平面与圆锥面的截线课堂
圆锥的投影、截交线及轴侧图
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圆锥轮廓 素线的投影
最左
圆锥体的投影图形
最后 最右
最前
圆锥轮 廓素线
属于圆锥表面的点
已知圆锥表面点M的正面投影m′，求m和m″。
方法：(1)辅助素线法
s'
Z
s"
s
m' m"
1'
e′
●
●
●
c′ d′
●
●
a′
b′
截交线的
空间形状
截？C交E线D的B 投影特性
A？
a●
●
c
e
●
●d
●
b
例2:圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的 投影
例3 圆锥截交
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画圆台的正等轴测图
小结
重点掌握：
一、基本体的三视图画法及面上找点的方法。
⒈ 平面体表面找点，利用平面上找点的方法。 ⒉ 圆柱体表面找点，利用投影的积聚性。 ⒊ 圆锥体表面找点，用辅助线法和辅助圆法。 ⒋ 球体表面找点，用辅助圆法。
二、简单叠加体的画图和看图方法
⒈ 画图时一定逐个形体画，同时注意分析表面的 过渡关系，以避免多线或漏线。
⒉ 看图时切忌只抓住一个视图不放。利用封闭线 框分解形体和分析表面的相对位置关系。
素线法 纬圆法
作图步骤: 1). 投影分析 2).求特殊位置点：转向轮廓线上的点，分界点 3). 求一般位置点 4). 光滑连接各点 5). 判断可见性 6). 整理轮廓线
圆锥曲线的原理最详细图解(平面与圆锥面的截线)
平面与圆锥面的截线一、直观感受：观察平面截圆锥面的图形，截线是什么图形？改变平面的位置，可得到三种曲线，它们统称为圆锥曲线〔下列图由软件?立几画板?制作〕：二、分类探究：从平面图形入手，开始讨论一条直线与等腰三角形的位置关系：将等腰三角形拓广为圆锥，直线拓广为平面。
如果用一平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，会出现哪些情况呢？如下列图：归纳提升：定理在空间中，取直线l为轴，直线l'与l相交于O点，其夹角为α，l'围绕l旋转得到以O为顶点，l'为母线的圆锥面，任取平面π，假设它与轴l交角为β〔π与l平行，记作β＝0〕，那么：〔1〕β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；〔2〕β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；〔3〕β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线。
三、证明结论：利用Dandelin双球〔这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面的上方，一个位于平面的下方，并且与平面及圆锥均相切〕证明：β＞α，平面与圆锥的交线为椭圆.如图，利用切线长相等，容易证明PF1+PF2=PQ1+PQ2＝Q1Q2=定值.下面证明：β＝α时，平面与圆锥面的交线为抛物线。
下面讨论当平面与圆锥面的交线为双曲线时准线的及离心率：换个角度看图：容易知道：截得的圆锥曲线的离心率等于截面和圆锥轴的夹角的余弦与圆锥顶角一半的余弦之比.四、知识运用用图霸制作三维直观图：解答参看下列图：五、图形制作三种曲线的丹迪林Dandelin双球图可以在?几何图霸?中统一到一幅图中，主要制作步骤如下：1.作全自由点O，过点O作平行于z轴上的点B，过B作平行于x轴上的点C，作点B、C 关于O的对称点B’、C'.2.选取点O、B、C，作圆锥，选取点O、B’、C’，作圆锥.3.在圆B上任取点D，作D关于B对称点，连接OD，OD’，在OD上任取一点E，以E 为圆心画过点D’、D的心点圆，在圆E上任取点F，连EF，它表示截面的位置，可以绕点E转动.4.作角OEF的平分线，与轴BB’交于O1；作角DEF的平分线，与轴BB’交于O2，它们就是双球的球心.5.过球心O1、O2分别作边EF的垂线，垂足分别为F1、F2，它们就是焦点.6.选取点O1、F1，作球O1〔图中显示大圆，光照后显示为球〕，同法作球O2.7.取线EF上的点G、H，作GDO垂线上的伸缩点I，作点I关于点G的对称点I’，按向量GH平称点I、I’，得点I2、I".添加面II2I"I’，连接四边，表示截面.它的长宽可以用点G、H、I控制；点F控制其转动.8.添加下底圆上的点J，连结OJ交截面于点K，选取点J、K，添加轨迹，它就是截线，如上图中的椭圆.9.点E按向量OD’平移得点E’，EE’交圆于点G1，EG1平行于母线OD’，添加点F到点G1的动画，名为“抛物线〞.10.参看前面各图添加其它图元.下载图霸文件后在“对象浏览器〞中查看各对象.课件下载：共享文件下载中心相关文章：1 利用丹迪林Dandelin双球证明平面与圆锥面的截线定理2平面与圆柱面的截线更多文章：?几何图霸?文章列表几何图霸网站：:// jihetu。
2.2-2.3 平面与圆柱面的截线 平面与圆锥面的截线 课件(人教A选修4-1)
为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任
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当β>α时，由上面的讨论可知，平面π与圆锥的交线是一个
封闭曲线．设两个球与平面π的切点分别为F1、F2，与圆锥相切 于圆S1、S2. 在截口的曲线上任取一点P，连接PF1、PF2.过P作母线交S1 于Q1，交S2于Q2，于是PF1和PQ1是从P到上方球的两条切线，因
此PF1＝PQ1.同理，PF2＝PQ2.
