小学数学培优：数论问题之进位制与取整符号

合集下载

小学数学点知识归纳整数与运算法则

小学数学点知识归纳整数与运算法则整数是数学中的一个重要概念，它包括正整数、负整数和零。

在数学中，整数与运算法则是小学数学的基础内容之一。

本文将对小学数学中与整数与运算法则相关的知识进行归纳总结，旨在帮助小学生更好地理解和掌握这一概念。

一、整数的定义整数包括正整数、负整数和零，用符号表示为Z。

正整数用"+”表示，负整数用"-"表示，零用"0"表示。

例如，1为正整数、-1为负整数、0为零。

二、整数的比较1.整数的绝对值：绝对值是指一个数无论正负，都表示为正数，用符号"|"表示。

例如，|4|=4，|-4|=4。

2.整数的大小比较：对于两个整数a和b，可以通过比较它们的差值来确定大小关系。

若a-b>0，表示a>b；若a-b<0，表示a<b。

三、整数的运算法则1.整数的加法：整数相加，符号相同则求绝对值相加，符号不同则求绝对值相减，结果的符号与绝对值相同。

例如，2+3=5，-2+3=1，-2+(-3)=-5。

2.整数的减法：整数相减，可看作是加上相反数。

例如，2-3=2+(-3)=-1，-2-3=-5。

3.整数的乘法：整数相乘，符号相同则积为正，符号不同则积为负。

例如，2×3=6，-2×3=-6，-2×(-3)=6。

4.整数的除法：两个整数相除，一定是有理数。

例如，3÷2=1.5。

四、整数的运算性质1.整数的加法性质：整数相加满足交换律和结合律，即对于任意整数a、b和c，有a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)。

2.整数的乘法性质：整数相乘满足交换律和结合律，即对于任意整数a、b和c，有a×b=b×a，(a×b)×c=a×(b×c)。

3.整数的分配律：对于任意整数a、b和c，有a×(b+c)=a×b+a×c。

六年级下册数学讲义-思维拓展训练：第2讲进位制与取整符号-全国通用

2进位制与取整符号有趣的运算方式年龄表1 年龄表2 年龄表3年龄表4 年龄表5 年龄表6135********171921232527293133353739414345474951535557596163656769717375777981838587899193959799101103105107109111113115117119121123125127236710111415181922232627303134353839424346475051545558596263666770717475787982838687909194959899102103106107110111114115118119122123126127456712131415202122232829303136373839444546475253545560616263686970717677787984858687929394951001011021031081091101111161171181191241251261278910111213141524252627282930314041424344454647565758596061626372737475767778798889909192939495104105106107108109110111120121122123124125126127161718192021222324252627282930314849505152535455565758596061626380818283848586878889909192939495112113114115116117118119120121122123124125126127323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626396979899100101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120121122123124125126127第一部分进位制有这样一个笑话：请问“1 + 1”在什么样的情况下等于 10，答：“在算错的情况下等于 10 ！”笑话毕竟是笑话，现实生活中一般也不会出现把1 + 1算错的情况．不过学习完今天的知识，同学们就知道，不用算错，1 + 1也是可以等于 10 ！说起来很奇怪，但在二进制中就是这样的．说到这里，同学们可能会有疑问，什么是二进制呢？那还得从进位制说起．一、什么是进位制所谓“进位制”就是指进位的法则．在我们已经学过的加法运算中就有一条进位法则——逢十进一．由于它规定逢十进一，所以这一进位法又称“十进制”．生活中最常用的就是十进制，例如 10 分钱就是 1 角，10 角钱就是 1 元；10 毫米等于 1 厘米，10 厘米等于 1 分米，10 分米等于 1 米．当然，生活中也并不总是“逢十进一”，比如时间就是六十进制的：60 秒等于 1 分钟，60 分钟等于 1 小时．再比如西方国家常用的单位“打”，所谓一“打”就是指 12 个，这就是一种十二进制．我国古代重量单位“斤”和“两”就是十六进制的，常说的“半斤八两”就是指半斤和八两相当，所以一斤就是 16 两⋯⋯像这样的例子有很多，大家不妨自己想想，还有没有别的进位制的例子．二、怎么表示进位制这么多进位制，究竟怎么通过写法把它们区分开来呢？一般的，如没有特殊说明，都默认为十进制．如果要表示其他进制，就必须采用括号加脚标的形式．例如五进制中8我爸爸的年龄在表１、４、６中出现，你说他今年几岁了？这还不容易，相应表格的第一个数加起来， 1+8+32=41 岁．这表格里面怎么没有我的年龄啊……25 107 的 1234，我们就写成(1234)5 ，二进制的 101 就写成(101) ．在 n 进制中，恰好会用到 n 种数字：从 0 一直到 n - 1．这里请大家注意以下两点：（1）n 进制中，不可能出现数字 n 以及比 n 更大的数：如五进制中不可能出现数字 5、6、7、8、9 等；反过来，如果一个数中出现了数字 5 或大于 5 的数字，这个数就一定不会是五进制数，如 125，733 都不可能是五进制数；（2）n 进制中，出现的数字可能会超出 0 到 9 这十种数字，比如十六进制，必须逢 16 才能进 1，所以从 0 开始数到 9 之后不能进位，必须仍然用一个字符来表示．数学上约定在十六进制中，用字母 A 、B 、C 、D 、E 、F 来表示等于 10 进制中的 10、11、12、13、14、15．在 n 进制中，n 也称为该进位制的“基”．三、n 进位制化十进制十进制：2101 = 2 ⨯103 + 1⨯102 + 0 ⨯10 + 1 ；三进制：(2101) 四进制：(2101) 五进制：(2101) = 2 ⨯ 33 + 1⨯ 32 + 0 ⨯ 31 + 1 ； = 2 ⨯ 43 + 1⨯ 42 + 0 ⨯ 41 + 1 ； = 2 ⨯ 53 + 1⨯ 52 + 0 ⨯ 51 + 1 ； ⋯⋯分析（1）其它进制转化成十进制，只要注意每一数位的大小即可．（2）把十进制的数转化为其他进制，一般采用的是短除求余法，就是把十进制数不断地除以基，保留余数，直到商为 0 为止，然后将余数倒序写出即可．1. 不同进位制间的互换：（1） (10101) = ( ) ；(2112) = ( ) ；(97) = ( ) = ( ) 7 ；（2） (315) = () ；(315) = ( ) ；934 5（1）请将下面的数转化为十进制数：(2011) ， (7C 1) ； 3 16（2）请将十进制数 101 转化为二进制数，641 转化为三进制，1949 转化为十六进制数．练习2 6 7 610 10 2（3）(100000) =( )4= ( )8= ( )16．在进位制的计算中，同学们一定牢记，同进制间才能进行计算，不同进制也一定转化成同进制之后才能计算，这就要求同学们能熟练掌握不同进制之间的转化．分析这本书所有的页码只含有数字0 到5，而且5 后面紧跟着的就是10，发生进位了！15 的后面紧跟的是20，也进位了！那这本书的页码究竟是以几进制编号的呢？2. 卡莉娅一天在看一本魔法书的时候，发现这本书的页码不仅包含数字0~9，还有字母A、B、C、D、E、F．即从第1 页开始页码分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9，A，B，⋯．那么这本书的第100 页，页码应该是多少？分析怎样把题目中的两个数统一在一个进位制下，是十进制还是二进制？某出版社在印刷一本数学科普书的时候，发现他们印刷的页码每一页都只含数字0 ～5，即从第一页开始这本书的页码依次为1，2，3，4，5，10，11，12，13，14，15，20，⋯．那么这本书的第365 页标号是多少？2练习自然数x =abc( )10化为二进制后是一个7 位数( 1abcabc) 2，那么x 是多少？3. 如果(51)是(24)的2 倍，那么(333)在十进制表示的数是多少？k k k第二部分取整与取小符号下面我们来学习两个新运算符号：取整[]和取小{}．取整符号[x]：表示不超过x 的最大整数；取小符号{x}：表示x 的小数部分．例如注意：[x]永远是一个整数，而{x}永远是一个小于1 的数．并且，[x]+{x}=x 对任意数都成立．想一想：[x]+[y]一定等于[x +y]吗？为什么？分析问题的关键是将取整符号和取小符号都去掉，容易知道[π]的值为3，但是如何来表示{π}呢？11练习计算（结果用π表示）：（1）{{π}+π}+{[π]+π}+⎡⎣{π}+π⎤⎦+⎣⎡[π]+π⎦⎤；（2）[10 - 2π]+[π]⨯{π}．练习分析看到这道题，大家会想，要是没有取整符号就好了，剩下的就是一个等差数列，我们可以用配对的想法来求和．而现在取整符号确实存在，有了取整符号之后，各项就不构成等差数列了，那我们要怎么办呢？配对的想法在这里还用得上吗？一、进位制1. 进位制的含义及其表示方法．2. 十进制与其他进制之间的互化．二、取整与取小符号1. 取整与取小符号的含义及简单计算．2. 体会等式x =[x]+{x}的含义，利用它将任意数分拆成整数、小数两部分进行分析．练习51. 按要求实现不同进位制的换算：（1） (251) = ( ) ；（2） (666) = ( ) 10 ；（3） (100) = ( ) ；（4） (3030) = () 8 ．2. 自然数A = (ab )，B = (ba )，如果 A 与 B 所表示的十进制数相差是 12，求 a + b ．553. 如果(424) 是(123) 的 3 倍，那么(111) 化成十进制是多少？kkk作业7 10 4 3 4。

