生活中经常遇到求利润最大用料最效率最高等问题
2021-2022学年北师大版选择性必修第二册 第2章 实际问题中导数的意义实际问题中的最值问题
[跟进训练] 1．线段 AB 长 10 米，在它的两个端点处各有一个光源，线段 AB 上的点 P 距光源 A x 米，已知点 P 受两个光源的总光照度 I(x)＝x82 ＋10－1 x2，其单位为：勒克斯． (1)当 x 从 5 变到 8 时，求点 P 处的总光照度关于点 P 与 A 的距 离 x 的平均变化率，它代表什么实际意义？ (2)求 I′(5)并解释它的实际意义．
类型 2 导数在日常生活中的应用 【例 2】 某机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润 c 元与生产量 x 台之间的关系式为 c(x)＝－2x2＋7 000x＋600． (1)求产量为 1 000 台的总利润与平均利润； (2)求产量由 1 000 台提高到 1 500 台时，总利润的平均改变量； (3)求 c′(1 000)与 c′(1 500)，并说明它们的实际意义．
它表示从 t＝1 s 到 t＝3 s 这段时间，这个人平均每秒做功 5 J．
(2)首先求 W′(t)．根据导数公式和求导法则可得 W′(t)＝3t2－12t ＋16，
于是，W′(1)＝7 J/s，W′(2)＝4 J/s． W′(1)和 W′(2)分别表示 t＝1 s 和 t＝2 s 时，这个人每秒做的功分 别为 7 J 和 4 J．
(2)根据(1)，f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)．
∴当 x＝8 时，S 取得最小值，则高为 4 dm．]
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4．某考生在参加 2020 年高考数学科考试时，其解答完的题目数 量 y(单位：道)与所用时间 x(单位：分钟)近似地满足函数关系 y＝2 x．
(1)求 x 从 0 分钟变化到 36 分钟时，y 关于 x 的平均变化率； (2)求 f′(64)，f′(100)，并解释它的实际意义．
利用数学解决日常生活中的利润和损失问题
利用数学解决日常生活中的利润和损失问题在日常生活中，我们经常会遇到一些与利润和损失相关的问题。
通过运用数学的方法，我们可以更准确地计算利润和损失，做出更明智的决策。
本文将介绍一些常见的利润和损失问题，并采用数学的解决方法。
第一部分：利润问题在商业运营中，计算利润是非常重要的。
无论是个人经营还是大型企业，都需要通过计算利润来评估业务的盈利能力。
数学可以帮助我们更好地理解和计算利润。
1. 成本和利润率了解成本和利润率是计算利润的关键。
成本是指制造或购买商品所需的费用总和，包括原材料、人工成本等。
利润率是指利润与销售额的比率。
例如，某家公司生产一种产品，总成本为10000元，销售额为15000元，那么利润率可以通过以下公式计算：利润率 = (利润 / 销售额) × 100%。
带入数据得到：利润率 = (15000 - 10000) / 15000 × 100% = 33.33%。
2. 利润和损失的计算用数学的方法可以更准确地计算利润和损失。
利润等于销售额减去成本，而损失则是成本减去销售额。
举个例子，假设某人购买商品的成本为600元，最终以750元的价格售出，那么利润可以通过以下公式计算：利润 = 销售额 - 成本。
带入数据得到：利润 = 750 - 600 = 150元。
3. 利润的百分比利润百分比是衡量利润水平的指标。
它可以通过将利润除以销售额得到，并以百分比形式表示。
例如，如果某公司的利润为5000元，销售额为20000元，那么利润百分比可以通过以下公式计算：利润百分比 = (利润 / 销售额) ×100%。
带入数据得到：利润百分比 = (5000 / 20000) × 100% = 25%。
第二部分：损失问题在经营过程中，我们也经常会遇到损失的情况。
计算损失可以帮助我们了解到发生损失的原因，并采取相应措施以减少或防止损失。
1. 损失率损失率是衡量损失程度的指标。
浅谈用数学思想来解决经济生活中利润类问题
浅谈用数学思想来解决经济生活中利润类问题崔 园 宁波经贸学校摘要：本文探讨了如何用数学思想来解决经济生活中碰到的求利润，最大利润这样的一类应用题。
用方程思想可解决售价进价是不变的一类问题，而当售价进价变化时，我们则往往用函数思想来解决，且这两类问题中的销售量是常量或只是一般变量；而当问题进一步复杂化时，问题中的利润或销售量不是一般变量而是随机变量时，我们往往会用数学期望等相关知识来解决。
关键词：方程思想、函数思想、数学期望、（最大）利润利润类应用题是生产经营中经常遇到的问题，是一个社会人尤其是商业人需要去关注的问题。
作为职业学校的数学教师，我觉得我有责任将数学与专业有机地结合起来，让数学为专业服务，所以我觉得有必要将利润类应用题渗透到我们的数学课堂中，甚至有必要将它作为一个模块编入校本教材中。
下面我浅谈一下如何用数学思想来解决经济生活中的利润类问题。
一、 用方程思想解决利润类问题用方程思想解决的是最简单的一类利润、折扣问题，这是小学初中数学中经常出现的应用题。
解决这一类问题关键在于看清题意，列出方程，当然也可以是不等式，但其本质不变都是简单的套用公式类的题目。
核心公式：利润＝收入－成本。
下面我们来看几个例子：1、一种商品，甲店进货价比乙店便宜12%，两店同样按20%的利润定价，这样1件商品乙店比甲店多收入24元，甲店的定价是多少元？解析：设乙店进货价为x 元，可列方程24%)121(%2020%=-⨯-x x ，解得1000=x ，故甲店定价为1000×（1－12%）×（1+20%）=1056元。
2、某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价12万元，售价14.5万元，每件乙种商品进价8万元，售价10万元，且进价售价不变，现准备购进甲、乙两种商品共20件，所用资金不低于190万元，不高于200万元。
求（1）该公司有哪几种进货方案？（2）该公司采用哪种进货方案可获得最大利润？最大利润多少？解析：设购进甲种商品x 件，乙种商品y 件，由题意20=+y x ①200812190≤+≤y x ②解得105.7≤≤x ，且x 必须是整数，所以10,9,8=x ，所以有3种进货方案。
“利润最大值”问题的解答策略
“利润最大值”问题的解答策略数学来源于生活，生活也离不开数学，利用数学知识解决生活中的问题，是数学教学的目的，也是新课改的要求。
数学涉及生活的方方面面，小到计算柴米油盐，大到计算企业的收支状况。
纵观近几年各地的数学中考试题，“利润最大值”问题也常有出现，难易程度不一，它涉及方程、二次函数等方面的知识。
在解决此类问题时，学生一定要结合实际情况灵活运用数学知识，不能生搬硬套数学公式。
下面笔者结合具体试题，分析归纳此类问题的解题策略。
一、利用配方法，解决最大值问题例1 （2013年江苏南通中考题）某公司营销A，B两种产品，根据市场调研，发现如下信息：信息1：销售A种产品所获的利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系。
当x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6.信息2：销售B种产品所获的利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在正比例函数关系y=0.3x。
根据以上信息，解答下列问题：（1）求二次函数解析式；（2）该公司准备购进A，B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A，B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？解析：该题第一问求二次函数的解析式不是难点，只要把两组数值代入公式，然后解方程组就能解决问题，得出二次函数解析式为y=-0.1x2+1.5x.关键是第二问：利润最大是多少？设销售A种产品m吨，则销售B种产品（10-m）吨，代入上述两个函数，得到利润之和w=-0.1m2+1.2m+3.相信绝大部分学生能够得出该解析式，那么下面该怎么办呢？我们利用“配方法”把式子变形为w=-0.1（m-6）2+6.6，因为系数-0.1是负数，所以w有最大值，即当m-6=0时，利润最大。
所以m=6时，最大利润是6.6万元。
只要想到了对二次函数进行配方，那么这个问题就迎刃而解了。
二、利用二次函数图象的顶点，解决最大值问题例2 某商品现在的售价为每件80元，每星期可卖出200件。
经市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出20件；每降价1元，每星期可多卖出20件。
利用导数解决实际问题优秀课件
故R在M = 2C时取得极大值，而且此时取得最大值.
