离散数学期末复习
离散数学期末复习习题
离散数学一、选择题1△O Y C3A^Q un ㊉iv1.设：P：张三可以作这件事，Q：李四可以作这件事，命题“张三或李四都可以做这件事”的符号化为()A、PVQB、PVi QC、P—QD、-P V -Q2.谓词公式V x(P(x)V m yR(y))fQ(x)中量词V x的作用域是()A. V x(P(x) V3yR(y))B.P(x)C. (P(x) V3yR(y)) D,P(x), Q(x)3.若个体域为整体域，下列公式中哪个值为真？()A. V x 3y(x+y=0)B. 3y V x(x+y=0)C. V x V y(x+y=0)D. n 3x 3y(x+y=0)4.空集①的幂集P (①)的基数是()A. 1B.2C.3D.45.设R、S是集合A上的任意关系，则下面命题是真命题的是()。
A.若R、S是自反的，则R・S是自反的B.若R、S是反自反的，则R・S是反自反的C.若R、S是对称的，则R・S是对称的D.若R、S是传递的，则R・S是传递的6.集合 A={1, 2,…，10}上的关系 R={(x, y)|x+y=10 且x, y£A},则 R 的性质为()A.自反的B.对称的C.传递的，对称的口.非自反的，传递的7.含有5个结点，3条边的不同构的简单图有()A.2个B.3个C.4个D.5个8.设G (n, m),且G中每个结点的度数不是K就是K+1,则G中度数为K的结点数()A.2/nB.n(n+1)C.nkD.n(k+1)-2m9.设谓词P(x) :x是奇数，Q(x):x是偶数，谓词公式m(x) (P(x) AQ(x))在下面哪个论域中是可满足的。
()A自然数集 B整数集 C实数集 D以上均不成立10.设C(x)： x是运动员，G(x)： x是强壮的。
命题“没有一个运动员不是强壮的”可符号化为()A. n V x(C(x) A n G(x))B. iV xOx) — G(x))C. _|m x(C(x)A_|G(x))D. im x(C(x) - 1 G(x))11.设集合 M={x|f (x) =0}, N={x|g (x) =0},则方程 f (x)・g (x) =0 的解集是()A.MANB.MUNC.M ㊉ ND.M-N12.设A=/"a}},下列选项错误的是()A. {a} e p(A)B. {a}U p(A)C. {{a}} e p(A)D. {{a}} e p(A)13.设A={1,2,3,4,5},p{<i,j>|i<j,i,j £ A}则 p 逆的性质是()A.对称的B.自反的C.反对称的D.反自反，反对称，传递的14.设R和S是集合A上的等级关系，则RUS的对称性()A. 一定成立B.一定不成立C.不一定成立D.不可能成立15. K4中含有3条边的不同构生成子图有()A.1个B.3个C.4个D.2个16.设G=<V,E>为无向图，u,v £V，若u,v连通，则()A.d(u,v)>0B.d(u,v)=0C.d(u,v)<0D.d(u,v)三0二、填空题1.命题公式I(P-Q)的主析取范式为()，主合取式的编码表示为().2.设Q(x)： x是奇数，Z(x)： x是整数，则语句“不是所有整数都是奇数”所对应的谓词公式为()。
离散数学期末复习题(6套)
《离散数学》期末考试题(A)一、填空题(每小题3分，共15分)1.设}}{},,{{c b a A =，}}{},,{},{{c c b a B =，则)(=⋃B A ，)(=⋂B A ，)()(=A P .2.集合},,{c b a A =，其上可定义( )个封闭的1元运算，( )个封闭的2元运算，( )个封闭的3元运算.3.命题公式1)(↑∧q p 的对偶式为( ).4.所有6的因数组成的集合为( ).5.不同构的5阶根树有( )棵.二、单选题(每小题3分，共15分)1.设A , B 是集合，若A B A =-，则(A)B = ∅ (B) A = ∅ (C)=⋂B A ∅ (D)A B A =⋂2.谓词公式)())()((x R y yQ x P x ∧∃→∀中量词x ∀的辖域为(A))())()((x R y yQ x P x ∧∃→∀ (B))()(y yQ x P ∃→(C))())()((x R y yQ x P ∧∃→ (D))()(y yQ x P ∃→和)(x R3.任意6阶群的子群的阶一定不为(A)4 (B)6 (C)2 (D)34.设n 是正整数，则有限布尔代数的元素个数为(A)2n (B)4n (C)n 2 (D)2n5.对于下列序列，可构成简单无向图的度数序列为(A)3, 3, 4, 4, 5 (B)0, 1, 3, 3, 3 (C)1, 1, 2, 2, 3 (D)1, 1, 2, 2, 2三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”.1. 设N N N :⨯→f ，)1,()(+=x x x f ，则f 是满射. () 2. 5男5女圆桌交替就座的方式有2880种. () 3. 设),(≤L 是格，对于L z y x ∈,,，若z x y x ⋅=⋅且z x y x +=+，则z y =. () 4. 任何树都至少2片树叶. ()5. 无向图G 有生成树的充要条件是G 为连通图. ( )四、(10分)设C B A ,,和D 是集合，证明)()()()(D B C A D C B A ⨯-⨯⊆-⨯-，并举例说明上式中不能将⊆改为 = .五、(15分)设N 是自然数集合，定义N 上的关系R 如下：y x R y x +⇔∈),(是偶数，1.证明R 是N 上的等价关系.2.求出N 关于等价关系R 的所有等价类.3.试求出一个N 到N 的函数f ，使得)}()(,N ,|),{(y f x f y x y x R =∈=.六、(10分)在实数集合R 中证明下列推理的有效性:因为R 中存在自然数，而所有自然数是整数，所以R 中存在整数.七、(10分)设R 是实数集合，令}0,R ,|),{(≠∈=a b a b a G ，定义G 上的运算如下: 对于任意G d c b a ∈),(),,(，),(),(),(b ad ac d c b a +=⋅，证明),(⋅G 是非Abel 群.八、(10分)若简单平面图G 的节点数7=n 且边数15=m ，则G 是连通图，试证明之.《离散数学》期末考试题(B)一、填空题(每小题3分，共15分)1.设,,},,{{b a b a A =∅}，则-A ∅ = ( )，-A {∅} = ( )，)(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ).2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数.3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ⌝∧∃∧→∀中量词x ∀的辖域为( ), 量词y ∃的辖域为( ).4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元.5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当n 为( )时，n K 是欧拉图.二、单选题(每小题3分，共15分)1.设R 是集合A 上的偏序关系，1-R 是R 的逆关系，则1-⋃R R 是A 上的(A)偏序关系 (B)等价关系 (C)相容关系 (D)以上结论都不成立2.由2个命题变元p 和q 组成的不等值的命题公式的个数有(A)2 (B)4 (C)8 (D)163.设p 是素数且n 是正整数，则任意有限域的元素个数为(A)n p + (B)pn (C)n p (D)pn4.设R 是实数集合，≤是其上的小于等于关系，则(R, ≤)是(A)有界格 (B)分配格 (C)有补格 (D)布尔格5.3阶完全无向图3K 的不同构的生成子图有(A)2 (B)3 (C)4 (D)5 三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”.1.若一个元素a 既存在左逆元l a ，又存在右逆元r a ，则r l a a =. ( )2.命题联结词→不满足结合律. ( )3.在Z 8 = {0，1，2，3，4，5，6，7}中，2关于“⋅8”的逆元为4. ( )4.整环不一定是域. ( )5.任何),(m n 平面图的面数2+-=n m r . ( )四、(10分)设B A f →:且C B g →:，若g f 是单射，证明f 是单射，并举例说明g 不一定是单射.五、(15分)设},,,{d c b a A =,A 上的关系)},(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,{(c d b d a d c c b c a c c a b a a a R =,1.画出R 的关系图R G .2.判断R 所具有的性质.3.求出R 的关系矩阵R M .六、(10分)利用真值表求命题公式))(())((p q r r q p A →→↔→→=的主析取范式和主合取范式.七、(10分) 边数30<m 的简单平面图G ，必存在节点v 使得4)deg(≤v .八、(10分) 有六个数字，其中三个1，两个2，一个3，求能组成四位数的个数.《离散数学》期末考试题(C)一、填空题(每小题3分，共15分)1. 若n B m A ==||,||，则=⨯||B A ( )，A 到B 的2元关系共有( )个，A 上的2元关系共有( )个.2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3,1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射.3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号).(1)q q p p →→∧)(；(2))(q p p ∨→；(3))(q p p ∧→；(4)q q p p →∨∧⌝)(；(5)q q p →→)(.4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，6的补元( ).5. 设G 是(7, 15)简单平面图，则G 一定是( )图，且其每个面恰由( )条边围成，G 的面数为( ).二、单选题(每小题3分，共15分)1. 设A , B , C 是集合，则下述论断正确的是( ).(A)若A ⊆ B ， B ∈ C ，则A ∈ C . (B)若A ⊆ B ， B ∈ C ，则A ⊆ C .(C)若A ∈ B ， B ⊆ C ，则A ∈ C . (D)若A ∈ B ， B ⊆ C ，则A ⊆ C .2. 设R ⊆ A ⨯ A ，S ⊆ A ⨯ A ，则下述结论正确的是( ).(A)若R 和S 是自反的，则R ⋂ S 是自反的.(B)若R 和S 是对称的，则S R 是对称的.(C)若R 和S 是反对称的，则S R 是反对称的.(D)若R 和S 是传递的，则R ⋃ S 是传递的.3.在谓词逻辑中，下列各式中不正确的是( ).