，当c为负数时，不等号的方向会发生改变。
5.除法不等式：对于实数a、b和正数c，若a<b且c>0，则a/c<b/c。
即不等式两边同时除以正数，不等式的关系保持不变。
需要注意，当c为负数时，不等号的方向会发生改变。
6.平方不等式：对于实数a和正实数b，若a>b，则a²>b²。
即不等式两边同时取平方，不等式的关系保持不变。
7.绝对值不等式：对于任意实数a和正实数b，若，a，<b，则-b<a<b。
即如果一个实数的绝对值小于一个正实数，则这个实数的取值范围在-b和b之间。
8.基本不等式的应用：基本不等式可以应用于各类数学问题的解决，例如求解方程组、解决最值问题等。
这些应用需要根据具体问题，结合基本不等式的性质，并运用合适的不等式进行推导。
以上是基本不等式的主要知识点。
通过掌握这些知识点，我们能够更好地理解不等式的性质，并有效地运用于解决实际问题。
在学习和应用过程中，我们可以通过大量的练习，加深对基本不等式的理解和掌握，提高解决问题的能力。
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a, b 同号或有 0 | a b|| a | | b|≥ | a | | b| | a b|；
a, b 异号或有 0 | a b|| a | | b|≥ | a | | b| | a b|.
绝对值不等式：
a1a 2 a 3 ≤ a1 a 2 a 3 a b a b a b (ab 0时,取等)
a2 b2 2ab 同时除以 ab 得 b a 2 或 b 1 1 a 。
ab
a
b
* a,b, 均为正数， a 2 2a b
b
八种变式： ① ab a 2 b2 ； ② ab ( a b )2 ； ③ ( a b )2 a 2 b2
2
2
2
2
④ a b 2(a2 b2 ) ；⑤若 b>0,则 a 2 2a b ；⑥a>0,b>0,则 1 1 4 ；
双向不等式： a b ≤ a b ≤ a b
（左边当 ab ≤ 0(≥ 0) 时取得等号，右边当 ab ≥ 0(≤ 0) 时取得等号.）
放缩不等式：
① a b 0，a m 0 ，则 b m b b m . am a am
【说明】： b b m （ a b 0, m 0 ，糖水的浓度问题）. a am
③已知 a, x,b, y R ，若 ax by 1，则有则
的最小值为：
1
1
1 (ax by)(
1 )
ab
by
ax
≥ab2
ab (
a
b )2
xy
xy
xy
④已知
，若Байду номын сангаас
则
和 的最小值为：
①
.
②
应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：
⑴凑系数（乘、除变量系数）.例 1.当 0 x 4 时，求函的数 y x(8 2x) 最大值.
⑵凑项（加、减常数项）：例 2.已知 x 5
4
，求函数
f
（和定积最大）
② x, y 0,由x y ≥ 2 xy ，若和 x y S(定值) ，则当 x y 是积 xy 有最大值 1 s2 . 4
【推广】：已知 x, y R ，则有 (x y)2 (x y)2 2xy . （1）若积 xy 是定值，则当| x y | 最大时，| x y | 最大；当| x y | 最小时，| x y | 最小. （2）若和| x y | 是定值，则当| x y | 最大时，| xy | 最小；当| x y | 最小时，| xy | 最大.
函数 f (x) ax b (a、b 0) 图象及性质 x
(1)函数 f (x) ax b a、b 0 图象如图：
x
(2)函数 f (x) ax b a、b 0 性质：
x
y
o b 2 ab a
x
b 2 ab a
①值域： (,2 ab] [2 ab,) ；
②单调递增区间：(, b ] ，[ b , ) ；单调递减区间：(0, b ] ，[ b , 0) .
【拓展】： a b 0，m 0，n 0，则 b b m 1 a n a . a am bn b
② a, b, c R
，
b a
d c
，则
b a
bd ac
d c
；
③n N ，
n 1
n 1 2n
n
n 1；
④ n N,n
1，
1 n
1 n 1
1 n2
1 n 1
1
.
n
⑤ ln x ≤1 x (x 0) , ex ≥ x 1 (x R) .
2
2
2、均值不等式：
两个正数 a、b 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，
即“平方平均≥ 算术平均≥ 几何平均≥ 调和平均”
2 2ab ≤ ab ≤ a b ≤ a2 b（2 当且仅当a b时取“”）
1 1 ab
2
2
ab
*.若 x 0 ，则 x 1 2 (当且仅当 x 1时取“=”）; x
ba
ba
ba
3、含立方的几个重要不等式（a、b、c 为正数）：
a 3 b 3 c 3≥ 3abc （ a b c 0等式即可成立， a b c或a b c 0时取等）；
3 abc ≤ a b c 3
abc ≤ ( a b c ) 3 ≤ a 3 b 3 c 3
3
3
* 不 等 式 的 变 形 在 证 明 过 程 中 或 求 最 值 时 ， 有 广 泛 应 用 ， 如 ： 当 ab 0 时 ，
基本不等式知识点总结
向量不等式：
|| a | | b ||≤| a b |≤| a | | b |
【注意】： a、b 同向或有 0 | a b || a | | b | ≥ || a | | b||| a b| ； a、b 反向或有 0 | a b || a | | b | ≥ || a | | b||| a b|； a、b 不共线 || a | | b||| a b|| a | | b|.(这些和实数集中类似)
若 x 0 ，则 x 1 2 (当且仅当 x 1 时取“=”） x
若 x 0 ，则 x 1 2即x 1 2或x 1 -2 (当且仅当 a b 时取“=”）
x
x
x
*.若 ab 0 ，则 a b 2 (当且仅当 a b 时取“=”）
ba
若 ab 0 ，则 a b 2即 a b 2或 a b -2 (当且仅当 a b 时取“=”）
b
a b ab
⑦若 a>0,b>0,则 ( 1 1)2 4 ； ⑧ 若 ab 0 ，则 1 1 1 ( 1 1)2 。
a b ab
a2 b2 2 a b
上述八个不等式中等号成立的条件都是“ a b ”。
最值定理
（积定和最小）
① x, y 0,由x y ≥ 2 xy ，若积 xy P(定值) ，则当 x y 时和 x y 有最小值 2 p ；
a
a
a
a
基本不等式知识点总结
重要不等式
1、和积不等式： a,b R a2 b2 ≥ 2ab (当且仅当 a b 时取到“ ”)．
【变形】：① ab ≤ ( a b ) 2≤ a 2 b 2 （当 a = b 时， ( a b ) 2 a 2 b 2 ab ）
2
2
2
2
【注意】： ab ≤ a b (a,b R ) ， ab ≤ ( a b) 2(a,b R)