wxj(微分方程模型)建模辅导
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微分方程模型(数学建模)
利用模拟近似法建模
3
2019年1月8日
开普勒三大定律：
《数学的实践与认识》 2005.12
• 太阳系每一颗行星的轨道皆以太阳为一 焦点的椭圆;
• 行星的向径在单位时间扫过的面积是一 个常数；
• 行星运动周期之平方与平均距离之立方 成正比。
4
2019年1月8日
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 • 分析对象特征的变化规律 • 预报对象特征的未来性态 • 研究控制对象特征的手段 • 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 • 根据建模目的和问题分析作出简化假设 • 按照内在规律或用类比法建立微分方程
5 2019年1月8日
微分 方程 建模
一、微分方程建模的思想和方法
当我们用微观的眼光观察实际问题时一般遵循如下的模式
净变化率=输入率-输出率
（1）根据已知规律：利用数学、物理、力学、化学等经 过实践检验的规律和定理； （2）利用微元法 （3）利用模拟近似法：在社会科学、生物学、医学、经 济学的学科中一些现象的规律性我们不太清楚，需要在不 同的假设下去模拟实际现象。如此建立的模型从数学上求 解或分析后再与实际对比，观察看这个模型是否能够模拟、 近似这些现象。
现代战争的特点是多兵种的协同作战，根据不 同兵种的特点,在不同的区域参加战斗，都对战争的 结果产生一定的影响．
20 2019年1月8日
战争的预测与评估问题
１．问题的提出 现在要求建立数学模型讨论的问题： (1) 分析研究引起军备竞赛的因素，并就诸多 因素之间的相互关系进行讨论； (2) 在多兵种的作战条件下，对作战双方的战 势进行评估分析. （3）分析研究作战双方的兵力消耗，并预测初 始总兵力和战斗力变化对作战结果的影响。
3
2019年1月8日
开普勒三大定律：
《数学的实践与认识》 2005.12
• 太阳系每一颗行星的轨道皆以太阳为一 焦点的椭圆;
• 行星的向径在单位时间扫过的面积是一 个常数；
• 行星运动周期之平方与平均距离之立方 成正比。
4
2019年1月8日
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 • 分析对象特征的变化规律 • 预报对象特征的未来性态 • 研究控制对象特征的手段 • 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 • 根据建模目的和问题分析作出简化假设 • 按照内在规律或用类比法建立微分方程
5 2019年1月8日
微分 方程 建模
一、微分方程建模的思想和方法
当我们用微观的眼光观察实际问题时一般遵循如下的模式
净变化率=输入率-输出率
（1）根据已知规律：利用数学、物理、力学、化学等经 过实践检验的规律和定理； （2）利用微元法 （3）利用模拟近似法：在社会科学、生物学、医学、经 济学的学科中一些现象的规律性我们不太清楚，需要在不 同的假设下去模拟实际现象。如此建立的模型从数学上求 解或分析后再与实际对比，观察看这个模型是否能够模拟、 近似这些现象。
现代战争的特点是多兵种的协同作战，根据不 同兵种的特点,在不同的区域参加战斗，都对战争的 结果产生一定的影响．
20 2019年1月8日
战争的预测与评估问题
１．问题的提出 现在要求建立数学模型讨论的问题： (1) 分析研究引起军备竞赛的因素，并就诸多 因素之间的相互关系进行讨论； (2) 在多兵种的作战条件下，对作战双方的战 势进行评估分析. （3）分析研究作战双方的兵力消耗，并预测初 始总兵力和战斗力变化对作战结果的影响。
微分方程建模.