(A))()())()((x xB x xA x B x A x ∀∨∀=∨∀(B))()())()((x xB x xA x B x A x ∀∧∀=∧∀(C))()())()((x xB x xA x B x A x ∃∨∃=∨∃(D)),(),(y x xA y y x yA x ∀∃=∃∀4. 域与整环的关系为( ).(A)整环是域 (B)域是整环 (C)整环不是域 (D) 域不是整环5.设G 是(n , m )图，且G 中每个节点的度数不是k 就是k + 1，则G 中度数为k 的节点个数为( ). (A)2n . (B)n (n + 1). (C)nk . (D)m k n 2)1(-+. 三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”.1.设f : Z → Z ，x x x f 2||)(-=，则f 是单射. ( )2.设ϕ是群G 1到群G 2的同态映射，若G 1是Abel 群，则G 2是Abel 群. ( )3.设),(≤L 是格，对于L z y x ∈,,，若z x y x ⋅=⋅且z x y x +=+，则z y =. ( )4.元素个数相同的有限布尔代数都是同构的. ( )5.设G 是n (n ≥ 11)阶简单图，则G 或G 是非平面图. ( )四、(15分)设A 和B 是集合，使下列各式(1)A B A =⋂； (2)A B B A -=-；(3)A A B B A =-⋃-)()(成立的充要条件是什么，并给出理由.五、(10分) 设S 是实数集合R 上的关系，其定义如下∈=y x y x S ,|),{(R 且是3y x -是整数}， 证明: S 是R 上的等价关系. 六、(10分) 求谓词公式)))()(()(()(x xD y yC y B x xA ∀→∃⌝→→∃的前束范式.七、(10分) 若n 个人，每个人恰有3个朋友，则n 必为偶数，试证明之.八、(10分) 利用生成函数求解递归关系⎩⎨⎧=-+=-2)1(211a n a a n n .《离散数学》期末考试题(D)一、填空题(每小题3分，共15分)1. 设|A | = 5, |B | = 2, 则可定义A 到B 的函数( )个，其中有( )单射，( )个满射.2. 令G (x ): x 是金子，F (x ): x 是闪光的，则命题“金子都是闪光的，但闪光的未必是金子”符号化为( ).3. 设X 是非空集合，则X 的幂集P (X )关于集合的⋃运算的单位元是( )，零元是( )，P (X )关于集合的⋂运算的单位元是( ).4. 不同构的5阶无向树有( )棵.5. 对于n 阶完全无向图K n , 当n 为( )时是Euler 图，当n ≥ ( )时是Hamilton 图，当n ( )时是平面图.二、单选题(每小题3分，共15分)1. 幂集P (P (P (∅))) 为( )(A){{∅}, {∅, {∅}}}. (B){∅, {∅, {∅}}, {∅}}.(C){ ∅, {∅, {∅}}, {{∅}}, {∅}} (D){ ∅, {∅, {∅}}}.2. 设R 是集合A 上的偏序关系，则1-⋃R R 是( ).(A)偏序关系 (B)等价关系 (C)相容关系 (D)以上答案都不对3. 下列( )组命题公式是不等值的.(A))(B A →⌝与B A ⌝∧. (B) )(B A ↔⌝与)()(B A B A ∧⌝∨⌝∧.(C))(C B A ∨→与C B A →⌝∧)(. (D))(C B A ∨→与)(C B A ∨∧⌝.4.下列代数结构(G , *)中，( )是群.(A)G = {0, 1, 3, 5}, “*”是模7加法. (B) G = Q , “*”是数的乘法.(C)G = Z , “*”是数的减法. (D) G = {1, 3, 4, 5, 9}, “*”是模11乘法.5.4阶完全无向图4K 中含3条边的不同构的生成子图有(A)3 (B)4 (C)5 (D)2三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”.1.函数的复合运算“ ”满足结合律. ( )2. {→⌝,}是最小功能完备联结词集合. ( )3. 实数集R 关于数的乘法运算“⋅”阿贝尔群. ( )4. 任意有限域的元素个数为2n . ( )5. 设G 是n (n 为奇数)简单图，则G 与G 中度数为奇数的节点个数相同. ( )四、(10分)设A 和B 是集合，使B B A =-成立的充要条件是什么，并给出理由.五、(10分) 设R 和S 是集合A 上的对称关系，证明S R 对称的充要条件是R S S R =.六、(15分)分别利用(1)等值演算法和(2)真值表求命题公式))(())((r q p p q r A ∨→→→∨⌝=的主析取范式和主合取范式.七、(10分) 设G 是(n , m )无向图，若n m ≥，证明G 中必存在圈.八、(10分) 在初始条件f (1) = c 下，求解递归关系bn n f n f +⎪⎭⎫ ⎝⎛=22)(，其中b ，c 为常数且kn 2=，k 为正整数.《离散数学》期末考试题(E)一、填空题(每小题3分，共15分)1.设A = {2, {3}, 4, a }, B = {1, 3, 4, {a }}, 则{3}( )A ，{a }( )B ，{{a }}( )B .2. 设A = {1, 2, 3, 4, 5}上的关系R = {(1, 2), (3, 4), (2, 2)}, S = {(4, 2), (2, 5), (3, 1), (1, 3)}, 则=S R { }, =R S { }, =R R { }.3. gcd(36, 48) = ( )，lcm(36, 48) = ( ).4.任意有限布尔代数)1,0,,,,(⋅+B 均与集合代数( )同构，其元素个数为( ).5. 不同构的5阶无向树有( )棵，不同构的5阶根树有( )棵.二、单选题(每小题3分，共15分)1. 在有理数集合Q 上定义运算“*”如下：对于任意x , y ∈ Q ，y x * = x + y – xy ，则Q 关于*的单位元是( ).(A)x . (B)y . (C)1. (D)0.2. 设A = {1, 2, 3}, 下图分别给出了A 上的两个关系R 和S ，则S R 是( )关系.(A)自反. (B)对称. (C)传递. (D)等价.3.令T (x ): x 是火车，B (x ): x 是汽车，F (x , y ): x 比y 快，则“某些汽车比所有的火车慢”符号化为( ).(A)()()),()()(y x H x T x y B y →∀∧∃.(B)()()),()()(y x H x T x y B y ∧∀→∃.(C)()()),()()(y x H x T y B y x ∧→∃∀.(D)()()),()()(y x H x T x y B y →∀→∃.4. 整数集合Z 关于数的加法“+”和数的乘法“⋅”构成的代数结构(Z, +, ⋅)是( ). 1 1 22 3 3G S G R(A)域(B)域和整环(C)整环(D) 有零因子环G≅，则称G为自补图. 5阶不同构的自补图5.设G是简单图，G是G的补图，若G个数为( ).(A)0. (B)1. (C)2. (D)3.三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”.1. { ∅, {∅}} ∉P(P({∅})). ( )2. 非空1元及2元联结词集合的个数为29-1. ( )3. 群可分为Abel群和非Abel群. ( )4. 元素个数相同的有限域都是同构的. ( )5. 设G是简单图，则G或G是连通图. ( )四、(15分)设C,:, 若gf 是单射，证明f是单射，并举例说明g→:f→gBBA不一定是单射.五、(10分)设A = {a, b, c, d}上的关系R = {(a, b), (b, d), (c, c), (a, c)}, 画出R的关系图，并求出R的自反闭包r(R)、对称闭包s(R)和传递闭包t(R).六、(10分)用CP规则证明下列推理.⌝∨→∨(.⇒),(⌝),→pqssrqrqp→七、(10分)求谓词公式))xyByAxA∀→∨∀∧⌝∃的前束范式.zC((x()))(z(()八、(10分)任意6个人中，一定有3个人彼此认识或有3个人彼此不认识.《离散数学》期末考试题(F)一、填空题(每小题3分，共15分)1. 设A = {1, 2, 3, {1, 2}, {3}}, B = {2, {2,3}, {1}} , 则A–B = { }, B–A = { }, A⊕B = { }.2. 实数集合R关于加法运算“+”的单位元为( ), 关于乘法运算“⋅”的单位元为( ), 关于乘法运算“⋅”的零元为( ).3. 令Z(x): x是整数，O(x): x是奇数，则“不是所有整数都是奇数”符号化为( ).4. 有限域的元素个数为( ), 其中( )且( ).5. 设G 是(7, 15)简单平面图，则G 一定 ( )连通图，其每个面恰由( )条边围成，G 的面数为( ).二、单选题(每小题3分，共15分)1. 函数的复合运算“ ”满足( )(A)交换律. (B)结合律. (C)幂等律. (D)消去律.2. 设集合A 中有4个元素，则A 上的等价关系共有( )个.(A)13 (B)14 (C)15 (D)163.下列代数结构(G , *)中，( )是群.(A)G = {0, 1, 3, 5}, “*”是模7加法. (B) G = Q , “*”是数的乘法.(C)G = Z , “*”是数的减法. (D) G = {1, 3, 4, 5, 9}, “*”是模11乘法.4. 下列偏序集，( )是格.5. 不同构的(5, 3)简单无向图有( )个.(A)4 (B)5 (C)3 (D)2三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”.1. 设A ，B ，C 是集合，若C A B A ⊕=⊕, 则B = C . ( )2. 逻辑联结词“→”满足结合律. ( )3. 设 (L , ≤)是偏序集，若L 的任意非空子集均存在上确界和下确界，则(L , ≤)是格.( )4. 在同构意义下，有限布尔代数只有,,,),((⋂⋃X P ∅, X ). ( )5. 设G 是简单图，则G 与G 中度数为奇数的节点个数相同. ( )四、(15分) 设C B g B A f →→:,:, 若g f 是满射，证明g 是满射，并举例说明f 不一定是满射.五、(10分) 在整数集合Z 上定义关系R 如下：对于任意∈y x , Z ，y y x x R y x +=+⇔∈22),(.判断R 是否具有自反性、反自反性、对称性、反对称性及传递性.六、(10分)利用真值表求命题公式)())(q p q p A ⌝→↔→⌝=的主析取范式和主合取范式.七、(10分)证明：在至少两个人的人群中，必有两个人有相同个数的朋友.八、(10分)将6阶完全无向图K 6的边随意地涂上红色或蓝色，证明：无论如何涂法，总存在红色的K 3或蓝色的K 3.(ps ：答案见离散数学期末复习题（6套）答案文档)。
离散数学期末考试复习题及参考答案
参考答案： B
6、 设 A. 代数系统 B. 半群 C. 群
,*为普通乘法,则<S,*>是( )