五年级奥数春季实验班第4讲数论基础之进位制

盘。
解：(11111)10=(10101101100111)2，
相当于在右盘上已经有了 1 克、2 克、4 克、32 克、64 克、256 克、512 克、2048 克、8192 克的重量；
从低位看起，把 1 克、2 克的砝码放在左盘，把 4 克、8 克的砝码放在右盘，把 16 克的砝码放在左盘；
第四讲数论基础之进位制
模块 1、十进制和 k 进制的相互转化以及 k 进制下的直接运算
例 1．（1）在二进制下进行加法：(101010)2+(1010010)2=(
)2；
（2）在七进制下进行加法：(1203)7+(64251)7=(
)7；
（3）在九进制下进行加法：(178)9+(8803)9=(
)9；
例 3．在 6 进制中有三位数 abc ，化为 9 进制为 cba ，求这个三位数在十进制中为
。
解：( abc )6=(a×62+b×6+c)10， ( cba )9=(c×92+b×9+a)10，
所以 36a+6b+c=81c+9b+a，得 35a−3b−80c=0，其中 a、c≠0，a、b、c 都是小于 6 的自然数。其中 35a 与 80c 都是 5 的倍数，所以 3b 也是 5 的倍数，若 b=0，则有 7a=16c，矛盾；所以 b=5，得 7a=3+16c，得 c=2，a=5，所以在六进制中是 552，在九进制中是 255，在十进制中是 5×62+5×6+2=212。
解：（1）(101010)2+(1010010)2=( 1111100 )2；
101010 1010010

小升初奥数数论进位制知识点

小升初奥数数论进位制知识点经验是数学的基础，问题是数学的心脏，思考是数学的核心，发展是数学的目标，思想方法是数学的灵魂。

数学思想方法是数学知识的精髓，是分析、解决数学问题的基本原则，也是数学素养的重要内涵，它是培养学生良好思维品质的催化剂。

以下是无忧考网整理的相关资料，希望对您有所帮助。

【篇一】一、什么是进位制？例：(1)平时的计算，是满十进一的，我们称十进制(2)计算机里面，是满二进一的，我们称二进制(3)一年有十二个月，每过十二个月就叫一年，是满十二进一的。

我们称是十二进制(4)一天有二十四个小时，每过二十四个小时就叫一天。

即满二十四进一。

称二十四进制我们在不同的计数或运算过程中，可以使用不同的进位制。

定义：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统。

即“满几进一”就是几进制。

几进制的基数就是几。

二、进位制的基数进位制的基数表示这个进位制所使用的数字的个数。

例：十进制：基数为10;表示十进制是使用0.1.2.…9。

十个数字。

二进制：基数为2;表示二进制是使用0和1。

两个数字七进制：基数为7;表示七进制是使用0.1.2.…6。

七个数字。

基数都是大于1的整数。

不同的进位制的基数是不同的。

注意：在计数时的数字必须小于基数。

【篇二】二进制及其应用十进制：用0～9十个数字表示，逢10进1;不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的2表示20，百位上的2表示200。

所以234=200+30+4=2×102+3×10+4。

=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+……+A3×102+A2×101+A1×100注意：N0=1;N1=N(其中N是任意自然数)二进制：用0～1两个数字表示，逢2进1;不同数位上的数字表示不同的含义。

