高一数学归纳法分析及解题步骤

高一数学归纳法分析及解题步骤

当我第一遍读一本好书的时候，我仿佛觉得找到了一个朋友;当我再一次读这本书的时候，仿佛又和老朋友重逢。我们要把读书当作一种乐趣，并自觉把读书和学习结合起来，做到博览、精思、熟读，更好地指导自己的学习，让自己不断成长。让我们一起到一起学习吧! 高一数学归纳法

《2.3数学归纳法》教学设计

青海湟川中学刘岩

一、【教材分析】

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2(人教A 版)》第二章第三节《2.3数学归纳法》。在之前的学习中，我们已经用不完全归纳法得出了许多结论，例如某些数列的通项公式，但它们的正确性还有待证明。因此，数学归纳法的学习是在合情推理的基础上，对归纳出来的与正整数有关的命题进行科学的证明，它将一个无穷的归纳过程转化为有限步骤的演绎过程。通过把猜想和证明结合起来，让学生认识数学的本质，把握数学的思维。本节课是数学归纳法的第一课时，主要让学生了解数学归纳法的原理，并能够用数学归纳法解决一些简单的与正整数有关的问题。

二、【学情分析】

我校的学生基础较好，思维活跃。学生在学习本节课新知的过程中可能存在两方面的困难：一是从骨牌游戏原理启发得到数学方法的

过程有困难;二是解题中如何正确使用数学归纳法，尤其是第二步中如何使用递推关系，可能出现问题。

三、【策略分析】

本节课中教师引导学生形成积极主动，勇于探究的学习精神，以及合作探究的学习方式;注重提高学生的数学思维能力;体验从实际生活理论实际应用的过程;采用教师引导学生探索相结合的教学方法，在教与学的和谐统一中，体现数学的价值，注重信息技术与数学课程的合理整合。

四、【教学目标】

(1)知识与技能目标：

①理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤;

②会用数学归纳法证明某些简单的与正整数有关的命题。

(2)过程与方法目标：

努力创设愉悦的课堂气氛，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围中，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会归纳递推的数学思想。

(3)情感态度与价值观目标：

通过本节课的教学，使学生领悟数学归纳法的思想，由生活实例，激发学生学习的热情，提高学生学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证，以及发现问题、提出问题，解决问题的数学能力。

五、【教学重难点】

教学重点：借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，能熟练运用它证明一些简单的与正整数n有关的数学命题;

教学难点：数学归纳法中递推关系的应用。

六、【教学方法与工具】

教法指导：本节课采用的教学方法是启、思、演、练、结五字教学法，即：以具体的例子引入课题，启发学生想去了解归纳法;通过提出问题、创设情景，引导学生积极思考;借助电脑的动画演示，提高直观性与趣味性，延长学生有意注意的时间;教学中，及时精选一些练习帮助学生巩固与强化知识，而结则包含两方面的内容(1)授课中教师的及时小结与点拨(2)听课时学生的自我小结与巩固。

学法指导：(1)学习要求：①课前预习教材中有关内容;②听课时积极思考大胆质疑;③课后及时完成课外作业。(2)指导措施：通过设置问题情景，激发学生大胆思考;由具体的事例吸引学生注意，通过直观模型演示，化抽象为具体，突破教学难点;借助电脑声像效果，营造愉悦课堂氛围，提高学习兴趣。

教学手段：多媒体辅助课堂教学。

一、教材内容解析

由于正整数无法穷尽的特点，有些关于正整数n的命题,难以对n 进行一一的验证，从而需要寻求一种新的推理方法，以便能通过有限的推理来证明无限的结论.这是数学归纳法产生的根源.

数学归纳法是一种证明与正整数n有关的命题的重要方法。它的独到之处便是运用有限个步骤就能证明无限多个对象，而实现这一目

的的工具就是递推思想。

设p(n)表示与正整数n有关的命题，证明主要有两个步骤：(1)证明p(1)为真;(2)证明若p(k)为真，则p(k+1)为真;有了这两步的保证,就可实现以下的无穷动态的递推过程：

P(1)真- P(2)真- P(3)真- - P(k)真- P(k+1)真-

因此得到对于任何正整数n，命题p(n)都为真.

数学归纳法的两个步骤中，第一步是证明的奠基，第二步是递推的依据，即验证由任意一个整数n过渡到下一个整数n+1时命题是否成立.这两个步骤都非常重要，缺一不可.第一步确定了n=1时命题成立，n=1成为后面递推的出发点，没有它递推成了无源之水;第二步确认了一种递推关系，借助它，命题成立的范围就能从1开始，向后面一个数一个数的无限传递到1以后的每一个正整数，从而完成证明.因些递推是实现从有限到无限飞跃的关键，没有它我们就只能停留在对有限情况的把握上.

在应用数学归纳法时，第一步中的起点1可以恰当偏移(如取k=n0)，那么由第二步，就可证明命题对n=n0以后的每个正整数都成立;而第二步的递推方式也可作灵活的变动，如跳跃式前进等，但必须保证第一步中必须含有实现第二步递推时的基础.

数学归纳法名为归纳法，实质上与归纳法毫无逻辑联系.按波利亚的说法这个名字是随便起的.[1]归纳法是一种以特殊化和类比为工具的推理方法，是重要的探索发现的手段，是一种似真结构;而数学归纳法是一种严格的证明方法，一种演绎法，它的实质是把无穷的三

段论纳入唯一的公式中(庞加莱)，它得到的结论是真实可靠的.在皮亚诺提出自然数公理后，数学归纳法以归纳公理为理论基础，得到了广泛的确认和应用.而自然数中的最小数原理，则从反面进一步说明了数学归纳法证题的可靠性.

数学归纳法虽不是归纳法，但它与归纳法有着一定程度的关联.在数学结论的发现过程中，往往先通过对大量个别事实的观察，通过归纳形成一般性的结论，最终利用数学归纳法的证明解决问题.因此可以说论断是以试验性的方式发现的，而论证就像是对归纳的一个数学补充[1]，即观察+归纳+证明=发现.

二、教学目标

1. 通过对具体问题的解决思路探寻，了解数学归纳法产生的根源及其无穷递推的本质，在此基础上归纳概括出数学归纳法证题的两个步骤.

2. 体会数学归纳法的思想，会用数学归纳法证明一些简单的恒等式.

3. 了解通过观察归纳证明来发现定理的基本思路.

三、教学问题诊断

认知基础：

(1) 对正整数的特点的感性认识;

(2) 对无穷的概念有一定的认识和兴趣;

(3) 在数列的学习中对递推思想有一定的体会;

(4) 在生活经验中接触到一些具有递推性质的事实;