浙江省金丽衢十二校2020届高三数学上学期第二次联考试卷
2020金丽衢十二校第二次联考数学试卷及答案
第 19 题图 数学试题卷 第 3 页 （共 4 页）
20．（本小题满分 15 分）
对任意非零数列an , 定义数列 f an ，其中 f an 的通项公式为
求
S1 S2 S2
的最大值.
第 21 题图
22．（本小题满分 15 分）
设 a R ，已知函数 f x ex x 6 x a ，函数 g x ex ln x 1 . xx
（Ⅰ）若 a 5 ，求函数 f x 的最小值； （Ⅱ）若对任意实数 x1 和正数 x2 ，均有 f x1 g x2 ≥4a 8 ，求 a 的取值范围.
（Ⅱ）因为
f
an 2nn1 ，所以1
1 a1
4, a1
1 ，又当 n ≥ 2 时，1 4 1
1 an
4n , an
1， 4n 1
所以对任意 n N*
， an
1 .
4n 1
………………………………………10 分
又由1 1 1 an1 Sn1 ，于是 f
bn
Sn
Sn
bn
S n 1
一动点，P 到底面 ABCD 的距离与到直线 AD1 的距离相等，
则 P 点的轨迹是（ ▲ ）
A．直线
B．圆
A
C．抛物线
D．椭圆
B1 P
D
第 9 题图
C B
10. 设集合 S 20, 21, 5, 11, 15, 30, a ，我们用 f S 表示集合 S 的所有元素之和，用 g S
表示集合 S 的所有元素之积，例如：若 A 2 ，则 f A g A 2 ；若 B 2, 3 ， 则
【附加15套高考模拟试卷】浙江省金丽衢十二校2020届高三第二次联考数学(理)试题含答案
,则
a2020
（
）
1
1
1
1
A． 2019 B． 2020 C． 2021 D． 2022
11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
9 4
11 4
A． 3 4 B． 2
C． 4 2 D． 2
12．在等比数列 {an } 中，
a2
，
a16
是方程
x2
6x
2
0 的两个根，则
a2 a16 a9
g(x) x6 f (1) cos 4x 3有且只有唯一的零点，则 f (2019) （ ）
A．1 B．-1 C．-3 D．3
4．边长为 的菱形
中， 与 交于点 ， 是线段 的中点， 的延长线与 相交于点 .若
，则
（）
A． B． C． D． 5．读算法，完成该题：第一步，李同学拿出一正方体；第二步，把正方体表面全涂上红色；第三步，将 该正方体切割成 27 个全等的小正方体；第四步，将这些小正方体放到一箱子里，搅拌均匀；第五步，从 箱子里随机取一个小正方体．问：取到的小正方体恰有三个面为红色的概率是（ ）
在 a [1, 0] ，使得不等式 f (x) b 对一切 x R 恒成立，求实数 b 的取值范围．
18．（12 分）已知数列 和 满足，
求 与 ；记数列
的前 项和为 ，求 .
19．（12 分）已知函数 f x ax3 x2 aR 在 x 4 处取得极值．
3
1 确定 a 的值；
2 若 g x f xex ，讨论 g x 的单调性．
的值为（
）
A． 6 或 6 B． 2 C． 2 D． 2 或 2
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
浙江金丽衢十二校高三数学理科第二次联考试卷
浙江金丽衢十二校高三数学理科第二次联考试卷本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷(答题卷)两部分，满分150分，考试时间120分。
参考公式：1.如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)；2.如果事件A 、B 相互独立，那么P(A ·B)=P(A)·P(B)；3.如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ，那么n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率为P n (k )=C ()k n k k n P P --1； 4.球的表面积公式S=4πR 2，其中R 表示球的半径； 5.球的体积公式V=,R 334π其中R 表示球的半径第Ⅰ卷一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求)1.tan660°等于A.-33 B.-3 C.3 D.33 2.复数z1=3+i,z2=1-i,则z 1·z 2在复平面内的对应点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.“a ，b ，c 成等比数列”是“b 2=ac ”的A.充分不必要条件 C.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.函数y=1-x 的反函数的图象大致是5.设P ，Q 是两个非空集合，定义P ○×Q=()}{,Q b ,P a b ,a ∈∈若P={0，1，2}Q={1，2，3，4}，则P ○×Q 中的元素的个数是A.4个B.7个C.12D.16个 6.从2006名学生选取50名组成参观团，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样2006名学生中剔除6名，再从2000名学生中随机抽取50名，则其中学生甲被剔除和被选取的概率分别为A.40110033, B.40110003, C.10032510033, D.10032510003, 7.设f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤+≤+1 x xb1 x 1x20 x a x)-(12log 在家义域内连续，则a ,b 的值分别是A.a =1,b =2B.a =2,b =1C.a =0,b =1D.a =1,b =08.正方形ABCD 边长为4，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，将正方形沿EF 折成直二面角B ′C ′-EF-AD(如图)，M 为矩形AEFD 内一点如果∠MB ′E=∠MB ′C ′，MB ′和平面B ′C ′FE 所成角的正切值为21，那么点M 到直线EF 的距离为 A.3B.2C.2D.19.设有编号为1，2，3，4，5的五个茶杯和编号为1，2，3，4，5的五个杯盖，将五个杯盖分别盖在五个茶杯上，则至少有两个杯盖的编号和茶杯的编号相同的盖法有A.30种B.31种C.32种D.36种10.坐平面内区域M=()()⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤≤≤-+≥+-01100101y kx k y x y x y ,x 的面积可用函数f (x )表示，若f (k )=8,则k 等于A.21 B.31C.23 D.22s 二、填空题：(t 本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案在题中的横线上x)11.二项式621⎪⎭⎫⎝⎛-x x 的展开式中常数项为_______(用数字作答).12.将棱和为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为_______.13.已知F 1，F 2是椭圆的两焦点，过F 1的最短弦PQ 的长为10，△PF 2Q 的周长为36，则此椭圆离心率为_______.14.设f (x )是定义在R 上的奇函数在(0，21)上单调递减，且f (x -1)=f (-x )。
浙江省金衢十二校2020年数学中考模拟联考试卷 (解析版)
浙江省金衢十二校2020年数学中考模拟联考试卷一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）1.在－2，－1，0，1这四个数中，最小的数是( )A. 0B. －1C. －2D. 1 2.下列运算正确的是（ ）A. (ab 3)2=a 2b 6B. 2a+3b=5abC. 5a 2-3a 2=2D. (a+1)2=a 2+13.截止北京时间5月28日，全球新冠肺炎确诊病例逾565万例，将数565万用科学记数法表示为( ) A. 565×104 B. 56.5×105 C. 0.565×107 D. 5.65×1064.如图，AB ∥CD ，∠B ＝75°，∠E ＝27°，则∠D 的度数为( )A. 45°B. 48°C. 50°D. 58° 5.不等式组 {x +4>34−x >1 的解集在数轴上表示为( )A.B.C. D.6.在RtΔABC 中，∠C=90°，如果sinA= 13 ，那么sinB 的值是( ) A.2√23B. 2√2C. √24D. 37.某几何体的三视图如图所示，则下列说法错误的是( )A. 该几何体是长方体B. 该几何体的高是3C. 该几何体的表面积为18平方单位D. 底面有一边的长是18.数学课上，老师让学生尺规作图画Rt △ABC ，使其斜边AB=c ，一条直角边BC=a.小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB 是直角的依据是( )A. 勾股定理B. 勾股定理的逆定理C. 直径所对的圆周角是直角D. 90°的圆周角所对的弦是直径9.学校有一块长30m ，宽20m 的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小阳同学设计方案如图所示，求花带的宽度.设花带的宽度为xm ，则可列方程为( )A. (30－x)(20－x)＝ 34 ×20×30B. (30－2x)(20－x)＝ 14 ×20×30 C. 30x+2×20x ＝ 14 ×20×30 D. (30－2x)(20－x)＝ 34 ×20×3010.如图，直线l 1的解析式是y ＝ √33 x ，直线l 2的解析式是y ＝ √3 x ，点A 1在l 1上，A 1的横坐标为 32 ，作A 1B 1⊥l 1交l 2于点B 1 ， 点B 2在l 2上，以B 1A 1、B 1B 2为邻边在直线l 1、l 2间作菱形A 1B 1B 2C 1 ， 延长B 2C 1交l 1于点A 2 ， 点B 3在l 2上，以B 2A 2、B 2B 3为邻边在l 1、l 2间作菱形A 2B 2B 3C 2 ， ………按照此规律继续作下去，则线段A 2020B 2020长为( )A. 22019B. (32)2019C. (32)2020 D. (√32)2020二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11.若 √x −6 在实数范围内有意义，则x 的取值范围为________. 12.如果 a −b +3=0 ，那么代数式 2−3a +3b 的值是________.13.