大学期末复习试题资料整理《高等数学2》经管类期末试卷
高等数学2期末复习题与答案(可编辑修改word版)
x 2 + y 2 - 1 3 1- y 2《高等数学》2 期末复习题一、填空题:1. 函 数 z = + ln(3 - x 2 - y 2 ) 的 定 义 域 是 1≦X^2+Y^2<3 . 2.设 z = (1 + x ) y, 则∂z =∂y(1+ x ) yln(1+ x ) .3.函数 z = ln(1+ x 2 + y 2 ) 在点(1, 2) 的全微分dz = 1dx + 2 dy(1,2)3 34.设 f (x + y , xy ) = x 2 + y 2 , 则 f (x , y ) =.设 f (x + y , y) = x 2 - y 2 , 则 f (x , y ) = .x5. 设 z = e u sin v 而 u = xy v = x + y 则 ∂z =∂ye xy [x sin(x + y ) + cos(x + y )]6. 函数 z = x 2 + y 2 在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,2 + )的方向导数是1+ 222 y 17. 改换积分次序⎰0dy ⎰y 2f (x , y )dx =; ⎰0 dy ⎰y -1f (x , y )dx = .8. 若 L 是抛物线 y 2 = x 上从点 A (1,-1) 到点 B (1,1) 的一段弧,则⎰xydx =L9. 微分方程(1+ e 2x )dy + ye 2x dx = 0 的通解为.二、选择题: 1.lim ( x , y )→(2,0) tan(xy )y 等于 ()(上下求导)A .2,B. 12C.0D.不存在2. 函 数 z = 的定义域是( D )A. {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0} C. {(x , y ) y ≥ 0, x 2 ≥ y }B. {(x , y ) x 2 ≥ y } D. {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0, x 2 ≥ y }3 x - y23.∂f (x , y ) | ∂x( x0 ,y 0 ) = ( B )A. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 , y 0 )∆xB. lim∆x →0f (x 0 + ∆x , y 0 ) - f (x 0 , y 0 )∆xC. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 + ∆x , y 0 )∆xD. lim∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 ) ∆x5. 设 z = F (x 2 + y 2 ) ,且 F 具有导数,则∂z + ∂z= (D )∂x ∂yA. 2x + 2 y ;B. (2x + 2 y )F (x 2 + y 2 ) ;C. (2x - 2 y )F '(x 2 + y 2 ) ;D. (2x + 2 y )F '(x 2 + y 2 ) .6. 曲线 x = a cos t , y = a sin t , z = amt ,在 t = 处的切向量是 ( D )4A . (1,1, 2)B. (-1,1, 2)C. (1,1, 2m )D. (-1,1, 2m )7. 对于函数 f (x , y ) = x 2 + xy ,原点(0,0)( A )A .是驻点但不是极值点B.不是驻点C.是极大值点D.是极小值点8.设 I= ⎰⎰5Dx 2 + y 2 -1dxdy , 其中 D 是圆环1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 所确定的闭区域, 则必有( ) A .I 大于零 B.I 小于零C.I 等于零D.I 不等于零,但符号不能确定。
37华北科技学院成人高等教育高等数学Ⅱ期末考试复习题
1 《高等数学Ⅱ》复习资料
一、填空题
1、已知曲线过点)2,1(,且在该曲线上任意点),(y x P 处的切线斜率为x 2, 这条曲线方程为
2、设函数y x z 2)
31(+=,则x
z ∂∂= 3、函数22y x z +=在点)1,1(处的全微分=)1,1(dz 4、交换二次积分顺序:⎰⎰=x
x dy y x f dx 2),(1
0 5、级数∑∞=+1)1
(
n n n n 的敛散性为 6、设函数xy z 3=,则
x z ∂∂= 7、函数223y x z --=的极大值点为
8、设级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径为)0(+∞<<R R ,则∑∞
=0)2(n n n x a 的收敛半径为 二、选择题
1、下列各式中,正确的是( )D
A.
c + B. 2xdx x c =+⎰ C. sin cos xdx x c =+⎰ D. x x e dx e c =+⎰
2、函数),(y x f z =在点),(00y x 处的偏导数),(),,(0000y x f y x f y x 存在是函数),(y x f z =在点),(00y x 处存在全微分的( ) C
A. 充分条件
B. 充分必要条件
C. 必要条件
D. 既非充分条件又非必要条件
3、下列级数中,不收敛的是 ( )D A. ∑∞=131n n
B.
∑∞=+-11)1(n n n C. ∑∞=<01,n n q q D. ∑∞=+12)1(n n n。
高等数学2期末试卷
2020级高等数学期终试卷一、填空题(每小题3分,共24分)1.幂级数n n nx n∑∞=13的收敛域为)31,31[-.2.设⎩⎨⎧π≤<+≤<π--=x x x x f 0 ,10,1)(,则 2 )(π的以x f 为周期的Fourier 级数π=x 在处收敛于2π. 3.若),(y x z z =由方程0),(2=-ϕx yz xz 确定,其中具有连续偏导数ϕ, 则∂∂x z4.交换积分次序:⎰⎰⎰⎰⎰⎰-------=+1011011011022),(),(),(yy xx dx y x f dy dy y x f dx dy y x f dx .5.2222 R z y x =++∑为球面设,曲面积分dS z y x ⎰⎰∑+++11222的值为1422+πR R 。
6.设曲线4 22=+y x C 为圆周,取逆时针方向,则曲线积分的值为 22dy xy dx yxC ⎰+-π8.二、单项选择题(每小题4分,共16分)1.设1 1 , -===y x x y D 与是由直线所围成的区域,位于是 1D D 第一象限的部分,则⎰⎰=+Ddxdy y x xy )]sin([32( B )(A )⎰⎰13)sin(2D dxdy y x ;(B )⎰⎰122D dxdy xy ;(C )⎰⎰124D dxdy xy ;(D )0。
2.若级数∑∞=π-1sin)1(n pn nn 绝对收敛,则必有( A )(A )2>p ; (B )2≥p ; (C )21<<p ; (D )10≤<p 。
3. 函数) ,(y x f 在点) ,( y x 存在偏导数) ,( y x f x 、在是函数 ) ,(f y x f y 该点连续的( D )(A ) 充分条件而非必要条件; (B )必要条件而非充分条件; (C )充分必要条件; (D )既非充分也非必要条件。
《高等数学二》考试题及答案