vw dy 1 dx
2
代入上式,就得到轨迹方程.这是一个二阶非
线性微分方程,加上初值条件,则初值问题
d 2 x (H y) ve dy 2 2 vw dx dy 1 x y 0 0 dx y 0 0 dy
dx dy 2 v dt dt
2
2
(3.1)
7
其中 vw 450(km / h) 另外在 t 时刻, 敌艇位臵为 M (vet , H ) , 其中 ve 90(km / h) 。由于导弹轨迹的切 线方向必须指向敌艇，即直线 PM 的方向就是导弹轨迹上点 P 的切线方向,
p2 1 dp dy Hy
d (H y) Hy
dp p2 1
易得 由初值条件(3.7)即 p
H y
y 0
C p p2 1
0, 得C H , 从而
p
H y p2 1 H
10
注意到上式可改写为
故有
dy Hy dx vet x
(3.2)
或写为
dy dx H y dt dt vet x
(3.3)
方程(3.1),(3.3)连同初值条件
x(0) 0, y(0) 0
为了寻求x与y的关系,要设法消去变量t, 由式(3.2)得
(3.4)
构成了一个关于时间变量t的一阶微分方程组的初值问题。
微分方程建模
卢长娜
changnalu@
1
当我们描述实际对象的某些特性随时间（空 间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它 的未来形态、研究它的控制手段时。通常要建立 对象的动态模型。 在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函 数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或 微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模 型的方法来研究该问题。
微分方程的建模原理及应用
微分方程的建模原理及应用引言微分方程是数学中重要的一门学科，它是描述自然界和工程领域中许多现象和过程的数学工具之一。
本文将介绍微分方程的建模原理及其应用，并使用Markdown格式进行编写。
微分方程的定义微分方程是描述变量之间关系的方程，其中包含了变量的导数。
一般形式的微分方程可以写作：$$f(x, y, y', y'', \\ldots, y^n) = 0$$其中，x是自变量，y是因变量，$y', y'', \\ldots, y^n$ 是y的导数，n是方程的阶数。
微分方程的建模原理微分方程的建模原理是将现实世界中的问题转化为数学模型，通过建立微分方程来描述问题的变化规律。
建模的过程需要以下几个步骤：1.问题理解：全面理解实际问题的背景、目标和限制条件。
明确要研究的变量和参数。
2.数学模型的建立：根据问题理解，确定数学函数和变量之间的关系，并找到恰当的微分方程。
3.模型求解：利用数学方法求解微分方程，得到问题的解析解或数值解。
4.模型分析：对模型求解结果进行分析和解释，评估模型的适用性和可靠性。
微分方程的应用领域微分方程在各个科学领域和工程技术中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：物理学•力学：描述物体的运动和力学性质。
•电磁学：描述电荷和电磁场的关系。
•光学：描述光的传播和折射。
经济学•经济增长模型：描述经济产出和经济变量之间的关系。
•消费与储蓄模型：描述个体和国家的消费和储蓄行为。
生物学•生物种群动力学：描述物种数量和环境因素之间的关系。
•神经科学：描述神经元的电信号传递和网络行为。
工程学•电路分析：描述电路中电流和电压之间的关系。
•控制系统：描述系统的稳定性和动态响应。
微分方程的求解方法微分方程的求解方法分为解析解和数值解两种。
解析解解析解是指通过数学方法直接求解微分方程得到的精确解。
常见的求解方法包括：•可分离变量法：将微分方程转化为可分离变量的形式，通过积分求解。
微分方程模型——数学建模真题解析 ppt课件
方程)。 (2)微元法。
微分方程的稳定性理论： 对微分方程组
dx f ( x) dt
若f(x0)=0，则称x0是方程组的平衡点。
ppt课件
7
如果在平衡点x0处，f(x)的Jacobi矩阵
f1
x1
Df Dx
D( f1, f2 ,L D(x1, x2 ,L
, fn) , xn )
ppt课件
20
请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮 酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题： 1. 对大李碰到的情况做出解释； 2. 在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾 车就会违反上述标准，在以下情况下回答： 酒是在很短时间内喝的； 酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。 3. 怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。 4. 根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？ 5. 根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文， 给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。
第二种：机理分析方法： 实际上，对这一类问题，有成熟的机理分析方法： 房室模型。
ppt课件
25
我们可以把喝酒后酒精的变化过程描述为 喝酒酒精进入肠胃消化后进入血液排出。 这里，血液循环系统可以看作中心室，肠胃可以看 作吸收室。M1克酒精在很短时间进入吸收室，从吸 收室逐渐进入中心室，最后逐渐排出。
如果遇到我们不熟悉的问题时，应该怎么办？ 答案：不要回避，到网上查一下相关的概念你就会 发现：这个不熟悉的问题可能是比较简单的!
ppt课件
11
分析：上网查一下热传导，我们可以了解到：热的 传导从温度高的地方向温度低的地方传导，单位时 间传送的热量与温差T成正比，与两个热源的距 离成反比。即
微分方程的稳定性理论： 对微分方程组
dx f ( x) dt
若f(x0)=0，则称x0是方程组的平衡点。
ppt课件
7
如果在平衡点x0处，f(x)的Jacobi矩阵
f1
x1
Df Dx
D( f1, f2 ,L D(x1, x2 ,L
, fn) , xn )
ppt课件
20
请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮 酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题： 1. 对大李碰到的情况做出解释； 2. 在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾 车就会违反上述标准，在以下情况下回答： 酒是在很短时间内喝的； 酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。 3. 怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。 4. 根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？ 5. 根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文， 给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。
第二种：机理分析方法： 实际上，对这一类问题，有成熟的机理分析方法： 房室模型。
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25
我们可以把喝酒后酒精的变化过程描述为 喝酒酒精进入肠胃消化后进入血液排出。 这里，血液循环系统可以看作中心室，肠胃可以看 作吸收室。M1克酒精在很短时间进入吸收室，从吸 收室逐渐进入中心室，最后逐渐排出。
如果遇到我们不熟悉的问题时，应该怎么办？ 答案：不要回避，到网上查一下相关的概念你就会 发现：这个不熟悉的问题可能是比较简单的!
