精品 2014年九年级数学上册暑期讲义+同步练习--二次函数
精品 2014年九年级数学上册暑期讲义+同步练习--二次函数 第07课 二次函数图象性质
第07课 二次函数图象性质知识点：⑴一元二次方程02=++c bx ax 的实数根就是对应的二次函数c bx ax y ++=2与x轴交点的 .（即把0=y 代入c bx ax y ++=2）⑵二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为21x x 、）⑶二次函数c bx ax y ++=2与y 轴交点坐标是 .⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒++=⎪⎩⎪⎨⎧⇔++=轴有无交点，则与轴有一个交点，则与轴有两个交点，则与决定轴的交点个数由与抛物线轴，则若对称轴是符号，轴右侧，则若对称轴在符号，轴左侧，则若对称轴在的对称轴是直线抛物线若交点在坐标原点，则轴的负半轴，则若交点在轴的正半轴，则若交点在），轴的交点坐标是（与抛物线当开口向下时，则当开口向上时，则决定的开口方向由抛物线x x x x y b a y b a y y y y 2222c bx ax y c bx ax y c bx ax y c bx ax y⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+-+-⇒-=+-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++++⇒=++cb a cb ac b a c b a c b a cb ac b a c b a 轴上，则点在轴下方，则点在轴上方，则点在确定时抛物线上的点的位置的符号：由轴上，则点在轴下方，则点在轴上方，则点在确定时抛物线上的点的位置的符号：由x x x 1x x x x 1x例1.二次函数x x y 42+-=的函数值为3，求自变量x 的值，可以看作解一元二次方程 ．反之,解一元二次方程342=+-x x 又可以看作已知二次函数 的函数值为3的自变量x 的值．一般地：已知二次函数c bx ax y ++=2的函数值为m ，求自变量x 的值，可以看作解一元二次方程 ．反之，解一元二次方程 又可以看作已知二次函数c bx ax y ++=2的值为m 的自变量x 的值．例2.如图为二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，在下列说法中：①ac ＜0；②方程ax 2+bx+c=0的根是x 1=-1，x 2=3；③a+b+c ＞0；④当x ＞1时，y 随x 的增大而增大． 正确的说法有__________________（把正确的序号都填在横线上）．例3.已知函数c bx ax y ++=2（a ，b ，c 为常数，且a ≠0）的图象如图所示，则关于x 的方程 02=++c bx ax 的根的情况是（ ）A.有两个不相等的正实数根B.有两个异号实数根C.有两个相等实数根D.无实数根 例4.观察图象：(1)二次函数22-+=x x y 的图象与x 轴有____个交点，则一元二次方程022=-+x x 的根的判别式△=_____0；(2)二次函数962+-=x x y 的图像与x 轴有____个交点，则一元二次方程0962=+-x x 的根的判别式△=_______0；(3)二次函数12+-=x x y 的图象与x 轴______公共点，则一元二次方程012=+-x x 的根的判别式△_______0．例5.如图，一元二次方程02=++c bx ax 的解为 。
精品 2014年九年级数学上册暑期讲义+同步练习--二次函数 第01课 二次函数及其图像
第 01 课 二次函数及其图像
知识点： (1)若在一个变化过程中有两个变量 x 和 y，如果对于 x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那 么就说 y 是 x 的 ，x 叫做 。 (2)形如 的函数是一次函数，当 时，它是 函数。 (3)定义：一般地，形如 ， （a,b,c常数，且 ）的函数为二次函数。 其中x是自变量，a是__________，b是___________，c是_____________． 注意：当 b、c 为零时，解析式分别为 均为二次函数。 二次函数 y ax 的图象
23.已知二次函数 y ax 2 c(a 0), 当 x=1 时，y= -1；当 x=2 时，y=2，求该函数解析式.
24.富根老伯想利用一边长为 a 米的旧墙及可以围成 24 米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平 面图是一排大小相等的长方形. 2 (1)如果设猪舍的宽 AB 为 x 米，则猪舍的总面积 S（米 ）与 x 有怎样的函数关系？ 2 (2)请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为 32 米 ，应该如何安排猪舍的长 BC 和宽 AB 的长 度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？
B.y=x－1
2.函数 y ax 2 与 y ax b 的图象可能是（
3.抛物线 y=-x 不具有的性质是（ ） A、开口向下 B、对称轴是 y 轴
2
C、与 y 轴不相交
D、最高点是原点
第 3 页 共 8 页
4.苹果熟了，从树上落下所经过的路程 s 与下落时间 t 满足 s= gt （g=9.8） ，则 s 与 t 的函数图像 大致是（ s ） s s s O t D
25.已知二次函数 y ax 2 (a 0) 与直线 y=4 交于 A、B 两点，顶点为坐标原点，连接 OA,OB，若△OAB 为 等腰直角三角形，求二次函数解析式并求出此△OAB 面积。
精品2014年九年级数学上册暑期讲义同步练习--二次函数第04课二次函数的图象03
(4) 求出该抛物线与 x 轴的交点坐标及两交点间距离；
(5) 求出该抛物线与 y 轴的交点坐标；
时， y 随 x 的增大而减小 .
(6) 该函数图象可由 y 3x 2 的图象经过怎样的平移得到的？
，对称轴是
，当 x=
时，
y 有最
值为
。当 x
时， y 随 x 的增大而增大 .
8. 若抛物线 y
a( x 1) 2
k 上有一点 A（ 3， 5），则点 A 关于对称轴对称点
/
A
的坐标为
____________
9. 一条抛物线的对称轴是 x=1，且与 x 轴有唯一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的解析式 为 ________________ 10. 已知抛物线的顶点坐标为 (2,1) ，且抛物线过点 (3,0) ，则抛物线的关系式是 11. 若函数 y x2 mx m 2的图象经过 (3 ，6) 点，则 m=______
P 的坐标； P 的坐标；
P 的坐标。
课堂练习：
1. 要得到 y 2( x 2) 2 3 的图象，需将抛物线 y 2 x2 作如下平移 ( )
A. 向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 B. 向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位
C. 向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 D. 向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位
1 x
2 2 向右平移 1 个单位后，得到的抛物线解析式为
3
_______
，当 x＝
9. 若把函数 y
5x
2
2
3 的图象分别向下 , 向左移动 2 个单位 , 则得到的函数解析式为
。
10. 二次函数 y (x 1) 2 2的最小值为 ____________
精品 2014年九年级数学上册暑期讲义+同步练习--二次函数 第09课 二次函数综合复习
第09课 二次函数综合复习1.把242+--=x x y 化成k h x a y +-=2)(的形式是（ ）A.y=-(x-2 )2-2 B.y=-(x-2 )2+6 C. y =-(x+2 )2-2 D. y=-(x+2 )2+6 2.图象的顶点为(-2，-2 )，且经过原点的二次函数的关系式是（ ） A.y=12(x+2 )2 -2 B.y=12(x-2 )2 -2 C. y = 2(x+2 )2 -2 D. y= 2(x-2 )2-2 3.把二次函数215322y x x =++的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得到图象的函数解析式是（ ）A.21(5)12y x =-+ B.21(1)52y x =+- C.21322y x x =++ D.21722y x x =+-4.抛物线y=2x 2-5x+3与坐标轴的交点共有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 5.二次函数y=(x-3)(x+2)的图象的对称轴是( ) A.x=3 B.x=-2 C.x=-12 D.x=126.二次函数522-+=x x y 有( )A.最大值-5B.最小值-5C.最大值-6D.最小值-6 7.抛物线2)1(212+-=x y 的对称轴是直线__________顶点坐标为__________ 8.把322---=x x y 配方成k h x a y +-=2)(的形式为__________ 9.抛物线262+--=x x y 与x 轴的交点的坐标是_________10.方程ax 2+bx+c=0的两根为-3，1则抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是直线__________11.已知直线y=2x-1与两个坐标轴的交点是A 、B ，把y=2x 2平移后经过A 、B 两点，则平移后的二次函数解析式为______________12.已知抛物线222)1(2k k x k x y -+-+-=，它的图象经过原点，求①解析式; ②与x 轴交点O 、A 及顶点C 组成的△OAC 面积。
精品 2014年九年级数学上册暑期讲义同步练习--二次函数 第03课 函数的图象与性质02
第03课 函数2)(h x a y -=的图象与性质知识点：函数2)(h x a y -=图象性质（1）形状：二次函数2)(h x a y -=的图象是 ，（2）开口方向：当a 0时，开口向_____；当a 0时，开口向_____； （3）顶点坐标： ⇔反映在坐标系中： （4）对称轴：（5）最值：当a 0时，有最 值；当a 0时，有最 值。