《高等数学(二)》期末复习题一、选择题1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行,且满足18-=⋅b a ,则=b ( A ) (A ) )4,2,4(-- (B )(24,4)--, (C ) (4,2,4)- (D )(4,4,2)--.2、在空间直角坐标系中,方程组2201x y z z ⎧+-=⎨=⎩代表的图形为 ( C )(A )直线 (B) 抛物线 (C ) 圆 (D)圆柱面 3、设22()DI xy dxdy =+⎰⎰,其中区域D 由222x y a +=所围成,则I =( D )(A)224ad a rdr a πθπ=⎰⎰ (B) 22402ad a adr a πθπ=⎰⎰(C)2230023a d r dr a πθπ=⎰⎰ (D) 2240012a d r rdr a πθπ=⎰⎰4、 设的弧段为:230,1≤≤=y x L ,则=⎰L ds 6 ( A )(A )9 (B) 6 (C )3 (D)235、级数∑∞=-11)1(n nn的敛散性为 ( B ) (A ) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑⎰⎰=→∆=ni i i i Df d y x f 10),(lim),(σηξσλ中的λ代表的是( D )(A )小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数,则二次积分⎰⎰-1010d ),(d xy y x f x 等于 ( B )(A )⎰⎰-1010d ),(d xx y x f y (B) ⎰⎰-1010d ),(d yx y x f y(C)⎰⎰-x x y x f y 1010d ),(d(D)⎰⎰101d ),(d x y x f y8、方程222z x y =+表示的二次曲面是 ( A )(A )抛物面 (B )柱面 (C )圆锥面 (D ) 椭球面9、二元函数),(y x f z =在点),(00y x 可微是其在该点偏导数存在的( B ). (A ) 必要条件 (B ) 充分条件 (C ) 充要条件 (D ) 无关条件 10、设平面曲线L 为下半圆周 21,y x =--则曲线积分22()Lx y ds +=⎰( C )(A) 0 (B) 2π (C) π (D) 4π 11、若级数1nn a∞=∑收敛,则下列结论错误的是 ( B )(A)12nn a∞=∑收敛 (B)1(2)nn a∞=+∑收敛 (C)100nn a∞=∑收敛 (D)13nn a∞=∑收敛12、二重积分的值与 ( C )(A )函数f 及变量x,y 有关; (B) 区域D 及变量x,y 无关; (C )函数f 及区域D 有关; (D) 函数f 无关,区域D 有关。
高数(二)期末考试试卷及答案
2017学年春季学期《高等数学Ⅰ(二)》期末考试试卷(B)注意: 1、本试卷共 3 页;2、考试时间110分钟; 3、姓名、学号必须写在指定地方一、单项选择题(8个小题,每小题2分,共16分)将每题的正确答案的代号A、B、C或D填入下表中.1.a与b是向量,若baba+=+,则必有()(A)⊥a b(B)0,0==a b或(C)a=b(D)⋅=a b a b2。
()(),0,1sin()limx yxyx→=( )。
(A)不存在(B)1(C) 0(D) ∞3.二元函数),(yxfz=在),(yx处可微的充要条件是()(A)),(yxf在),(yx处连续(B)),(yxfx',),(yxfy'在),(yx的某邻域内存在(C)),(yxfx',),(yxfy'在),(yx的某邻域内连续(D)当0)()(22→∆+∆yx时,yyxfxyxfzyx∆'-∆'-∆),(),(是4.对函数(,)f x y=(0,0)是(,)f x y的( )。
(A)驻点与极值点(B)驻点,非极值点(C)极值点,非驻点(D)非驻点,非极值点5.设平面区域D:1)1()2(22≤-+-yx,若21()dDI x yσ=+⎰⎰,32()dDI x yσ=+⎰⎰则有()(A)21II<(B)21II=(C)21II>(D)不能比较6.设椭圆L:13422=+yx的周长为l,则()dLx y s+=⎰()(A)0 (B)l(C) l3 (D)l47.下列结论正确的是()(A)若11nnuu+<(1,2,)n=成立,则正项级数1nnu∞=∑收敛(B)当0lim=∞→nnu时,交错级数1(1)nnnu∞=-∑收敛(C)若级数1nnu∞=∑收敛,则对级数的项任意加括号后所成的新级数也收敛(D)若对级数1nnu∞=∑的项适当加括号后所成的新级数收敛,则原级数也收敛8。
设∑∞=1nnnxa的收敛半径为(0)R R>,则∑∞=12nnnxa的收敛半径为( A )(A) (B)R(C)2R(D) 不能确定二、填空题(7个小题,每小题2分,共14分).1.过点(1,2,3)且方向向量为(1,2,3)=n的直线方程为;2。
《高等数学二》期末复习题及答案-28171462418361700
《高等数学(二)》期末复习题一、选择题1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行,且满足18-=⋅b a ,则=b ( ) (A ) )4,2,4(-- (B )(24,4)--, (C ) (4,2,4)- (D )(4,4,2)--.2、在空间直角坐标系中,方程组2201x y z z ⎧+-=⎨=⎩代表的图形为 ( )(A )直线 (B) 抛物线 (C ) 圆 (D)圆柱面 3、设22()DI x y dxdy =+⎰⎰,其中区域D 由222x y a +=所围成,则I =( ) (A)224a d a rdr a πθπ=⎰⎰ (B) 22402ad a adr a πθπ=⎰⎰(C)2230023a d r dr a πθπ=⎰⎰ (D) 2240012a d r rdr a πθπ=⎰⎰4、 设的弧段为:230,1≤≤=y x L ,则=⎰L ds 6 ( ) (A )9 (B) 6 (C )3 (D)23 5、级数∑∞=-11)1(n nn的敛散性为 ( ) (A ) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑⎰⎰=→∆=ni i i i Df d y x f 10),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是( )(A )小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数,则二次积分⎰⎰-1010d ),(d xy y x f x 等于 ( )(A )⎰⎰-1010d ),(d xx y x f y (B) ⎰⎰-1010d ),(d yx y x f y(C)⎰⎰-x x y x f y 1010d ),(d(D)⎰⎰101d ),(d x y x f y8、方程222z x y =+表示的二次曲面是 ( )(A )抛物面 (B )柱面 (C )圆锥面 (D ) 椭球面 9、二元函数),(y x f z =在点),(00y x 可微是其在该点偏导数存在的( ).(A ) 必要条件 (B ) 充分条件 (C ) 充要条件 (D ) 无关条件 10、设平面曲线L 为下半圆周 21,y x =--则曲线积分22()Lx y ds +=⎰( )(A) 0 (B) 2π (C) π (D) 4π 11、若级数1nn a∞=∑收敛,则下列结论错误的是 ( )(A)12nn a∞=∑收敛 (B)1(2)nn a∞=+∑收敛 (C)100nn a∞=∑收敛 (D)13nn a∞=∑收敛12、二重积分的值与 ( )(A )函数f 及变量x,y 有关; (B) 区域D 及变量x,y 无关; (C )函数f 及区域D 有关; (D) 函数f 无关,区域D 有关。
《高等数学2》经管类期末考试B卷
)。 B.
d f (r )rdr
0
1
2 0
d f (r 2 )rdr
0
1
C.