如图是一个圆锥形冰淇淋外壳(不计厚度)，已知其母线长为12cm ，底面圆半径为3cm ，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于________cm 2.14.已知二次函数的图象经过点P(2,2)，顶点为O(0,0)将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为________.15.如图，已知直线y=12x与反比例函数y=8x（x>0）图像交于点A，将直线向右平移4个单位，交反比例函数图像y=8x（x>0）于点B，交y轴于点C，连结AB、AC，则△ABC的面积为________.16.取一张边长为4的正方形纸折五角星.操作步骤如下：①按如图1、图2的方法对折两次，将图2展开后得到图3；②如图4所示折出正方形ABCD对角线的交点O，将纸片折叠，使得点H与点O重合，折痕为EF，再将四边形EFOG折叠，使得EF与FO重合；③最后再将∠CFO沿着FO折叠，得到图5，沿图中虚线PM剪一刀.展开得图6.（1）若图6中∠ABC=36°，则图5中∠MPN=________°；（2）小王认为此时∠OFC=36°.小黄同学提出了质疑！若已知sin36°= √5+14.请求出sin∠OFC=________，这样就可以知道谁的判断是正确的.三、解答题（本题共8小题，共66分）17.计算：18.解方程：3xx+1=219.定义：在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.已知图1，图2中的每一个小方格的边长都为1.（1）已知△ABC的三边长为AB= √5，BC= √10，AC= 5.①在图1中画一个符合题意的△ABC（C点位置已定）；②只用无刻度的直尺，在图1中作出△ABC的边BC上的高线；（2）在图2中，画出一个与△ABC的面积相等但不全等的三角形.20.某高中学校为使高一新生入校后及时穿上合身的校服，现提前对某校九年级（1）班学生即将所穿校服型号情况进行摸底调查，并根据调查结果绘制如图两个不完整的统计图（校服型号以身高作为标准，共分为6种号）.根据以上信息，解答下列问题：（1）该班共有多少名学生？（2）在条形统计图中，请把空缺部分补充完整；在扇形统计图中，请计算185型校服所对应的扇形圆心角的大小；（3）现在要从2男2女抽取两位学生去试穿校服，问抽到1男1女的概率为多少？21.平行四边形ABCD的对角线相交于点M，ΔABM的外接圆圆心O 恰好落在AD边上，若∠BCD=45°.（1）求证：BC为⊙O切线；（2）求∠ADB的度数.22.一隧道内设双行公路，隧道的高MN为6米.下图是隧道的截面示意图，并建立如图所示的直角坐标系，它是由一段抛物线和一个矩形CDEF的三条边围成的，矩形的长DE是8米，宽CD是2米.（1）求该抛物线的解析式；（2）为了保证安全，要求行驶的车辆顶部与隧道顶部至少要有0.5米的距离.若行车道总宽度PQ（居中，两边为人行道）为6米，一辆高3.2米的货运卡车（设为长方形）靠近最右边行驶能否安全？请写出判断过程；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABHG，使H、G两点在抛物线上，A、B两点在地面DE 上，设GH长为n米，“脚手架”三根木杆AG、GH、HB的长度之和为L，当n为何值时L最大，最大值为多少？23.城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走.可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|.（1）【数学理解】①已知点A(－2，1)，则d(O，A)＝________.②函数y＝－2x+4的图象如图①所示，B是图象上一点，d(O，B)＝3，则点B的坐标是________.(x＞0)的图象如图②所示.求证：该函数图象上不存在点C，使d(O，C)＝3.（2）函数y＝4x（3）【问题解决】某市要修建一条通往一圆形景观湖的道路，如图③，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边某点P处，如图建立坐标系，圆心O(5，3)，半径为√2，求修建道路距离d(O，P)的取值范围.24.在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点E是直线AB上的一个动点，连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交射线DA于点F.（1）如图1，点E在线段AB上，求证：△ABF∽△BCE；（2）如图2，当点E在线段AB上运动到使BE=2AE时，连接DG，求DG的长；（3）在点E的运动过程中，是否存在使D、F、G、C四点构成的四边形为轴对称图形，若存在，求出相应AE的长，若不存在，请说明理由.答案解析一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）1.【答案】C【考点】有理数大小比较【解析】【解答】解：∵－2＜－1＜0＜1，∴最小的数是-2.故答案为：C.【分析】正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小.据此判断即可.2.【答案】A【考点】完全平方公式及运用，合并同类项法则及应用，积的乘方【解析】【解答】解：A、(ab3)2=a2b6，故A符合题意；B、2a+3b不能合并，故B不符合题意；C、5a2-3a2=2a2，故C不符合题意；D、(a+1)2=a2+2a+1 ,故D不符合题意；故答案为：A【分析】利用积的乘方运算法则，可对A作出判断；只有同类项才能合并，可对B、C作出判断；根据完全平方公式可对D作出判断。
浙江省金丽衢十二校2018-2019学年高三数学第二次联考试卷
浙江省金丽衢十二校2018-2019学年高三数学第二次联考试卷一、单选题 (共10题；共10分)1．（1分）集合A={x|x2−2x>0}，B={x}−3<x<3}，则（）A．B．C．D．2．（1分）点F1和F2是双曲线y2−x23=1的两个焦点，则|F1F2|=（）A．B．2C．D．43．（1分）复数z1=2−i，z2=3+i，则|z1⋅z2|=（）A．5B．6C．7D．4．（1分）某几何体的三视图如图所示（图中单位：cm），则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．5．（1分）已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，则“ α∥β”是“ l⊥m”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（1分）甲和乙两人独立的从五门选修课课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为ξ，则E(ξ)为（）A．1.2B．1.5C．1.8D．27．（1分）函数f(x)=lnx8−x的图像大致为（）A．B．C．D．8．（1分）已知a⇀，b⇀，c⇀和d⇀为空间中的4个单位向量，且a⇀+b⇀+c⇀=0，则|a⇀−d⇀|+|b⇀−d⇀|+|c⇀−d⇀|不可能等于（）A．3B．C．4D．9．（1分）正三棱锥P−ABC的底面边长为1cm，高为ℎcm，它在六条棱处的六个二面角（侧面与侧面或者侧面与底面）之和记为θ，则在ℎ从小到大的变化过程中，θ的变化情况是（）A．一直增大B．一直减小C．先增大后减小D．先减小后增大10．（1分）数列{a n}满足：a1=1，a n+1=a n+1an，则a2018的值所在区间为（）A．B．C．D．二、填空题 (共7题；共11分)11．（2分）《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还差4元才够付款.问他们的人数和物品价格？答：一共有人；所合买的物品价格为元．12．（2分）(1−2x)5展开式中x3的系数为；所有项的系数和为．13．（2分）若实数x，y满足约束条件{x+y≥1,x+2y≤2,x≤1,则目标函数Z=2x+3y的最小值为；最大值为．14．（2分）在ΔABC中，角A，B和C所对的边长为a，b和c，面积为13(a2+c2−b2)，且∠C为钝角，则tanB=；ca的取值范围是．15．（1分）安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有种.（用数字作答）16．（1分）定义在R上的偶函数f(x)满足：当x>0时有f(x+4)=13f(x)，且当0≤x≤4时，f(x)=3|x−3|，若方程f(x)−mx=0恰有三个实根，则m的取值范围是．17．（1分）过点P(1,1)的直线l与椭圆x24+y23=1交于点A和B，且AP⇀=λPB⇀.点Q满足AQ⇀=−λQB⇀，若O为坐标原点，则|OQ|的最小值为．三、解答题 (共5题；共10分)18．（2分）已知函数f(x)=sin2x+√3sinxsin(x+π2 ).（1）（1分）求f(x)的最小正周期；（2）（1分）求函数f(x)在区间[0,23π]上的取值范围.19．（1分）在三棱拄ABC−A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知BC=1，∠BCC1=π3，AB=C1C=2.（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）试在棱C1C(不包含端点C,C1)上确定一点E的位置，使得EA⊥EB1；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,求AE和平面ABC所成角正弦值的大小.20．（2分）数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，对任意n∈N∗，有a n+1=2S n+1.（1）（1分）求数列{a n}的通项公式；（2）（1分）若b n=a n+1a n，求数列{log3b n}的前n项和T n.21．（2分）已知抛物线E：y=ax2(a>0)内有一点P(1,3)，过P的两条直线l1，l2分别与抛物线E交于A，C和B，D两点，且满足AP⇀=λPC⇀，BP⇀=λPD⇀(λ>0,λ≠1)，已知线段AB的中点为M，直线AB的斜率为k.（1）（1分）求证：点M的横坐标为定值；（2）（1分）如果k=2，点M的纵坐标小于3，求ΔPAB的面积的最大值.n(n−lnx)，其中n∈N∗，x∈(0,+∞).22．（3分）函数f(x)=√x（1）（1分）若n为定值，求f(x)的最大值；（2）（1分）求证：对任意m∈N∗，有ln1+ln2+ln3+⋯ln(m+1)>2(√m+1−1)2；（3）（1分）若n=2，lna≥1，求证：对任意k>0，直线y=−kx+a与曲线y= f(x)有唯一公共点.