例 4.已知某种工艺品总成本C元是产量Q件的函数，且
= 102 + 200 + 1000，1 ≤ ≤ 30.
将Q看成能取区间[1, 30]内的每一个值，求月产量Q为多少时，才能使每件
= 12(x − 0.6)(x − 0.2).
令V ′
> 0，可解得x < 0.2.
1.2 − 2
1.2 − 2
1.2 − 2
因此可知V在(0, 0.2]上递增，在[0.2, 0.6)上递减，
故V在x = 0.2时取得极大值，而且在此时取得最大值.
即截去的正方形边长为0.2m时，容器的容积最大.
因此，当 0 < x <
1.6时，y ′
= 50 ×
1
×
2Leabharlann (1.22+
1
x 2 )−2 ×
海
陆
2x − 30 =
令y ′ > 0，可解得x > 0.9.
可知y在[0，0.9] 上递减，在[0.9，1.6]上递增，从而y在x = 0.9时
取得最小值，而且最小值为
50 1.22 + 0.92 + 30(1.6 −0.9 ) = 96.
设成本为每千米30万元，那么铺设输油管的最少花费是多少？
海
陆
思考：分别计算下列两种算法的铺设成本.
(1)先沿AC铺设，再沿CB铺设；
(2)直接沿着线段AB铺设.
解：(1) 成本为1.2 × 50 + 1.6 × 30 = 108万元.
导数在实际生活中的应用
导数在实际生活中的应用（1）学习目标1.通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用.2.在解决具体问题的过程中,体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.课前预学：问题1:一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.只要利用导数求出函数y=f(x)的所有,再求出端点的函数值,进行比较,就可以得出函数的最大值和最小值.问题2:生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为问题.导数是求函数最大(小)值的有力工具,可以运用导数解决一些生活中的优化问题.问题3:利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各个量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);(2)求函数的,解方程f'(x)=0;(3)比较函数在区间端点和点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.问题4:解决生活中的优化问题应当注意的问题确定函数关系式中自变量的区间,一定要考虑实际问题的意义,不符合实际问题的值应舍去.课堂探究：一．利润最大问题某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,其中3<x<6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.(1)求a的值;(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售量价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.二．容积最大问题请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?(2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.三．成本最低问题：如图,某工厂拟建一座平面图为矩形,且面积为200平方米的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16米.如果池四周壁建造单价为每米400元,中间两条隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,无盖.(1)写出总造价y(元)与污水处理池的长x(米)的函数关系式,并指出其定义域;(2)污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并求出最低总造价.课堂检测：1.把长度为l的铁丝围成一个长方形,则长方形的最大面积为.2.设底为正三角形的直棱柱的体积为V,则其表面积最小时底面边长为.3.做一个无盖圆柱水桶,其体积是27π m3,若用料最省,则圆柱的底面半径为m.4.已知一个扇形的周长为l,扇形的半径和中心角分别为多大时,扇形的面积最大?导数在实际生活中的应用（2）学习目标：1.通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用.2.在解决具体问题的过程中,体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性. 课前预学：1.把长度为16的线段分成两段,各围成一个正方形,这两个正方形面积的最小值为 .2.要做一个圆锥形漏斗,其母线长20 cm,要使其体积最大,则其高是 .3.周长为20的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,则圆柱体积的最大值是 .4.一边长为48 cm 的正方形铁皮,铁皮四角截去四个边长都为x cm 的小正方形,做成一个无盖方盒.求x 多大时,方盒容积最大? 课堂探究：1．如图,等腰梯形ABCD 的三边AB,BC,CD 分别与函数y=-x 2+2,x∈[-2,2]的图象切于点P,Q,R.求梯形ABCD 面积的最小值.2．已知某公司生产的品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件,需要另投入1.9万元,设R(x)(单位:万元)为销售收入,根据市场调查得知R(x)=其中x 是年产量(单位:千件).(1)写出年利润W 关于年产量x 的函数解析式;(2)年产量为多少时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大?3．统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y=x 3-x+8(0<x≤120),已知甲、乙两地相距100千米.(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (2)当汽车以多大速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?课堂检测：某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.。
第3章 2.2 第2课时 最大值、最小值的实际应用
第2课时 最大值、最小值的实际应用学习目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.能利用导数解决一些简单的恒成立问题.3.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题的方法．知识点 生活中的优化问题(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题． (2)利用导数解决优化问题的实质是求函数最值． (3)解决优化问题的基本思路上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程.类型一 与最值有关的恒成立问题例1 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1处都取得极值．(1)求a ，b 的值及函数f (x )的单调区间；(2)若对x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2恒成立，求实数c 的取值范围． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立中参数的取值范围 解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f ′⎝⎛⎭⎫－23＝43－43a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，所以f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)， 令f ′(x )＝0，得x ＝－23或x ＝1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－23，(1，＋∞)；单调减区间为⎝⎛⎭⎫－23，1. (2)由(1)知，f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，当x ＝－23时，f ⎝⎛⎭⎫－23＝2227＋c 为极大值， 因为f (2)＝2＋c ，所以f (2)＝2＋c 为最大值． 要使f (x )<c 2(x ∈[－1,2])恒成立， 只需c 2>f (2)＝2＋c ， 解得c <－1或c >2.