2 0
d f (r )rdr D.
0
1
d f (r 2 )rdr
0
1
9. 设 a 为常数,则级数 (1) n 1 cos (
n 1
a n
) 。 C. 条件收敛 D. 收敛性与 a 有关
4
上海商学院
试卷 B 解答及评分标准 一、 填空题
1. | x y | 1 2. 2 x( x 2 y 1)e x 3. 1 4.
2
y
2n x n n! n 0
,
5. y C1e x C 2 e 4 x 二、 6. D 7. B 8. A 9. B 10. A 三、 计算题 选择题
y x dx C x x C
四、 应用题
20. 解:利润函数为 L x, y R x, y C x, y 100 x 80 y 2 x 2 2 xy y 2 800
6
上海商学院
约束条件 x y 30 构造拉格朗日函数: F x, y 100 x 80 y 2 x 2 2 xy y 2 800 x y 30
1 n 1 则 S ( x) x , x 1, 1 (1 x) 2 n0 1 x
18. 解:把方程写为
x y dx dy ,两边求不定积分,得 2 1 x 1 y2
1 1 1 x 2 1 y 2 C1 2 2
【经典期末卷】大学高数(下)期末测试题及答案
第 1 页 (共 10 页)班级(学生填写): 姓名: 学号: 命题: 审题: 审批: ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- (答题不能超出密封线)第 2 页(共10 页)第 3 页 (共 10 页)班级(学生填写): 姓名 学号: ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- (答题不能超出密封线)第 4 页 (共 10 页)三. 计算题(一)(每小题6分,共36分)1.计算:22xy De d σ+⎰⎰,其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域。
2.计算三重积分xdxdydz Ω⎰⎰⎰,其中Ω为三个坐标面及平面21x y z ++=所围成的闭区域。
3.计算xyzdxdydz Ω⎰⎰⎰,其中Ω是由曲面2221x y z ++=,0,0,0x y z ≥≥≥所围成.第 5 页 (共 10 页)班级(学生填写): 姓名 学号: ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- (答题不能超出密封线)4.求2d d Dxx y y⎰⎰,其中D 为1xy =,y x =及2x =所围成的区域。
高等数学二期末复习题及答案
高等数学二期末复习题及答案集团标准化办公室:[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]《高等数学(二)》期末复习题一、选择题1、若向量与向量)2,1,2(-=a 平行,且满足18-=⋅,则=( )(A ) )4,2,4(-- (B )(24,4)--,(C ) (4,2,4)- (D )(4,4,2)--.2、在空间直角坐标系中,方程组2201x y z z ⎧+-=⎨=⎩代表的图形为 ( )(A )直线 (B) 抛物线 (C ) 圆 (D)圆柱面 3、设22()DI x y dxdy =+⎰⎰,其中区域D 由222x y a +=所围成,则I =( )(A) 22400a d a rdr a πθπ=⎰⎰ (B) 224002ad a adr a πθπ=⎰⎰(C)2230023a d r dr a πθπ=⎰⎰ (D) 2240012a d r rdr a πθπ=⎰⎰4、 设的弧段为:230,1≤≤=y x L ,则=⎰L ds 6 ( )(A )9 (B) 6 (C )3 (D) 235、级数∑∞=-11)1(n nn的敛散性为 ( )(A ) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定6、二重积分定义式∑⎰⎰=→∆=ni i i i Df d y x f 10),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是( )(A )小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数,则二次积分⎰⎰-1010d ),(d xy y x f x 等于 ( )(A )⎰⎰-1010d ),(d xx y x f y(B) ⎰⎰-1010d ),(d yx y x f y(C)⎰⎰-xx y x f y 1010d ),(d(D)⎰⎰1010d ),(d x y x f y8、方程222z x y =+表示的二次曲面是 ( )(A )抛物面 (B )柱面 (C )圆锥面 (D )椭球面9、二元函数),(y x f z =在点),(00y x 可微是其在该点偏导数存在的( ). (A ) 必要条件 (B ) 充分条件 (C ) 充要条件 (D ) 无关条件10、设平面曲线L 为下半圆周 y =则曲线积分22()L x y ds +=⎰( )(A) 0 (B) 2π (C) π (D) 4π11、若级数1n n a ∞=∑收敛,则下列结论错误的是 ( )(A)12n n a ∞=∑收敛 (B) 1(2)n n a ∞=+∑收敛 (C)100nn a∞=∑收敛 (D) 13n n a ∞=∑收敛12、二重积分的值与 ( )(A )函数f 及变量x,y 有关; (B) 区域D 及变量x,y 无关; (C )函数f 及区域D 有关; (D) 函数f 无关,区域D 有关。
2023高数II期末模拟卷及参考答案
高数II 期末模拟卷课程名称:高等数学AII课程类别:必修考试方式:闭卷注意事项:1、本试卷满分100分。
2、考试时间120分钟。
3、答案写在答题卷上。
一、单项选择题(每小题3分,共21分)1.下列方程中是线性微分方程的是()A.2(')120y xy +=B.'''3sin xy y xy y -+=C.32'4y y x -= D.222'''x y y y e x x-+=2.直线134x y z x y z -+=⎧⎨--=⎩和直线11111x y z +-==-的夹角等于()A.2πB.4πC.3πD.6π3.函数2222220(,)00xyx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩点(0,0)处()A.连续但偏导数不存在B.不连续但偏导数存在C.连续且偏导数存在D.偏导数存在且可微4.设D 由22(2)1x y ++=所围区域,I 1=2()d Dx y σ+⎰⎰,I 2=3()d Dx y σ+⎰⎰则()A.12I I >B.12I I =C.12I I <D.不能比较5.设⎰⎰=12),(xxdy y x f dx I ,交换积分次序,得()A.⎰⎰xx dxy x f dy 210),( B.⎰⎰10),(yy dxy x f dy C.⎰⎰102),(y ydxy x f dy D.⎰⎰yydxy x f dy 1),(6.设S 为曲面22y x z +=介于平面0=z 和1z =之间的部分,则Sz dS =⎰⎰()学院:专业班级:姓名:学号:装订线内不要答题A.23πB.223D.π7.下列级数绝对收敛的是()A.2221111357-+-+B.1(1)n n ∞-=-∑C.11(1)nn n ∞=-∑ D.231(1)nn n∞-=-∑二、填空题(每小题3分,共21分)1.微分方程20y y y '''-+=的通解为.2.xoz 坐标面上的抛物线x z 52=绕x 轴旋转而成的曲面方程是.3.极限211lim (1)x xyx y x →∞→-=.4.曲线23222x t y t z t =-⎧⎪=⎨⎪=⎩在点t=1处的切线方程为.5.已知D =22{(,)1}x y x y +≤,22()Df xy dxdy +⎰⎰,其极坐标形式为.6.