高中数学重要结论集锦

高中数学重要结论集锦1.函数()y f x =的图象的对称性:①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=②函数()y f x =的图象关于直2a bx +=对称()()f a x f b x ⇔+=-()()f a b x f x ⇔+-=. ③函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ⇔=--函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称()2(2)f x b f a x ⇔=--2.两个函数图象的对称性:①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称. 特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称 ③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =- ④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =--3. 分数指数幂m na=0,,a m n N *>∈，且1n >）.1m nm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）4. 对数的换底公式 log log log m a m N N a =.推论 log log m na a nb b m=.对数恒等式log a NaN =（0,1a a >≠）5. 若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，kk S S 23-成等差数列。

如下图所示：k kk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++ 其前n 项和公式 1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+- 5. 若等差数列{}n a 的前12-n 项的和为12-n S ，等差数列{}n b 的前12-n 项的和为'12-n S ，则'1212--=n n n n S S b a 。

等比数列{}n a 的通项公式1*11()n n n a a a q q n N q -==⋅∈； 等比数列{}n a 的变通项公式m n m n q a a -=其前n 项的和公式11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩6． 同角三角函数的基本关系式 22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=. 2211tan cos αα+=7. 正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n n co n απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩为偶数为奇数212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n n co n απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩为偶数为奇数即:奇变偶不变,符号看象限,如cos()cos ,sin()sin 22sin()sin ,cos()cos ππααααπααπαα+=-+=-=-=- 8. 和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+=)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ= ).9. 二倍角公式 sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.（升幂公式）221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-==（降幂公式） 10.万能公式:22tan sin 21tan ααα=+, 221tan cos 21tan ααα-=+22tan tan 21tan ααα=-. 11.半角公式:sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+ 12. 三函数的周期公式函数sin()y A x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y A x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；若ω未说明大于0,则2||T πω=函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω=. 13. sin y x =的单调递增区间为2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦单调递减区间为32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，对称轴为()2x k k Z ππ=+∈,对称中心为(),0k π()k Z ∈14. cos y x =的单调递增区间为[]2,2k k k Zπππ-∈单调递减区间为[]2,2k k k Z πππ+∈，对称轴为()x k k Z π=∈,对称中心为,02k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()k Z ∈15. tan y x =的单调递增区间为,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，对称中心为(,0)()2kk Z π∈ 16. 正弦定理2sin sin sin a b cR A B C=== 17．面积定理（1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）.（2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)22(||||)()OAB S OA OB OA OB ∆=⋅-⋅=1tan 2OA OB θ(θ为,OA OB 的夹角)18.三角形内角和定理 在△ABC 中，有()222C A BA B C C A B πππ+++=⇔=-+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 19.平面两点间的距离公式,A B d =||AB AB AB =⋅=11(,)x y ，B 22(,)x y ).20.向量的平行与垂直 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则 a ∥b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=.21．线段的定比分公式 设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+⇔12(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+）. 22．若OA xOB yOB =+则A,B,C 共线的充要条件是 x+y=1。

23．直线方程的五种形式:（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).（4）截距式1(,x ya b x y a b+=≠≠分别为轴轴上的截距,且a 0,b 0) （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).24．两条直线的平行和垂直 （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+①121212,l l k k b b ⇔=≠;②12121l l k k ⊥⇔=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,①121221122100l l A B A B AC A C ⇔-=-≠且；②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； 25.夹角公式 2121tan ||1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)12211212tan A B A B A A B B α-=+(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π. 直线l 1到l 2的角是2121tan 1k k k k α-=+(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)26．点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).27．两条平行线的间距离d =(直线l 1：122120,0,)Ax By C l Ax By C C C ++=++=≠).28.圆中有关重要结论:(1)若P(0x ,0y )是圆222x y r +=上的点,则过点P(0x ,0y )的切线方程为200xx yy r +=(2)若P(0x ,0y )是圆222()()x a y b r -+-=上的点,则过点P(0x ,0y )的切线方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=(3) 若P(0x ,0y )是圆222x y r +=外一点,由P(0x ,0y )向圆引两条切线, 切点分别为A,B则直线AB 的方程为200xx yy r +=(4) 若P(0x ,0y )是圆222()()x a y b r -+-=外一点, 由P(0x ,0y )向圆引两条切线, 切点分别为A,B 则直线AB 的方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=29.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.30．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式 )(21c a x e PF +=，)(22x c a e PF -=. 31．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的准线方程为2a x c =±,椭圆22221(0)x y a b b a+=>>的准线方程为2a y c =±32.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)长为22b a33.P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点,F 1,F 2 是它的两个焦点,∠F 1P F 2=θ则△P F 1 F 2的面积=2tan2b θ34.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的准线方程为2a x c =±双曲线22221(0,0)x y a b b a -=>>的准线方程为2a y c=±35. 双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a =±双曲线22221(0,0)x y a b b a -=>>的的渐近线方程为a y x b=±36.P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点,F 1,F 2 是它的两个焦点,∠F 1P F 2=θ则△P F 1 F 2的面积=2cot2b θ37.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y py 或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中22y px =.38. P(0x ,0y )是抛物线px y 22=上的一点,F 是它的焦点,则|PF|=0x +2p 39. 抛物线px y 22=的焦点弦长22sin pl θ=,其中θ是焦点弦与x 轴的夹角40.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =212||1AB x x k a =-=+（弦端点A ),(),,(2211y x B y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F b kx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,k 为直线的斜率）.若（弦端点A ),(),,(2211y x B y x 由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F b kx y 消去x 得到20ay by c ++=，0∆>,k为直线的斜率）.则1221||1AB y y ak=-=+41.圆锥曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. 42.直线AB 与平面所成角sin||||AB marc AB m β⋅=(m 为平面α的法向量).43．二面角l αβ--的平面角cos||||m n arc m n θ⋅=或cos ||||m narc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）.44异面直线间的距离 ||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).45.点B 到平面α的距离 ||||AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）.46. 2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=（长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、）（立几中长方体对角线长的公式是其特例）.47. 面积射影定理 'cos S S θ=48。