工学自动控制原理第四章
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自动控制原理第四章
二、根轨迹的起点与终点
起于开环极点，终于开环零点。
由根轨迹方程：
起点 终点
(s z )
i 1 n i i 1 i
m
K * → s zi 0 →
(s p ) * K 0 → s pi 0 → s p i
1 * K
s zi
9
三、实轴上的根轨迹 实轴上根轨迹区段的右侧，开环零、极点数目 之和应为奇数。N+P=奇数
n
i 1
i
|
n i 1
相角 方程
s zij s pi (2k 1)
k 0, 1, 2,
• 模值方程不但与开环零、极点有关，还与开环根轨 迹增益有关；而相角方程只与开环零、极点有关。 • 相角方程是决定系统闭环根轨迹的充分必要条件。
8
§2 绘制根轨迹的基本法则
一、根轨迹是连续的并且对称于实轴，根轨迹的 分支数＝开环极点数
G( s) H ( s) K
(s z
j 1 n i 1
m
j
)
K*
(s z
j 1 n i 1
m
j
) 1 0 j
( s pi )
(s p )
i
7
模值 方程
K
*
| s z
j=1 i 1
m
ji
| 1
| s p
ij=1 1 m
系统最小阻尼比对应的闭环极点。
cos cos 45
0.707
对应闭环极点
o
s1,2 2 j2
21
n
m
j
nm
11
自动控制原理第4章
= cos(ωt ) + jsin (ωt )
j ( ±180° + q ⋅360° )
| G(s) H (s) | e
j∠G ( s ) H ( s )
= 1⋅ e
(q=0, 1, 2, …)
从而得出绘制根轨迹所依据的条件是 ① 幅值条件 幅值条件 |G(s)H(s)|=1 (4.7) ② 相角条件 ∠G(s)H(s)=arg［G(s)H(s)］=±180°+q·360° (q=0, 1, 2, …) (4.8) ± 实际上满足相角条件的任一点, 一定可以找到相应的可变参 数值, 使幅值条件成立。所以, 相角条件式(4.8)也是根轨迹的充 要条件。只要利用相角条件就可确定根轨迹的形状, 但利用幅 值条件才可以求得给定闭环极点所对应的增益 增益K。进行相角计 增益 算时, 规定正实轴方向为0°, 逆时针 逆时针方向为相角的正方向。 正
G( s) =
K (τs + 1) s(Ts + 1)
其中, τ＞T。 试大致绘出其根轨迹。 解 首先将开环传递函数化为如下标准形式:
零极点 形式
k (s + 1/τ ) G( s) = s( s + 1 / T )
第四章根 轨 迹 分析 式中, k=τK/T。系统有两个开环极点p1=0、p2=-1/T和一个开环零 点z1=-1/τ, 所以系统的根轨迹有两条分支。当k=0时, 两条根轨迹 从开环极点开始; 当k→∞时, 一条根轨迹终止于开环零点z1, 另 (2-1)=1条趋于无穷远处。并且根据开环零极点的位置, 可知实 轴上的(z1,p1)和(-∞, p2)区间为根轨迹的区段。系统的根轨迹图 如图4-3所示, 其中“×”表示开环极点, “○”表示开环零点。
自动控制原理 第四章
_
G(s)
C(s)
K * (s 1) G (s)＝ s(s＋4)(s 2＋2s ＋2)
K*→∞ 60
0
a＝
p z
i i＝1 j＝1
n
m
j
n -m
(0-4-1+j-1-j)-(-1) ＝ 1.67 4-1
-3
渐近线
-2
交角
（2k+1）π ja＝ ＝600 n-m （2k+1）π ja＝ ＝1800 n-m （2k+1）π ja＝ ＝3000 n-m
=
n=q+h m=f+l
k * k
* * k G H
(s ) =
(s p j ) k* G (s z i )
f
h
(s p i ) k * (s z j )
i 1
j 1
n
i 1
j 1
m
4. 根轨迹方程
m
特征方程 1+GH = 0
1 K *
(s z
2 根轨迹与系统性能 1)稳定性 当开环增益从零变到无穷大时， 图上的根轨迹不会穿越虚轴进入 右半S平面，因此该系统对所有的 K值都是稳定的。这与采用劳斯 判据的结论完全吻合。 如果采用根轨迹分析高阶系统， 那么根轨迹有可能进入S的右半平 面，此时根轨迹与虚轴交点处的 K值就是临界开环增益。
j
s
| s z1 || s z2 | | s p2 |
| s zm || s p1 | | s pn || s a |
G ( s) H ( s)
K (s a) K (s a)n ( s a ) n -m G ( s) H ( s) 多项式展开得：
《自动控制原理 》课件第4章
若n＞m，当Kg→∞时，有(n－m)条根轨迹将沿着与实
轴正方向夹角为ja，交点为σa的渐近线趋于无穷远处，其中：
渐近线与实轴正方向的夹角为
ja
(2k 1) π nm
(4-8)
k 0,1,2,,
渐近线与实轴正方向的交点为
n
m
pi z j
a
i1
j1
nm
(4-9)
设系统的开环传递函数如式(4-1)，可将其展开为如下形式：
式(4-3)也可写为以下形式：
n
s pi
Kg
i 1 m
(4-5)
szj
j 1
若s平面上的点是闭环极点，则它与zj，pi所组成的向量必