六年级数学思维训练：进位制与取整符号(六年级)竞赛测试.doc

六年级数学思维训练：进位制与取整符号（六年级）竞赛测试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________一、xx 题（每空xx 分，共xx 分）【题文】将下面的数转化为十进制的数：（1111）2，（1010010）2，（4301）5，（B08）16．【答案】15；82；576；2824；【解析】试题分析：根据二进制、五进制、十六进数制转化成十进制数的转化方法解答即可．解：1111（2）=1+1×21+1×22+1×23=15； 1010010（2）=1×2+1×24+1×26=82；（4301）5=1×50+0×51+3×52+4×53=576；（B08）16=8×160+0×161+11×162=2824．点评：此题主要考查了十进制与二进制、五进制、十六进制的相互转化，解答此题的关键是要熟练地掌握其转化方法．【题文】请将十进制数90转化成二进制、七进制和十六进制的数．【答案】1011010（2）；156（7）；5A （16）【解析】试题分析：根据把十进制数转化成二进制、七进制、十六进制数的转化方法解答即可．解：（1）90÷2=45...0 45÷2=22...1 22÷2=11...0 11÷2=5...1 5÷2=2...1 2÷2=1 01÷2=0…1l 试题分析：（1）首先把七进制数（403）7转化成十进制数，然后再化成五进制的数即可；（2）首先把五进制数（403）5转化成十进制数，然后再化成七进制的数即可．解：（1）（403）7=4×72+0×71+3=196+0+3=199（10）； 199÷5=39…4， 39÷5=7…4， 7÷5=1…2， 1÷5=0…1，故199（10）=1244（5），所以（403）7=1244（5）；（2）（403）5=4×52+0×51+3=100+0+3=103（10）；103÷7=14…5，14÷7=2…0，2÷7=0…2，故103（10）=205（7），所以（403）5=205（7）．点评：此题主要考查了五进制与七进制的相互转化，解答此题的关键是首先将五进制或七进制的数转化成十进制的数．【题文】（1）在二进制下进行加法：（101010）2+（1010010）2；（2）在七进制下进行加法：（1203）7+（64251）7；（3）在九进制下进行加法：（178）9+（8803）9．【答案】（1111100）2；（65454）7；（10082）9．【解析】试题分析：（1）二进制数中的运算规律是“逢二进一”，据此解答即可；（2）七进制数中的运算规律是“逢七进一”，据此解答即可；（3）九进制数中的运算规律是“逢九进一”，据此解答即可．解：（1）二进制数中的运算规律是“逢二进一”，所以（101010）2+（1010010）2=（1111100）2；（2）七进制数中的运算规律是“逢七进一”，所以（1203）7+（64251）7=（65454）7；（3）九进制数中的运算规律是“逢九进一”，所以（178）9+（8803）9=（10082）9．点评：此题主要考查了二进制、七进制、九进制下的加法运算，解答此题的关键是熟练掌握不同进制下的加法运算法则．【题文】用a、b、c、d、e分别代表五进制中5个互不相同的数字，如果，，，是由小到大排列的连续正整数，那么所表示的整数写成十进制的表示是多少？【答案】108.【解析】试题分析：五进制中的五个数分别为0，1，2，3，4由于是连续的正整数，且和，个位与十位均发生了变化，可知是发生了进位，所以c=4，b=0，a﹣d=1，进而推算出这5个数的数值各是多少，得出的数值，再根据其它进制化成十进制的方法求解．解：由于是连续的正整数，且，，个位与十位均发生了变化，可知是发生了进位，因为﹣=1，所以c﹣e=1．又因﹣=1，即：（5a+b）﹣（5d+c）=1，所以5（a﹣d）+（b﹣c）=1；由于a，b，c，d，e都是0至4之间的不同整数，从而可以推知：a﹣d=1，c﹣b=4．经检验，得 c=4，b=0，e=3，a=2，d=1，于是有=（413）5，=4×52+1×51+3×50，=4×25+5+3，=100+5+3，=108；答：那么所表示的整数写成十进制的表示是108．点评：先将非十进制数化为十进制数，然后依题意列方程，求出方程的解，就不难求出问题的答案了．【题文】记号（25）k表示k进制的数，如果（52）k是（25）k的两倍，请写出（123）k在十进制中所表示的数．【答案】83.【解析】试题分析：根据“（52）k是（25）k两倍”，即5k+2=2（2k+5），k=8，可知是两个八进制的数，再根据k进制数转化成十进制数的方法，即可得出答案．解：因为（52）k是（25）k两倍，即5k+2=2（2k+5），k=8，（52）8=（42）10，（25）8=（21）10，所以（123）8=1×82+2×8+3=（83）10；，答：（123）k在十进制中所表示的数是：83．点评：解答此题的关键是，先根据题意，判断是几进制，根据k进制数转化成十进制数的方法即k进制的基数单位是1，k，k2，k3…用计数单位和各个数位上的数相乘，即可得到十进制．【题文】一个自然数的四进制表达式是一个三位数，它的三进制表达式也是一个三位数，而且这两个三位数的数码顺序恰好相反．请问：这个自然数的十进制表示是多少？【答案】22.【解析】试题分析：根据位置原则设一个自然数的四进制表达式是abc；它的三进制表达式就是cba，然后都转化为十进制；列出不定方程式分析解答即可．解：设一个自然数的四进制表达式是abc；它的三进制表达式就是cba，而且a≠0，c≠0，a、b、c≤2，都转化为十进制，列出不定方程为：42a+4b+c=32c+3b+a，整理得：b=8c﹣15a，因为，a≠0，c≠0，a、b、c≤2，所以，a=1，c=2，b=1；自然数的十进制表示是：42a+4b+c=16×1+4×1+2=22；答：这个自然数的十进制表示是22．点评：本题关键是转化为十进制；难点是根据a、b、c的取值范围求出不定方程的解．【题文】计算：[27×]﹣{27×}+[3.14]×{3.14}．【答案】9.8596．【解析】试题分析：根据乘法分配律进行简算．解：[27×]﹣{27×}+[3.14]×{3.14}=27×（﹣）+3.14×3.14=27×0+9.8596=0+9.8596=9.8596．点评：考查了运算定律与简便运算，四则混合运算．注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律简便计算．【题文】计算：[]+[]+…+[]+[]．【答案】128.【解析】试题分析：通过观察，每一项都含有，因此把它提出来，原式变为×（1+2++…+15+16），括号内运用高斯求和公式计算即可．解：（）+（）+…+（）+（）=×（1+2++…+15+16）=×=×136=128点评：善于观察数字特点，采取合适的方法简算．【题文】求方程2[x]﹣9{x}=0的解的个数．【答案】x=0，，，，．【解析】试题分析：2[X]为偶数，所以9{X}为偶数，由于0≤{x}＜1，所以0≤9{x}＜9，所以9{x}可以取的值为0，2，4，6，8，此时代入原方程可以得到x的解分别为x=0，1+，2+，3+，4+，据此可以判断解的个数．解：{x}=x﹣[x]2[x]﹣9{x}=02[x]﹣9x+9[x]=011[x]﹣9x=0x=[x]，所以[x]≤x＜[x]+1得到0≤[x]＜．[x]=0，1，2，3，4代入得：x=0，1+，2+，3+，4+，即x=0，，，，．所以原方程有5个解．点评：本题考查了含取整函数的方程，任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和，即：x=[x]+{x}，其中{x}∈[0，+∞）．解题的关键是确定x的取值范围，从而得到[x]的值．【题文】（1）请将下面的数转化为十进制的数：（2011）3、（7C1）16；（2）请将十进制数101转化为二进制的数，641转化为三进制的数，1949转化为十六进制的数．【答案】（1）58；1985；（2）1100101（2）；212202（3）；79D（16）.【解析】试题分析：（1）根据三进制、十六进数制转化成十进制数的转化方法解答即可；（2）根据把十进制数转化成二进制、三进制、十六进制数的转化方法解答即可．解：（1）（2011）3=1×30+1×31+0×32+2×33=58；（7C1）16=11+12×16+7×162=1985；（2）101÷2=50 (1)50÷2=25 025÷2=12 (1)12÷2=6 06÷2=3 03÷2=1 (1)1÷2=0 (1)故101（10）=1100101（2）641÷3=213 (2)213÷3=71 071÷3=23 (2)23÷3=7 (2)7÷3=2 (1)2÷3=0 (2)故641（10）=212202（3）1949÷16=121…D121÷16=7 (9)7÷16=0 (7)故1949（10）=79D（16）点评：此题主要考查了十进制与二进制、五进制、十六进制的相互转化，解答此题的关键是要熟练地掌握其转化方法．【题文】请将三进制数（12021）3化成九进制的数，将八进制数（742）8化成二进制的数．【答案】（167）9；（111100010）2．【解析】试题分析：（1）进位制之间的转化一般要先化为十进制数，再化为其它进位制数，先将三进制数转化为十进制数，再由除K取余法转化为九进制数即可．（2）进位制之间的转化一般要先化为十进制数，再化为其它进位制数，先将8进制数转化为十进制数，再由除K取余法转化为二进制数即可．解：（1）（12021）3=1×34+2×33+2×31+1=81+54+6+1=142142÷9=15 (7)15÷9=1 (6)1÷9=0 (1)所以142=（167）9答：三进制数（12021）3化成九进制的数是（167）9．（2）（742）8=7×82+4×81+2=448+32+2=482482÷2=241 0241÷2=120 (1)120÷2=60 060÷2=30 030÷2=15 015÷2=7 (1)7÷2=3 (1)3÷2=1 (1)1÷2=0 (1)所以（482）10=（111100010）2答：八进制数（742）8化成二进制的数是（111100010）2．点评：本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键．属于基础题．【题文】（1）在七进制下计算：（326）7+（402）7、（326）7×（402）7；（2）在十六进制下计算：（35E6）16+（78910）16．【答案】（1）（326）7+（402）7=（1031）7（326）7×（402）7=（165255）7（2）（35E6）16+（78910）16=（7BEF6）16【解析】试题分析：（1）七进制数中的运算规律是“逢七进一”，据此解答即可；（2）十六进制下计算运算规律是“逢十六进一”，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A=10，B=11，C=12，D=13，E=14，F=15，据此解答即可．解：（1）（326）7+（402）7=（1031）7（326）7×（402）7=（165255）7（2）（35E6）16+（78910）16=（7BEF6）16点评：此题主要考查了七进制、十六进制下的加法乘法运算，解答此题的关键是熟练掌握不同进制下的加法运算法则．【题文】算式（4567）m+（768）m=（5446）m是几进制数的加法？（534）n×（25）n=（16214）n是几进制数的乘法？【答案】九进制数的加法；十六进制数的乘法．【解析】试题分析：（1）个位数字7+8=15，15减几=6，就是几进制的加法；（2）个位数字4乘5=20，20减去几等于4，就是几进制的乘法；据此得解．解：（1）7+8﹣6=9答：算式（4567）m+（768）m=（5446）m是九进制数的加法．（2）4×5﹣4=16答：（534）n×（25）n=（16214）n是十六进制数的乘法．点评：利用个位数字的运算得出是几进制是解决此题的关键．【题文】自然数x=（）10化为二进制后是一个7位数（）2．请问：x等于多少？【答案】100.【解析】试题分析：首先根据a，b，c出现在二进制的数位上，所以a=0或1，又因为a出现在十进制数x的表达式的最高位上，可得a≠0，所以a=1；然后再把二进制数转化成十进制数，列出等量关系，求出b、c的值，进而求出x等于多少即可．解：因为a，b，c出现在二进制的数位上，所以a=0或1，又因为a出现在十进制数x的表达式的最高位上，可得a≠0，所以a=1；又因为（）10=（）2，所以1×26+1×25+b×24+c×23+1×22+b×2+c=1×100+10×b+c，整理，可得8b+8c=0，b、c均为0或1，解得b=c=0，则x=（）10=100．答：x等于100．点评：此题主要考查了二进制数与十进制数相互转化方法的应用，解答此题的关键是首先求出a=1．【题文】一个自然数的七进制表达式是一个三位数，它的九进制表达式也是一个三位数，而且这两个三位数的数码顺序恰好相反．这个自然数的十进制表示是多少？【答案】248.【解析】试题分析：设这个七进制表达式是：，那么这个九进制表达式就是：，把它们都转化为十进制，列出等量关系式为化简：49a+7b+c=81c+9b+a，然后根据a，b，c的取值范围求出a，b，c的值，代入十进制的关系式即可求出这个自然数．解：设这个七进制表达式是：，那么这个九进制表达式就是：，（7）=a×72+b×71+c×70=49a+7b+c（9）=c×92+b×91+a×90=81c+9b+a因为：转化为十进制后都表示同一个自然数，所以：49a+7b+c=81c+9b+a化简得：24a=40c+bb=8（3a﹣5c）因为a，b，c都小于7，所以在b=8（3a﹣5c）中，（3a﹣5c）只能等于0，即b=0，3a﹣5c=03a=5c则：a=5，c=3这样可得：a=5，b=0，c=3所以这个自然数为：49a+7b+c=49×5+7×0+3=248答：这个自然数是248．点评：本题是比较复杂的进制问题的相互转化，难点是在七进制和九进制都转化为十进制的基础上建立等量关系列出方程，求出三个数字的值．【题文】某出版社在印刷一本数学科普书的时候，发现他们印刷的页码每一页都只含数字0至5，即从第一页开始这本书的页码依次为1，2，3，4，5，10，11，12，13.14，15，20，…．那么这本书的第365页的页码是多少？【答案】221.【解析】试题分析：1，2，3，4，5，10，11，12，13.14，15，20，…把它们分组，第一组有5个数1、2、3、4、5，第二组10、11、12、13、14、15共6个数，第三组有20、21、22、23、24、25共6个数，…除了第一组之外，其他组都是6个数一个循环，每组数是连续的个位数字0﹣5的数字，两组间取最后一个数5、15、25、…是差为10的等差数列，按照等差数列的规律求出5到365有多少组，组数乘6加5，即可得解．