D. 都不是
参考答案： A
7、 设S={0,1},*为普通乘法,则< S , * >是( ) A. 半群,但不是独异点 B. 只是独异点,但不是群 C. 群 D. 环,但不是群
参考答案： B
A. B. C. D.
参考答案： B
3、 命题“有的人喜欢所有的花”的逻辑符号化为( ) 设D:全总个体域,F(x):x是花,M(x) :x是人,H(x,y):x喜欢y
A. B. C. D.
参考答案： D
4、 下列等价式成立的有( )
A. B. C. D.
参考答案： D
5、 下列公式是重言式的有( )
5、 ( )设S={1,2},则S在普通加法和乘法运算下都不封闭。 参考答案： 正确
8、 谓词公式
中的x是( )
A. 自由变元
B. 约束变元
C. 既是自由变元又是约束变元
D. 既不是自由变元又不是约束变元
参考答案： C
9、 设
是一个有界格,如果它也是有补格,只要满足( )
A. 每个元素都至少有一个补元
B. 每个元素都有多个补元
C. 每个元素都无补元
D. 每个元素都有一个补元
参考答案： A
10、 一棵无向树T有4度、3度、2度的分枝点各1个,其余顶点均为树叶,则T中有( )片树叶
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
参考答案： C
11、 设
A. {{1,2}} B. {1,2 } C. {1} D. {2}
参考答案： A
,则有( )
离散数学期末复习
一、填空20%（每空2分）：1．若对命题P 赋值1，Q 赋值0，则命题Q P ↔的真值为 。
2．命题“如果你不看电影，那么我也不看电影”（P ：你看电影，Q ：我看电影）的符号化为3．公式))(()(S Q P Q P ⌝∧⌝∨∧∨⌝的对偶公式为4．图 的对偶图为5．若关系R 是等价关系，则R 满足 性质。
6．关系R 的传递闭包t (R) = 。
7．代数系统>*<,A 是群，则它满足8．设>⊗⊕<>∙+<,,,,B A 和是两代数系统，f 是从>⊗⊕<>∙+<,,,,B A 到的同态映射，则f 具有 性质。
9．树T 的边数e 与点数v 有关系 。
二、选择10%（每小题2分）：1．如果解释I 使公式A 为真，且使公式B A →也为真，则解释I 使公式B 为（ ）。
A 、真；B 、假；C 、可满足；D 、与解释I 无关。
2．设{}b a A ,=，则P （A ）×A = （ ）。
A 、A ；B 、P （A ）；C 、{}><><><><><><>Φ<>Φ<b A a A b b a b b a a a b a ,,,,},{,},{,},{,},{,,,, ；D 、{}><><><><><><>Φ<>Φ<A b A a b b b a a b a a b a ,,,,}{,,}{,,}{,,}{,,,,,。
3．设集合A ，B 是有穷集合，且n B m A ==,，则从A 到B 有（ ）个不同的双射函数。
A 、n ；B 、m ；C 、!n ；D 、!m 。
4．设K = {e , a , b , c}，>*<,K 是Klein 四元群，则元素a 的逆元为（ ）。
自考离散数学期末复习
1.5 最小联结词组与范式
主范式 定义1.5.5 n个命题变元的析取式，称作布尔析取或大项，其中每个变元与
它的否定不能同时存在，但两者必须出现仅且出现一次。 例如：2个命题变元P和Q，其大项为：
P˅Q, P˅¬Q, ¬P˅Q, ¬P˅¬Q 3个命题变元P，Q和R，其大项为： P˅Q˅R, P˅Q˅¬R, P˅¬Q˅R, P˅¬Q˅¬R, ¬P˅Q˅R, ¬P˅Q˅¬R, ¬P˅¬Q˅R, ¬P˅¬Q˅¬R
离散数学期末复习
1.1 命题概念
命题：具有唯一真值的陈述句
1.1 命题概念
练习：
1.下列句子为命题的是（ D ）
A.全体起立！
B. X=0
C. 我在说谎
D.张三生于1886年的春天
2.下列句子不是命题的是（ D ）
A.中华人民共和国的首都是北京 B.张三是学生
C.雪是黑色的
D.太好了！
1.2 复合命题与联结词
常用的联结词 （3）析取 定义1.2.3 两个命题P, Q的析取是个复合命题，记作P∨Q。 ∨称作析取联结词， 与自然语言中的“或”有些相似 例4 王强是这次校运动会的跳高或100米短跑的冠军。
设P: 王强是这次校运动会的跳高冠军； Q:王强是这次校运动会的100米短跑的冠军。
所以本例可描述为： P∨Q
设P: 我有就学机会； Q:我必用功读书。
所以本例可描述为： P→Q
1.2 复合命题与联结词
常用的联结词 （4）条件 P→Q的真值
当且仅当P的真值为T，Q的真值为F时，P→Q 为F.其余情况，P∨Q为T
PQ TT TF FT FF
P→Q T F T T
1.2 复合命题与联结词
常用的联结词 （5）双条件 定义1.2.6 给定两个命题P, Q，其复合命题P↔Q称作双条件命题，读作P当
离散数学期末复习
离散数学内容总结第一篇数理逻辑第1章 命题逻辑求命题公式的主析取范式及主合取范式例 求的主析取范式及主合取范式。
例 求(P→Q)R的主析取范式及主合取范式。
例 求命题公式的主析取范式和主合取范式。
例 求公式A=(pq)r的主析取范式与主合取范式。
例 求的主析取范式。
判断公式类型例 用等值演算法判断公式q (pq)的类型例判断下列命题公式的类型（永真式、永假式、可满足式），方法不限。
(1)(2)证明例 证明：例 证明：例 推证：Q∧(P→Q)P例 前提：，结论：。
该结论是否有效？请说明原因。
在命题逻辑中构造下面推理的证明：例如果小张守第一垒并且小李向B队投球，则A队获胜。
或者A队未获胜，或者A队成为联赛的第一名。
小张守第一垒。
A队没有成为联赛的第一名。
因此小李没有向B队投球。
例一个公安人员审查一件盗窃案，已知下列事实：（1）甲或乙盗窃了录像机；（2）若甲盗窃了录像机，则作案时间不能发生在午夜前；（3）若乙的证词正确，则午夜时屋里灯光未灭；（4）若乙的证词不正确，则作案时间发生在午夜前；（5）午夜时屋里灯光灭了。
根据以上事实，推断谁是盗窃犯。
（在命题逻辑中构造推理证明。
）例 如果今天是周一，则要进行离散数学或C语言程序设计两门课中一门课的考试。
如果C语言程序设计课的老师有会，则不考C语言程序设计。
今天是周一，C语言程序设计课的老师有会，所以进行离散数学课的考试。
例 若明天是星期一或星期三，我就有课。
若有课，今天必须备课。
我今天没备课。
所以，明天不是星期一和星期三。
例 若明天是周一或周二，小华就要考试。
若要考试，今天必须复习。
小华今天没复习。
所以，明天不是周一和周二。
例如果A工作努力，B或C将生活愉快。
如果B生活愉快，那么A将不努力工作。
如果D愉快，则C将不愉快。
所以，如果A工作努力，D将不愉快。
第2章 谓词逻辑求谓词公式的前束范式例 求谓词公式的前束范式例求公式∀x F(x)∧∃x G(x)的前束范式。
《离散数学》方世昌的期末复习知识点总结
《离散数学》方世昌的期末复习知识点总结1.集合论-集合的定义和运算：交、并、差、补、反转。
子集与真子集的概念。
-集合的基数：有限集、无限集、可数集、不可数集的定义与特性。
-集合的运算律：交换律、结合律、分配律、幂等律、吸收律。
-集合的等价关系：等价关系的定义和性质，等价关系的划分和等价类。
2.逻辑与命题关系-命题与命题符号：命题的定义、真值表和含有逻辑连接词的复合命题。
-命题逻辑：命题的蕴涵、等价、否定、充分条件和必要条件。
-谓词逻辑：命题的全称量词、存在量词及其关系。
-命题逻辑推理：假言推理、析取推理、拒取推理、类比推理等。
3.图论-图的基本概念与术语：顶点、边、邻接、路径、回路、连通、子图、生成树等。
-图的分类：无向图、有向图、简单图、多重图、完全图。
-图的矩阵表示：邻接矩阵、关联矩阵、度矩阵等。
-图的遍历算法：深度优先、广度优先。
-图的最短路径算法：迪杰斯特拉算法、弗洛伊德算法。
4.代数系统与半群-代数结构：代数系统的定义、代数公理、代数性质。
-半群：半群的定义与性质，封闭性、结合律和单位元。
-半群的子半群与同态：子半群的概念，同态映射的定义与性质。
-有限半群与无限半群：有限半群的定义和性质，无限半群的特点与例子。
5.数论与代数-整数与整数集合的性质：整数的除法原理、整除、公约数、最大公约数和最小公倍数。
-同余关系与同余类：同余关系的定义、同余类的性质、同余关系的基本定理。
-质数与素数：质数的定义、素数的性质、素数的判定方法。
-线性同余方程：线性同余方程的解法、同余方程的应用。
以上仅是《离散数学》中的部分重要知识点总结，该教材还包括很多其他内容，如排列组合、概率论、布尔代数等等。