故实数c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)． 引申探究若本例中条件不变，“把(2)中对x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2恒成立”改为“若存在x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2成立”，结果如何？解 由例题解析知当x ＝1时，f (1)＝c －32为极小值，又f (－1)＝12＋c >c －32，所以f (1)＝c －32为最小值．因为存在x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2成立， 所以只需c 2>f (1)＝c －32，即2c 2－2c ＋3>0，解得c ∈R .故实数c 的取值范围为R .反思与感悟 分离参数求解不等式恒成立问题的步骤跟踪训练1 已知函数f (x )＝2x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3对一切x ∈(0，＋∞)，f (x )≥g (x )恒成立，则a 的取值范围是________． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立中参数的取值范围 答案 (－∞，4]解析 由2x ln x ≥－x 2＋ax －3， 得a ≤2ln x ＋x ＋3x.设h (x )＝2ln x ＋3x ＋x (x >0)．则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2，当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )是减少的， 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )是增加的． ∴h (x )min ＝h (1)＝4. ∴a ≤4.类型二 实际生活中的最值问题 命题角度1 几何中的最值问题例2 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．点E ，F 在边AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．考点 利用导数求几何模型的最值问题 题点 利用导数求几何体体积的最值问题 解 ∵V (x )＝(2x )2×(60－2x )×22＝2x 2×(60－2x )＝－22x 3＋602x 2(0<x <30)． ∴V ′(x )＝－62x 2＋1202x ＝－62x (x －20)． 令V ′(x )＝0，得x ＝0(舍)或x ＝20. ∵当0<x <20时，V ′(x )>0； 当20<x <30时，V ′(x )<0.∴V (x )在x ＝20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值． ∴底面边长为2x ＝202(cm)， 高为2(30－x )＝102(cm)， 即高与底面边长的比值为12.引申探究本例条件不变，若要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？ 解 ∵AE ＝x ，∴HE ＝2x . ∵EF ＝60－2x ， ∴EG ＝22EF ＝22(60－2x )＝2(30－x )． ∴S 侧＝4×HE ×EG ＝4×2x ×2(30－x ) ＝8x (30－x )＝－8x 2＋240x ＝－8(x －15)2＋8×152.∴当x ＝15时，S 侧最大为1 800 cm 2.反思与感悟 面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．跟踪训练2 已知圆柱的表面积为定值S ，当圆柱的容积V 最大时，圆柱的高h 的值为________．考点 利用导数求几何模型的最值问题 题点 利用导数求几何体体积的最值问题 答案6πS 3π解析 设圆柱的底面半径为r ， 则S 圆柱底＝2πr 2，S 圆柱侧＝2πrh ， ∴圆柱的表面积S ＝2πr 2＋2πrh . ∴h ＝S －2πr 22πr，又圆柱的体积V ＝πr 2h ＝r2(S －2πr 2)＝rS －2πr 32，V ′(r )＝S －6πr 22，令V ′(r )＝0，得S ＝6πr 2，∴h ＝2r ， ∵V ′(r )只有一个极值点， ∴当h ＝2r 时圆柱的容积最大． 又r ＝S6π，∴h ＝2S 6π＝6πS 3π. 即当圆柱的容积V 最大时， 圆柱的高h 为6πS 3π. 命题角度2 利润最大(或费用最少)问题例3 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎨⎧10.8－130x 2，0<x ≤10，108x －1 0003x 2，x >10.(1)求年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值．考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 利用导数求解最大利润问题 解 (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10；当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－1 0003x－2.7x .所以W ＝⎩⎨⎧8.1x －x 330－10，0<x ≤10，98－1 0003x－2.7x ，x >10.(2)当0<x ≤10时，由W ′＝8.1－x 210＝0，得x ＝9(或x ＝－9舍)，当x ∈(0,9)时，W ′>0，当x ∈(9,10)时，W ′<0， 所以当x ＝9时，W 取得极大值也为最大值， 且W max ＝8.1×9－130×93－10＝38.6，当x >10时，W ＝98－⎝⎛⎭⎫1 0003x ＋2.7x ≤98－21 0003x×2.7x ＝38， 当且仅当1 0003x ＝2.7 x ，即x ＝1009时，W max ＝38.综上可得，当x ＝9时，W 取得最大值38.6.故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元．反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有 (1)利润＝收入－成本．(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练3 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值． 考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 用料、费用最少问题解 (1)由题设知，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5， 而建造费用为C 1(x )＝6x .因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)． (2)f ′(x )＝6－ 2 400(3x ＋5)2.令f ′(x )＝0，即 2 400(3x ＋5)2＝6，解得x ＝5，x ＝－253(舍去)． 当0<x <5时，f ′(x )<0；当5<x <10时，f ′(x )>0，故当x ＝5时，f (x )取到最小值，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.答 当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值为70万元.1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A ．8 B.203 C ．－1D ．－8考点 利用导数求解生活中的最值问题题点 利用导数求解生活中的其他最值问题 答案 C解析 原油温度的瞬时变化率为f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(0≤x ≤5)，所以当x ＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.2．当x ∈(0,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5，＋∞) B ．[－6，－5] C ．[－6，＋∞)D ．[－4，－3]考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围 答案 C解析 ∵x >0，∴a ≥1x －4x 2－3x 3恒成立．令1x ＝t ，∵x ∈(0,1]，∴t ≥1， ∴a ≥t －4t 2－3t 3恒成立．令g (t )＝t －4t 2－3t 3，则g ′(t )＝1－8t －9t 2， 易知g ′(t )图像的对称轴是t ＝－818＝－49，∴函数g ′(t )在[1，＋∞)上是减少的．