高考数学培优 第44讲以圆锥曲线为背景的取值范围问题专题

第四十四讲 以圆锥曲线为背景的取值范围问题专题

一、选择题 1．已知椭圆

x 2a

2+

y 2b 2

=1(a >b >0)，与双曲线

x 2

m

2−

y 2n 2

=1(m >0,n >0)具有相同焦点

F 1、F 2，且在第一象限交于点P ，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1、e 2，若∠F 1PF 2＝π

3，

则e 12+e 22的最小值是

A ．

2+√32

B ． 2＋√3

C ．

1+2√32 D ． 2+√3

4

【答案】A 【解析】

根据题意，可知|PF 1|+|PF 2|=2a,|PF 1|−|PF 2|=2m ， 解得|PF 1|=a +m,|PF 2|=a −m ，

根据余弦定理，可知(2c)2=(a +m)2+(a −m)2−2(a +m)(a −m)cos60∘， 整理得c 2=

a 2+3m 2

4，

所以e 12+e 22=c 2

a 2+c 2

m 2=a 2+3m 24a 2

+

a 2+3m 24m 2

=1+14(

3m 2

a 2

+a 2

m 2)≥1+

√3

2

=

2+√32

，

故选A.

2．已知点E 是抛物线C:y 2=2px(p >0)的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线C 的焦点，点P 在抛物线C 上.在ΔEFP 中，若sin∠EFP =μ⋅sin∠FEP ，则μ的最大值为（ ） A ． √2

2 B ． √3

2 C ． √2 D ． √

3 【答案】C 【解析】

由题意得，准线l:x =−p

2

，E (−p

2

,0)，F (p

2

,0)，过P 作PH ⊥l ，垂足为H ，则由抛物线

定义可知PH =PF ，于是μ=sin∠EFP sin∠FEP =PE PF =PE PH =1cos∠EPH =1

cos∠PEF ，∵y =cosx 在(0,π)上为减函数，∴当∠PEF 取到最大值时（此时直线PE 与抛物线相切），计算可得直线PE 的斜率为1，从而∠PEF =45°，∴μmax =

√2

2

=√2,故选C.

3．过y 2=4x 上任一点作(x −3)2+y 2=1的切线切于P,Q 两点，则|PQ |的最小值为（ ） A ．

√142 B ． 1 C ． √7

3 D ． 4√23

【答案】A 【解析】

根据题意，设M (m,n )为抛物线y 2=4x 上任一点，则n 2=4m ， 圆(x −3)2+y 2=1的圆心C 为(3,0), 设|MC |=t ，则PM =√t 2−1， 又由S ΔPMC =1

2

×|PM |×|CP |=1

2

×

|PQ |2

×|MC |,

变形可得|PQ |=2√1−1

t 2， 所以当t 最小时，|PQ |最小，

又由|MC |2=(m −3)2+(n −0)2=m 2−2m +9=(m −1)2+8≥8， 则当M 的坐标为(1,4)或(1,−4)时，|MC |=t 取得的最小值√8， 此时|PQ |最小，且|PQ |的最小值为2×√1−1

8=

√14

2

，故选A.

2

2

C 上的任意一点，且P 在第一象限，O 为坐标原点，F (3,0)为椭圆C 的右焦点，则 OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF ⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围为（ ） A ． (-16,-10) B ． (-10,-394

] C ． (-16,-

394

] D ． (-∞,-

394

]

【答案】C 【解析】

因为椭圆C 的长轴长、短轴长和焦距成等差数列 所以2a +2c =4b ，即a +c =2b F (3,0)为椭圆C 的右焦点，所以c=3 在椭圆中，a 2=c 2+b 2

所以{a 2=c 2+b 2

a +c =2

b

c =3 ，解方程组得{a =5b =4c =3

所以椭圆方程为

x 225

+

y 216

=1

设P(m,n) (0

则m 2

25+n 2

16=1，则n 2=16−16

25m 2 OP

⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF ⃑⃑⃑⃑⃑ =(m,n )(3−m,−n ) =3m −m 2−n 2

=3m −m 2−(16−1625

m 2

) =−

925

m 2

+3m −16 =−925(m −256)2−394

因为0

256

时，OP

⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF ⃑⃑⃑⃑⃑ 取得最大值为−394

当m 趋近于0时，OP

⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF ⃑⃑⃑⃑⃑ 的值趋近于-16 所以OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF ⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围为(-16,-394] 所以选C 5．P 是双曲线

x 29

−

y 216

=1的右支上一点，M 、N 分别是圆(x +5)2+y 2=1和(x −5)2+y 2=4

上的点，则|PM|−|PN|的最大值为（ ） A ． 6 B ． 7 C ． 8 D ． 9 【答案】D 【解析】