解：（365﹣5）÷10×6+5=360÷10×6+5=36×6+5=221答：这本书的第365页的页码是221．点评：认真分析，找出规律“是差为10的等差数列，第一项有5个数，其他每项含有6个数”是解决此题的关键．【题文】如果[x]=3，[y]=0，[z]=1求：（1）[x﹣y]的所有可能值；（2）[x+y﹣z]的所有可能值．【答案】x﹣y值范围在2≤x﹣y＜4，那么[x﹣y]的所有可能值为2，3x+y﹣z值范围在1≤x+y﹣z＜4，[x+y﹣z]的所有可能值为1，2，3．【解析】试题分析：[]是取整符号，是指舍去小数点后面的数，不管小数点后面的数有多大，都要舍去，据此可知[x]=3，那么x取值在3≤x＜4，[y]=0，那么y取值在0≤y＜1，[z]=1，那么z取值在1≤z＜2，x﹣y值范围在2≤x﹣y＜4，那么[x﹣y]的所有可能值为2，3；x+y﹣z值范围在1≤x+y﹣z＜4，[x+y﹣z]的所有可能值为1，2，3．解：[x]=3，x取值在3≤x＜4[y]=0，y取值在0≤y＜1[z]=1，z取值在1≤z＜2x﹣y值范围在2≤x﹣y＜4，那么[x﹣y]的所有可能值为2，3x+y﹣z值范围在1≤x+y﹣z＜4，[x+y﹣z]的所有可能值为1，2，3．点评：解决此题关键是明确[]是取整符号，再确定出x、y和n的取值，进而问题得解．【题文】计算（结果用л表示）：（1）{{π}+π}+{[π]+π}+[{π}+π]+[[π]+π]；（2）[10﹣2π]+[π]×{π}．【答案】（1）3π；（2）3π﹣6.【解析】试题分析：{x}=x﹣[x]，[x]表示取整的符号；（1）π取整是3，π取小数是π﹣3，相应的{{π}+π}=2π﹣3取小数，即2π﹣3﹣[2π﹣3]，{[π]+π}是π+3取小数，是π+3﹣[π+3]，[{π}+π]是2π﹣3取整，[[π]+π]是π+3取整，拖式计算，前后取整抵消，即可得解；（2）[10﹣2π]取整是10﹣6.28取整即3，[π]是3，{π}是π﹣3，拖式计算，即可得解．解：（1）{{π}+π}+{[π]+π}+[{π}+π]+[[π]+π]={π﹣[π]+π}+{[π]+π}+[π﹣[π]+π]+[[π]+π]={2π﹣3}+{π+3}+[2π﹣3]+[π+3]=2π﹣3﹣[2π﹣3]+π+3﹣[π+3]+[2π﹣3]+[π+3]=3π（2）[10﹣2π]+[π]×{π}=[3.72]+[π]×（π﹣[π]）=3+3×（π﹣3）=3+3π﹣9=3π﹣6点评：正确理解中括号是取整，大括号是取小数是解决此题的关键．【题文】计算：[]+[]+…+[]+[]．【答案】440.【解析】试题分析：[]=[0.56]=0，[]=[1.12]=1，[]=[1.68]=1，[]=[2.24]=2，[]=[2.8]=2，…分别求出各个分数的整数部分，然后求和，即可得解．解：[]+[]+…+[]+[]=0+1+1+2+2+3+3+4+5+5+6+6+7+7+8+8+9+10+10+11+11+12+12+13+14+14+15+15+16+16+17+17+18+19+19+20+ 20+21+21+22=[（1+22）×22÷2]×2﹣（4+9+13+18+22）=506﹣66=440点评：分别求出分数算式的整数部分是难点，在求和时，根据高斯求和，然后再减去单个的数字，即可．【题文】解方程：（1）x+2{x}=3[x]；（2）3x+5[x]﹣49=0．【答案】（1）x=0或x=，（2）x=．【解析】试题分析：若[x]表示不超过x的最大整数，若x为实数，记{x}=x﹣[x]（表示不超过x的最大整数），由此探讨解出方程的解即可．解：（1）∵{x}=x﹣[x]，x+2{x}=3[x]，∴x+2（x﹣[x]）=3[x]，∴5[x]=3x，∴[x]=，∴x能被5整除，显然此处x=0或x=，否则x和[x]不相等．（2）令[x]=n，代入原方程得3x+5n﹣49=0，即x=．又∵[x]≤x＜[x]+1，∴n≤＜n+1．整理得3n≤49﹣5n＜n+1，＜n≤，∴n=6．代入原方程得3x+5×6﹣49=0，解得x=．经检验，x=是原方程的解．点评：解此类方程关键理解每一个符号的意义，进一步分析解决即可．【题文】解方程[]+[]+[]+[]=110，其中x是整数．【答案】63.【解析】试题分析：[x]表示不超过x 的最大整数则[x]包含在[x，x+1]，进一步利用这个性质分析解决问题．解：[x]表示不超过x 的最大整数则[x]∈[x，x+1]要利用这个性质则有：x+﹣1+﹣1+﹣1≤[]+[]+[]+[]≤x++1++1++1，原等式化为不等式：x+++﹣3≤110≤x++++3，解得x可以为[60.57，63.96]所以x只可能在：61，62，63之中，代入后可以得出：x=63．点评：解决此题的关键是理解取整的数据范围，转化方程为不等式，确定数的取值范围，解决问题．【题文】a、b是自然数，a进制数（47）a和易进制数（74）a相等，a+b的最小值是多少？【答案】24.【解析】试题分析：由题意可知：a≥8；b≥8且4a+7=7b+4，化简得7b﹣4a=3，进一步分析探讨得出答案即可．解：由题意可知：a≥8；b≥8，且a＞b，4a+7=7b+4，化简得7b﹣4a=3，当b=8无解，当b=9，得出a=15，所以a+b=24．答：a+b的最小值是24．点评：搞清特殊进制的计数原则是解决问题的关键．【题文】现有一个百位为3的三位数（十进制），把它分别化成九进制的数和八进制的数后，仍然是三位数．且首位数字分别为4和5．这样的三位数中最大的是多少？最小的是多少？一共有多少个？【答案】最大的是383，最小的是324，一共是60个．【解析】试题分析：根据每一个进制的最高位数字的情况，注意分析探讨数字的取值情况，进一步得出答案即可．解：10进制的，那么必须在3×102和4×102之间，300﹣399都满足．9进制的开头是4，那么必须在4×92和5×92之间，那么在324和404范围内．8进制，那么必须在5×82到6×82之间，就是在320和383之间取值．综上所述，取值必须在324到383之间．所以这样的三位数中最大的是383，最小的是324，一共是383﹣324+1=60个．答：这样的三位数中最大的是383，最小的是324，一共是60个．点评：此题考查其他进制的问题，掌握每一个进制的计数原则，是解决问题的关键．【题文】在十进制的表示中，三个依次增大的两位数恰构成公差为6的等差数列；而在五进制的表示中，这三个数的数字和是依次减少的．符合这样要求的等差数列有多少个？【答案】综上共有6组：23、29、35；48、54、60；73、79、85．14、20、26；39、45、51；64、70、76．【解析】试题分析：设出这三个数分别为X、X+6、X+6+6．进一步由五进制数的特点，分情况探讨得出答案即可．解：设三个数分别为X、X+6、X+6+6．两位数化为五进制数，最小20，最大400，也就是这三个数的五进制数必然是2位或3位．最小的数必然是2位．l73、79、85．②AB+11进位在B上，AB+22进位在A、B上：B＜5，B+1≥5，B=4A+1+1＜5，A+2+1≥5，A=2则由[24]5=14、[124]5=39、[224]5=64、[324]5=89（舍弃）得这三个数可能是14、20、26；39、45、51；64、70、76；综上共有6组：23、29、35；48、54、60；73、79、85．14、20、26；39、45、51；64、70、76．点评：此题考查其他进制的问题，掌握每一个进制的计数原则，是解决问题的关键．【题文】现有六个筹码，上面分别标有数值：1，3，9，27，81，243．任意搭配这些筹码（也可以只选择1个筹码）可以得到多少个不同的和？将这些和加起来，总和为多少？将这些和从小到大排列起来，第45个是多少？【答案】63；11648；280．【解析】试题分析：每个筹码都有“取”和“不取”2种可能，所以总共有26=64种可能，除去6个筹码都不取的情况，即64﹣1=63种不同的和．64种可能的取筹码的方法中，包含筹码1的会是32次（一半的可能性），所以总和里面，1会被算32次．其它的筹码也一样，都是要被算32次．所以“和的总和”是所有这些筹码的和，再乘以32，就是（1+3+9+27+81+243）×32=364×32=11648；从小到大排列，那么先就不取243，前面5个筹码，可以取的方法共有 25=32种．还差13个．下面得取243了，先取前3个小的数（1，3，9），共有7种取法，也就是下面这7种：243+1，243+3，243+1+3，243+9，243+1+9，243+3+9，243+1+3+9；还要再取5个．再下面就必须取27了．243+27，243+27+1，243+27+3，243+27+1+3，243+27+9，243+27+9+1=208（也就是第45个是280）．解：每个筹码都有“取”和“不取”2种可能，所以总共有26=64种可能，除去6个筹码都不取的情况，即64﹣1=63种不同的和．包含筹码1的会是32次（一半的可能性），所以总和里面，1会被算32次．其它的筹码也一样，都是要被算32次．所以这些筹码的和是（1+3+9+27+81+243）×32=364×32=11648；从小到大排列，那么先就不取243，前面5个筹码，可以取的方法共有25=32种．45﹣32=13个．下面得取243了，先取前3个小的数（1，3，9），共有7种取法，也就是下面这7种：243+1，243+3，243+1+3，243+9，243+1+9，243+3+9，243+1+3+9；还要再取5个．再下面就必须取27了．243+27，243+27+1，243+27+3，243+27+1+3，243+27+9，243+27+9+1=208；也就是第45个是280．点评：此题考查排列组合的实际运用，注意两种计数方法的灵活运用．【题文】计算：[]+[]+…+[]+[]．【答案】2158.【解析】试题分析：因为每个分数中都有13，因此把13提出来，原式变为13×（+++…+），这样括号内为同分母分数的计算，分子部分相加时，运用高斯求和公式计算即可．解：（）+（）+…+（）+（）=13×（+++…+）=13×=13×==2158点评：仔细观察数字特点，通过数字拆分，运用高斯求和公式，使计算简便．【题文】计算：[]+[]+[]+…+[]．【答案】.【解析】试题分析：原式=×（20+21+22+23+ (210)设s=2°+21+22+23+…+210，则2s=21+22+23+…+211所以2s﹣s=211﹣1，因此s=211﹣1，求出结果即可．解：[]+[]+[]+…+[]=×（1+2+22+23+ (210)=×（20+21+22+23+ (210)s=2°+21+22+23+…+210，则2s=21+22+23+…+211所以2s﹣s=211﹣1，因此s=211﹣1=2048﹣1=2047．所以：[]+[]+[]+…+[]=×（20+21+22+23+ (210)=2047×=点评：注意观察题目中数字构成的特点和规律，灵活转化，运用运算技巧，巧妙解答．【题文】一副双色牌中，红、黑两种颜色各有12张牌，每种颜色的牌上分别写着l，2，4，8，16，…，2048这12个数．小梁从中任意抽取一些牌，计算抽出的牌面上所有数的和．（1）若算出的和为2008，则小梁最多可能抽取了多少张牌？（2）若算出的和为183，则小梁共有多少种抽取牌的方法？（3）如果小梁有3种抽牌的方法使得和为某个正整数n，求n的值．【答案】（1）17张；（2）184种；(3) n是2或是8188．【解析】试题分析：（1）和为2008最多抽取的牌数，那么抽取的数越小就越多张牌，总共24张牌，最多可抽取17张，（1+2+4+8+16+32+64+128+256+512）×2=2046，2046﹣2008=38，32+2+4=38（2）这道题是一个组合问题．每种颜色的牌中，l、2、4、8、16…2048 都只有1张牌．根据二进制，不大于 183 的每一个自然数a都可以由某一种颜色的牌组合出来（不抽的话，是0），且组合方式唯一．某种颜色的牌抽取出来之后（和为 a），另一种颜色的牌的抽取方式和为（183﹣a）也就唯一确定了．所以，抽取的某种颜色的牌的和的取值方式，与抽取的方法数是一一对应的．0﹣183 共有 184个数值，所以共有184种抽取牌的方法．（3）很显然有3种抽牌使的和为2是有3种牌方法，抽1，1，红2，黑2，则与这相对应的就是抽出牌以后剩下的和为2的数．据此解答．解：（1）（1+2+4+8+16+32+64+128+256+512）×2=2046，共20张牌，2046﹣2008=38，32+2+4=38，三张牌的和是38，则可抽取的张数是20﹣3=17（张）答：小梁最多能抽取17张牌．（2）每种颜色的牌中，l、2、4、8、16…2048 都只有1张牌．根据二进制，不大于 183 的每一个自然数a都可以由某一种颜色的牌组合出来（不抽的话，是0），且组合方式唯一．某种颜色的牌抽取出来之后（和为 a），另一种颜色的牌的抽取方式和为（183﹣a）也就唯一确定了．所以，抽取的某种颜色的牌的和的取值方式，与抽取的方法数是一一对应的．0﹣183 共有 184个数值，所以共有184种抽取牌的方法．答：小梁共有184种抽牌的方法．（3）3种抽牌使的和为2是有3种牌方法，抽红1黑1；红2；黑2，则与这相对应的就是抽出牌以后剩下的和为2的数．（1+2+4+8+16+32+64+428+256+512+1024+2048）×2﹣2=4095×2﹣2=8190﹣2=8188答：n是2或是8188．点评：第一小题的关键是找出最接近2008的几个最小数的和是多少，再去掉比2008多的牌数来进行解答，第二小题可根据二进制来进行解答，第三小题的关键是先求出抽三次和是正整数的数是2．【题文】（1）在[]，[]，[]，…，[]中共出了多少个互不相同的数？（2）在[]，[]，[]，…，[]中共出现了多少个互不相同的数？【答案】（1）2259；（2）1001.【解析】试题分析：（1）找出分界点，找分子两数之差是否大于2008的1.5倍，超过1.5倍就会隔一个整数出现，比如分界点为1506，那么分子在15062之前，每个整数都出现，15062之后，隔一个才出现一次．（2）找出分界点，分母为1000时，分子为1009，这之前出现1000个不同的整数，这之后会取整都是0．解：（1）找分子两数之差是否大于2008的1.5倍，超过1.5倍就会隔一个整数出现，比如分界点为1506，那么分子在15062之前，每个整数都出现，15062之后，隔一个才出现一次．因此共出现1506+1506÷2=2259个不同的整数．（2）分母为1000时，分子为1009，这之前出现1000个不同的整数，这之后会取整都是0，因此共有1001个不同的整数．点评：解答此题的关键在于找出分界点，根据取整的方法，解答即可．。