ppt课件
11
分析：上网查一下热传导，我们可以了解到：热的 传导从温度高的地方向温度低的地方传导，单位时 间传送的热量与温差T成正比，与两个热源的距 离成反比。即
数学建模--微分方程第一讲(暑期培训)
建立微分方程模型时，需要注意： (1) 所建立的方程或方程组应满足守恒定律； (2) 如果希望得到解析解进行深入分析，则尽量简化方程； (3) 注意掌握微分方程几何理论，用于做定性的讨论； (4) 如果建立的是差分方程模型，也可以粗略的转化为微分 方程进行定性讨论； (5) 微分方程属于比较理想化的建模方法，适合用于定性讨 论或精度要求不高的情形下。
6、微分模型的建模原理
在建立微分方程的时候，所要求的其实是微分方程 的一条解曲线，通过它来反映某些我们所要寻求的 规律。微分方程曲线思想是，如果知道曲线上每一 点处的导数以及它的起始点，那么就能构造这条曲 线。具体步骤如下：
1、转化 实际问题中，有许多表示“导数”的常用词，如“速率” ”增长“（在生物学以及人口问题研究中）、”衰变“ （在放射性问题中）以及”边际的“（在经济学中）等。 这些词就是信号，这个时候要注意是哪些研究对象 在变化，对这些规律的表示微分方程也许就能用得上。
dx kx( K x) dt
研究机构预测某种商品近期的销量时，一般采用线性估计办 法给出销量区间。如果希望预测较长时间内的销量，则可以 采用上面的形式。
在预测商品的销量时，连续性模型一般不便于使用， 采用离散形式的阻滞增长模型更方便一些。
dx( t ) x r (1 ) x dt N
排除
1 (t ) k12 x1 k13 x1 k21x2 f 0 (t ) x
2 (t ) k12 x1 k21x2 x
f 0 (t ) V2 1 ( t ) ( k12 k13 )c1 k 21c 2 c V1 V1 V1 c 2 ( t ) k12c1 k 21c 2 V2
8、案例－物体的运动、振动、受力形变
6、微分模型的建模原理
在建立微分方程的时候，所要求的其实是微分方程 的一条解曲线，通过它来反映某些我们所要寻求的 规律。微分方程曲线思想是，如果知道曲线上每一 点处的导数以及它的起始点，那么就能构造这条曲 线。具体步骤如下：
1、转化 实际问题中，有许多表示“导数”的常用词，如“速率” ”增长“（在生物学以及人口问题研究中）、”衰变“ （在放射性问题中）以及”边际的“（在经济学中）等。 这些词就是信号，这个时候要注意是哪些研究对象 在变化，对这些规律的表示微分方程也许就能用得上。
dx kx( K x) dt
研究机构预测某种商品近期的销量时，一般采用线性估计办 法给出销量区间。如果希望预测较长时间内的销量，则可以 采用上面的形式。
在预测商品的销量时，连续性模型一般不便于使用， 采用离散形式的阻滞增长模型更方便一些。
dx( t ) x r (1 ) x dt N
排除
1 (t ) k12 x1 k13 x1 k21x2 f 0 (t ) x
2 (t ) k12 x1 k21x2 x
f 0 (t ) V2 1 ( t ) ( k12 k13 )c1 k 21c 2 c V1 V1 V1 c 2 ( t ) k12c1 k 21c 2 V2
8、案例－物体的运动、振动、受力形变
微分方程建模方法
求解微分方程有三种方法： 1）求精确解； 2）求数值解（近似解）； 3）定性理论方法。
建立微分方程模型的方过实验检验的规律等来建立微分方程模型。
（2）微元分析法
利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系 式，与第一种方法不同的是对微元而不是直 接对函数及其导数应用规律。
（3）模拟近似法
在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象 的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复 杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现 象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从 数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再 去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模 拟某些实际现象。
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程. • 分析对象特征的变化规律. • 预报对象特征的未来性态. • 研究控制对象特征的手段.
微分 方程 建模
• 根据函数及其变化率之间的关系确定函数. • 根据建模目的和问题分析作出简化假设. • 按照内在规律或用类比法建立微分方程.
微分方程建模
在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化 率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分 方模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关 系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。
建立微分方程模型的方过实验检验的规律等来建立微分方程模型。
（2）微元分析法
利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系 式，与第一种方法不同的是对微元而不是直 接对函数及其导数应用规律。
（3）模拟近似法
在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象 的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复 杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现 象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从 数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再 去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模 拟某些实际现象。
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程. • 分析对象特征的变化规律. • 预报对象特征的未来性态. • 研究控制对象特征的手段.
微分 方程 建模
• 根据函数及其变化率之间的关系确定函数. • 根据建模目的和问题分析作出简化假设. • 按照内在规律或用类比法建立微分方程.