答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：A={x|x＜0，或x＞2}，B={x|﹣3＜x＜3}；∴A∩B={x|﹣3＜x＜0，或2＜x＜3}，A∪B=R；∵A∩B≠A，且A∩B≠B，∴B⊈A，A⊈B；即B符合题意．故答案为：B．【分析】通过解不等式求出集合A，根据集合的关系逐一判断即可. 2．【答案】D【解析】【解答】由y2−x 23=1可知a2=1,b2=3所以c2=a2+b2=4，则c=2,2c=4，所以|F1F2|=2c=4.故答案为：D【分析】根据双曲线的标准方程，得到两个焦点坐标，即可求出线段的长度.3．【答案】D【解析】【解答】因为|z1|=|2−i|=√5，|z2|=|3+i|=√10，所以|z1⋅z2|=|z1|⋅|z2|=√5×√10=5√2故答案为：D.【分析】根据复数的乘法运算，得到z1·z2，结合复数的模运算即可求出相应的值.4．【答案】B【解析】【解答】由三视图可知，该几何体的直观图为一个竖立的圆锥和一个倒立的圆锥组成，其表面积为S=2πrl=2×π×1×√2=2√2π，故答案为：B.【分析】根据三视图确定几何体的结构特征，即可求出几何体的表面积.5．【答案】A【解析】【解答】根据已知题意，由于直线l⊥平面α，直线m∥平面β，如果两个平面平行α//β，则必然能满足l⊥m，但是反之，如果l⊥m，则对于平面可能是相交的，故条件能推出结论，但是结论不能推出条件，故答案为：A【分析】根据直线与平面的位置关系，即可确定充分、必要性.6．【答案】C【解析】【解答】由已知得ξ=1,2,3，P(ξ=1)=C53C31C53C53=310, P(ξ=2)=C53C32C21C53C53=35, P(ξ=3)=C53C53C53=110,所以E(ξ)=1×310+2×610+3×110=1.8,故答案为：C【分析】求出随机变量的可能取值及相应的概率，即可求出数学期望. 7．【答案】A【解析】【解答】函数定义域为(0,8)，当x→0时，x8−x→0，lnx8−x→−∞，故排除B,D，当x→8时，x8−x→+∞，lnx8−x→+∞，故排除C,故答案为：A.【分析】根据函数的定义域及函数值的变化情况，逐一排除，即可确定函数的大致图象.8．【答案】A【解析】【解答】因为|a⇀−d⇀|+|b⇀−d⇀|+|c⇀−d⇀|≥|a⇀−d⇀+b⇀−d⇀+c⇀−d⇀|=|a⇀+b⇀+c⇀−3d⇀|而a⇀+b⇀+c⇀=0，所以|a⇀−d⇀|+|b⇀−d⇀|+|c⇀−d⇀|≥|−3d⇀|=3因为a⇀，b⇀，c⇀，d⇀是单位向量，且a⇀+b⇀+c⇀=0，所以a⇀−d⇀，b⇀−d⇀，c⇀−d⇀不共线，所以|a⇀−d⇀|+|b⇀−d⇀|+|c⇀−d⇀|>3，故答案为：A.【分析】根据向量的关系，求出|a⇀−d⇀|+|b⇀−d⇀|+|c⇀−d⇀|的最小值，即可确定|a⇀−d⇀|+|b⇀−d⇀|+ |c⇀−d⇀|不可能的取值.9．【答案】D【解析】【解答】当ℎ→0+（比0多一点点），有θ→θ1=3π；当ℎ→+∞，有θ→θ3=5π2；当ℎ刚好使得正三棱锥变为正四面体时，二面角之和记为θ2，则cosθ26=3+3−42×3=13，于是cos θ23=2×(13)2−1=−79>−√32，所以θ23<5π6，即θ2<5π2，所以与θ的变化情况相符合的只有选项D.故答案为：D【分析】根据几何体的结构特征，求出角的余弦值，即可得到角的变化情况. 10．【答案】A【解析】【解答】因为a1=1，所以a n+12=a n2+2+1a n2≤a n2+3an+12≤an2+3≤an−12+3+3…可得：a n+12<a12+3n所以a2018<√a12+3×2017<√10000=100.故答案为：A【分析】根据递推关系式得到数列项之间的关系，解不等式即可确定a2018的值所在区间.11．【答案】7；53【解析】【解答】设共有x人，由题意知8x−3=7x+4，解得x=7，可知商品价格为53元.即共有7人，商品价格为53元.【分析】设共有x人，通过解方程即可求出共有人数和商品价格.12．【答案】-80；-1【解析】【解答】因为T r+1=C5r(−2)r x r，令r=3，T4=−80x3，所以x3的系数为-80，设(1−2x)5=a0+a1x+⋯+a5x5，令x=1，则a0+a1…+a5=−1，所以所有项的系数和为-1.【分析】写出二项展开式的通项，即可求出特定项的系数及所有项的系数之和. 13．【答案】2；【解析】【解答】作出可行域如下：由Z=2x+3y可得y=−23x+z，作出直线y=−23x,平移直线过B(1,0)时，z有最小值z=2+0=2，平移直线过A(1，12）时，z有最大值z=2×1+3×12=72.【分析】作出可行域及目标函数相应的直线，平移该直线即可求出目标函数的最大值和最小值.14．【答案】；【解析】【解答】因为S=12acsinB=13(a2+c2−b2)，所以34sinB=a2+c2−b22ac=cosB即tanB=43，因为∠C为钝角，所以sinB=45,cosB=35，由正弦定理知ca=sinCsinA=sin(B+A)sinA=cosB+sinBcosAsinA=35+45cotA因为∠C为钝角，所以A+B<π2,即A<π2−B所以cotA>cot(π2−B)=tanB=43所以ca>35+45×43=53，即ca的取值范围是(53,+∞).【分析】通过面积公式及正弦定理，确定三角形边和角的关系，即可求出相应的值和取值范围. 15．【答案】210【解析】【解答】分两类，（1）每校1人：A63=120；（2）1校1人，1校2人：C32A62=90，不同的分配方案共有120+90=210．故答案为：210【分析】根据加法原理和乘法原理，即可确定不同的分配方案种数.16．【答案】【解析】【解答】因为当0≤x≤4时，f(x)=3|x−3|，设4≤x≤8，则0≤x−4≤4，所以f(x−4)=3|x−4−3|=3|x−7|，又f(x+4)=13f(x)，所以f(x)=13f(x−4)=|x−7|，可作出函数y=f(x)在x∈[0,8]上的图象，又函数为偶函数，可得函数在[−8,8]的图象，同时作出直线y=mx，如图：方程f(x)−mx=0恰有三个实根即y=f(x)与y=mx图象有三个交点，当m>0时，由图象可知，当直线y=mx过（8,1），即m=18时有4个交点，当直线y=mx过（4,3），即m=34时有2个交点，当18<m<34时有3个交点，同理可得当m<0时，满足−34<m<−18时，直线y=mx与y=f(x)有3个交点.故填(−34,−18)∪(18,34).【分析】通过函数的性质，作出函数的图象，数形结合即可求出实数m的取值范围. 17．【答案】【解析】【解答】设A(x1,y1)，B(x2,y2)，Q(m,n)则{x1+λx2=1+λ,x1−λx2=m(1−λ),于是x12−(λx2)2=m(1−λ2)，同理y12−(λy2)2=n(1−λ2)，于是我们可以得到(x124+y123)+λ2(x224+y223)=(1+λ2)(m4+n3).即m4+n3=1，所以Q点的轨迹是直线，|OQ|min即为原点到直线的距离，所以|OQ|min=1√116+19=125【分析】设出点A 和B 的坐标，根据向量的关系，确定Q 的轨迹是直线，即可求出线段长度的最小值.18．【答案】（1）解： f(x)=sin 2x +√3sinxsin(2x +π2)=1−cos2x 2+√32sin2x =sin(2x −π6)+12所以 T =π（2）解：由 −π2+2kπ≤2x −π6≤π2+2kπ 得 −π6+kπ≤x ≤π3+kπ,k ∈z 所以函数 f(x) 的单调递增区间是 [−π6+kπ,π3+kπ],k ∈z ． 由 x ∈[0，2π3] 得 2x −π6∈[−π6,76π] ，所以 sin(2x −π6)∈[−12,1]所以 f(x)∈[0,32] ．【解析】【分析】（1）根据正弦和余弦的二倍角公式，结合辅助角公式，得到函数的表达式，即可求出函数的最小正周期；（2）根据正弦函数的单调性，确定函数f （x ）的单调区间，即可求出函数f （x ）的取值范围.19．【答案】解：（Ⅰ）因为 BC =1 ， ∠BCC 1=π3 ， C 1C =2 ，所以 BC 1=√3 ，BC 2+BC 12=CC 12 ，所以 BC 1⊥BC 因为 AB ⊥ 侧面 BB 1C 1C ， BC 1⊂ 平面 BB 1C 1C ，所以 BC 1⊥AB ，又 BC ∩AB =B ， 所以， C 1B ⊥ 平面 ABC（Ⅱ）取 C 1C 的中点 E ，连接 BE ， BC =CE =1 ， ∠BCC 1=π3 ，等边 ΔBEB 1 中， ∠BEC =π3同理， B 1C 1=C 1E 1=1 ， ∠B 1C E 1=2π3，所以 ∠B 1EC 1=π6 ，可得 ∠BEB 1=π2 ，所以EB 1⊥EB因为 AB ⊥ 侧面 BB 1C 1C ， EB 1⊂ 平面 BB 1C 1C ，所以 EB 1⊥AB ，且 EB ∩AB =B ，所以 B 1E ⊥ 平面 ABE ，所以；（Ⅲ） AB ⊥ 侧面 BB 1C 1C ， AB ⊂ 平面，得平面 BCC 1B 1⊥ 平面 ABC 1 ， 过 E 做 BC 1 的垂线交 BC 1 于 F ， EF ⊥ 平面 ABC 1连接AF，则∠EAF为所求，因为BC⊥BC1，EF⊥BC1，所以BC∥EF，E为CC1的中点得F为C1B的中点，EF=12，由（2）知AE=√5，所以sin∠EAF=12√5=√510【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理，证明直线与平面内两条相交直线垂直即可；（2）根据线面垂直的定义，证明直线与平面垂直，即可说明直线与平面内任何一条直线垂直；（3）通过作垂线得到直线与平面所成的角，通过解三角形求出线面所成角的正弦即可. 20．【答案】（1）解：由a n+1=2S n+1知a n=2S n−1+1(n≥2)两式相减得：a n+1=3a n(n≥2)又a2=2s1+1=2a1+1=3，所以a2a1=3也成立，故a n+1=3a n,n∈N∗即数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，所以a n=3n−1(n∈N∗).（2）解：因为log3b n=log3a n+1an=3n−1log33n=n⋅3n−1，所以T n=1×30+2×31+3×32+⋯+n⋅3n−13T n=1×31+2×32+3×33+⋯+(n−1)⋅3n−1+n⋅3n两式相减得：−2Tn =(12−n)⋅3n−12，所以T n=(n2−14)3n+14.【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义确定数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，即可求出的通项公式；（2）根据对数恒等式，结合错位相消求和法，即可求出前n项和T n.21．