又g ′(1)＝－16<0，∴g ′(t )<0在[1，＋∞)上恒成立， ∴g (t )在[1，＋∞)上是减少的， ∴g (t )max ＝g (1)＝－6，∴a ≥－6.3．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P 元，销售量为Q 件，且销量Q 与零售价P 有如下关系：Q ＝8 300－170P －P 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( ) A ．30元 B ．60元 C ．28 000元D ．23 000元考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 利用导数求解最大利润问题 答案 D解析 毛利润为(P －20)Q ，即f (P )＝(P －20)(8 300－170P －P 2)，f ′(P )＝－3P 2－300P ＋11 700 ＝－3(P ＋130)(P －30)． 令f ′(P )＝0，得P ＝30或P ＝－130(舍)．所以当P ＝30时，f (P )取得极大值也为最大值． 故当P ＝30时，毛利润最大， 所以f (P )max ＝f (30)＝23 000(元)．4．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是____元． 考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 用料、费用最少问题 答案 160解析 设底面长为x ，由题意得底面宽为4x.设总造价为y ，则y ＝20x ×4x ＋10×1×⎝⎛⎭⎫2x ＋2×4x ， 即y ＝20x ＋80x ＋80，y ′＝20－80x 2，令y ′＝0，得x ＝2.∴当x ＝2时，y min ＝160(元)．5．已知2x ln x ≥－x 2＋ax －3对一切x ∈(0，＋∞)恒成立，求a 的取值范围． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围 解 由2x ln x ≥－x 2＋ax －3(x >0)， 得a ≤2ln x ＋x ＋3x.设h (x )＝2ln x ＋3x ＋x (x >0)．则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2，当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )是减少的， 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )是增加的． ∴h (x )min ＝h (1)＝4.∴a ≤h (x )min ＝4.1．恒成立问题可转化为函数最值问题． 2．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )；(2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．一、选择题1．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高应为( ) A.1033 cmB.2033 cmC.1633cmD.33cm 考点 利用导数求几何模型的最值问题 题点 利用导数求几何体体积的最值问题 答案 B解析 设圆锥的高为h cm,0<h <20， ∴V 圆锥＝13π(202－h 2)×h ＝13π(400－h 2)h∴V ′＝13π(400－3h 2)，令V ′(h )＝0得h ＝2033，当h ∈⎝⎛⎭⎫0，2033时，V ′>0，当h ∈⎝⎛⎭⎫2033，20时，V ′<0，故当h ＝2033时，体积最大．2．某工厂生产的机器销售收入y 1(万元)与产量x (千台)的函数关系为y 1＝17x 2，生产总成本y 2(万元)与产量x (千台)的函数关系为y 2＝2x 3－x 2(x >0)，为使利润最大，应生产( ) A ．9千台 B ．8千台 C ．7千台 D ．6千台 考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 利用导数求解最大利润问题答案 D解析 设利润为y ，则y ＝17x 2－2x 3＋x 2＝－2x 3＋18x 2(x >0)，∴y ′＝－6x 2＋36x ＝－6x (x －6)，易知递增区间为(0,6)，递减区间为(6，＋∞)，∴当x ＝6时，利润最大．3．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ≥32B ．m >32C ．m ≤32D ．m <32考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围答案 A解析 由f ′(x )＝2x 3－6x 2＝0，得x ＝0或x ＝3，经检验知x ＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f (3)＝3m －272.不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，所以3m －272≥－9，解得m ≥32. 4．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( )A ．0≤a <1B ．0<a <1C ．－1<a <1D ．0<a <12考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 最值存在性问题答案 B解析 f ′(x )＝3x 2－3a ，①当a ≤0时，f ′(x )≥0，这表明f (x )在(0,1)上是增加的，所以f (x )在(0,1)内无最值，显然不可能．②当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝±a ，易知f (x )在x ＝a 处取得唯一的极小值，故极小值点在(0,1)内，所以0<a <1，即0<a <1.综上所述，a 的取值范围为(0,1)．5．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的距离的最小值为( )A ．1 B. 2 C.22D. 3 考点 与最值有关的其他问题题点 与最值有关的其他问题答案 B解析 设P (x ，x 2－ln x )，则点P 到直线y ＝x －2的距离d ＝|x －x 2＋ln x －2|12＋12＝|x 2－x －ln x ＋2|2. 设g (x )＝x 2－x －ln x ＋2(x >0)，则g ′(x )＝2x 2－x －1x ＝(2x ＋1)(x －1)x. 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0.故g (x )在(0,1)上是减少的，在(1，＋∞)上是增加的，则当x ＝1时，g (x )取得极小值也是最小值，且g (1)＝2，所以d min ＝ 2.6．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图像分别交于点M ，N ，则当|MN |最小时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52 D.22考点 与最值有关的其他问题题点 与最值有关的其他问题答案 D解析 令F (x )＝f (x )－g (x )＝x 2－ln x (x >0)，则F ′(x )＝2x －1x. 令F ′(x )＝0，得x ＝22(负值舍去)， 易知F (x )在x ＝22处取得最小值，即当|MN |取最小值时，t 的值为22. 7．圆柱形金属饮料罐的体积一定，要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省，则它的高与底面半径的比为( )A ．2∶1B ．1∶2C ．1∶4D ．4∶1考点 利用导数求解生活中的最值问题题点 用料、费用最少问题答案 A解析 设其体积为V ，高与底面半径分别为h ，r ，则V ＝πr 2h ，即h ＝V πr 2. 由题意知，当表面积S 最小时所用材料最省．S ＝2πr 2＋2πrh ＝2πr 2＋2πr V πr 2＝2πr 2＋2V r. 令S ′＝4πr －2V r 2＝0，得r ＝3V 2π， 当r ＝3V 2π时，h ＝V π⎝ ⎛⎭⎪⎫3V 2π2＝34V π. 则h ∶r ＝2∶1时，表面积S 最小．二、填空题8．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8，x ∈(0,120]，且甲、乙两地相距100千米，则当汽车以________千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最少．考点 利用导数求解生活中的最值问题题点 用料、费用最少问题答案 80解析 当速度为x 千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为y 升，依题意得，y ＝⎝⎛⎭⎫1128 000x 3－380x ＋8·100x＝ 1 1 280x 2＋800x －154(0<x ≤120)． 