数理统计统计量及其分布文稿演示

xi
2
nx 2
E(xi2 ) nE(x2 )
[E(xi )2 Var(xi )]n[E(x)2 Var(x)]
n2 n 2 n2 n 2
n
(n 1) 2
Es2n1 1E xix2 n1 1(n 1 )22
5.3.4 样本矩及其函数
定义5.3.4 设x1,x2,…,xn是样本,则统计量
2、 1 是个相对数,刻画了数据分布的偏斜方向和程度.
1 0, 说明数据是对称的.
1 0,
说明数据中有几个较大的数，反映总体分布是正偏的或右偏的.
1 0,
说明数据中有几个较小的数，反映总体分布是负偏的或左偏的.
定义5.3.6 设x1,x2,…,xn是样本,则统计量
2
b4 b2 2
3
称为样本峰度.
练习:例5.3.4
定理5.3.4 设总体X具有二阶矩,即
E (x),V(a x) r2,
x1,x2,…,xn为从总体得到的样本, 则:
证明:
E(x),V(ax)r2,E(s2)2
n
E(x)n 1Ei n1xinn
Va (x)rn 12Va i n1 rxinn 22n2
E
xi
x2
E
数理统计统计量及其分布文稿演示
5.3.1 统计量及其分布
• 定义5.3.1 • 统计量:设x1,x2,…,xn为取自某总体的样本,若样本
函数T=T(x1,x2,…,xn)中不含有任何未知参数,则称 T为统计量. • 抽样分布: 统计量的分布成为抽样分布.
例： X~N(,2), ,2是未知参数
X
• 证明: 为任意给定常数c
2
2
xi
c
xi
xxc
2
2
xi x nxi c 2xi xxi c
2
2
2
xi x nxi c xi x
• 定理5.3.3 设x1,x2,…,xn是来自某个总体的样本，x为
样本均值
1) 若总体分布为N(,2)，则 x~N(,n2)
2) 若总体分布未知或者不是正态分布,但
1 n
n i1
Xi ,
S2 1 n n1i1
2
Xi X
1 n
U2 i1
Xi 2
Fx1
G x(1)
n
H xi2 i 1
• 注:统计量不依赖于未知参数,但是它的分布一般 是依赖与未知参数的.
5.3.2 样本均值及其抽样分布
• 定义5.3.2 设x1,x2,…,xn为取自某总体的样本,其算 术平均值称为样本均值x，一般用 表示,即
xx1... xn
n
1 n ni1
xi
在分组x样本x1场f1 合.n,.样.x本nf均n值的近n 似i 公k1式fi为
其中k为组数,xi为第i组的组中值, fi为第组的频数.
• 例5.3.1 某单位收集到20名青年人的某月的娱乐支 出费用数据:
79 84 84 88 92 93 94 97 98 99 100 101 101 102
E (x),V(a x) r 2
则n较大时
x~ N(,2)
n
• 证明: • 1) 证明见p210,习题13.（提示：用特征函数的性
质证） • 2)由中心极限定理,
n(x)/ L N (0,1)
x~N(,n2)
• 例5.3.3 求样本容量为30,总体分布如下的样本均值 的渐进分布:
• 1)总体分布为均匀分布U(1,5);
s*2 1 n
n i1
xi x 2
称为样本方差.
s* s*2
称为样本标准差.
在 n不大时常用
s2 1 n
n1i1
xi x 2
也称为样本方差(也称无偏方差)
s s2
.
也称为样本标准差.
说明：
n
n1 称为偏差平方和 xi x 2 的自由度
i 1
自由度的含义是：
n个偏差 x1x,x2x, ,xnx中只有n1
5.3.5 次序统计量 及其分布
一、次序统计量的定义及性质
定义 5.3.7 设x1,x2,...x.n是取自总 X的体样,本 x(i)称为该
样本的i个 第次序统.它 计的 量取值是样本 由观 小测 到 大排列后得i到 个的 观第 测 . 值
ak
1 n
n i1
xi k
称为样本 k阶原点矩
bk
1 n
n i1
(xi
x)k
称为样本k阶中心矩
请回答：x , s *2 , s 2 是样本矩吗？
定义5.3.5 设x1,x2,…,xn是样本,则统计量
1 b3/b23/2 称为样本偏度.
说明: 1 b3/b23/2 称为样本偏度.
1、 1 反映了总体分布密度曲线的对称性信息.
• 2)总体分布密度函数为(倒三角分布)
(3x)/4 ,1x3 p(x)(x3)/4 3x5
0, others
• 3)总体分布为指数分布Exp(1)；
• 解: 1) 均匀分布U(1,5)的均值和方差分别为3和4/3,所以样 本均值的渐进分布为
x~ N(3,4/3)N(3,0.221) 30
2) 容易算出该分布均值和方差分别为3和2,所以样本 均值的渐进分布为
x~ N(3, 2)N(3,0.22 6) 30
3) 指数分布Exp(1)的均值和方差都为1, 所以样本均值的渐进分布为
x~ N(1, 1)N(1,0.12 8) 30
5.3.3 样本方差和 样本标准差
定义5.3.3 设x1,x2,…,xn是来自某个总体的样本，则它
关于样本均值x 的平均偏差平方和:
n
(xi x) 0
i1
定理5.3.2 数据观察值与均值的偏差平方和最小,即在形如
x i c 2 的函数中, x i x 2 最小,其中c为任意
给定常数.
• 定理5.3.2 数据观察值与均值的偏差平方和最小,
即在形如
的函数中,
xi c 2 xi x 2
最小,其中c为任意给定常数.
个数据可以自由变动,而第 n个则不能自由取值,因为 n xi x 0 i1
样本偏差平方和的 不三 同种 表达式：
2
n xi x2
i1
xi2
xi n
xi2 nx2
• 分组样本场合，样本方差的近似计算公式为
s2n 1 1IK 1fi(xix)2n 1 1 i k1fixi2 n x2
102 108 110 113 118 125 则该月这20名青年的平均娱乐支出为
x17 98 4 12 5 9.4 9
10
• 将这20个数据分组可以得到如下频数频率分布: 组序分组区间组中值频数频率
x18 2 39 2 5 12 22 100
20
定理5.3.1 若把样本中的数据与样本均值之差称为偏差,则 样本所有偏差之和为0,即