微分方程建模
在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化 率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分 方模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关 系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。
数学建模-微分方程模型.pptx
2019年11月8
数学建模－ 微分方程模型
xx 同济大学数学科学学院
谢谢你的阅读
1
一、什么是微分方程？
最最简单的例子
2019年11月8
谢谢你的阅读
2
引例 一曲线通过点（1，2），且在该曲线任一点
M( x ,y )处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。
解 若设曲线方程为 y f (x)，(1)
2019年11月8
谢谢你的阅读
51
阻滞增长模型 (Logistic模型)
人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：
资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用
且阻滞作用随人口数量增加而变大
r是x的减函数
假定： r(x) r sx (r, s 0) r~固有增长率(x很小时)
xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）
2019年11月8
x0
谢谢你的阅读
t
x(t)~S形曲线, x增加先快后慢
53
模型的参数估计
用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报， 必须先估计模型参数 r 或 r, xm
• 利用统计数据用最小二乘法作拟合
例：美国人口数据（单位~百万）
1790 1800 1810 1820 1830 …… 1950 1960 1970 1980 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 …… 150.7 179.3 204.0 226.5
CO2的通入量 2000 dt 0.03, CO2的排出量 2000 dt x(t),
2019年11月8
谢谢你的阅读
29
CO2的改变量 CO2的通入量 CO2的排出量
12000dx 2000 dt 0.03 2000 dt x(t),
数学建模－ 微分方程模型
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1
一、什么是微分方程？
最最简单的例子
2019年11月8
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2
引例 一曲线通过点（1，2），且在该曲线任一点
M( x ,y )处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。
解 若设曲线方程为 y f (x)，(1)
2019年11月8
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51
阻滞增长模型 (Logistic模型)
人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：
资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用
且阻滞作用随人口数量增加而变大
r是x的减函数
假定： r(x) r sx (r, s 0) r~固有增长率(x很小时)
xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）
2019年11月8
x0
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t
x(t)~S形曲线, x增加先快后慢
53
模型的参数估计
用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报， 必须先估计模型参数 r 或 r, xm
• 利用统计数据用最小二乘法作拟合
例：美国人口数据（单位~百万）
1790 1800 1810 1820 1830 …… 1950 1960 1970 1980 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 …… 150.7 179.3 204.0 226.5
CO2的通入量 2000 dt 0.03, CO2的排出量 2000 dt x(t),
2019年11月8
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29
CO2的改变量 CO2的通入量 CO2的排出量
12000dx 2000 dt 0.03 2000 dt x(t),
微分方程建模理论概要课件
04
CATALOGUE
微分方程稳定性分析
稳定性定义与分类
稳定性定义
01
对于一个微分方程的解，如果其导数在所有时间上都为非正，
则该解被称为稳定。
局部稳定性
02
如果存在一个有限的初始时间，当时间超过此初始时间时，解
的导数恒为非正，则该解被称为局部稳定。
全局稳定性
03
如果对于所有时间，解的导数都恒为非正，则该解被称为全局
电磁学中的微分方程
电场和磁场
描述电荷在电场和磁场中的运动和相互作用， 可以通过微分方程求解电场和磁场的变化规 律。
电磁波
电磁波的传播和反射等现象可以通过微分方 程描述，进而研究电磁波的特性和应用。
热力学中的微分方程
要点一
热传导
描述热量在物体中的传播和变化，可以通过微分方程求解 温度随时间和空间的变化规律。
有广泛的应用。
线性常微分方程
定义
线性常微分方程是指导数与变量之间为线性关系的常 微分方程。
解法
线性常微分方程的解法通常采用分离变量法、积分因 子法等。
应用
线性常微分方程在描述物理、工程和社会科学等领域 的问题时具有广泛的应用。
03
CATALOGUE
偏微分方程模型
一阶偏微分方程
01
定义
一阶偏微分方程是一阶微分方程或常微分方程的统称，它 的一般形式为F(x,y,y',…,y^(n)) = 0，其中F为给定的函数， x,y,y',…,y^(n)为未知函数及其各阶导数。
稳定。
线性稳定性分析
线性化
通过将非线性微分方程线性化来分析稳定性，即将非线性微分方程的解的线性 部分视为新的微分方程。
数学建模培训课件-第五章 微分方程模型培训
Q f0L(K / L)
g(y)
Q(K, L) f0K L1 Douglas生产函数
Q , Q 0 K L
2Q K 2
,
2Q L2
0
含义？
0
y
数学建模培训课件-第五章 微分方程模型培训
数学建模培训课件-
18
1. Douglas生产函数
Q(K, L) f0 K L1
QK ~ 单位资金创造的产值 KQK , LQL 1
di
ds
1
s
1
i
1
i(s)
(s0
i0
)
s
1
ln
s s
i
s s0
i 0
D
0
i(0) i0 , s(0) s0
P4
s(t)单调减相轨线的方向 im s 1/ , i im t , i 0
P2
P1
P3
s满足
s0
i0 s
1
ln
s s0
0
0
s S0 1/ s0
1s
P1: s0>1/ i(t)先升后降至 0 P2: s0<1/ i(t)单调降至0
1
tm~传染病高潮到来时刻 t i 1 ?