设Ω:222+2,x y z z +≤则dV Ω=⎰⎰⎰.7.幂级数0(1)21nnn n x ∞=-+∑的收敛区间是.三、计算下列各题(每题6分,共12分)1.求微分方程222x y xy xe -'+=满足初始条件01x y ==的特解.2.求过点(0,3,1)-和直线11111x y z --==-的平面方程.四、多元函数微分题.(每题6分,共18分)1.设22ln( )x y y z x +=+,求,x z ∂∂,y z ∂∂dz 和21x y zx y==∂∂∂.2.设方程20zxz y e -+=确定一个隐函数),(y x f z =,求,x z ∂∂,y z ∂∂xy z∂∂∂2.3.求函数322(,)426f x y x x xy y =-+-+的极值.五、积分题.(每题6分,共18分)1.计算二重积分(2)Dx y dxdy +⎰⎰,其中D 由直线,2,2y x y x y ===围成.2.计算⎰⎰⎰Ωzdxdydz ,其中Ω由曲面z =及z =所围成的闭区域.3.计算⎰++Ldy x dx xy 2)12(,其中L为y =上从点A(0,0)到点B(2,2)的一段弧.六、级数题.(每题5分,共10分)1.判断级数121(1)21nnn n ∞=+--∑的敛散性.2.求幂级数121n n n x n ∞+=+∑的收敛半径、收敛域及和函数.参考答案一、单项选择题(每小题3分,共21分)DABA BBA二、填空题(每小题3分,共21分)1.12x x y C e C xe =+;2.225y z x +=;3.1e -;4.12113x y z --==;5.212()d f r rdr πθ⎰⎰;6.43π;7.(-2,2).三、计算下列各题(每题6分,共12分)1.求微分方程222x y xy xe -'+=满足初始条件01x y ==的特解.解:先求20y xy '+=的通解为21x y C e -=(2分)常数变易法,将2()x y u x e-=⋅代入原方程得22()2x xu x e xe --'⋅=解得2()u x x C =+,故原方程的通解为22()x y x C e -=+(4分)将01x y==代入通解得1C =,(5分)故满足初始条件01x y==的特解为22(1)xy x e -=+.(6分)2.求过点(0,3,1)-和直线11111x y z --==-的平面方程.解:直线11111x y z --==-过两点(2,1,2)-和点(1,0,1),(2分)由条件知平面过点A (2,1,2)-、点B (1,0,1)点和C (0,3,1)-,所以过A、B、C 三点的平面方程为111110130x yz ---=--(5分)即所求平面方程为3410x y z --+=.(6分)四、多元函数微分题.(每题6分,共18分)1.设22ln( )x y y z x +=+,求,x z ∂∂,y z ∂∂dz 和21x y zx y==∂∂∂.解:222x y z x y x +∂=+∂,222x y z yxx +∂=+∂(4分)所以222222()()x ydz y dx x y x yx dy =+++++(5分)()()222222222222411z z x x y xy y x y x y x y y y x ⎛⎫∂∂-⋅-=+=+=+ ⎪∂∂∂⎝++⎭+210x y z x y==∂∂∂1=(6分)2.设方程20zxz y e -+=确定一个隐函数),(y x f z =,求,x z ∂∂,y z ∂∂xy z∂∂∂2.解:设2(,,)z F x y z xz y e =-+(1分)则(,,),x F x y z z =(,,)2y F x y z y =-,(,,)zz F x y z x e =+(2分),x Z z F z zF x e x ∂-=-=∂+2,y Z z F z y yF e x ∂=-=∂+(4分)()22221z z z y e x e x z z z y x x e y x ∂∂∂∂⎛⎫== ⎪⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎝⎭++∂∂∂()()32z z z y x e ze x e -+-+=(6分)3.求函数322(,)426f x y x x xy y =-+-+的极值.解:2(,)3820(,)220x y f x y x x y f x y x y ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩,解得驻点为(0,0),(2,2)(3分)又68,2,(,)2yy A x B C f x y =-===-(4分)对于点(0,0),A=-8,B=2,C=-2,2120AC B -=>,且A<0,所以(0,0)6f =为极大值.对于点(2,2),A=4,B=2,C=-2,2120AC B -=-<,所以(2,2)f 不是极值.(6分)五、积分题.(每题6分,共18分)1.计算二重积分(2)Dx y dxdy +⎰⎰,其中D 由直线,2,2y x y x x ===围成.解:X 型区域D:02,2x x y x ≤≤≤≤,(2分)220(2)(2)xDxx y dxdy dx x y dy+=+⎰⎰⎰⎰(3分)2220456[2(2)26x x x x x dx -=-+=⎰(6分)2.计算⎰⎰⎰Ωzdxdydz ,其中Ω由曲面z =及z =所围成的闭区域.解:积分域Ω:2:z x ≤≤∈+≤⎪⎩(2分)极坐标系下的区域D:02,01r θπ≤≤≤≤(3分)Dzdxdydz zdyΩ=⎰⎰⎰⎰⎰(4分)212230(1)2Dx y dxdy d r dr ππθ=--==⎰⎰⎰⎰(6分)3.计算⎰++Ldy x dx xy 2)12(,其中L为y =上从点A(0,0)到点B(2,2)的一段弧.解:2,12x Q xy P =+=,又xQx y P ∂∂==∂∂2,故积分与路径无关.(2分)所以积分路径L 可换为折线从点A(0,0)到C(2,0)再到B(2,2)(3分)又因为线段AC:,20,0≤≤=x y 线段BC:,20,2≤≤=y x (4分)⎰⎰⎰+++++=++CBACLdyx dx xy dy x dx xy dy x dx xy 222)12()12()12(104220=+=⎰⎰dy dx (6分)六、级数题.(每题5分,共10分)1.判断级数121(1)21nnn n ∞=+--∑的敛散性.解:1212)1(-+-=nnn n a ,(1分)而121121)1(21212lim lim 11<=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅--=+∞→+∞→n n a a n n n nn n 所以原级数绝对收敛,故原级数收敛。
暨南大学经管类内招《高等数学》(II)期末考试题及练习题
经,管学院内招生《高等数学》 (Ⅱ)练习题填空题121.要使广义积分 0 (1 1x)k 1dx 收敛,必须 k ;2.差分 (x 2 2x)=a4. 若连 续函 数 f(x) 在 [ a,a] 上 满足 f( x) f(x) , 则 f(x)dx = ; a1 1 d x 25. 2dx = ;6.2 dx = ;7.sint dt =1 x 23 x 24 dx 08. f(x,y) xy x y 5 的驻点 ;2211.已知函数 f(x,y) = x y , 则 d f = ; 12.已知函数 f(x,y) = e xy ,则 f x (x,y)=, f x (1, 2) = ;1x13. e x dx = ; 19.微分方程 xdx ydy 0 的通解是;14.函数 x 2 的全体原函数是; 15.函数 z ln(1 x 2 y 2) 的定义域为 16.球心在 (1, 2,3) 半径为 2 的球面方程是。