期末复习时，建议从教材中选取一些重点章节进行深入学习和复习，同时要进行大量的习题训练，加深对知识点的理解和掌握。
祝你在期末考试中取得好成绩！。
离散数学期末复习题库
数理逻辑一、选择题。
1、下列选项中是原子命题的是（)A、霍金去世了。
B、霍金是物理学家，也是科普作家。
B、霍金的《时间简史》你看过吗？D、我看过《时间简史》，但没有看懂。
2、下列命题中，（）不是真命题。
A、海水是咸的当且仅当雪是白色的B、如果1+1=2，那么7+8＞16C、若太阳从西边落下，则2是奇数D、夏天冷当且仅当冬天热3、下列句子不是命题的是（）A.雪是黑色的。
B.江西师大是一座工厂。
C.好大的雪啊！D.若7+8＞16，则三角形有4条边。
4、下列句子是命题的是（）A.我正在说谎。
B.X < 0。
C.好大的雪啊！D.如果x大于3，则x2大于9。
5、下列句子是命题的是（）A.我正在说谎。
B.X < 0。
C.好大的雪啊！D.如果x大于3，则x2大于9。
6、下列联结词中不是完备的是（）A、{,,⌝∨∧} B、{,⌝∨} C、{,∨∧} D、{,⌝∧}7、下列选项中哪一个是复合命题？（)x>。
A、我不去看电影。
B、如果3x>，那么29C、我正在说谎。
D、把大象放进冰箱需要多少步？8、公式()P Q RP Q R=（）→⌝∨的成假解释是(,,)B、(,,)T F FT F T D、(,,) T T T B、(,,)T T F C、(,,)9、下列选项中是合式公式的是（)A 、3a b c ++=B 、P Q R <+C 、R Q P ∧⌝D 、R Q P ∧∨⌝10、下列公式不是永真公式的是（ ）C 、P P → B 、P P ↔ C 、 P P ∨⌝D 、P P ∧⌝ 11、下列公式 ( )为重言式．A ．⌝P ∧⌝Q ↔P ∨QB ．(Q →(P ∨Q)) ↔(⌝Q ∧(P ∨Q))C ．(P →(⌝Q →P))↔(⌝P →(P →Q))D ．(⌝P ∨(P ∧Q)) ↔Q12、 设A （x ）：x 是人，B （x ）：x 是工人，则命题“有人是工人”可符号化为（ ）．A ．(∃x)(A(x)∧B(x))B ．(∀x)(A(x)∧B(x))C ．┐(∀x)(A(x) →B(x))D ．┐(∃x)(A(x)∧┐B(x))13、下列是真命题的有（ ）A 、；B 、；C 、；D 、。
(完整word版)离散数学复习提纲(完整版)
《离散数学》期末复习大纲（完整版）（含例题和考试说明)一、命题逻辑[复习知识点］1、命题与联结词(否定￢、析取∨、合取∧、蕴涵→、等价↔）,复合命题2、命题公式与赋值(成真、成假）,真值表,公式类型（重言、矛盾、可满足),公式的基本等值式3、范式：析取范式、合取范式，极大（小）项，主析取范式、主合取范式4、公式类型的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法）5、命题逻辑的推理理论本章重点内容:命题与联结词、公式与解释、(主)析取范式与（主)合取范式、公式类型的判定、命题逻辑的推理［复习要求]1、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方法.2、理解公式与赋值的概念;掌握求给定公式真值表的方法，用基本等值式化简其它公式，公式在解释下的真值。
3、了解析取(合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取(合取）范式的概念；掌握用基本等值式或真值表将公式化为主析取（合取)范式的方法.4、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价方法。
5、掌握命题逻辑的推理理论。
[疑难解析］1、公式类型的判定判定公式的类型,包括判定公式是重言的、矛盾的或是可满足的。
具体方法有两种，一是真值表法,二是等值演算法。
2、范式求范式，包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式。
关键有两点:一是准确理解掌握定义；另一是巧妙使用基本等值式中的分配律、同一律和互补律（排中律、矛盾律）,结果的前一步适当使用幂等律，使相同的短语(或子句）只保留一个.3、逻辑推理掌握逻辑推理时，要理解并掌握12个（除第10，11）推理规则和3种证明法(直接证明法、附加前提证明法和归谬法）. 例1.试求下列公式的主析取范式:(1）))()((P Q Q P P ⌝∨⌝⌝∧→→；（2）)))((R Q Q P P →⌝∨→⌝∨（))()(())()((:)1P Q Q P Q P P P Q Q P P ∧∧∨∧∧⌝∨⌝=∧∧∨⌝∨⌝=原式解Q P P P Q P P Q P ∨⌝=∨⌝∧∨⌝=∧∨⌝=)()()())(())((Q P P Q Q P ∧∨⌝∨∨⌝∧⌝=)()()(Q P Q P Q P ∧∨∧⌝∨⌝∧⌝=)))((()))(((:)2R Q Q P P R Q Q P P ∨∨∨∨=→⌝∨→⌝∨解)()()()(R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P ∧⌝∧∨∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝=∨∨=)()()(R Q P R Q P R Q P ∧∧∨⌝∧∧∨⌝∧⌝∧∨）2．用真值表判断下列公式是恒真?恒假？可满足？（1)（PP ）Q （2)（P Q)Q （3）（（P Q)(Q R ））（P R) 解：（1） 真值表 P QP P P （P P)Q 0 01 0 1 0 11 0 0 1 00 0 1 1 1 0 0 0因此公式(1)为可满足.（2） 真值表P Q P Q （P Q) （P Q）Q0 0 1 0 00 1 1 0 01 00 1 01 1 1 0 0因此公式（2）为恒假。
离散数学 期末复习 复习材料
并求由该等价关系所产生的1的等价类[1]R和5的等 价类[5]R。
证明：①.对aX，均有(a-a)/3=0z成立，即<a,a> R， 所以，R是自反的。
②. 对a，b X如果 <a,b> R，则有(a-b)/3=kz成立， 于是(b-a)/3=-kz成立，即<b,a> R，所以，R具有对 称性。
二、典型题例讲解
例1 有向图G=<V,E>如下图所示，分别求: (1). G的邻接矩阵。 (2).利用邻接矩阵求G中到的长度为3的通路条数。
并写出v1到v4的长度为3的路径。
谢谢大家！！
5) 逆关系 ✓ 定义
6) A上关系的性质 ✓ 自反、反自反、对称、反对称、传递性 ✓ 如何从关系图和关系矩阵来判别。
7) 关系的闭包 ✓ 自反闭包r(R)、对称闭包s(R) 、传递闭包 t(R) ✓ 关系闭包的性质与应用
8) 等价关系 ✓ 概念：判断及证明。典型例子：同余关系 ✓ 等价类与性质 ✓ 划分，划分与等价关系的转换
⑦ P(c)┑Q(c)
T，⑥，UI
⑧ ┑P(c)
T，⑤⑦，拒取式
⑨ x┒P(x)
T，⑧，EG
故，原推证成立，证毕。
第三部分 集合
期 末复习
一、本章主要内容 1) 集合及其运算
a) 集合与元素 b) 集合之间的关系：包含与相等 c) 特殊集合：空集、全集、幂集 d) 集合的运算：并、交、差、补、对称差 e) 基本集合恒等式：与谓词逻辑基本恒等式类
3) 谓词逻辑的等值演算 a. 谓词逻辑的基本等值式 b) 谓词逻辑等值演算的换名规则 c) 谓词逻辑的前束范式
4) 谓词逻辑的推理理论 a) 推理的形式结构
离散数学期末复习题