(日接触率) tm
数学建模培训课件-第五章 微分方程模型培训
病人可以治愈！
数学建模培训课件-
8
模型3
传染病无免疫性——病人治愈成 为健康人，健康人可再次被感染 SIS 模型
增加假设 3）病人每天治愈的比例为 ~日治愈率
建模 N[i(t t) i(t)] Ns(t)i(t)t Ni(t)t
0
当t
1
(1 )
010微分方程方法建模(预备知识)
特征方程的两个特征根是
所以(2)的通解是
(2)的通解是 其实值解为
2．二阶常系数线性非齐次方程 由通解结构定理，方程(1)的通解等于对应的齐次方程通解与(1) 的一个特解之和。 前面我们已得到了齐次方程的通解，因而下面的问题是讨论如 何求(1)的一个特解。
代人(1)后得 解上式得
说明： (1)对于二阶方程所提供的解法，可完全类似 地推广到n阶方程中。 (2)在求解问题过程中，可视具体情况将高阶 方程转化成一阶微分方程组进行讨论。 例如，对于二阶方程
两边积分得
(3) 2)一阶线性非齐次微分方程的通解 方程(1)的解可用“常数变易法”求得。即将 其对应的齐次方程通解(3)中的任意常数c，换成待 定函数c(x)，设(1)具有如下形式的解 对上式关于x求导，得
代人(1)，得
积分得 其中c是任意常数，代入(3)式得
不难验证，它就是原方程的通解。
例5 解一阶线性微分方程
则与方程等价的一阶线性微分方程组为
返回
5 微分方程的稳定性简介
在现实世界中，任何系统总会受各种各样的干 扰作用，这种作用常常使系统偏离原来的给定的 运动状态，因而有必要研究这种作用对原来给定 运动的影响。这就是微分方程的稳定性问题。 下面简单介绍方程的平衡点及稳定性概念，并 给出判断方程解稳定的初等方法。 设有微分方程 （1）
定义2 在微分方程中，未知函数最高阶 导数的阶数，称为微分方程的阶。 定义3 一个函数代人微分方程中，使得 它成为关于自变量的恒等式，称此函数为微 分方程的解。 由于微分方程的解是函数，将这个函数 代人方程，是经过微分运算使等式成立的， 因此微分方程的解有无穷多个。 定义4 对于n阶微分方程，含有n个(相 互独立的)任意常数的解．称为微分方程的通 解。
微分方程建模学习
微分方程建模一般说来，微分方程建模的方法大致可以分为以下的几个步骤：1•根据实际问题的要求确定要研究的量，包括自变量、未知函数、必要的参数等以及它 们各自的变化区间； 2•列方程。
可以在合理假设的前提下，禾U 用导数表示斜率、速度、变化率的实际意义， 根据一些基本定理（几何的、物理的、化学的或生物学的等等）或规律，找出未知函数的导 数（或微分）与相关各量之间的等量关系式，建立微分方程并确定定解条件（注：如果没有 现成的定理可供利用，也可以用微元分析法与模拟近似法列出微分方程）；3.解微分方程；4•对模型的适用性作出评价，即用已知的数据检验微分方程的解是否与实际相符。
若结 果与实际存在一定的差距，则还要对方程进行修正和调整，直到得出较满意的结果为止。
下面，我们就通过一些实例说明微分方程建模的具体步骤。
一. 增长模型在自然界和社会的经济活动中，许多量的变化都遵循着一个基本的规律： 任一单位时间的增量都与该量自身当时的大小成正比。
运用这一基本规律，就可以建立起各种各样的增长模型。
1. 马尔萨斯人口模型严格地讲，讨论人口问题所建立的模型应属于离散型模型。
但在人口基数很大的情况下，突然增加或减少的只是单一的个体或少数几个个体，相对于全体数量而言， 这种改变量是极其微小的，因此，我们可以近似地假设人口随时间连续变化甚至是可微的。
这样，我们就可以采用微分方程的工具来研究这一问题。
最早研究人口问题的是英国的经济系家马尔萨斯 （Malthus ） （ 1766—1834）。
他根据百余年的人口资料，经过潜心研究，在1798年发表的《人口论》中首先提出了人口增长模型。
他的基本假设是：任一单位时刻人口的增长量与当时的人口总数成正比， 且比例系数为常数。
于是，设t 时刻的人口总数为 y （t ），则单位时间人口的增长量即为y(t t) y(t)t令t 0 ,可得微分方程根据基本假设，有y(t t) y(t)r y(t)（r 为比例系数）dy dt这就是著名的马尔萨斯人口方程。
微分方程建模学习
微分方程建模一般说来，微分方程建模的方法大致可以分为以下的几个步骤：1.根据实际问题的要求确定要研究的量，包括自变量、未知函数、必要的参数等以及它们各自的变化区间；2.列方程。
可以在合理假设的前提下，利用导数表示斜率、速度、变化率的实际意义，根据一些基本定理（几何的、物理的、化学的或生物学的等等）或规律，找出未知函数的导数（或微分）与相关各量之间的等量关系式，建立微分方程并确定定解条件（注：如果没有现成的定理可供利用，也可以用微元分析法与模拟近似法列出微分方程）；3.解微分方程；4.对模型的适用性作出评价，即用已知的数据检验微分方程的解是否与实际相符。
若结果与实际存在一定的差距，则还要对方程进行修正和调整，直到得出较满意的结果为止。
下面，我们就通过一些实例说明微分方程建模的具体步骤。
一.增长模型在自然界和社会的经济活动中，许多量的变化都遵循着一个基本的规律：任一单位时间的增量都与该量自身当时的大小成正比。