六年级奥数训练第12讲进位制与取整符号

六年级奥数训练第12讲进位制与取整符号内容概述掌握进位制的概念及相关计算，掌握自然数在不同进位制之间的转化方法，并学会恰当利用进位制解决一些数论问题．掌握取整符号[]与取小数部分符号{}的定义与基本性质，学会求解包含这两种符号的算式与方程．典型问题兴趣篇1．将下面的数转化为十进制的数：(1111)，(1010010)，(4301)，225 (B08)．162．请将十进制数90转化成二进制、七进制和十六进制的数．3．请将七进制数(403)化成五进制的数，将五进制数(403)化成七75进制的数．4．(1)在二进制下进行加法：(101010)＋(1010010)；22(2)在七进制下进行加法：(1203)＋(64251)；77(3)在九进制下进行加法：(178)＋(8803).995．用a、b、c、d、e分别代表五进制中5个互不相同的数字，如果(ade)，59．计算：[16 ⨯1] + [16 ⨯ 2 ] + + [(adc ) ， (aab ) ，是由小到大排列的连续正整数，那么 (ade ) 所表示的5 55整数写成十进制的表示是多少？6．记号(25) 表示七进制的数，如果(52) 是(25) 的 2 倍，那么，(123)k kkk在十进制表示的数是多少？7．一个自然数的四进制表达式是一个三位数，它的三进制表达式也是一个三位数，而且这两个三位数的数码顺序恰好相反．请问：这个自然数的十进制表示是多少？8．计算： [27 ⨯ 25 ] - {27 ⨯ 25} + [3.14] ⨯{3.14}.262616 ⨯15 16 ⨯16 ] + [ ] ⋅1717 17 1710．求方程 2[x] – 9{x}=0 的解的个数．拓展篇1．(1)请将下面的数转化为十进制的数：(2011) 、(7C1) ；3 16(2)请将十进制数 101 转化为二进制的数，641 转化为三进制的数，1949 转化为十六进制的数．2．请将三进制数(12021) 化成九进制的数，将八进制数 (742) 化成3 8二进制的数．3．(1)在七进制下计算：(326)＋(402)、(326)×(402)；7777(2)在十六进制下计算：(35E6)＋(78910).16164．算式(4567)＋(768)=(5446)是几进制数的加法？(534)×(25) m m m n n =(16214)是几进制数的乘法？n5．自然数x=(abc)化为二进制后是一个7位数(1abcabc)．请问：x102等于多少？6．一个自然数的七进制表达式是一个三位数，它的九进制表达式也是一个三位数，而且这两个三位数的数码顺序恰好相反。

数论

5．六位数□2008□能同时被 9 和 11 整除．这个六位数是多少？
6．请从 1，2，3，4，5，6，7 这 7 个数字中选出 5 个组成一个五位数，使它是 99 的倍数．这个五位数最大是多少？
五年级上册第 2 讲数论问题第 01 讲
7．小悦写了一个两位数 59，冬冬写了一个两位数 89，他们让阿奇写一个一位数放在 59 与 89 之间拼成一个五位数 59□89 ，使得这个五位数能被 7 整除．请问：阿奇写的数是多少？
质数与合数
知识概述
掌握质数与合数的概念．熟悉常用的质数，并掌握质数的判定方法．熟练掌握短除法分解质因数；利用分解质因数的方法解决相关的整数问题；学会计算乘积末尾 0 的个数．
理解质数与合数的概念．熟悉常用的质数，并掌握质数的判定方法．掌握分解质因数的方法，并学会运用分解质因数的方法解决相关的整数问题；学会计算乘积末尾零的个数．
10. 把从 1 开始的若干个连续的自然数 1，2，3，，乘到一起．已知这个乘积的末尾 13 位恰好都
是 0．请问：在相乘时最后出现的自然数最小应该是多少？
11. 168 乘以一个大于 0 的整数后正好是一个平方数．乘的这个整数至少是多少？所得乘积又是多少的平方？
12. （1）60 乘以一个三位数后，正好得到一个平方数．这个三位数至少是多少？（2）72 乘以一个三位数后，正好得到一个立方数．这样的三位数一共有多少个？
五年级中册第 4 讲数论问题第 04 讲
9. 123123 123 除以 99 的余数是多少？
123个123
10. 把 63 个苹果，90 个桔子，130 个梨平均分给一些同学，最后一共剩下 25 个水果没有分出去．请问：剩下个数最多的水果剩下多少个？

第九讲进制与取整运算

④若 b 1 ，则 a b a ；若 b 1 ，则 a b a 1 ； ⑤若 n 是整数，则 a n a n ．
3.14 0.14 ，4.8 0.8 ，5 0 ， 5．数 a 的小数部分一般用符号 {a} 表示。例如，
1000 1000 1000 1000 1000 333 142 47 572 个． 3 7 3 7 199 1 199 96 199 1 198 ，同理 15 ．提示：仿例 9 的方法，易得 97 97 199 2 199 95 199 48 199 49 198 ， … … ， 198 ，从而 97 97 97 97
5 8
4 3
3．若 52 10 34 n ，则 n 4．若 20 10 202 m ，则 m 5．下列算式是几进位制的乘法？ 123 302 111012 6．如果下列算式是八进制算式，请求出各字母表示的数字（不同字母表示不同数字）． A B C D ＋ C B A B B B C B B 7．一次乒乓球淘汰赛，共有 23 名同学参加，请问：共有多少人次轮空
2． 26 7 20 10 110 4 202 3 3．由 n 进制运算，可得 34 n 3 n 4 ，由已知可得方程 3 n 4 52 ，所以
n 16 ．
4．由 m 进制运算，可得 202 m 2 m 2 0 m1 2 2m 2 2 ，由已知可得方程
第九讲：进位制与取整运算
数．例 7．一袋花生共有 2004 粒，一只猴子第一天拿走一粒，从第二天起，每天拿走的都是以前各天的总和。如果直到最后剩下的不足以一次拿走时却一次拿走，共需多少天？例 8．求 1 ~ 2010 中能被 2 或 3 或 5 整除的整数的个数．