所以PF1＋PF2＝PQ1＋PQ2＝Q1Q2. 由正圆锥的对称性，Q1Q2的长度等于两圆S1、S2所在平行平 面间的母线段的长度而与P的位置无关，由此我们可知在β>α时， 平面π与圆锥的交线是以F1、F2为焦点的椭圆．
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[悟一法]
由平面中，直线与等腰三角形两边的位置关系拓广
为空间内圆锥与平面的截线之后，较难入手证明其所成
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①G2F1＋G2F2＝ AD；②G1G2＝ AD； G2F1 ＝cosφ＝sinθ. ③ G2E (3)如图(2)，将两个圆拓广为球面，将矩形 ABCD 看 成是圆柱面的轴截面，将 EB、DF 拓广为两个平面 α、β， EF 拓广为平面 γ，则平面 γ 与圆柱面的截线是 椭圆 ．即 得定理 1：圆柱形物体的斜截口是椭圆．
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[研一题] [例2] 证明：定理2的结论(1)，即β>α时，平面π与圆 锥的交线为椭圆． 分析：本题考查平面与圆锥面的截线．解答本题需要 明确椭圆的定义，利用椭圆的定义证明．
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证明：如图，与定理1的证明相同，在圆锥内部嵌入 Dandelin双球，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的 下方，并且与平面π及圆锥均相切．
平面与圆锥面的截线 课件
证明：如图所示，当 β<α 时，平面 π 与圆锥的两部 分相交．在圆锥的两部分分别嵌入 Dandelin 球，与平面 π 的两个切点分别是点 F1、F2，与圆锥两部分截得的圆分 别为 S1、S2.
在截口上任取一点 P，连接 PF1、PF2，过点 P 和圆 锥的顶点 O 作母线，分别与两个球相切于点 Q1、Q2，
则 PF1＝PQ1，PF2＝PQ2， 所以|PF1－PF2|＝|PQ1－PQ2|＝Q1Q2. 由于 Q1Q2 为两圆 S1、S2 所在平行 平面之间的母线段长， 因此 Q1Q2 的长为定值．
由上述可知，双曲线的结构特点是：双曲线上任意一 点到两个定点(即双曲线的两个焦点)的距离之差的绝对 值为常数．
解：连接 O1F1、O2F2、O1O2 交 F1F2 于 O 点， 在 Rt△O1F1O 中，
OF1＝tanO∠O1F1O1 F1＝tanr
. β
在 Rt△O2F2O 中，
OF2＝tanO∠O2F2O2 F2＝tanR
. β
所以 F1F2＝OF1＋
R＋r
OF2＝ tan
. β
R＋r
同理，O1O2＝ sin
归纳升华 判断平面与圆锥面的截线形状的方法如下： 1．求圆锥面的母线与轴线的夹角 α，截面与轴的夹 角 β； 2．判断 α 与 β 的大小关系； 3．根据定理 2 判断交线是什么曲线．
类型 2 圆锥曲线的几何性质
[典例 2] 如图所示，已知圆锥母线 与轴的夹角为 α，平面 π 与轴线夹角为 β， Dandelin 球的半径分别为 R、r，且 α<β， R>r，求平面 π 与圆锥面交线的焦距 F1F2， 轴长 G1G2.
2．圆锥曲线的几何性质
(1)焦点：Dandelin 球与平面 π 的切点． (2)准线：截面与 Dandelin 球和圆锥交线所在平面的 交线．
圆锥曲线的原理最详细图解(平面与圆锥面的截线).
平面与圆锥面的截线一、直观感受：观察平面截圆锥面的图形，截线是什么图形？改变平面的位置，可得到三种曲线，它们统称为圆锥曲线（下图由软件《立几画板》制作）：二、分类探究：从平面图形入手，开始讨论一条直线与等腰三角形的位置关系：将等腰三角形拓广为圆锥，直线拓广为平面。
如果用一平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，会出现哪些情况呢？如下图：归纳提升：定理在空间中，取直线l为轴，直线l'与l相交于O点，其夹角为α，l'围绕l旋转得到以O为顶点，l'为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β（π与l平行，记作β＝0），则：（1）β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；（2）β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；（3）β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线。
三、证明结论：利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面的上方，一个位于平面的下方，并且与平面及圆锥均相切）证明：β＞α，平面与圆锥的交线为椭圆.如图，利用切线长相等，容易证明PF1+PF2=PQ1+PQ2＝Q1Q2=定值.下面证明：β＝α时，平面与圆锥面的交线为抛物线。
