用高斯定理求解有电介质时的电场强度
电介质的极化和介质中的高斯定理
串联 1 1 1 C C1 C2
C C1C2 C1 C2
0S d1 d2 r1 r2
②.已知 U，求0、E、D。
0
q S
CU S
0SU
S d1 d 2
0U
r1 r2
d1 d2
r1 r2
d1 d2
r1 r2 d
22
E1
Байду номын сангаас
0 0r1
d1
r1
0U
d2
r2
0r1
1）不管是位移极化还是取向极化，其最后的宏观 效果都是产生了极化电荷。
综 2）两种极化都是外场越强，极化越厉害，所产生 述：的分子电矩的矢量和也越大。
3）极化电荷被束缚在介质表面，不能离开电介质 到其它带电体，也不能在电介质内部自由移动。它 不象导体中的自由电荷能用传导方法将其引走。
7
二、极化强度矢量
r
r 称为相对
介电常数或
电容率。
从电学性质看电介质的分子可分为两类：无极分子、
有极分子。
每个分子负电荷对外影响均可等效为 单独一个静止的负电荷 的作用。其大小为 分子中所有负电之和，这个等效负电荷的 作用位置称为分子的“负电作用中心”。
-
3
同样，所有正电荷的作用也可等效一
个静止的正电荷的作用，这个等效正电 荷作用的位置称为“正电作用中心”。
电场 E有如下关系：Pe0E
e 称为电极化率或极化率， 在各向同性线性电介质
中它是一个纯数。
14
D 在均匀0各E 向同P 性介0质E 中P e0E e 0(1 Ee)0E
r0E
r (1e) 称为相对介电常数或电
容率。
在各向同E性介质中D.rE0关称系为：介D 电常数r，0E E
电介质中的高斯定理
电介质中的高斯定理
高斯定理，也称为高斯定律或高斯定律，是电磁学中的一个重要定理，描述了电场在电介质中的性质。
其表达式为：
∮S E · da = Q / ε₀
其中，S表示闭合曲面，E表示电场强度，da表示曲面元素的面积矢量，∮表示对整个闭合曲面求面积分，Q表示闭合曲面内的电荷总量，ε₀表示真空介电常数。
高斯定理的意义是，通过对闭合曲面内的电场强度的面积分，可以得到在该闭合曲面内的电荷总量。
具体来说，如果电场强度在闭合曲面上是均匀的且垂直于曲面，那么由闭合曲面边界形成的面积矢量积分等于该电场强度乘以闭合曲面的面积。
当电场强度不均匀或者不垂直于曲面时，可以把曲面细分为小面元，在每个小面元上计算电场强度和面积矢量的点积，再对所有小面元的点积求和，得到整个曲面上电场强度和面积矢量的积分。
高斯定理的应用非常广泛，它不仅可以用于求解电场强度在特定几何形状的闭合曲面上的面积分，还可以用于确定电场强度分布以及计算电荷的总量等问题。
有电介质时的高斯定理
解：（ 1 ）求 ： D D, E , P 具有球对称性
选过场点与球面同心的 球面为S：r
S内
R
q
r
P
2 D d S D 4 r q 0
S
r
当：r R : 当： r R :
q q
0
0 q0
D=0
E=0
P=0
0
E
(1 r )q0 R P n P 2 4r R 2 (1 r )q0 q 4R R
总结
D分布
球对称 面对称 轴对称
高斯面 同心球面 垂直于板的和中心 面对称的封闭柱面 同轴封闭园柱面
由于导体为等势体:
例：设无限长同轴电缆的芯线半径为R1，外皮 的内半径为R2。芯线与外皮之间充入两层绝缘 的均匀电介质，其相对电容率分别为εr1和εr2。 两层电介质的分界面半径为R，如图。求单位 长度的电容。 解： (1) 先求 ： D R2 εr1 设单位长芯线、外皮 R R1 分别带电λ、-λ εr2 D, E 具有轴对称性 选过场点与电缆同轴的单位长封闭园柱 面为高斯面：r
§9-4 有介质时的高斯定理
一、有介质时的环路定理和高斯定理：
E E0 E
L
有介质时的环路定理：
E d l 0
有介质时的高斯定理：
q内
E d S
S
q
S内
q
S
0
0
q0
1 1 S内 ) ( q0 q内 P dS 0 S内 0 0 S ( E P ) d S q 0 0
D, E , P
40 r r
电场的高斯定理及其应用
电场的高斯定理及其应用1. 高斯定理的背景高斯定理，也称为高斯电场定理，是电磁学中的基本定律之一。
它描述了电场通过任意闭合曲面的电通量与该闭合曲面内部的总电荷之间的关系。