四年级数论进位制

进位制知识框架一、数的进制1.十进制：我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。

在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。

比如二进制，八进制，十六进制等。

2.二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。

因此，二进制中只用两个数字0和1。

二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。

二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。

注意：对于任意自然数n ,我们有n 0=1。

3.k 进制：一般地，对于k 进位制，每个数是由0，1，2，，1k -（）共k 个数码组成，且“逢k 进一”．1k k >（）进位制计数单位是0k ，1k ，2k ，．如二进位制的计数单位是02，12，22，，八进位制的计数单位是08，18，28，．4.k 进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式 1110110n n n n k n n a a a a a k a k a k a ---=⨯+⨯++⨯+（）十进制表示形式：1010101010n n n n N a a a --=+++；二进制表示形式：1010222n n n n N a a a --=+++；为了区别各进位制中的数，在给出数的右下方写上k ，表示是k 进位制的数如：8352（），21010（），123145（）,分别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数．5.k 进制的四则混合运算和十进制一样先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。

二、进制间的转换：一般地，十进制整数化为k 进制数的方法是：除以k 取余数，一直除到被除数小于k 为止，余数由下到上按从左到右顺序排列即为k 进制数．反过来，k 进制数化为十进制数的一般方法是：首先将k 进制数按k 的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果．如右图所示:例题精讲【例 1】把9865转化成二进制、五进制、八进制，看看谁是最细心的。

进位制的概念四则运算法则及整数在不同进位制之间的转化利用恰当的进

进位制的概念、四则运算法则及整数在不同进位制之间的转化，利用恰当的进位制解数论问题．取整符号[]与取小数部分符号{}的定义与基本性质，包含这两种符号的算式与方程的求解．两次与分式不定方程，不便直接转化为不定方程的数论问题．各种数论证明题．1．用a，b，c，d，e分别代表五进制中五个互不相同的数字，如果(ade)5，(adc)5，(aad)5是由小到大排列的连续正整数，那么(cde)5所表示的整数写成十进制的表示是多少?【分析与解】注意(adc)5+(1)5=(aab)5，第二位改变了，也就是说求和过程个位有进位，则b=0，而c=(10)5－(1)5=(4)5，则C=4．而(ade)5+(1)5=(adc)5，所以e+1=c，则e=3．又d+1=口，所以d=1，a=2．那么，(cde)5为(413)5=4×52+1×5+3=108．即(cde)5所表示的整数写成十进制的表示是108．2．算式1534×25=43214是几进位制数的乘法?【分析与解】注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为4×5=20，但是现在为4，说明进走20－4=16，所以进位制为16的约数：16、8、4、2．因为原式中有数字5，所以不可能为4,2进位，而在十进制中有1534×25=38350＜43214，所以在原式中不到10就有进位，即进位制小于10，于是原式为8进制．3．设1，3，9，27，81，243是6个给定的数，从这6个数中取出若干个数，每个数至多取一次，然后将取出的数相加得到一个和数，这样共可得到63个不同的数．把这些数从小到大排列起来依次是1，3，4，9，10，12，…，那么其中第39个数多少?【分析与解】我们知道1，3，9，27，81，243都是3的若干次幂，写成3进制次为：(1)3，(10)3，(100)3，(1000)3，(10000)3，(100000)3，则从中任意选取若干数，且不重复，那么它们的和在3进制中都只是由1和0组成．但是在3进制中，并不是所有的数字都是只由0，1组成，这就给计数造成了困难．而2进制中所有的数字都是只由1和0组成．于是，我们想到使用2进制，在2进制中第39个非零自然数，即39应记为：(100111)2．在3进制中，只用l 和0表示的数，第39个也是100111，有(100111)3=1×53+1×32+1×3+1=256．即其中第39个数是256．评注：我们详细地讲解这道题，只是想帮助大家复习进位制中的n 进制与十进制的互相转化．4．求方程19[x]－96{x}=0的解的个数．【分析与解】有{x}为一个数的小数部分，显然小于1，则96{x}小于96，而19[x]=96{x}，所以19[x]小于96，即[x]小于9619，又[x]为整数，所以[x]可以取0，1，2，3，4，5，对应有6组解．进一步计算有0，19619，19191995234548322496，，，为原方程的解．5．求2312322329234041414141⨯⨯⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的值．【分析与解】注意到2312340234141⨯⨯+=，即231231234023402341414141⨯⨯⨯⨯⎡⎤⎧⎫⎡⎤⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎣⎦⎩⎭，,而23123404141⨯⨯⎧⎫⎧⎫⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，均是小数，所以它们的和小于2．但是23123404141⨯⨯⎧⎫⎧⎫⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，均是整数，所以23+123+404141⎧⎫⎧⎫+⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭为整数，显然不为0，所以只能是1，即有231234023122.4141⨯⨯⎧⎫⎧⎫+=-=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭其他数也可以如此操作，即首尾相加有两个数的和为22．现在有40个数，有20组．所以这些数的和为20×22=440．6．一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数．已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7．如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数．求原来的四位数．【分析与解】设这个四位数为2abcd m =………………………………… ① 每位数字均加3，并且没有进位，为2(a+3)(b+3)(c+3)(d+3)n = …………………………………………………② 有②－①得：3333=22n m -=（n －m ）(n+m) ………………………………③将3333分解质因数，有3333=3×11×101，其有(1+1)(1+1)(1+1)=8个约数，但是有n+m ＞n －m ，所以只有4种可能满足题意，一一考察，如下表：如上表，只有1156，4489满足，即原来这个四位数为1156．7．甲、乙两个自然数的乘积比甲数的平方小1988，那么满足上述条件的自数有几组?【分析与解】设甲数为a ，乙数为b ，则2a －ab=1988，有a(a －b)=1988.将1988分解质因数1988=22×7×71，其约数有(2+1)×(1+1)×(1+1)=12个，但是要求a ＞b ，所以只有约数个数的12组解，即6组解．满足上述条件的自然数有6组．8．将16表示成两个自然数的倒数之和，请给出所有的答案．【分析与解】设有111a b 6+=，化简有(a －6)(b －6)=62=2×2×3×3，评注：形如111A B t+= (t 为己知常数)的解法及解的个数．111A B t+= (t 为已知常数)类问题，可以通过计算，转化为(A －t )×(B－t)= 2t ；我们2t 将分解质因数后，再令(A －t)其中一个为2t 的一个约数(A －t)=a ，那么A=a+t ，则2t B =t a+ (t 为已知常数)，所以，一般公式为2A a t tB ta =+⎧⎪⎨=+⎪⎩(a 为t 的一个约数)；设2t 的约数有x 个，则A 、B 有x+12组(调换顺序算一种)．注意有一组解A 、B 相等，就是A 2t.B 2t=⎧⎨=⎩9．将95写成若干个(至少两个)连续自然数的和，有多少种不同的写法?给出全部可能的答案．【分析与解】95=5×19，其大于1的奇约数有5，19，95这3个．若自然数N 有k 个大于1的奇约数，则N 共有k 种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法．为什么呢? 设这个自然数可以表示为k 个连续自然数和的形式，如果k 是奇数，那么一定存在中间数，即为P ，则这k 个连续自然数的和为kp ，即为一个奇数与一个自然数的乘积形式；如果k 是偶数，那么存在两个中间的数，即为q ，q+1，则这k 个连续自然数的为q (q 1)k k (2q 1),22++=+，2q+1为奇数，k 为偶数，所以k2为整数，也是一个奇数与一个自然数的乘积形式．并且一种表达方式对应一个大于1的奇约数．所以，将95写成若干(至少两个)连续自然数的和有3种方法．第一种情况：如果有奇数个连续的自然数相加：当k=5时，p=19，即5个连续的自然数，中间数为19，有17+18+19+20+21；当k=19时，P=5，即19个连续的自然数，中间数为5，显然不存在；当k=95时，P=l，即95个连续的自然数，中间数为1，显然不存在；第二种情况：如果有偶数个连续的自然数相加：当k2=1时，2q+1=95，即2个自然数相加，中间两个数中较小的数是47，有47+48；当k2=5时，2q+1=19，即10个自然数相加，中间两个数中较小的数是9，有5+6+7+8+9+10+11+12+13+14；当k2=19时，2q+1=5，即38个自然数相加，中间数是2，显然不存在；当k2=95时，2q+1=1，即190个自然数相加，中间数是0，显然不存在．所以，95写成若干个(至少两个)连续自然数的和，有3种不同的写法：17+18+19+20+21，47+48，5+6+7+8+9+10+11+12+13+14．10．在给定的圆周上有2000个点．任取一点标上数1；按顺时针方向从标有1的点往后数2个点，在第2个点上标上数2；从标有2的点再往后数3个点，在第3个点上标上数3；……；依此类推，直至在圆周上标出1993．对于圆周上的这些点，有的点可能标上多个数，有的点可能没有被标数．问标有数1993的那个点上标的最小数是多少?【分析与解】记标有1为第1号，序号顺时针的依次增大．当超过一圈时，编号仍然依次增加，如1号也是2001号，4001号，……则标有2的是1+2号，标有3的是1+2+3号，标有4的是1+2+3+4，…，标有1993的是1+2+3+…+1993=1987021号．1987021除以2000的余数为1021，即圆周上的第1021个点标为1993．那么1021+2000n=1+2+3+…+k=k(k1)2，即2042+4000n=k(k+1).当n=0时，k(k+1)=2042，无整数解；当n=1时，k(k+1)=6042，无整数解；当n=2时，k(k+1)=10042，无整数解；当n=3时，k(k+1)=14042，有118×119=14042，此时标有118；随着n的增大，k也增大．所以，标有1993的那个点上标出的最小数为118．11．甲、乙二人做同一个数的带余除法，甲将其除以8，乙将其除以9．甲所得的商数与乙所得的余数之和为13．那么甲所得的余数是多少?【分析与解】设这个数为A，有A÷8=6……C，A÷9=d……e,其中b+e=13，因为一般的余数小于除数，所以e 只能取0，1，2，3，4，5，6，7，8这9值，一一列出，如下表：这些满足题意的数除以8的余数都是4，所以甲所得的余数是4．12.有些三位数，如果它本身增加3，那么新的三位数的各位数字的和就减少到原来三位数的13．求所有这样的三位数．【分析与解】设这个三位数为abc ，数字和为a+b+c ，如果没有进位，那么abc 3ab(c 3)+=+，显然数字和增加了3，不满足，所以一定有进位，则abc +3=a(b 1)(c 310)++-，数字和为0+(b+1)+(c+3－10)= 1(a b c)3++，则a+b+c=9，而c+3必须有进位，所以c 只能为7，8，9．一一验，如下表：验证当十位进位及十位、个位均进位时不满足．所以，原来的三位数为207，117或108．13.试说明：将和1111123440+++++写成一个最简分数mn时，m 不会是5的倍数．【分析与解】分母中仅有25被52整除，因此通分后，公分母是52×a ，a 是不被5整除的自然数(事实上a=25×32×7×11×13×17×19×23×29×31×37)，并且减去125变为a25a外，其他分数的分子都是5的倍数．因而这些分数的和为5b+a25a(其中b是自然数)．由于a不是5的倍数，所以5b+a不是5的倍数，当然约分后得到的最简分数mn的分子m也不会是5的倍数．14．将某个17位数各位数字的排列顺序颠倒，再将得到的新数与原来的数相加．试说明，所得的和中至少有一个数字是偶数．【分析与解】先假设和的各位数字全是奇数，设这个17位数为ab cd，则a+d为奇数，b+c的和小于10，于是十位不向前进位，从而去掉前后各两个两位数字所得的13位数仍具有题述性质．依次类推6次后，得到一位数，它与自身相加的和的个位数字必是偶数，矛盾.即开始的假设不正确，所以和中至少有一个数字是偶数．15.现有11块铁，每块的重量都是整数．任取其中10块，都可以分成重点相等的两组，每组有5块铁．试说明：这11块铁每块的重量都相等．【分析与解】任取一块后，其余的可分成两组，重量相等，因此，其余的铁块的重量的和是偶数，换句话说，11块铁的总重量与其中任一块铁的重量，奇偶性相同．这样，11块铁的重量，或者全部都是奇数，或者全部都是偶数．如果全部都是偶数，将每块铁的重量减少一半，仍然符合题中的条件；如果全部都是奇数，将每块铁的重量增加1，仍然符合题中的条件．不断采取以上两种方法．注意铁的重量增加1后，就应当除以2(即减少一半)．因此铁的总重量将不断减少．除非每块铁的重量都是1．因为铁的总重量不能无限地减少下去，所以经过若干次上述的做法后，铁块的重量全变成l，即全都相等．将这过程返回去，就知道上一步铁块总重量也都相等，于是最初的铁块重也都相等．。

