华杯赛小高近 真题 附详解 C

话：
甲：“丙、丁之中至少有 1 人捐了款”
乙：“丁、甲之中至多有 1 人捐了款”
丙：“你们 3 人中至少有 2 人捐了款”
丁：“你们 3 人中至多有 2 人捐了款”
已知这 4 位同学说的都是真话且其中恰有 2 位同学捐了款，那么这 2 位同学是（ ）．
来自百度文库
A．甲、乙
B．丙、丁
C．甲、丙
D．乙、丁
4. 六位同学数学考试的平均成绩是 92.5 分，他们的成绩是互不相同的整数，最高的 99 分，最低的 76 分，那么
D．16 2 3
2. 如图，有一排间距相等但高度不等的小树，树根成一条直线，树顶也成一条直线，这两条直线成 45 度角，
最高的小树高 2.8 米，最低的小树高1.4 米，那么从左向右数第 4 棵树的高度是（ ）米．
A． 2.6
B． 2.4
C． 2.2
D． 2.0
3. 春季开学后，有不少同学都将部分压岁钱捐给山区的贫困学生；事后，甲、乙、丙、丁 4 位同学有如下的对
2
第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题 C（小学高年级组）
第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题 C（小学高年级组）
答案解析
1.
【答案】 A
【解析】 原式
1 4
+
1 5
1 5
1+1+1 667
1 7
1 8
+
1 8
+
1 9
120
4 3
1 4
+
1 9
120
4 3
30+ 40 3
4 3
42 ．
ab
c
若最多的一行只有 2 个黑格，则 x 10 ，太小，不再讨论． 综上，为了不出现“黑色四格”，黑色格最多只能有 12 个；那么同理为了不出现“白色四格”，白色格最 多也只能有 12 个．可是共有 25 格，根据抽屉原理，这是不可能做到的． 6 6 的证法与 5 5 类似：若最多行 6 个，则剩余行最多 1 个， x 6 11111 1118 ；若最多行 5 个，则剩余行最多 2 个， x 5 2 2 2 2 2 15 18 ；若最多行 4 个，则第二多行最多 3 个，再一 行最多 2 个（还是以 a、b、c 区域的方法讨论）， x 4 3 2 2 2 2 15 18 ；若最多行 3 个，则每 一行都 3 个的答案看似可以，但实际行不通，原因是：一行 6 个格中选 2 个的方法有 C62 15 种，而一 行 3 个会占用其中的 C32 3种，6 行 18 种，根据抽屉原理，必然有某两行有相同的涂色对，会组成“黑 色四格”．可见任何一种涂色方式都有 x 18 ，故知无法涂成． 当 n 取更大的数时，证明方法将更为繁琐（例如 n 7 时可推出最大有 x 21 25 ，找组合数之和的最大 值是思路），这里不再赘述．本题答案为 B． 7. 【答案】 4123 【解析】 要做出本题不必将所有位置全填出来，只需分析中间两宫即可，如图：
5. 【答案】 B
【解析】连接 AH ， △AEH 的面积等于 △DEH 与 △BEH 面积差（一半模型）
△AEH △AEB △BEH △ABH △EDH ， △AEH 面积是 56 50 6 ，
而 △BHC 的面积等于 △AHC 的面积（等积变形），所以△CEH 是 40 6 34 ．
3月1 4 相 约 华杯
8. 整数 n 一共有 10 个约数，这些约数从小到大排列，第 8 个是 n ，那么整数 n 的最大值是________． 3
9. 在边长为 300 厘米的正方形中，如图放置了两个直角扇形和一个半圆，那么两块阴影部分的面积差是 ________平方厘米，两块阴影部分的周长差是________厘米．（ π 取 3.14 ）
4.
【答案】 B
【解析】六名同学总成绩是：92.5 6 555 ．第三名同学得分最少，第二名同学得分尽量多，98 分（比第一名少
1 分），第四名、第五名尽量和第三名差 1 分、2 分，所以三、四、五名的总分和是：555 99 98 76 282 ，
282 3 1 95 分．所以第三名至少 95 分．
2.
【答案】 C
【解析】小树间距相等，高度差也相等．图中 8 棵树，7 个间距，所以相邻两树的高度差为 (2.8 1.4) 7 0.2 米，
从左向右数的第 4 棵树比最高的小树低差 3 个公差，所以高度是 2.8 0.2 3 2.2 米．
3.
【答案】 D
【解析】根据丙的话可知丙没捐；再根据甲的话知丁捐了；再根据乙的话知甲没捐，故乙捐了，选 D．
1
A
B
E
D
H
C
6. 一个由边长为 1 的小正方形组成的 n n 的方格网，用白色或黑色对每个小正方形涂色，要求满足在任意矩
形的 4 个角上的小正方形不全同色，那么正整数 n 的最大值是（ ）．
A．3
B．4
C．5
D．6
二、填空题（每小题 10 分，满分 40 分）
7. 在每个格子中填入 1～6 中的一个，使得每行、每列及每个 2 3 长方形内（粗线框围成），数字不重复；如果 小圆圈两边格子中所填数的和是合数，其他相邻两格所填数的和是质数，那么四位数 相约华杯 是__________．
第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题 C（小学高年级组）
一、选择题（每小题 10 分，满分 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正 确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）
1.
计算：
9 20
11 30
13 42
15 56
17 72
120
1 3
1 4
（
）．
A．42
B．43
C．15 1 3
A
B
E
D
H
C
6. 【答案】 B 【解析】 3 3 、 4 4 能够成功，例子如图：
第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题 C（小学高年级组）
3
下证 5 5 、6 6 不能成功构造，方法是看在题目规则下能构造出的黑格个数的最大值 x（暂时不看白格 是否符合要求）： 5 5 中若有一行全是黑格，则按要求，其余各行最多只能有 1 个黑格，则 x 5 1111 9 ；若有一 行有 4 个黑格，则按要求，其余各行最多只能有 2 个黑格，则 x 4 2 2 2 2 12 ；若最多的一行只 有 3 个黑格，则另一行最多有 3 个黑格（例子如下左图）；再另一行最多只能有 2 个黑格，原因是若已 有两个 3，则这两个 3 必有 1 格重复，则再来一行时三个区域内各自最多只能有 1 格（如下中图），且 若 a 区域涂黑，则 b、c 区域皆不可涂，综合以上几点考虑，剩余 3 行最多每行涂 2 格， x 3 3 2 2 2 12 （例子如下右图）．
10. A 地、B 地、C 地、D 地依次分布在同一条公路上，甲、乙、丙三人分别从 A 地、B 地、C 地同时出发，匀 速向 D 地行进，当甲在 C 地追上乙时，甲的速度减少 40%；当甲追上丙时，甲的速度再次减少 40%；甲追 上丙 9 分钟，乙也追上了丙，这时乙的速度减少 25%；乙追上丙后再行 50 米，三人同时到 D 地．已知乙出 发时的速度是每分钟 60 米，那么甲出发时的速度是每分钟________米，A、D 两地间的路程是________米．
按分数从高到低居第三位的同学的分数至少是（ ）．
A．94
B．95
C．96
D．97
5. 如图，BH 是直角梯形 ABCD 的高，E 是梯形对角线 AC 上一点；如果 △DEH 、△BEH 、△BCH 的面积依
次是 56、50、40，那么 △CEH 的面积是（ ）．
A．32
B．34
C．35
D．36
第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题 C（小学高年级组）