下面讨论当平面与圆锥面的交线为双曲线时准线的及离心率：换个角度看图：容易知道：截得的圆锥曲线的离心率等于截面和圆锥轴的夹角的余弦与圆锥顶角一半的余弦之比.四、知识运用用图霸制作三维直观图：解答参看下图：五、图形制作三种曲线的丹迪林Dandelin双球图可以在《几何图霸》中统一到一幅图中，主要制作步骤如下：1.作全自由点O，过点O作平行于z轴上的点B，过B作平行于x轴上的点C，作点B、C 关于O的对称点B’、C'.2.选取点O、B、C，作圆锥，选取点O、B’、C’，作圆锥.3.在圆B上任取点D，作D关于B对称点，连接OD，OD’，在OD上任取一点E，以E 为圆心画过点D’、D的心点圆，在圆E上任取点F，连EF，它表示截面的位置，可以绕点E转动.4.作角OEF的平分线，与轴BB’交于O1；作角DEF的平分线，与轴BB’交于O2，它们就是双球的球心.5.过球心O1、O2分别作边EF的垂线，垂足分别为F1、F2，它们就是焦点.6.选取点O1、F1，作球O1（图中显示大圆，光照后显示为球），同法作球O2.7.取线EF上的点G、H，作GDO垂线上的伸缩点I，作点I关于点G的对称点I’，按向量GH平称点I、I’，得点I2、I".添加面II2I"I’，连接四边，表示截面.它的长宽可以用点G、H、I控制；点F控制其转动.8.添加下底圆上的点J，连结OJ交截面于点K，选取点J、K，添加轨迹，它就是截线，如上图中的椭圆.9.点E按向量OD’平移得点E’，EE’交圆于点G1，EG1平行于母线OD’，添加点F到点G1的动画，名为“抛物线”.10.参看前面各图添加其它图元.下载图霸文件后在“对象浏览器”中查看各对象.课件下载：共享文件下载中心相关文章：1 利用丹迪林Dandelin双球证明平面与圆锥面的截线定理2平面与圆柱面的截线更多文章：《几何图霸》文章列表几何图霸网站：。
平面与圆柱面的截线平面与圆锥面的截线课件人教A选修21
截线的一般形式和几何意义
截线的一般形式：平面与圆柱面、圆锥面的交线
几何意义：截线是平面与圆柱面、圆锥面的公共部分 截线的性质：截线是平面与圆柱面、圆锥面的交线，具有平面和圆柱面、 圆锥面的共同性质 截线的应用：截线在工程、建筑、机械等领域有广泛应用
03
平面与圆锥面的截 线
截线的定义和性质
截线：平面与圆锥面相交形成的曲线 性质：截线是圆锥面的一部分，具有圆锥面的性质 截线的形状：取决于平面与圆锥面的相对位置 截线的长度：取决于平面与圆锥面的交角大小
截线的分类和特点
截线类型：平面与圆锥面的截线可以分为直线、曲线和点
直线截线：当平面与圆锥面相交时，如果平面与圆锥面的轴线平行， 则截线为直线
课件特点：图文并茂，易于理 解，便于记忆，适合学生自学
课件内容：包括平面与圆柱面、 圆锥面的截线定义、性质、应 用等，以及相关例题和练习题
课件形式：PPT课件，便于教 师讲解和学生自学，支持多媒 体播放和互动操作
课件使用方法和技巧
课件内容： 包括平面与 圆柱面、圆 锥面的截线 定义、性质、 应用等
内容：包括平面与圆柱面、 圆锥面的截线、截线的性质、
截线的应用等
教学方法：采用直观教学法， 通过图形的直观展示来理解
截线的性质和应用
教材使用方法和技巧
阅读教材：认真阅读教材中的内容，理解平面与圆柱面、圆锥面的截线原理。 动手实践：通过动手实践，加深对平面与圆柱面、圆锥面的截线原理的理解。 思考问题：思考教材中的问题，尝试自己解答，提高解决问题的能力。 交流讨论：与同学、老师交流讨论，分享自己的理解和想法，互相学习，共同进步。
课件形式： PPT演示文 稿，包含文 字、图片、 动画等元素
课件操作： 使用演示文 稿软件，熟 悉基本操作 和功能
机械制图基本体的三视图和其截交线相贯线的画法专题培训课件
a (b)
点的可见性规定点：
b
若点所在的平面的投影可见， 点的投影也可见；若平面的投影 a
积聚成直线，点的投影也可见。
a
b
第一节 基本体的三视图
• 一、平面基本体的三视图
【例3－1】根据已知条件，补画第三视图，并求作形体 表面A、B、C三点的三面投影。
S
第一节 基本体的三视图
• 一、平面基本体的三视图
k(n) b′ d′
ns● b
k d
●(n) k b″
如何在圆锥面上作直线？
过锥顶作一条素线。
第一节 基本体的三视图
• 二、回转体的三视图
【例3－4】已知圆锥的三视图， M、N是圆锥表面上的点，给定 其单面投影，求作两点的三面投影。
第一节 基本体的三视图
• 二、回转体的三视图
圆球任何方向的投影都是等径的圆
第三节 相贯线的画法
• 一、相贯线概述
轴线相对位置变化对两圆柱相贯线的影响
第三节 相贯线的画法
• 一、相贯线概述
★ 相贯线一般为光滑封闭的空
间曲线，它是两回转体表面
的共有线。
★ 作图方法
• 表面取点法
• 辅助平面法 确定交线
★ 作图过程
的范围
• 先找特殊点 • 补充中间点
确定交线的 弯曲趋势
• 二、两圆柱正交的相贯线 例 ：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。
例：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
例:求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
P 4≡5
2≡3≡6≡7
1≡8
8
7
5 6
3 4
1
2
5 7
8
6 3
4
Ⅴ
平面与圆锥面的截线 课件
同理,另一分支上的点也具有同样的性质,
综上所述,双曲线的准线为 m,离心率 e=
cos
.
cos
反思讨论圆锥曲线的几何性质时,要注意结合图形进行.
题型二
圆锥曲线几何性质应用
【例2】 已知双曲线两个顶点间的距离为2a,焦距为2c,求两条准
线间的距离.
解:如图,l1,l2是双曲线的准线,F1,F2是焦点,A1,A2是顶点,O为中心.
∵PB平行于圆锥的轴,∴∠BPA=β,∠BPQ2=α.
.
cos
Rt△BPQ2 中,PQ 2=
.
cos
在 Rt△BPA 中,PA=
在
由切线长定理,得 PF2=PQ2,
2
cos
∴PF2= cos.∴e= = cos.
π
∵0<β<α< 2 , ∴ cos β>cos α.∴e>1.
时的交线叫做双曲线
在空间中,取直线 l 为轴,直线 l'与 l 相交于 O 点,夹角为 α,l'
符号
语言
围绕 l 旋转得到以 O 为顶点,l'为母线的圆锥面.任取平面 π,
若它与轴 l 的交角为 β(当 π 与 l 平行时,记 β=0),则
(1)β>α,平面 π 与圆锥的交线为椭圆;
(2)β=α,平面 π 与圆锥的交线为抛物线;
由离心率定义知
1 1
1 1
= ,
∴A1H1= 11.
又 A1F1=OF1-OA1=c-a,
(-)
∴A1H1= . ∴ 1 = 1 − 11,
(-)
2
∴OH1=a− = .
