导数导学案8

§132利用导数研究函数极值

学习目标

1.理解极大值、极小值的概念；

2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值;

3.掌握求可导函数的极值的步骤 .

心学习过程

- ■—»■"—■- ~ —• ■—— -- ——~—-_-—I _■■- • «- —■——

一、课前准备

(预习教材P27~ P30，找出疑惑之处)

复习1：设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内

这个区间内为_____ 函数；如果在这个区间内y 0 ,那么函数

函数.

复习2:用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数f

等式，得x的范围就是递增区间.③令______________ 解不等式，得

二、新课导学探学习探究探究任务一：问题1:如下图，函数y

f(x)在a,b,c,d ,e, f ,g,h等点的函数值与这些点附近的函数值有什

么关系？ y f(x)在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y

f(x)的导数的符号有什么

看出，函数y f(x)在点x a的函数值f(a)比它在点x a附近其它点的函数值都—，

f (a) 且在点x a附近的左侧f (x)_0，右侧f (x)_0. 类似地，函数

y f(x)在点x b的函数值f(b)比它在点x b附近其它点的函数值都_____________ ，f (b)—

而且在点x b附近的左侧f(X) _______ 0，右侧f(X) _____ 0.

新知：

我们把点a叫做函数y f (x)的极小值点，f(a)叫做函数y f (x)的极小值；点b叫做函数y f (x)

的极大值点，f(b)叫做函数y f(x)的极大值.

极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值.

极值反映了函数在某一点附近的_________________ ，

刻画的是函数的_____________ .

试试:

(1) ________________ 函数的极值 (填是，不是)唯一的.

(2)一个函数的极大值是否一定大于极小值________

⑶函数的极值点一定出现在区间的______ (内，外)部，区间的端点

极值点.

反思：极值点与导数为0的点的关系: 导数为0的点是否一定是极值点.

y 0，那么函数y=f(x)在

y=f(x)在为这个区间内的 _

(x).②令 _____________ 解不

x的范围，就是递减区间.

(能，不能)成为

比如：函数f(x) x 3

在x=0处的导数为 ________ ，但它 _______ (是或不是)极值点. 即：导数为0是点为极值点的

小结：求可导函数f(x)的极值的步骤： (1) 确定函数的定义域； ⑵求导数f'(X)；

(3) 求方程f' (x)=0的根*

(4 )用函数的导数为 0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格 f' (x)在方程根左右的值的符号，

如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；

右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么 f(x)在这个根

处无极值.

变式2:已知函数f(x) x 3

3x 2

9x 11. (1 )写出函数的递减区间；

(2) 讨论函数的极大值和极小值，如有，试写出极值；

条件.

求函数y

4x 4的极值.

变式 过点 1:已知函数 (1,0)，

f(x) ax 3 bx 2

cx 在点x 0处取得极大值5，其导函数y f (x)的图象经 ，如图所示，求 (1) x 0的值(2)a, b, c 的值.

检查 如果左负

(3)画出它的大致图象.

x

三、总结提升

学习小结

求可导函数f （X ）的极值的步骤；

由导函数图象画出原函数图象；由原函数图象画导函数图象

知识拓展

函数在某点处不可导，但有可能是该函数的极值点 由些可见：“有极值但不一定可导”

学

习

评价 探自我评价

A.很好

探当堂检测

1. 函数y 2 A .有极大值， B .有极小值，

探动手试试 练1. （1） （3） 求下列函数的极值： f （X ） 6x 2

3 f （x ） 6 12x X X 2 ； (2) f(X)X 3 ；(4) f(X) 3X X 3.

27X

；

3

练2. 点，哪些是极小值点. F 图是导函数y f （X ）的图象，试找出函数 y f （X ）的极值点，并指出哪些是极大值

tJX ,0

1. 2. 你完成本节导学案的情况为（ ）. B.较好 C. 一般 D.较差

（时量：5分钟满分：10分）计分： 2 3

X X 的极值情况是（ 没有极小值 没有极大值

C.既有极大值又有极小值

D .既无极大值也极小值

2.三次函数当X 1时，有极大值（）

A. y X 6x 9x 4

；

当X 3时，有极小值 0，且函数过原点，则此函数是6X29X

冬—课后作业，

1.如图是导函数y f

值？

（2）导函数y f （X ）有极小值？ （ 3）函数y f （x ）有极大值？ （ 4）导函数y f （x ）有极 小值？

2. 求下列函数的极值:

（1） f （X ） 6x 2

X 3.函数f （X ） 3 X 2 ax bx a 2在X 1时有极值10,则a 、b 的值为（

)

A. a 3,b 3或 a 4,b 11

B. a 4,b 1或 a 4,b 11

C. a 1,b

4.函数f(x) 5 3 X 2 ax

D. 3x 以上都不正确 9在X 3时有极值10,则a 的值为

5.函数f(x)

3 X 3ax 2

a(a 0）的极大值为正数，极小值为负数，则 a 的取值范围为 c. y

X 3 6X 2

9X

3 2

D. y X 6x 9x

（X ）的图象，在标记的点中，在哪一点处（1）导函数y f （X ）有极大

2 ；( 2) f(x) 48x X 3.