（6）增减性：当a 0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而______，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而______；当a 0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而______，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而______；（7）图象左右平移：2ax y =向 平移 个单位后解析式为）（0)(2>-=k k x a y 2ax y =向 平移 个单位后解析式为）（0)(2>+=k k x a y 例1.在同一坐标系中画出二次函数22x y =，2)1(2-=x y ，2)1(2+=x y 的图象，它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这三个函数的图象之间有什么关系?总结：1.函数2)1(2-=x y 与22x y =的图象开口方向 、对称轴和顶点坐标 ；函数2)1(2-=x y 的图象可以看作是函数22x y =的图象向 平移 个单位得到的，它的对称轴是 ，顶点坐标是 。
函数2)1(2+=x y 与22x y =的图象开口方向 、对称轴和顶点坐标 ；函数2)1(2+=x y 的图象可以看作是函数22x y =的图象向 平移 个单位得到的，它的对称轴是 ，顶点坐标是 。
2.函数2)1(2-=x y 的图象当x______时，函数值y 随x 的增大而减小；当x______时，函数值y 随x 的增大而增大；当x=______时，函数取得最______值y=______。
函数2)1(2+=x y 的图象当x______时，函数值y 随x 的增大而减小；当x______时，函数值y 随x 的左右平移与 有关平移规律：若抛物线顶点落在x 轴上⇔042=-ac b增大而增大；当x=______时，函数取得最______值y=______。
2014年 九年级数学上册同步教案+同步练习--二次函数-第06课 二次函数实际应用 二
第06课二次函数实际应用二例1.如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线my+=与该二次函数的图象交于A、B两点，x其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴y上.（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；当h最大值时，求其P点坐标。
例2.如图，已知二次函数24=-+的图像经过点A和点B．y ax x c（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离.例3.如图，抛物线c=2与x轴交于A(-1,0),B(3,0) 两点.y++bxx(1)求该抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8,并求出此时P点的坐标；(3)设(1)中抛物线交y 轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.例4.某公司推出了一种高效环保型除草剂，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程. 图中的二次函数图象（部分）刻车了该公司年初以来累积利润S（万元）与时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和S与t之间的关系）.根据图象提供信息，解答下列问题：（1）公司从第几个月末开始扭亏为盈；（2）累积利润S与时间t之间的函数关系式；（3）求截止到几月末公司累积利润可达30万元；（4）求第8个月公司所获利是多少元？例5.如图，已知抛物线1-)1-2(22n x n x y ++= (n 为常数).(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；(2)设A 是(1)所确定的抛物线上位于x 轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点D ，再作AB ⊥x 轴于B ，DC ⊥x 轴于C.①当BC=1时，求矩形ABCD 的周长；②试问矩形ABCD 的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A 点的坐标；如果不存在，请说明理由.课堂练习：1.在二次函数y=x 2+bx+c 中，若b+c=0，则它的图象一定经过点（ ）A ．（-1，-1）B ．（1，-1）C ．（-1，1）D ．（1，1）2.若ac ﹤0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交点个数为（ ）A ．2个B ．l 个C ．0个D ．无法确定3.已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则关于x 的方程ax 2+bx+c-3=0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的正实根B ．有两个异号实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根4.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列5个代数式：ab ，ac ，a-b+c ，b 2-4ac ，2a+b 中，值大于0的个数有（ ）5.在同一坐标系中，函数y=ax 2与y=ax-1（a ≠0）的图象可能是图中的（ ）6.已知一次函数y=ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c ，它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（ ）7.如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象的对称轴是直线x=1．下面给出了4个结论：①a ﹤O ，b ＞0；②2a+b=0；③a+b+c ＞0；④4a+2b+c=0．正确结论的序号是 .8.已知抛物线c x x y ++=221与x 轴有两个不同的交点． (1)求c 的取值范围；(2)抛物线c x x y ++=221与x 轴两交点的距离为2，求c 的值．9.如图所示，二次函数y=-x 2+2x+m 的图象与x 轴的一个交点为A （3，0），另一个交点为B ，且与y 轴交于点C ．（1）求m 的值；（2）求点B 的坐标；（3）该二次函数图象上有一点D （x ，y ）（其中x ＞0，y ＞0），使ABC ABD S S ΔΔ=，求点D 的坐标．10.如图，在平面直角坐标系中，已知直线3-+=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线32++=nx mx y 经过点A 和点（2，3），与x 轴的另一交点为C.（1）求此二次函数的表达式；（2）若点P 是x 轴下方的抛物线上一点，且△ACP 的面积为10，求P 点坐标。
2014年 九年级数学上册同步教案+同步练习--二次函数-第05课 二次函数实际应用 一
第05课 二次函数实际应用 一例1.求下列二次函数的最值：(1)求函数3-22x x y +=的最值;)32-(≤≤x (2)求函数3-22x x y +=的最值．)30(≤≤x例2.已知：二次函数c x ax y +=4-2的图象经过点A(1，-8)和点(-2，7)．(1)求该二次函数的解析式；(2)将该二次函数图象向左平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标．例3.抛物线kx m x k y 4-)2-(22+=的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线221-+=x y 上，求抛物线解析式。
例4.某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件。
如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元）。
设每件商品的售价上涨x 元（x 为整数），每个月的销售利润为y 元，（1）求y 与x 的函数关系式，并直接写出x 的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？例5.如图，二次函数c bx x y ++=2的图象经过点M （1，-2）、N （-1，6）． （1）求二次函数c bx x y ++=2的关系式．（2）把Rt △ABC 放在坐标系内，其中∠CAB=900，点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0），BC=5. 将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在抛物线上时，求△ABC 平移的距离．课堂练习：1.小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线5.3512+-=x y 的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l 是( ).A.3.5mB.4mC.4.5mD.4.6m 2.把抛物线142-2++=x x y 的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是 （ ）A.6)1-(2-2+=x yB.6-)1-(2-2x y =C.6)1(2-2++=x yD.6-)1(2-2+=x y 3.若直线y=x-n 与抛物线n x x y --2=的交点在x 轴上, 则n 的取值一定为 ( ) A.0 B.2 C.0或2 D.任意实数 4.不论x 为何值,函数)0≠(2a c bx ax y ++=的值恒大于0的条件是( ) A.a>0,△>0 B.a>0, △<0 C.a<0, △<0 D.a<0, △<05.若函数432)1(+++=m m x m y 是二次函数，则m 的值为6.已知(-2,y 1),(-1,y 2),(3,y 3)是二次函数y=x 2-4x+m 上的点,则y 1,y 2,y 3从小到大用 “<”排列是7.二次函数5-6-2x x y +=，当x 时， y<0，且y 随x 的增大而减小．8.如图,抛物线c bx ax y ++=21和直线n mx y +=2的图象，观察图象，y 2≥y 1时，x 的取值范围____________ 9.根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式。
2014年 九年级数学上册同步教案+同步练习--二次函数-第04课 二次函数图像应用
例 5.如图，一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 的解为 。 2 例 6.如图，一元二次方程 ax + bx + c = 3 的解为 。 例 7.如图，已知平行四边形 ABCD 的周长为 8cm，∠B=30°，若边长 AB=x(cm)。 2 (1)写出□ABCD 的面积 y(cm )与 x 的函数关系式，并求自变量 x 的取值范围； (2)当 x 取什么值时，y 的值最大?并求最大值；(3)求二次函数的函数关系式。
⑶二次函数 y = ax 2 + bx + c 与 y 轴交点坐标是
.