平面与圆柱面圆锥面的截面课件
创建自定义截面
提供创建自定义截面的工具或方法 ，以便用户根据自己的需要进行截 面设计。
修改自定义截面
允许用户修改自定义的截面形状， 以适应不同的设计需求。
截面的修整与编辑
调整截面轮廓
允许用户调整截面的轮廓，以使 其更加符合设计要求。
修整截面边缘
提供修整截面边缘的工具或方法 ，以使截面更加平滑或达到特定
中性面法
利用中性面（即与截面平行的平面）来求解截面 。
数值法求解截面
要点一
有限元法
使用有限元分析软件，对模型进行离散化处理，然后求解 截面。
要点二
边界元法
使用边界元分析方法，对模型进行离散化处理，然后求解 截面。
模拟法求解截面
物理模拟
通过物理模拟实验来求解截面。
数值模拟
通过数值模拟实验来求解截面。
如“径向标注 R10”，表示圆心到圆边缘的距离为10。
03
圆锥面截面
定义与性质
定义
圆锥面截面是指在平面与圆锥面相交的情况下，形成的交线或截面图形。
性质
圆锥面截面的形状和大小取决于平面与圆锥面的相对位置和角度。
截面类型
01
02
03
04
圆
当平面与圆锥面的轴线平行时 ，截面为一个圆。
椭圆
当平面与圆锥面的轴线斜交时 ，截面为一个椭圆。
02
圆柱面截面
定义与性质
定义
圆柱面是由一条直线围绕一条与之平行的直线旋转而成的曲 面。
性质
圆柱面的母线与旋转轴之间成一定的夹角，且每个截面都是 一个圆。
截面类型
横截面
与圆柱轴线垂直的截面。
纵截面
与圆柱轴线平行的截面。
《平面与圆锥面的截线》教学案1
《平面与圆锥面的截线》教学案一、教学目标：1. 知识与内容：（1）通过观察平面截圆锥面的情境，体会定理2（2）利用Dandelin双球证明定理2中情况（1）（3）通过探究，得出椭圆的准线和离心率，加深对椭圆结构的理解2. 过程与方法：利用现代计算机技术，动态地展现Dandelin两球的方法，帮助学生利用几何直观进行思维，培养学生的几何直观能力，重视直觉的培养和训练，直觉用于发现，逻辑用于证明。
3. 情感态度价值观：通过亲历发现的过程，提高对图形认识能力，重视合情推理和演绎推理的启发、应用和培养，让学生辩证地观察、分析问题。
二、教学重点难点重点：（1）定理2的证明（2）椭圆准线和离心率的探究难点：椭圆准线和离心率的探究三、教学过程椭圆是生活中常见的图形，是圆锥曲线中重要的一种。
生成椭圆的方法有许多，例如：（1）圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆，如图1；（2）椭圆的定义（3）平面内到定点和定直线的距离之比等于常数(0<e<1)的点的轨迹（4）一动点到两个定点连线的斜率之积是一个负常数生成轨迹是椭圆；（5）圆柱形物体的斜截口是椭圆，如图2如果用一平面去截一个正圆锥，所得截口曲线是椭圆吗？还有其他情况吗？让我们共同来探究平面与圆锥面的截线。
()()()()()391,,.,(0).:?21;2;3AD ABC BAD l AD P AD l AB AB AC l AB l BA AC απββαβ-∠=<<如图是等腰三角形底边上的高直线与相交于点且与的夹角为试探究当与满足什么关系与或的延长线、都相交与不相交与的延长线、思考：都相交()391-图()392,:-如图可以有如下结论 ()()1,(),.,;,,().l AB AB AC l AB AB E AC F AEP l AB AB AC ββαβα∆>>当与或的延长线、都相交时设与或的延长线交于与交于 因为是的外角所以必然有 反之当时与或的延长线、都相交 ()2,//,;,,//,.l AB l AB l AB l AB βαβα==当与不相交时则这时有 反之当时那么与不相交()3,,l BA AC l BA G 当与的延长线、都相交时设与的延长线交于 ,;,APG l BA AC αβαβα∆<<因为是的外角所以如果那么与的延长线、都相交 思考：39,,310.--将图中的等腰三角形拓广为圆锥直线拓广为平面则得到图AB C P D l αβαβlCD BAP E FG ()392-()(392),,;βα-=如果平面与一条母线平行相当于图中的那么（1）平面就只与正圆锥的一半相交这时的交线是一条抛物线,:如果平面不与母线平行那么会出现两种情形,;（2）平面只与圆锥的一半相交这时的交线为椭圆,.（3）平面与圆锥的两部分都相交这时的交线叫做双曲线 归纳提升：定理 在空间中，取直线l 为轴，直线l '与l 相交于O 点，其夹角为α，l '围绕l 旋转得到以O 为顶点，l '为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l 交角为β（π与l 平行，记住β＝0），则：（1）β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；（2）β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；（3）β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线。
平面与圆柱面的截线平面与圆锥面的截线课件人教A选修9
课件形式：图文并 茂、动画演示、互 动性强
课件效果：提高学 习兴趣、增强理解 能力、提高学习效 率
课件反馈：学生满 意度高、教师评价 好、家长认可度高
人教A选修(19)中的平面 与圆柱面、圆锥面的截 线内容解析
教材内容概述
平面与圆柱面、 圆锥面的截线： 人教A选修(19) 中的主要内容
截线的定义： 平面与圆柱面、 圆锥面的交线
截线是平面与圆锥面相交形成 的曲线
截线的形状取决于平面与圆锥 面的相对位置
截线的长度取决于平面与圆锥 面的交角
截线的方向取决于平面与圆锥 面的相对位置和交角
截线的分类
直线截线：平面与圆锥面相交形成的直线 圆截线：平面与圆锥面相交形成的圆 椭圆截线：平面与圆锥面相交形成的椭圆 抛物线截线：平面与圆锥面相交形成的抛物线 双曲线截线：平面与圆锥面相交形成的双曲线 直线与圆锥面的交点：平面与圆锥面相交形成的直线与圆锥面
垂直截线：截面与圆柱面垂 直，截线为圆形
斜截线：截面与圆柱面成一 定角度，截线为椭圆形
平行截线：截面与圆柱面平 行，截线为矩形
任意截线：截面与圆柱面成任 意角度，截线为不规则形状
截线与圆柱面的关系
截线与圆柱面的切线：当截线 与圆柱面相切时，会产生一条 切线。
截线与圆柱面的平行线：当截 线与圆柱面平行时，会产生一
采用探究式教学法，让学生通过实验或计算，探索截线的性质和特点，提高学生的动手能力和思维能力。 采用合作学习法，让学生在小组内讨论和交流，共同解决问题，提高学生的合作能力和沟通能力。
