假设检验的类型
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因为方差分析用两个方差的估计值的比F作单侧检验，所以这种方法又称F 检验。检验用F分布进行。
一、方差分析
2.步骤 （1）建立方差分析的数学模型；
（2）确定各个总体是否服从正态分布，且具有相等的方差 2 ；
（3）建立检验用的原假设和备择假设，给出显著水平； （4）计算总体方差的估计值和统计量F； （5）根据F做出判断。
①观察对象来自所研究因素的各个水平之下的独立随机抽样； 独立性 ②每个水平下的样本都取自正态分布的总体； 正态性
③各个总体有相同的方差 2。 方差齐性
一、方差分析
1.原理 （3）基本原理
假定容量为n的k个样本取自同一总体。用k个样本的方差估计总体的方差； 用全体k个样本的所有元素作为一个样本（样本和），并依此估算总体的方差 ，如果“原假设”成立，这两个估计值应该十分接近，如果这两个估计值相差很 大，这k个样本就不可能都取自同一个总体。
一问题则属于单因素分析的多重比较问题。 具体检验过程如下：
（1）做假设 原 假 设 H0 ：µ1=µ2=µ3 备择假设H1：µ1、µ2、µ3不全相等
注意： 是“不全相等”，而非 “全不相等”
一、方差分析
（2）计算样本平均值
x甲 63，x乙 78，x丙 89
计算所有受测学生数学最终成绩的平均值：
1.基本原理 在两个样本取自同一总体的假设下，具备某一特性的元素在样本中所含
比例和在总体中所占比例就应该相同。 用特殊元素在样本集合的“和”中所占比值估算其在总体中所占比例，再作
为期望比例计算各样本中的期望值。最后计算反映样本比和期望比关系的 2
及与对应的 2 单尾概率函数（或查 2分布表） ，并检验是否接受原假设。
一、方差分析
2）数据说明
表 教师及部分学生的成绩
教师
甲
65
乙
85
丙
85
成绩
55
65
75
55
70
80
90
65
75
75
90
100
一、方差分析
3）解题思路
这里研究学生数学的最终成绩是否具有显著的差异。这里很容易想到在
进行多个总体比较时经常采用的方法——方差分析。在分析最终成绩时只考 虑一个因素：教师，因此属于单因素方差分析。除此之外，研究目的中的后
一、方差分析
3.实例 1）研究目的
为了研究学生学习数学的成绩是否受教师教学水平的影响，现将一个数 学提高班的学生分成三个小班，分别由甲、乙、丙三位教师任教。三个班各 随机抽取五个学生的最终成绩见表。假定三个学生的最终成绩服从正态分布 ，试问三个班学生的最终成绩是否存在显著的差异？如果有差异，应推举哪 位教师担任此班教学使教学效果最好（α=0.05）？
实际 支持 人数
期望支 持人数
（2）计算检验统计量
2 ( f0 fe)2
fe
本例 2 0.83279
（3）原 假 设 H0 ：p1=p2=p3 备择假设H1：p1、p2、p3不全相等 其中pi(i=1,2,3)是三个样本中支持该计划人数的比。 显著性水平α=0.10
二、 2 检验
（4）一个样本有两组观察值（支持者和反对者），一共三个样本，自由度为：
那么三者平均得到的样本间方差也应是总体方差的一个好的估计值。所以当F
越接近1，就越倾向于接受原假设，反之，F越远离1，就越倾向于拒绝原假设
。实际检验时并不简单用1做标准。
一、方差分析
（5）检验假设 对于给定的α=0.05，查F分布表得：F0.05(2，4)=6.94 其中K-1=2是分子的自由度，n-1=4是分母的自由度。 因F=9.46>6.94，落在拒绝区域内，即拒绝原假设，认为三个班学生的最
二、 2 检验
2.实例
某集团股份有限公司管理层为调动员工的积极性，提出了一份员工持股
计划，因涉及各方利益，为稳妥起见，决定从工人、一般管理人员和中高层
管理人员这三大利益主体中按比例随机抽取300人进行调查，了解对计划的支 持情况，得到的调查，见表2-1。
表2-1 员工持股计划调查表
利益主体
工人
一般管理人员 中高层管理人员
终成绩的确存在显著差异。 此外，由计算三位老师教授数学的平均成绩知，甲老师的平均成绩最低
，所以推荐乙或丙担任此班教学效果更好。
二、 2 检验
应用背景：
2 检验是在不要求每个总体服从正态分布的情况下，判断多个样本之
间是否存在显著差异的一种检验方法。
二、 2 检验
利益主体
表2-2 计算的中间结果
工人 一般管理人员 中高层管理人员 合计
支持人数（频数）f0 样本容量
支持者所占比例 期望比例
期望人数（已取整）fe
120 230 0.5217 0.53 122
32 60 0.5333 0.53 32
7
159
10
300
0.7
0.53
0.53
0.53
5
159
二、 2 检验
④总体方差的第二个估计值是：
2