则y ′＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)． 令y ′＝0，得x ＝80，当x ∈(0,80)时，y ′<0，该函数是减少的；当x ∈(80,120]时，y ′>0，该函数是增加的，所以当x ＝80时，y 取得最小值．9．已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋2，x 1，x 2是区间[－1,1]上任意两个值，M ≥|f (x 1)－f (x 2)|恒成立，则M 的最小值是________．考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 利用导数求恒成立中参数的取值范围答案 4解析 f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，当－1≤x <0时，f ′(x )>0，f (x )是增加的，当0<x ≤1时，f ′(x )<0，f (x )是减少的，所以当x ＝0时，f (x )取得极大值，也为最大值，f (0)＝2，又f (－1)＝－2，f (1)＝0，所以f (x )的最小值为－2，对[－1,1]上任意x 1，x 2，|f (x 1)－f (x 2)|≤f (x )max －f (x )min ＝4，所以M ≥|f (x 1)－f (x 2)|恒成立，等价于M ≥4，即M 的最小值为4.10．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈(0,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________．考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围答案 [4，＋∞)解析 当x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3， 设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4， 所以g (x )在区间⎝⎛⎦⎤0，12上是增加的，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上是减少的， 因此g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4.11．某厂生产某种产品x 件的总成本为C (x )＝1 200＋275x 3(万元)，已知产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为________件时总利润最大．考点 利用导数求解生活中的最值问题题点 利用导数求解最大利润问题答案 25解析 由题意知502＝k 100，解得k ＝25×104. ∴产品的单价P ＝25×104x ＝500x. ∴总利润L (x )＝x 500x－1 200－275x 3 ＝500x －1 200－275x 3， L ′(x )＝250x －12－225x 2， 令L ′(x )＝0，得x ＝25，∴当x ＝25时，总利润最大．三、解答题12．已知函数f (x )＝ax 4ln x ＋bx 4－c (x >0)在x ＝1处取得极值－3－c ，其中a ，b ，c 为常数．(1)试确定a ，b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调区间；(3)若对任意x >0，不等式f (x )≥－2c 2恒成立，求实数c 的取值范围．考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围解 (1)由f (x )在x ＝1处取得极值－3－c ，知f (1)＝b －c ＝－3－c ，得b ＝－3.又f ′(x )＝4ax 3ln x ＋ax 4·1x＋4bx 3 ＝x 3(4a ln x ＋a ＋4b )，由f ′(1)＝0，得a ＋4b ＝0，所以a ＝－4b ＝12.(2)由(1)知f ′(x )＝48x 3ln x (x >0)．令f ′(x )＝0，得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x >1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．因此，f (x )的单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1，＋∞)．(3)由(2)知f (1)＝－3－c 既是极小值，也是(0，＋∞)内的最小值，要使f (x )≥－2c 2(x >0)恒成立，只需－3－c ≥－2c 2，即2c 2－c －3≥0.从而(2c －3)(c ＋1)≥0，解得c ≥32或c ≤－1. 故实数c 的取值范围为(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 13.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为64π3立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元，半球体部分每平方米建造费用为4千元．设该容器的总建造费用为y 千元．(1)将y 表示成r 的函数，并求该函数的定义域；(2)确定r 和l 为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用．考点 利用导数求解生活中的最值问题题点 用料、费用最少问题解 (1)因为容器的体积为64π3立方米， 所以4πr 33＋πr 2l ＝64π3，解得l ＝643r 2－43r ， 所以圆柱的侧面积为2πrl ＝2πr ⎝⎛⎭⎫643r 2－43r ＝128π3r －8πr 23，两端两个半球的表面积之和为4πr 2，所以y ＝⎝⎛⎭⎫128π3r －8πr 23×3＋4πr 2×4＝128πr＋8πr 2. 又l ＝643r 2－43r >0，即r <432， 所以定义域为(0,432)．(2)因为y ′＝－128πr 2＋16πr ＝16π(r 3－8)r 2， 令y ′>0得2<r <432；令y ′<0得0<r <2，所以当r ＝2米时，该容器的建造费用最小为96π千元，此时l ＝83米． 四、探究与拓展14．函数f (x )＝x 3－12x ＋3，g (x )＝3x －m ，若对任意x 1∈[－1,5]，存在x 2∈[0,2]，f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的最小值是________．考点 与最值有关的其他问题题点 与最值有关的其他问题答案 14解析 f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)，易知f (x )在[－1,2]上是减少的，在[2,5]上是增加的，所以f (x )min ＝f (2)＝8－24＋3＝－13，g (x )＝3x －m 在[0,2]上是增加的，所以g (x )min ＝g (0)＝1－m ，由题意知－13≥1－m ，即m ≥14.所以m 的最小值为14.15．设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．(1)求g (x )的单调区间和最小值．(2)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围解 (1)由题设知，f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ，g (x )＝ln x ＋1x(x >0)， 所以g ′(x )＝x －1x 2. 令g ′(x )＝0，得x ＝1.当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，故(0,1)是g (x )的递减区间；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，故(1，＋∞)是g (x )的递增区间．因此，x ＝1是g (x )在(0，＋∞)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g (1)＝1.(2)g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立， 即ln a <g (x )对任意x >0成立． 由(1)知，g (x )的最小值为1， 所以ln a <1，解得0<a <e. 即a 的取值范围是(0，e)．。
经济利润问题中的利润最大化问题
2015湖北省公务员备考——经济利润问题中的利润最大化问题湖北华图 黄晖在经济利润问题中，常常涉及到定价与利润的问题。
在实际生活中，商品的价格除了受商品的价值量影响外，还收价值规律的影响。
在成本一定的情况下，商品售价提高时，单价商品的利润会上升，但同时商品的销量会下降，二者是反比例关系。