【答案】（1）证明：设CD中点为N，则由AP⇀=λPC⇀，BP⇀=λPD⇀可推得AB⇀=λDC⇀，MP⇀=λPN⇀，这说明AB⇀∥CD⇀，且M，P和N三点共线.对A，B使用点差法，可得y A−y B=a(x A−x B)(x A+x B)，即k AB=2a⋅x M.同理k CD=2a⋅x N.于是x M=x N，即MN⊥x轴，所以x M=x P=1为定值.（2）解：由k=2得到a=1，设y M=t∈(1,3)，|PM|=3−t，联立{y=x2,y−t=2(x−1),得x2−2x+2−t=0，所以|x A−x B|=2√t−1, |AB|=√1+k2|x A−x B|=√5⋅2√t−1,根据点到直线的距离公式知P到AB的距离为d=|t−3|√5，于是SΔPAB=(3−t)√t−1，令x= √t−1，x∈(0,2),则S=−x3+2x，S′=−3x2+2，令S′=0得x=√63，当x∈(0,√63)时，S′>0,函数为增函数，当x∈(√63，2)时，S′<0，函数为减函数，故当x=√63，即t=53时，SΔPAB有最大值4√69.【解析】【分析】（1）根据向量之间的关系，采用点差法，即可确定点M的坐标为定值；（2）根据点斜式写出直线方程，将直线方程与抛物线方程联立，通过弦长公式和点到直线的距离，表示出三角形的面积，求导数，利用导数研究函数的单调性，即可求出三角形面积的最大值.22．【答案】（1）解：n为定值，故f′(x)=1n x 1n−1(n−lnx)+√xn(−1x)=−√xn lnxx（x>0)，令f′(x)=0，得x=1，当0<x<1时，f′(x)>0，当x>1时，f′(x)<0，所以函数在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，所以当x=1时，函数有极大值f(1)，也是最大值，所以f(x)max=f(1)=n.（2）解：由前一问可知lnx≥n−n√xn，取n=2得lnx≥2−2√x，于是∑m+1 i=1lni≥∑(2−2i)m+1i=2>2m−4∑m+1i=21√i+√i−1=2m−4∑(√i−√i−1)m+1i=2=2m−4√m+1+4=2(√m+1−1)2.（3）解：要证明当a≥e，k>0时，关于x的方程√x(2−lnx)=−kx+a有唯一解，令t=√x，即证明g(t)=kt2+2t−2tlnt−a有唯一零点，先证明g(t)存在零点，再利用导数得函数单调性，极值确定函数只有唯一零点.我们先证三个引理【引理1】x(1−lnx)≤1（由第1问取n=1即可）【引理2】lnx≥1−1x（由【引理1】变形得到）【引理3】lnx≤x−1（可直接证明也可由【引理2推出】证明：lnx=−ln 1x≤−(1−11x)=x−1.下面我们先证明函数g(t)存在零点，先由【引理2】得到：g(t)≤kt2+2t−2t(1−1t)−a=kt2+2−a.令t=√a−2k，可知g(t)≤0.再由【引理3】得到lnx<x，于是g(t)=t(kt−4ln√t)+(2t−a)>t√t(k√t−4)(2t−a).令t>16k2，且t>a2，可知g(t)>0.由连续性可知该函数一定存在零点.下面我们开始证明函数g(t)最多只能有一个零点.我们有g′(t)=2kt−2lnt=2t(k−lnt t).令ℎ(t)=lntt ，则ℎ′(t)=1−lntt2，则ℎ(t)在(0,e)递增，在(e,+∞)递减，即ℎ(t)max=1e.当k≥1e时，有g′(t)≥0恒成立，g(t)在(0,+∞)上递增，所以最多一个零点.当0<k<1e时，令g′(t1)=g′(t2)=0，t1<e<t2，即lnt1=kt1，于是g(t1)=t1lnt1+2t1−2t1lnt1−a=t1(2−lnt1)−a.再令t1=eT(0<T<1)，由【引理1】可以得到g(t1)=eT(1−lnT)−a<e×1−a≤0.因此函数g(t)在(0,t1)递增，(t1,t2)递减，(t2,+∞)递增，t=t1时，g(t)有极大值但其极大值g(t1)<0，所以最多只有一个零点.综上，当k>0，a≥e时，函数y=f(x)与y=−kx+a的图像有唯一交点.【解析】【分析】（1）求导数，利用导数确定函数的单调性，结合单调性求出函数的最大值即可；（2）由（1）可得不等式lnx≥n−n√xn，结合放缩法，即可证明相应的不等式；（3）构造函数，求导数，利用导数确定函数的单调性，求出函数的极值，根据函数零点与函数图象交点横坐标的关系，数形结合，即可证明相应的结论.。
2020届浙江省金丽衢十二校高三下学期第二次联考技术试卷及答案
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浙江省金丽衢十二校2021届高三下学期第二次联考数学试题
保密★考试结束前金丽衢十二校2020学年高三第二次联考数学试题本卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
考试时间为120分钟，试卷总分为150分。
请考生将所有试题的答案涂写在答题纸上。
第Ⅰ卷（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合{}2A x R x x=∈<，集合{}11B x R x =∈-<，则AB =（ ）A ．()0,2B ．()1,2C ．()(),01,-∞+∞D ．∅2．已知点A ，B 在平面α的两侧，则点AB 到α的距离分别为3和5，则AB 的中点到α的距离为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．13．已知双曲线22525x y -=上一点P 到其左焦点F 的距离为8，则PF 的中点M 到坐标原点O 的距离为（ ） A ．9B ．6C ．5D ．44、若实数x ，y 满足约束条件，4304307y x x y x y -⎧⎪-⎨⎪+⎩≥≥≥，则1011z x y =+的最小值为（ ）A ．74B ．73C ．70D ．05．过原点O 作曲线()()222166800a x y a x y a +-++=≠的切线OA ，OB ，则cos AOB ∠=（ ） A ．35B ．45C ．725D ．2425 6．已知0a >，0b >，则“100ab ≥”的一个充分不必要条件是（ ） A ．1115a b +≤B ．20a b +≥C ．10ln ln a b a b--≤D ．22200a b +≥ 7．已知函数()f x 的大致图象如下，下列答案中e 为自然对数的底数，则函数()f x 的解析式可能为（ ）A ．x x eB ．1x x e +C ．2x xe e--D ．x xx x e e e e --+- 8．正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心的棱锥）的三视图如图所示，则正视图（等腰三角形）的腰长等于（ ）A ．．C ．D ．59．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，P 为平面11AB D 内一动点，P 到底面ABCD 的距离与到直线1AD 的距离相等，则P 点的轨迹是（ ）A ．直线B ．圆C ．抛物线D ．椭圆10．设集合{}20,21,5,11,15,30,S a =---，我们用()f S 表示集合S 的所有元素之和，用()g S 表示集合S 的所有元素之积，例如：若{}2A =，则()()2f A g A ==；若{}2,3B =，则()23f B =+，()23g B =⨯．那么下列说法正确的是（ ）A ．若0a =，对S 的所有非空子集i A ，()i f A 的和为320B ．若0a =，对S 的所有非空子集i B ，()i f B 的和为640-C ．若1a =-，对S 的所有非空子集i C ，()i g C 的和为1-D ．若1a =-，对S 的所有非空子集i D ，()i g D 的和为0第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
浙江省金丽衢十二校2021届高三第二次联考数学试题 Word版含解析
浙江省金丽衢十二校2021届高三第二次联考数学试题 Word版含解析2021-2021学年浙江省金丽衢十二校高三（上）第二次联考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 设集合M={x|}，N={x|0＜x＜2}，则M∪N=（）A. [0，1）B. （0，1）C. [0，2）D. （0，2）【答案】C【解析】分析：解分式不等式得集合M,再根据集合的并集定义得结果. 详解：因为，所以,因此M∪N= [0，2），选C.点睛：集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决． (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图． 2. 若双曲线的两条渐近线相互垂直，则它的离心率是（）A. B. C. 2 D. 【答案】A【解析】双曲线两条渐近线互相垂直,因此，本题正确答案是.3. 某四面体的三视图如图所示，正视图、左视图都是腰长为2的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则此四面体的最大面的面积是（）,计算得出.即为等轴双曲线.A. 2B. 【答案】CC. D. 4【解析】分析：先还原几何体，再根据锥体体积公式得结果. 详解：因为几何体为一个四面体，六条棱长分别为所以四面体的四个面的面积分别为因此四面体的最大面的面积是选C.点睛：1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图． 2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．4. 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图，则φ=（），，A. B. 【答案】BC. D.【解析】分析：先根据图确定半个周期，得ω，再根据最大值求φ. 详解：因为，所以因为|φ|＜选B.因此，点睛：已知函数(1)(2)由函数的周期求的图象求解析式(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.5. 已知（��1+3i）（2��i）=4+3i（其中i是虚数单位，是z的共轭复数），则z的虚部为（） A. 1 B. ��1 C. i D. ��i 【答案】A【解析】分析：根据复数除法得，再得z，根据复数概念得结果. 详解：因为（��1+3i）（2��i）=4+3i，所以因此选A.，虚部为1,.............................. 6. 已知正项数列{an}中，a1=1，a2=2，A.B. 4C. 16D. 45（n≥2），则a6=（）【答案】B【解析】分析：先根据等差数列定义及其通项公式得，再根据正项数列条件得an，即得a6.详解：因为，所以所以公差等差数列，，感谢您的阅读，祝您生活愉快。