17. 差分方程 y x 2y x 1 2 是阶的差分方程 . 计 算下列不定积分或定积分3a 2 2 10. x(a 2 x 2 )2dx2111.设 x 2f(x)dx e x 1 c ,求 f(1x) dx ; 12。
x 2ln(x 1)dxe xx 0 3 x13.设 f (x) ,求( 1) f(x 2)dx ;(2) f(t)dt 。
1 x x 0 1 13.若在 ( 1,1)上 f(x)n 1n(n 1)则在 ( 1,1) 上 f (x) ;9.若 f (x)1 t2 dt ,则22(x)= ; 10。
二重积分 dxdy =1.(3x x 3 12x cos x) dx ; x 22. x (arc tgx )2 dx 1 x 2 3. 11 0 2ln(1 x)dx4. 1145. 0 3 x dx ;6.1dx ; 1 x 17.94 (1 x) x dx ;8.x ;(x 5 5x 1sin x x; 9.x 4dx ;xvxy三. 用定积分计算面积或体积 :11. 求由 y , y x , y 0 , x 2 所围成的平面图形的面积。
《经济数学2》期末试题及答案
《经济数学2》期末试题及答案《经济数学》考试试卷及答案一、填空题(16分,每小题4分)1、?+dx x211= 2、?)tan (x x d3、=+?)cos 1sin (dx xxd 4、dx x ')(tan ?二、求下列不定积分(36分,每小题6分)1、dx x 883?+)( 2、?dx xe x3、?+x xd 114、?xdx x cos sin5、xdx x sin 6、?xdx ln三、求下列定积分(12分,每小题6分)1、 ?212d 3x x 2?-πd )1sin 3(x x教学系专业班级:__________________ 姓名:______________ 学号:____________——―――密――――――――――――――――――――封―――――――――――――――――――――――――――线―――――― _____________答__________题__________不__________得__________超__________过__________此__________线_______________得分评分人四、计算下列行列式(12分,每小题6分)1、4 0 11 2 32 0 1 2、ef - cf bf de cd - bdae ac ab -五、矩阵运算。
(16分,每小题8分).112101,1033211--=???? ??=B A 、设矩阵(1)、计算3A-B (2)2A-3X=B ,求X2、计算?--???? ??-131210131311412六、用矩阵消元法求下列方程组(8分)1、=+=-+=+-033,1-2122221321321x x x x x x x x参考答案及评分标准教学系专业班级:__________________ 姓名:______________ 学号:____________——―――密――――――――――――――――――――封―――――――――――――――――――――――――――线―――――― ______________答__________题__________不_____ _____得__________超__________过__________此__________线______________一、填空题:(直接给出答案,每小题4分,一共16分)1、c x +arctan2、c x x +tan3、xxcos 1sin + 4、c x +tan二、求下列不定积分:(每小题6分,一共36分)分)(分)()()(、6 (8327)13 (838331)831988c x xd x dxx ++=++=+?? 分分分、6.......4......2............)(2c e xe dx e xe e xd dxxe x x xx x x+-=-==分分、6.........|1|ln 3).....1(11113c x x d xdxx ++=++=+?? 分分、6.......sin 213.....sin sin cos sin 42c x x xd xdxx +==??分分分、6....cos sin 4....sin sin 2.....).........(sin cos 5c x x x xdx x x x d x xdxx ++=-==分分分、6............ln 4.. (1)ln 2....)(ln ln ln 6c x x x dx xx x x x xd x x xdx+-=?-=-=三、求下列定积分:(每小题6分,一共12分)分分分、6............75.......184.......|31213212=-==?x dxx分分分)(、6......................65)......03(34.......|)cos 3(1sin 3200ππππ-=----=--=-?x x dx x四、计算下列行列式:(每小题6分,一共12分)分分)(、6..............................44 (4)1211-2401123201122=?=+分分分、6.........................44 (1)111111112.........2abcdef abcdef e c b e c b ec b adf efcf bf de cd bd aeacab =---=---=---五、矩阵运算:(每小题8分,一共16分)分分)、、( 4..........................21710622......11-21-01-309963311??==-BA分分分)()、(4 (212)12272213.................................114741212).....112101206642(312 312==---=-=B A X终答案)(这个题可以直接写最分分)(、原式8.....................................................................................................................27-487-64.......132111)3(3)1()1(11130)1(11142112)3(4)1(1321401122??=+?-+?-?+-?-+??+?-+??+?+?-?+-?+??+?+?=六、用矩阵初等变换解方程组:(8分)分分分8.......................................................................................................3227.... . (31002)0102001310051102001122305110122214. (1223025550122) 21001111121222100331112122213213251231322321213123=-==∴-?→--??→-----?→-----??→---?→---+-+--x x x r r r r rr r r r r r r。
历年第二学期高数期末考试试题
历年第二学期高数期末考试试题(经管类)(总36页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--A卷2006—2007学年第二学期《高等数学》试卷(管理类)专业班级姓名学号开课系室数学学院基础数学系考试日期 2007年7月2日题号一二三四五六总分得分阅卷人2.封面及题目所在页背面和附页为草稿纸。
3.答案必须写在该题后的横线上或指定的括号内,解的过程写在下方空白处,不得写在草稿纸中,否则答案无效。