数学思维导引-六年级-进位制与取整符号(11)

= 25 25 30.14 25 0.42 25 24 149
26
26 325
9. 计算： 1617116172161715 161716 。【分析】方法一：对他们两两配对，得到：
16171161716
7
5
【分析】 4037 转化为十进制为： 4037 4 72 3 19910 ；而 199÷5=39 余 4,39÷5=7 余
4；7÷5=1 余 2,1÷5=0 余 1。所以 199 1244；
10
5
将 403转化为十进制为： 4034 52 3 103，而 103÷7=14 余 5,14÷7=2 余 0。
所以这个自然数在十进制中为： abc112142 14 2 22
4
4
10
8.
计算：
27
225627
25 26
3.143.14。

【分析】
原式=
26
125
26
26
125
26
3.143.14
（2）在七进制下，逢 7 进 7，则有： 12037 642517 654547 ；
（3）在九进制下，逢 9 进 1，则有： 178880310082；
9
9
9
5. 用 a 、b 、c 、d 、e 分别代表五进制中 5 个互不相同的数字，如果 ade ， adc ， aab ，
23
1
22
；
其他类似，共有：20 组，所以其之和为：22×20=440。
11. 解方程：
（1） x 2x3x；
（2） 3x 5x49 0 。
【分析】（1）令 x 的整数部分是 a，小数部分是 b。则有： a b 2b 3a ，即可得： 2a 3b 。所以 a=0,此时 b=0; a=1，此时b 2 。