定满足上述两方程，而且幅值条件方程与Kg有关，而相角
条件方程与Kg无关。所以满足相角条件方程的s值代入幅值
条件方程中，可以求得一个对应的Kg值，即s若满足相角条
图4-3 反馈控制系统
显然，满足Gk(s)＝－1的点，即满足
m
Kg(s z j )
j1 n
1
(s pi )
(4-2)
i1
的点，都是系统的闭环特征根，必定在根轨迹上。所以称
式(4-2)为系统的根轨迹方程。
由式(4-2)可以看出，根轨迹法实质上是一种利用控制
系统开环传递函数求取系统闭环极点，从而分析闭环系统
m
lim s
(s z j )
j1
n
(s pi )
lim
s
s
1
mn
lim Kg
1 Kg
0
i1
上式说明，当Kg→∞时，s→∞为闭环特征根。所以(n－m) 条根轨迹将终止于无穷远处。
通常，称无穷远处的根轨迹终点为无限开环零点。从 这个意义上可以说，根轨迹起始于开环极点，终止于开环 零点。
轴正方向夹角为ja，交点为σa的渐近线趋于无穷远处，其中：
渐近线与实轴正方向的夹角为
ja
(2k 1) π nm
(4-8)
k 0,1,2,,
渐近线与实轴正方向的交点为
n
m
pi z j
a
i1
j1
nm
(4-9)
设系统的开环传递函数如式(4-1)，可将其展开为如下形式：
式(4-3)也可写为以下形式：
n
s pi
Kg
i 1 m
(4-5)
szj
j 1
若s平面上的点是闭环极点，则它与zj，pi所组成的向量必
定满足上述两方程，而且幅值条件方程与Kg有关，而相角
条件方程与Kg无关。所以满足相角条件方程的s值代入幅值
条件方程中，可以求得一个对应的Kg值，即s若满足相角条
图4-3 反馈控制系统
显然，满足Gk(s)＝－1的点，即满足
m
Kg(s z j )
j1 n
1
(s pi )
(4-2)
i1
的点，都是系统的闭环特征根，必定在根轨迹上。所以称
式(4-2)为系统的根轨迹方程。
由式(4-2)可以看出，根轨迹法实质上是一种利用控制
系统开环传递函数求取系统闭环极点，从而分析闭环系统
m
lim s
(s z j )
j1
n
(s pi )
lim
s
s
1
mn
lim Kg
1 Kg
0
i1
上式说明，当Kg→∞时，s→∞为闭环特征根。所以(n－m) 条根轨迹将终止于无穷远处。
通常，称无穷远处的根轨迹终点为无限开环零点。从 这个意义上可以说，根轨迹起始于开环极点，终止于开环 零点。
自动控制原理第四章
ts = 3.5
×
• • • •
Im
[s]
σ % < σ 0% → ζ > ζ 0 ωd < ωd 0 开环增益 (4) 稳态性能 积分环节个数
α β = cos−1 ζ < cos−1 ζ 0
-2
-1 • • •
•
•
×
0
Re
4
开环零、极点与闭环零、 4-1-3 开环零、极点与闭环零、极点
K M ( s) 设：G ( s ) = 1 1 N 1 ( s)
1） 前向通路传函的零点+反馈传函的极点 无关）； 结论： 闭环零点=前向通路传函的零点 反馈传函的极点（ 结论： ）闭环零点 前向通路传函的零点 反馈传函的极点（与K*无关）； 2）闭环极点——不仅与开环零、极点有关，还与 *有关。 ）闭环极点 不仅与开环零、 不仅与开环零 极点有关，还与K 有关。
1 n Π ( s − z i ) + * Π ( s − p i） 0 = i =1 K i =1
m
K*→∞
Π ( s − zi ) = 0
i =1
m
开环零点z 即K*→∞时，闭环极点 si＝开环零点 i 时 当 m ≤ n n时，有n-m 条的终点在无穷远点 n Π s − pi Π s − pi * * i =1 K = lim i =1 = lim s n − m → ∞ K = m s→∞ m s→∞ Π s − zi Π s − zi
K Π ( s − zi ) + Π ( s − pi） 0 =
* i =1 i =1
m
n
闭环根的个数 = 特征方程阶次 = max{n,m} 2) 连续性 闭环特征方程中的某些系数是K ∵闭环特征方程中的某些系数是 *的函数 连续变化时， ∴K*从0→∞连续变化时，那些系数也随之连续变化 连续变化时 特征根的变化也是连续的。 ∴特征根的变化也是连续的。 3) 对称性 实根——位于实轴 实根 位于实轴 特征根 复根——对称于实轴 复根 对称于实轴 根轨迹是特征根的集合——对称于实轴。 对称于实轴。 根轨迹是特征根的集合 对称于实轴
×
• • • •
Im
[s]
σ % < σ 0% → ζ > ζ 0 ωd < ωd 0 开环增益 (4) 稳态性能 积分环节个数
α β = cos−1 ζ < cos−1 ζ 0
-2
-1 • • •
•
•
×
0
Re
4
开环零、极点与闭环零、 4-1-3 开环零、极点与闭环零、极点
K M ( s) 设：G ( s ) = 1 1 N 1 ( s)
1） 前向通路传函的零点+反馈传函的极点 无关）； 结论： 闭环零点=前向通路传函的零点 反馈传函的极点（ 结论： ）闭环零点 前向通路传函的零点 反馈传函的极点（与K*无关）； 2）闭环极点——不仅与开环零、极点有关，还与 *有关。 ）闭环极点 不仅与开环零、 不仅与开环零 极点有关，还与K 有关。