在公务员考试中，经常会根据这种反比例关系进行命题，条件是销量随着定价的升高而降低，要求求出商品总收入或者总利润最大，本质上是一个二次函数求最值的问题，方法主要有以下三种：（1）求导法。
对于任意的多次函数121210n n n n n n y a x a x a x a x a ----=+++++，可以用求导法求出最值。
当()()'12312211220n n n n n n y na x n a x n a x a x a x -----=+-+-+++=时，求得的x 值代入原式可得到最大值或者最小值。
（2）配方法。
二次函数()2224024b ac b y ax bx c a x a a a -⎛⎫=++=++≠ ⎪⎝⎭，当0a >时，2b y a =-时，244ac b a-为最小值；当0a <时，2b y a =-时，244ac b a -为最大值。
（3）不等式法。
当a 、b 均大于0时，有()24a b ab +≤，故a b +为定值时，当a b =时，ab 的乘积取得最大值。
【例1】（2013下半年-四川-55）某报刊以每本2元价格发行，可发行10万份，若该报刊单价每提高0.2元，发行量将减少5000份，则该报刊可能的最大销售收入为多少万元？( )A.24B.23.5C.23D.22.5【答案】D【解析】方法一：设提价x 次，则售价为（0.2x ＋2）元，销量为（10－0.5x ）万份，则销售收入为。
因为（x+10）与（20－x ）的和为定值，要使总的销售收入最大，需要，此时，此时销售收入为()()()()0.22100.50.11020y x x x x =+⨯-=⨯+⨯-1020x x +=-5x =万元。
浅谈导数在实际生活中的应用
Ｌ ＝ （ ｘ 一 ３ － ａ ） （ １ ２ 一 ｘ ） ， Ｘ∈【 ９ ， １ １ 】 。 （ ２ ） Ｌ ’ （ ｘ ） ＝ （ １ ２ － ｘ ） － ２ （ ｘ ＿ ３ 一 ａ ） （ １ ２ 一 ｘ ） ： （ １ ２ 一 ｘ ） （ １ ８ ＋ ２ ａ 一 ３ ｘ ） 。
适 用 于 开 区间 或 无 穷 区 间 。
根据 问题 的实际意义 ， 当Ｃ Ｏ Ｓ ： 时， 函数取得最小值
此时ｓ ｉ ｎ ＝菩， 所以： ｃ ｏ ｔ ＝导
Ａ Ｃ＝５ ０ －４ ０ ｃ ｏ ｔ ＝２ ０ （ ｋ ｍ） ， 即供水 站建在 Ａ、 Ｄ之间距 甲厂 ２ Ｏ ｋ ｍ处 ， 可使水管费用最省。
在ｘ ＝ ６ ＋ 昙ａ 时两侧 Ｉ ｜ ｔ 的值 南正变负。
一
／ ， ●
≤
解： 设 箱底 的边 长为 ｘ ｃ ｌ ｎ ， 则箱子 的高 为
（ Ｏ ＜ ｘ ＜ ６ ０ ） ， 故箱子
９一
＼
６
的容积ｖ 关于 的函数为ｖ （ ｘ ） ＝ 。 ・
得ｖ ・ ｆ ｘ １ ＝一 ３ －＋６ ０ ３ ： 。
・ ． ．
注： 费用最省 、 用料 最省等 问题是 日常生活中常见 的问题 ， 解决这 类问题要 明确 自变量的意义 以及最值 问题 所研究的对象 ， 正确书写 函 数表达式 ， 准确求导 ， 结合实际作答。
高中数学_选修1教学设计学情分析教材分析课后反思
3.4 生活中的优化问题举例一、教学目标：1．对比二次函数最值求法，基本不等式求最值，体会导数在实际问题中的应用.2．对给出的实际问题，如使利润最大、效率最高、用料最省等问题，体会导数在解决实际问题中的作用.3．利用导数知识解决实际中的最优化问题.（重点）4．将实际问题转化为数学问题，建立函数模型.（难点）二、教学过程学情分析在此之前，学生已学习高中阶段求最值的所有知识，思维整合度、思维广度和深度上都有很大进步。
为本节课学习奠定了必要的知识基础、思维基础。
经过长期的训练，学生已具备了一定的数学整合能力，并能进一步迁移、发散、证明、解决问题。
这为本节课的学习奠定了良好的思想基础和能力基础，但在探究问题的能力，合作交流的意识等方面还有待加强。
建模是本节课的难点，所以在回顾例题，例1，例2的处理上多花点心思，对学生的引导循循善诱，让学生稳步上台阶。
【效果分析】该节课很好的达成了本节课教学目标：知识上强化了学生对生活中的优化问题举例的理解；能力上增强了利用导数求函数最值的分析和解决问题的能力；在观察、分析、探求、解决问题的过程中，让学生体验到学习的乐趣使学生的情感价值观得以提升。
课堂上体现新课程理念下的以人为本的思想,充分发挥了学生的主体作用，教师充当着学生学习的引导者、支持者和帮助者的角色。
教师和学生是本课的共同参与者,共同努力完成了这一节课的教学活动。
在这节课上,学生的积极性被充分调动起来,从而使学生在积极思维的活动中取得了成功并饱尝到了成功的喜悦.案例中的教学活动体现了研究性学习、探索性学习的方法以及导学式自主合作学习的模式与理念，是一节成功的课例。
《3.4 生活中的优化问题举例》教材分析1、教材的地位和作用：生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题，并与二次函数最值求法，基本不等式求最值进行对比。
这些我们统为最优化问题,而这些问题的解决,在数
在现实生活中 ，我们经常会遇到解决“利润最大”、“用料最省”、“效率最高”等问题，这些我们统称为“最优化问题”，而这些问题的解决，在数学上大多需要建立数学模型------解决数学问题（求最值）------还原到实际问题中，其中解决数学问题时的求最大、最小值得问题常常利用导数来解决。
这就是导数在解决实际问题中的应用。
解决这类问题的一般步骤：1， 分析实际问题中各量之间的关系，建立数学模型。
写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x)。
2， 求函数y=f(x)的导数y=f'(x),解方程，求f'(x)=0在定义域内的根，确定函数的极值点。
3， 比较函数在区间端点和极值点的函数值，获得所求的最大（小）值。
4， 还原到原来实际问题中作答。
例．如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，梯形面积为S ．（I ）求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域；（II ）求面积S 的最大值．解：（I ）依题意，以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系O xy -（如图），则点C 的横坐标为x ．点C 的纵坐标y 满足方程22221(0)4x y y r r +=≥，解得)y x r =<< 221(22)22S x r r x =+- 222()x r r x =+-， 其定义域为{}0x x r <<．（II ）记222()4()()0f x x r r x x r =+-<<，， 则2()8()(2)f x x r r x '=+-．令()0f x '=，得12x r =．因为当02rx<<时，()0f x'>；当2rx r<<时，()0f x'<，所以12f r⎛⎫⎪⎝⎭是()f x的最大值．因此，当12x r=时，S22r=．即梯形面积S的最大值为22．。
实际生活中的应用
例1：在边长为60 cm的正方形铁片的四角切 去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如 图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长 是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多 少？ x
x
60
x
x
60
x
60
x
60 x 设箱底边长为xcm，则箱高 h cm， 2 2 3 60 x x (0 x 60) V ( x) x 2 h 2
２.解决“优化问题”的途径：
通过搜集大量的数据，并对数据进行整理和
分
析建立与其相应的函数模型，再通过研究相
应
审题－－－建模－－－解模－－ 函数的性质，提出优化方案，使问题得到解
决
－－对结果评估并作出判定
３.用导数解决优化问题的基本思路：
优化问题
用函数表示 的数学问题 用导数解决 的数学问题
优化问题的答案
类型三：成本（费用）最低问题
成正比 ,已 知 速 度 为 10千 米 / 小 时 时 ,燃料费为 6元 / 小 时, 而 其 他 与 速 度 无 关 的 用 费 为96元 / 小 时 问 此 轮 船 以 何 中 速 度行 航时 ， 能 使 行 驶 每 千 米 的总费用最少
例 :一 艘 轮 船 在 航 行 中 的料 燃费 与 它 的 速 度 的 立 方
O
O1
类型二：用料最省问题
例2:圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底与 半 径应怎样选取,才能使所用的材料最省？
解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积 S=2π Rh+2π R2 R2h，得
V 由V=π ，则 h 2 2 R 2V V 2 S ( R) 2 R 2 R 2 R 2 R R 2V V 3 R ，从而 令 S '( R) 2 4 R 0 解得， 2 R
利润最大问题
9
10