抛物线y ax 2 bx c的开口方向由
当开口向上时，则 决定 ⇔ 当开口向下时，则 ， 若交点在y轴的正半轴，则 ） ⇒若交点在y轴的负半轴，则 若交点在坐标原点，则
抛物线y ax 2 bx c与y轴的交点坐标是（
例 9.如图有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位是 AB 宽 20m，水位上升 3m 就达到警戒线 CD，这是水 面宽度为 10m. (1)在如图的坐标系中求抛物线的解析式。 (2)若洪水到来时，水位以每小时 0.2m 的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？
课堂练习：
1.已知抛物线 y=ax +bx,当 a>0,b<0 时,它的图象经过( ) A.一、二、三象限 B.一、二、四象限 C.一、三、四象限
第 3 页 共 3 页
九年级数学上册同步教案
4.已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象如图所示，则点 ( ac, bc) 在（ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限
） D.第四象限
5.二次函数 y = ax 2 + bx + c(a ≠ 0) 的图象如图所示，则下列结论：①a>0;②c>0;③b -4ac>0，其中正确
九年级上册二次函数专题讲义
九年级上册二次函数专题讲义一、二次函数概念二次函数是指形如y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的函数。
需要注意的是，和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b，c可以为零。
例如，下列函数中哪些是二次函数：①y=3x²；②y=x²-x(1+x)；③y=x²(x²+x)-4；④y=1+x；⑤2xy=x(1-x)。
其中，例1需要判断每个函数的a，b，c值，而例2则是给定函数，需要判断m取何值时，该函数是关于x 的二次函数。
练1和练2则是练判断给定函数是否是关于x的二次函数，需要注意二次项系数a是否为零。
练3是已知点A在函数y=x-1的图像上，需要求出点A的坐标。
二、二次函数的基本形式二次函数的基本形式是y=ax²，它的图象是一条抛物线，有一条对称轴，对称轴和图象有一点交点，这个点叫做抛物线的顶点。
画出函数y=x的图象的步骤如下：首先列出函数对应值表，然后在直角坐标系中描点，最后用光滑的曲线连接各点得到函数的图象。
需要注意的是，抛物线与它的对称轴的交点就是抛物线的顶点。
通过观察比较函数y=x和y=-x的图象，可以得出它们关于y轴对称的结论；通过观察比较函数y=2x和y=-2x的图象，可以得出它们关于x轴对称的结论。
同时，可以发现这四个函数的图象都是抛物线，都有一条对称轴和一个顶点。
因此，结论是函数y=ax²的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，它的顶点坐标是(0,0)。
当$a>0$时，抛物线$y=ax^2$开口向上，对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大；对称轴右侧，$y$随$x$的增大而减小；顶点是抛物线上位置最低的点。
当$x=-\frac{b}{2a}$时，函数值$y=ax^2$取得最小值，最小值是$-\frac{b^2}{4a}$。
当$a<0$时，抛物线$y=ax^2$开口向下，对称轴左侧，$y$随$x$的增大而减小；对称轴右侧，$y$随$x$的增大而增大；顶点是抛物线上位置最高的点。
精品 2014年九年级数学上册暑期讲义+同步练习--二次函数 第06课 二次函数解析式求法
第 3 页 共 6 页
10.已知二次函数的图象与 x 轴交于 A（-2，0） 、B（3，0）两点，且函数有最大值是 2. (1)求二次函数的图象的解析式；(2)设次二次函数的顶点为 P，求△ABP 的面积.
11.已知某绿色蔬菜生产基地收获的大蒜， 从四月一日起开始上市的 30 天内， 大蒜每 10 千克的批发价 y （元）是上市时间 x (天)的二次函数，有近几年的行情可知如下信息：
2
第 4 页 共 6 页
日期：
1.已知 y mx m A.0，-3
课堂测试题 06 满分：100 分 姓名：
） C.0 ） B.x>0 时 y 随 x 增大而增大。 D.若 a>0 则 y 有最大值。
得分：
是二次函数，则 m 的值为（ B.0，3
D.-3
2.关于二次函数 y ax 2 b ，命题正确的是（ A.若 a>0,则 y 随 x 增大而增大 C.若 x>0 时，y 随 x 增大而增大
第 5 页 共 6 页
9.如图：(1)求该抛物线的解析式；(2)根据图象回答：当 x 为何范围时，该函数值大于 0。
10.如图，已知平行四边形 ABCD 的周长为 8cm，∠B=30°，若边长 AB=x(cm)。 (1)写出□ABCD 的面积 y(cm )与 x 的函数关系式，并求自变量 x 的取值范围。 (2)当 x 取什么值时，y 的值最大?并求最大值。 (3)求二次函数的函数关系式
第 1 页 共 6 页
例 4.已知二次函数 y
1 2 、B（0，－6）两点。 x bx c 的图象经过 A（2，0） 2
（1）求这个二次函数的解析式 （2）设该二次函数的对称轴与 x 轴交于点 C，连结 BA、BC，求△ABC 的面积。
沪教版 九年级数学 暑假同步讲义 第15讲 二次函数的概念及特殊二次函数的图像(解析版)
二次函数是九年级上学期第三章的内容．本讲首先讲解二次函数的概念，需学会判断一个函数是否是二次函数，重点是学会在实际问题中用二次函数描述两个变量之间的依赖关系，并确定函数定义域．其次，在理解了二次函数概念的基础上，本讲讲解了特殊二次函数2y ax=的图像，重点是学会利用描点法画出二次函数的图像，并通过观察和分析，归纳出抛物线2y ax=的特征，掌握其直观性质，为学习其他形式的二次函数的图像做好准备．1、二次函数一般地，解析式形如2y ax bx c=++（其中a、b、c是常数，且0a≠）的函数叫做二次函数．二次函数2y ax bx c=++的定义域为一切实数．而在具体问题中，函数的定义域根据实际意义来确定．二次函数的概念与特殊二次函数的图像1内容分析知识结构模块一：二次函数的概念知识精讲步同级年九2 / 19【例1】 判断下列函数是否是二次函数．（1）23y x =； （2）2112y x =-+； （3）21y x =；（4）()2y x x =-； （5）()212y x =+-；（6）()222y x x =+-．【答案】（1）不是；（2）是；（3）不是；（4）是；（5）是；（6）不是 【解析】（1）没有二次项；（2）符合()20y ax bx c a =++≠；（3）不是整式； （4）()222y x x x x =-=-+，符合()20y ax bx c a =++≠； （5）()221221y x x x =+-=+-，符合()20y ax bx c a =++≠；（6）()22244y x x x =+-=+，没有二次项．【总结】本题考察二次函数的概念，判断一个函数是否是二次函数，关键看是否符合()20y ax bx c a =++≠的形式．【例2】 ()()222231y m m x m x m =--+-+是关于x 的二次函数需要满足的条件是_____________．【答案】3m ≠且1m ≠-．【解析】2230m m --≠，解得3m ≠且1m ≠-．【总结】本题考察二次函数的概念，二次函数需满足二次项系数不为零．【例3】 二次函数()22y x =-+的二次项系数为a ，一次项系数为b ，常数项为c ，则24b ac -=_____．【答案】0．【解析】()22244y x x x =-+=-+，所以1a =，4b =-，4c =，代入得240b ac -=． 【总结】本题考察二次项系数、一次项系数、常数项的概念，做题的关键是把函数化为一般式．【例4】 已知二次函数2253y x x =-+．（1）当12x =-时，求函数值；例题解析（2）当x 取何值时，函数值为0？【答案】（1）6；（2）1或32．【解析】（1）把12x =-代入2253y x x =-+得6y =；（2）把0y =代入22530x x -+=得11x =，232x =． 【总结】本题一方面考察了函数值求解问题，已知自变量的值代入函数解析式即可，另一方面考察了已知函数值求自变量的值的问题．【例5】 下列函数中（x ，t 为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项．（1）2132y x =-+；（2）()()23422y x x x =--+；（3）23s t =++；（4）26y x =-．【答案】（1）是，二次项是23x 、一次项系数是0、常数项是12-； （2）不是；（32、一次项系数是1、常数项是3； （4）不是【解析】形如2y ax bx c =++（0a ≠）的函数叫做二次函数，其中2ax 叫做二次项、b 叫 做一次项系数、c 是常数项．【总结】本题考察二次函数的概念，二次项系数、一次项系数、常数项的概念．【例6】 已知函数()()22932y m x m x =---+． （1）当m 为何值时，这个函数是二次函数？ （2）当m 为何值时，这个函数是一次函数？【答案】（1）3m ≠±；（2）3m =-．【解析】（1）当函数()()22932y m x m x=---+为二次函数时，则290m-≠时，即3m≠±．（2）当函数()()22932y m x m x=---+为一次函数时，则()29030mm⎧-=⎪⎨--≠⎪⎩，得3m=-．【总结】本题考察了二次函数与一次函数的概念．【例7】如图，有一矩形纸片，长、宽分别为8厘米和6厘米，现在长宽上分别剪去宽为x厘米（6x<）的纸条，则剩余部分（图中阴影部分）的面积y关于x的函数关系式为【答案】()2144806y x x x=-+<<．【解析】阴影部分的长方形的的长为()8x cm-，宽为()6x cm-，所以面积()()()286144806y x x x x x=--=-+<<．【总结】此题主要利用长方形的面积公式列出函数关系式，其中根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．【例8】某公司4月份的营收为80万元，设每个月营收的增长率相同，且为x (0x>)，6月份的营收为y万元，写出y关于x的函数解析．【答案】()2801y x=+【解析】因为4月份的营收为80万元，5月份起，每月增长率都为x，所以5月份的营收为()801x+万元，12月份的营收为()2801x+万元．【总结】本题是平均增长率的问题，可用公式()21a x b+=来解题．【例9】用长为15米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过15米），围成一个矩形花圃．