掌握常用数学符号与运算规则

掌握常用数学符号与运算规则数学作为一门基础学科，是中学教育中不可或缺的一部分。

在学习数学的过程中，掌握常用数学符号与运算规则是非常重要的，它们是我们解决数学问题的基础。

本文将为中学生及其父母详细介绍常用数学符号与运算规则，并给出一些实用的例子，帮助读者更好地理解和应用。

一、常用数学符号1. 加法符号（+）：表示两个数的和。

例如，1 + 2 = 3。

2. 减法符号（-）：表示两个数的差。

例如，5 - 3 = 2。

3. 乘法符号（×）：表示两个数的积。

例如，2 × 3 = 6。

4. 除法符号（÷）：表示两个数的商。

例如，8 ÷ 2 = 4。

5. 等于符号（=）：表示两个数或表达式相等。

例如，2 + 3 = 5。

6. 大于符号（>）：表示一个数大于另一个数。

例如，5 > 3。

7. 小于符号（<）：表示一个数小于另一个数。

例如，2 < 4。

8. 不等于符号（≠）：表示两个数或表达式不相等。

例如，3 + 2 ≠ 6。

以上是常用的基础数学符号，掌握它们对于解决数学问题非常重要。

在实际运用中，我们还会遇到一些特殊的数学符号，如平方根符号（√）、绝对值符号（| |）等。

这些符号在高中数学中会更加深入地学习。

二、常用运算规则1. 加法规则：加法满足交换律和结合律。

交换律表示加法的顺序可以改变，结果不变。

例如，2 + 3 = 3 + 2。

结合律表示多个数相加时，可以先加任意两个数，然后再加上剩下的数，结果不变。

例如，(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)。

2. 减法规则：减法是加法的逆运算。

减去一个数等于加上它的相反数。

例如，5 - 3 = 5 + (-3)。

3. 乘法规则：乘法满足交换律和结合律。

交换律表示乘法的顺序可以改变，结果不变。

例如，2 × 3 = 3 × 2。

结合律表示多个数相乘时，可以先乘任意两个数，然后再乘上剩下的数，结果不变。

数字的进位和借位

数字的进位和借位数字的进位和借位是数学运算中经常涉及到的概念，它们在加法和减法运算中常常被用到。

透过进位和借位的概念，我们能够更好地理解数字运算的规则和原理，从而提高我们的计算能力。

一、进位进位是指在数的加法运算过程中，当某位上的数字相加的结果大于等于进位基数时，将进位基数加到更高位上的操作。

在十进制系统中，进位基数为10。

进位的规则是：当两个数相加的和大于等于10时，将个位数部分保留，将十位数部分加1。

以下是一个例子：732+ 68———800在这个例子中，个位的数字为2和8相加得到10，大于进位基数10，因此需要进位。

两个十位数分别为3和6，相加得到9，小于进位基数10，所以不需要进位。

二、借位借位是指在数的减法运算中，当某位上的数字减去被减数的对应位上的数字后，不够减时需向高位借位的操作。

借位的规则是：当减数的某一位小于被减数的对应位时，需要向高位借位。

以下是一个例子：543- 238———305在这个例子中，个位的数字为3减去8，不够减，所以需要向十位借位。

十位的数字为4减去3，不需要借位。

百位的数字为5减去2，不需要借位。

经过借位后，再进行减法运算，最终得到的结果是305。

进位和借位是数字运算中重要的概念，它们不仅仅适用于十进制系统，也可以应用于其他进制系统。

例如在二进制系统中，进位基数为2，借位规则与十进制类似。

除了在加法和减法中，进位和借位的概念也可以应用于其他数学运算和解题过程中。

例如，当进行乘法运算时，两个数的某一位相乘得到的结果如果大于进位基数，也需要进行进位操作。

在解题过程中，进位和借位的概念可以帮助我们更好地理解和解决问题。

例如在解决携带借位的减法题目时，我们可以通过借位的操作将减法转化为加法运算，进而得到正确的结果。

总之，数字的进位和借位是数学运算中不可忽视的重要概念。

通过理解和掌握进位和借位的规则和原理，我们可以更加准确和高效地进行数字运算，提高我们的计算能力和解题能力。

数字的进位与退位

数字的进位与退位数字是我们日常生活中最基本的符号之一，它们可以表示数量、顺序、时间等等。

而数字的进位与退位则是数字运算中非常重要的概念。

一、进位进位是指在进行加法运算时，当某一位的结果超过了所能表示的最大值时，将进一位并在下一位进行运算。

进位的实质就是从低位到高位的传递运算。

以十进制为例，当两个数字相加时，如7+9，个位数的7和9相加的结果为16。

在个位数位上的最大值是9，当相加结果超过了9时，就需要进位。

进位后个位数变为0，十位数加1，即10+7+9=26。

同样地，在其他进制中，进行加法运算时也会出现进位的现象。

例如，在二进制中，两个数字相加时，当某一位相加的结果超过了1时，就需要进位。

进位后，当前位变为0，高一位加1。

进位不仅仅局限于加法运算，它还存在于其他数字操作中。

在乘法、除法、指数运算等操作中，当某一位的结果超过了所能表示的最大值时，也会发生进位的现象。

二、退位退位是指在进行减法运算时，某一位的结果不够减时，需要从高位借位进行运算。

退位的实质就是从高位到低位的传递运算。

以十进制为例，当两个数字相减时，如9-7，个位数的9减去7的结果为2。

在个位数位上，由于减数大于被减数，无法直接相减，此时需要退位。

退位后个位数变为10，十位数减1，即90-7=83。

同样地，在其他进制中，进行减法运算时也会出现退位的现象。

例如，在二进制中，两个数字相减时，当某一位减数大于被减数时，就需要退位。

退位后，当前位变为1，高一位减1。

退位也存在于其他数字操作中。

在乘法、除法、指数运算等操作中，当某一位的结果不够减或者除时，也会发生退位的现象。

三、进位与退位的应用进位和退位作为数字运算中的重要概念，广泛应用于各个领域。

在计算机科学中，二进制进位和退位是基础运算中的重要步骤。

计算机内部使用二进制表示数字，通过进位和退位操作可以进行加法、减法、乘法、除法等各种数字运算。

进位和退位的高效实现是计算机高速计算和存储的基础。

数学运算符号

数学运算符号数学运算符号是数学中不可或缺的一部分，它们是用来表达数学运算的符号，如加减乘除、平方、开方、指数等。

这些符号不仅在数学中起着重要的作用，而且在其他学科中也有广泛的应用。

本文将介绍一些常见的数学运算符号及其用法。

一、基本运算符号1. 加号（+）：表示两个数的和，如3+4=7。

2. 减号（-）：表示两个数的差，如5-2=3。

3. 乘号（×）：表示两个数的积，如2×3=6。

4. 除号（÷）：表示两个数的商，如6÷3=2。

二、高级运算符号1. 平方（）：表示一个数的平方，如3=9。

2. 立方（）：表示一个数的立方，如2=8。

3. 开方（√）：表示一个数的平方根，如√9=3。

4. 指数（a）：表示a的n次方，如2=8。

5. 对数（loga b）：表示以a为底数，b的对数，如log8=3。

6. 阶乘（n!）：表示n的阶乘，如5!=5×4×3×2×1=120。

7. 绝对值（|x|）：表示x的绝对值，如|-3|=3。

8. 百分号（%）：表示除以100的结果，如50%=0.5。

三、运算符号的优先级在数学运算中，不同的运算符号有不同的优先级，一般按照以下规则进行计算：1. 括号内的运算优先级最高。

2. 指数运算优先级次之。

3. 乘除运算优先级高于加减运算。

4. 同级运算按照从左到右的顺序进行计算。

例如，计算表达式2+3×4-5÷2，按照优先级进行计算，得到的结果为：2+12-2.5=11.5。

四、运算符号的应用数学运算符号不仅在数学中有广泛的应用，而且在其他学科中也有重要的作用。

1. 物理学中，运用数学运算符号计算物体的速度、加速度、力等物理量。

2. 化学中，运用数学运算符号计算物质的摩尔质量、化学反应的化学方程式等。

3. 统计学中，运用数学运算符号计算数据的平均数、方差、标准差等。

4. 金融学中，运用数学运算符号计算财务数据的复利、现值、未来值等。

数学符号——精选推荐

数学符号第⼀个是向下取整，取⽐5/2⼩的最⼤整数。

第⼆个是向上取整，取⽐5/2⼤的最⼩整数。

第三个符号要看上下⽂作者的约定了。

⼀般指地都是向下取整。

数学符号⼀般有以下⼏种：（1）数量符号：如:i，2＋i，a，x，⾃然对数底e，圆周率∏。

（2）运算符号：如加号（+），减号（-），乘号（×或·），除号（÷或／），两个集合的并集（∪），交集（∩），根号（），对数（log，lg，ln），⽐（∶），微分（d），积分（∫）等。

（3）关系符号：如“=”是等号，“≈”或“ ”是近似符号，“≠”是不等号，“＞”是⼤于符号，“＜”是⼩于符号，“ ”表⽰变量变化的趋势，“∽”是相似符号，“≌”是全等号，“‖”是平⾏符号，“⊥”是垂直符号，“∝”是正⽐例符号，“∈”是属于符号等。

（4）结合符号：如圆括号“（）”⽅括号“[]”，花括号“{}”括线“—”（5）性质符号：如正号“+”，负号“-”，绝对值符号“‖”（6）省略符号：如三⾓形（△），正弦（sin），X的函数（f(x)），极限（lim），因为（∵），所以（∴），总和（∑），连乘（∏），从N个元素中每次取出R 个元素所有不同的组合数（C ），幂（aM），阶乘（！）等。

符号意义∞ ⽆穷⼤PI 圆周率|x| 函数的绝对值∪集合并∩集合交≥ ⼤于等于≤ ⼩于等于≡恒等于或同余ln(x) 以e为底的对数lg(x) 以10为底的对数floor(x) 上取整函数ceil(x) 下取整函数x mod y 求余数{x} ⼩数部分x - floor(x)∫f(x)δx 不定积分∫[a:b]f(x)δx a到b的定积分P为真等于1否则等于0∑[1≤k≤n]f(k) 对n进⾏求和,可以拓⼴⾄很多情况如：∑[n is prime][n < 10]f(n)∑∑[1≤i≤j≤n]n^2lim f(x) (x->?) 求极限f(z) f关于z的m阶导函数C(n:m) 组合数,n中取mP(n:m) 排列数m|n m整除nm⊥n m与n互质a ∈A a属于集合A#A 集合A中的元素个数回答者：tzzjh - 助理⼆级11-9 10:49-------------------------------------------------------------------------------- （1）数量符号（2）运算符号：如加号（+），减号（-），乘号（×或·），除号（÷或／），两个集合的并集（∪），交集（∩），根号（），对数（log，lg，ln），⽐（∶）等。

18六年级奥数专题十八：取整计算

六年级奥数专题十八：取整计算关键词：整除计算奥数小数整数运算符号个数年级部分任何一个小数（或分数）都可以分成整数和纯小数（或真分数）两部分。

在数学计算中，有时会略去数字的小数部分，而只取它的整数部分。

比如，做得到正确答案是2件。

为了方便，我们引进符号［］：［a］表示不超过数a的最大整数，称为a的整数部分。

与+，-，×，÷符号一样，符号［］也是一种运算，叫取整运算。

显然，取整运算具有以下性质：对于任意的数字a，b，（1）［a］≤a；（2）a≤［a］＋1；（3）［a］＋［b］≤［a＋b］；（4）若a≤b，则［a］≤［b］；（5）若n是整数，则［a＋n］=［a］＋n。

同学们可以自己举些例子来验证这五条性质。

例1计算［13÷［π］×4］。

解：［13÷［π］×4］［13÷3×4］例2 1000以内有多少个数能被7整除？分析与解：同学们在三年级“包含与排除”一节中就见过这类题目，现在我们用取整运算来重新计算。

1000以内能被7整除的数，从1开始每7个数有1个，所以共有例3 求1～1000中能被2或3或5整除的数的个数。

都被重复计算了，应当减去。

另外，同时能被2，3，5整除的数，开始被加了三遍，后来又被减了三遍，所以还应当补上。

例4 1000以内有多少个数既不是3也不是7的倍数？分析：在1～1000中，除去“既不是3也不是7的倍数”的数，剩下的数或者是3的倍数，或者是7的倍数。

用例3的方法可求出这部分数的个数。

1000与这部分数的个数之差即为所求。

例5求下式约简后的分母：分析与解：因为6=2×3，所以分母中的500个6相乘，等于2500×3500。

只要我们求出分子中有多少个因子2、多少个因子3，就可以与分母中的因子2和因子3约分了。

因为分子的1000个因数中有500个偶数，所以至少有500 个因子2，这样分母中的500个因子2将被全部约掉。

进位计数制及其转换方法过程详解

进位计数制及其转换方法过程详解数制也称计数制,是指用一组固定的符号和统一的规则来表示数值的方法。

按进位的原则进行计数的方法,称为进位计数制。

比如，在十进位计数制中,是按照“逢十进一”的原则进行计数的。

常用进位计数制：1、十进制(Decimal notation)，有10个基数：0 ~~ 9 ，逢十进一；2、二进制(Binary notation)，有2 个基数：0 ~~ 1 ，逢二进一；3、八进制(Octal notation)，有8个基数：0 ~~ 7 ，逢八进一；4、十六进制数(Hexdecimal notation)，有16个基数：0 ~~ 9，A，B，C，D，E，F (A=10,B=11,C=12,D=13,E=14,F=15) ，逢十六进一。

二、进位计数制的基数与位权"基数"和"位权"是进位计数制的两个要素。

1、基数：所谓基数，就是进位计数制的每位数上可能有的数码的个数。

例如，十进制数每位上的数码，有"0"、"1"、"3",…，"9"十个数码，所以基数为10。

2、位权：所谓位权，是指一个数值的每一位上的数字的权值的大小。

例如十进制数4567从低位到高位的位权分别为100、101、102、103。

因为：?4567＝4x103＋5x 102＋6x 101 ＋7x100?3、数的位权表示：任何一种数制的数都可以表示成按位权展开的多项式之和。

比如：十进制数的435．05可表示为：435．05＝4x102＋3x 101＋5x100＋0x10－1 ＋5x 10－2位权表示法的特点是：每一项＝某位上的数字X基数的若干幂次；而幂次的大小由该数字所在的位置决定。

?三、二进制数计算机中为何采用二进制：二进制运算简单、电路简单可靠、逻辑性强。

按“逢二进一”的原则进行计数，称为二进制数，即每位上计满2 时向高位进一。