①是不是 r 越小，磁盘的存储量越大？ ② r 为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存 储任何信息） ？
5
精讲点拨
例 3 某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量 x(吨) 与每吨产品的价格 P(元/吨)之间的关系式为 P＝24 200 1 2 － x ，且生产 x 吨的成本为 R＝50 000＋200x(元)，问 5 该产品每月生产多少吨才能使利润达到最大？最大利 润是多少？(利润＝收入－成本)
2
导学新知
小组交流解决以下问题 课 本102页 例2 饮 料 瓶 大 小 对 饮 料 公利 润 的 影 响 司 例3 磁盘的最大存储量问题
3
精讲点拨 例 1．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
①你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装 的要贵些？②是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？ 【背景知识】某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶 子的制造成本是 0.8 r 分，其中 r 是瓶子的半径，单位是
6
达标检测
某商品每件成本 9 元，售价为 30 元，每星期卖出 432 件．如 果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与 商品单价的降低值 x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已 知商品单价降低 2 元时，一星期多卖出 24 件． ①将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数； ②如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
2
厘米。已知每出售 1 mL 的饮料，制造商可获利 0.2 分, 且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题：①瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ ②瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？
4
精讲点拨 例 2．磁盘的最大存储量问题
问题：现有一张半径为 R 的磁盘，它的存储区是半径介于
利润最值问题的常用解法
利润最值问题的常用解法
在商业和经济学中，利润最值问题是一个常见的问题，涉及到如何最大化或最小化特定条件下的利润。
解决这类问题通常需要系统的分析和策略，以下是一些常用的解法：
1. 建立数学模型：首先，需要建立一个数学模型来描述问题。
这通常涉及到定义变量、参数和函数，以及构建反映业务逻辑和目标函数的方程或不等式。
模型应该准确反映问题的约束条件和目标。
2. 分析变量关系：在建立了数学模型之后，需要深入分析变量之间的关系。
这包括理解各变量如何影响利润，以及它们之间的相互关系。
这种分析有助于确定哪些变量是可控的（即可以通过决策改变的），哪些是不可控的。
3. 寻找最优解：在确定了数学模型和分析变量关系之后，需要寻找最优解。
这通常涉及到求解方程、不等式或优化问题。
在某些情况下，可能需要使用复杂的数学工具，如线性规划、动态规划或模拟。
4. 敏感性分析：找到了最优解之后，通常需要进行敏感性分析，以了解各变量对利润的影响程度。
这种分析有助于理解当某些变量发生变化时，最优解会如何变化。
它还可以用于评估不同的风险情景，以及制定应对策略。
5. 实施调整策略：最后，需要根据分析结果制定并实施调整策略。
这可能包括调整产品定价、改变生产策略、重新分配资源或改变市场
策略等。
实施这些策略后，需要监控结果并根据需要进行调整。
解决利润最值问题需要系统的方法和逻辑清晰的思考。
通过建立数学模型、分析变量关系、寻找最优解、进行敏感性分析和实施调整策略，可以有效地解决这类问题并实现利润的最大化或最小化。
数学人教A版选修2-2预习导航：1.4 生活中的优化问题举例 Word版含解析
预习导航
1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．
2．利用导数解决优化问题的实质是利用导数求函数的最值．
3．解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情境”译为“数学语言”，找出问题的主要关系，抽象成数学问题，然后用可导函数求最值的方法求最值．4．解决优化问题的基本思路．
上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．
思考1用导数求解生活中的优化问题时应注意哪些问题？
提示：(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．
(2)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
(3)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．思考2利用导数解决生活中优化问题的一般步骤是什么？
提示：利用导数解决生活中优化问题的一般步骤如下：。
生活中经常遇到求利润最大用料最省效率最高等问题
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题。
导数在实际生活中的优化问题主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面： 1、与几何有关的最值问题； 2、与物理学有关的最值问题； 3、与经济中利润及其成本有关的最值问题； 4、效率最值问题。
如：例1．海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。
现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm 。
如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？ 解：设版心的高为x dm ，则版心的宽为128xdm,此时四周空白面积为 128512()(4)(2)12828,0S x x x x x x=++-=++>求导数，得： '2512()2S x x=-.令'2512()20S x x =-=，解得 x x ==-舍去）.于是宽为 128128816x==.当 x ∈时， ()S x <0；当 x ∈+∞时， ()S x >0. 因此， x =是函数 S x 的极小值，也是最小值点.所以，当版心高为16dm ，宽为8dm 时，能使四周空白面积最小.答：当版心高为16dm ，宽为8dm 时，海报四周空白面积最小。
例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？ （2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？ 解：由于瓶子的半径为 ，所以每瓶饮料的利润是)332240.20.80.8,0633r y f r r r r r πππ⎛⎫==⨯-=-<≤ ⎪⎝⎭令)20.8(2)0f r r r π'=-= 解得 r =（ r =舍去） 当 )0,2r ∈时， )0f r '<；当 )2,6r ∈时，)0f r '>． 当半径 r >时， )0f r '>它表示)f r 单调递增，即半径越大，利润越高；当半径 r <时， )0f r '< 它表示)f r 单调递减，即半径越大，利润越低． （1）半径为 cm 时，利润最小，这时)20f <，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．（2）半径为 cm 时，利润最大．例3．磁盘的最大存储量问题问题：现有一张半径为 的磁盘，它的存储区是半径介于 与 之间的环形区域． （1） 是不是 越小，磁盘的存储量越大？（2） 为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？ 解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。
生活中的优化问题举例(14)
问题2：体积问题 无盖方盒容积
在边长为a的正方形铁皮的四角切去相等的正方 形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的 方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？ 最大容积是多少？
x
x x
60
x
60
练习3 有盖容积
r
圆柱形金属饮料罐的容积 一定时，它的高与底面半 径应怎样选取，才能使所 用的材料最省？
润最大 ? 问题 1 瓶子半径多大时, 能使每瓶饮料的利
2是不是饮料瓶越大 , 饮料公司的利润越大 ?