这个定理是由德国数学家和物理学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪初期提出的。
高斯定理在电磁学、物理学和工程学等领域有着广泛的应用。
2. 高斯定理的数学表述高斯定理的数学表述如下：对于任意闭合曲面S，电场通过S的电通量（记作ΦE）与曲面S内部的总电荷（记作q）之间存在以下关系：ΦE = ∫∫S E·dA = q / ε₀其中，E是电场强度，dA是曲面元素的面积向量，ε₀是真空的电介质常数（也称为电常数），其值约为8.85×10^-12 C2/N·m2。
3. 高斯定理的物理意义高斯定理的物理意义可以从两个方面来理解：（1）电场线与闭合曲面的关系：高斯定理说明，对于任意闭合曲面S，电场线通过S的电通量等于曲面S内部的总电荷。
这意味着，无论曲面S如何选择，只要它是闭合的，电场线穿过它的总通量都与曲面内部的电荷有关，而与曲面的形状和位置无关。
（2）电场的分布与电荷的关系：高斯定理表明，电场是通过闭合曲面的电通量的度量，而电通量与曲面内部的总电荷成正比。
这意味着，电场的强度和分布与曲面内部的电荷量有关，而与曲面的具体形状和位置无关。
4. 高斯定理的应用高斯定理在电场分析和计算中有着广泛的应用，下面列举几个常见的应用例子：（1）计算静电场中的电荷分布：通过高斯定理，可以计算静电场中某个闭合曲面内的电荷分布。
只需测量通过该曲面的电通量，然后根据电通量与电荷的关系，可以确定曲面内部的电荷量。
（2）设计电容器和绝缘材料：在电容器和绝缘材料的设计中，高斯定理可以用来分析电场的分布和电荷的积累。
通过合理选择闭合曲面的形状和位置，可以优化电场分布，提高电容器的性能和绝缘材料的可靠性。
（3）研究电磁波的传播：在研究电磁波的传播过程中，高斯定理可以用来分析电磁波在不同介质中的电场分布和电荷的变化。
有电介质时的高斯定理
有电介质时的高斯定理
有电介质时的高斯定理是电学中的一个重要定理，它描述了电场的分布与电荷分布的关系。
此定理的公式表述为：电场穿过一个封闭曲面的通量等于该曲面内部的电荷总量的比例，即ΦE=Q/ε0，其中ΦE为电场的通量，Q为曲面内部的电荷总量，ε0为真空中的电介质常数。
在有电介质时，电场的分布受到电介质的影响。
电介质的存在会使电场强度发生改变，这是因为电介质的分子会被电场极化，从而产生极化电荷。
这些极化电荷会改变电场的分布，使电场在电介质中的强度比在真空中的强度小。
因此，在有电介质时，要考虑电介质对电场的影响，才能准确地计算电荷的分布。
在应用高斯定理时，通常需要选择一个适当的曲面来计算电场的通量。
曲面的选择应当考虑到电荷分布的对称性，以便简化计算。
在有电介质时，曲面的选择也需要考虑到电介质的影响。
如果曲面穿过电介质，那么在计算电荷总量时，需要将电介质中的极化电荷也计算在内。
高斯定理的应用范围很广，包括电场的计算、电容器的设计、电荷分布的测量等。
在电场的计算中，高斯定理可以用来求解各种电场分布，例如电偶极子、均匀带电球面等。
在电容器的设计中，高斯定理可以用来计算电容器的电容量，从而确定电容器的电荷储存能
力。
在电荷分布的测量中，高斯定理可以用来测量电荷的总量，从而确定电荷的分布情况。
有电介质时的高斯定理是电学中的一个重要定理，它描述了电场的分布与电荷分布的关系。
在应用该定理时，需要考虑到电介质的影响，并选择适当的曲面来计算电场的通量。
高斯定理的应用范围很广，包括电场的计算、电容器的设计、电荷分布的测量等。
3-5有介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
r
R2
R1
（３）由（１）可知
U
E dr
R2
E
2π dr
0
r
r
(R1 r R2 ) ln R2
R1 2π 0 r r 2π 0 r R1
C Q 2π U
单位长度电容
0
C l
rl
ln R2 R1
2π 0
r
ln
r C0
R2 R1
真空圆柱形 电容器电容
r 又叫电容率
D2 2R2
3 – 5 有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
1 -P1 D1 0E1
2 -P2 D2 0E2
1
-
2R1
1
1
r
2
2R2
1
1
r
思索：可否由其他途 径求极化强度大小？