一:填空题(共10小题,每小题3分,共30分)1.微分方程322323()0d y d y dx x dx += 的阶数为_______3_____2.微分方程22x xe xy dx dy -=+的通解是22212x xx e ce --+3. 三角形的顶点),2,0,0(),0,1,2(),1,1,1(C B A -则ABC ∆;过这三点的平面方程是420x y z --+=4.2ln()z x y =-(写出集合形式) 222{(,)1}x y x y x y +≥>且5.设(),f u v 是二元可微函数,(,),y xz f x y =则z zx y x y ∂∂-=∂∂()()121ln ln 1y x yx x f xy y f ''-+-6.曲面222326x y z ++=在点()111--,,的法线方程是111132x y z -++==-- 7.函数23u xyz yz z =--在点(1,1,1)P 处沿从点P 到点(3,3,2)Q 方向的方向导数等于43-;该函数在点(1,1,1)P 沿方向{1,1,4}--的方向导数值最大,其方向导数最大值是8.已知D 是由直线1,1x y x y +=-=及0x =所围,则Dyd σ⎰⎰= 09.2(,)ydy f x y dx⎰⎰交换积分次序得22(,)xdx f x y dy⎰⎰10.若级数1(1)nn u∞=+∑收敛,则n u →∞=n lim -1二:选择题(共10小题,每小题2分,共20分)1. 设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个解()()12,y x y x ,C 为任意常数,则该方程通解是( B ) (A)()()12C y x y x -⎡⎤⎣⎦ (B) ()()()112y x C y x y x +-⎡⎤⎣⎦ (C)()()12C y x y x +⎡⎤⎣⎦(D)()()()112y x C y x y x ++⎡⎤⎣⎦2.已知2,2==b a,且2=⋅b a ,则=⨯b a ( A )(A )2 (B )22 (C )22(D )13.直线37423zy x =-+=-+与平面3224=--z y x 的关系是( A ) (A)平行,但直线不在平面上 (B)直线在平面上(C)垂直相交 (D)相交但不垂直4. 双曲抛物面22234x y z -=与xoy 平面的交线是( D )(A)双曲线 (B)抛物线 (C)平行直线 (D)相交于原点的两条直线5. 函数),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数 ),(00y x f x ,),(00y x f y 存在是函数z 在点),(00y x f x 存在全微分的( B )(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件6.设),1sec(-=xy z ,则=x z ( B )(A)sec(1)tan(1)xy xy -- (B)sec(1)tan(1)y xy xy --(C)2tan (1)y xy - (D)2tan (1)y xy --7. 设函数(),f x y 连续,则二次积分1sin 2(,)xdx f x y dyππ⎰⎰等于( B )(A) 1arcsin (,)ydy f x y dxππ+⎰⎰(B) 1arcsin (,)ydy f x y dxππ-⎰⎰(C)1arcsin 02(,)ydy f x y dxππ+⎰⎰ (D)1arcsin 02(,)ydy f x y dxππ-⎰⎰8.设曲面∑是上半球面:()22220,x y z R z ++=≥曲面1∑是曲面∑在第一卦限中的部分,则有( C ) (A)14xdS xdS∑∑=⎰⎰⎰⎰ (B)14ydS ydS∑∑=⎰⎰⎰⎰ (C)14zdS zdS∑∑=⎰⎰⎰⎰ (D)14xyzdS xyzdS∑∑=⎰⎰⎰⎰9. 级数21cos (0)n nxx n ∞=≠∑,则该级数( B )(A)是发散级数 (B)是绝对收敛级数(C)是条件收敛级数 (D)仅在()()1,00,1-内级数收敛,其他x 值时数发散10. 若级数1nn a∞=∑收敛,则级数( D )(A) 1nn a ∞=∑收敛 (B) ()11nnn a ∞=-∑收敛 (C) 11n n n a a ∞+=∑收敛 (D) 112n n n a a ∞+=+∑收敛三、解答题(本题共8小题,共50分)1.(本题6分)求微分方程''2xy y e -=的通解.解: 210,1r r -==±,123x x y c e c e -'=+设 *2x y Ae =,*2*22,4x x y Ae y Ae '''==22214,31,53x x x Ae Ae e A A '∴-=∴==222163x x xe c e e -'∴++1通解y=c2. (本题6分)设某一曲面由曲线⎩⎨⎧==02y x z 绕oz 周旋转一周生成,求该旋转曲面的方程;若该区面上的一个切平面与平面0324=+-+z y x 平行,求此切平面的方程.解:令22(,,)F x y z x y z =+-, 00{2,2,1}2n x y '=-00221421x y -==- 0002,1,5x y z ⇒==={4,2,1}5n '∴=- 4(2)2(1)(5)0x y z -+---= 即 42506x y z '+--=3. (本题6分)sin ,uz e v =而,,u xy v x y ==-求,.z z x y ∂∂∂∂ 解:sin ,,,sin cos 1sin()cos()3u u u xy xyz e v u xy v x y z z u z v e v y e v x u x v xye x y e x y ===-∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅∂∂∂∂∂'=-+-sin()cos()6xy xy z z u z vxe x y e x y y u y v y∂∂∂∂∂'=+=---∂∂∂∂∂ 4. (本题6分)设fx y x f x z ),,(2=有连续的二阶偏导数,求y x z ∂∂∂2.解:21222()z y xf x f f x x ∂''=+-∂2' 22212222222122222122211112[]26z y x f x f f f x y x x x x xyf xf f f x yf xf f x∂''''''=+--∂∂''''''=+--''''''=+-或2222221222126z x f xf y xz z y f xf f x y y xx ∂'''==∂∂∂''''''∴==+-∂∂∂∂5. (本题6分)设(),f x y 连续,且()(),,,Df x y xy f u v dudv =+⎰⎰其中D 是由20,,1y y x x ===所围区域,求(),f x y .解:()()()()()()()2211,,2,,11,512311,,688DDD DDDDxx DDDf x y dxdy xydxdy f u v dudvdxdyxydxdy f u v dudv dxdydx xydxdy f x y dxdy dx dxdyf x y dxdy f x y dxdy f x y xy '=+=+=+'=+'∴=∴=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰6. (本题6分)求()21Dx y dxdy++⎰⎰,其中D 为224x y +≤.解:()222222220122214484126DDDDx y dxdy x y x y xy dxdyx y dxdy dxdyd r rdr πθππππ++=+++++'=++'=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰7. (本题6分)判别级数11(1)(1)nnn e ∞=--∑是否收敛如果收敛,是条件收敛还是绝对收敛解:考虑级数()11111(1)(1)nnnn n e e ∞∞==--=-∑∑111111lim 1,(1)31nn n n n e e n n∞∞→∞==-'=∴-∑∑且发散发散11(1)(1)n nn e ∞=--∑是交错级数且1111111,lim 10n n nn n n u e eu e ++→∞=->-=-=,由莱布尼兹判别法知,11(1)(1)nnn e ∞=--∑收敛。