设花圃的宽为x米，面积为y平方米，求y与x的函数解析式及函数的定义域．【答案】21521502y x x x⎛⎫=-+<<⎪⎝⎭．【解析】设花圃的宽为x米，则长为()152x-米，∴面积()2152215y x x x x=-=-+152x⎛⎫<<⎪⎝⎭．【总结】此题主要利用长方形的面积公式列出函数关系式，其中根据题意，找到所求量 的等量关系是解决问题的关键．【例10】 三角形的两边长的和为10厘米，它们的夹角为30°，设其中一条边长为x 厘米，三角形的面积为y 平方厘米，试写出y 与x 之间的函数解析式及定义域． 【答案】()21501042y x x x =-+<<．【解析】如图，过点A 作AH ⊥BC 于点H ．设AB x =厘米，则()10BC x =-厘米，∵30B ∠=︒，∴1122AH AB x ==， 三角形面积()()211151001022242x y BC AH x x x x =⋅⋅=⋅-⋅=-+<<．【总结】此题主要利用三角形的面积公式列出函数关系式，其中根据题意，找到所求量 的等量关系是解决问题的关键．【例11】 设12y y y =-，1y 与1x成反比例，2y 与2x 成正比例，则y 与x 的函数关系是（ ）A ．正比例函数B ．反比例函数C ．二次函数D ．一次函数【答案】C ． 【解析】∵1y 与1x成反比例，∴设1111k y k x x==，∵2y 与2x 成正比例，∴设222y k x =，∴21212y y y k x k x =-=-，∴y 与x 的函数关系是二次函数．【总结】本题主要考察反比例、正比例和二次函数的定义，属于基础题．【例12】 已知正方形的周长是C 厘米，面积是S 平方厘米．（1）求S 关于C 的函数关系式；（2）当S =1平方厘米，求正方形的边长．【答案】（1）216C S =；（2）1cm ．【解析】（1）因为正方形的周长是C 厘米，所以边长为4Ca =厘米，所以216C S =；（2）当S =1平方厘米，代入216C S =得正方形的边长为1a =厘米．【总结】此题主要利用正方形的面积公式列出函数关系式，其中根据题意，找到面积与周长之间的等量关系是解决问题的关键．步同级年九6 / 191、 2y x =的图像在平面直角坐标系xOy 中，按照下列步骤画二次函数2y x =的图像． （1）列表：取自变量x 的一些值，计算相应的函数值y ，如下表所示：x … -2112--112- 012 11122 …2y x = (4)1241 140 1411244 …（2）描点：分别以所取的x 的值和相应的函数值y 作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示．模块二：二次函数y = ax 2的图像知识精讲（3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数2y x =的图像，如图2所示．二次函数2y x =的图像是一条曲线，分别向左上方和右上方无限伸展．它属于一类特殊的曲线，这类曲线称为抛物线．二次函数2y x =的图像就称为抛物线2y x =． 2、 二次函数2y ax =的图像抛物线2y ax =（0a ≠）的对称轴是y 轴，即直线x = 0；顶点是原点．当0a >时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当0a <时，抛物线开口向下，顶点为最高点．【例13】 （1）在同一平面直角坐标系中，画出函数212y x =、22y x =的图像；（2）函数212y x =、22y x =的图像与函数2y x =的图像，有何异同？【答案】（1）如图：（2）相同点：开口方向都向上；顶点都是()0,0点；对称轴都是y 轴；不同点：开口大小不同．【解析】（1）略；（2）()20y ax a =≠图像顶点为坐标原点；对称轴为y 轴；例题解析0a >，开口向上，0a <，开口向下；a 决定开口大小，a 越大，开口越小．【总结】本题考察特殊二次函数的图像画法及二次函数图像的性质．【例14】 （1）在同一平面直角坐标系中，画出函数2y x =-、212y x =-、22y x =-的图像；（2）函数2y x =-、212y x =-、22y x =-的图像与函数2y x =、212y x =、22y x =的图像有何异同？ 【答案】（1）如图：（2）相同点：a 相同的开口大小一样；顶点都是原点；对称轴都是y 轴；不同点：开口方向不同．【解析】（1）略；（2）()20y ax a =≠图像顶点坐标为()0,0；对称轴为y 轴；0a >，开口向上，0a <，开口向下；a 决定开口大小，a 越大，开口越小．【总结】本题考察特殊二次函数的图像画法及二次函数的性质．【例15】 二次函数223y x =-的图像是______，它的对称轴是______，顶点坐标是______，开口方向是______．【答案】抛物线；y 轴；()0,0；向下．【解析】()20y ax a =≠图像为抛物线，顶点坐标为()0,0；对称轴为y 轴； 0a >，开口向上，0a <，开口向下 【总结】本题考察二次函数的性质．【例16】 抛物线22y x =除了点______以外，都位于______上方．【答案】()0,0；x 轴．【解析】抛物线22y x =的图像为顶点是()0,0点，开口向上的抛物线，∴只有()0,0点在x 轴上，其余的都位于x 轴上方．【总结】本题考察了二次函数的图像．【例17】 抛物线2y ax =与225y x =的形状相同，则a 的值为______． 【答案】25±．【解析】∵抛物线2y ax =与225y x =的形状相同，∴25a =，得25a =±． 【总结】本题考察二次函数的性质．【例18】 已知点P （32，6）在抛物线2y ax =上，那么a 的值为______． 【答案】83．【解析】把P （32，6）代入2y ax =得83a =． 【总结】本题考察待定系数法确定函数关系式，直接把点的坐标代入解析式即可．【例19】 抛物线23y x =经过点A （3，n ），则n = ______，且点A 关于抛物线对称轴的对称点A 1的坐标是______．【答案】27；()3,27-．【解析】把A （3，n ）代入23y x =得27n =；∵抛物线23y x =的对称轴为y 轴， ∴()13,27A -．【总结】本题考察了二次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握抛物线上关于对称轴的对称点到对称轴的距离相等的性质．【例20】 已知关于x 的二次函数()21y k x =+，当k 为何值时，它的图像开口向上？当k 为何值时，它的图像开口向下？【答案】1k >-时，图像开口向上；1k <-时，图像开口向下． 【解析】当10k +>，即1k >-，抛物线图像开口向上；当10k +<，即1k <-，抛物线图像开口向下．【总结】本题考察二次函数的开口方向与二次项系数a 的关系．【例21】 已知直线423y x =+上有两个点A 、B ，它们的横坐标分别是3和-2，若抛物线2y ax =也经过点A ，试求该抛物线的表达式．该抛物线也经过点B 吗？请说出你的理由．【答案】223y x =；抛物线不经过B 点． 【解析】把3和-2分别代入423y x =+得()3,6A 、22,3B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，把()3,6A 代入2y ax =得23a =，∴抛物线的表达式为223y x =；把2x =-代入223y x =得83y =，与B 点纵坐标不同，∴抛物线不经过点B ．【总结】本题考察利用待定系数法确定函数关系式．【例22】 抛物线212y x =上一点到x 轴的距离为8，求该点的坐标．【答案】()4,8、()4,8-． 【解析】∵抛物线212y x =上一点P 到x 轴的距离为8，则P 点纵坐标为8， 把8y =代入212y x =得()14,8P 、()24,8P -．【总结】本题考察了二次函数图像上点的坐标特征．【例23】 抛物线2y ax =与直线23y x =-交于点（1，b ）． （1）求a 和b 的值；（2）求抛物线的解析式，并求顶点坐标和对称轴； （3）当x 取何值时，二次函数的y 值随x 的增大而增大．【答案】（1）1a =-，1b =-；（2）2y x =-，顶点坐标为()0,0，对称轴为y 轴； （3）当0x <时，二次函数的y 值随x 的增大而增大．【解析】（1）把（1，b ）代入23y x =-得1b =-，∴交点坐标为()1,1-．把()1,1-代入2y ax =得1a =-，∴2y x =-；（2）由（1）得抛物线的解析式为2y x =-，顶点坐标为()0,0，对称轴为y 轴； （3）∵抛物线开口向下，在对称轴的左侧二次函数的y 值随x 的增大而增大，即当0x <时，二次函数的y 值随x 的增大而增大．【总结】本题考察了待定系数法确定函数关系式及二次函数的性质．【例24】 函数2y ax =-与y ax b =+的图像可能是（ ）【答案】D ．【解析】当0a >时，抛物线开口向下，一次函数一定过第一、三象限，当0a <时，抛物线开口向上，一次函数一定过第二、四象限．步同级年九12 / 19【总结】本题考察抛物线和直线的性质，用假设法来解决这种数形结合是一种很好的方法．【例25】 若把抛物线2y ax =（0a ≠）沿着顶点旋转180°，所得抛物线的表达式是__________；若把抛物线2y ax =（0a ≠）沿着x 轴翻折，所得的抛物线的表达式是__________；由这样的旋转与翻折分别得到的两条抛物线______重合的（选填“是”或“不是”）．【答案】2y ax =-；2y ax =-；是．【解析】若把抛物线2y ax =（0a ≠）沿着顶点旋转180°，则新的抛物线顶点和对称轴不变，方向相反，∴新的抛物线的表达式为2y ax =-； 若抛物线2y ax =（0a ≠）沿着x 轴翻折， 则新的抛物线顶点和对称轴不变，方向相反， ∴新的抛物线的表达式为2y ax =-．【总结】本题主要考察了二次函数图像与几何变换．【习题1】 下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，请指出a 、b 、c ．（1）21y x =-； （2）21y x x =--； （3）20.3y x =； （4）()()212y x x x =+--； （5）221x x y π--=；（6）2y x =．【难度】★随堂检测【答案】（1）不是；（2）是，1a =，1b =-，1c =-；（3）是，0.3a =，0b =，0c =；（4）不是；（5）是，1a π=，2b π=-，1c π=-；（6）不是．【解析】形如2y ax bx c =++（0a ≠）的函数叫做二次函数，其中a 叫做二次项系数、 b 叫做一次项系数、c 是常数项，如果不是一般式，先整理成一般式再确定a 、b 、c ． 【总结】本题考察二次函数的概念，二次项系数、一次项系数、常数项的概念．【习题2】 已知二次函数2y ax =的图像经过点Q （-1，-2），求a的值，并写出它的解析式．