P 0E 0r 1E
1 P1 0 r 1E1 2 P2 0 r 1E2
3 – 5 有电介质时的高斯定理
-+
-+ -
-+E-1+ E2
-+--+-
-+ +-
0
1' 2'
2'
3 – 5 有电介质时的高斯定理
E1
D
0 r1
0 0 r1
E2
D
0
r2
0 0 r2
U
E dl
l
E1d1 E2d2
Q ( d1 d2 )
0S r1 r2
C Q0 0 r1 r2S U r1d2 r2d1
0
E
P) ds
q0
4.2有电介质存在时高斯定理和环路定理
例题：均匀介质内部极化体电荷密度ρ’＝0
在介质内部取任意高斯面S，则有
∫∫ D ⋅ dS = 0
S
无自由电荷
在均匀线性介质中 D (r ) = ε 0 ε E (r ) P ( r ) = χ eε 0 E ( r )
χ e P= D ε
接触起电的危害和应用
人体放电
人体对地电容约为
100 ~ 200 pf，人坐在人造革椅 子上起立，或在塑料地板上步行数步所产生的接触 静电电荷造成人体的静电电压可以达到104V～空气 的击穿场强，有时会出现瞬间放电现象
航天工业
静电放电造成火箭和卫星发射失败，干扰航天飞行
例题
如上题。球形电容器内外半径 分别为R1与R2，其间充以相对 介电常数为ε1和ε2的均匀介质， 两介质界面半径为R。两介质 的击穿场强分别为E1和E2，且 E1<E2，为合理使用材料，最 好使两种介质内的电场强度同 时达到其击穿值，求此时R的 大小。
A B C D
场强分布
Q R1 < r < R, EB = 4πε 0ε1r 2 Q R < r < R2 , EC = 4πε 0ε 2 r 2
ε = 1 + χe
相对介电常数（与真空相对）
真空中
ε = 1, D = ε 0 E
应用
∫∫ D ⋅ dS = ∑ q0
S in S
可以用来计算某些场分布（由对称性决定）
利用D-
Gauss定理按以下路径求
电介质中高斯定理
1
r r 1 Q Q r 0 0
)
Q Q0 (1
1
)
⑤极化电荷密度 与
E 0 rE
1 0 P ( 1 ) ( r 1 ) 0 0 0E 0 ( r 1 ) 0E 0E
r
r
R2
R1
r
R2
解（1）
R1
d S l D
S
D 2 π rl l
D
E ( R r R ) 1 2 r 2 π rr 0 0
D 2π r
r
R2
R1
( R r R ) （2）由（１）可知 E 1 2 2π 0r r R R d r 2 U E d r ln R 2 π r 2 π 0r R 0 r 1
2.极化电荷与电极化强度之间的关系 （以位移极化为例） 电场中每个分子产生电矩：
++++-
++++-
++++-
++++-
均匀介质
E
++++-
pe ql
单位体积中分子电矩 的矢量和为：
p P V
nql
e
npe
式中 n 为介质中单位体积的分子数。
电极化强度和极化电荷面密度的关系
6 2 P ( ε 1 ) ε E 5 . 89 10 C m r 0 6 2 σ ε E 8 . 85 10 C m 0 00 6 2 σ ' P 5 . 89 10 C m 6 2 D ε ε E ε E σ 8 . 85 10 C m 0 r 0 0 0
3-5有介质时的高斯定理
q0和 ′ S所围区域内 q是 所围区域内
的自由电荷及极化电荷
ε0
3 – 5
有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
根据第四节的结果 则有
v r q′ = −∫ P⋅ ds
s
s ε0 r r r ∫ (ε 0 E + P ) ⋅ ds = q0 s
r r 1 r r ∫ E ⋅ ds = ( q0 − ∫ P ⋅ ds )
r r r D = ε0εr E = εE
r E
。
3 – 5
有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
r D =
q0 r en 2 4π r
r r r D = ε0εr E = εE
r q0 >0， E离开球心向外 ， r r e q0 < 0， E 指向球心 r ， s e
n
r E=
q0 r en 2 4πε r
1 1 σ ′ = − σ 0 εr εr 1 2