学习方法指导
理解概念：掌握平面与圆柱面、圆锥面的截线定义和性质 动手实践：通过画图、计算等方式加深理解 归纳总结：总结截线的特点和规律，形成知识体系 拓展应用：将截线知识应用于实际问题，提高解题能力
平面与立体表面的交线截交线讲解学习
圆柱的右边切去上下部分 形成一凸榫，其侧面投影为 两条虚线，需要补出凸榫的 水平投影。
例2：补全接头的正面投影和水平投影。
作 图 步Байду номын сангаас骤：
2、圆锥的截交线
圆锥截交线形状分析：
根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，圆锥 面 上 的 截
3、球体的截交线
球体截交线形状分析： 不论截平面怎样截切球体，其截交线形状均为圆。 由于截交线圆与投影面的相对位置不同，其投影可能为 圆、椭圆或直线。 球体截交线的作图分析： 当截交线的投影为直线或圆时，其作图比较方便。若为 椭圆则需要通过在球体表面上找点的方法作图。
例：补全开槽半球的水平投影和侧面投影。 作图步骤如下：
3.两截平面交线在立体表面上的两个端点，如三棱锥上的 A、B点。
例1：补出切割六棱柱左视图中 的漏线并画出 其俯视图。
作图步骤：
二、回转体的截交线
1、圆柱的截交线 截交线形状分析:根据截平面与圆柱轴线的相
对位置不同，圆柱截交线有下列三种形状。
❖ 圆—截平面垂直于轴线 ❖ 椭圆—截平面倾斜于轴线 ❖ 矩形—截平面平行于轴线
例1：完成切割圆锥的俯视图和左视图。 作图步骤如右图：
两截平面中一个过 锥顶截切圆锥，截交 线为两条相交直线。 另一截平面与圆锥轴 线垂直，在圆锥表面 上切出部分圆。
例2：已知圆锥被一水平面截切，画出截交线的水平投影。 作图步骤如下：
因截平面与圆锥轴 线平行，故截交线的 形状为一双曲线。
作双曲线的投影要 利用在锥面上找点的 方法。
交线有下列五种形状。
✓ 圆—截平面垂直于轴线 ✓ 两相交直线—截平面过锥顶截切 ✓ 椭圆—截平面倾斜于轴线 ✓ 双曲线—截平面平行于轴线截切 ✓ 抛物线—截平面平行于圆锥表面
平面与圆柱面圆锥面的截面课件
(3)PO⊥平面ABC、PA⊥PB，PA⊥PC， ∴PA⊥平面PBC， ∴PA⊥BC， ∴OA⊥BC，同理OB⊥AC，OC⊥AB， ∴O为△ABC的垂心． 【反思感悟】 根据射影的性质，可以确定点在一个平面内射 影的位置．
知识点三 定 理
在空间给定一个圆锥面S，轴线与母线 的夹角为α，任取一个不通过S的顶点 的平面δ，设其与轴线的夹角为β(β与 轴线平行时，规定β＝0)，则 (1)当β>α时，平面σ与圆锥面的交线为 椭圆； (2)当β＝α时，平面σ与圆锥面的交线 为抛物线； (3)当β<α时，平面σ与圆锥面的交线为 双曲线．
【探究学习】 对射影与垂直关系的探究
【例6】如果椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，求椭圆的面积．
解：如图所示，设椭圆是由半径为 r 的圆柱面的斜截面截得的， 且斜截面与母线所成角为 α， 则 b＝r，a＝sinr α. 取圆柱面一直截面，则其面积 S 圆＝πr2， 直截面与斜截面的夹角为π2－α，由面积射 影定理有 S 椭圆＝cosSπ2圆－α＝sπinr2α＝π·r·sinr α＝πab. 即为椭圆的面积． 【反思感悟】 注意图形面积和其射影面积关系的应用．
【例5】已知一平面垂直于轴线截一圆柱面所得的截线为一个半径 为3的圆，另一截面与圆柱轴线所成角为60°，求椭圆截线的 两个焦点之间的距离．
解：由斜截面与圆ห้องสมุดไป่ตู้轴线成 60°， 即与圆柱母线成 60°角，故椭圆 的长半轴 a＝sinr φ＝sin360°＝2 3， 又椭圆的短半轴 b＝r＝3. 故椭圆的焦距 2c＝2 a2－b2＝2 3. 即为截线的两个焦点间的距离．
圆锥曲线的原理最详细图解(平面与圆锥面的截线)
平面与圆锥面的截线一、直观感受：观察平面截圆锥面的图形，截线是什么图形？改变平面的位置，可得到三种曲线，它们统称为圆锥曲线（下图由软件《立几画板》制作）：二、分类探究：从平面图形入手，开始讨论一条直线与等腰三角形的位置关系：将等腰三角形拓广为圆锥，直线拓广为平面。
如果用一平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，会出现哪些情况呢？如下图：归纳提升：定理在空间中，取直线l为轴，直线l'与l相交于O点，其夹角为α，l'围绕l旋转得到以O 为顶点，l'为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β（π与l平行，记作β＝0），则：（1）β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；（2）β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；（3）β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线。
三、证明结论：利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的部，一个位于平面的上方，一个位于平面的下方，并且与平面及圆锥均相切）证明：β＞α，平面与圆锥的交线为椭圆.如图，利用切线长相等，容易证明PF1+PF2=PQ1+PQ2＝Q1Q2=定值. 下面证明：β＝α时，平面与圆锥面的交线为抛物线。
下面讨论当平面与圆锥面的交线为双曲线时准线的及离心率：换个角度看图：容易知道：截得的圆锥曲线的离心率等于截面和圆锥轴的夹角的余弦与圆锥顶角一半的余弦之比.四、知识运用用图霸制作三维直观图：解答参看下图：五、图形制作三种曲线的丹迪林Dandelin双球图可以在《几何图霸》中统一到一幅图中，主要制作步骤如下：1.作全自由点O，过点O作平行于z轴上的点B，过B作平行于x轴上的点C，作点B、C 关于O的对称点B’、C'.2.选取点O、B、C，作圆锥，选取点O、B’、C’，作圆锥.3.在圆B上任取点D，作D关于B对称点，连接OD，OD’，在OD上任取一点E，以E 为圆心画过点D’、D的心点圆，在圆E上任取点F，连EF，它表示截面的位置，可以绕点E转动.4.作角OEF的平分线，与轴BB’交于O1；作角DEF的平分线，与轴BB’交于O2，它们就是双球的球心.5.过球心O1、O2分别作边EF的垂线，垂足分别为F1、F2，它们就是焦点.6.选取点O1、F1，作球O1（图中显示大圆，光照后显示为球），同法作球O2.7.取线EF上的点G、H，作GDO垂线上的伸缩点I，作点I关于点G的对称点I’，按向量GH平称点I、I’，得点I2、I".添加面II2I"I’，连接四边，表示截面.它的长宽可以用点G、H、I控制；点F控制其转动.8.添加下底圆上的点J，连结OJ交截面于点K，选取点J、K，添加轨迹，它就是截线，如上图中的椭圆.9.点E按向量OD’平移得点E’，EE’交圆于点G1，EG1平行于母线OD’，添加点F 到点G1的动画，名为“抛物线”.10.参看前面各图添加其它图元.下载图霸文件后在“对象浏览器”中查看各对象.课件下载：共享文件下载中心相关文章：1 利用丹迪林Dandelin双球证明平面与圆锥面的截线定理2平面与圆柱面的截线更多文章：《几何图霸》文章列表几何图霸：.jihetu.。
