南京理工大学高数考试题

期中高等数学测验
一 填空（共20分，每小题4分） 1 已知)(cos )(sin 2
2
x f x f y +=，则___________________=dx
dy
2 已知x x x y )1(
+=,则_________
__________=dx
dy。

3 已知曲线的极坐标方程为θ3sin a r =，则它在6
π
θ=处的切线方程____________.
4 x x y 2sin =则)
(n y
=__________________________.
5 已知
02
]
)2([522
lim
=-+--+→x B x A x x ，则A=________,B=___________
二 计算或证明 （每小题7分，共56分 ）
1求 x
x x x e sin 1
)23(
lim +-→ 的极限。

2 求函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
<<+≤≤-=21,2112
1,ln 2)(x x
x x x f 的导数。

3求f(x) = ln x 在x = 1 点的n 阶泰勒公式（Peano 余项）
4求由方程y y x =+)cos(确定的隐函数)(x y y =的二阶导数2
2dx y
d 。

5 222,1)1ln(dx y
d arctgt
y t x 求⎩⎨
⎧-=+= 6. 求函数3326)(x x x f -=的极值 7 求⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=)
1|(||,1|);
1|(|,2
cos )(x x x x
x f π的间断点，并判断其类型。

8 证明方程0132
=---x x e x
有且仅有三个实根。

三 （8分）设 ⎪⎩⎪
⎨⎧=≠-=-0,0;0,)()(x x x
e x g x
f x
其中，)(x g 有二阶连续导数且 1)0(,1)0('-==g g 。

（1）求)('
x f ; （2）讨论)('
x f 在),(+∞-∞上的连续性。

四（8分） 设 ),,,max (21m a a a A =, 且0>k a （m k ,,2,1 =），证明
A n
n
m n n n a a a =++∞
→ 21lim。

五 （8分）设 n
n x x x +-==+11
2,111（ 3,2,1=n ），证明数列}{n x 的极限存在，并求极限。

紫金学院期中高等数学测验
一 填空（共32分，每小题4分）
3 设⎩⎨⎧≤<≤≤=2
1,21
0,)(2x x x x x f ，则f(x +1) =_______________________-
4 已知)(cos )2(sin 2
x f x f y +=，则
___________________=dx
dy
5 当a=_____,b=_____时，点（1，3）为曲线y = a x 3 +b x 2 的拐点
6 已知x x x y 2)1(
+=,则_________
__________=dx
dy。

7 已知曲线⎩⎨
⎧==θ
θsin sin b y a x ，（θ为参数），则它在6π
θ=处的切线方程____________.
8 x x y 2sin =则)
(n y
=__________________________.
9 已知02
]
)2([522
lim
=-+--+→x B x A x x ，则A=________,B=___________
10 1
1
1lim
0--→x
x e x ＝_______________-- 二 计算或证明 （每小题7分，共49分 ）
1求 x
x x x e sin 1
)23(lim +-→ 的极限。

2 求函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
<<+≤≤-=21,2112
1,ln 2)(x x
x x x f 的导数。

3求f(x) = ln x 在x = 1 点的n 阶泰勒公式（Peano 余项）
4求由方程y y x =+)cos(确定的隐函数)(x y y =的二阶导数2
2dx y
d 。

5 222,arctan 1)1ln(dx y
d t
y t x 求⎩⎨
⎧-=+= 6. 求函数3
326)(x x x f -=
的极值.
7 求⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=)
1|(||,1|);
1|(|,2
cos )(x x x x
x f π的间断点，并判断其类型。

三 （7分）设 ⎪⎩⎪
⎨⎧=≠-=-0,0;0,)()(x x x
e x g x
f x
其中，)(x g 有二阶连续导数且 1)0(,1)0('-==g g 。

求)('
x f 并讨论)('
x f 在),(+∞-∞上的连续性。

四（7分） 设f(x)在),0[+∞上连续可微且f(0) = 0 ,若)('x f 单调增加，证明在),0+∞（内
x
x f x g )
()(=
也单调增加。

五 （5分） 设 ),max (c b a A ，=, 且0,,>c b a ，证明：A c b a n
n n n n =++∞
→lim。