1 n Π ( s − z i ) + * Π ( s − p i） 0 = i =1 K i =1
m
K*→∞
Π ( s − zi ) = 0
i =1
m
开环零点z 即K*→∞时，闭环极点 si＝开环零点 i 时 当 m ≤ n n时，有n-m 条的终点在无穷远点 n Π s − pi Π s − pi * * i =1 K = lim i =1 = lim s n − m → ∞ K = m s→∞ m s→∞ Π s − zi Π s − zi
K Π ( s − zi ) + Π ( s − pi） 0 =
* i =1 i =1
m
n
闭环根的个数 = 特征方程阶次 = max{n,m} 2) 连续性 闭环特征方程中的某些系数是K ∵闭环特征方程中的某些系数是 *的函数 连续变化时， ∴K*从0→∞连续变化时，那些系数也随之连续变化 连续变化时 特征根的变化也是连续的。 ∴特征根的变化也是连续的。 3) 对称性 实根——位于实轴 实根 位于实轴 特征根 复根——对称于实轴 复根 对称于实轴 根轨迹是特征根的集合——对称于实轴。 对称于实轴。 根轨迹是特征根的集合 对称于实轴
自动控制原理第四章
2003.6
第二节 绘制根轨迹的基本法则
前面介绍了求根轨迹的分析法和试探法。对于高 阶系统来说，采用这两种方法绘制系统的根轨迹的过程 仍是十分麻烦的。但是，只要掌握根轨迹的一些共性及 某些特征点，就可以不用或少用试探法而又较快地绘制 出复杂系统的根轨迹，从而达到事半功倍的效果。 本节将根据根轨迹方程讨论根轨迹与开环系统零、 极点的关系，讨论根轨迹的特征点、渐近线和其它的某 些性质，从而归纳出绘制根轨迹的十条基本法则。现分 述如下：
Kg
(s p )
j
n
(s z )
i i 1
j 1 m
s p1 s p2 s pn s z1 s z2 s zm
(4 11)
2003.6
式中，分子为各开环极点至测试点s所形成的向量长度之积； 分母则为各开环零点对测试点s所形成的向量长度之积。
k = 0，1，
(s z )
Kg
2003.6
m
(s p )
j 1 j
i 1 n
i
1
(4 9)
相角条件方程为
(s zi ) ( s p j ) 1800 2k+1
i 1 j 1 m n
k = 0,1,2,
(4 10)
比较式（4－9）、（4－10）可看出，幅值条件方程（4－9） 与根轨迹增益Kg有关，而相角条件方程（4－10）却与Kg无关。 所以，s平面上的某个点，只要满足相角条件方程（4-10），则 该点比在根轨迹上。换言之，它就是根轨迹上的一个点。至于该 点所对应的Kg值，可从幅值条件方程求解得出。这意味着：s平 面上满足相角条件方程的一切点，都是对应于Kg取不同数值时的 闭环特征根，即根轨迹。总之，在s平面上满足相角条件的点， 必定也同时满足幅值条件。因此，相角条件是确定根轨迹的充分 而必要条件。
自动控制原理第四章
§4-1 根轨迹的基本概念与绘制条件
一、根轨迹的基本概念 二、根轨迹的绘制条件
一、根轨迹的基本概念
例1：单位反馈二阶系统
K* Wk = s × ( s + 2)
K* WB = 2 s + 2s + K *
K* s ( s + 2)
−
s 2 + 2s + K ∗ = 0 特征方程：
特征根：
s1 = −1 + 1 − K , s2 = −1 − 1 − K
l1 = 1 L1 L2 L3 K g
α1 − ( β1 + β 2 + β 3 ) = −180
s1 L2
L3
β3
β2
l1
α1 L1
β1
l1 = 2.42 L1 = 3.03 L2 = 2.12 L3 = 2.26
α1 = 119.2o β1 = 135.9o β 2 = 94.8o β 3 = 68.8o
∑
j =1
j
k
∑
i =1
i
k
∑ P −∑ Z
j =1 j i =1
n
m
i
= ( n − m )σ k ⇒
∑ P −∑ Z
σk =
j =1 j i =1
n
m
i
n−m
二、绘制根轨迹的一般法则(*)
例3
WK ( s) = K s ( s + 1)( s + 2 )
jω
绘制根轨迹。 ①起点:0，-1，-2 终点：无穷远 ②实轴分支： [-1,0] [-2,-∞]
分支数等于开环极点数n（特征方程阶数）。 由实系数特征方程知，特征根不是实根，就 是共轭复根，故根轨迹一定对称于实轴。
《自动控制原理》第4章
率ω的变化称相位频率特性，用υ(ω)表示。 两者统称为频率特
性或幅相频率特性。
第4章 控制系统的频域分析法 对于线性定常系统，也可定义系统的稳态输出量与输入量 的幅值之比为幅频特性；定义输出量与输入量的相位差为相频 特性。 即 幅值频率特性：A(ω )=|G(jω )| 相位频率特性：υ (ω )=∠G(jω ) 将幅值频率特性和相位频率特性两者写在一起， 可得频率 特性或幅相频率特性为
惯性环节的低频渐近线为零分贝线。 ② 再绘制高频渐近线：高频渐近线是指当ω→∞时的L(ω)图 形（一般认为ω1/T）。此时有 -20 dB/dec的斜直线。 ， L（） 20lg （T 2 2 1 20lg T
因此惯性环节的高频渐近线为在ω=1/T处过零分贝线的、斜率为