2
s
2 甲
s
2 乙
s
2 丙
3
90
一、方差分析
随机变异 处理因素导致的变异
（4）计算F值： F
样本间方差 样本内方差
2
随机变异
在本例中：
F
1
2
2
851 .675 90
9.46
根据假设（三个样本取自同一总体），F值的分母是总体方差的一个较好
的估计值；对F值的分子做这样的分析：如果三位老师的授课效果是一样的，
1 x ( x甲 x乙 x丙 ) 76.7
3
（3）计算方差
如果三位教师教学效果相同，即三个样本取自同一总体。设此总体的方
差为 2
①计算样本间方差：s 2 ( x x ) 2
x
k 1
本例样本数k为3，有：sx2
(x x)2 k 1
170.335
一、方差分析
②计算总体方差的估计值：
由公式 x
n
得到
2
n 2 x
，其中 2是样本均值之间的方差，在 x
此以S 2 替代。总体方差的第一个估计值是：
x
2
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
nS 2 x
5170.335 851.675
③计算样本内方差：
目的是以样本内方差为基础，确定总体方差第二个估计。计算公式是：
s2 (x x)2 n 1
本例结果： s甲2 70，s乙2 107 .5，s丙2 92.5
合计
支持
120
32
7
159
反对
110
28
3
141
合计
230
60
10
300
问：这三大利益主体对该计划的态度是否一致？（α=0.10）
二、 2 检验
（1）计算期望值
计算各样本中支持人数所占比例，假定三个样本来自同一总体，计算支
持者人数所占比例的期望值，并依此期望比例计算各个样本的期望人数（见
表2-2）
（2-1）×（3-1）=2
查 2分布表得
2 0.10
(2)
4.605
（5）结论：
由于 2
0.83279
2 0.10
(2)
4.605
，落在接受域内，即接受原假设，认
为这三大利益主体对该计划的支持态度是一致的。
谢谢大家！
假设检验的类型
——方差分析 & 2检验
一、方差分析 1.原理 2.步骤 3.实例
二、 2 检验
1.原理 2.实例
目录
一、方差分析
1.原理 （1）应用背景
在许多实际问题的统计分析中，我们不仅要讨论两个总体均值相等的假 设检验问题，而且还要讨论两个以上总体的均值是否相等的假设检验问题， 在这种情况下，我们就选择方差分析的方法来检验这些样本的平均数差异的 显著程度。 （2）应用条件（运用方差分析方法需要满足的假定）
一、方差分析
2.步骤 （1）建立方差分析的数学模型；
（2）确定各个总体是否服从正态分布，且具有相等的方差 2 ；
（3）建立检验用的原假设和备择假设，给出显著水平； （4）计算总体方差的估计值和统计量F； （5）根据F做出判断。
①观察对象来自所研究因素的各个水平之下的独立随机抽样； 独立性 ②每个水平下的样本都取自正态分布的总体； 正态性
③各个总体有相同的方差 2。 方差齐性
一、方差分析
1.原理 （3）基本原理
假定容量为n的k个样本取自同一总体。用k个样本的方差估计总体的方差； 用全体k个样本的所有元素作为一个样本（样本和），并依此估算总体的方差 ，如果“原假设”成立，这两个估计值应该十分接近，如果这两个估计值相差很 大，这k个样本就不可能都取自同一个总体。
一问题则属于单因素分析的多重比较问题。 具体检验过程如下：
（1）做假设 原 假 设 H0 ：µ1=µ2=µ3 备择假设H1：µ1、µ2、µ3不全相等
注意： 是“不全相等”，而非 “全不相等”
一、方差分析
（2）计算样本平均值
x甲 63，x乙 78，x丙 89
计算所有受测学生数学最终成绩的平均值：
1.基本原理 在两个样本取自同一总体的假设下，具备某一特性的元素在样本中所含
比例和在总体中所占比例就应该相同。 用特殊元素在样本集合的“和”中所占比值估算其在总体中所占比例，再作
为期望比例计算各样本中的期望值。最后计算反映样本比和期望比关系的 2
及与对应的 2 单尾概率函数（或查 2分布表） ，并检验是否接受原假设。
一、方差分析
2）数据说明
表 教师及部分学生的成绩
教师
甲
65
乙
85
丙
85
成绩
55
65
75
55
70
80
90
65
75
75
90
100
一、方差分析
3）解题思路
这里研究学生数学的最终成绩是否具有显著的差异。这里很容易想到在
进行多个总体比较时经常采用的方法——方差分析。在分析最终成绩时只考 虑一个因素：教师，因此属于单因素方差分析。除此之外，研究目的中的后
一、方差分析
3.实例 1）研究目的
为了研究学生学习数学的成绩是否受教师教学水平的影响，现将一个数 学提高班的学生分成三个小班，分别由甲、乙、丙三位教师任教。三个班各 随机抽取五个学生的最终成绩见表。假定三个学生的最终成绩服从正态分布 ，试问三个班学生的最终成绩是否存在显著的差异？如果有差异，应推举哪 位教师担任此班教学使教学效果最好（α=0.05）？