浙江省金丽衢十二校2024届高三下学期3月第二次联考试题 数学
金丽衢十二校2023学年高三第二次联考数学试题本卷分选择题和非选择题两部分.考试时间为120分钟，试卷总分为150分.请考生将所有试题的答案涂､写在答题纸上.选择题部分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0,1,2A =，{|31,}B x x k k ==-∈N ，则A B = （）A.{}0,1,2 B.{}1,2 C.{}1 D.{}2【答案】D 【解析】【分析】根据交集定义求解即可.【详解】因为{}0,1,2A =，{|31,}B x x k k ==-∈N ，所以{2}A B = .故选：D.2.若复数z 满足：232i z z +=-，则z 为（）A.2B.C.D.5【答案】C 【解析】【分析】利用共轭复数的概念及复数相等的充要条件求出z ，进而求出z .【详解】设()i,,R z a b a b =+∈，则i,z a b =-所以23i=32i z z a b +=--，即1,2a b ==，所以z ==故选：C.3.若函数()()ln e 1xf x ax =++为偶函数，则实数a 的值为（）A.12-B.0C.12D.1【答案】A 【解析】【分析】根据偶函数满足的关系即可化简求解.【详解】()()ln e 1xf x ax =++的定义域为R ，()()()e 1ln e 1ln ln e 1e x xx x f x ax ax x ax -⎛⎫+-=+-=-=+-- ⎪⎝⎭，由于()()ln e 1xf x ax =++为偶函数，故()()()()()()ln e 11ln e 1120x x f x a x ax f x a x -=+-+=++=⇒+=，故120a +=，故12a =-故选：A4.双曲线2211x y a a -=-的离心率e 的可能取值为（）A.B.C.D.2【答案】A 【解析】【分析】由题得到1a >或a<0，再利用离心率c e a ==.【详解】由(1)0a a ->，得到1a >或a<0，当1a >时，c e a ====，当a<0，双曲线2211y x a a -=--，c e a ===所以1e <<故选：A.5.在ABC 中，“A ，B ，C 成等差数列且sin ,sin ,sin A B C 成等比数列”是“ABC 是正三角形”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用等差、等比数列的定义，结合正余弦定理及充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】在ABC 中，由A ，B ，C 成等差数列，得2B A C =+，而πA B C ++=，则π3B =，由sin ,sin ,sin A BC 成等比数列，得2sin sin sin B A C =，由正弦定理得2b ac =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即22ac a c ac =+-，解得a c =，因此ABC 是正三角形；若ABC 是正三角形，则π3A B C ===，sin sin sin 2A B C ===，因此A ，B ，C 成等差数列且sin ,sin ,sin A B C 成等比数列，所以“A ，B ，C 成等差数列且sin ,sin ,sin A B C 成等比数列”是“ABC 是正三角形”的充要条件.故选：C6.已知抛物线21:2C x y =的焦点为F ，以F 为圆心的圆2C 交1C 于A ，B 两点，交1C 的准线于C ，D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则圆2C 的方程为（）A.22(1)12x y +-= B.22(1)16x y +-=C.22132x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ D.22142x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】依题意知，圆2C 的圆心坐标为10,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，且点F 为该矩形对角线的交点，利用点F 到直线CD 的距离与点F 到AB 的距离相等，可求得直线AB 的方程为：32y =，从而可求得A 点坐标，从而可求得圆2C 的半径，于是可得答案.【详解】解：由题可得：抛物线21:2C x y =的焦点为10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以圆2C 的圆心坐标为10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为四边形ABCD 是矩形，且为BD 直径，AC 为直径，10,2F ⎛⎫⎪⎝⎭为圆2C 的圆心,所以点F 为该矩形对角线的交点，所以点F 到直线CD 的距离与点F 到AB 的距离相等，故点F 到直线CD 的距离1d =，所以直线AB 的方程为：32y =，所以33,2A ⎫⎪⎭，故圆2C 的半径()223130222r AF ⎛⎫==-+-⎪⎝⎭，所以圆2C 的方程为22142x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.故选：D【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查圆的标准方程的确定，分析得到点F 为该矩形ABCD 的两条对角线的交点是关键，考查作图、分析与运算能力，属于中档题.7.已知函数()11,02ln ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩若1212()()()f x f x x x =<，则21x x -的取值范围为（）A.[e,)+∞B.42ln )[2,-+∞ C.[]42ln 2,e - D.[e 1,)-+∞【答案】B 【解析】【分析】由题意可知1211ln 2x x +=，转化为21222ln 2x x x x -=-+.结合图像构造函数()2ln 2h x x x =-+，(]0,e x ∈，求出函数的值域即为本题答案.【详解】由题意可知1211ln 2x x +=，即122ln 2x x =-，所以21222ln 2x x x x -=-+.由图像可得(]20,e x ∈，设()2ln 2h x x x =-+，(]0,e x ∈.则22()1x h x x x -'=-=，(]0,e x ∈.令2()0x h x x-'==,则2x =当()0h x '>时(]2,e x ∈，当()0h x '<时()0,2x ∈所以()2ln 2h x x x =-+在()0,2单调递减，在(]2,e 单调递增.所以()h x 在2x =时取得最小值()242ln 2h =-，可得2142ln [2,)x x -∈-+∞.故选：B8.在三棱锥D ABC -中，底面是边长为2的正三角形，若AD 为三棱锥D ABC -的外接球直径，且AC与BD 所成角的余弦值为7，则该外接球的表面积为（）A.19π3 B.28π3C.7πD.16π【答案】A 【解析】【分析】记球心为O ，取AB 中点为E 、BC 中点为F ，连接OE OF EF 、、，易得OE OF ==，1EF =，由cos 7OEF ∠=，即可求出21912r =，由此即可求出答案.【详解】如图所示：记球心为O ，取AB 中点为E 、BC 中点为F ，连接OE OF EF 、、，记外接球半径为r ，在Rt ABD 中，BD =∥OE BD ,OE =，在ABC 中，EF AB ∥，112EF AB ==,在Rt OBF 中，21OF r =-，所以AC 与BD 所成角为OEF ∠，即21cos 7OEF ∠=，在OEF 中,21OE OF r ==-，1EF =，所以211212cos 721EFOEF OE r ∠===-，解得：21912r =，所以该外接球的表面积为：219194π4ππ123r =⨯=故选：A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.关于函数()22sin cos 3f x x x x =⋅+，下列说法正确的是（）A.最小正周期为2πB.关于点π36⎛-⎝中心对称C.32+ D.在区间5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】BC 【解析】【分析】首先化简函数的解析式，再根据三角函数的性质，判断选项.【详解】())22sin cos 3sin 23cos 21f x x x x x x =⋅+=++，π2sin 23x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，函数的最小正周期2ππ2T ==，故A错误；πππ2sin 0633f ⎛⎫⎛⎫-=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x图象关于点π6⎛- ⎝中心对称，故B 正确；()π2sin 23f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以函数的最大值为2+，故C 正确；由5ππ,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，πππ2,322x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，函数sin y x =在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，所以函数()f x 在区间5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故D 错误.故选：BC10.设定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若R x ∀∈，均有()()()1xf x x f x '=+，则（）A.()00f =B.()20f ''-=（()f x ''为()f x 的二阶导数）C.()()221f f <D.1x =-是函数()f x 的极大值点【答案】AB 【解析】【分析】由()()()1xf x x f x '=+，令0x =，即可判断A ；由已知得()()f x f x x x '⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，即得函数()e x f x c x =+，确定0c =，从而可得()()e xf x x c =+，求导数，即可判断B ；令()(),(0)f xg x x x=>，判断其单调性，即可判断C ；根据极值点与导数的关系可判断D.