第4章 控制系统的频域分析法 ③ 计算交接频率：交接频率是指高、低频渐近线交接处 的频率。高、低频渐近线的幅值均为零时，ω=1/T，因此交接
图4-12 惯性环节的伯德图
第4章 控制系统的频域分析法
图4-13 惯性环节的极坐标图
第4章 控制系统的频域分析法
4.2.5 比例微分环节
传递函数为 频率特性为
G ( s) s 1
G( j ) j 1
对数频率特性为
L( ) 20 lg 2 2 1 ( ) tg 1
② 频率特性的概念对系统、控制元件、部件、控制装置 均适用。 ③ 由频率特性的表达式 G(jω )可知，其包含了系统或元、 部件的全部结构和参数。 ④ 频率特性和微分方程及传递函数一样，也是系统或元 件的动态数学模型。 ⑤ 利用频率特性法可以根据系统的开环频率特性分析闭环 系统的性能。
第4章 控制系统的频域分析法
自动控制原理第4章
幅值条件
s p1 s p2 s pn K s z1 s z2 s zm
注意：1. 这两个条件是从系统闭环特征方程中导出的， 所有满足以上两式的s 值都是系统的特征根，把它们 在s平面上画出，就构成了根轨迹。 2. 观察两式，均与开环零极点有关，也就是说，根 轨迹是利用开环零极点求出闭环极点。
第四章 控制系统的根轨迹分析方法
系统闭环特征方程的根的位置决定闭环系统 的稳定性和动态特性。 l 研究闭环特征根的分布与闭环系统的动态特性 之间的定性、定量关系（分析问题）； l 根据控制系统动态特性要求决定闭环极点在根平 面的位置； l 研究调节器参数与闭环特征根的变化关系，设计 调节器（设计问题）。
s1, 2 0.5 0.5 1 4K
（4-1-1）
闭环特征根是K的函数。当K从0～∞变化， 闭环特征根在根平面上形成根轨迹。
K取不同值：
s1, 2 0.5 0.5 1 4K
K G( s) H ( s ) s( s 1)
（等于两个开环极点） K 0, s1 0, s2 1, 1 K , s1 0.5, s2 0.5, (两根重合于－0.5处) 4
● × ● × ﹣1 ﹣0.5 0
Re
例4-1-2 对上述单位反馈的二阶系统，希望闭环系统 的阻尼系数ξ=0.5，确定系统闭环特征根。 解： 根据以前课程，根据阻尼系数求出阻尼角。 阻尼角θ计算如下：
1 tg 3,
2
Im
0.5
3 2
60
s1, 2 j
i 1 m i 1
n
pi )
i
(s z )
l 1800
l 1,3,5
自动控制原理第四章
σ
-0.5 0
k' WK ( s ) = s ( s + 2)( s + 4)
jω
σ
-4 -2 0
0−2−4 = −2 σ= 3 2k + 1 π 5π θ= π = ,π , 3 3 3
k' WK ( s ) = s ( s + 1)( s + 2)( s + 5)
jω
-5 -2 -1 0
σ = −2 π θ =±
kN ( s ) Wk ( s ) = D(s)
F ( s ) = D( s ) + kN ( s )
k =0 k →∞
F ( s) = D( s) F (s) = N (s)
n > m时，有（n－m) 条分支趋于无穷。 条分支趋于无穷。 时
根轨迹的渐近线：共有（ 3、根轨迹的渐近线：共有（n－m）条渐近线 与实轴交点 与实轴夹角
Wk ( s ) = 1 ∠Wk ( s ) = (2k + 1)π
幅值条件 相角条件
Wk (s) =
k ∏ (Ti s + 1) s N ∏ (τ j s + 1)
j =1 i =1 r
m
时间常数表达式
N＋ r = n > m
零极点表达式 K’为根轨迹增益 为根轨迹增益
=
k ' ∏ ( s + zi ) s N ∏ (s + p j )
dk' = −3s 2 − 12 s − 8 = 0 ds
k' = − s 3 − 6 s 2 − 8 sσ来自-4-20
s1,2
2 3 2 3 = −2 ± 舍去 − 2 − 3 3 k' = 3.08
《自动控制原理》第四章自学要点
一、自学提纲1、根轨迹是如何提出来的？在分析自动控制系统方面，它什么优点？2、根轨迹的概念、含义，什么是根轨迹方程？什么是常规根轨迹（180°根轨迹）？3、复习复向量的加、减、乘、除、求模值、求相角运算，理解根轨迹方程的模值条件和相角条件。
4、根轨迹的绘制法则1，根轨迹的分支数、对称性和连续性。
5、根轨迹的绘制法则2，根轨迹的起点和终点。
6、根轨迹的绘制法则3，根轨迹在实轴上的分布。
7、根轨迹的绘制法则4，根轨迹的渐近线。
8、根轨迹的绘制法则5，根轨迹的分离点和分离角。
9、根轨迹的绘制法则6，根轨迹与虚轴的交点。
10、根轨迹的绘制法则7，根轨迹的出射角。
11、根轨迹的绘制法则8，闭环特征方程的极点之和=开环极点之和。
12、参数根轨迹（广义根轨迹）的绘制，与常规根轨迹的绘制有何不同？13、正反馈根轨迹的绘制（0°根轨迹），与负反馈根轨迹的绘制有何不同？14、利用闭环主导极点估算系统的性能。
15、闭环偶极子对根轨迹的影响。
16、闭环偶极子对根轨迹的影响。
17、附加开环零点对根轨迹的影响。
18、附加开环极点对根轨迹的影响。
19、掌握利用Matlab绘制控制系统的根轨迹，并与手绘图形进行比较。
二、讨论分10个小组（同第一章讨论），习题共11道，第一题所有小组都做，后面10题，指定各小组做1题（可抽签选择）。