实际 支持 人数
期望支 持人数
（2）计算检验统计量
2 ( f0 fe)2
fe
本例 2 0.83279
（3）原 假 设 H0 ：p1=p2=p3 备择假设H1：p1、p2、p3不全相等 其中pi(i=1,2,3)是三个样本中支持该计划人数的比。 显著性水平α=0.10
二、 2 检验
（4）一个样本有两组观察值（支持者和反对者），一共三个样本，自由度为：
那么三者平均得到的样本间方差也应是总体方差的一个好的估计值。所以当F
越接近1，就越倾向于接受原假设，反之，F越远离1，就越倾向于拒绝原假设
。实际检验时并不简单用1做标准。
一、方差分析
（5）检验假设 对于给定的α=0.05，查F分布表得：F0.05(2，4)=6.94 其中K-1=2是分子的自由度，n-1=4是分母的自由度。 因F=9.46>6.94，落在拒绝区域内，即拒绝原假设，认为三个班学生的最
二、 2 检验
2.实例
某集团股份有限公司管理层为调动员工的积极性，提出了一份员工持股
计划，因涉及各方利益，为稳妥起见，决定从工人、一般管理人员和中高层
管理人员这三大利益主体中按比例随机抽取300人进行调查，了解对计划的支 持情况，得到的调查，见表2-1。
表2-1 员工持股计划调查表
利益主体
工人
一般管理人员 中高层管理人员
终成绩的确存在显著差异。 此外，由计算三位老师教授数学的平均成绩知，甲老师的平均成绩最低
，所以推荐乙或丙担任此班教学效果更好。
二、 2 检验
应用背景：
2 检验是在不要求每个总体服从正态分布的情况下，判断多个样本之
间是否存在显著差异的一种检验方法。
二、 2 检验
利益主体
表2-2 计算的中间结果
工人 一般管理人员 中高层管理人员 合计
支持人数（频数）f0 样本容量
支持者所占比例 期望比例
期望人数（已取整）fe
120 230 0.5217 0.53 122
32 60 0.5333 0.53 32
7
159
10
300
0.7
0.53
0.53
0.53
5
159
二、 2 检验
④总体方差的第二个估计值是：
2
2
s
2 甲
s
2 乙
s
2 丙
3
90
一、方差分析
随机变异 处理因素导致的变异
（4）计算F值： F
样本间方差 样本内方差
2
随机变异
在本例中：
F
1
2
2
851 .675 90
9.46
根据假设（三个样本取自同一总体），F值的分母是总体方差的一个较好
的估计值；对F值的分子做这样的分析：如果三位老师的授课效果是一样的，
1 x ( x甲 x乙 x丙 ) 76.7
3
（3）计算方差
如果三位教师教学效果相同，即三个样本取自同一总体。设此总体的方
差为 2
①计算样本间方差：s 2 ( x x ) 2
x
k 1
本例样本数k为3，有：sx2
(x x)2 k 1
170.335
一、方差分析
②计算总体方差的估计值：
由公式 x
n
得到
2
n 2 x
，其中 2是样本均值之间的方差，在 x
此以S 2 替代。总体方差的第一个估计值是：
x
2
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
nS 2 x
5170.335 851.675
③计算样本内方差：
目的是以样本内方差为基础，确定总体方差第二个估计。计算公式是：
s2 (x x)2 n 1
本例结果： s甲2 70，s乙2 107 .5，s丙2 92.5
合计
支持
120
32
7
159
反对
110
28
3
141
合计
230
60
10
300
问：这三大利益主体对该计划的态度是否一致？（α=0.10）
二、 2 检验
（1）计算期望值
计算各样本中支持人数所占比例，假定三个样本来自同一总体，计算支
持者人数所占比例的期望值，并依此期望比例计算各个样本的期望人数（见
表2-2）
（2-1）×（3-1）=2
查 2分布表得
2 0.10
(2)
4.605
（5）结论：
由于 2
0.83279
2 0.10
(2)
4.605
，落在接受域内，即接受原假设，认
为这三大利益主体对该计划的支持态度是一致的。
谢谢大家！
假设检验的类型
——方差分析 & 2检验
一、方差分析 1.原理 2.步骤 3.实例
二、 2 检验
1.原理 2.实例
目录
一、方差分析
1.原理 （1）应用背景
在许多实际问题的统计分析中，我们不仅要讨论两个总体均值相等的假 设检验问题，而且还要讨论两个以上总体的均值是否相等的假设检验问题， 在这种情况下，我们就选择方差分析的方法来检验这些样本的平均数差异的 显著程度。 （2）应用条件（运用方差分析方法需要满足的假定）