2 瓶子半径多大时, 每瓶饮料利润最小 ?
当r 0,2时, f r 是减函数 ,你能 解释它的实际意义吗 ?
y
r3 2 f r 0.8π 3 r
2
o
3
r
图1.4 4
巩固练习：
1.P37(A 组） T6
2.P37（B组）T1
3.P37（B组）T2
问题1：面积问题 海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动，通常需要张贴 海报举行宣传。现让你设计一张如图 所示的竖向张贴的海报，要求版心面 积为128dm2，上、下两边各空2dm， 左右两边各1dm。如何设计海报的尺 寸，才能使四周空面积最小？
（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v （千米/时）的函数，并指出这个函数的定义 域；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多 大速度行驶？
h
小结
由上述例子, 我们不难发现, 解决优化问题的基本思路是 :
优化问题
建立数学模型
用函数表示的数学问题
解决数学模型
优化问题的答案Leabharlann 作答用导数解决数学问题
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生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题。
导数在实际生活中的优化问题主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面： 1、与几何有关的最值问题； 2、与物理学有关的最值问题； 3、与经济中利润及其成本有关的最值问题； 4、效率最值问题。
如：
例1．海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。
现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm 。
如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？
解：设版心的高为x dm ，则版心的宽为
128
x
dm,此时四周空白面积为 128512
()(4)(2)12828,0
S x x x x x x
=++-=++> 求导数，得： '
2512()2S x x
=-.
令
'
2512()20S x x =-=，解得 16(16x x ==-舍去）.
于是宽为
128128
816x
==. 当 (0,16)x ∈时， '()S x <0；当 (16,)x ∈+∞时， '()S x >0. 因此， 16x =是函数 ()S x 的极小值，
也是最小值点.所以，当版心高为16dm ，宽为8dm 时，能使四周空白面积最小.
答：当版心高为16dm ，宽为8dm 时，海报四周空白面积最小。
例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？ （2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？ 解：由于瓶子的半径为 r ，所以每瓶饮料的利润是
()332
240.20.80.8,0633r y f r r r r r πππ⎛⎫==⨯-=-<≤ ⎪⎝⎭
令
()2
0.8(2)0f r r r π'=-= 解得 2r =（ 0r =舍去） 当 ()0,2r ∈时， ()0f r '<；当 ()2,6r ∈时，
()0f r '>． 当半径 2r >时， ()0f r '>它表示
()f r 单调递增，即半径越大，利润越高；
当半径 2r <时， ()0f r '< 它表示
()f r 单调递减，即半径越大，利润越低． （1）半径为 2cm 时，利润最小，这时
()20f <，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子
的成本，此时利润是负值．
（2）半径为 6cm 时，利润最大．
例3．磁盘的最大存储量问题
问题：现有一张半径为 R 的磁盘，它的存储区是半径介于 r 与 R 之间的环形区域． （1） 是不是 r 越小，磁盘的存储量越大？
（2） r 为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？ 解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。
设存储区的半径介于 r 与R 之间，由于磁道之间的宽度必需大于 m ，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达
R r
m -。
由于每条磁道上的比特数相同，为获得最
大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达
2r
n
π。
所以，磁盘总存储量
()f r =
R r m -×
2r n π2()r R r mn
π
=- （1）它是一个关于 r 的二次函数,从函数解析式上可以判断,不是 r 越小,磁盘的存储量越
大． （2）为求 ()f r 的最大值，计算 ()0f r '=． ()2()2f r R r mn
π
'=
- 令 ()0f r '=，解得
2R
r =
当 2R r <时， ()0f r '>；当
2R
r >时， ()0f r '<．
因此 2R r =时，磁盘具有最大存储量。
此时最大存储量为
2
24R mn π
例4．汽油的使用效率何时最高
我们知道，汽油的消耗量 w （单位：L ）与汽车的速度 v （单位：km/h ）之间有一定的关系，汽油的消耗量 w 是汽车速度 v 的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题： （1）是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？（2）“汽油的使用率最高”的含义是什么？
解：因为 w w g
t G s s v t ===
这样，问题就转化为求 g v 的最小值．从图象上看，
g
v 表示经过原点与曲线上点的直线的
斜率．进一步发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小．在此切点处速度约为90 /km h ．
因此，当汽车行驶距离一定时，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此时的车速约为90 /km h ．从数值上看，每千米的耗油量就是图中切线的斜率，即
()90f '，
约为 L ．
例5．在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多
解法一：设箱底边长为x cm ，则箱高
2
x
h =
cm ，得箱子容积 260)(3
22
x x h x x V -== )600(<<x ．
2
3()602
x V x x '=- )600(<<x
令 2
3()602
x V x x '=-＝0，解得 x =0（舍去），x =40，
并求得V(40)=16 000
由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值
答：当x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm 3
例6．圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积
S=2πRh+2πR 2
由V=πR 2h ，得 2
V
h R π=，则 S (R )= 2πR
2
V R π+ 2πR 2= 2V R
+2πR 2 令 22()V
s R R '=-+4πR=0
解得，R=
h= 2
V
R π=
=
3
V
π
即h =2R
因为S (R )只有一个极值，所以它是最小值 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省
从以上例子可看出利用导数解决优化问题的基本思路：
在这个过程中，我们可以看出导数在解决生活实际优化问题往往是一个有利的工具。