讨论极化电荷正负
ε r −1 σ 1′ = σ0 εr
1 1
两种介质表面极化电荷面密度
εr −1 ′ σ2 = σ0 εr
2 2
3 – 5
有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
常用的圆柱形电容器， 例3 常用的圆柱形电容器，是由半径为 R1 的长 的薄导体圆筒组成， 直圆柱导体和同轴的半径为 R2 的薄导体圆筒组成， 并在直导体与导体圆筒之间充以相对电容率为 ε r 的 电介质.设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为 电介质 设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为 + λ ）电介质中的电场强度、 和 − λ . 求（1）电介质中的电场强度、电位移和极 化强度； 电介质内、外表面的极化电荷面密度； 化强度；（２）电介质内、外表面的极化电荷面密度； 此圆柱形电容器的电容． （３）此圆柱形电容器的电容．
有介质时的高斯定理公式
有介质时的高斯定理公式有介质时的高斯定理公式是物理学中的基本定理之一，它描述了电场、重力场等物理场在有介质的情况下的分布规律。
本文将介绍有介质时的高斯定理公式及其应用。
高斯定理公式指出，电场的通量与电荷量成正比，与介质极化强度成反比。
在有介质的情况下，电荷会在介质中引起电极化，从而影响电场的分布。
因此，高斯定理公式在描述有介质中电场分布时变得更加复杂。
在有介质时，高斯定理公式可以表示为：$$ \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \frac{1}{\epsilon_0}\int_V \rho dV - \oint_S \mathbf{P} \cdot d\mathbf{S} $$其中，S是一个封闭曲面，V是该曲面所围成的空间区域，$\mathbf{E}$表示电场强度，$\rho$表示电荷密度，$\mathbf{P}$表示介质的极化强度，$\epsilon_0$为真空介电常数。
公式右边第一项表示电荷在该区域内总共产生的电场通量，第二项表示介质极化所产生的电场通量。
公式左边的积分表示电场穿过曲面S的总通量。
在应用高斯定理公式时，需要注意几个关键点。
首先，曲面S需要是一个封闭曲面，而不是一个任意的曲面。
其次，积分中包含的介质极化强度需要根据具体情况进行计算。
最后，公式只适用于稳态电场的情况，不适用于变化的电场。
高斯定理公式在物理学中有着广泛的应用，特别是在电学、磁学、地球物理学等领域。
在电学中，高斯定理公式可以用于计算电容器的电容量；在磁学中，可以用于计算磁通量；在地球物理学中，可以用于计算地球重力场分布。
有介质时的高斯定理公式是物理学中一个非常基础和重要的定理，描述了物理场在有介质时的分布规律。
在实际应用中，需要注意公式的条件和具体计算方法，才能得到准确的结果。
平行板的电场强度
平行板的电场强度一、引言平行板电容器是电学中最基本的电容器之一，其电场强度的计算是电学中的基础知识。
本文将从理论和实验两个方面探讨平行板电容器的电场强度。
二、理论计算平行板电容器的电场强度可以通过高斯定理计算得出。
假设平行板电容器的两个平行板面积为S，距离为d，电容器中充满了电介质，电介质的介电常数为ε，则电场强度E可以表示为：E = σ/ε其中，σ为平行板电容器上的电荷密度，可以表示为：σ = Q/S其中，Q为平行板电容器上的电荷量。
根据电容器的定义，电容量C可以表示为：C = Q/V其中，V为平行板电容器的电势差。
将Q代入σ的公式中，可以得到：σ = CV/S将σ代入E的公式中，可以得到：E = Q/εS = CV/εd因此，平行板电容器的电场强度E与电容量C、介电常数ε以及平行板间距d有关，与平行板面积S无关。
三、实验测量为了验证理论计算的结果，可以进行实验测量。
实验中需要用到电场计和平行板电容器。
首先将平行板电容器连接到电源上，使其充电。
然后将电场计放置在平行板电容器中间，测量电场强度E。
根据电场强度的定义，可以得到：E = F/q其中，F为电场力，q为电荷量。
由于电场力与电荷量成正比，因此可以通过测量电场力和电荷量的比值来得到电场强度。
