中考数学专题突破导学练分式方程及其应用试题

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分式方程及其应用试题 The document was prepared on January 2, 2021

第8讲 分式方程及其应用

【知识梳理】

知识点一：分式方程及其解法

1．分式方程

分母里含有未知数的方程叫做分式方程．

2．解分式方程的基本思想

把分式方程转化为整式方程，即分式方程――→去分母转化

整式方程． 3．解分式方程的步骤

(1)去分母，转化为整式方程；(2)解整式方程，得根；(3)检验根是否有意义；（4）确定方程的根。

4．增根

在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．解分式方程时，有可能产生增根(使方程中有的分母为零的根)，因此解分式方程要验根(其方法是代入最简公分母中，使分母为零的是增根，否则不是)．

重点：把握分式方程的概念

难点：掌握解分式方程的基本思想

知识点二：与增根有关的问题

1．分式方程的增根必须同时满足两个条件

(1)是由分式方程化成的整式方程的根；

(2)使最简公分母为零．

2．增根在含未知数的分式方程中的应用：由增根求未知数的值．

解答思路为：(1)将原方程化为整式方程；(2)确定增根；(3)将增根代入变形后的整式方程，求出未知数的值．

重点：进行验根的方法（代入到最简公分母之中判断是否为零）。 难点：确定是否是增根。

知识点三：列分式方程解应用题

1．列分式方程解应用题和其他列方程解应用题的思路基本一样．不同之处是列出的方程是分式方程．

2．应用问题中常用的数量关系及题型

(1)数字问题(包括日历中的数字规律)

①设个位数字为c ，十位数字为b ，百位数字为a ，则这个三位数是100a ＋10b ＋c ； ②日历中前后两日差1，上下两日差7.

(2)体积变化问题．

(3)打折销售问题 ①利润＝售价－成本；②利润率＝利润成本×100%. (4)行程问题

路程＝速度×时间．

若用v 表示轮船的速度，用v 顺、v 逆、v 水分别表示轮船顺水、逆水和水流的速度，在下列式子中填空．

v 顺＝v ＋v 水 v 逆＝v －v 水 v ＝v 顺＋v 逆2 v 水＝v 顺－v 逆2

在轮船航行问题中，如果知道v 顺、v 逆、v 、v 水中的任何两个量，总能求出其他

的量

(5)教育储蓄问题

①利息＝本金×利率×期数；

②本息和＝本金＋利息＝本金×(1＋利率×期数)；

③利息税＝利息×利息税率；

④贷款利息＝贷款数额×利率×期数．

重点：把握各种题型的公式

难点：灵活运用各种类型的公式特别是工程问题和流水问题。

【考点解析】

类型一： 分式方程的解

（2017黑龙江鹤岗）若关于x 的分式方程

的解为非负数，则a 的取值

范围是（ ）

A ．a ≥1

B ．a ＞1

C ．a ≥1且a ≠4

D ．a ＞1且a ≠4 【考点】B2：分式方程的解．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为0求出a 的范围即可．

【解答】解：去分母得：2（2x ﹣a ）=x ﹣2，

解得：x=

， 由题意得：≥0且≠2，

解得：a ≥1且a ≠4，

故选：C．

类型二：分式方程的解法

（2017湖北随州）解分式方程： +1=．

【考点】B3：解分式方程．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：去分母得：3+x2﹣x=x2，

解得：x=3，

经检验x=3是分式方程的解．

类型三：分式方程的应用

（2017内蒙古赤峰）为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元．

（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；

（2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵．

【考点】B7：分式方程的应用；C9：一元一次不等式的应用．

【分析】（1）设梨树苗的单价为x元，则苹果树苗的单价为（x+2）元，根据两种树苗购买的棵树一样多列出方程求出其解即可；

（2）设购买梨树苗种树苗a棵，苹果树苗则购买棵，根据购买两种树苗的总费用不超过6000元建立不等式求出其解即可．

【解答】解：（1）设梨树苗的单价为x元，则苹果树苗的单价为（x+2）元，依题意得： =，

解得x=5．

经检验x=5是原方程的解，且符合题意．

答：梨树苗的单价是5元；

（2）设购买梨树苗种树苗a棵，苹果树苗则购买棵，

依题意得：（5+2）+5a≤6000，

解得a≥850．

答：梨树苗至少购买850棵．

【中考热点】

（2017绥化）甲、乙两个工程队计划修建一条长15千米的乡村公路，已知甲工程队每天比乙工程队每天多修路0.5千米，乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天数的倍．

（1）求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米

（2）若甲工程队每天的修路费用为万元，乙工程队每天的修路费用为万元，要使两个工程队修路总费用不超过万元，甲工程队至少修路多少天

【考点】B7：分式方程的应用；C9：一元一次不等式的应用．

【分析】（1）可设甲每天修路x千米，则乙每天修路（x﹣）千米，则可表示出修路所用的时间，可列分式方程，求解即可；

（2）设甲修路a天，则可表示出乙修路的天数，从而可表示出两个工程队修路的总费用，由题意可列不等式，求解即可．

【解答】解：

（1）设甲每天修路x千米，则乙每天修路（x﹣）千米，

根据题意，可列方程：×=，

解得x=，

经检验x=是原方程的解，且x﹣=1，

答：甲每天修路1.5千米，则乙每天修路1千米；

（2）设甲修路a天，则乙需要修（15﹣1.5a）千米，

∴乙需要修路=15﹣1.5a（天），

由题意可得0.5a+（15﹣1.5a）≤，

解得a≥8，

答：甲工程队至少修路8天．

【达标检测】

1.已知A，B两地相距160km，一辆汽车从A地到B地的速度比原来提高了25%，结果比原来提前到达，这辆汽车原来的速度是80 km/h．

【考点】分式方程的应用．