离散数学期末复习题第一章集合论一、判断题（1）空集是任何集合的真子集． （ 错 ）（2）{}φ是空集． （ 错 ） （3）{}{}a a a },{∈ （ 对 ） （4）设集合{}{}{}{}AA 22,1,2,1,2,1⊆=则. ( 对 ） （5）如果B A a ⋃∉，则A a ∉或B a ∉． （ 错 ）解 B A a ⋃∉则B A B A a ⋂=⋃∈，即A a ∈且B a ∈，所以A a ∉且B a ∉（6）如果A ∪.,B A B B ⊆=则 （ 对 ）（7）设集合},,{321a a a A =，},,{321b b b B =，则},,,,,{332211><><><=⨯b a b a b a B A （ 错 ）（8）设集合}1,0{=A ，则}1},0{,0},0{,1,,0,{><><><><=φφρ是A2到A 的关系． （ 对 ）解 A 2}},1{},0{,{A φ=， =⨯A A 2}1,,0,,1},1{,0},1{,1},0{,0},0{,1,,0,{><><><><><><><><A A φφ（9）关系的复合运算满足交换律． （ 错 ）（10）.条件具有传递性的充分必要上的关系是集合ρρρρA = （ 错 ）（11）设.~,上的传递关系也是则上的传递关系是集合A A ρρ ( 对 ) （12）集合A 上的对称关系必不是反对称的. （ 错 ）（13）设21,ρρ为集合A 上的等价关系, 则21ρρ⋂也是集合A 上的等价关系( 对 )（14）设ρ是集合A 上的等价关系, 则当ρ>∈<b a ,时， ρρ][][b a = ( 对 )（15）设21,ρρ为集合 A 上的等价关系, 则 ( 错 )二、单项选择题（1）设R 为实数集合，下列集合中哪一个不是空集 （ A ）A. {}R x x x ∈=-且,01|2 B ．{}R x x x ∈=+且,09|2C. {}R x x x x ∈+=且,1|D. {}R x x x ∈-=且,1|2（2）设B A ,为集合，若φ=B A \，则一定有 （ C ）A. φ=B B ．φ≠B C. B A ⊆ D. B A ⊇（3）下列各式中不正确的是 （ C ）A. φφ⊆ B ．{}φφ∈ C. φφ⊂ D. {}}{,φφφ∈ （4）设{}}{,a a A =，则下列各式中错误的是 （ B ）A. {}A a 2∈ B ．{}A a 2⊆ C. {}A a 2}{∈ D. {}Aa 2}{⊆ （5）设{}2,1=A ，{}c b a B ,,=，{}d c C ,=，则)(C B A ⨯为 （ B ） A. {}><><c c ,2,1, B ．{}><><c c ,2,,1C. {}><><2,,,1c cD. {}><><2,,1,c c（6）设{}b A ,0=，{}3,,1b B =，则B A 的恒等关系为 （ A ） A. {}><><><><3,3,,,1,1,0,0b b B ．{}><><><3,3,1,1,0,0C. {}><><><3,3,,,0,0b bD. {}><><><><0,3,3,,,1,1,0b b（7）设{}c b a A ,,=上的二元关系如下，则具有传递性的为 （ D ）A. {}><><><><=a b b a a c c a ,,,,,,,1ρB ． {}><><=a c c a ,,,2ρC. {}><><><><=c b a b c c b a ,,,,,,,3ρD. {}><=a a ,4ρ（8）设ρ为集合A 上的等价关系，对任意A a ∈，其等价类[]ρa 为 （ B ）A. 空集； B ．非空集； C. 是否为空集不能确定； D. }|{A x x ∈.（9）映射的复合运算满足 （ B ）A. 交换律 B ．结合律 C. 幂等律 D. 分配律（10）设A ，B 是集合，则下列说法中（ C ）是正确的.A ．A 到B 的关系都是A 到B 的映射B ．A 到B 的映射都是可逆的C ．A 到B 的双射都是可逆的D ．B A ⊂时必不存在A 到B 的双射（11）设A 是集合，则（ B ）成立.A ．A A #22#=B ．A X X A⊆↔∈2 C ．{}A2∈φ D ．{}AA 2∈ （12）设A 是有限集（n A =#），则A 上既是≤又是～的关系共有（B ）.A ．0个B ．1个C ．2个D ．n 个三、填空题1. 设}}2,1{,2,1{=A ，则=A2____________.填}}},2,1{,2{}},2,1{,1{},2,1{}},2,1{{},2{},1{,{2A A φ=2.设}}{,{φφ=A ，则A 2= . 填}}},{{},{,{2A A φφφ=3.设集合B A ,中元素的个数分别为5#=A ，7#=B ，且9)(#=⋃B A ，则集合B A ⋂中元素的个数=⋂)(#B A .34.设集合}4,1001|{Z x x x x A ∈≤≤=的倍数，是，}5,1001|{Z x x x x B ∈≤≤=的倍数，是，则B A 中元素的个数为 .405.设 },{b a A =, ρ 是 A2 上的包含于关系，,则有ρ= .},,},{,}{},{,},{,}{},{,,,}{,,}{,,,{><><><><><><><><><A A A b b b A a a a A b a φφφφφ6.设21,ρρ为集合 A 上的二元关系, 则=21ρρ .~1~2ρρ7.集合A 上的二元关系ρ为传递的充分必要条件是 ．ρρρ⊆8. 设集合{}{}><><==0,2,2,02,1,01ρ上的关系A 及集合A 到集合{}4,2,0=B 的关系=2ρ｛><b a ,|><b a ,A b a B A ∈⨯∈,且∩}=21,ρρ 则B ___________________. 填 }2,2,0,2,2,0,0,0{><><><><四、解答题1. 设 A d c b a A },,,,{=上的关系 },,,,,,,,,,,,,,,{><><><><><><><><=c d d c a b b a d d c c b b a a ρ（1）写出ρ的关系矩阵；（2）验证ρ是A 上的等价关系；（3）求出A 的各元素的等价类。
离散数学期末考试最新复习题 最新资料
离散复习一一、数理逻辑要点1：命题公式和真值表小项和大项、主析取范式和主合取范式永真式和推理证明1. n 个命题变元，共可组成 个命题公式（wff ）；可组成 个真值结果不同的命题公式；可组成 个主析取范式、 个主合取范式、 个主异或范式、 个主等值范式。
2. 因子项P Q R ∧⌝∧是简单 取式，若原公式中仅此三个变元，则将其称为 项；其角标表示为 ；对应角标的大项用公式表示出来是 。
3.对任一指派，为什么mi 和mj 不能同时为真？为什么Mi 和Mj 不能同时为假？这里i ≠j 。
4.P Q P Q ⌝∨⌝→↔⌝求公式（）（）的主析取和主合取范式。
5.,A B A C B C,A B A B A B A C B C ∨⇔∨⇔∧⇔∧⇔⌝⇔⌝⇔如果是否有？若是否有？如果，是否有？6.张三说李四在说谎，李四说王五在说谎，王五说张三、李四都在说谎，问张三、李四、王五3个人到底谁在说真话，谁说假话。
7.用推理规则论证下述问题：我或者去北京，或者去广州。
如果去北京，就去长城。
去了长城，就不能参加运动会。
所以，如果我参加了运动会，那么我去了广州。
要点2：量化断言和命题的关系量词辖域、自由变元和约束变元谓词永真式、推理规则及推理证明1. 设D={0,1}，P(0,0)=0，P(0,1)=1，P(1,0)=0；P(1,1)=1，则公式 (∀x)(∃y)P(x, y)可量化为 ，且可得该公式的真值结果为 ；(∃x) (∀y) P(x, y)可量化为 ，可得该公式的真值结果为 。
2.∀∧∃⌝证明公式xP(x)y P(y)是永假式。
3. xQ ∧∀⇒∃∧证明P(x)(x)x(P(x)Q(x))。
4. 符号化下列命题，并推证其结论：任何人如果他喜欢步行，他就不喜欢乘汽车，每一个人或者喜欢汽车，或者喜欢骑自行车。
有的人不爱骑自行车，因而有的人不爱步行。
二、集合论（集合、二元关系、函数）要点：集合与其子集、空集合和全集、集合运算集合与关系、关系运算二元关系图、哈斯图、偏序关系等价关系、等价类、划分如何定义一个函数特殊函数类、置换函数1. 运算{φ, {φ}}-{φ}的值为 。
(完整word版)离散数学-期末复习题及答案
课程名称:《离散数学》一、单项选择题1、 (D)。
下列句子是命题的为 。
A 、这朵花多好看呀！B 、明天下午有会吗？C 、5y x >+D 、地球外的星球上也有人。
2、 (A)。
李平不是不聪明，而是不用功。
p:李平聪明q:李平用功。
符号化为 。
A 、 q )p (⌝⌝⌝∧ B 、 q p ⌝⌝∧ C 、 q )p (∧⌝⌝ D 、q )p (⌝⌝⌝∨ 3、 (A)。
与)q p (∨⌝命题公式等值的是 。
A 、q p ⌝⌝∧ B 、q p ⌝⌝∨ C 、q p ∧ D 、q)(p ∧⌝4、 (D)。
含有3个命题变项的简单和取式中一定可形成 种不同的极小项。
A 、2 B 、4 C 、6 D 、85、 (C)。
q )q p (∧→⌝此公式的类型为 。
A 、重言式B 、永真式C 、矛盾式D 、可满足式 6、 (C)。
q )q )q p ((→∧→此公式的类型为 。
A 、矛盾式B 、可满足式C 、重言式D 、永假式7、 (A)。
设A 是含有3个命题变项的公式,若它的主析取范式中含有8个极小项,则它是 。
A 、重言式B 、矛盾式C 、可满足式D 、永假式8、 (B)。
只有天下大雨,他才乘公共汽车上班.p:天下大雨q:他乘车上班,符号化为 。
A 、q p → B 、p q → C 、q p →⌝D 、p q →⌝9、 (B)。
不经一事,不长一智p:经一事q:长一智,符号化为 。
A 、p q →B 、q p ⌝⌝→C 、p q ⌝⌝→ D 、q p → 10、 (B)。