在平面直角坐标系中，画出它的图像．【难度】★【答案】2a =-，22y x =-．图像如图所示：【解析】把Q （-1，-2）代入2y ax =得2a =-，解析式为22y x =-． 【总结】本题考查待定系数法确定函数关系式及二次函数图像画法．【习题3】 函数226mm y mx --=是y 关于x 的二次函数．当m = ______时，其图像开口向上；当m = ______ 时，其图像开口向下．【答案】4m =；2m =-． 【解析】∵函数226mm y mx --=为二次函数，∴2262m m --=，解得14m =，22m =-；当0m >，即4m =时，其图像开口向上；当0m <，即2m =-时，其图像开口向下． 【总结】本题考察二次函数的概念和性质．【习题4】求直线y x=与抛物线22y x=-的交点坐标．【答案】()0,0，11,22⎛⎫--⎪⎝⎭．【解析】联立方程得22y xy x=⎧⎨=-⎩，解得11xy=⎧⎨=⎩，221212xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线与抛物线的交点坐标为()0,0、11,22⎛⎫--⎪⎝⎭．【总结】本题考察了直线与抛物线的交点坐标求法．【习题5】如图所示，在同一坐标系中，作出①23y x=；②212y x=；③2y x=的图像，则图像从里到外的三条抛物线对应的函数依次是____________（填序号）．【答案】①③②【解析】()20y ax a=≠图像开口大小由a决定，a越大，开口越小．【总结】本题考察二次函数的图像及性质．【习题6】自由下落的物体的高度h（米）与下落的时间t（秒）的关系为24.9h t=．现有一铁球从离地面19.6米高的建筑物的顶部自由下落，到达地面需要的时间是______秒．【答案】2秒．【解析】把19.6h=代入24.9h t=得219.6 4.9t=，解得12t=，22t=-（舍）．【总结】本题考查二次函数的实际应用．【习题7】如图，桥拱是抛物线形状，其函数解析式为214y x=-，当水位线在AB位置时，水面的宽为12米，此时水面离桥顶的高度h是______米．【答案】9米．【解析】由题意知：()6,A h--，把()6,A h--代入214y x=-得9h=．【总结】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．【习题8】如图，园林工人要在一块长24米，宽12米的矩形土地中砌一个小矩形花坛，四周铺上草，其宽都相等，如果设草地的宽为x，花坛的面积为S平方米，求出S关于x的函数解析式及其定义域．【答案】()2=47228806S x x x-+<<．【解析】∵花坛的长为()242x-米，宽为()122x-米，∴()()()224212247228806S x x x x x=--=-+<<【总结】此题主要利用长方形的面积公式列出函数关系式，其中根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．．步同级年九16 / 19【作业1】下列函数，不属于二次函数的是（ ）A ．()()12y x x =-+B ．()2112y x =+C ．213y x =-D ．()22232y x x =+-【难度】★ 【答案】D ．【解析】∵()222321218y x x x =+-=+，二次项系数为0，∴不是二次函数． 【总结】本题考查二次函数的概念．【作业2】在同一平面直角坐标系中，作2y x =，212y x =-，213y x =的图像，它们的共同特点是（ ）A ．抛物线的开口方向向上B ．抛物线的开口方向向下C ．都是关于x 轴对称的抛物线D ．都是关于y 轴对称的抛物线【答案】D ．【解析】二次函数()20y ax a =≠的图像，对称轴为y 轴；顶点为坐标原点；当0a >时，开口向上，当0a <时，开口向下．【总结】本题考察二次函数的图像．【作业3】二次函数23y x bx =++中，当x = 3时，y = 0，则b 的值为______．【答案】4b =-．【解析】把3x =，0y =代入得：9330b ++=，解得4b =-． 【总结】本题考察了待定系数法确定函数关系式．【作业4】如果抛物线2y ax =过点（cos60°，sin30°），那么a = ______，它的函数表课后作业达式是______．【答案】2a =，22y x =． 【解析】∵1cos602︒=，1sin302︒=，∴抛物线2y ax =过点11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭， 把11,22⎛⎫⎪⎝⎭代入2y ax =得2a =，∴函数表达式是22y x =． 【总结】本题考查待定系数法确定函数关系式．【作业5】如图，四个二次函数图像，分别对应的是12y ax =；22y bx =；32y cx =；42y dx =，则a 、b 、c 、d 的大小关系为（ ）A ．a b c d >>>B ．a b d c >>>C ．b a c d >>>D ．b a d c >>>【答案】A ．【解析】∵①、②函数图像开口向上，∴0a >，0b >；∵③、④函数图像开口向下，∴0c <，0d <；∵二次函数()20y ax a =≠中，a 越大，开口越小，∴a b c d >>>．【总结】本题考查了二次函数的图像及性质．【作业6】若函数()2221mm y m m x --=+是二次函数，则m = ______，它的图像开口______，顶点是它的最______点，它的对称轴是______．【答案】3；向上；低；y 轴． 【解析】∵函数()2221mm y m m x --=+是二次函数，∴2212m m --=，解得13m =，21m =-，∵20m m +≠，∴1m ≠-，∴3m =，∴函数解析式为212y x =． ∴图像开口向上，顶点是它的最低点，对称轴是y 轴．【总结】本题考查了二次函数的概念、图像及性质．步同级年九18 / 19【作业7】求直线21y x =+与抛物线23y x =的交点坐标．【答案】()1,3，11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】将21y x =+代入23y x =得：2213x x +=，解得11x =，213x =-．当1x =时，3y =；当13x =-，13y =，∴线21y x =+与抛物线23y x =的交点坐标()1,3，11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．【总结】本题考察了直线与抛物线的交点坐标求法．【作业8】一个正方形的面积为16平方厘米，当把边长增加x 厘米时，正方形的面积为y 平方厘米，则y 关于x 的函数关系式为____________．【答案】2816y x x =++．【解析】∵正方形的面积为16平方厘米，∴原正方形边长为4厘米，∴现在正方形的边长为()4x +厘米，∴()224816y x x x =+=++．【总结】此题主要利用正方形的面积公式列出函数关系式，其中根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．【作业9】抛物线的顶点为原点，以y 轴为对称轴，且经过点A （-2，8）．（1）求这个函数的解析式；（2）写出抛物线上与点A 关于y 轴对称的点B 的坐标，并计算OAB ∆的面积．【答案】（1）22y x =；（2）()2,8B ，16OAB S ∆=．【解析】（1）设函数解析式为2y ax =，把A （-2，8）代入2y ax =得2a =，∴函数的解析式为22y x =． （2）∵点B 与点A 关于y 轴对称，∴B 与A 横坐标互为相反数，纵坐标相等，即()2,8B ∴4AB =，设AB 与y 轴交于点D ，则()0,8D ，11481622OAB S AB OD ∆=⋅⋅=⨯⨯=．【总结】本题考察了待定系数法确定函数关系式，二次函数的图像及性质．。
初三数学讲义（二次函数）（含答案）
初三数学讲义（二次函数）（含答案）（含答案） 知识梳理：知识梳理：一、二次函数概念：二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ¹）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ¹，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．次函数的定义域是全体实数．二、二次函数的基本形式1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ¹）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ¹）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ¹，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -³时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 三、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ¹．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，的前提下，当0b >时，02b a-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；轴左侧；当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；轴；当0b <时，02b a->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02b a ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；轴右侧；当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；轴；当0b <时，02b a-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴ab x 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”概括的说就是“左同右异” 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．轴交点的位置． 二次函数解析式的确定：三个独立条件 四、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a æö--ç÷èø，． 当2bx a<-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a>-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a æö--ç÷èø，．