市北资优六年级分册 第08章 8.8 含绝对值符号的不等式+黄世桥

8.8 含绝对值符号的不等式

问题1 平常吃的罐头上面总有这样的标注：250克±15克，这就表示固体物实际重量与所标注数相差不能超过15克，如何表达实际数与所标注数的关系？

分析：对于问题1，依条件列出25015,25015x x -≤⎧⎨-≥-⎩进而利用绝对值定义及其几何意义将其表述成12015x -≤，即一个含绝对值的不等式．

绝对值的定理及其几何意义是什么？ 绝对值的定义是用分类讨论思想定义的，可以用来去掉绝对值的符号．

问题2 1．解方程2x =，并思考2x =的几何意义是什么．

2．能表述2x >，2x <的几何意义吗？其解集是什么？ 3．请试着归纳出一般情况下x a >，x a <(a ＞0)的几何意义及解集．

分析： 1．2x =的几何意义是在数轴上表示数x 的点到原点的距离等于2，解是x ＝2，－2．

2．2x >的几何意义是在数轴上表示数x 的点到原点的距离大于2，其解集是x ＞2或x ＜－2； 2x <的几何意义是在数轴上表示数x 的点到原点的距离小于2，其解集是－2＜x ＜2；

3．x a >的几何意义是在数轴上表示数x 的点到原点的距离大于a ，其解集是x ＞a 或x ＜－a ； x a <的几何意义是在数轴上表示数x 的点到原点的距离小于a ，其解集是－a ＜x ＜a ；

问题3 1．以上结论中的x 能否用代数式替换，如5x ＋2、3x －1、x －1000等？

2．解不等式60x ->，50x -<．

3．能否归纳ax b c +>与ax b c +<(c ＞0)型不等式的解法？

由特殊到一般归纳出ax b c +>与ax b c +<(c ＞0)型不等式的解法．

(利用整体代换的数学思想进行知识的迁移) ax b c +>(c ＞0)的解法是：

先化为不等式组ax ＋b ＞c 或ax ＋b ＜－c ，再由不等式性质求出原不等式的解集． ax b c +<(c ＞0)的解法是：

先化为不等式组－c ＜ax ＋b ＜c ，再由不等式性质求出原不等式的解集．

例1 解不等式35x -≤7．

解 由35x -≤7，得－7≤3x －5≤7．

由不等各边都加5，得

－2≤3x ≤12， 不等式各边都除以3，得

23-≤x ≤4． 所以原不等式解集为23-≤x ≤4． 例2 解不等式23x -＞4．

解 由23x -＞4得2x －3＞4或2x －3＜－4．

分别解之，得x ＞72或x ＜12

-． 所以原不等式解集为x ＞72或x ＜12

-． 例3 解不等式12x -＜5．

解法一：由原不等式可得

－5＜1－2x ＜5，

由不等式的性质解得

－2＜x ＜3．

解法二：由原不等式可化成215x -<，

－5＜2x －1＜5．

由不等式的性质解得

－2＜x ＜3．

这两种解法本质是一样的，我们在解ax b c +>与ax b c +<(c ＞0)型不等式的时候，当a 为负数时，一般先把a 化成正数再求解．

例4 求不等式16＜10x -＜20的整数解．

分析 可以把原不等式化成1020,

1016.x x ⎧-<⎪⎨->⎪⎩也可以直接分x ＞10与x ＜10这两种情况去讨论．

解 若x －10＞0，即x ＞10，则得：16＜x －10＜20．解之，得26＜x ＜30．

所以满足条件的整数解是27，28，29．

若x －10＜0，即x ＜10，则得：16＜－(x －10)＜20．解之，得－10＜x ＜－6．

所以满足条件的整数解是－9，－8，－7．

综上，原不等式的整数解是－9，－8，－7，27，28，29．

练习8.8(1)

1．下列不等式中，解集为一切实数的是( )．

(A )21x +> (B )211x ++> (C )(x －78)2＞－1 (D )(x ＋78)2－1＞0

2．在数轴上与原点距离不大于2的点的坐标的集合是( )．

(A )－2＜x ＜2 (B )0＜x ≤2 (C )－2≤x ≤2 (D )x ≥2或x ≤－2

3．解下列不等式： (1)4x -≤9； (2)33x -≥15； (3)2214x +-≥0； (4)14x -≤2．

4．解不等式2≤53x -＜9．

答案 8.8(1)

1．C 2．C

3．(1)－5≤x ≤13； (2)x ≤－4或x ≥6； (3)x ≤32-或x ≥12； (4)1344

x -≤≤； 4．413x -<≤或71433

x ≤<．

例5 解关于x 的不等式：

(1)23x +－1＜a ； (2)211x x +>+．

解：(1)原不等式可化为23x +＜a ＋1．

当a ＋1＞0，即a ＞－1时，得－(a ＋1)＜2x ＋3＜a ＋1， 即4222a a x +--<<．

当a ＋1≤0，即a ≤－1时，原不等式无解；

注意对a 的讨论．

(2)原不等式可化为下面两个不等式组来解：

(Ⅰ)210,211,x x x +≥⎧⎨+>+⎩ 或(Ⅱ)210,(21) 1.x x x +<⎧⎨-+>+⎩

不等式组(Ⅰ)的解为x ＞0， 不等式组(Ⅱ)的解为x ＜23

-，

所以原不等式解集为x ＜23-或x ＞0． 注意：解不等式分情况讨论时，一定要注意是对参数分类还是对变量分类，对参数分类的解集一般不合并，如第(1)题；对变量分类必须合并，如第(2)题．

由于无论x 取何值，关于x 的代数式的绝对值均大于或等于0，即不可能小于0．

例6 解不等式211x x -+>．

解：因为211x x -+>等价于211x x -+>或211x x -+<-．

(1)由211x x -+>得211x x +<-，

所以210,211,x x x +≥⎧⎨+<-⎩ 或210,(21)1,x x x +<⎧⎨-+<-⎩ 即1,22,x x ⎧≥⎪⎨⎪<-⎩或1,20,x x ⎧<-⎪⎨⎪>⎩均无解； (2)由211x x -+<-得211x x +>+，

所以210,211,x x x +≥⎧⎨+>+⎩ 或210,(21)1,x x x +<⎧⎨-+>+⎩ 即1,20,x x ⎧≥-⎪⎨⎪>⎩或1,22.3x x ⎧<-⎪⎪⎨⎪<-⎪⎩所以x ＞0或x ＜23-．

综上讨论，原不等式的解集为x ＞0或x ＜23-． 含多重绝对值的不等式讨论要有层次，分类要完备，可以从“外”向“里”，去掉绝对值的符号．逐次化解．

例7 解不等式573x x --+<．

分析 对于含有两个以上的绝对值的不等式，我们采用“零点区间讨论法”来解，即先确定50x -=和

70x +=时x 的值5和－7作为零点，然后以这两个零点为界把数轴分成三个区间段，再根据各区间段求不等式的解．

解：令x －5＝0和x ＋7＝0，分别解得x ＝5和x ＝－7．

即－7和5分别是7x +和5x -的零点，这两点把整个数轴分为三段：x ≤－7，－7＜x ≤5和x ＞5，从

而得到与原不等式等价三个不等式组：

(1)7,(5)(7) 3.x x x ≤-⎧⎨--++<⎩

解之，得：x 无解； (2)75,5(7).

x x x -<≤⎧⎨-+-+<⎩解之得552x -<≤；

(3)5,5(7) 3.x x x >⎧⎨--+<⎩ 解之得x ＞5．

故原不等式的解集为x ＞52-．

本例的关键是确定好零点，然后再分段．