【详解】由R x ∀∈，()()()1xf x x f x '=+，令0x =，则()()()00100,0f f ∴==+，A 正确；当0x ≠时，由()()()1xf x x f x '=+得()()()xf x f x xf x -'=，故()()()2f x x f x f x x x'⋅-=，即()()f x f x x x '⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则()e xf x c x =+（c 为常数），则()()e xf x x c =+，()00f =满足该式，故()()e xf x x c =+，则()e e x x f x c x '=++，将()()e xf x x c =+代入()()()1xf x x f x '=+中，得()()()e e 1e x x xx c x x x c ++=++，即222e e e e x x x x x xc x x x c cx x ++=+++，而x ∈R ，故0c =，则()e x f x x =，()e e x xf x x ='+，()e e e e (2)x x x xf x x x ''=++=+，故()2e (22)0xf =''--=，B 正确；令()(),(0)f x g x x x=>，()e 0xg x '=>，故()g x 在(0),+∞上单调递增，故()()2121f f >，即()()221f f >，C 错误；由于()e e x xf x x ='+，令()()0,e 10x f x x '>∴+>，即得1x >-，令()()0,e 10xf x x '<∴+<，即得1x <-，故()f x 在(1),-∞-上单调递减，在(1),-+∞上单调递增，故1x =-是函数()f x 的极小值点，D 错误，故选：AB11.已知正方体1111ABCD A B C D -，的棱长为1，点P 是正方形1111D C B A 上的一个动点，初始位置位于点1A 处，每次移动都会到达另外三个顶点.向相邻两顶点移动的概率均为14，向对角顶点移动的概率为12，如当点P 在点1A 处时，向点1B ，1D 移动的概率均为14，向点1C 移动的概率为12，则（）A.移动两次后，“PC =的概率为38B.对任意*n ∈N ，移动n 次后，“//PA 平面1BDC ”的概率都小于13C.对任意*n ∈N ，移动n 次后，“PC ⊥平面1BDC ”的概率都小于12D.对任意*n ∈N ，移动n 次后，四面体1P BDC -体积V 的数学期望()15E V <（注：当点P 在平面1BDC 上时，四面体1P BDC -体积为0）【答案】ACD 【解析】【分析】先求出点P 在移动n 次后，点1111,,,A B C D 的概率，再结合由向量法求出线面垂直、线面平行和三棱锥的体积，对选项一一判断即可得出答案.【详解】设移动n 次后，点P 在点1111,,,A B C D 的概率分别为,,,n n n n a b c d ，其中11111110,,,,1424n n n n a b c d a b c d ====+++=，111111111111111442111442111442111442n n n n n n n n n n n n n n n n a b d c b a c d c b d a d a c b ------------⎧=++⎪⎪⎪=++⎪⎨⎪=++⎪⎪⎪=++⎩，解得：111+42211142214nn n n n na cb d ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫=--⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪==⎪⎪⎩，对于A ，移动两次后，“PC =表示点P 移动两次后到达点1A ，所以概率为2211134228a ⎛⎫=+⨯-= ⎪⎝⎭，故A正确；对于B ，以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以()()()()1,0,0,0,0,0,1,1,0,0,1,0A D B C ，()()()()11111,0,1,0,0,1,1,1,1,0,1,1A D B C ，因为()()11,1,0,0,1,1DB DC == ，()()()1110,1,1,1,0,1,1,1,1B A D A A C =--=-=--，设平面1BDC 的法向量为(),,n x y z = ，则100n DB x y n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1y =，可得1,1x z =-=-，所以()1,1,1n =--，而110,0B A n D A n ⋅=⋅= ，11,B A D A ⊄平面1BDC ，所以当点P 位于1B 或1D 时，//PA 平面1BDC ，当P 移动一次后到达点1B 或1D 时，所以概率为1112423⨯=>，故B 错误；对于C ，()11,1,1,A C n =--=所以当点P 位于1A 时，PC ⊥平面1BDC ，所以移动n 次后点P 位于1A ，则1111+4222nn a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，四面体1P BDC -体积V 的数学期望()11111111=n A BDC n B BDC n C BDC n D BDC E V a V b V c V d V ----⋅+⋅+⋅+⋅1242BDC S == ，因为()11,0,1DA = ，所以点1A 到平面1BDC的距离为11233DA n d n ⋅=，同理点111,,B C D 到平面1BDC 的距离分别为33,0,33，所以11111111132311331,032333236A BDCB BDCD BDC C BDC V V V V ----=⨯⨯===⨯==，所以()11111111111=+042234646662n n E V ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅+⨯++⨯=-⎢⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当n 为偶数，所以()11111=+66265nE V ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，当n 为奇数，所以()11111=66265nE V ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题的关键点是先求出点P 在移动n 次后，点1111,,,A B C D 的概率，再结合由向量法求出线面垂直、线面平行和三棱锥的体积，对选项一一判断即可得出答案.非选择题部分三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.己知圆柱的轴截面面积为4，则该圆柱侧面展开图的周长最小值为__________.【答案】【解析】【分析】将圆柱的母线长和底面圆半径分别设为,l r ，根据已知和基本不等式求出侧面展开图面积的最小值.【详解】设圆柱的母线长和底面圆半径分别设为,l r ，根据已知得24lr =，由题意可得圆柱侧面展开图的周长可以表示为4π2L r l =+≥侧，当且仅当4π2r l =时，即r =，l =.故答案为：13.某中学的A ､B 两个班级有相同的语文､数学､英语教师，现对此2个班级某天上午的5节课进行排课，2节语文课，2节数学课，1节英语课，要求每个班级的2节语文课连在一起，2节数学课连在一起，则共有__________种不同的排课方式.（用数字作答）【答案】8【解析】【分析】由a 表示数学课，b 表示语文课，c 表示英语课，按上午的第1、2、3、4、5节课顺序，列出所有可能情况可得答案.【详解】由a 表示数学课，b 表示语文课，c 表示英语课，按上午的第1、2、3、4、5节课排列，可得若A 班排课为aabbc ，则B 班排课为bbcaa ，若A 班排课为bbaac ，则B 班排课为aacbb ，若A 班排课为aacbb ，则B 班排课为bbaac ，或B 班排课为cbbaa ，若A 班排课为bbcaa ，则B 班排课为aabbc ，或B 班排课为caabb ，若A 班排课为cbbaa ，则B 班排课为aacbb ，若A 班排课为caabb ，则B 班排课为bbcaa ，则共有8种不同的排课方式.故答案为：8.14.设正n 边形的边长为1，顶点依次为12,,,n A A A ，若存在点P 满足120PA PA ⋅=uuu r uuu r，且11n k k PA ==∑uuu r，则n的最大值为__________.（参考数据：tan 360.73︒≈）【答案】5【解析】【分析】由题意确定P 点的轨迹，分类讨论，结合向量的运算说明正六边形中以及7n ≥时不符合题意，说明5n =时满足题意，即可得答案.【详解】由题意知点P 满足120PA PA ⋅=uuu r uuu r，则P 点在以12A A 为直径的圆上，当6n =时，设,,,B C D M 为123456,,,A A A A A A CD 的中点，如图，61||2||2|2|k k PA PB PC PD PB PM ==++=+∑ ，当,PB PM共线且方向时，即,,B P M 三点共线时，1||n k k PA =∑ 取最小值，此时41||23334PB BM ==,|，则331||42PM =- ，则min 2|2|31PB PM +=->，故6n =时，不满足题意；当5n =时，设,C N 为1235,A A A A 的中点，如图，541|||22|k K PA PC PN PA ==++∑ ，当4,PC PA共线且反向时，51||k K PA =∑ 取最小值，此时4,,,C P N A 共线，144442tan 3672,tan 72 3.13,|tan 72 1.56,||| 1.061tan 36211||22A A C CA PA CA ︒︒︒︒∠===⨯--≈≈=≈，453436||1sin 3610.59,||1.060.590.47,A A A A N PN ∠==⨯≈≈≈-=∴ ，则4min |22||120.47 1.06|1PC PN PA ++≈-⨯-=，则当4,PC PA 共线且同向时，必有4max |22|1PC PN PA ++>，故5n =时，存在点P 满足120PA PA ⋅=uuu r uuu r，且11n k k PA ==∑；当7n ≥时，如图，正七边形的顶点到对边的高h必大于正六边形对边之间的高，依此类推，故此时不存在点P 满足120PA PA ⋅=uuu r uuu r，且11n k k PA ==∑；故n 的最小值为5，故答案为：5【点睛】难点点睛：本题考查了平面向量的运算以及向量的模的最值问题，综合性较强，难度加大，难点在于要分类讨论正n 边形的情况，结合向量的加减运算，确定模的最值情况.