大学高数期末复习卷 试卷与答案1
第二学期高等数学练习题(二)一、 选择题1、在点处),(y x f 可微的充分条件是( )(A )),(y x f 的所有二阶偏导数存在 (B )),(y x f 连续(C )),(y x f 的所有一阶偏导数连续 (D )),(y x f 连续且),(y x f 对y x ,的偏导数都存在。
2.设22),(y xy x y x f -+=的驻点为)0,0(,则)0,0(f 是),(y x f 的 ( )(A)极大值; (B) 极小值; (C) 非极值; (D) 不能确定.3.微分方程x xey y y 2'"65=+-的特解形式是( ) (A) bx ae x +2 (B) x e b ax 2)(+(C) x e b ax x 2)(+ (D) x e b ax x 22)(+4.曲面1232222=++z y x 上,点)1,2,1(-处的切平面方程是( )A 、24682=-+z y xB 、2068=+-z y xC 、1234=-+z y xD 、1234=+-z y x5.下列级数条件收敛的是( )(A ))1(1)1(1+-∑∞=n n n n(B )211)1(n n n ∑∞=- (C )1)1(1+-∑∞=n n n n (D )n n n 1sin )1(1∑∞=- 6.设n 是曲面632222=++z y x 在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,则z y x u 2286+=在点P 沿方向n 的方向导数为( )(A )0 (B )711 (C )117 (D )2 。
7.设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在,则xb x a f b x a f x ),(),(lim 0--+→= 。
A. 0; B 、),2(b a f x ; C 、),(b a f x ; D 、),(2b a f x 。
二、填空题1、微分方程 x y y x cos =+' 的通解是2.交换积分⎰⎰--x x dy y x f dx 1110),(的次序成为 。
《高等数学II》(经管类)期末考试试卷AB
2017——2018学年第二学期《高等数学II 》(经管类)期末考试试卷A一、填空题(每题3分,共24分)1、设u =e −x 2y ,则ð2u ðxðy =_____________________________2、将函数f (x )=e 2x 展开成x 的幂级数为_____________________3、已知二阶线性常系数齐次微分方程的通解为: c 1e x +c 2e 4x ,则此常微分方程是_________________________4、z =f (x,y )由F (x,y,z )=0确定,且∂F ∂x =a,∂F ∂y =b,ðz ðx =c ,则ðz ðy =_______________5、设a 为常数,则级数∑(−1)n (1−cos a n ∞n=1) ___________________(填绝对收敛、条件收敛、发散)6、计算积分∫dx 10∫ysin x y 1x dy =_________________________7、曲面z =4−√x 2+y 2与平面z =2所围成立体的体积为________________8、lim n→∞|a n+1a n |=2,则级数∑a n ∞n=1x 2n+1的收敛半径是________________ 二、计算题(每题6分,共42分)1、(6分)计算二重积分∬|√x 2+y 2−2|Ddxdy ,其中D:x 2+y 2≤9.2、(6分)求极限√x2+y2y→03、(6分)求位于x轴上方,直线y=ex的左侧,曲线y=e x下方区域绕x轴旋转一周所成旋转体的体积。
4、(6分)将函数f(x)=1展成x−1的幂级数,并写出展式成立的区间。
x2+4x+35、(6分)求微分方程y′′−5y′+6y=xe2x的通解。
6、(6分)设z=f(u,x,y), u=xe y,其中f具有连续的二阶偏导数,求ð2z.ðxðy7、(6分)求差分方程y x+2+5y x+1+4y x=x的通解。
高数二期末考试题
高数二期末考试题第一篇:高数二期末考试题高数是我们比较难学的一个科目,下面是小编整理的高数二期末考试题,希望对你有帮助。
一、填空。
(28分值)1、1米=()厘米 45厘米-6厘米=()厘米37厘米+5厘米=()厘米23米-8米=()米2、6个3相加,写成乘法算式是(),这个式子读作()。
3、在下面的()里最大能填几?()×6<27()<3×74×()<15 35>7×()4、在算式4×7=28中,4是(),7是(),28是()。
5、先把下面的口诀补充完整,再根据口诀写出两道乘法算式。
八九()()二十四6、小芳和小伙伴们计划两天做100颗星,昨天做了58颗,今天他们大约要做()颗。
7、一把三角板上有()个角,其中()个是直角。
8、算得积是18的口诀有()和()。
9、在○里填上“+”、“-”、“×”或“<”、“>”、“=”。
8○6=48 36○73-37 9×7○652○2=4 43○6×7 18○9=9二、判断。
(5分值)1、9个相加的和是13。
()2、小强身高大约是137厘米。
()3、角都有一个顶点,两条边。
()4、计算48+29,得数大约是70。
()5、1米和100厘米一样长。
()三、选择题。
(把正确答案的序号填在括号里,5分值)1、5个3相加是多少?正确的列式是()A、5+5+5=15 B、5+3=8 C、5×3=152、用2、6、0三个数字组成的两位数有()个。
A、2 B、4C、63、小明有50元钱,买故事书花了28元,他大约还剩()元。
A、22B、30C、204、5+5+5+4,不可以改写成算式()。
A、5×4B、5×3+4C、4×5-15、4个好朋友见面互相拥抱一次,共要拥抱()次。
A、3次B、4次C、6次四、计算。
(26分值)1、用竖式计算。
(15分值)90-47= 59+26= 63-28=37+46-54= 81-32-27= 42-34+57=2、列式计算。
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一、 填空题(本大题共5题,每题2分,共10分。
请直接将正确结果填入
各题的空格处)
1. 函数221y x z --=的定义域 ;
2. 由方程z
e xz yz xy =+-所确定的隐函数),(y x z z =在点()1,1处的全
微分1
1==y x dz
= ;
3. 变换二重积分
⎰⎰=
=b
a
x
a
I dy y x f dx I 的积分次序后),( ;
4. 将函数()2
cos x x f =展开成x 的幂级数为 ;
5. 微分方程0='-''y y 的通解是 。
二、 选择题(本大题共5题,每题2分,共10分。
每小题有四个选项,其中
有且只有一个选项正确,请将正确选项的代号字母填入括号内)
6. 在空间解析几何中方程42
2=+y x 表示( )。
A.圆
B.平面
C.圆柱面
D.球面
7. 设函数2
2y x z =,则=∂∂22x
z ( )。
A. 22y
B. xy 4
C. y 4
D. 0
8. 设(){
}01,01,≤≤-≤≤-=y x y x D ,则⎰⎰D
dxdy 等于( )。
A.-1
B.1
C.2
D.-2 9. 级数∑
∞
=121
n n
( )。
A. 发散 B.收敛,其和为2 C.收敛,其和为1 D.收
敛,其和为3 10.