三、每组讨论共同的题目，所有成员独自完成一份手写报告，准备在课堂上讲解。
报告需要指出每道题目涉及到的知识点（见自习提纲），将计算步骤详细完整地写出，并将手工绘图结果与Matlab绘图结果对比。
字体工整，能以此报告为讲稿通俗易懂地在课堂上讲解给其他同学听。
四、课堂讨论时，教师随机选定每组的一名或多名同学讲解，如果讲解的不好，同组的其他同学可补充。
给每组一个评定成绩，作为该组所有成员的讨论成绩。
习 题1. 已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为()r(1)(10)K G s s s s =++，画出该系统的根轨迹图，确定产生闭环纯虚根的开环增益，并计算出此时所有的闭环极点。
自动控制原理第四章汇总
规则3 根轨迹的渐近线(与实轴的交点和夹角)
当开环极点数 n 大于开环零点数 m 时，有n-m条趋向无 限零点的根轨迹的走向。
（1）渐近线与实轴的倾角
a
(2k 1)
nm
;
k 0,1, 2,
（2）渐近线与实轴的交点
n
m
p j zi
a
j 1
i 1
nm
,n m 1
式中，zi , p分j 别为开环系统的零点和极点。 注：只有在(n m) 2时，需要计算渐近线与实轴的交点和 夹角。
1.76
交角：
(2k 1) nm
60
,
k 0
(2k 1) nm
180
,
k 1
(2k 1) nm
300
,
k2
G(s)
K *(s 1)
s(s 4)(s2 2s 2)
规则4 根轨迹在实轴上的分布 实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数
之和为奇数，则该区域必是根轨迹。 jω
×
×
×
×σ
j 1
nm
汇合于a点，然后分离，分别沿90º， －90º的渐近线趋向无穷远。
0 (0.5) 0 0.25 20
规则5 根轨迹的分离点与分离角
两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开 的点，称为根轨迹的分离点（或会合点），它对应于特征 方程中的二重根。分离角定义为根轨迹进入分离点的切线 方向与离开分离点的切线方向的夹角。
K1 K1 0
K1 0
K1
K1
分分离离点点
K1 0 K1
分离? 点? ?
K1 0
分离点坐标d：
m
1
n
自动控制原理_第4章
2l 1 l 0,1,2,
6
举例 给定开环传递函数
G(s)H(s)
k(s z1)
(s p1)(s p2 )(s p3)(s p4 )
开环零点：z1
Im
开环极点：p1, p2, p3, p4
p2
p4
z1 p10
Re
p3
7
s 复平面内的试验点：
s
2
Im
p2
4 p4
若成立：
1 1
z1 p10 3p3
s zm s pn
1
当 s 时
s m k s n 1
16
s m k s n 1 s nm k
snm n m snm1
k
近似处理：
snm n m snm1 k
17
snm
n
m
pi
zi
s
nm1
k
i1
i1
snm n m snm1 k
j v 1
m
Kis 1
G(s)H (s) q
i 1 r
sv Tjs 1
Tl2s2 2 lTl s 1
j 1
l 1
v q 2r n Bode型
48
不考虑积分环节
m
ks zi
m
k zi
G(s)H (s)
i 1 n
令s 0
s pj
j v 1
G(0)H (0)
i 1 n
pj
反过来说，当参数 k 取该值时，闭环极点就是上述
s 点。
9
绘制根轨迹的主要步骤
1 把系统的开环传递函数写成零极点形式； 2 在s平面上画出开环零点和开环极点； 3 在s平面上找出满足幅角条件的点，再把这些点
6
举例 给定开环传递函数
G(s)H(s)
k(s z1)
(s p1)(s p2 )(s p3)(s p4 )
开环零点：z1
Im
开环极点：p1, p2, p3, p4
p2
p4
z1 p10
Re
p3
7
s 复平面内的试验点：
s
2
Im
p2
4 p4
若成立：
1 1
z1 p10 3p3
s zm s pn
1
当 s 时
s m k s n 1
16
s m k s n 1 s nm k
snm n m snm1
k
近似处理：
snm n m snm1 k
17
snm
n
m
pi
zi
s
nm1
k
i1
i1
snm n m snm1 k
j v 1
m
Kis 1
G(s)H (s) q
i 1 r
sv Tjs 1
Tl2s2 2 lTl s 1
j 1
l 1
v q 2r n Bode型
48
不考虑积分环节
m
ks zi
m
k zi
G(s)H (s)
i 1 n
令s 0
s pj
j v 1
G(0)H (0)
i 1 n
pj
反过来说，当参数 k 取该值时，闭环极点就是上述
s 点。
9
绘制根轨迹的主要步骤
1 把系统的开环传递函数写成零极点形式； 2 在s平面上画出开环零点和开环极点； 3 在s平面上找出满足幅角条件的点，再把这些点
自动控制原理第四章
东北大学《自动控制原理》课程组 6
4.1 根轨迹法的基本概念
幅值条件： 幅值条件：
N (s) = D (s)
