空间直线和平面总结 知识结构图+例题

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一. 本周教学内容：

期中复习

［知识串讲］

空间直线和平面： （一）知识结构

（二）平行与垂直关系的论证

1、线线、线面、面面平行关系的转化：

线线∥

(a//b,b//c a//c)

αβ

αγβγ

//,// ==⇒⎫⎬⎭

a b a b

面面平行性质 线面平行性质

a a

b a b

////αβαβ⊂=⇒⎫⎬⎪

⎭

⎪ 面面平行性质1

αβαβ

////a a ⊂⇒⎫

⎬

⎭

面面平行性质

αγβγαβ

//////⎫⎬

⎭⇒

A b

2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：

面面垂直判定

面面垂直定义

αβαβ

αβ

=--

⇒⊥

⎫

⎬

⎭

l l

，且二面角

成直二面角

3. 平行与垂直关系的转化：

面面∥

面面平行判定2

面面平行性质3

a b

a

b

//

⊥

⇒⊥

⎫

⎬

⎭

α

α

a

b

a b

⊥

⊥

⇒

⎫

⎬

⎭

α

α

//

a

a

⊥

⊥

⇒

⎫

⎬

⎭

α

β

αβ

//

αβ

α

β

//

a

a

⊥

⊥

⎫

⎬

⎭

a

4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。”

5. 唯一性结论：

（三）空间中的角与距离

1. 三类角的定义：

（1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90° （时，∥或）θαα=︒⊂0b b

（3）二面角：二面角的平面角θ，0°≤θ≤180°

2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算” 即：（1）找出或作出有关的角； （2）证明其符合定义； （3）指出所求作的角； （4）计算大小。

3. 空间距离：将空间距离转化为两点间距离——构造三角形，解三角形，求该线段的长。

4. 点到面的距离，线线间距离、线面间距离、面面间距离都可转化为点到面的距离。

常用方法：三垂线法、垂面法、体积法、向量法等。 简单几何体：

（一）棱柱（两底面平行，侧棱平行的多面体）

性质侧棱都相等侧面是平行四边形对角面是平行四边形两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形直截面周长侧棱长底面积高直截面面积侧棱长侧柱S V =⨯=⨯=⨯⎧⎨

⎪

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪

（二）棱锥（底面是多边形，其余各面是由有一个公共顶点的三角形所围成的多面体）

h

S 31

V ⋅=底锥

定理：截面与底面平行

则有221h h S S =底

截

正棱锥的性质

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

⎪⎪

⎨⎧∆=+=-=∆α=+=+=∆θ=α=-=∆OEB Rt n 180sin 2a a 41r h l R SEB Rt cos r a 41l r h h SOE Rt sin l sin h R l h SOB

Rt 22

22222222 图）及元素之间的关系四个直角三角形（如上全等的等腰三角形侧棱都相等，侧面都是

O O O

O S S 11

221=λ是两个平行截面且、如图

）

（与定比分点公式比较则λ+λ+=1S

S S 21

概率与统计

（一）散型随机变量的分布列

性质：⎩⎨

⎧=++=≥1p p 21i 0p 21

i ，，

二项分布：)p 1q (npq D np E )p n k (b q

p C )p n (B ~k

n k k n -==ξ=ξ=⋅ξ-，，，，，

若b a +ξ=η

则b aE )b a (E E +ξ=+ξ=η

ξ-=+ξ=ηD a )b a (D D 2

期望： ++++=ξn n 2211p x p x p x E

方差： +ξ-++ξ-+ξ-=ξn 2

n 222121p )E x (p )E x (p )E x (D

（二）抽样方法

⎪⎩

⎪

⎨⎧分层抽样系统抽样简单随机抽样

【典型例题】

例1. 如图，在四面体ABCD 中作截面EFG ，若EG ，DC 的延长线交于M ，FG 、BC 的延长线交于N ，EF 、DB 的延长线交于P ，求证M 、N 、P 三点共线。

证明：由已知，显然M 、N 、P 在平面EFG 上 又M 、N 、P 分别在直线DC 、BC 、DB 上

故也在平面BCD 上

即M 、N 、P 是平面BCD 与平面EFG 的公共点 ∴它们必在这两个平面的交线上 根据公理2. M 、N 、P 三点共线

例2. 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么AM 与CM 所成角的余弦值为（ ）

52.

D 5

3.

C 2

10.

B 2

3.

A

分析：如图，取AB 中点E ，CC 1中点F 连结B 1E 、B 1F 、

EF

则B 1E//AM ，B 1F//NC

∴∠EB 1F 为AM 与CN 所成的角 又棱长为1

∴=

==B E B F EF 11525262，，

∴∠=+-⋅=

c o s EB F B E B F EF B E B F 1121221122

5 ∴选D

例3. 已知直线平面，直线平面，有下面四个命题：l m ⊥⊂αβ

①②③④αβαβαβ

αβ/⇒⊥⊥⇒⇒⊥⊥⇒///////l m l m

l m l m 其中正确的两个命题是（ ） A. ①与② B. ③与④ C. ②与④

D. ①与③

分析：

对于①

①正确

l l m l m ⊥⎫⎬⎭⇒⊥⊂⎫

⎬⎭

⇒⊥∴ααβββ//

对于②，如图

l a m l m ⊥⊥⊂⎫

⎬⎪

⎭⎪⇒αββ///

∴②错