平面与圆锥面的截线
平面与圆锥面的截线湖州市吴兴高级中学刘晓东一、考、学情简析平面截圆锥面（不过顶点）所得的截线，可以是圆、椭圆、双曲线及抛物线，但这些知识在教材中并未涉及，只是在章头图中惊鸿一现.纵观浙江卷考题及各地模拟卷均却时有以此为背景的试题，简洁而灵动，但考生往往无所适从，“小题大做”，主要原因是对本节知识的缺失，通过本节课的学习，让学生了解此类问题的本质,掌握解决此类问题的方法,教师在教学时可以参阅人教 A 版选修 4-3 的相关内容.二、教学目标1.通过动态演示（或图示）观察平面截圆锥面的情境，让学生感知截面的四种情形；2.利用 Dandelin 双球证明截线为椭圆的情形；3.能利用结论判断平面截圆锥面所得截线形状.三、教学重点难点教学重点：1.平面截圆锥面所得截线形状的三个结论；2.平面截圆锥面所得截线形状的判断.教学难点：1.椭圆截线的证明；2.三个结论的综合应用.四、教学策略1.直观性原则通过动画或图示，让学生直观感知知识的形成过程.2.探究性原则应利用探究性、合作学习等方式，加深对知识的理解.3.适度性原则根据学情，灵活把握教学的难度，视学情选择教学内容,没必要面面俱到,学生只要掌握相关结论即可,定理的证明只是为了帮助学生更好地理解相关结论,不强求定性证明. 五、教学过程【环节一】平面截圆锥面的各种情形1.观察下列两幅图，感知平面（不过圆锥顶点）截圆锥面所得截线的四种情况图1图2【设计意图】通过图示（有条件可动画演示）让学生直观感知截线的四种情形.由于本知识在教材中没有介绍，故不宜做过度拓展.【环节 2】平面截圆锥面定理两个实验：利用几何画板探究平面截圆锥面定理.【实验 1】如图3，AD是等腰三角形底边上的高，∠BAD= α，直线l与 AD 相交于点 P，且与 AD 的夹角为β(0< β <π2) .【探究 1】当α,β满足什么关系时有（1）l 与 AB（或其延长线）、AC 都相交；（2）l与 AB 不相交；（3）l与 AB 的延长线、AC 都相交.【结论】如图4，可得如下结论：(1)当l与AB(或AB的延长线)、AC都相交时,设l与AB(或AB的延长线)交于E,与AC交于F.因为β是∆AEP的外角,所以必然有β > α;反之,当β > α时,l与AB(或AB的延长线)、AC都相交. 图3 图42(2)当l与AB不相交时,则l / / AB, 这时有β = α;反之,当β = α时,l/ /AB,那么l与AB不相交.(3)当l与BA的延长线、AC都相交时,设l与BA的延长线交于G,因为α是∆APG的外角,所以β < α;如果β < α,那么l与BA的延长线、AC都相交【设计意图】实验1从平面图形出发，通过探究让学生感知三个结论，而这三个结论恰恰是定理的核心内容.由于是平面图形学生能够很容易理解，教师可直接让学生回答，可不必用几何画板演示.【实验 2】将图3中的等腰三角形拓展为圆锥，直线拓展为平面，通过合情推理则得到图2.（实验只需演示，不必让学生探究）【实验结果】如果用一平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，则得到如下结论：1.如果平面与一条母线平行（相当于图 4 中的β = α），那么平面就只与圆锥的一半相交，这时交线是一条抛物线；2.如果平面与母线不平行，则有两种情形：（1）当β > α时，平面只与圆锥的一半相交，这时交线是椭圆；（2）当β < α时，平面与圆锥的两部分都相交，这时交线是双曲线.【设计意图】通过演示，让学生直观感知结论，无需过多拓展.当然对条件较好的学校可以适当引申.【定理】在空间中，取直线l为轴，直线l/与l相交于O点，其夹角为α，l/围绕l旋转得到以 O 为顶点，l/为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β（π与l平行，记着β＝0），则：（1）β > α，平面π与圆锥的交线为椭圆；（2）β = α，平面π与圆锥的交线为抛物线；（3）β < α，平面π与圆锥的交线为双曲线. 图5 利用 Dandelin 双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，一个位于平面的下方，并且与平面π及圆锥均相切）下面只证明β > α时，平面π与圆锥的交线为椭圆.证明：如图5，设截面与两球的切点分别为E、F，A为截线上任一点，过点A的母线与两球的切点分别为 B、C，则易得：AB=AF,AE=AC，所以AE+AF=AB+AC=BC=定值，由椭圆定义，则点 A 的轨迹为椭圆. 【设计意图】进一步强化结论.定理的证明以椭圆为例，其他两种情况不做要求.这里只需要学生掌握结论即可.【环节 3】定理应用例 1：直接利用定理解决下列问题.（1）平面α与圆锥的母线平行，则它们的交线为抛物线;离心率为__1__;（2）一圆锥面的母线和轴线成30︒角，当用一与轴线成30︒的不过顶点的平面去截圆锥时，则所截得的截线是（C）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.两条相交直线（3）已知圆锥面 S，其母线与轴线所成角为30︒，在轴线上取一点 C，通过点 C 作一截面α 使它与轴线所成的角为45︒，则截出的曲线是（B）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【设计意图】例1的三个小题均可直接利用定理求解，主要是为了让学生熟悉定理结论及其简单应用.例 2：求解下列问题.（1）圆锥的顶角为60︒，平面α与母线所成的角为60︒，则截面所截得的截线是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线提示：截面与轴垂直，所以截线为圆，故选 A.