∏ (s + z ) ∏ (s + p )
j =1 j i =1 n i
m
∏l = ∏L
i =1 j =1
i
j
开环有限零点到s点的矢量长度之积 1 = = 开环极点到s点的矢量长度之积 Kg
东北大学《自动控制原理》课程组
l
1 ，即把它等效成为 1+τ s
25
4.2 根轨迹的绘制法则
例4-7 试绘制下图示系统的根轨迹。 试绘制下图示系统的根轨迹。
解
− （1）二个开环极点：p0 = 0 ， p1 = − 二个开环极点： 二个开环极点
− 一个有限零点： 一个有限零点： z1 = −
1 Ta
把以上诸值代入辐角条件，即得起点（ 把以上诸值代入辐角条件，即得起点（-1+j1）的出射角为 ）
β 4 = −26.6
东北大学《自动控制原理》课程组 15
4.2 根轨迹的绘制法则
通过这个例子，可以得到计算出射角的公式为 通过这个例子，可以得到计算出射角的公式为 出射角
m n −1 β sc = 180 − ∑ β j − ∑ α i i =1 j =1
s3
s
2
1
3
2
2K K
s
1
2K K 2− 3
2K K
19
s0
东北大学《自动控制原理》课程组
4.2 根轨迹的绘制法则
在第一列中， 行等于零， 在第一列中，令 s1 行等于零，则得临界放大系数 K K = Kl = 3 根轨迹与虚轴的交点可根据 s 2 行的辅助方程求得，即 行的辅助方程求得，
4.1 根轨迹法的基本概念
幅值条件： 幅值条件：
N (s) = D (s)
∏ (s + z ) ∏ (s + p )
j =1 j i =1 n i
m
∏l = ∏L
i =1 j =1
i
j
开环有限零点到s点的矢量长度之积 1 = = 开环极点到s点的矢量长度之积 Kg
东北大学《自动控制原理》课程组
l
1 ，即把它等效成为 1+τ s
25
4.2 根轨迹的绘制法则
例4-7 试绘制下图示系统的根轨迹。 试绘制下图示系统的根轨迹。
解
− （1）二个开环极点：p0 = 0 ， p1 = − 二个开环极点： 二个开环极点
− 一个有限零点： 一个有限零点： z1 = −
1 Ta
把以上诸值代入辐角条件，即得起点（ 把以上诸值代入辐角条件，即得起点（-1+j1）的出射角为 ）
β 4 = −26.6
东北大学《自动控制原理》课程组 15
4.2 根轨迹的绘制法则
通过这个例子，可以得到计算出射角的公式为 通过这个例子，可以得到计算出射角的公式为 出射角
m n −1 β sc = 180 − ∑ β j − ∑ α i i =1 j =1
s3
s
2
1
3
2
2K K
s
1
2K K 2− 3
2K K
19
s0
东北大学《自动控制原理》课程组
4.2 根轨迹的绘制法则
在第一列中， 行等于零， 在第一列中，令 s1 行等于零，则得临界放大系数 K K = Kl = 3 根轨迹与虚轴的交点可根据 s 2 行的辅助方程求得，即 行的辅助方程求得，
[工学]自动控制原理第四章
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以相对值表示
C(s)
Cs
Gs Gs
1
也就是说，如果受控对象的参数，例如增益有10%的变化，就 会造成受控变量的10%的误差，而且，控制的设计者无法影响 他。
对于图（b）所示的闭环控制系统，情况则大不相同
C(s) T (s)R(s) G(s) R(s) 1 G(s)H (s)
如果不采用反馈，扰动造成的受控对象的变化量为
C(s) Gp(s)D(s)
由此看到，扰动造成的受控对象的误差将直接和扰动的大小成 比例；而且控制设计者无法影响决定误差的Gp（s）。然而， 在闭环控制的情况下，扰动造成的受控对象的误差则为开环控 制的 1 。
1 GH
3.用反馈使不稳定系统稳定
采用反馈的一个重要理由是用来稳定一个固有的开环不稳定系 统，即受控对象本身不稳定的系统。
y(t) KcKu (1 et /Tm )
第四章 系统的反馈控制及其特性
L/O/G/O
一.反馈的作用
讨论反馈对系统的各种影响，目的在于弄清在控制系统中为什么 要采用反馈。
1.用反馈来降低对于参数变化的灵敏度
系统中各元件的参数可能随使用时间的增长和环境的变化
（例如周围温度的变化）而变化。反馈能够减小参数变化对
于系统的影响。
R（s）
Ge（s） 控制器
当G（s）变化ΔG(s)时，它是通过引起闭环传递函数T（s） 的变化ΔT(s)而造成受控变量C(s)的误差ΔC(s)的。
C(s) T (s)R(s)
以相对值表示
C(s) T (s) 1 C(s) T(s)
用灵敏度这个术语来描述由于G（s）的变化而引起的闭环传 递函数的相对变化。定义闭环传递函数T(s)对于前向通路传 递函数G(s)的灵敏度SGT为
自动控制原理第四章
∑(−P ) − ∑(−Zi ) j σα = n−m (0 − 3 + (−1 + j) + (−1 − j) − (−1 )) = 3 (−2 −1 −1 ) −4 = = = −1.33 3 3
[规则 ] : 起始 出射)角与终止 入射)角的计算公式为 6 ( ( : m ∠(s + Z ) − n ∠(s + p ) θ ∑j i i p = (2L +1)π + ∑ i=1 j =1,i ≠ s=− p n m θz = (2L +1)π − ∑∠(s + Zi ) − ∑∠(s + pi ) s=− z i =1 i=1,i≠ j