当2bx a<-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a>-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a=-时，y有最大值244ac b a-．注意：当定义域是m x n ££时，要判断对称轴是否在定义域内时，要判断对称轴是否在定义域内..若对称轴在定义域内时，最值就在顶点处取；否则就在端点处取最值域内时，最值就在顶点处取；否则就在端点处取最值. . 五、二次函数图象的平移1. 平移步骤：平移步骤：方法一：⑴方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：处，具体平移方法如下：向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 22. 平移规律平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”．六、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：轴的交点个数：① 当240b ac D =->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ¹，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=¹的两根．这两点间的距离2214b acAB x x a-=-=. ② 当0D =时，图象与x 轴只有一个交点；轴只有一个交点； ③ 当0D <时，图象与x 轴没有交点. 1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ； 3. 二次函数常用解题方法总结：二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++¹本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：内在联系：0D > 抛物线与x 轴有两个交点两个交点 二次三项式的值可正、可零、可负可零、可负一元二次方程有两个不相等实根一元二次方程有两个不相等实根 0D =抛物线与x 轴只有一个交点有一个交点二次三项式的值为非负二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根一元二次方程有两个相等的实数根 0D < 抛物线与x 轴无交点交点二次三项式的值恒为正二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根. 图1 重要题型： 1.1.基本问题：基本问题：1. 已知函数26(2)my m x-=-是二次函数，则m 值为（值为（ ）A.2 B. ±2C. ﹣ 2 D 6±2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图1所示，则下列结论正确的是（所示，则下列结论正确的是（ ） A ．a b c ><>000，， B ．a b c <<>000，， C ．a b c <><000，， D ．a b c <>>000，，3. 抛物线()223y x =+-可以由抛物线2y x =平移得到,则下列平移过程正确的是( ) A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位个单位 B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位个单位 C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位个单位 D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位个单位 4. 已知二次函数223y x x =--．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是（围是（ ）． A ．－1＜x ＜3 B ．x ＜－1 C ． x ＞3 D ．x ＜－1或x ＞3 5. 已知抛物线y=ax 2﹣2x+1与x 轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（） A ．第四象限．第四象限 B ．第三象限．第三象限 C ．第二象限．第二象限 D ．第一象限．第一象限6. 若二次函数2()1y x m =--．当x ≤l 时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ） A ．m =l B ．m >l C ．m ≥l D ．m ≤l 7. 已知二次函数y=﹣x 22﹣7x+，若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是________________.8.二次函数y=ax 2+bx+c +bx+c（a≠0）中的（a≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表：的部分对应值如下表： x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 y125﹣3 ﹣4 ﹣ 3 0512给出了结论：给出了结论：（1）二次函数y=ax 2+bx+c 有最小值，最小值为﹣有最小值，最小值为﹣33； （2）当时，时，y y ＜0；（3）二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点，且它们分别在y 轴两侧． 则其中正确结论的个数是（则其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B B．．2个C C．． 3个D D．．0个9.9.已知二次函数已知二次函数y ＝ax2＋bx bx＋＋c 图象的一部分如图，图象的一部分如图， 则a 的取值范围是的取值范围是______________________________．．10. 二次函数y =ax 2+bx +1（a ≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t =a +b +1，则t 值的变化范围是（值的变化范围是（ ）A ．0＜t ＜1B ．0＜t ＜2C ．1＜t ＜2D ．﹣1＜t ＜0 11. 已知二次函数2y ax bx c =++(0a ¹)的图象如图的图象如图所示，有下列结论：（ ）①240b ac ->；②0abc >； ③80a c +>；④930a b c ++<．其中，正确结论的个数是其中，正确结论的个数是A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠ 0）满足条件：（1）4a -b =0；（2）a -b +c >0；（3）与x 轴有两个交点，且两交点间的距离小于2．以下有四个结论：①a <0；②c >0；③a +b +c <0；④43c ca <<，其中所有正确结论的序号是其中所有正确结论的序号是 ．13. 函数2(2)5(1)y x x m =-+££中y 的范围是56y ££，则m 的取值范围是_____. 3.3.易错易做题：易错易做题：14.已知22224+3=12x y x x y +，则的最大值是（ ） A.9 B.10 C.12 D.15 15. 某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出．若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次这种提高2元的方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高_________元．元．16. 设二次函数y ＝ax 2＋2ax ＋1(32x -££)有最大值4，则实数a 的值为________. Ox y 1x =1-2-17. 如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （﹣（﹣33，0），B （0，3），C （1，0）． （1）求此抛物线的解析式．）求此抛物线的解析式． （2）点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点，（不与点A 、B 重合），过点P作x 轴的垂线，垂足为F ，交直线AB 于点E ，作PD⊥AB 于点D ． ①动点P 在什么位置时，△PDE 的周长最大，求出此时P 点的坐标；点的坐标； ②连接PA PA，以，以AP 为边作图示一侧的正方形APMN APMN，随着点，随着点P 的运动，的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点M 或N 恰好落在抛物线对称轴上时，恰好落在抛物线对称轴上时， 求出对应的P 点的坐标．（结果保留根号）（结果保留根号）18. 如图, 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与x 轴负半轴交于点A , 顶点为B , 且对称轴与x 轴交于点C . （1）求点B 的坐标的坐标 (用含m 的代数式表示)；求证：无论m 取何值时，取何值时， B 都在直线y x =-上；（2）D 为BO 中点，中点，直线直线AD 交y 轴于E ，若点E 的坐标为(0, 2), 求抛求抛 物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点M 在直线BO 上，且使得△AMC 的周长最小，P 在抛物线上，Q 在直线在直线 BC 上，若以A 、M 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的 坐标. 备用图备用图x x m y 222-=CAOBxyCAOBxy课后作业：课后作业：1. 如图为抛物线2yax bx c =++的图像，A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA =OC =1，则下列关系中正确的是则下列关系中正确的是A ．a ＋b =－1 B ． a －b =－1 C ． b <2aD ． ac <0 2. 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则反比例函数ay x=与一次函数y bx c =+在同一坐标系中的大致图象是（在同一坐标系中的大致图象是（ ）. 3. 已知二次函数)0(2¹++=a c bx ax y 的图象如图所示对称轴为21-=x 。
人教版初中数学同步讲义九年级上册第01讲 二次函数(解析版)
