生活中经常遇到求利润最大用料最效率最高等问题

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题。导数在实际生活中的优化问题主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面： 1、与几何有关的最值问题； 2、与物理学有关的最值问题； 3、与经济中利润及其成本有关的最值问题； 4、效率最值问题。如：

例1．海报版面尺寸的设计

学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm 。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？

解：设版心的高为x dm ，则版心的宽为

128

x

dm,此时四周空白面积为 128512

()(4)(2)12828,0

S x x x x x x

=++-=++> 求导数，得： '

2512()2S x x

=-.

令

'

2512()20S x x =-=，解得 16(16x x ==-舍去）.

于是宽为

128128

816x

==. 当 (0,16)x ∈时， '()S x <0；当 (16,)x ∈+∞时， '()S x >0. 因此， 16x =是函数 ()S x 的极小值，

也是最小值点.所以，当版心高为16dm ，宽为8dm 时，能使四周空白面积最小.

答：当版心高为16dm ，宽为8dm 时，海报四周空白面积最小。 例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？ （2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？ 解：由于瓶子的半径为 r ，所以每瓶饮料的利润是

()332

240.20.80.8,0633r y f r r r r r πππ⎛⎫==⨯-=-<≤ ⎪⎝⎭

令

()2

0.8(2)0f r r r π'=-= 解得 2r =（ 0r =舍去） 当 ()0,2r ∈时， ()0f r '<；当 ()2,6r ∈时，

()0f r '>． 当半径 2r >时， ()0f r '>它表示

()f r 单调递增，即半径越大，利润越高；

当半径 2r <时， ()0f r '< 它表示

()f r 单调递减，即半径越大，利润越低． （1）半径为 2cm 时，利润最小，这时

()20f <，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子

的成本，此时利润是负值．

（2）半径为 6cm 时，利润最大．

例3．磁盘的最大存储量问题

问题：现有一张半径为 R 的磁盘，它的存储区是半径介于 r 与 R 之间的环形区域． （1） 是不是 r 越小，磁盘的存储量越大？

（2） r 为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？ 解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。

设存储区的半径介于 r 与R 之间，由于磁道之间的宽度必需大于 m ，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达

R r

m -。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最

大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达

2r

n

π。所以，磁盘总存储量

()f r =

R r m -×

2r n π2()r R r mn

π

=- （1）它是一个关于 r 的二次函数,从函数解析式上可以判断,不是 r 越小,磁盘的存储量越

大． （2）为求 ()f r 的最大值，计算 ()0f r '=． ()2()2f r R r mn

π

'=

- 令 ()0f r '=，解得

2R

r =

当 2R r <时， ()0f r '>；当

2R

r >时， ()0f r '<．

因此 2R r =时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为

2

24R mn π

例4．汽油的使用效率何时最高

我们知道，汽油的消耗量 w （单位：L ）与汽车的速度 v （单位：km/h ）之间有一定的关系，汽油的消耗量 w 是汽车速度 v 的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题： （1）是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？（2）“汽油的使用率最高”的含义是什么？

解：因为 w w g

t G s s v t ===

这样，问题就转化为求 g v 的最小值．从图象上看，

g

v 表示经过原点与曲线上点的直线的

斜率．进一步发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小．在此切点处速度约为90 /km h ．

因此，当汽车行驶距离一定时，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此时的车速约为90 /km h ．从数值上看，每千米的耗油量就是图中切线的斜率，即

()90f '，

约为 L ．

例5．在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多

解法一：设箱底边长为x cm ，则箱高

2

x

h =

cm ，得箱子容积 260)(3

22

x x h x x V -== )600(<

2

3()602

x V x x '=- )600(<

令 2

3()602

x V x x '=-＝0，解得 x =0（舍去），x =40，

并求得V(40)=16 000

由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值

答：当x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm 3

例6．圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？

解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积

S=2πRh+2πR 2

由V=πR 2h ，得 2

V

h R π=，则 S (R )= 2πR

2

V R π+ 2πR 2= 2V R

+2πR 2 令 22()V

s R R '=-+4πR=0

解得，R=

h= 2

V

R π=

=

3

V

π

即h =2R

因为S (R )只有一个极值，所以它是最小值 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省

从以上例子可看出利用导数解决优化问题的基本思路：

在这个过程中，我们可以看出导数在解决生活实际优化问题往往是一个有利的工具。