实验中需要注意的是，平行板电容器的电荷量和电场强度都会随着时间的变化而变化，因此需要在测量前将电容器充电并等待一段时间，使其达到稳定状态。
四、结论通过理论计算和实验测量，可以得到平行板电容器的电场强度与电容量、介电常数和平行板间距有关，与平行板面积无关。
在实际应用中，可以通过改变这些参数来调节电场强度，从而实现不同的电学效果。
五、总结平行板电容器的电场强度是电学中的基础知识，理论计算和实验测量都是非常重要的。
通过本文的介绍，读者可以了解到平行板电容器的电场强度的计算方法和实验测量方法，从而更好地理解电学中的相关知识。
有电介质时的高斯定理
而 P 0 E （用于各向同性介质）
3
则 D 0 1 E （用于各向同性介质）
即由E和可求得D，而且D与E方向相同，大小成正比。
① 令比例系数 0 1 称为电介质的绝对
介电常数。
② 真空中的绝对介电常数 0
∵
P真空 0 而 P 0 E ，E不一定为0来自D ds q0S
4 r2 D q0
D
q0
4 r2
D
q0
4 r2
rˆ
P +-
E + 金属 +
P
r 介质ε
-+
+-
q0+
B
n
+-
R
+
S
由D E得：
E
q0
4 r2
rˆ
q0 0，E与rˆ同向,背离球心
q0
0，E与rˆ反向,指向球心
（2）在交界面上取一点B，过B点作界面的法线单
单位矢 nˆ（由介质指向金属），则
∴
真空 0 真空 0
③ 电介质的相对介电常数
④ 由此得
0
r
1
D
0
1
E
0r E
E
（对各向同性介质）
4
（3） D ds q0
S ①上式说明 D 对S面的通量等于S内的自由电荷量，
与 q 无关，但 D 本身与 q和 q0 均有关。
②如果 q0 0，则 D ds 0
S
说明 D 对S面的通量为0，但 D 不一定为0；S面内
§3.5 有电介质时的高斯定理
一 电介质中的场强
电介质在外电场中极化，电介质 中的电场是极化 电荷产生的附加电场 E和外电场 E0 的矢量和。
07--4、电介质中的电场高斯定理
解： （1）自由电荷所产生旳场强（在真空中）为
E0
σ0 ε0
9.0 106 8.85 1012
1.02 106 V/m
(2)
由
E
E0 εr
εσrε00
σ0 ε
可知电介质内的场强为
E
σ0 ε
9.0 106 3.5 1011
2.57 105
V/m
（3）极化电荷面密度为：
0
0
3.5 1011 8.85 1010 3.5 1011
有电介质时旳高斯定理得（注意导体中
D=0）：
D dS S2
D dS
右底面
D1 A
A
与前面的式子相比较， 有D1 D2
+ +
S2
利用 D1 1E1 ，D2 2 E2 ，可求得：
E1
1
r1 0
,
E2
2
r 2 0
（2）正、负两极板间旳电势差为：
U
E1d1
E2d2
(d1 1
E1 E2
S D dS D S 0 S
D＝ 0
E1
D
1
0 0 r
E2
D
0
0 0
U
E1
d 2
E2
d 2
0d 2 0 r
0d 2 0
0d 0
r 1 2 r
3 5 U0
C1
Q1 U1
2 r 0 S
d
C2
Q2 U2
2 0 S
d
C1，C2串联：
C
C1C2 C1 C2
5 3 C0
由前面知：
例6、同轴电缆半径分别为R1和R2，其间充斥电介质 r1,，r2 ，
介质中的高斯定理
v E
D
介质中的高斯定理
例 自由电荷面密度为0的平行板电容器，其极化电荷面密度
为多少？
解: 由介质中的高斯定理
-+´0
DS 0S D 0
D +´
E
D
0r
0 0 r
- 0
0 0
E0
0 0
E 0
E E0 E
0 r 0 0
1
1
r
0
E
dS S
++++++
-q - - - - - -
移出S面
qi
留在S面内
介质中的高斯定理
v v E dS
S
1
0
qi
1
0
vv P dS
S
S 0E P dS qi
定义电位移矢量: D 0 E P C m2
介质中的高斯定理: 在任何静电场中，通过任意闭合曲面 的电位移通量等于该曲面所包围的自由电荷的代数和.
D S
dS
qi
说明:
D S
dS
qi
介质中的高斯定理
1. 介质中的高斯定理虽说是从平板电容器这一特例推 导出，但它却有普适性.
2. 介质中的高斯定理包含了真空中的高斯定理.