R Q P →∧⌝)(成真赋值为 。
A 、 000,001,110B 、 001,011,101,110,111C 、全体赋值D 、无11、 (B)。
公式Q P →的主析取范式为)3,1,0(∑，则公式的主合取范式为 。
A 、)2(TB 、)2(∏C 、)3,1,0(∏D 、)3,2,1,0(∏12、 (A)。
R Q P →∧⌝成假赋值为 。
离散数学期末复习题
离散数学期末复习题一、选择题1、永真式的否定是（2）(1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能2、设P ：2×2=5，Q ：雪是黑的，R ：2×4=8，S ：太阳从东方升起，则下列真命题为(1)(1)R Q P ∧→ (2)S P R ∧→ (3)R Q S ∧→ (4) )()(S Q R P ∧∨∧。
3、设P ：我听课，Q ：我看小说，则命题R “我不能一边听课，一边看小说”的符号化为⑵ ⑴ P Q → ⑵Q P ⌝→(3) Q P →⌝ ⑷ P Q ⌝→⌝()P Q ⌝∧提示：()R P Q P Q ⇔⌝∧⇔→⌝4、下列表达式错误的有⑷⑴()P P Q P ∨∧⇔ ⑵()P P Q P ∧∨⇔⑶()P P Q P Q ∨⌝∧⇔∨ ⑷()P P Q P Q ∧⌝∨⇔∨5、下列表达式正确的有⑷⑴ P P Q ⇒∧ ⑵ P Q P ⇒∨ ⑶ ()Q P Q ⌝⇒⌝→⑷Q Q P ⌝⇒→⌝)(6、下列联接词运算不可交换的是(3)⑴∧ ⑵∨ (3)→ ⑷ ↔6、设D ：全总个体域，F （x ）：x 是花，M(x) ：x 是人，H(x,y)：x 喜欢y ，则命题“有的人喜欢所有的花”的逻辑符号化为⑷⑴(()(()(,))x M x y F y H x y ∀∧∃→ ⑵(()(()(,))x M x y F y H x y ∀∧∀→(3) (()(()(,))x M x y F y H x y ∃∧∃→ ⑷(()(()(,))x M x y F y H x y ∃∧∀→7、设L(x)：x 是演员，J(x)：x 是老师，A(x , y)：x 钦佩y ，命题“所有演员都钦佩某些老师”的逻辑符号化为⑵⑴)),()((y x A x L x →∀ ⑵))),()(()((y x A y J y x L x ∧∃→∀(3) )),()()((y x A y J x L y x ∧∧∃∀ ⑷)),()()((y x A y J x L y x →∧∃∀8、谓词公式)())()((x Q y yR x P x →∃∨∀中的 x 是⑶⑴自由变元 ⑵约束变元 ⑶既是自由变元又是约束变元 ⑷既不是自由变元又不是约束变元9、下列表达式错误的有⑴⑴(()())()()x A x B x xA x xB x ∀∨⇒∀∨∀ ⑵(()())()()x A x B x xA x xB x ∃∧⇒∃∧∃(3) (()())()()x A x B x xA x xB x ∀∧⇔∀∧∀ ⑷(()())()()x A x B x xA x xB x ∃∨⇔∃∨∃10、下列推导错在⑶①)(y x y x >∃∀ P②)(y z y >∃US ① ③)(z C z > ES ②④)(x x x >∀ UG ③⑴② ⑵③ ⑶④ ⑷无11、下列推理步骤错在⑶①(,)x yF x y ∀∃ P②),(y z yF ∃US ① ③),(c z FES ② ④),(c x xF ∀ UG ③⑤),(y x xF y ∀∃ EG ④⑴①→② ⑵②→③ ⑶③→④ ⑷④→⑤12、设个体域为{a,b}，则(),x yR x y ∀∃去掉量词后，可表示为⑷⑴()()()(),,,,R a a R a b R b a R b b ∧∧∧ ⑵()()()(),,,,R a a R a b R b a R b b ∨∨∨(3) ()()()()()()b b R a b R b a R a a R ,,,,∨∧∨ ⑷()()()()()()b b R a b R b a R a a R ,,,,∨∧∨ 提示：原式()()()()()()()(),,,,,,yR a y yR b y R a a R a b R b a R b b ⇔∃∧∃⇔∨∧∨二、填充题1、一个命题含有n 个原子命题，则对其所有可能赋值有2n 种。
《离散数学》期末复习
《离散数学》期末复习第一篇：《离散数学》期末复习《离散数学》期末复习内容：第一章~第七章题型：一、选择题（20%，每题2分）二．填空题（20%，每题2分）三、计算题（20%，每题5分）四、证明题（20%，每题5分）五、判断题（20%，每题2分）第1章数学语言与证明方法1.1 常用的数学符号1.计算常用的数学符号式子 1.2 集合及其表示法1.用列举法和描述法表示集合2.判断元素与集合的关系(属于和不属于)3.判断集合之间的包含与相等关系，空集(E)，全集(∅)4.计算集合的幂集5.求集合的运算：并、交、相对补、对称差、绝对补6.用文氏图表示集合的运算7.证明集合包含或相等方法一：根据定义, 通过逻辑等值演算证明方法二：利用已知集合等式或包含式, 通过集合演算证明1.3 证明方法概述1、用如下各式方法对命题进行证明。
π直接证明法：A→B为真π间接证明法：“A→B为真” ⇔“ ¬B→¬A为真” π归谬法(反证法)： A∧¬B→0为真π穷举法： A1→B, A2→B,…, Ak→B 均为真π构造证明法：在A为真的条件下, 构造出具有这种性质的客体B π空证明法：“A恒为假” ⇒“A→B为真” π平凡证明法：“B恒为真” ⇒“A→B为真” π数学归纳法：第2章命题逻辑2.1 命题逻辑基本概念1、判断句子是否为命题、将命题符号化、求命题的真值（0或1）。
命题的定义和联结词(¬, ∧, ∨, →, ↔)2、判断命题公式的类型赋值或解释.成真赋值,成假赋值；重言式(永真式)、矛盾式(永假式)、可满足式:。
2.2 命题逻辑等值演算1、用真值表判断两个命题公式是否等值2、用等值演算证明两个命题公式是否等值3、证明联结词集合是否为联结词完备集 2.3 范式1、求命题公式的析取范式与合取范式2、求命题公式的主析取范式与主合取范式（两种主范式的转换）3、应用主析取范式分析和解决实际问题 2.4 命题逻辑推理理论1、用直接法、附加前提、归谬法、归结证明法等推理规则证明推理有效第3章一阶逻辑3.1 一阶逻辑基本概念1、用谓词公式符号命题（正确使用量词）2、求谓词公式的真值、判断谓词公式的类型 3.2 一阶逻辑等值演算1、证明谓词公式的等值式2、求谓词公式的前束范式第4章关系4.1 关系的定义及其表示1、计算有序对、笛卡儿积2、计算给定关系的集合3、用关系图和关系矩阵表示关系 4.2 关系的运算1、计算关系的定义域、关系的值域2、计算关系的逆关系、复合关系和幂关系3、证明关系运算满足的式子 4.3 关系的性质1、判断关系是否为自反、反自反、对称、反对称、传递的2、判断关系运算与性质的关系3、计算关系自反闭包、对称闭包和传递闭包 4.4 等价关系与偏序关系1、判断关系是否为等价关系2、计算等价关系的等价类和商集3、计算集合的划分4、判断关系是否为偏序关系5、画出偏序集的哈期图6、求偏序集的最大元、最小元、极小元、极大元、上界、下界、上确界、下确界7、求偏序集的拓扑排序第5章函数1.判断关系是否为函数2.求函数的像和完全原像3.判断函数是否为满射、单射、双射4.构建集合之间的双射函数5.求复合函数6.判断函数的满射、单射、双射的性质与函数复合运算之间的关系7.判断函数的反函数是否存在，若存在求反函数第6章图1.指出无向图的阶数、边数、各顶点的度数、最大度、最小度2.指出有向图的阶数、边数、各顶点的出度和入度、最大出度、最大入度、最小出度最小入出度3.根据握手定理顶点数、边数等4.指出图的平行边、环、弧立点、悬挂顶点和悬挂边5.判断给定的度数列能否构成无向图6.判断图是否为简单图、完全图、正则图、圈图、轮图、方体图7.求给定图的补图、生成子图、导出子图8.判断两个图是否同构6.2 图的连通性1.求图中给定顶点通路、回路的距离2.计算无向图的连通度、点割集、割点、边割集、割边3.判断有向图的类型：强连通图、单向连通图、弱连通图 6.3 图的矩阵表示1.计算无向图的关联矩阵2.计算有向无环图的关联矩阵3.计算有向图的邻接矩阵4.计算有向图的可达矩阵5.计算图的给定长度的通路数、回路数6.4 几种特殊的图1、判断无向图是否为二部图、欧拉图、哈密顿图第7章树及其应用 7.1 无向树1.判断一个无向图是否为树2.计算无向树的树叶、树枝、顶点数、顶点度数之间的关系3.给定无向树的度数列，画出非同构的无向树4.求生成树对应的基本回路系统和基本割集系统5.求最小生成树 7.2 根树及其应用1.判断一个有向图是否为根树2.求根树的树根、树叶、内点、树高3.求最优树4.判断一个符号串集合是否为前缀码5.求最佳前缀码6.用三种方法遍历根树第二篇：离散数学期末复习试题及答案(二)第二章二元关系1.设A={1,2,3,4},A上二元关系R={(a,b)|a=b+2}，S={(x,y)|y=x+1 or y=x2} 求R⋅S,S⋅R,S⋅R⋅S,S2,S3,S⋅Rc。