（2）（2015 年浙江文 7）如图 6，斜线段AB与平面α所成的角为60 ，B为斜足，平面α 上的动点P满足∠PAB =30 ，则点P的轨迹是（C）A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线的一支提示：当 P 点运动时，在空间中，满足条件的 AP 绕 AB 旋转形图6成一个圆锥，用一个与圆锥高成60 角的平面截圆锥，所得图形为椭圆.故选 C.【变式】（2016 金丽衢十二校理 8）如图 7，AB 是平面α外固定的斜线段，B 为斜足． 若点 C 在平面α 内运动，且∠CAB 等于直线 AB 与平面α 所成的角，则动点 C 的轨迹为( D )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线图7【设计意图】通过两个问题和一个变式加深对定理的理解.对于问题(2)及变式,需要模型建构,才能利用定理进行判断,是对学生数学建模素养的培养.例 3：活用定理解决下列问题.（1）（2008 年浙江理 10）如图 8，AB 是平面α 的斜线段，A为斜足，若点 P 在平面α 内运动，使三角形 ABP 的面积为定值则动点 P 的轨迹是（ B ）图8A ．圆B ．椭圆C ．一条直线D ．两条平行直线（2）（2015 湖州二中 10 月月考）二面角α - l - β 大小120， AB 垂直平面 β 交 l 于 B ，动点 C 满足 AC 与 AB 成 40角，则点 C 在平面α 和平面 β 上的轨迹分别是 （ C ）A ．椭圆、圆B ．双曲线、椭圆C ．双曲线、圆D ．抛物线、圆【设计意图】强化定理的灵活应用，培养学生的理性思维.【反馈练习】1.如图 9，直线 PO ⊥ 平面 M ，垂足为 O ，直线ＰＡ是平面Ｍ的一条斜线，斜足为Ａ，其中∠APO = α ，过点Ｐ的动直线ＰＢ交平面Ｍ于点Ｂ， ∠APB = β ，则下列说法正确的是＿（１）若α = 0︒, β = 90︒ ，则动点Ｂ的轨迹是一个圆；（２）若α ≠ 0︒, β = 90︒ ，则动点Ｂ的轨迹是一条直线；（３）若α ≠ 0︒, β ≠ 90︒且α + β = 90︒ ，则动点Ｂ的轨迹是抛物线；图9（４）若α ≠ 0︒, β ≠ 90︒且α + β < 90︒ ，则动点Ｂ的轨迹是双曲线；答案（２）（３）2.如图 10，平面α 的斜线 AB 交α 于 B 点，且与α 所成的角为θ 平面α 内有一动点 C 满足 ∠BAC =π，若动点 C 的轨迹为椭圆图106π , π ） 则θ 的取值范围为________.答案：（6 23.如图 11，直线 AB 是平面α的斜线，A 为斜足，若点 P 在平面α内运动，使得点 P 到直线 AB 的距离为定值 a(a>0),则动点 P 的轨迹是（ B ）图11A.圆B.椭圆C.一条直线D.两条平行直线。
平面与圆锥面的截线 课件
1．正射影的概念 给定一个平面 α，从一点 A 作平面 α 的_垂__线___，垂足为点 A′， 称点 A′为点 A 在平面 α 上的_正__射__影__． 一个图形上各点在平面 α 上的正__射__影___所组成的图形，称为这
个图形在平面 α 上的正射影． 2．平行射影 设直线 l 与平面 α 相交，称_直__线__l_的__方__向___为投影方向，过点 A 作_平__行__于__l__的直线(称为投影线)必交 α 于一点 A′，称 _点___A_′_为 A 沿 l 的方向在平面 α 上的平行射影． 一个图形上各点在平面 α 上的_平__行__射__影__所组成的图形，叫做
方法感悟 一个平面图形在平面 α 上的投影形状取决于该平面图形所在 平面与投影平面的空间关系： (1)所在平面与投影平面平行，射影图形与原图形全等，圆的 射影仍然是圆． (2)所在平面与投影平面垂直，射影图形是一条直线或线段或 点，圆的射影是线段．
(3)所在平面与投影平面斜交，圆的射影是椭圆．
由圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，知截面 CDE 与圆 锥面的截线为一抛物线．
【名师点评】 平面与圆锥面的截线的形状判断： (1)求圆锥面的母线与轴线的夹角 α，截面与轴的夹角 β； (2)判断 α 与 β 的大小关系；
(3)根据定理 2 判断截线是什么曲线．
跟踪训练 2．一个圆柱被一个平面所截，截口是一个椭圆，如果椭圆的 长轴长为 5，短轴长为 4，被截后的几何体的最短母线长为 3， 被截后的几何体的体积为多少？
这个图形的平行射影．
3．椭圆的定义 平面上到两个定点的_距__离__之__和____等于_定__长___的点的轨迹叫做
椭圆．
圆锥曲线的原理最详细图解(平面与圆锥面的截线)
圆锥曲线的原理最详细图解(平面与圆锥面的截线)本文介绍了平面与圆锥面的截线问题。
首先观察到平面截圆锥面的图形，可以得到三种圆锥曲线：椭圆、抛物线和双曲线。
然后讨论了一条直线与等腰三角形的位置关系，将等腰三角形拓广为圆锥，直线拓广为平面，通过定理得出了平面与圆锥的交线类型与夹角的关系。
接着利用Dandelin双球证明了椭圆的情况，并讨论了抛物线和双曲线的情况。
最后通过制作三维图形，展示了三种曲线的丹迪林Dandelin双球图。
6.在图中选取点O1和F1，以点O1为圆心作圆O1（在光照后会显示为球），以同样的方法作出圆O2.然后在线段EF上选取点G和H，以线段GDO的垂线上的伸缩点I为基准点，作出点I关于点G的对称点I’。
通过向量GH将点I和点I’平分，得到点I2和点I"。
将这些点连接起来，形成一个截面，其长和宽可以由点G、H和I控制，而点F则控制其旋转。
8.添加点J在下底圆上，然后将点OJ与截面相交于点K。
选取点J和K，形成一个轨迹，即截线，它在图中呈现为一个椭圆。
9.将点E按照向量OD'的方向平移，得到点E'。
将线段EE'与圆相交于点G1，使得线段EG1与母线OD'平行。
添加一个名为“抛物线”的动画，它将点F移动到点G1上。
10.参照前面的图形，添加其他的图形元素。
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三 平面与圆锥面的截线
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1．理解圆锥面的概念． 2．了解圆锥面被平面截得的圆锥曲线的各种情况．
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2
由面积关系，得 OH= OF ?OP = 2 6 .