运用这一基本规律，就可以建立起各种各样的增长模型。
1.马尔萨斯人口模型严格地讲，讨论人口问题所建立的模型应属于离散型模型。
但在人口基数很大的情况下，突然增加或减少的只是单一的个体或少数几个个体，相对于全体数量而言，这种改变量是极其微小的，因此，我们可以近似地假设人口随时间连续变化甚至是可微的。
这样，我们就可以采用微分方程的工具来研究这一问题。
最早研究人口问题的是英国的经济系家马尔萨斯(Malthus )（1766—1834）。
他根据百余年的人口资料，经过潜心研究，在1798年发表的《人口论》中首先提出了人口增长模型。
他的基本假设是：任一单位时刻人口的增长量与当时的人口总数成正比，且比例系数为常数。
于是，设t 时刻的人口总数为)(t y ，则单位时间人口的增长量即为tt y t t y ∆-∆+)()( 根据基本假设，有tt y t t y ∆-∆+)()()(t y r ⋅= （r 为比例系数） 令0→∆t ，可得微分方程y r dtdy ⋅= （4.1） 这就是著名的马尔萨斯人口方程。
微分方程方法建模
运动消耗量/天=69(J/kg.d) ×w(t)(kg) w (t t ) w (t ) w 体重的变化/天= ( kg / d ) t t 在上述描述中，等式两边的单位是不相匹配 的，下面公式将两个单位换算成统一形式： J /d 1kg / d 41868 J / kg 建模 由上面分析，体重w(t)满足下面关系式
记号: 在表达微分方程时，用字母 D 表示求微分，D2、 D3 等表示求高阶微分.任何 D 后所跟的字母为因变量，自 变量可以指定或由系统规则选定为确省. 例如，微分方程
例1
解
d y dx
2
2
2
0 应表达为：D2y=0.
求
du dt
1 u
的通解.
输入命令：u=dsolve('Du=1+u^2','t')
化是由什么因素引起的，每天体重的变化满 足下面 关系： 体重的变化=输入-输出 输入=扣除基本的新陈代谢之后的净吸收量 输出=进行健身训练时的消耗量 为考虑导数，连续函数w(t)的瞬时变化满足 下面关系式： 体重的变化/天=净吸收量/天-运动消耗量/天 其中 净吸收量/天=10467-5038=5429(J/d)
建立模型
若开始时草地是干燥的，即Q(0)=0.降雨速 度为常数r m/s,下雨持续c小时后，草地积 了hcm高的水量。 在下雨时草地的水量的改变只是由水的流 入量(降水)与流出量(渗入)所引起的；停雨 后，草地水量的改变是由流出量(渗入，蒸 发)引起的。由此本模型遵循下面的模式 草地积水量的改变量=流入量-流出量
10 5 10 3 Q ( t ), 0 t 1800 dQ 3 4 dt 10 Q ( t ) 5 10 Q ( t ), t 1800 当 0 t 1800时 ， 有 解 得 Q(t)=0.01(1-e dQ dt 10
微分方程建模的若干问题讲稿.ppt
完所需的时间。
A
B
提示：开始时，牛奶可分成两部分，上部近似于一 个斜椭圆柱，其底面积近似于一个面积为 S0 的椭圆； 下部近似于一个底面积为椭圆 S0 的斜椭圆 锥 。
参考答案 T ≈ 27.7 秒 。
• 导弹拦截轨道模型
一枚战略导弹从原点以速度 a 沿 y 轴方向直线射出，（1）与此同 时， 另一枚拦截导弹 从（c , 0）点以速度 b（b > a）追踪射出。 求出拦截导弹的拦截轨道和击落战略导弹所需时间。 (2) 如果拦截导弹滞后于战略导弹时刻 T0 发出 ，建立这时的轨线 模型, 再求出这种情况下拦截导弹击落战略导弹所需时间。
乘以该小段长度 ∆x
因为根据假设，在单位时间内单位长度废物排出量与 薄膜两侧的废物浓度成正比 ，
故在单位时间内单位长度废物排出量 = λ[ u ( x ) – v ( x ) ] ( g / s cm )
于是有：
ku ∙ [ u ( x ) - u ( x + ∆x ) ] = λ[ u ( x ) – v ( x ) ] ∙ ∆x 对人工膜一侧有类似的结论 : 在单位时间内 血管中废物增加量 = 血管中废物进入量 ( g / s ) 等式左端 = kv • [ v ( x ) - v ( x + ∆x ) ] 等式右端 = λ[ u ( x ) – v ( x ) ] ∙ ∆x kv ∙ [ v ( x ) - v ( x + ∆x ) ] = λ[ u ( x ) – v ( x ) ] ∙ ∆x
t x l1
q( x, t ),
l1 x l
在 x = μt 处 ，点燃的烟草在单位时间内放出的毒物量
记为 H(t) , 则有
q(t,t) a H(t) a w(t,t)
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1 问题的提出
人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一， 一些发展中国家的人口出生率过高，越来越威胁着 人类的正常生活，有些发达国家的自然增长率趋于 零，甚至变为负数，造成劳动力紧缺，也是不容忽 视的问题。另外，在科学技术和生产力飞速发展的 推动下，世界人口以空前的规模增长，统计数据显 示：