真空中: P 0 所以: D 0E P 0E
v D dS
S
S 0E dS qi
vv E dS
S
1
0
qi
3. 电位移矢量D 是一个辅助量.描写电场的基本物理
介质中的高斯定理
大学物理
静电场中的导体和电介质
第4讲 介质中的高斯定理
介质中的高斯定理
高斯定理求电场强度公式
高斯定理求电场强度公式
高斯定理是物理学中一个重要的定理，它可以用于计算电场强度。
电场是一种物理现象，它是由电荷产生的力场。
电场强度是一个矢量量，它表示在某一点处的电场的大小和方向。
高斯定理的基本思想是将电场看作是电荷在空间中形成的“源”，通过计算这些“源”在某个闭合曲面内的总电通量，来求出这个曲面内的电场强度。
公式可以表示为：
∮S E·dS = Q/ε0
其中，∮S表示对曲面S的积分，E表示电场强度，dS表示曲面元素，Q表示曲面内的电荷总量，ε0表示真空介质中的电容率。
这个公式的意义是，曲面S内的所有电荷都会对曲面S上的电通量产生贡献，而曲面S外的电荷则不会。
因此，通过计算曲面S内的总电通量，我们就可以得到曲面S内的电荷总量，从而求出电场强度。
需要注意的是，曲面S必须是闭合的，这意味着曲面内部不应该有任何电荷。
如果曲面内部有电荷，那么它们也会对曲面S上的电通量产生贡献，从而影响计算结果。
曲面S的形状和大小也会影响计算结果。
如果曲面S的形状比较复杂，那么计算电通量可能会比较困难。
如果曲面S非常小，那么计
算结果可能会受到量子效应的影响。
因此，在实际应用中，我们需要根据具体情况来选择合适的曲面S。
需要注意的是，高斯定理只适用于静电场。
在动态场中，电场随着时间的变化而变化，因此不再满足高斯定理的条件。
在这种情况下，我们需要使用更加复杂的数学方法来求解电场强度。
高斯定理是求解电场强度的重要工具，它可以帮助我们更好地理解电场的本质和特性。
在实际应用中，我们需要根据具体情况来选择合适的曲面S，并注意高斯定理的适用条件。
6 有电介质时的高斯定理
于该闭合曲面所包围的自由电荷的代数和.
E dS
S 0r
Q
0i
i
自由电荷 代数和
讨论 电场中充满均匀各向同性电介质的情况下
1、定义：电位移矢量 D 0rE E
: 电容率,决定于电介质种类的常数
说明
(1)是描述电场辅助性矢量
(2) 对应电场线起始于正自由电荷，
(3)
终止于负自由电荷
电位移通量 Ψ D
二、电介质中的静电场环路定理
l E dl 0
D dl 0 l
电位移 有介质时的高斯定理
一、电介质中的高斯定理 电位移矢量 D
加入电介质(εr )
E dS
1
S
0
qi
i
1
0
(
0 )S
'(1 1r Nhomakorabea)
0
EdS Q
S 0r i
E
dS
0S
1
S
0 r 0 r
Q0i
i
0i
自由电荷的代数和
令： D0ErE
电位移矢量
DdS
S
Q0i
i
电介质中通过任一闭合曲面的电位移通量等
D
s
dS
电力线与电位移线的比较
E线
D线
+Q
+Q
r
r
2、电介质中电场 强度
E
、电极化强度
P
和电位移矢量D 之间的 关系
电位移
D 0rE E
电极化强度
P
(r1)0 E
D P 0E
3、电介质中的高斯定理
D dS Q0i
S
i
(自由电荷
均匀介质球的中心放置一个点电荷qf,球的介电常数为 ,球外为真空,试用高斯定理求解
均匀介质球的中心放置一个点电荷qf,球的介电常数为 ,球外为真空,试用高斯定理求解就均匀介质球的中心放置一个点电荷qf,球的介电常数为 ,球外为真空进行高斯定理求解来说，相关知识点较多，涉及静电场，电容，电势，电场强度等多个方面，以下是这项工作的计算过程：1. 首先，用向量的方式表示电场强度E:$$\overrightarrow{E}=\frac{q_f \hat{r}}{4 \pi \epsilon_0 r^2}$$其中，qf代表球中心放置的点电荷，ρ表示放置点电荷到在电场中任一点r的距离向量，epsilonO表示真空介电常数。
2. 为了计算球形介质中电场强度，可以用高斯定理来展开计算：$$\oint_s \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{a}=\frac{q_f}{4\pi\epsilon_0}$$其中，S表示球表面积，a表示法向量，都满足点电荷所在位置的条件，即ρ的夹角为90°，所以可得：$$\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{a}=\frac{q_f \hat{r}}{4 \pi\epsilon_0 r^2}\cdot (r\sin \theta d\theta d\varphi \hat{\varphi})=$$$$\frac{q_f \sin \theta d\theta d\varphi}{4 \pi \epsilon_0 r}$$3. 将上式中三角函数简化：$$\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{a}=\frac{q_f}{4\pi \epsilon_0 r}dA$$其中，dA代表球表面面积的微元，由于球表面积的微元dA可表示成θ的函数及θ的偏导数，即：$$dA=H d\theta$$4. 继续简化：$$\oint_s \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{a}=\frac{q_f}{4\pi\epsilon_0}\int^{\pi}_0 \frac{H d\theta}{r}=\frac{q_f}{4\pi\epsilon_0}\int^{\pi}_0\frac{r^2 d\theta}{r}=\frac{q_f}{4\pi \epsilon_0 r}\oint_s dA\\=\frac{q_f}{4\pi \epsilon_0 r}\pi r^2$$已求得球表面电场强度表达式：$$E=\frac{q_f}{4\pi \epsilon_0 r^2}$$5. 