3 2
令s = jω有: (jω) + 5( jω) + 4 jω + k = 0
3 2
− jω − 5ω + 4 jω + k = 0
3 2 2 j(4ω −ω3 ) = 0 ω(4 −ω ) = 0 ω = 0或± 2 2 2 K − 5ω = 0 K = 5ω = 5× 4 = 20 * ∴ω = ±2, K = 20
幅值条件方程(模相等):
∏ ∏
j =1 i =1 n
m
(s + zi ) (s + pj )
=1
相角条件方程(相角相等):
G(s)H (s) = ±(2k +1)π
∑∠(s + z ) − ∑∠(s + p ) = ±(2k +1)π
i =1 i j =1 j
m
n
第三节 根轨迹绘制规则
[规则 根轨迹与实轴对称 规则1]根轨迹与实轴对称 规则
自动控制原理 第四章
m
(s p )
j 1
n
G( s) ( s ) 1 G( s) H ( s)
G( s) H ( s)
*
K ( s z1 ) ( s z m ) 1 ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
m
K K*
j 1 i 1 n
m
zi pj
i 1 j 1
例 判定si是否为根轨迹上的点。
解.
模值条件 相角条件
• 对s平面上任意的点，总存在一个 K* ，使其 满足模值条件，但该点不一定是根轨迹上的点。 • s平面上满足相角条件的点（必定满足幅值条 件） 一定在根轨迹上。
满足相角条件是s点位于根轨迹上的充分必
要条件。
• 根轨迹上某点对应的 K* 值，应由模值条件来 确定。
由代数定理： a n 1
p
i 1
n
i
l i a n 1 C
i 1
n
D( s ) s n a n 1 s n 1
an 2 s n 2 K * s n 2
an 3 s n 3 K *bn 3 s n 3
a0 K *b0
（对应重根）
分离角：(2k+1)*180/L
试根:
d [ 1,0.5] d1 0.5 d 2 0.6 d 3 0.55
d 0.55
d d 1 d 4 K d2
* d
0.589
法则7
与虚轴交点：
1）系统临界稳定点
2）s = jw 是根的点
例 某单位反馈系统的开环传递函数为
K * ( s 2) G( s) s( s 1)
自动控制原理第4章
z2 ) p2 )
m
sm z j n1
i 1
(s zm )
(s pn )
m
(zj)
j 1
n
( pi )
i 1
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
如果开环零、极点的数目满足n-m 2，则 闭环特征方程为
snnp isn 1 n( p i)K *m( zj) 0
证明：系统的闭环特征方程
n
m
D(s) (spi)K* (szj)0
i1
j1
根轨迹有分离点，说明闭环特征方程有重
根。因此，
n
m
(s pi ) K* (s zj ) 0
i1
j1
d
ds
n i1
(s
pi )
K*
m j1
(s zj )
0
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
将上面两式相除，整理得
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
4.1 根轨迹的基本概念
一、根轨迹的定义
根轨迹：是指系统开环传递函数中某个参数 (如开环增益K)从零变到无穷时，闭环特征 根在s平面上移动所画出的轨迹。
常规根轨迹：当变化的参数为开环增益时 所对应的根轨迹。
广义根轨迹：当变化的参数为开环传递函 数中其它参数时所对应的根轨迹。
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
证明： 由根轨迹方程，得
m
(s
j 1
n
(s
zj) pi )
1 K*
i1
令K* =0，得
m
j 1 n
(s (s
zj) pi )
1 K*
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注意，闭环系统在减小对前向通路参数变化的灵敏度的同时，
对于反馈通道参数变化却非常敏感。T对于反馈通道H的灵敏 度为：
SHT
H T
T H
H
G2
G 1 GH 1 GH 2
GH 1 GH
以直流电动机速度控制系统为例，枢控直流电动机的微分方程模
型为式： TaTm
d 2
dt2
Tm
d
dt
Ku Ka
Km (Ta
C(s) T (s)R(s)
以相对值表示
C(s) T (s) 1 C(s) T(s)
用灵敏度这个术语来描述由于G（s）的变化而引起的闭环传 递函数的相对变化。定义闭环传递函数T(s)对于前向通路传 递函数G(s)的灵敏度SGT为
SGT
T (s)变化的百分数 G(s)变化的百分数
T T
G G
采用偏微分来近似ΔG(s)所引起T(s)的增量ΔT(s),
2.用反馈抑制扰动的影响
R(s)
E(s)
- B(s)
Gc(s)
D(s)
+
C(s)