年 1625 1830 1930 10 20 1960 30 1974 40 1987 1999 50 60
* 0
为两个平衡点．
现在考虑最大捕捞量问题．
N )N 设 h1 ( N ) r (1 Nm
h2 ( N ) kN 则 dN h1 ( N ) h2 ( N )
dt
将抛物线 h1 ( N ) 与直线 h2 ( N ) 描在同一坐标系内．当
h1 ( N ) = h2 ( N ) 时种群数量N达到最大值．
人口（亿）5
可以看出，人口每增长十亿的时间，由一百 年缩短为十二三年。我们赖以生存的地球，已经带 着它的60亿子民踏入了21世纪。 长期以来，人类的繁衍一直在自发地进行着。 只是由于人口数量的迅速膨胀和环境质量的急剧恶 化，人们才猛然醒悟，开始研究人类和自然的关系， 人口数量的变化规律，以及如何进行人口控制等问 题。
1、建模步骤
1、翻译或转化： 在实际问题中许多表示导数的常用词，如“速率”、‘增长”(在生物 学以及人口问题研究中)，“衰变”(在放射性问题中)，以及“边际的”(在 经济学中)等． 2、建立瞬时表达式： 根据自变量有微小改变△t时，因变量的增量△W，建立起在时段△t dw 的表达式． 上的增量表达式，令△t →0，即得到 dt 3、配备物理单位： 在建模中应注意每一顷采用同样的物理单位． 4、确定条件：
dx 2x 2x 0.03 dx 0.03dt dt dt 100 t 100 t
2x dx 0.03， 100 t dt x (0) 10 ,
9 104 x(t ) 0.01(100 t ) (100 t ) 2
x(t ) 9 104 p(t ) 0.01 100 t (100 t ) 3
讨论：如果设V=10000立方米，r=0.3立方米/分钟， K=1500立方米/分钟，m=0.04%，x0=0.12%。试问： （1）需多少分钟后，车间空气中含CO2的百分比低于 0.08%? （2）车间空气中含CO2的百分比最多只能降到多少？
冷却问题
问题的提出：一碗放在房间桌面上的热汤， 它的温度会怎样变化呢？我们知道汤会冷却，但 作为时间的函数时，一般的温度曲线是什么样子 的呢？ 模型假设：（1）设汤的摄氏度T是关于时间t的可微函 数，适当选择t的单位，在t=0时开始测量；（2）假设 环境介质体积足够大以至于汤的热量对环境温度几乎 没有影响；（3）设环境温度为Tm。
这个模型称为Logistic模型，其结果 经过计算发现与实际情况比较吻合。
图：
N
Nm
N0
0
t
阻滞增长模型(Logistic模型)
dx rx dt
dx/dt
dx x r ( x) x rx(1 ) dt xm
x xm xm/2 x0
0
xm/2
xm x
x (t )
xm xm 1 ( 1)e rt x0
t T Kx( s)ds V [ x(t t ) x(t )] ( Km r )t t x(0) x0
于是，令 t 0 得
dx a bx, dt x ( 0) x 0 t0
Km r K a ,b 其中， 解为 V V a a bt x(t ) ( x0 )e b b
车间空气的清 洁
分析和建模
设t时刻（单位为分钟）车间每立方米空气 含CO2的百分比为x(t)%,考虑时间区间 [t , t t ] 并利用质量守恒定律： [t , t t ] 内车间空气含CO2量的“增加”等于 [t , t t ] 时间内进入的新鲜空气中含CO2的量加 上机器产生的CO2的量减去排出空气中CO2的量。 用数学公式表示出来就是
1、“每天”：体重的变化＝输入一输出 其中输入指扣除了基本新陈代谢之后的净重量 吸收；输出是进行健身训练时的消耗(WPE)． 2、上述陈述更好的表示结构式： 体重的变化／天=净吸收量／天一WPE／天 其中： 净吸收量／天＝10467 – 5038 ＝5429（焦／天) 净输出量／天＝69(焦／公斤· 天)×W／(公斤) ＝69W(焦／天) dw w 3、体重的变化／天＝ t (公斤／天) t 0 dt
r=0.2557, xm=392.1 专家估计
阻滞增长模型(Logistic模型)
模型检验
用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较
x(2000 ) x(1990 ) x x(1990 ) rx(1990 )[1 x(1990 ) / xm ]
实际为281.4 (百万) 模型应用——预报美国2010年的人口 加入2000年人口数据后重新估计模型参数 r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0
建立容器中浓度与时间关系的数学模型。
模型的建立
参数设定：设容器中溶液溶质的质量为x(t)，原 来的初始质量为x0，t＝0时溶液的体 积为v0。 在△t的时间间隔内，容器内溶质的改变量： 其中c1：输入溶液浓度， c2：t时刻溶液浓度
模型：
适用范围： 气体、液体、固体
溶液混合问题
例: 设一容器内原有100L盐水,内含 有盐10kg,现以3L/min的速度注入 质量浓度为0.01kg/L的淡盐水,同时 以2L/min的速度抽出混合均匀的盐 水,求容器内盐量变化的数学模型.
