初一数学平行线的判定

年级七年级学科数学版本通用版

课程标题平行线的判定

一、三线八角图析（同位角、内错角、同旁内角）

1. 同位角：在两直线被第三条直线所截，构成的八个角中，位于两被截线同一方、且在截线同一侧的两个角，叫做同位角。

上图中，同位角有4对：

∠1和∠2,∠3和∠4,∠5和∠6,∠7和∠8

2. 内错角：在两直线被第三条直线所截，构成的八个角中，位于两被截线的内部,且在第三直线的两侧的两个角,叫做内错角。

上图中，内错角有2对：

∠4和∠5，∠2和∠7

3. 同旁内角：在两直线被第三条直线所截，构成的八个角中，位于两被截线的内部,

且在第三直线的同旁的两个角,叫做同旁内角。

上图中，同旁内角有2对：

∠4和∠7，∠2和∠5

技巧归纳：同位角是F形状；

内错角是Z形状;

同旁内角是U形状。

二、平行线的判定方法

如（1）如图，下列条件不能判定直线a∥b的是（）

A. ∠1=∠2

B. ∠1=∠3

C. ∠1+∠4=180°

D. ∠2+∠4=180°

解：A. ∵∠1=∠2，∴a∥b（内错角相等，两直线平行）；

B. ∵∠1=∠3，∴a∥b（同位角相等，两直线平行）；

C. ∠1+∠4=180°与a、b的位置无关；

D. ∵∠2+∠4=180°，∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）。

故选C。

（2）图中有直线L截两直线L1、L2后所形成的八个角。由下列哪一个选项中的条件可判断L1∥L2（）

A. ∠2+∠4=180°

B. ∠3+∠8=180°

C. ∠5+∠6=180°

D. ∠7+∠8=180°

解：∵∠3+∠8=180°，而∠4+∠8=180°，

∴∠3=∠4，

∴L1∥L2。（内错角相等，两直线平行）。

故选B。

（3）如图，下列条件中能判定直线l1∥l2的是（）

A. ∠1=∠2

B. ∠1=∠5

C. ∠1+∠3=180°

D. ∠3=∠5

解：A. 根据∠1=∠2不能推出l1∥l2，故本选项错误；

B. ∵∠5=∠3，∠1=∠5，

∴∠1=∠3，

即根据∠1=∠5不能推出l1∥l2，故本选项错误；

C. ∵∠1+∠3=180°，

∴l1∥l2（同旁内角互补，两直线平行），故本选项正确；

D. 根据∠3=∠5不能推出l1∥l2，故本选项错误；

故选C。

例题1 如图，在△ABC中，D、E、F分别在AB、BC、AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，只需满足下列条件中的（）

A. ∠1=∠2

B. ∠2=∠AFD

C. ∠1=∠AFD

D. ∠1=∠DFE

解析：要使DF∥BC，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角，选项中∠1=∠DFE，根据已知条件可得∠1=∠2，所以∠DFE=∠2，满足关于DF、BC的内错角相等，则DF∥BC。

解：∵EF∥AB，∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）。∵∠1=∠DFE，

∴∠2=∠DFE（等量代换），∴DF∥BC（内错角相等，两直线平行），所以只需满足下列条件中的∠1=∠DFE，故选D。

答案：D

点拨：解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角。本题是一道探索性条件开放性题目，其中牵涉“等量代换”这一解题思想，能有效地培养学生“执果索因”的思维方式与能力。

例题2 如图所示，已知直线AB、CD被直线EF所截，如果∠BMN=∠DNF，∠1=∠2，那么MQ∥NP。为什么？

解析：由已知结合等式的性质，可得∠PNF=∠QMN，根据同位角相等，两直线平行可得MQ∥NP。

答案：证明：∵∠BMN=∠DNF，∠1=∠2（已知），∴∠BMN+∠1=∠DNF+∠2，即∠QMN=∠PNF ∴MQ∥NP（同位角相等，两直线平行）。

点拨：正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行。

例题3 如图所示，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠2。

（1）AB与CD平行吗？为什么？

（2）DF与AE平行吗？为什么？

解析：（1）根据垂直定义得出∠CDA=∠BAD=90°，根据平行线的判定推出即可；

（2）根据垂直定义得出∠CDA=∠BAD=90°，推出∠3=∠4，根据平行线的判定推出即可。

答案：解：（1）AB∥CD。理由是：∵CD⊥DA，DA⊥AB，∴∠CDA=∠BAD=90°，∴CD∥AB；（2）DF∥AE，理由是：由（1）知，∠2+∠3=90゜，∠1+∠4=90゜，∵∠1=∠2，∴∠3=∠4，∴DF∥AE。

点拨：灵活选用平行线的判定的应用，以及等式的性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是解题的首要条件。

正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行。找准第三条直线，如果两个角不是被同一条直线所截得到的，那一定不是同位角、内错角或同旁内角。

满分训练如图，A、B、C和D、E、F分别在同一条直线上，且∠D=∠C，∠1=∠3 求证：∠A=∠F（要求：写出证明过程中的主要依据）

错解:证明：∵∠C=∠D，

∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行），

∴∠A=∠F（两直线平行，内错角相等）。

错解分析：

错解的错误在于没正确识别“三线八角”中的内错角，以致误用平行线的判定定理。

正解：

证明：∵∠1=∠3，

∴DB∥CE（同位角相等，两直线平行），

∴∠C=∠DBA（两直线平行，同位角相等），

∵∠C=∠D，

∴∠D=∠DBA（等量代换），

∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行），

∴∠A=∠F（两直线平行，内错角相等）。