工字钢强度验算

（3）求a、b两点的正应力
5830 cm4
ya

18 2

3

6cm;
yb
3cm.
a

M c ya z
3103 0.06 5830108 3.09MPa;
b

M c yb z

3103 0.03 5830108

1.54MPa;
(4)求C截面最大拉应力+max和最大压应力
(2)确定中性轴位置 和截面惯性矩：
查型钢表
IZ=1660cm4
(3)求D截面a、b两点的正应力：
ya

yb

180 2
10.7

79.3mm;
a

M D ya z

30103 79.3103 1660108

143.3MPa;
b 143.3MPa;
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Sz ＊—所求剪应力作用点处的横线以
下(或以上）的截面积A*对中性轴的面积矩。
矩形截面：
y1bdy

b (h2 24

y2 );
Iz

bh3 12
,
τ沿截面高度按 抛物线规律变化。


Q 2Iz
( h2 4

y2)

6Q bh3
(h2 4
第二节 梁横截面上的剪应力
一、矩形截面梁：
矩形截面梁任意截面上剪力Q 都与对称轴重合。对狭长横截面上 剪应力的分布规律可作两个假设：
(1)横截面上各点均与该面上Q 同向且平行；
(2)剪应力沿截面宽度均匀分布。
从梁微段中取窄条cdmn分析：
N1
A* 1dA
M Iz
Sz; N2

M
dM Iz

y 2 );
y
h ,
2
0; y
0, max
6Qh 2 4bh3

3 2
Q; bh
max

3 2
Q A

3;
2
（ 平均剪应力）
由剪切虎克定律τ＝Gγ，知剪应变 沿截面高度也按抛物线规律变化，引起 截面翘曲。但变形很小，可忽略不计。
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二、其它形状截面的剪应力：
My



zdA
0
E



zydA

0; —中性轴是截面的形心主轴。
Mz



ydA

M

E


y2dA
M

My
1 M ; —纯弯曲梁的 Ez 变形计算公式
z —纯弯曲梁横截面上任一点正应力计算公式
式中: Iz—截面对其中性轴的惯性矩； M—截面上的弯矩； y—所求正应力点到中性轴的距离。
凸边伸长, 凹边缩短； ③横截面相对于纵向伸长区域缩
短，纵向缩短区域伸长。 假设:①平面假设—变形前 后横
截面保持平面不变；
②单向受力假设—纵向纤维之间互不挤压仅伸长或缩短。
中性层—长度不变的纤维层； 中性轴—中性层与横截面的交线。
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二、正应力公式的推导： （一）变形几何关系：
1. 工字形截面梁： 工字形截面是由上、下翼缘及中间腹板组成的。
1)腹板上的剪应力：腹板为狭长矩形,承担截面绝大部分剪应力。 故中性轴处有最大剪应力
工字钢强度验算
第七章 梁的强度和刚度计算
梁的一般情况是横截面上同时 存在剪力和弯矩两种内力，称作剪 力（横力）弯曲。与此相应的截面 上任一点处有剪应力τ和正应力σ。 且剪应力τ只与剪力Q有关，正应力 σ只与弯矩M有关。
横截面上只有弯矩而没有剪力 的弯曲称作纯弯曲。
如图简支梁，AC、DB段为横 力弯曲；CD段为纯弯曲。
取梁微段dx考虑变形 几何关系，得应变规律：
S yd y ; dx d
当M>0时：y>0,ε>0，为受拉区；y<0,ε<0,为受压区。
（二）物理关系：
由假设2及虎克定律，梁横 截面上的正应力变化规律为：
E E y
此式表明：梁横截面上任一点的正应力，与该点距中性轴
（一般l/h>5为细长梁，其计算误差满足工程精度要求δ<5％。）
例7-1 图示悬臂梁。试求C截面上a、b两点的正应力和该截面最大拉、压应力。
解：（1）计算C截面的弯矩M
M c 2P 21.5 3KN m
（2）确定中性轴位置，并计算惯性矩
z

bh3 12
12 183 12
（z轴）的距离y成正比，而与该点距y轴的距离z无关。正应
力沿截面高度呈直线规律分布。中性层处y=0,σ＝0；上下边
缘处有ymax，故有σmax。
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（三）静力学关系：
纯弯曲梁上各点只有正应力，微面积dA上法
向合力dN=σdA。截面上各微内力形成沿X轴的空
间平行N 力 系d。可简0 化成E 三 y个d内力0 分—量中：性N轴xZ、必M通y、过M形z。心。
本章研究梁的应力和变形计算， 解决梁的强度和刚度计算问题。
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第一节 梁横截面上的正应力
为推导梁横截面上的正应力，考虑纯弯曲情况。
用三关系法：实验观察→平面假设； 几何关系→变形规律， 物理关系→应力规律， 静力学关系→应力公式。
一、实验观察与分析：
①横线仍为直线,但倾斜角度d； ②纵线由直变弯,仍与横线正交,
为避免符号错误，计算中各量以绝对值代入，σ符号依点 所处区域直接判断。（根据弯矩方向，中性轴将截面分为受 拉区和受压区；M>0,上压下拉；M<0，上拉下压。）
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正应力公式的使用范围：①纯弯曲梁；②弹性范围（σ≤σp）； ③平面弯曲（截面有对称轴，形状不限）；④细长梁的横力弯曲。
Sz;
dT 'bdx;
x 0, N1 N2 dT 0;
' dMSz , dM Q, ' ;
dxI zb dx
QS z ;
I zb
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矩形截面剪应力计算公式：


QS
* z
式中:Q—横截面上的剪力；
Izb
Iz—横截面对其中性轴的惯性矩； b—所求剪应力作用点处的截面宽度；
max
ymax
h 2

18 2

9cm;
max

M c ymax z

3103 9102 5830108

4.63MPa


m
ax;
（在截面上下边缘。）
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例7-2 18号工字钢制成的简支梁如图所示。试求D截面上a、b两 点处的正应力。
解：(1)求D截面的弯矩： MD=30kN.m