我国是世界第一人口大国，地球上每九 个人中就有二个中国人，在20世纪的一段 时间内我国人口的增长速度过快，如下表：
年 1908 1933 4.7 1953 6.0 1964 7.2 1982 10.3 1990 11.3 2000 12.95 人口（亿）3.0
有效地控制人口的增长，不仅是使我国全面进 入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的社 会主义国家的需要，而且对于全人类社会的美好理 想来说，也是我们义不容辞的责任。
x(2000 ) 274.5
Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)
捕鱼问题
渔场（鱼池）养鱼，一般是要求池中鱼数量稳定的前 提下，达到最大捕获量或最优的经济效益． 设在有捕捞的情况下， 时刻渔场中的鱼量为 N (t ) ，
渔场饱和数量为 N m ； 再设没有资源限制下鱼群个体的平均增长率为
Km r x0 ( Km r ) V t e K K
K
这就是t时刻空气中含CO2的百分比。 通常 Km r x 0 否则含CO 的量只会增加。 2 K
令t
得
Km r lim x(t ) % t K
这表明车间空气中含CO2的量最多只能降到
Km r % K
兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加 战斗力与射击次数及命中率有关
建模思路和方法为用数学模型讨论社会 领域的实际问题提供了可借鉴的示例
一般模型
模型 假设
x(t) ~甲方兵力，y(t) ~乙方兵力
• 每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力
• 每方非战斗减员率与本方兵力成正比
• 甲乙双方的增援率为u(t), v(t)
盐量和时间t的关系 溶液浓度和t的关系
问题：已知一个车间体积为V立方米，其中有一台 机器每分钟能产生r立方米的二氧化碳（CO2），为清 洁车间里的空气，降低空气中的CO2含量，用一台风量 为K立方米/分钟的鼓风机通入含CO2为m%的新鲜空气来 降低车间里的空气的CO2含量。假定通入的新鲜空气能 与原空气迅速地均匀混合，并以相同的风量排出车间。 又设鼓风机开始工作时车间空气中含x0%的CO2.问经过 t时刻后，车间空气中含百分之几的CO2?最多能把车间 空气中CO2的百分比降到多少？
认识人口数量的变化规律，建立人口模型， 作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前 提，下面介绍两个最基本的人口模型。
2. 模型1 (Malthus模型) 18世纪末，英国人Malthus在研究了百余年的 人口统计资料后认为，在人口自然增长的过程中， 净相对增长率（出生率减去死亡率为净增长率） 是常数。
这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界上的信息，它们独立于
微分方程而成立，用以确定有关的常数。为了完整充分地给出问题的数 学陈述，应将这些给定的条件和微1：某人的食量是10467焦／天，其中5038焦／ 天，用于基本的新陈代谢(即自动消耗)。在 健身训练中，他所消耗的热量大约是69焦／ 公斤.天乘以他的体重 (公斤)．假设以脂肪形 式贮藏的热量100%地有效，而1公斤脂肪台 热量41868焦。试研究此人的体重随时间变 化的规律．
这个模型可以与19世纪以前欧洲一些地区的 人口统计数据很好地吻合，但是当后来人们用它 与19世纪的人口资料比较时，却发现了相当大的 差异。人们还发现，迁往加拿大的法国移民后代 的人口比较符合指数增长模型。而同一血统的法 国本土居民人口的增长却与指数模型大相径庭。
2.5 模型修改
分析表明，以上这些现象的主要原因是随着 人口的增长，自然资源，环境条件等因素对人口 增长的限制作用越来越显著。人口较少时，人口 的自然增长率基本上是常数，而当人口增加到一 定数量以后，这个增长率就要随着人口的增加而 减少。因此，我们将对指数模型关于净相对增长 率是常数的基本假设进行修改。
单位匹配
建立表达式
3、 一个考古问题
（1）问题分析与模型的建立
1、
（2）解
（3）一个事实
（1）问题分析
（2）模型建立
1、要注意体积：
2、模型：
3、解： 4、流完的时间：