离散数学期末考试复习资料
《离散数学》课程综合复习资料一、判断题1．R1，R2是集合A上的二元关系，若R1和R2都是反自反的，则R1R2也是反自反的。
答案：√2．对任意集合A，A。
答案：×3．设<G,*>是一个群，B是G的非空子集，如果B是一个有限集，则<B,*>必定是<G,*>的子群。
答案：×4．A、B、C为任意集合，已知A⋂B=A⋂C，必须有B=C。
答案：×5．对于任意一个集合A，空集。
答案：√6．设E为全集，对任意集合A，A。
答案：×7．设A、B为任意两个集合，A答案：×8．R是集合A上的二元关系，若R是自反的，则R c也是自反的。
答案：√9．对于任意一个集合A，空集。
答案：×图是平面图。
10．K3,3答案：×11．“你去图书馆吗？”是一个命题。
答案：×12．如果有限集合A有n个元素，则其幂集p(A)有2n个元素。
答案：×13．群中可以有零元。
14．集合A的一个划分确定A的元素间的一个等价关系。
答案：√15．含有幺元的半群为独异点。
答案：√二、基本题1．将下列命题符号化：（1）只要不下雨，他就骑自行车上班。
（2）他或者骑自行车上班，或者乘公共汽车上班。
（3）有些大学生运动员是国家选手。
答案：（1）（⌝P→ Q）（2）（Q ∇ R 或 (Q∧⌝R)∨(⌝Q∧R)）（3）（(∃x)(P(x)∧Q(x))）2．求命题公式P∧(P→Q)的主析取范式。
答案：原式⇔P∧(⌝P∨Q)⇔(P∧⌝P) ∨ (P∧Q)⇔T∨ (P∧Q)⇔P∧Q3．求⌝(P→Q)的主合取范式。
答案：原式⇔⌝(⌝P∨Q)⇔⌝(⌝P∨Q)⇔P∧⌝Q⇔(P∨(⌝Q ∧Q))∧(⌝Q∨(⌝P∧P))⇔(P∨⌝Q)∧(P∨Q)∧(⌝P∨⌝Q)∧(P∨⌝Q)⇔(P∨⌝Q)∧(P∨Q)∧(⌝P∨⌝Q)4．设A={3,4}，试构成集合P(A)⨯A。
离散数学复习要点
《离散数学》期末考试复习要点（长期有效）第一章命题逻辑1-1 ：命题、原子命题、复合命题、命题常量、命题变元1-2 ：联结词否定、和取、析取、条件、双条件1-1,1-2习题（1）（3）（5）（6）1-3：翻译例题3---例题61-3 习题（1）（5）(7)1-4: 真值表，等价公式例题1—例题61-4 习题（1）1-5 所有知识，表1-5.21-5 习题（1）（6）（7）1-7：合取范式、吸取范式、小项、大项及其性质、主析取范式及其简洁式、主合取范式及其简洁式、命题公式的成真赋值例题6---例题111-7习题（4）1-8：论证过程三种方法--真值表法、直接证法、间接证法例题1（p42）例题2—例题6 表1-8.3和表1—8.41-8 习题（1）（3）（4）（5）第二章谓词逻辑2-1 ：所有知识2-2：所有知识2-1,2-2习题（1）（2）2-3 例题1—例题42-3 习题（4）2-4 所有知识2-4 习题（2）（3）2-5 所有知识2-5 习题（1）（2）2-6 所有知识例题1，例题22-7 全称指定、全称推广、存在指定、存在推广。
例题1—例题32-7 习题（1）a）b）（2）a)（3）第三章集合与关系3-1 所有知识3-1 习题（4）（6）（7）（9）3-2 所有知识3-2 习题（3）（6）3-4 序偶、定理3-4.1例题13-4 习题（1）（2）（3）d）e）3-5 关系的定义，空关系，全域关系，恒等关系，关系矩阵，关系图。
例题1-例题63-5 习题（1）（2）（7）3-6 所有知识例题1—例题53-6 习题（1）3-7 复合关系，逆关系，例题1—例题43-7 习题（1）3-8 关系的闭包的定义，会求三个闭包。
例题1—例题33-8 习题（1）（2）3-9 集合的划分和覆盖的定义3-9 习题（1）3-10 等价关系的定义，等价类的概念。
商集的概念。
例题1—例题3。
3-10 习题（2）（3）3-11 相容关系的概念，相容类，最大相容类。
离散数学期末复习
离散数学期末复习一、选择题1、以下各选项错误的选项是A、∅⊆∅B、∅⊂∅C、∅∈{ ∅}D、∅⊆{∅ }2、命题公式 (p∧q) →p 是A、矛盾式B、重言式C、可满足式D、等值式3、如果是R是A上的偏序关系，R-1是R的逆关系，那么R∪R-1是A、等价关系B、偏序关系C、全序关系D、都不是4、以下句子中那个是假命题？A、是无理数.B、2 + 5 ＝8.C、x + 5 ＞ 3D、请不要讲话！5、以下各选项错误的选项是？A、∅⊆∅B、∅⊆{∅ }C、∅∈{ ∅}D、{∅ } ⊆∅6、命题公式 p→〔p∨q∨r〕是？A、重言式B、矛盾式C、可满足式D、等值式7、函数f : N→N, f(x)=x+5,函数f是A、单射B、满射C、双射D、都不是8、设D=<V,E>,那么V={a,b,c,d,e,f},R={<a,b> ,<b,c>,<a,d>,<d,e>,<f,e>},有向图D为A、强连通B、单向连通C、弱连通D、不连通的9、关系R1和R2具有反自反性，下面运算后，不能保持自反性的是A、R1⋃R2B、R1-1C、R1︒R2D、R1-R210、连通平面图G有4个结点，3个面，那么G有〔〕条边。
A、7B、6C、5D、4二、填空题1、将下面命题符号化。
设p:天冷，q:小王穿羽绒服。
只要天冷，小王就穿羽绒服.符号化为2、将下面命题符号化，设p:天冷，q:小王穿羽绒服。
因为天冷，所以小王穿羽绒服.符号化为3、将下面命题符号化，设p:天冷，q:小王穿羽绒服。
假设小王不穿羽绒服，那么天不冷.符号化为4、将下面命题符号化，设p:天冷，q:小王穿羽绒服。
只有天冷，小王才穿羽绒服.符号化为5、将下面命题符号化，设p:天冷，q:小王穿羽绒服。
除非天冷，小王才穿羽绒服.符号化为6、将下面命题符号化，设p:天冷，q:小王穿羽绒服。
除非小王穿羽绒服，否那么天不冷.符号化为7、将下面命题符号化，设p:天冷，q:小王穿羽绒服。
离散数学期末复习
离散数学期末复习离散数学期末复习第⼀部分数理逻辑⼀、知识体系包括命题逻辑（第⼀章～第三章）和谓词逻辑（第四章、第五章），主要内容如下：(⼀) 命题逻辑1．命题、命题联结词、命题如何符号化2．命题变元、命题公式、命题公式的真值指派3．永真公式、永假公式和可满⾜公式判别⽅法：(1)真值表⽅法(2)等值演算⽅法A?）的含义及其判别4．两命题公式等值（B判别⽅法：A?是否永真(1)⽤真值表判别B(2)命题的等值演算A?）的含义及其判别5．公式A蕴含公式B（B判别⽅法：A→是否永真(1)⽤真值表判别BA→是否等值于1(2)⽤“等值演算”的⽅法判B(3)假设前件A为真，证明后件B为真(4)假设后件B为假，证明前件A为假6．范式的求取7．推理的形式证明⽅法（P规则、T规则、CP规则、基本等值式、基本蕴含式）(⼆) 第⼆章谓词逻辑1．基本述语个体、谓词、量词；命题函数，个体域，全总个体域，特性谓词。
2．谓词公式的有关概念谓词公式；量词的辖域，约束变元，⾃由变元；谓词公式，谓词公式的指派；永真公式，永假公式，可满⾜公式。
3．谓词公式间的关系谓词公式间的等值关系（A?B）；谓词公式间的蕴含关系（A?B）；⼀些基本的等值式；⼀些基本的蕴含式。
4．谓词演算的推理规则及⽅法在谓词演算中，命题演算的推理理论仍然成⽴，另外还⽤到与量词有关的推理规则。
全称特定化规则（US）；存在特定化规则（ES）；全称⼀般化规则（UG）；存在⼀般化规则（EG）。
主要内容的知识结构如下：⼆、模拟题 1．⽤P 表⽰：天下⼤⾬；Q 表⽰：他乘公共汽车上班。
将“如果天下⼤⾬，他就乘公共汽车上班。
”符号化正确的是（）。
A ．P →QB ．Q →PC ．P ∧QD ．P ∨Q2．下列语句中，不是命题的有（）。
A ．5能被2整除。
B ．太阳系以外的星球上有⽣物。
C ．现在开会吗？D ．⼩李在宿舍⾥。
3．下列语句为命题的是（）。
Ａ．暮春三⽉，江南草长。
Ｂ．这是多么可爱的风景啊！Ｃ．⼤家想做什么，就做什么，⾏吗？Ｄ．请勿践踏草坪！4．设C (x ): x 是国家级运动员，G (x ): x 是健壮的，则命题“没有⼀个国家级运动员不是健壮的”可符号化为 ( )A ．))()((x G x C x ?∧??B ．))()((x G xC x ?→??C ．))()((x G x C x ?→??D ．))()((x G x C x ?∧??5．求命题公式)()(Q P Q P ?∨?∧∧的真值表6．证明下列各式：1）)()()),()((a Q x xp a Q x p x ∧??2）Q R P Q R Q P →∨?→∧→)()()(7．⽤形式演绎法证明：1）Q S ?→是Q P ?∨?，R P →?，S R ?→的有效结论。