计算电势：$$V=\int^R=0\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}$$把R添加到所有的积分里，得到电势：$$V=\frac{q_f}{4\pi \epsilon_0}\int^R_0 \frac{dl}{r^2}=\frac{q_f}{4\pi\epsilon_0}\left [\frac{1}{r}\right]^R_0=\frac{q_f}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{R}$$从而得到介质球中心放置一个点电荷qf,球的介电常数为 ,球外为真空的电场强度的表达式和电势的表达式：$$E=\frac{q_f}{4\pi \epsilon_0 r^2}$$$$V=\frac{q_f}{4\pi \epsilon_0}\frac{1}{R}$$以上即为利用高斯定理来求解球形介质中电场强度的方法的全部内容，需要特别提一下的是高斯定理的使用要结合向量、微元等相关概念，可见，电磁学中知识点丰富，计算步骤繁琐，掌握详尽的知识点才能正确使用高斯定理来求解琳琅满目的电磁学问题。
用高斯定理求解有电介质时的电场强度
用高斯定理求解有电介质时的电场强度物理与电信工程学院 10级课程与教学论 张雅琪 2010021539在电介质中，由电场引起的极化电荷会激发附加电场，使原电场发生改变，反过来又会影响极化情况。
如此相互影响，最终达到平衡。
在直接计算空间场强时会遇到如下困难：要由电荷分布求场强E ，必须同时知道自由电荷及极化电荷的密度，而极化电荷密度取决于极化强度P 【VdS P S∆⎰⎰⋅-='ρ，ne P P ⋅-=)('12σ】，P 又取决于E （E P χε0=），这就似乎形成计算上的循环。
高斯定理通过列出有关E 、P 、'ρ、'σ的数量足够的方程，然后联立求解，同时引入一个新矢量场D 以消去'ρ和'σ，方便求解。
当空间有电介质时，只要把自由电荷和极化电荷同时考虑在内，可以得到有电介质的高斯定理⎰⎰=⋅SqdS D 0其中P E D +≡0ε.如图1所示，假设有一厚度为b 的无限大均匀介质平板中有体密度为0ρ的均匀分布自由电荷，平板的相对介电常数为r ε，两侧分别充满相对介电常数为1r ε和2r ε的均匀介质.要求板内外的电场强度E ，首先分析介质平板中激发电场的电荷分布，因介质板内有自由电荷0ρ，在自由电荷处对应的极化电荷密度为01'ρεερrr --= 总电荷体密度为rερρρρ00'=+=因此，平板中电荷为均匀分布.另外，在介质板两侧为不同的介质，由于21r r εε≠，故在两界面上的极化电荷面密度OMD 11r ε2r εD 2O ’M ’ b 1b 2 Sxb 图21r ε2r ε图121''σσ≠.在板内存在一个电场强度0=E 的平面'OO ，不妨称它为零电场面.此面的电位移矢量0=D ,如图2.以'OO 面为基面,向两侧作底面积为S ,垂直'OO 面伸出平板外的柱体,柱体的表面为高斯面,根据对称性,E 与D 的方向垂直介质板的表面,因此高斯面侧面的电通量为0.两个高斯面包围的自由电荷的电荷量分别为10Sb ρ和20Sb ρ.根据介质中高斯定理,求得介质板两侧的电位移矢量为n n e b D e b D 202101,ρρ==两侧的电场强度为n r n r e bE e b E 2020210101,εερεερ==单位矢n e 的方向为背向介质板表面,如图2所示,介质板两侧的电场的大小相等,即21E E =.因而2211r r b b εε=因21b b b +=,求得零电场面的位置21212111,r r r r r r bb b b εεεεεε+=+=用i 表示方向向右的单位矢,则板外两侧介质的电场为i b E r r )(2100εεερ+±=同理,以零电场面为基面在板内作底面积为S 、长为x 的高斯面，求得介质板内电位移矢量为xi D 0ρ=内板内的电场强度为i xE rεερ00=内 式中x 为板内场点的坐标.。
有电介质的高斯定理
S
有电介质存在时的高斯定理的应用
（1）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高斯面 求出电位移矢量。 （2）根据电位移矢量与电场的关系，求出电场。
（3）根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度。
（4）根据束缚电荷与电极化强度关系，求出束缚电荷。
例1 平行板电容器上自由电荷面密度为 0 充满相对介电常数为 r 的均匀各向同
vv
Ò D dS D1S D2S 0
S1
所以 D1＝D2
即在两电介质内，电位移
uur uur uur
D1和uuDr2
的量值相等。由于
D1 1 E1, D2 2 E2
所以 E1 2 r 2 E2 1 r1
可见在这两层电介质中场强并不相等，而是和 电容率（或相对电容率）成反比。
作正柱形高斯面S
底面积设S0
vv
Ò D
dS
q 0
S
S S0
x
Ox
vv
Ò
D
dS
q 0
d
S
xd 2
2DS 0 0 2 x S0 D 0 x
E D 0 x
x
P d 2
0 r
0r 1E
2DS 0
0 r
r 1
0dS0
U2
r
E
2
dr
q
r 4 0r 2 dr
q
4 0r
例. 平行板电容器的电容
s
已知: 平行板电容器 d, S ,r
求: 其电容.