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2221n n S a n =+-.（1）求n a ；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）*1,2n a n n =+∈N （2）22323n T n =-+【解析】【分析】（1）根据,n n a S 的关系求通项公式即可；（2）裂项相消法求和即可得解.【小问1详解】由2221n n S a n =+-①所以当2n ≥时，21122(1)1n n S a n --=+--②②-①得：122221n n n a a a n -=-+-，整理得：11,22n a n n -=-≥，所以*1,2n a n n =+∈N .【小问2详解】由（1）知12n a n =+，所以1111122131321232222n n a a n n n n n n +==-=-++⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以122311112222222235572123323n n n T a a a a a a n n n +=+++=-+-+-=-+++ ..16.如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，平面PAD ⊥平面ABCD，PA PD ==，点E 是线段AD 的中点，2CM MP =.（1）证明：PE //平面BDM ；（2）求平面AMB 与平面BDM 的夹角.【答案】（1）证明见解析（2）π3.【解析】【分析】（1）连接EC 交BD 于N ，连接MN ,根据条件证明MN //PE 即得；（2）先证明PE ⊥平面ABCD ，依题建系，求出相关点和向量的坐标，分别求得平面AMB 与平面BDM的法向量，最后由空间向量的夹角公式求解即得.【小问1详解】如图，连接EC 交BD 于N ，连接MN ,由E 是AD 的中点可得11122DE AD BC ===，易得DEN 与BCN △相似，所以12EN NC =，又12PM MC =，所以MN //PE ，又MN ⊂平面,BDM PE ⊄平面BDM ，所以PE //平面BDM ；【小问2详解】因平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =，由PA PD ==，点E 是线段AD 的中点可得,PE AD ⊥又PE ⊂平面PAD ，故得PE ⊥平面ABCD .如图，取BC 的中点为F ,分别以,,EA EF EP为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系.则()()0,0,0,1,0,0E A ，()()()()1,0,0,1,2,0,1,2,0,0,0,2D B C P --，()11221,2,2,,,3333PC PM PC ⎛⎫=--==-- ⎪⎝⎭ ，则124,,333M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，.设平面AMB 的法向量为()1111,,n x y z =，由()4240,2,0,,,333AB AM ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ，则111111204240333n AB y n AM x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，故可取()11,0,1n = ；设平面BDM 的法向量为()2222,,n x y z =，由()4442,2,0,,,333BD BM ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ ，则2222222220444333n BD x y n BM x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，故可取()21,1,0n =- .故平面AMB 与平面BDM的夹角余弦值为1212121cos ,2n n n n n n ⋅〈〉==，所以平面AMB 与平面BDM 的夹角为π3.17.某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表：测试指标[)20,76[)76,82[)82,88[)88,94[]94,100元件数（件）121836304（1）现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率；（2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量X 具有数学期望()E X μ=，方差()2D X σ=，则对任意正数ε，均有()22P x σμεε-≥≤成立.（i ）若1~100,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，证明：1(025)50P X ≤≤≤；（ii ）利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为90%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件A 发生的概率小于0.05时，可称事件A 为小概率事件）【答案】（1）2343（2）（i ）证明见解析；（ii ）不可信.【解析】【分析】（1）由条件概率的公式进行求解即可；（2）（i ）由1~100,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭求出()()50,25E X D X ==，再结合切比雪夫不等式即可证明；（ii ）设随机抽取100件产品中合格品的件数为X ，()100,0.9X B :，由切比雪夫不等式判断出()()97090200.0225400P X P X =≤-≥≤=，进而可得出结论.【小问1详解】记事件A 为抽到一件合格品，事件B 为抽到两个合格品，()()222701003022100100C C C 161301,C 330C 330P AB P A -====()()()16123.30143P AB P B A P A ===∣【小问2详解】（i ）由题：若1~100,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()()50,25E X D X ==又()()1001001C 100,2k P X k P X k ⎛⎫====- ⎪⎝⎭所以()1025(0252P X P X ≤≤=≤≤或()175100)50252X P X ≤≤=-≥由切比雪夫不等式可知，()225150252525P X -≥≤=所以()102550P X ≤≤≤；（ii ）设随机抽取100件产品中合格品的件数为X ，假设厂家关于产品合格率为90%的说法成立，则()100,0.9X B :，所以()()90,9E X D X ==，由切比雪夫不等式知，()()97090200.0225400P X P X =≤-≥≤=，即在假设下100个元件中合格品为70个的概率不超过0.0225，此概率极小，由小概率原理可知，一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信.18.已知椭圆2222:1(0)x y L a b a b+=>>的左顶点()30A -,和下顶点B ，焦距为，直线l 交椭圆L 于C ，D （不同于椭圆的顶点）两点，直线AD 交y 轴于M ，直线BC 交x 轴于N ，且直线MN 交l 于P .（1）求椭圆L 的标准方程；（2）若直线AD ，BC 的斜率相等，证明：点P 在一条定直线上运动.【答案】（1）22:19x L y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由顶点坐标和焦距可求出椭圆标准方程；（2）设直线AD ，BC 的斜率为k ，联立直线():3AD y k x =+和椭圆方程，得到()22,,D x y 联立直线:1BC y kx =-和椭圆方程()11,,C x y 由于AD //BC ，所以MP DP PNPC=，可得点()00,P x y ，利用消元法可得点P 的轨迹方程，即可得证.【小问1详解】由已知得：3,a c ==1b =，所以椭圆22:19x L y +=【小问2详解】设直线,AD BC 的斜率为()()()112200,,,,,,k C x y D x y P x y .则直线():3AD y k x =+，直线:1BC y kx =-，得()10,3,,0M k N k ⎛⎫⎪⎝⎭联立()223,99y k x x y ⎧=+⎨+=⎩得()222219548190kxk x k +++-=，易知Δ0>.由222819319k x k --⨯=+，得22232719k x k -=+，于是()2226319k y k x k =+=+.同理：211221891,1919k k x y k k -==++由于AD //BC ，所以MP DP PN PC =，即20200023271911819k x x k k x x k k --+=--+，得0331x k =+①，同理0331ky k =+②，由①②得00330x y +-=，故点P 在直线330x y +-=上运动.【点睛】关键点点睛：本题的关键是设出直线,AD BC 的方程，联立直线方程和椭圆方程，得到点,C D 的坐标，从而得解.19.①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数()f x ，()g x 的导函数分别为()f x '，()g x '，且lim ()lim ()0x a x af xg x →→==，则()()lim lim ()()x a x a f x f x g x g x ''→→=.②设0a >，k 是大于1的正整数，若函数()f x 满足：对任意[]0,x a ∈，均有()x f x f k ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭成立，且()0lim 0x f x →=，则称函数()f x 为区间[]0,a 上的k 阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题：（1）试判断()33f x x x =-是否为区间[]0,3上的2阶无穷递降函数；（2）计算：10lim(1)xx x →+；（3）证明：3sin cos πx x x ⎛⎫< ⎪-⎝⎭，3π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.