Gp(s)
H(s)
(c)
上图所示的控制系统，D（s）代表了扰动对系统的作用。 受控对象对于扰动的闭环传递函数
C(s) Gp(s) D(s) 1 G(s)H (s)
扰动造成的受控对象的变化量为： C(s) Gp(s) D(s) 1 G(s)H (s)
Ωd(s)
-
Mc(s) -Km/(Tms+1)
+
Ω(s)
Kc
Ku/(Tms+1)
1
(d)
对于这个电动机转速控制系统，其闭环传递函数为
T (s)
(s) d (s)
KcKu Tms 1 KcKu
KcKu / Tm s 1 KcKu
且其闭环灵敏度
Tm
SGT
1
1 G(s)H (s)
Tms 1 Tms 1 KcKu
如果不采用反馈，扰动造成的受控对象的变化量为
C(s) Gp(s)D(s)
由此看到，扰动造成的受控对象的误差将直接和扰动的大小成 比例；而且控制设计者无法影响决定误差的Gp（s）。然而， 在闭环控制的情况下，扰动造成的受控对象的误差则为开环控 制的 1 。
1 GH
3.用反馈使不稳定系统稳定
采用反馈的一个重要理由是用来稳定一个固有的开环不稳定系 统，即受控对象本身不稳定的系统。
s 1/ Tm s 1 KcKu
Tm
在稳态情况下（s→0），系统的闭环传递函数
T KcKu 1 KcKu
设电动机的增益Ku变化，其闭环灵敏度
ST Ku
Ku T
T Ku
1 1 KcKu
设KcKu=100，SKuT≈0.01,这意味着如果受控对象参数Ku 有100%的误差,受控变量将只有1%的误差。
Gp（s） 受控对象
C(s)
G(s)
图(a)
G(s)
R(s)
a(s) Ge（s） 控制器
Gp（s） 受控对象
C(s)
- b(s)
传感器
H(s)
图（b）
对于图（a）所示的开环控制系统
C(s) G(s)R(s)
假设由于参数变化，G（s）变为G（s）+ΔG（s），那么开 环系统的输出变化
C(s) G(s)R(s)
为了具体看看反馈如何用来稳定一个固有不稳定的系统，考虑
一个一阶系统
Gp (s)
Kp sa
,a
0
这是一个不稳定的系统。采用一个增益为Kc的控制器，构成单 位反馈控制系统（假设传感器传递函数H（s）=1，则
T (s) KcGp (s) KcK p 1 KcGp (s) s a KcK p
若KcKp>a，即
y(t) KcKu (1 et /Tm )
采用反馈控制，其闭环传递函数
KcKu
T (s)
KcKu
Tms 1 KcKu
Tm s 1 KcKu
Tm
其闭环基点为 s 1 KcKu ，单位冲激响应 Tm
g(t)
K K e(1KcKu )t /Tm cu
Tm
单位阶跃响应
y(t) Kc Ku (1 e(1KcKu )t /Tm ) 1 KcKu
第四章 系统的反馈控制及其特性
L/O/G/O
一.反馈的作用
讨论反馈对系统的各种影响，目的在于弄清在控制系统中为什么 要采用反馈。
1.用反馈来降低对于参数变化的灵敏度
系统中各元件的参数可能随使用时间的增长和环境的变化
（例如周围温度的变化）而变化。反馈能够减小参数变化对
于系统的影响。
R（s）
Ge（s） 控制器
以相对值表示
C(s)
Cs
Gs Gs
1
也就是说，如果受控对象的参数，例如增益有10%的变化，就 会造成受控变量的10%的误差，而且，控制的设计者无法影响 他。
对于图（b）所示的闭环控制系统，情况则大不相同
C(s) T (s)R(s) G(s) R(s) 1 G(s)H (s)
当G（s）变化ΔG(s)时，它是通过引起闭环传递函数T（s） 的变化ΔT(s)而造成受控变量C(s)的误差ΔC(s)的。
T T G G
作代数变形，上式可化为
T G T G T T G G
根据上面的公式，闭环系1 GH ) GH (1 GH )2
1 1 GH
如果 G(s)H(s) ，1 则 ΔC/C<<1
SGT ，1 当
G ，1有ΔT/T<<1,从而
G
如果G（s）的增益变化为100G（s），则SGT变化大致在0.01 左右。这个结果显示了反馈的主要优点：受控对象对于受控对 象参数的变化很不灵敏，而开环控制系统的灵敏度为100%。
Kc
a Kp
，则闭环极点将移至左半s平面，原来不稳
定的系统变成了稳定的系统。
4.用反馈来改善系统的动态特性
闭环系统的传递函数
T (s) C(s) G(s) Gc (s)Gp (s) R(s) 1 G(s)H (s) 1 Gc (s)Gp (s)H (s)
仍点以为前s=述-1电/T动m机,单转位速冲控激制响为应例g，(t) 开K环cKTume时t/Tm，，G(单s) 位KcG阶p(s跃) 响TKmcsK应u1，其极
dmc dt
mc )
为了简化，设电枢回路电感La为零，即Ta=La/Ra=0,有
Tm
d
dt
Kuua
Kmmc
分别得到电动机转速对于电枢电压和负载转矩的传递函数为： (s) Ku Ua (s) Tms 1 (s) Ku Mc (s) Tms 1
用测速电动机测量轴的转速，产生一个与之成比例的电压（为了 简化，设比例系数为1），将它和希望的转速ωd相比较，以其差 作为激励信号，即控制器的输入信号，并设控制器产生一个和它 成比例的控制信号，通过改变电动机的电枢电压来控制电动机的 转速。这样就构成了反馈控制系统。