下列方程中,( )是二阶线性齐次微分方程。
A.y y dx
y
d ='+22 B.y x y '+=''2)(
C.
y y x y '+=''2
D.
x y y y +'=''2
)( 三、 计算题(本大题共9题,每题7分,共63分。
解答须有主要解题步骤,
说明必要的理由) 11. 设),(v u f z =,y x u 2
=,y
x
v =,求y z x z ∂∂∂∂,。
12. 求函数
12
2++=y x z 在条件03=-+y x 下的极值。
13.
⎰⎰
D
xyd σ,其中D 是由抛物线x y =2
及直线2-=x y 所围成的闭
区域。
14.
计算⎰⎰D
dxdy y 2,其中D 为:412
2≤+≤y x 。
(要求画草图。
提示:
在极坐标下计算) 15.
计算由y x z ++=1,1=+y x ,
0=x ,0=y 及0=z 所
围成立体的体积 16. 判断级数∑∞
=1
2
sin n n n α的敛散性; 17.
求幂级数n
n x n ∑∞
=1
1的收敛区间与和函数。
18. 求解微分方程xy x y -='1。
19.
求微分方程x x x y y sin =+
'满足π
π22=⎪⎭⎫ ⎝⎛y 的特解。
四、 应用题(本大题共1题,共10分。
解答须有主要解题步骤,说明必要
的理由)
20. 设生产某产品z 个单位时,需投入甲原料x 个单位,乙原料y 个单位,且它们的关系是:y y x x z 52102022+-+-=,又设甲原料、乙原料的单价分别为2与1,而产品的售价为5,试求x 、y 取何值时,利润最大?
五、 证明题(本大题共1题,共7分。
解答须有主要解题步骤,说明必要的
理由)
21. 试证:如果()x ϕ是Ay y ='满足初始条件ηϕ=)(0x 的解,那么())(0
x x A e x -=ηϕ。
试卷A 解答及评分标准
一、 填空题 1. 122≤+y x 2. dy dx + 3. dx y x f dy b
y b a ⎰⎰),(
4. ()()()∑∞
=⋅-+1
2!22211n n n
n x 5.
x e C C y 21+=
二、 选择题 6. C 7. A 8. B 9. C 10. A 三、 计算题 11. 解:
xy x
u
2=∂∂,2x y u =∂∂,y x v 1=∂∂,
2y
x
y v -=∂∂
v f y u f xy x z ∂∂+∂∂=∂∂12,v f y x u f x y
z
∂∂-∂∂=∂∂22。
12. 解:设)3(1),,(22-++++=y x y x y x F λλ
令⎪⎩⎪⎨⎧=-+='=+='=+='03020
2y x F y F x F y x λ
λλ,得驻点为 23=x ,23
=y 极小值是:
2
11
13. 解:得出曲线的交点1-=y ,2=y 1分
原式dx xy dy -y y ⎰⎰+=212
2
=ydy x y y ⎰-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡2
12
222[]
d y y y y ⎰--+=2152)2(2185
5=
积分区域图形正确,加1分 14. 解:令⎩⎨
⎧==θ
θ
sin cos r y r x ,则
原式⎰⎰=D
rdrd r θθ22sin
dr r d ⎰⎰=2
1
320
2sin πθθ
πθθπ
4
15
4
22cos 12
1
4
20
=
⋅-=⎰
r d 15. 解:()()⎰⎰⎰⎰-++=++=1
0101dxdy 1y
D
dx y x dy y x V
dy yx x x y ⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=1
010221⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1022123dy y y 6561212
3
1
032=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=y y y 16. 解:221
sin n n n ≤α
因为
∑∞
=121n n
收敛 , 所以 ∑
∞
=1
2sin n n n α 收敛。
17. 解:幂级数的收敛半径为11
lim lim 1=+==∞→+∞
→n
n a a R n n n n 所以,幂级数的收敛区间为()1,1-。
设幂级数的和函数为)(x S ,()1,1-∈x 。
dx x x n x S x n n n n ⎰∑∑⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=∞=-∞
=01111)(=)1ln(110x dx t x --=-=⎰,()1,1-∈x 18. 解:把方程写为dx x ydy ⎪⎭
⎫
⎝⎛-=11,两边求不定积分,得 C x x y +-=ln 2
12
或者写为通解的形式C x x y 22ln 2+-±=
19. 解:()()x
x
x q x x p sin ,1==
,
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-
C dx e x x e y dx
x dx x 1
1sin ()
()C x x C xdx x y +-=+=
⎰cos 1sin 1,()x x
y cos 11
-= 四、 应用题
20. 解:利润函数为()()y y x x y x z y x L 241048510025,22+-+-=+-=
令 ⎩⎨⎧=+-='=+-='024*******y L x L y
x
,得驻点2.1,8.4==y x ,
对()2.1,8.4,20,0,10-=''=-=''yy yy xx
L Lx L 。
知2.1,8.4==y x 时,利润最大。
五、 证明题
21. 证明: 设()x ϕ的形式为()Ax Ce x =ϕ (1) 其中C 为待定的常数
则由初始条件得0
)(0Ax Ce x ==ϕη
所以,()
00
1
Ax Ax
e e C --==ηη
代入(1)得())(00
x x A Ax Ax e e e x --==ηηϕ,命题得证。