【答案】（1）()33f x x x =-不是区间[]0,3上的2阶无穷递降函数；（2）1lim(1)exx x →+=（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据函数()f x 为区间[]0,a 上的k 阶无穷递降函数的定义即可判断；（2）通过构造()()=ln h x g x ，再结合()()lim lim ()()x a x a f x f x g x g x ''→→=即可得到结果；（3）通过换元令令πx t -=，则原不等式等价于23πtan sin ,0,2t t t t ⎛⎫⋅≥∈ ⎪⎝⎭，再通过构造函数()23tan sin π,0,2t t f t t t ⋅⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，根据题干中函数()f x 为区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的k 阶无穷递降函数的定义证出()π1,0,2f t t ⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭，即可证明结论.【小问1详解】设()()373282x F x f x f x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由于()731082F =-<，所以()2x f x f ⎛⎫≥⎪⎝⎭不成立，故()33f x x x =-不是区间[]0,3上的2阶无穷递降函数.【小问2详解】设()1(1)xg x x =+，则()()()ln 11ln ln 1x g x x x x+=+=，设()()ln 1x h x x+=，则0001ln(1)1lim ()lim lim 11x x x x x h x x →→→++===，所以0limln ()1x g x →=，得1lim(1)e xx x →+=.【小问3详解】令πx t -=，则原不等式等价于23πtan sin ,0,2t t t t ⎛⎫⋅≥∈ ⎪⎝⎭，即证23tan sin π1,0,2t t t t ⋅⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭，记()23tan sin π,0,2t t f t t t ⋅⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则238tan sin 222t tt f t ⋅⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()2233224cos tan sin 1218tan sin 1tan 1tan 22222tf t t t t t t t t t t f ⋅=⋅==>⎛⎫⋅-- ⎪⎝⎭，21即有对任意π0,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，均有()2t f t f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()22n t t f t f f ⎛⎫⎛⎫>>>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，因为00sin lim lim cos 1x x x x x→→==，所以33233sin sin tan sin 12222lim lim lim lim lim 12cos cos 22222n n n n n n n n n n n n n n n t t t t t f t t t t t →+∞→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎢⎥===⋅ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()π1,0,2f t t ⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭，证毕!【点睛】方法点睛：利用函数方法证明不等式成立问题时，应准确构造相应的函数，注意题干条件中相关限制条件的转化.。
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金丽衙十二校2020学年高三第二次联考
数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）．
1、集合A=｛x|x 2
－2x ＞0}，B=｛x|－3<x<3｝，则（ ）
A 、A ∩
B ＝∅ B 、 A ∪B ＝R
C 、B ⊆A
D 、A ⊆B 2、点F 1和F 2是双曲线2
23x y -＝1的两个焦点，｜F 1F 2｜（ ） A 、2 B 、 2 C 、2 2 D 、 4
3、复数122,3z i z i =-=+，则12||z z ＝（ ）
A 、 5
B 、 6
C 、 7
D 、 52
4、某几何体的三视图如右图所示（图中单位:cm)，则该几何体的表面积为（ ）
A 2πcm 2
B 、2πcm 2
C 、（2＋1）πcm 2
D 、（2＋2）πcm 2
5.已知直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，则“α∥β”是“l ⊥m ”的（ ）
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件
6、甲和乙两人独立的从五门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为ξ，则E(ξ)为（ ）
A 、1.2
B 、1.5
C 、1.8
D 、2
7、函数()ln 8x f x x
=-的图象大致为（ ）
8.已知a ，b ，c 和d 为空间中的4个单位向量，且a ＋b ＋c ＝0，则｜a 一d ｜+｜b 一d ｜+｜c 一d ｜
不可能等于（ ）
A 、 3
B 、3
C 、4
D 、2
9.正三棱锥P －ABC 的底面边长为1 cm ，高为h cm ，它在六条棱处的六个二面角（侧面 与侧面或者侧面与底面）之和记为θ，则在h.从小到大的变化过程中，θ的变化情况 是（ ）
A 、一直增大
B 、一直减小
C 、先增大后减小
D 、先减小后增大，
10、数列{a n }满足：1111,n n n
a a a a +==+则a 2020的值所在区间为（ ） A 、(0，100) B 、 (100，200) C 、 (200，300) D 、 (300， +∞)
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）
11、《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不
足四，问人数物价各几何？”借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物 品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还差4元才够付款．问他们
的人数和物品价格？答：一共有 人；所合买的物品价格为 元．
12、（1一2x)5展开式中x 3
的系数为 ；所有项的系数和为 ． 13、若实数x ，y 满足约束条件1221x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩
，则目标函数Z ＝2x+3y 的最小值为 ；
最大值为
14、在△ABC 中，角A ，B 和C 所对的边长为a ，b 和c ，面积为2221()3a c b +-内，且∠C 为钝角，则tanB ＝ ；c a
的取值范围是 15、安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 种（用数字作答）
16、定义在R 上的偶函数()f x 满足：当x ＞0时有1(4)()3
f x f x +=，且当0≤x ≤4时， f (x)＝3｜x －3｜，若方程()0f x mx -=恰有三个实根，则m 的取值范围是
17、过点P （1，1）的直线l 与椭圆22
143
x y +=交于点A 和B ，且AP PB λ=u u u r u u u r ．点Q 满足 AQ QB λ=-u u u r u u u r ，若O 为坐标原点，则｜OQ ｜的最小值为
三、解答题（本大题兵5小题，共．74分．解答应写出文字说明‘证明过程或演算步卿．
18、 (14
分）己知函数2()sin sin()2f x x x x π=++
（I ）求()f x 的最小正周期； （II ）求函数()f x 在区间20,3
π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围·
19、 (15分）在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，A B ⊥侧面BB 1C 1C ，己知BC ＝1，∠BCC 1＝
3
π， AB ＝C 1 C ＝2.
（I ）求证：C 1B ⊥平面ABC ；
(II) E 在棱C 1 C(不包含端点C 1，C)上，且EA ⊥EB 1，求A 1E 和平面AB 1 E 所成角的正弦值·
20、 (15分）数列{}n a 的前n 项和为Sn ，a 1＝1，对任意*n N ∈，有121n n a S +=+ （I ）求数列{}n a 的通项公式；
（II ）若1n a
n n b a +=，求数列｛3log n b ｝的前n 项和Tn.
21、 (15分）已知抛物线E ：2(0)y ax a =>内有一点P （1，3），过点P 的两条直线12,l l 分别与抛物线E 交于A 、C 和B 、D 两点，且满足AP PC λ=u u u r u u u r ，(0,1)BP PD λλλ=>≠u u u r u u u r 。
已知线段AB 的中点为M ，直线AB 的斜率为k 。
（I ）求证：点M 的横坐标为定值；
（II ）如果k ＝2，点M 的纵坐标小于3，求△PAB 的面积的最大值。
22、 (15分）函数()f x ＝(ln )n x n x -，其中*,(0,)n N x ∈∈+∞
（I ）若n 为定值，求()f x 的最大值；
（II ）求证：对任意*m N ∈，有
（III ）若n ＝2，ln 1a ≥，求证：对任意k ＞0，直线y kx a =-+与曲线()y f x =有唯一公共点。