Q
解: • 设电容器带电量 Q
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用高斯定理求解有电介质时的电场强度
物理与电信工程学院 10级课程与教学论 张雅琪 2010021539
在电介质中，由电场引起的极化电荷会激发附加电场，使原电场发生改变，反过来又会影响极化情况。
如此相互影响，最终达到平衡。
在直接计算空间场强时会遇到如下困难：要由电荷分布求场强E ，必须同时知道自由电荷及极化电荷
的密度，而极化电荷密度取决于极化强度P 【V
dS P S
∆⎰⎰⋅-='ρ，n
e P P ⋅-=)('12σ】，
P 又取决于E （E P χε0=）
，这就似乎形成计算上的循环。
高斯定理通过列出有关E 、P 、'ρ、'σ的数量足够的方程，然后联立求解，同时引入一个新矢量场D 以消去'ρ和'σ，方便求解。
当空间有电介质时，只要把自由电荷和极化电荷同时考虑在内，可以得到有电介质的高斯定理
⎰⎰=⋅S
q
dS D 0
其中P E D +≡0ε.
如图1所示，假设有一厚度为b 的无限大均匀介质平板中有体密度为0ρ的均匀分布自由电荷，平板的相对介电常数为
r ε，两侧分别充满相对介电常数为1r ε和2r ε的均匀介质.要求板内外的电场强度E ，首先分析介质平板中激发电场的电荷分
布，因介质板内有自由电荷0ρ，在自由电荷处对应的极化电荷密度为
01
'ρεερr
r --
= 总电荷体密度为
r
ερ
ρρρ00'=+=
因此，平板中电荷为均匀分布.另外，在介质板两侧为不同的介质，由于21r r εε≠，故在两界面上的极化电荷面密度
OM
D 1
1r ε2
r εD 2
O ’M ’ b 1
b 2 S
x
b 图2
1r ε2
r ε图1
21''σσ≠.在板内存在一个电场强度0=E 的平面'OO ，不妨称它为零电场面.此面的电位移矢量0=D ,如图2.以'OO 面为基面,向两侧作底面积为S ,垂直'OO 面伸出平板外的柱体,柱体的表面为高斯面,根据对称性,E 与D 的方向垂直介质板的表面,因此高斯面侧面的电通量为0.两个高斯面包围的自由电荷的电荷量分别为
10Sb ρ和20Sb ρ.根据介质中高斯定理,求得介质板两侧的电位移矢量为
n n e b D e b D 202101,ρρ==
两侧的电场强度为
n r n r e b
E e b E 2
020210101,εερεερ==
单位矢n e 的方向为背向介质板表面,如图
2所示,介质板两侧的电场的大小相等,即21E E =.因而
2
2
1
1
r r b b εε=
因21b b b +=,求得零电场面的位置
2
1212111,r r r r r r b
b b b εεεεεε+=+=
用i 表示方向向右的单位矢,则板外两侧介质的电场为
i b E r r )
(2100εεερ+±
=
同理,以零电场面为基面在板内作底面积为S 、长为x 的高斯面，求得介质板内电位移矢量为
xi D 0ρ=内
板内的电场强度为
i x
E r
εερ00=
内 式中x 为板内场点的坐标.。