第01讲二次函数课程标准学习目标①二次函数的定义②2ax y =的图像与性质③2ax y =的平移与一般形式的平移1.掌握二次函数概念，能够通过二次函数的概念解决相关题目。
2.掌握2ax y =型二次函数的图像与性质，能够熟练解决有关题目。
3.掌握二次函数2ax y =与c bx ax y ++=2的平移，并能够通过平移规律解决相关题目。
知识点01二次函数的定义1.二次函数的定义：一般地，形如()02≠++=a c bx ax y 的函数叫做二次函数。
其中：x 是自变量，a 是函数解析式的二次项系数；b 是函数解析式一次项系数；c 是函数解析式的常数项。
()02≠++=a c bx ax y 又是二次函数的一般形式。
判断二次函数时，把二次函数化为一般形式，右边一定要是整式，最高次数是2且二次项系数不等于0。
题型考点：①判断二次函数关系。
②根据二次函数定义求值。
【即学即练1】1．如图，正方形ABCD和⊙O的周长之和为20cm，设圆的半径为xcm，正方形的边长为ycm，阴影部分的面积为Scm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（）A．一次函数关系，一次函数关系B．一次函数关系，二次函数关系C．二次函数关系，二次函数关系D．二次函数关系，一次函数关系【解答】解：由题意得，4y+2πx＝20，∴2y+πx＝10，∴y＝，即y与x是一次函数关系，∵S＝y2﹣πx2，即满足二次函数关系，故选：B．【即学即练2】2．下列函数中，是二次函数的是（）A．B．C．y＝2x2﹣2x+2D．y＝2x+2【解答】解；A．，关系式不是整式，故不是二次函数；B．，关系式不是整式，故不是二次函数；C．y＝2x2﹣2x+2，自变量的次数是2，且二次项的系数不为零，故是二次函数；D．y＝2x+2，自变量的次数不是2，是一次函数，不是二次函数；故选：C．【即学即练3】3．已知y＝m x|m﹣2|+2mx+1是y关于x的二次函数，则m的值为（）A．0B．1C．4D．0或4【解答】解：由题意得：|m﹣2|＝2，且m≠0，解得：m＝4，故选：C ．知识点02二次函数2ax y =的图像1.二次函数的图像：二次函数的图像是一条抛物线，有开口方向，顶点，对称轴。
九上暑假先修班讲义二
九上先修班讲义二、二次函数的概念与性质（二）知识点：1、二次函数的图象在画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时通常先通过配方配成y=a(x+b2a)2+4a24ac-b的形式,先确定顶点(-b2a,4a24ac-b),然后对称找点列表并画图,或直接代用顶点公式来求得顶点坐标.2、理解二次函数的性质抛物线的开口方向由a的符号来确定,当a>0时,在对称轴左侧y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随x的增大而增大;简记左减右增,这时当x=-b2a时,y最小值=4a 24ac-b;反之当a<•0时,简记左增右减,当x=-b2a时y最大值=4a24ac-b.例题精讲1、填空:根据下边已画好抛物线y= -2x2的顶点坐标是, 对称轴是，在侧，即x_____0时, y随着x的增大而增大；在侧，即x_____0时, y随着x的增大而减小. 当x= 时，函数y最大值是____. 当x____0时,y<0.2、探索填空:：据上边已画好的函数图象填空：抛物线y= 2x2的顶点坐标是, 对称轴是，在侧，即x_____0时, y随着x的增大而减少；在侧，即x_____0时, y随着x的增大而增大. 当x= 时，函数y最小值是____. 当x____0时,y>03、归纳:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质(1).顶点坐标与对称轴(2).位置与开口方向(3).增减性与最值巩固题组一1、巩固练习：（1）指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：222222)9(432)4(5.0 5)2(2143)1(5.2 5)3(2--=++=+-=--=+-=--=x y x y x y x y x y x y（2） 由抛物线y=2x ²向 平移 个单位,再向 平移 个单位可得到y= 2(x +1)2 –3（3）函数y= 3(x - 2)2 +21的图象可以由抛物线 向 平移 个单位，再向 平移 个单位而得到的。
2014年 九年级数学上册同步教案+同步练习--二次函数-第07课 二次函数实际应用 三
0
28.二次函数 yຫໍສະໝຸດ =ax -2bx+c 和 y=(a+1)x -2(b+2)x+c+3 在同一坐标系中的图象如图所示， 若 OB=OA， BC=DC， 且点 B，C 的横坐标分别为 1，3，求这两个函数的解析式．
2
2
29.在平面直角坐标系中，二次函数 y = a ( x - 1) 2 + k 的图像与 x 轴相交于点 A、B，顶点为 C，点 D 在这 个二次函数图像的对称轴上，若四边形 ABCD是一个边长为 2 且有一个内角为 60°的菱形，求此二次函 数的表达式．
D. y=-(x+2 ) +6
2
1 2 (x+2 ) -2 2
B.y=
1 2 (x-2 ) -2 2
C. y = 2(x+2 ) -2
2
D. y= 2(x-2 ) -2
2
3.把二次函数 y 式是（ ）
1 2 5 再向上平移 3 个单位， 所得到图象的函数解析 x 3 x 的图象向右平移 2 个单位， 2 2
17.在一边靠墙的空地上，用砖墙围成三格的矩形场地（如下图）已知砖墙在地面上占地总长度 160m， 问分隔墙在地面上的长度 x 为多少时所围场地总面积最大？并求这个最大面积。
第 7 页 共 7 页
第 5 页 共 7 页
九年级数学上册同步教案
二次函数综合复习题
1.把 y = - x 2 - 4 x + 2 化成 y = a ( x - h) 2 + k 的形式是（
2 2
）
2
A.y=-(x-2 ) -2 B.y=-(x-2 ) +6 C. y =-(x+2 ) -2 2.图象的顶点为(-2，-2 )，且经过原点的二次函数的关系式是（ ） A.y=
精品 2014年九年级数学上册暑期讲义同步练习--二次函数 第02课 函数的图象与性质01
第02课 函数k ax y +=2的图象与性质知识点：函数k ax y +=2图象性质（1）形状：二次函数k ax y +=2的图象是 ，（2）开口方向：当a 0时，开口向_____；当a 0时，开口向_____； （3）顶点坐标：（4）对称轴： 或（5）最值：当a 0时，有最 值；当a 0时，有最 值。
（6）增减性：当a 0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而______，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而______；当a 0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而______，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而______；（7）图象上下平移：2ax y =向 平移 个单位后解析式为）（02>+=k k ax y 2ax y =向 平移 个单位后解析式为）（02>-=k k ax y例1.分别在同一直角坐标系中，画出下列各组两个二次函数的图象。
(1)22222-=-=x y x y 与； (2)131322-=+=x y x y 与例2.在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象.22132212211222-=+==x y x y x y ）；（）；（）（ 观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置。
试说出函数22132212211222-=+==x y x y x y ）；（）；（）（的图象所具有的共同性质。
上下平移与 有关平移规律：例3.抛物线y=2x 2向上平移3个单位，就得到抛物线解析式为__________________； 抛物线y=2x 2向下平移4个单位，就得到抛物线解析式为__________________． 例4.二次函数k ax y +=2()0≠a 的经过点A （1，-1）、B （2，5）.⑴求该函数的表达式； ⑵若点)m ,2(-C ,)7n (，D 也在函数的上，求m 、n 的值。
例5.已知抛物线42+-=x y ，与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，连接AC,BC.（1）求A 、B 、C 三点坐标；（2）求△ABC 的面积；（3）若点P 在此抛物线上，且△PAB 的面积是△ABC 的面积的23，求P 点坐标。
九年级数学上册同步精品讲义(人教版)：二次函数章末复习(教师版)
知识点 01 二次函数的定义
一般地，如果
是常数，
，那么 叫做 的二次函数。
【注意】 如果 y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数，a≠0)，那么 y 叫做 x 的二次函数。这里，当 a=0 时就不是二次函数了，但 b、 c 可分别为零，也可以同时都为零。a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
(
)
(1) 的符号决定抛物线的开口方向：当
时，开口向上；当
口大小、形状相同.
(2)平行于 轴(或重合)的直线记作
.特别地， 轴记作直线
3．抛物线 y ax2 bx c(a≠0) 中， a, b, c 的作用：
(1) 决定开口方向及开口大小，这与
中的 完全一样.
时，开口向下； 相等，抛物线的开 .
，与 轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则
.
4．用待定系数法求二次函数的解析式：
(1)一般式：
（a≠0）.已知图象上三点或三对 、 的值，通常选择一般式.
(2)顶点式：
（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成
象平移后所对应的函数.)
能力拓展
考法 01 求二次函数的解析式
【典例 1】已知二次函数 y ax2 bx 3 经过点 (2,3) ，且函数最大值为 4，则 a 的值为（ ）
A． 1 2
B． 1
C． 2
D．
1 3
【答案】B
【详解】解：∵二次函数 y ax2 bx 3 经过点 (2,3) ，且函数最大值为 4，
3 4a 2b 3
∴ 4 a3 b2 4a
且a0． 4
解得 a 1．
精品2014年九年级数学上册暑期讲义同步练习--二次函数第05课二次函数的图象05
2
y x 2x 2 的顶点坐标是
，对称轴是
③像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用
接得到它的图像性质 .