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离散数学期末复习一、选择题1、下列各选项错误的是A、B、C、{ }D、 { }2、命题公式 (p∧q) →p 是A、矛盾式B、重言式C、可满足式D、等值式3、如果是R是A上的偏序关系，R-1是R的逆关系，则R∪R-1是A、等价关系B、偏序关系C、全序关系D、都不是4、下列句子中那个是假命题？A、是无理数.B、2 + 5 ＝8.C、x + 5 ＞ 3D、请不要讲话！5、下列各选项错误的是？A、B、 { }C、{ }D、{ }6、命题公式 p→（p q r）是？A、重言式B、矛盾式C、可满足式D、等值式7、函数f : N→N, f(x)=x+5,函数f是A、单射B、满射C、双射D、都不是8、设D=<V,E>,则V={a,b,c,d,e,f},R={<a,b> ,<b,c>,<a,d>,<d,e>,<f,e>},有向图D为A、强连通B、单向连通C、弱连通D 、不连通的9、关系R 1和R 2具有反自反性，下面运算后，不能保持自反性的是A 、R 1 R 2B 、R 1-1C 、R 1 R 2D 、R 1 -R 210、连通平面图G 有4个结点，3个面，则G 有（ ）条边。
A 、7B 、6C 、5D 、4二、填空题1、将下面命题符号化。
设 p :天冷，q :小王穿羽绒服。
只要天冷，小王就穿羽绒服.符号化为2、将下面命题符号化，设 p :天冷，q :小王穿羽绒服。
因为天冷，所以小王穿羽绒服. 符号化为3、将下面命题符号化，设 p :天冷，q :小王穿羽绒服。
若小王不穿羽绒服，则天不冷.符号化为4、将下面命题符号化，设 p :天冷，q :小王穿羽绒服。
只有天冷，小王才穿羽绒服.符号化为5、将下面命题符号化，设p:天冷，q:小王穿羽绒服。
除非天冷，小王才穿羽绒服.符号化为6、将下面命题符号化，设p:天冷，q:小王穿羽绒服。
除非小王穿羽绒服，否则天不冷.符号化为7、将下面命题符号化，设p:天冷，q:小王穿羽绒服。
小王穿羽绒服仅当天冷的时候.符号化为8、将下面命题符号化，设p:天冷，q:小王穿羽绒服。
如果天不冷，则小王不穿羽绒服.符号化为9、设p:王蓉努力学习，q：王蓉取得好成绩。
则（1）命题“只要王蓉努力学习，她就会取得好成绩。
”符号化为。
（2）命题“王蓉取得好成绩，如果她努力学习。
”符号化为。
（3）命题“只有王蓉努力学习，她才能取得好成绩。
”符号化为。
（4）命题“除非王蓉努力学习，否则她不能取得好成绩。
”符号化为。
（5）命题“假如王蓉不努力学习，她就不能取得好成绩。
”符号化为。
（6）命题“王蓉取得好成绩，仅当她努力学习了。
”符号化为。
10、公式∀xF(x)→∃xF(x)的类型为11、公式∀xF(x)→(∀x∃yG(x,y)→∀xF(x))的类型为12、公式∀xF(x)→(∀xF(x)∨∃yG(y))的类型为13、公式(F(x,y)→R(x,y))∧R(x,y)的类型14、公式∀x∃yF(x,y)→∃x∀yF(x,y)的类型为15、公式∃xF(x,y)的类型16、令F(x)：x是人，G(x)：x犯错误.则命题“没有不犯错误的人”符号化为17、令F(x)：x是人，G(x)：爱看电影.则命题“不是所有的人都爱看电影”符号化为18、公式x(M(x)F(x))的前束范式为：19、公式xF(x)xG(x)的前束范式为：20、公式xF(x)xG(x)的前束范式为21、公式xF(x)y(G(x,y)H(y))的前束范式为22、公式x(F(x,y)y(G(x,y)H(x,z)))的前束范式为23、集合A=Ø,B={1,{a,b}},C={Ø,{Ø}},D={2,2,2,3};则幂集P(A)= ;P(B)= ;P(C)= ;P(D)= ;24、设A={1,2,3}, B={a,b,c}则A B= ；B A = 。
25、设集合A={}, 则P(A)A= 。
26、设|A|=n, 则|A×A|= , A×A的子集有个. 集合A上有个不同的二元关系.27、设A={1,2}, 则E A= ；I A= 。
28、集合A={2，3，4，5，6，10，12，24}，R是A上的整除关系，则R的极大元是，极小元是。
29、设A={1，2，3}上的关系 R={<1，1>，<1，2>，<1，3>，<3，3>} ，则关系R具备性质。
30、设集合A={1,2,3},关系R={<1,2>, < 2,1>, <2,3>，<3,3>}, 则自反闭包r(R)= , 对称闭包s(R)= 。
31、已知图G有10条边, 4个3度顶点, 其余顶点的度数均小于等于2, 问G至少有个顶点。
32、n阶无向完全图K n，边数m= 。
33、n阶有向完全图K n，边数m= 。
34、设无向图 G 有 10 条边, 3 度与 4 度顶点各 2 个, 其余顶点的度数均小于3, 则G 中至少有个顶点，在最少顶点的情况下, 图G 的度数列，⊿(G)= , (G)=.35、设无向图中有6 条边, 3 度与 5 度顶点各一个, 其余的都是 2 度顶点, 则该图有个顶点。
36、已知n阶连通平面图G有r个面，则G的边数m= 。
37、设A={1，2，3}上的关系 R={<1，2>，<2，3>，<3，1> } ，则R R= 。
38、设F(x)：x是兔子，M(x)：y是乌龟，H(x,y): x比y跑得快,则命题“兔子比乌龟跑得快”符号为三、计算题1、给出公式A= (q p) q p的真值表。
2、给出公式A= (q p) q p的真值表。
3、给出公式C= (p q) r的真值表4、用等值演算法判断公式q(p q)的类型5、求公式A=(p q)r的析取范式与合取范式。
6、求公式B=(p q)r的析取范式与合取范式。
7、求公式A=(p q)r的主析取范式与主合取范式.8、在一阶逻辑中将下面命题符号化(1) 人都爱美;(2) 有人用左手写字分别取(a) D为人类集合, (b) D为全总个体域 .9、在一阶逻辑中将下面命题符号化(1) 正数都大于负数10、在一阶逻辑中将下面命题符号化(1) 有的无理数大于有的有理数11、试画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图12、画出所有K4的所有非同构的生成子图。
13、给定下面的图(前两个为无向图, 后两个为有向图)的集合表示, 画出它们的图形表示G1 = V1, E1, 其中, V1 = {v1, v2, v3, v4, v5}, E1 = {(v1, v2), (v2, v3), (v3, v4),(v3, v3), (v4, v5)};G2 = V2, E2, 其中 V2 = V1, E2 ={(v1, v2), (v2, v3), (v3, v4), (v4, v5), (v5, v1)};D1 = V3, E3, 其中 V3 = V1, E3 = {v1, v2, v2, v3,v3, v2, v4, v5, v5, v1}; D2 = V4, E4, 其中 V4 = V1, E4 = {v1, v2, v2, v5,v5, v2, v3, v4, v4, v3}.14、先将图中各图的顶点标定顺序, 然后写出各图的集合表示.15、写出图中各图的度数列, 对有向图还要写出出度列和入度列.16、画一个简单无向图，使它是欧拉图，但不是哈密顿图。
17、已知集合A={a, b, c, d, e, f}和关系R={<b,d>,<b,e>,<b,f>,<c,d>,<c,e>,<c,f>,<d,f>,<e,f> }∪I，请画出偏序集<A,R>的哈斯图。
A18、设A={a, b, c, d}, R={<a, a>,<a, b>,<a, c>,<b, a>,<d, b>},求R的关系矩阵 MR 和关系图 GR。
19、有向图D如图所示，写出D的邻接矩阵和可达矩阵20、设A=Z+×Z+，在A上定义二元关系R如下：<<x,y>,<u,v>>R 当且仅当xv=yu，证明R是一个等价关系。
21、求公式（P∨Q）→R的主析取范式。
22、求公式x(F(x)∧yG(x,y,z))xH(x,y,z)的前束范式。
23、已知偏序集<A,R>的哈斯图如下图所示, 试求出集合A和关系R的表达式.24、设A={1,2,3,4}, 定义A上的关和关R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}。
求R的关系矩阵MR系图G？R（此文档部分内容来源于网络，如有侵权请告知删除，文档可自行编辑修改内容，供参考，感谢您的配合和支持）。