PF
3
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已知，圆锥侧面展开图扇形的中心角为 2π，AB、CD是圆锥面的正截面上互相垂直的两条直径，过 CD和母线VB的中点E作一截面，求截面与圆锥的轴线所夹角 的大小，并说明截线是什么圆锥曲线．
∴CD⊥平面 VAB， ∴平面 CDE⊥平面 VAB，即平面 VAB为截面 CDE 的轴 面，
∴∠VOE 为截面与轴线所夹的角，即为
π .
4
又∵圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，故截面
CDE 与圆锥的截线为一抛物线． 金品质?高追求 我们让你更放心！
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5．用平面截球面和圆柱面所产生的截线形状分别是 ______、________.
1．(1)β＞α (2)β＝α (3)β＜α
2．(1)β＞α (2)β＝α (3)β＜α 金品质?高追求 我们让你更放心！
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研究圆锥的截线，说明双曲线为β＜α时，平面 π与圆锥的交线．
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1．圆锥的顶角为60°，截面与母线所成的角为60°， 则截面所截得的截线是( A )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
2．圆锥的顶角为50°，圆锥的截面与轴线所成的角为 30°，则截线是( B )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
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解析：当β＜α时，平面π与圆锥的两部分相交．在圆锥 的两部分分别嵌入Dandelin球，与平面π的两个切点分别是F1、 F2，与圆锥两部分截得的圆分别为S1、S2.
在截口上任取一点P，连接PF 1、PF 2.过点P和圆锥的顶 点O作母线，分别与两个球相切于点Q1、Q2 ，则PF 1＝PQ1， PF2＝PQ2，所以|PF 1－PF 2|＝|PQ1－PQ2|＝Q1Q2.
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解析：设⊙O 的半径为 R，母线 VA=l，则侧面展开图的
中心角为 2πR = 2 ?，∴圆锥的半顶角 ? = π .
l
4
连接 OE.∵O、E 分别是 AB、VB 的中点，
∴OE∥VA，
∴∠VOE=∠AVO= π . 4
又∵AB⊥CD，VO⊥CD，
由于Q1Q2为两圆S1、S2所在平行平面之间的母线段长， 因此Q1Q2的长为定值．
由上述可知，双曲线的结构特点是：双曲线上任意一 点到两个定点(即双曲线的两个焦点)的距离之差的绝对值为 常数．
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◆数学?选修4-1?(配人教A版)◆ 如图所示，平面ABC是圆锥面的正截面，PAB
(1)________，l与AB(或AB的延长线)、AC相交． (2)________，l与AB不相交． (3)________，l与BA的延长线、AC都相交． 2．在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于点O，夹 角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点．l′为母线的圆锥面．任 取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝0)，则 (1)________，平面π与圆锥的交线为椭圆． (2)________，平面π与圆锥的交线为抛物线． (3)________，平面π与圆锥的交线为双曲线．
过点 O 作 OH⊥PF ，垂足为 H，则 OH⊥平面 PAC，故 OH 的长为点 O 到平面 PAC 的距离．
在 Rt△ACB中，AC=PA=4，BC= 2 PB=4 2 ，从而
AB=4 3 ，OP=2. 在 Rt△POF 中，
OF= 1 BC=2 2 ，OP=2，PF = 3 PA=2 3 ，
2
又 AD= 3 PA=2 3 ，DE= 1 PB=2，在△ADE 中，由余弦
2
2
定理，得 cos∠ADE=-
3 .
3
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(2)取 AC 的中点 F，连接 PF 、OF，则 AC⊥平面 POF ， 从而平面 PAC⊥平面 POF .
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1．如图1，AD是等腰三角形底边BC上的高，∠BAD＝α,
直线l与AD相交于点P，且与AD的夹角为β
???0
?
?
?
π 2
???，则：
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是圆锥的轴截面，已知∠APC＝60°，∠BPC＝90°，PA＝4. (1)求二面角A－PC－B的余弦值． (2)求正截面圆圆心O到平面PAC的距离．
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解析：(1)∵∠APC=60?，∴△APC 为等边三角形． 如图所示，分别取 PC、BC 的中点 D、E，连接 AD、DE， 则 AD⊥PC，DE∥PB. 又 PB⊥PC，∴DE⊥PC. 故∠ADE 为二面角 A-PC-B 的平面角． 连接 AE，在 Rt△ACE 中，求得 AE2=24.
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3．一平面截圆锥的截线为椭圆，椭圆的长轴为 8，长轴
的两端点到顶点的距离分别是 6 和 10，则椭圆的离心率为
(C)
3
4
A.
B.
5
5
C. 1
D. 2
2
2
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4．用一个平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通 过圆锥的顶点，则会出现四种情况：________、________、 ________和________．