④用配方法把下列二次函数化成顶点式：
(1) y x 2 - 2 x 2
(2)
y 1 x 2 2x 5 2
. 的方法转化为
式从而直
(3)
y ax 2 bx c
⑤归纳：二次函数的一般形式 y ax 2 bx c 可以用配方法转化成顶点式：
5 的图象向上平移
3 个单位，再向右平移
2
2
4 个单位，则两次平移后的函数
5. 函数 y 2x 2 x 有最 ____值，最值为 _______
6. 二次函数 y 2x 2 bx c 的顶点坐标是（ 1， -2 ），则 b=_______， c=________．
7. 已知二次函数 y 2 x 2 8x 6 ，当 ___________时， y 随 x 的增大而增大；
当 x=________时， y 有_________值是 ___________．
8. 函数 y = x 2 + px + q 的图象是以（ 3,2 ）为顶点的一条抛物线，这个二次函数的表达式为
9. 如果抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 y 轴交于点 A(0,2) ，它的对称轴是 x
6
4
C
2
D
AO
B
5
-6
日期： 月 日
课堂测试题 05
满分： 100 分
姓名：
1. 已知二次函数 y ( k 2 1) x 2 2kx 4 与 x 轴的一个交点 A(-2,0) ，则 k 值为（
得分：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二次函数第01课 二次函数及其图像知识点：(1)若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。
(2)形如 的函数是一次函数，当 时，它是 函数。
(3)定义：一般地，形如 ，（a,b,c 常数，且 ）的函数为二次函数。
其中x 是自变量，a 是__________，b 是___________，c 是_____________．注意：当b 、c 为零时，解析式分别为 均为二次函数。
二次函数2y ax =的图象复习：画一个函数图象的一般过程是① ；② ；③ 。
一次函数图象的形状是 抛物线2ax y =的性质(2)当a ＞0时，在对称轴的左侧，即x 0时，y 随x 的增大而 ； 在对称轴的右侧，即x 0时,y 随x 的增大而 。
(3)在前面图中，关于x 轴对称的抛物线有 对，它们分别是哪些？答： 。
由此可知和抛物线2ax y =关于x 轴对称的抛物线是 。
(4)当a ＞0时，a 越大，抛物线的开口越___________；当a ＜0时，a 越大，抛物线的开口越_________； 因此，a 越大，抛物线的开口越________。
自主学习：1.用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔,圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。
(分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为y 平方米，那么y 与x 之间的函数关系式为y= ，整理为y= .)2.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________．3.用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积S 与它的半径r 之间的函数关系式例1.已知32)4(232-+-=--x m y m m是二次函数,求m 的值.例2.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．例3.画出函数2x y =，221x y =，22x y =的图象． 解：列表：例4.请画出函数221x y -=，2x y -=，22x y -=的图象． 解：列表：例5.二次函数2ax y =与直线32-=x y 交于点P （1，b ）．(1)求a 、b 的值；(2)写出二次函数的关系式，并指出x 取何值时，该函数的y 随x 的增大而减小．课堂练习：1.下列函数中，是二次函数的是（ ） A.y=x 2－1B.y=x －1C.y=8xD.y=8x22.函数2ax y =与b ax y +-=的图象可能是（ ）3.抛物线y=-x 2不具有的性质是（ ）A 、开口向下B 、对称轴是 y 轴C 、与 y 轴不相交D 、最高点是原点归纳：(1)由图象可知二次函数2x y =的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，即抛出物体所经过的路线，所以这条曲线叫做 线；(2)抛物线y=x 2是轴对称图形，对称轴是 ； (3)y=x 2的图象开口_______；(4) 与 的交点叫做抛物线的顶点。
抛物线y=x 2的顶点坐标是 ；它是抛物线的最 点（填“高”或“低”）， 即当x=0时，y 有最 值等于0.(5)在对称轴的左侧，图象从左往右呈 趋势，在对称轴的右侧，图象从左往右呈 趋势； 即x<0时，y 随x 的增大而 ， x>0时，y 随x 的增大而 。
⇒4.苹果熟了，从树上落下所经过的路程 s 与下落时间 t 满足s=12gt 2（g=9.8），则 s 与 t 的函数图像大致是（ ）A B C D5.观察：①26y x =；②235y x =-+；③y=200x 2＋400x ＋200；④32y x x =-；⑤213y x x=-+； ⑥()221y x x =+-．这六个式子中二次函数有 。
（只填序号） 6.已知13)1(2+-+=-x x m y mm 是二次函数，则m 的值为___________7.若1222)(--+=m m x m m y 是二次函数，则m=8.当____m时，函数x x m y m m3)4(652+-=+-是关于x 的二次函数。
9.若点 A ( 2, m) 在函数12-=x y 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿10.若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为252s t t =+，则当t=4秒时，该物体所经过的路程为11.函数273x y =的图象顶点是________，对称轴是_______，开口向_____，当x=_____时， 有最____值是____,当x>0时，y 随x 的增大而________；当x<0时，y 随x 的增大而________.12.点)21(b A ，是抛物线2x y =上的一点，则b= ；过点A 作x 轴的平行线交抛物线另一点B 的坐标是13.当m= 时，抛物线mmx m y --=2)1(开口向下．14.如图，A 、B 分别为2ax y =上两点，且线段AB ⊥y 轴于点（0,6），若AB=6， 则该抛物线的表达式为15.对于函数22x y =下列说法：①当x 取任何实数时，y 的值总是正的；②x 的值增大，y 的值也增大；③y 随x 的增大而减小；④图象关于y 轴对称。
其中正确的是 。
16.下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数． （1）231x y -=（2）x x y 232-=（3）2)5(+-=x x y（4）2323x x y += （5）xx y 1+= (6)32)21(2++-=x x x y st O st O stOs t O17.一个长方形的长是宽的2倍，写出这个长方形的面积S 与宽x 之间的函数关系式．18.正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．(1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积．19.二次函数12-=m mx y 在其图象对称轴的左则，y 随x 的增大而增大，求m 的值。
20.二次函数223x y -=，当x 1＞x 2＞0时，求y 1与y 2的大小关系。
21.已知二次函数32++-=bx x y ．当x=2时，y=3，求 这个二次函数解析式．22.已知函数()422-++=m mx m y 是关于x 的二次函数，求：(1)满足条件的m 的值；(2)m 为何值时，抛物线有最底点？求出这个最底点，这时x 为何值时，y 随x 的增大而增大； (3)m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？23.已知二次函数),0(2≠+=a c ax y 当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2，求该函数解析式.24.富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平面图是一排大小相等的长方形.(1)如果设猪舍的宽AB 为x 米，则猪舍的总面积S （米2）与x 有怎样的函数关系？(2)请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米2，应该如何安排猪舍的长BC 和宽AB 的长度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？25.已知二次函数)0(2≠=a ax y 与直线y=4交于A 、B 两点，顶点为坐标原点，连接OA,OB ，若△OAB 为等腰直角三角形，求二次函数解析式并求出此△OAB 面积。
课堂测试题01日期： 月 日 满分：100分 姓名： 得分：1.下列函数中是二次函数的是（ ） A.y=x+12B.y=3(x-1)2C.y=(x+1)2-x 2D.x x y -=212.若函数12)1(22-++-=a x x a y 是二次函数，则（ ） A.a ＝1B.a ＝±1C.a ≠1D.a ≠-13.在一定条件下，若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为s=5t 2+2t ，则当t=4秒时，该物体所经过的路程为（ ）A ．28米B ．48米C ．68米D ．88米4.关于二次函数22x y x y -==与的图象,下列说法错误的是( )A.它们的开口方向相同B.对称轴都是y 轴C.顶点都是原点D.与x 轴都有且只有一个交点 5.二次函数2x y =和22x y =,以下说法中其中正确的说法有( )①它们的图象都是开口向上; ②它们对称轴都是y 轴,顶点都是原点; ③当x ＞0时,它们的函数值y 都随x 的增大而增大; ④它们开口的大小是一样的. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.下列函数中:①2x y -=；②3222x x y -+=；③x y 2=；④23t t m --=。
是二次函数是的 ( x,t 为自变量 ) 7.函数)(3)2(2为常数m mx x m y -+-=。
(1)当m__________时，该函数为二次函数； (2)当m__________时，该函数为一次函数． 8.当____m时，函数2221mm ym m x 是关于x 的二次函数9.二次函数23y x bx =-++．当x=2时，y=4，则这个二次函数解析式为10.函数26x y -=的图象顶点是________，对称轴是_______，开口向______，当x=_______时，有最______值是_____．当x>0时，y 随x 的增大而________；当x<0时，y 随x 的增大而________. 11.二次函数()23x m y -=的图象开口向下，则m_______ 12.二次函数22-=mmx y 有最高点，则m=________13.二次函数2)1(x k y +=的图象如图所示，则k 的取值范围为14.若二次函数2ax y =的图象过点（1，-2），则a 的值是___________15.抛物线:①25x y -=；②22x y -=；③25x y =；④27x y =。
开口从小到大排列是_____________；（只填序号）其中关于x 轴对称的两条抛物线是 和 。
16.已知y 与x 2成正比例，并且当1-=x 时，3-=y ．求：(1)函数y 与x 的函数关系式； (2)当x=4时，y 的值； (3)当31-=y 时，x 的值．17.如图,矩形的长是 4cm,宽是 3cm,如果将长和宽都增加xcm ，那么面积增加ycm 2， (1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)求当边长增加多少时，面积增加 8cm 2.第02课 函数k ax y +=2的图象与性质知识点：函数k ax y +=2图象性质（1）形状：二次函数k ax y +=2的图象是 ，（2）开口方向：当a 0时，开口向_____；当a 0时，开口向_____； （3）顶点坐标：（4）对称轴： 或（5）最值：当a 0时，有最 值；当a 0时，有最 值。